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\begin{document}
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5. F a l l , h = 0. Die Extremalbogen sind die Bogen Μ . Μ von Parabeln, deren Brennpunkt 0 i s t und die durch Μ, Μ gehen. Anstelle des 3 Brennpunktes betrachten wir hier die L e i t l i n i e <áf Μ zur L e i t l i n i e <kf i s t , der von M , i s t . Der Abstand von

Als L e i t l i n i e n der

gesuchten Parabeln ergeben sich demnach die gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise (M^ τ ) immer r e e l l , da /l"<, und (Μ, f , ) . Diese beiden Kreise schneiden sich ¿- "3 f Es ergeben sich also zwei äus­

sere Tangenten, die symmetrisch zu M.M l i e g e n . Es ergeben sich also wieder zwei Extremalbogen, nämlich die Bogen Μ, Μ der beiden durch 0 und die beiden L e i t l i n i e n bestimmten Tangenten. Wir unterscheiden wieder zwei Bogen, nämlich jenachdem das Segment, dem s i e zugehören, den Brennpunkt 0 enthält oder nicht. Beim Uebergang der beiden Seg­ mente in einander mussten die beiden Kreise sich berühren,, was durch unsere Voraussetzung der Geradlinigkeit /?*. - W ^ ¿- ^ ausge­

schlossen i s t . Damit i s t die Untersuchung über die zwischen Μ „und Μ möglichen Extremalbogen p r i n z i p i e l l e r l e d i g t . Zu erwähnen i s t noch, dass für h 0 sich keine Einhüllende der Extremalenschar ergeben

hat, da die in Betracht kammenden Kreise immer Schnittpunkte hatten. Dieses wesentlich verschiedene Verhalten von Ellipse einerseits und Hyperbel und Parabel andererseits wird deutlicher, wenn man den im Manpertuis'sehen Integral auftretenden Ausdruck

2^ 'ήρ/ ¿ J ^ * ; V ¿ ¿ ^
t

a l s Bogenelement einer Fläche auffasst. Man erhält dann für die Krüm­ mung Κ dieser Flächen & 1> 0, wenn h ¿- 0 Κ= 0, wenn h = 0

Κ ¿- 0, wenn h ^ 0


\end{document}
