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\begin{document}
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ometrisch, dass P("<^) innerhalb der E l l i p s e Ε mit den Brennpunkten 0 und Μ o und der Halbachse ^ l i e g e n muss, damit der Bo­

gen Μ. Μ Rxtremalenbogen sein kann. Liegt Μ in der Ellipse E, so g i b t es zwei extrémale Ellipsen durch Μ Μ. , l i e g t Μ ausserhalb der E l l i p s e E, so gibt es keine Extremalellipsen durch Μ und M<, . Dem­ nach i s t die Ellipse Ε im gewissen Sinn Diskriminante für die durch Ο Μ o und a bestimmte einparametrige Extremalensenar, deren Einhüllende sie sein muss. Denn Ε i s t entweder Ort der Spitzen der Extre­ mal enschar oder deren Einhüllende. Da die Extremalen h i e r als E l l i p ­ sen keine Spitzen haben, kann Ε tatsächlich nur Einhüllende sein. Ferner ergibt sich, dass der Berührungspunkt Μ . einer Extremalen mit der Enveloppe Ε gerade der Schnitt der Verbindungslinie Μ 0 ' mit der Exttemalen i s t . Denn M„ 0 = 2 a - Μ. 0 der Extremalellipse mit der Halbachse ist. , da Μ ein Punkt

Ausserdem i s t M^M. = Μ θ ' + o ' Mj*, da Μ. M * die Verbindungsgerade M„ 0 ist. 2 a + Μ. o ' = 4 a d.h. l i f ist

Demnach i s t M^O + l í f M, =

ein Punkt der Enveloppe Ε und damit der Berührungspunkt dieser und der zugehörigen Extremalenellipse. In der Variationsrechnung heisst M ^ der zu Μ . konjugierte Punkt. Aus der Variationsrechnung i s t bekannt, dass dann der Bogen von Μ . b i s M, der nicht Μ ^ enthält, das r e l a ­ t i v e Minimum des Integrals l i e f e r t . In unserm F a l l kommen demnach nur die Bogen 1 und 2 unserer UnterScheidung in Betracht, da sie beide Μ ^ nicht enthalten, während die 3. und 4. dies sicher tun. Nenne ich den Wert von c7 auf Bogen 1- % , und entsprechend auf Bogen 2 , so sind ^ und ^ r e l a t i v e Mi-


\end{document}
