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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand*{\J}{I}		%% komisches Zeichen, was aussieht wie ein geschwungenes grosses J


\begin{document}
Zwei Terme dieser Reihe findet man bei Tisserand, M\'ech. c\'eleste, I., p. 309, bis zu den Termen 7.~Ordnung hat Le~Verrier sie in den Annales~de~l'Observatoire, T.~I., angegeben.

\subsubsection{Methode von Tisserand}\label{tisserand}

W"ahrend Le~Verrier die reziproke Entfernung nach Potenzen von $\sin\frac{\J}{2}$ entwickelt, geht Tisserand von der Entwicklung nach Potenzen von $\cos\Theta$ aus und erh"alt sofort:
\[\frac{a}{r_{01}}=A_{\nicefrac{1}{2}}^0+2\sum_{v=1}^{\infty}A_{\nicefrac{1}{2}}^v\cos v\Theta\]
Da die Laplace'schen Koeffizienten bekannt sind, dreht es sich noch darum, $\cos v\Theta$ in trigonometrische Reihen nach $\J$, $x$ und $y$ zu entwickeln. Dabei findet Tisserand, da\ss{} diese trigonometrischen Reihen endlich und zwar Polynome in $\sin^2 \frac{\J}{2}$ sind. Denn zun"achst besteht die Identit"at
\[2\cos n \Theta = \frac{\sin(n+1)\Theta}{\sin\Theta}-\frac{sin(n-1)\Theta}{\sin\Theta}\]
Aber $\frac{\sin(n+1)\Theta}{\sin\Theta}$ ist ein Polynom $P$ $n$-ten Grades in $\cos\Theta$. Denn setzt man $z=E^{\ima\Theta}$, so ist
\begin{align*}
\frac{\sin(n+1)\Theta}{\sin\Theta} 	&= \frac{z^{n+1}-\frac{1}{z^{n+1}}}{z-\frac{1}{z}} \\
									&= z^n+z^{n-2} + \ldots + \frac{1}{z^n} \\
									&= 2\left[\cos nz+\cos(n-2)z + \ldots\right] \\
									&= c_0\cos^n z+c_1\cos^{n-2}z+ \ldots
\end{align*}
\end{document}
