\documentclass[a4paper,german]{book}
\usepackage{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[lite]{amsrefs}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{nicefrac,mathtools}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumitem}
\usepackage{microtype}

\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand*{\J}{I}				%% komisches Zeichen, was aussieht wie ein geschwungenes grosses J
\newcommand*{\G}{G}		%% komisches Zeichen, was aussieht wie ein geschwungenes grosses G

\begin{document}
ersetzen. Dabei sind wieder $\rho$ und $\zeta$ nach Fr"uherem Fourierreihen mit Potenzreihen als Koeffizienten von der Form $f\left(\lambda+\omega/ e\right)$.

Es d"urfte noch angebracht sein, die Reihenentwicklungen von $\J$, $\sigma$ und $\tau$ nach $\varphi$, $\varphi'$, $\vartheta$ oder was dasselbe ist nach $p$, $p'$, $q$ und $q'$ zu untersuchen. Zu dem Zweck setzen wir in $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ und $\alpha'$, $\beta'$, $\gamma'$, $\delta'$ ihre Werte in den Variablen $\varphi$, $\varphi'$, $\vartheta$ und $\vartheta'$ ein und bilden dann $\alpha_{0}$, $\beta_{0}$, $\gamma_{0}$, $\delta_{0}$. Daraus ergibt sich, wenn wir $\cos\varphi=c$, $\tan\varphi=t$ setzen:
\begin{align*}
\sin\frac{\J}{2}E^{\frac{\tau\ima}{2}} &= cc'\left(tE^{-\vartheta\ima}-t'E^{-\vartheta'\ima}\right)\\
\cos\frac{\J}{2}E^{\frac{\sigma\ima}{2}} &= cc'\left(1+ tt'E^{(\vartheta-\vartheta')\ima}\right)\\
\sin^2\frac{\J}{2} &= \left(cc^{\ima}\right)^2\left[t^2+t'^2-2tt'\cos\left(\vartheta-\vartheta'\right)\right]\\
\sigma &= \arctan\frac{tt'\sin\left(\vartheta-\vartheta"\right)}{1+tt'\cos\left(\vartheta-\vartheta"\right)}
\end{align*}

Entwickelt man diese Ausdr"ucke in Reihen nach $p$, $p'$, $q$, $q'$, so erh"alt man, falls $cc'=1$ gesetzt wird:
\begin{align*}
2\sin\frac{\J}{2}E^{\pm\frac{\tau\ima}{2}} &= p-p'+(q-q')+\ldots\\
4\sin^2\frac{\J}{2} &= (p-p')^2 + (q-q')^2 + \ldots\\
\sigma &= p'q - pq' + \ldots
\end{align*}

Unsere fr"uheren allgemeinen Untersuchungen "uber die Form der Fourierentwicklungen der St"orungsfunktion gew"ahren uns einen Einblick in die spezielle Form der Le~Verrier'schen Entwicklungen. Durch unsere Transformation ist jetzt die Bahnebene des Planeten $m$ die $x_1$ $x_1$ Ebene des Systems mit der Durchschnittsgeraden der beiden Bahnebenen als $x_1$-Achse geworden. Dadurch wird, wenn wir mit $\Lambda$, $\G$, $\Theta$, $\Phi$ und $\Omega$ die Bahnelemente in dem neuen System bezeichnen,
\end{document}
