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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand*{\J}{I}				%% komisches Zeichen, was aussieht wie ein geschwungenes grosses J
\newcommand*{\G}{G}		%% komisches Zeichen, was aussieht wie ein geschwungenes grosses G
\newcommand*{\Ce}{C}		%% komisches Zeichen, was aussieht wie ein geschwungenes grosses G

\begin{document}
\[0=t(t-1)\frac{\diff^2 \G_{\mu v}}{\diff t^2}+\left[(\mu+v+2)t-(v+1))\right]\frac{\diff \G_{\mu v}}{\diff 1}-\frac{1}{4}(\mu+v+n+2)(n-\mu-v)\G_{\mu v}\]
Das ist die Differentialgleichung einer hypergeometrischen Reihe $F(\alpha,\beta,\gamma,t)$, f"ur die
\[\alpha=\frac{n+\mu+v+2}{2},\qquad\beta=-\frac{n-\mu-v}{2},\qquad\gamma=v+1\]
ist. Dabei ist zu beachten, da\ss{} $\beta$ ganz und negativ ist. Dann ist bekanntlich die hypergeometrische Reihe ein Polynom. Dieselbe hypergeometrische Gleichung hat aber nur eine polynomische L"osung. Da nun $\G_{\mu v}$ ein Polynom ist und der hypergeometrischen Differentialgleichung gen"ugt, so mu\ss{} die Gleichung bestehen
\[\G_{\mu v}=\Ce(t')F(\alpha,\beta,\gamma,t)\]
wo die Konstante noch von $t'$ abh"angt. Andererseits gilt dieselbe Differentialgleichung auch in $t'$, soda\ss{} sich auch ergibt
\[\G_{\mu v}=\Ce(t)F(\alpha,\beta,\gamma,t')\]
Demnach ist
\[\G_{\mu v}=\Ce_{\mu v}F(\alpha,\beta,\gamma,t)F(\alpha,\beta,\gamma,t')\]
wo $\Ce_{\mu v}=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\gamma-\alpha\beta)}{\Gamma(\gamma^2)\Gamma(\alpha-\gamma+1)\Gamma(1-\beta)}$ eine numerische Konstante ist.

Da unser eigentliches Ziel die Entwicklung von $P_n$ nach $\J$, $x$ und $y$ war, so setzen wir $x'=y'=0$, $u=u'=\frac{\J}{2}$ und erhalten die
\end{document}
