\documentclass[a4paper,german]{book}
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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand*{\J}{I}		%% komisches Zeichen, was aussieht wie ein geschwungenes grosses J

\begin{document}
Demnach ist
\[2\cos n\Theta = P_n(\cos\Theta)-P_{n-2}(\cos\Theta)\]
Anstelle von $\cos n\Theta$ gen"ugt es also, $P_n(\cos n\Theta)$ nach $\J$, $x$ und $y$ zu entwickeln. Da
\[\cos\Theta=\cos^2 \frac{\J}{2}\cos x +\sin^2\frac{\J}{2}\cos y\]
ist, so ist $P_n(\cos\Theta)$ ein Polynom in $\sin^2\frac{\J}{2}$, $\cos x$ und $\cos y$, das wir schreiben k"onnen:
\[P_n=\sum_{\mu,v}^n P_{\mu v}\left(sin^2\frac{\J}{2}\cos(\mu x+vy)\right)\]
Um $P_n$ zu entwickeln, gen"ugt also die Kenntnis der Polynome $P_{\mu v}\left(\sin^2\frac{\J}{2}\right)$. Einen sehr eleganten Weg hat Stieltjes eingeschlagen, indem er feststellt, da\ss{} die $P_n$ im vierdimensionalen Raum anstelle der Laplace'schen Polynome bei Entwicklung der Grundl"osung der Potentialgleichung auftreten. Denn im vierdimensionalen Raum ist die Grundl"osung der Potentialgleichung
\[\frac{1}{R^2}\equiv\left(1-2\alpha\cos\Theta+\alpha^2\right)^{-1}\]
Wir ziehen also zur Behandlung des Problems die Koordinaten eines vierdimensionalen Raumes heran. Es ist dann:
\[R^2=\sum_{\alpha=1}^4(x_\alpha-x_{\alpha}')^2\]
und f"ur $V=R^{-2}$:
\begin{align*}
\Delta V&= 0 \\
\Delta' V &= 0
\end{align*}
\end{document}
