\documentclass[a4paper,german]{book}
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\usepackage{microtype}

\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand*{\J}{I}		%% komisches Zeichen, was aussieht wie ein geschwungenes grosses J
\newcommand*{\Korrektur}[2]{#1}   	%Original behalten (z.B. 2)
%\newcommand*{\Korrektur}[2]{#2}	%Korrektur behalten (z.B. zwei)

\begin{document}
Jetzt f"uhren wir Polarkoordinaten ein:
\begin{alignat*}{2}
x_1 &= r\cos u\cos x &\qquad x_1' &= r'\cos u'\cos x' \\
x_2 &= r\cos u\sin x &\qquad x_2' &= r'\cos u'\sin x' \\
x_3 &= r\sin u\cos y &\qquad x_3' &= r'\sin u'\cos y' \\
x_4 &= r\sin u\sin y &\qquad x_4' &= r'\sin u'\sin y' 
\end{alignat*}
Dann ist
\[R^2=r^2+r'^2-2rr'\left(\frac{x_\alpha x_\alpha'}{rr'}\right)\]
Setzen wir $\left(\frac{x_\alpha x_\alpha'}{rr'}\right)=\cos\vartheta$ so haben wir
\[\cos\vartheta=\cos u\cos u'\cos(x-x')+\sin u\sin u'\cos(y-y')\]
was f"ur $u=u'=\frac{\J}{2}$, $x'=y'=0$ "ubergeht in
\[\cos\vartheta=\cos^2\frac{\J}{2}\cos x +\sin^2\frac{\J}{2}\cos y\]
\Korrektur{d.\,i.}{das ist} die Beziehung f"ur $\cos\vartheta$, die f"ur unsere spezielle Entwicklung nachher in Frage kommen mu\ss .

Die Potenzgleichung $\Delta V$ transformieren wir jetzt auf Polarkoordinaten. Wegen
\[\diff s^2=\diff r^2+r^2(\diff u^2+\cos^2u\diff x^2+\sin^2 n \diff y^2)\]
ergibt dies
\[r^2\Delta V = DV+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^3\frac{\partial V}{\partial r}\right)\]
wo $D$ der zweite Differentialparameter auf der Einheitskugel ist.
\end{document}
