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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%% Titel 

\vspace*{4cm}

\begin{center}
  {\LARGE  Prof. Dr. Helmut Wielandt}
\end{center}
\vspace*{1ex}

\begin{center}
  \Huge{\sf Tagebücher}
\end{center}
\vspace*{3cm}

\begin{center}
  {\LARGE  D13}
\end{center}
\vspace*{1ex}

\begin{center}
  {\large  März 62 -- Dezember 65}
\end{center}

\thispagestyle{empty}

\newpage

%%%%%%%% Seite 0A

\begin{center}
XIII\\
März 62 - Dezember 65
\end{center}

Reichardt: Vektor u Tensor $R$\\
Blaschke: 2. Aufl. 1960\\
Rudin: Fourier Analysis on groups\\
Vortrag 3.3.64: On the theory of permutation groups
\begin{flushright}
Einband/ 0 $=$ Inhaltsverzeichnis
\end{flushright}
Automorphismen: Zentrale 1\\
Vertauschbarkeit subnormaler Ugr: 2\\
Projektion 167\\
Nilpotente Untergr., maximale 4\\
Arithmetische Struktur 93~~145-162~~237\\
Allg. Th. Permutationsgr. 6~~64~~69~~106~~163 insb. Zerschneidung\\
$\prime\prime$ vom Grad $p$: 52,~74-83~(Anti-Sylow), 200 (Burnside)\\
$\prime\prime$~~~$\prime\prime$~~~$p^2$: 187, 247\\
Subnormalität in unendl. Gr.  44\\
$01$- Matrizen 118\\
Darstellungstheorie endl. Gruppen: 48\\
~~$-$~~charakt. von $p$-Gr 62,105\\
Monomiale $p$-Gruppen 71\\
$A^x\,\mathrm{v}\, B^y$ 70\\[0.4cm]
Selbstkonjugierende Ugr., Fixpunkte: 107\\[0.4cm]
$\lhdd$ 163\\
Eine Klasse von Gruppen zu Ringen 198
\begin{flushright}
0/1
\end{flushright}

