\documentclass[a4paper,german]{book}
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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand*{\G}{G}				%% komisches Zeichen, was aussieht wie ein geschwungenes grosses G

\begin{document}
zur"uck unter Beachtung der Gleichung
\[\cos\vartheta=\cos u\cos u'\cos(x-x')+\sin u\sin u'\cos(y-y')\]
so ist
\[P_n=\sum_{\alpha,\beta}c_{\alpha\beta}(\cos u\cos u')^\alpha(\sin u\sin u')^\beta E^{\mu(x-x')\ima+v(y-y')\ima}\]
wo $\alpha=|\mu|+$ gerade Zahl, $\beta=|v|+$ gerade Zahl, und da $\alpha+\beta=n-2k$ ist, auch $n=|\mu|+|v|+$ gerade Zahl ist.

Demnach ist, wenn $\gamma_{\alpha\beta}\equiv 0 \mod 2$ ist:
\begin{align*}
(\cos u\cos u')^\alpha	&= (\cos u\cos u')^{|\mu|}(\cos u\cos u')^{\gamma_\alpha} \\
(\sin u\sin u')^\beta	&= (\sin u\sin u')^{|v|}(\sin u\sin u')^{\gamma_\beta}
\end{align*}
Da aber $\sin u^{\gamma_\ima}= t^{\frac{\gamma_\ima}{2}}$ ist, wo $\frac{\gamma_\ima}{2}$ ganz ist, so ist
\[P_{\mu v}=(\cos u\cos u')^{|\mu|}(\sin u\sin u')^{|v|}\G_{\mu v}(tt')\]
wo $\G_{\mu v}(tt')$ ein Polynom in $t$ und $t'$ ist, von dem wir wissen, da\ss{} es symmetrisch in $t$ und $t'$ ist und positive Indizes hat. Da $P_n$ der Differentialgleichung
\[0=DP_n+n(n+2)P_n\]
gen"ugt, so ergibt sich f"ur $\G_{\mu v}$ die Differentialgleichung:
\[0=4\frac{\partial}{\partial t}\left\lbrace t(t-1)\frac{\partial P_{\mu v}}{\partial t}\right\rbrace+\left[\frac{\mu^2}{1-t}+\frac{v^2}{t}-n(n+2)\right]P_{\mu v}\]
Die entsprechende Gleichung gilt in $t'$. Demnach gen"ugt $\G_{\mu v}$ der Differentialgleichung
\end{document}
