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\begin{document}
105 Z.B. i s t im Fall der elliptischen Bahn u -=—^= in ^ mit Periode ^ s i n u periodisch

es i s t also Entwicklung in eine Fourierreihe

möglich, u deren Konvergenz es sich handeln wird. Ferner i s t in der m Astronomie ^ k l e i n , sodass es naheliegt, u a l s Potenzreihe in in den Koeffizienten a u f t r i t t , d.h. u =22%/^^^

zu entwickeln, wo ^

En beiden Fällen kommt es bei Untersuchung der Konvergenzverhält­ nisse darauf an, was zu sagen i s t über die singulären Stellen der Umkehrfunktion. % Satz von Hurwitz über die singulären Stellen von Umkehrfunktionen.Da in der Astronomie v i e l f a c h falsche Schlüsse betreffend das Ver­ halten der Umkehrfunktion an singulären Stellen vorkommen, wollen wir an dieser S t e l l e einen Satz von Hurwitz beweisen, den dieser 1906 in den Comptes Rendues v e r ö f f e n t l i c h t e und der gerade über singu­ l a r e Stellen von Umkehrfunktionen etwas aussagt. Der Satz von Hurwitz lautet: Die kritischen Stellen^ df^rUmkehrfunktion van χ = f ( y ) sind^ ent­ halten unter den Stellen = f ( y . ) , wo f ' ( y . ) verschwindet, und den

Werten ^ , gegen die f ( y ) konvergiert, wenn y auf irgend einem Weg sich ins Unendliche bewegt. Dabei bedeutet χ = f ( y ) eine meromorphe Funktion. Der Beweis dieses Satzes e r f o l g t in drei Schritten: 1. Es s e i an einer S t e l l e y„ : f ' ( y . ) ^ 0, x . = f ( y . ) und^f(y. ) im Kreis <fy - y, f I s t dann ( y - y.j ^x - x . / z ^ , 1 ? und = f ( y ) regulär

Min / ^ y r ^ ^

so hat χ = f ( y ) genau eine Wurzel im Kreis

und für diese g i l t y - y „ = ^%?(x - x „ ) , eine Potenz­ ( χ - V.t ¿ytt^ konvergiert.

r e i h e , die in dem Kreis

Dies f o l g t aus dem Rouché'schen Satz' Sind f ( 2 - ) und g ( 2 - ) regulär


\end{document}
