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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand*{\G}{G}		%% komisches Zeichen, was aussieht wie ein geschwungenes grosses G

\begin{document}
nach dem binomischen Satz Glieder von der Form:
\[\cos^{2\alpha}u\sin^{2\beta}u\cos^\alpha x\cos^\beta y\]
liefern, wo $\alpha+\beta=n-2k$ ist. Die Entwicklung von $\cos^\alpha x\cos^\beta y$ nach ganzzahligen Vielfachen von $x$ und $y$ liefert dann Terme:
\[\cos^{2\alpha}u\sin^{2\beta}uE^{(\mu x+vy)\ima}\]
wo
\[\alpha=|\mu|+\gamma_1,\qquad\beta=|v|+\gamma_2,\qquad n=|\mu|+|v|+\gamma_3\qquad(\gamma_i=0, 2, 4, 6)\]
Daraus ergibt sich:
\[\cos^{2\alpha}u\sin^{2\beta}u=\cos^{2|\mu|}u\sin^{2|v|}u\G_{\mu v}(t)\]
wo $\G_{\mu v}$ ein Polynom in $t$, und $t=\sin^2u$; $1-t=\cos^2u$ ist. Wir setzen also, da\ss{} $P_{\mu v}$ folgende Gestalt hat:
\[P_{\mu v}=(1-t)^{|\mu|}t^{|v|}\G_{\mu v}(t)\]
Zur Bestimmung von $\G_{\mu v}$ schlagen wir einen dem Stieltjes'schen Weg analogen ein. Wir gehen aus von der vierdimensionalen Laplace'schen Gleichung
\[\Delta V\equiv\frac{\partial^2 V}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial x_3^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial x_4^2}=0\]
nehmen jedoch hier als L"osung:
\[V=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\frac{1}{2}}\]
\end{document}
