\documentclass[a4paper,german]{book}
\usepackage{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[lite]{amsrefs}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{nicefrac,mathtools}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumitem}
\usepackage{microtype}

\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
Setzen wir $t=\sin^2 u$, so ist 
\[DV=4\frac{\partial}{\partial t}\left\lbrace t(1-t)\frac{\partial V}{\partial t}\right\rbrace+\frac{1}{1-t}\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{1}{t}\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}\]
Da
\[V=\frac{1}{R^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{r^n}{r'^{n+2}}P_n(\cos\vartheta)\]
den Potenzialgleichungen $\Delta V=0$, $\Delta' V=0$ gen"ugt, so mu\ss{} jeder Term der Reihe ihr gen"ugen. Aus
\[\sum_{n=0}^\infty \Delta\left(\frac{r^n}{r'^{n+2}}P_n\right)=0\]
folgt
\[D P_n+n(n+2)P_n =0\]
Da unser Ziel die Entwicklung von $P_n$ nach Winkelfunktionen von $(x-x')$ und $(y-y')$ ist, beachten wir, da\ss{} wir haben:
\begin{align*}
P_n(\cos\vartheta)	&= P_n\left(\cos u\cos u'\cos(x-x')+\sin u\sin u'\cos(y-y')\right)\\
					&= \sum P_{\mu v}(tt')E^{\mu(x-x')\ima+v(y-y')\ima}
\end{align*}
Was k"onnen wir hierin "uber die Polynome $P_{\mu v}(tt')$ aussagen? Zun"achst mu\ss{} $P_{\mu v}$ in $t$ und $t'$ symmetrisch sein, da ja $\cos\vartheta$ es in $u$ und $u'$ ist. Ferner ist $P_{\pm\mu\pm v} = P_{\mu v}$, da $\cos$ eine gerade Funktion ist, soda\ss{} wir uns auf $\mu,v>0$ beschr"anken k"onnen. Greifen wir auf den Ausdruck
\[P_n=c_0\cos^n\vartheta+c_1\cos^{n-2}\vartheta+\ldots\]
\end{document}
