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\begin{document}
145 Unsere Extremalen sind die geodätischen Linien, die zudem L i n i e n e l e ­ ment <5¿4^ ^^¿V^^^ gehören. Da aber geodätische L i n ­

ien eines Linienelementes mit der Krümmung Κ ^ 0 niemals eine Ehveloppe haben, so e r h e l l t aus dieser áíifferentialgeometrischen Ueberlegung der wesentliche Unterschied zwischen Ellipse einerseits und Hyperbel und Parabel andererseits. Nach dieser allgemeinen Untersuchung der Extremalen wenden wir uns dem eigentlichen Problem zu, nämlich dem Nachweis, dass die Mauper­ tuis'sche Wirkung s t e l l e n wir f e s t , dass eine Funktion von <T < 5P und h i s t . Zunächst und h

eine Funktion von x , , x^ , x ° , x ^

i s t . Wir hatten nämlich früher für
<3ÍÍ¡7=-(¡y-¿¿*) -f-(%-Aj¿¿¿

e7 die Differentialform gewonnen: Daraus ergeben sich als D i f f e r e n t ­

ialquotienten

Daraus ergibt sich eine anschauliche geometrische Bedeutung für Betrachtet man nämlich ein durch Μ < gehendes Extremalenbüschel mit , vorgegebener Energiekonstante h, so sind für dieses Büschel x ^ x / u n d h konstant. Die Kurven C ? (x^ x^ const.) = const, sind dann die or­ L thogonalen Trajektorien dieses Büschels, da längs dieser Kurven ¿e7 = 0 und dx°= dxj= dh = 0, sodass sich ergibt ^

womit sofort die Orthogonalitätsbedingung für die beiden Kurvenscharen gewonnen i s t * Zurückkehrend zur Differentialform transformieren wir diese auf Polarkoordinaten. Bei der integration der ßewegungsgleichungen hatte sich (Gl. ) ergebenr


\end{document}
