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\newcommand*{\diff}{\textup d}
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\newcommand*{\e}{\textup e}
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\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
Ist nun $F \equiv 0$, wie wir angenommen haben, so ist unsere Behauptung bewiesen. Wir sehen jedoch, dass es gar nicht 
n\"otig ist,~$F \equiv 0$ anzunehmen, vielmehr gen\"ugt schon die Annahme, dass~$F$ nicht explizit $x_{\alpha}$ enth\"alt, 
d.h.~$\frac{\partial F}{\partial x_{\alpha}} = 0$.

Die Frage erhebt sich nun, ob sich nicht weitere Integrationsvereinfachung erzielen l\"asst, wenn $\Omega$~$n$~oder weniger 
Konstanten enth\"alt. Wir nehmen z.B. an, dass~$\Omega$ noch eine Konstante~$c$ enth\"alt, also 
\[ H \left( x, \frac{\partial \Omega}{\partial x}, t \right) + \frac{\partial \Omega}{\partial t} \equiv F \left( t, c \right). \]
Dann kann man ein weiteres Integral 
\[ \phi \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, t \right) \]
des Systems angeben. Denn 
\[ \frac{\partial F}{\partial c} = \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial t \partial c} 
+ \frac{\partial H}{\partial y_{\alpha}} \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x_{\alpha} \partial c} \]
F\"ur eine L\"osung des Systems ist aber 
\[ \frac{\partial H}{\partial y_{\alpha}} = \frac{\diff x_{\alpha}}{\diff t}. \]
Demnach
\[ \frac{\partial F}{\partial c} = \frac{\diff}{\diff t} \left( \frac{\partial \Omega}{\partial c} \right) \]
falls f\"ur~$x_{\alpha}$ eine L\"osung des Systems gesetzt wird. Setzen wir jetzt
\end{document}
