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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
\[ \phi = \frac{\partial \Omega}{\partial c} - \int\limits_{t_{0}}^{t} \frac{\partial F}{\partial c} \, \diff t \]
dann ist f\"ur jede L\"osung~$\frac{\diff \phi}{\diff t} = 0$, also~$\phi \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, t \right) = 0$. 
Ist~$\Omega$ eine L\"osung der Jacobi-Hamilton'schen Differentialgleichung, dann ist $F \equiv 0$, damit 
$\int \frac{\partial F}{\partial c} \, \diff t = 0$ und so $\phi = \frac{\partial \Omega}{\partial c}$. Haben wir 
in~$\Omega$~$k$~Parameter, dann k\"onnen wir $k$ solche Integrale angeben. Damit ist von einer anderen Seite 
her die \"Aquivalenz der Jacobi-Hamilton'schen Differentialgleichung und der kanonischen Differentialgleichungen 
erwiesen.

Ist n\"amlich~$\Omega = \Omega \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, t \right)$, so erhalten wir 
zun\"achst von den~$n$~Differentialgleichungen
\[ \frac{\diff x_{\alpha}}{\diff t} = X_{\alpha} \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, t \right) \]
eine~$n$-gliedrige L\"osungsschar mit~$n$~Parametern~$q_{1}, \ldots, q_{n}$, wobei die~$n$~Parameter die~$n$~Integrale 
$\frac{\partial \Omega}{\partial q_{\alpha}} = -p_{\alpha} \left( \alpha = 1, \ldots, n \right)$ liefern. Als 
allgemeinste L\"osung ergeben sich also $2n$~L\"osungen~$x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}$ mit 
$2n$~Konstanten $q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$. Diese \"Uberlegungen geben g\"leichzeitig die Br\"ucke zur 
Variationsrechnung, indem die~$n$-gliedrige L\"osungsschar das Feld der Extremalen liefert, das eine Schar 
von Transformationsfl\"achen zul\"asst, n\"amlich die Fl\"achen~$\Omega \left( x, t \right) = \text{const}$.

Hiermit schlie{\ss}en wir die allgemeine Betrachtung der kanonischen Differentialgleichungen ab, um uns 
speziellen Bewegungsproblemen der Himmelsmechanik zuzuwenden. In einem 2. Teil der Vorlesung werden wir auf die 
Theorie der kanonischen Differentialgleichungen wieder
\end{document}
