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\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand*{\J}{I}				%% komisches Zeichen, was aussieht wie ein geschwungenes grosses J
\newcommand*{\Korrektur}[2]{#1}   	%Original behalten (z.B. 2)
%\newcommand*{\Korrektur}[2]{#2}	%Korrektur behalten (z.B. zwei)

\begin{document}
Tisserand'sche Entwicklung
\[P_n=\sum_{\mu,v}^n c+{\mu v}F^2\left(\alpha,\beta,\gamma,\sin^2\frac{\J}{2}\right)E^{\ima(\mu x+vy)}\]
(Tisserand, M\'ech. c\'eleste. T. I., chap. XXVIII.)

\subsubsection{Methode von Hansen}

Die Entwicklung der reziproken Entfernung nach Potenzen von $\alpha$ ist nat"urlich dann empfehlenswert, wenn die Halbachsen sehr verschieden sind, wie \Korrektur{z.\,B.}{zum Beispiel} in der Mondtheorie. Die Koeffizienten dieser Potenzen sind dann die Legendre'schen Polynome $P_n(\cos\vartheta)$. Die Reihe lautet:
\[\frac{1}{r_{01}}=\sum_{n}\alpha^n P_n(\cos\vartheta)\]
Hierin ist jetzt zum Unterschied gegen den vorigen Paragraphen
\[P_n=\frac{1}{n!\,2^n}D^n(x^2-1)^n\]
Die Methode von Hansen besteht nun darin, die Legendre'schen Polynome nach $\J$, $x$ und $y$ zu entwickeln, und zwar soll die Entwicklung von der Form sein:
\[P_n=\sum_{\mu,v}P_{\mu v}(t)E^{(\mu x+vy})\ima\]
wenn $t=\sin^2 u$ und $\cos\vartheta=\cos^2 u\cos x+\sin^2 u\cos y$ gesetzt ist. Von $P_{\mu v}$ k"onnen wir sofort sagen, da\ss{} wir uns auf die positiven Indizes beschr"anken k"onnen, da $P_n$ eine gerade Funktion ist. Um die Gestalt von $P_{\mu v}$ zu bestimmen, denken wir irgend einen Term, von $P_n(\cos\vartheta)$ durch $\cos^2 u\cos x+\sin^2 u\cos y$ ausgedr"uckt. $\cos^{n-2k}$ wird dann
\end{document}