%%%%%%%%%% Seite 1

Zentrale Automorphismen der Ord $p$ gibt es für die Gruppe $\mf{G}$ genau dann, wenn für den Kommutatorinidex $i_\mf{G}$ und die Zentrums Ord $z_\mf{G}$ gilt: $p\big|(i_\mf{G},z_\mf{G})$, und wenn \underline{nicht} $\mf{G}=\mf{A}\times\mf{B}$ und $|\mf{A}|=2$~~~~~~$2\nmid i_\mf{B},~~~2\nmid z_\mf{G}$
\begin{flushright}
1/2
\end{flushright}
8.3.62
\begin{center}\underline{Vertauschbarkeit subnormaler Ugr.}\end{center}
Sei $\mf{A}\lhdd\mf{G}$, $\mf{B}\lhdd\mf{G}$, $\mf{A}^\ast$ die größte mit $\mf{B}$ vtb subnormale Ugr von $\mf{A}$; dito $\mf{B}^\ast$\\
Dann gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] $\mf{A}\big|\text{~Kern~}\mf{A}^\ast$ nilpot., $\mf{B}\big|\text{~Kern~}\mf{B}^\ast$ nilp., genau gleiche Primteiler\\ in $\big|\mf{A}/\mf{A}^\ast\big|,\big|\mf{B}/\mf{B}^\ast\big|$, alle ``kritisch'', d.h. es gibt nichtmod. Ausschnitte in $\mf{G}$.\\
Bew.: 
\begin{itemize}
\item[$\alpha$)]  $\mf{A}^\nu\le\mf{A}^\ast$, da $\mf{A}^\nu\,\mathrm{v}\,\mf{B}$
\item[$\beta$)] \underline{Ann.}~Sei $p$ Primt. $\mf{A}/\mf{A}^\ast$, nicht $\mf{B}/\mf{B}^\ast$; dann $\mf{A}\,\mathrm{v}\,\mf{B}^\ast$, $\mf{A}_{\overline{p}}\,\mathrm{v}\,\mf{B}^\ast$, $\mf{B}=\langle\mf{B}^\ast\cdot\cdot\mf{C}_S\rangle$ $\mf{C}_S$ ein - $\overline{p}$-köpfig
\[
\mf{A}_{\overline{p}}\,\mathrm{v}\,\mf{B}~~~~~\mf{A}_{\overline{p}}\le\mf{A}^\ast~~~~\text{W!}
\]
\item[$\gamma$)] Sei $p$ gemeins. Primt $\mf{A}/\mf{A}^\ast$, $\mf{B}/\mf{B}^\ast$ nicht kritisch: Dann $\mf{A}_{\overline{p}}$ \\se\-mi\-nor, $\mf{A}_{\overline{p}}\,\mathrm{v}\,\mf{B}$~~~W! 
\end{itemize}
\item[(2)] $\mf{A}^\ast$ ist die maximale mit $\mf{B}$ vtb. Untergruppe schlechthin! Diese ist also stets subnormal.\\
Bew: $\mf{A}^\ast\le\mf{U}\le\mf{A}\to\mf{U}\lhdd\mf{A}$, der Kern $\mf{A}^\ast\le\mf{A}\le\mf{U}$ \& $\mf{A}/\text{~Kern~}$ nilp.\\
$[$Von S. 3 übernommen:$]$\\ Für beliebige Gr. bei Roseblade-Stonehewer, J. Alg. $\underline{8}$ (1968)!
\begin{flushright}
2/3
\end{flushright}
\item[(3)] Sei $\mf{P}$ $p$-Sylowgr $\mf{G}$. Dann ist $\mf{A}^\ast_{\mf{P}}$ $(=\mf{A}\cap\mf{P})$ die größte mit $\mf{B}_\mf{P}$ vertb \\Ugr von $\mf{A}_\mf{P}$.\\
Bew.\begin{itemize}
\item[$\alpha$)] $\mf{A}^\ast\,\mathrm{v}\,\mf{B}\to\mf{A}^\ast_{\mf{P}}\,\mathrm{v}\,\mf{B}_\mf{P}$
\item[$\beta$)] Sei $ \mf{A}^\ast_\mf{P}\le\mf{Q}\le\mf{A}_\mf{P}$, $\mf{A}\,\mathrm{v}\,\mf{G}_\mf{P}$\\
$\mf{Q}^{\cdot\cdot\mf{G}}\,\mathrm{v}\,\mf{B}_\mf{P}^{\cdot\cdot\mf{G}}=p^\mf{B}$\\
$\downarrow~=\mf{R}\,{\unlhd\lhd}\,\mf{A}$\\
da $\mf{R}$ $p\times$ einköpfig, folgt $\mf{R}\,\mathrm{v}\,\mf{B},\mf{R}\le\mf{A}^\ast\to \mf{Q}\le\mf{A}^\ast_{\mf{P}}$
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}
3/4
\end{flushright}
%%%%%%%%%Seite 4
\begin{center}Maximale nilpot. Untergruppen\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Seien $\mf{P}_1\times\mf{Q}_1$, $\mf{P}_2\times\mf{Q}_2$ maximale nilpotente $pq$-Untergr. von $\mf{G}$.
\begin{itemize}
\item[a)] Ist $\mf{P}_1\underset{c}{\le}\mf{P}_2$, so $\mf{Q}_1\underset{c}{\ge}\mf{Q}_2$
\item[b)] Ist $\mf{P}_1\underset{c}{=}\mf{P}_2,$ so $\mf{Q}_1\underset{c}{=}\mf{Q}_2$
\item[c)] Sogar $\mf{P}_1\mf{Q}_1\underset{c}{=}\mf{P}_2\mf{Q}_2$
\end{itemize} 
wobei $c$: bis auf Konjugiertheit in $\mf{G}$\\
Bew:\begin{itemize}
\item[(a)] OBdA $\mf{P}_1\le\mf{P}_2$. $\exists g\in\text{ Zs }\mf{P}_1$:\\
$\langle\mf{Q}_1,\mf{Q}_2^g\rangle q$ - Gp.; wegen $\mf{R}_1\times\mf{Q}_1$ maximal\\
ist $\prime\prime$ $=\mf{Q}_1$~~~~;~~~$\mf{Q}_2^g\le\mf{Q}_1$
\item[(b)] Klar: Vertausche Rolle 1,2.
\item[(c)] Ist sogar $\mf{P}_1\underset{c}{=}\mf{P}_2$, so oBdA $\mf{P}_1=\mf{P}_2$, wie ob $\langle\mf{Q}_1,\mf{Q}_2^g\rangle=\mf{Q}_1$,~~$\mf{Q}_2^g=\mf{Q}_1$, $g\in\text{ Zs }\mf{P}_1$~~$(\mf{P}_2\times\mf{Q}_2)^g=\mf{P}_2^g\times\mf{Q}_2^g=\mf{P}_1\times\mf{Q}_1$
\end{itemize}
\item[(2)] Verallg: Sei $\rho+(p)=\sigma$; $\mf{A}_\rho\times\mf{A}_p$. $\mf{B}_\rho\times\mf{B}_p$ seien max. nil $\sigma$- Gr in $\mf{G}$
\begin{itemize}
\item[a)] Sei $\mf{A}_\rho\underset{c}{\le}\mf{B}_\rho$; dann $\mf{A}_p\underset{c}{\ge}\mf{B}_p$,
\item[b)] aus~~~~~~~$\underset{c}{=}$~~~~~~folgt~~~~$\underset{c}{=}$
\item[c)] und sogar $\mf{A}_\rho\times\mf{A}_p~\underset{c}{=}~\mf{B}_\rho\times\mf{B}_p$
\end{itemize}
\end{itemize}
%%%%%%%%%%Seite 5 ist leer
\begin{flushright}
4/5\\
Seite 5 ist leer\\
5/6
\end{flushright}
%%%%%%%%% Seite 6
\begin{center}Permutationsgruppen;~~~~~~ Zum verallg Satz von Frobenius\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Ist $\mf{G}$ tra und hat $\mf{G}_1$ auf $\Omega-1$ einen intra Normalteiler $\mf{N}_1$, dessen Tragebiete von $\mf{G}_1$ halbregulär permutiert werden, so ex. $\mf{N}\lhd \mf{G}$, $\mf{N}$ tra, $\mf{N}\cap\mf{G}_1=\mf{N}_1$. 
\item[(2)] z.B: es genügt, daß $\mf{N}_1\lhd\mf{G}_1,~~\mf{G}$ $2$-tra, $\mf{G}_1/\mf{N}_1$ nilpotent, $\mf{N}_1$ intra ist, die Nicheinfachheit von $\mf{G}$ zu zeigen.
\item[(3)] $2$-Tra der \underline{PGr vom Grad $p$}, die nicht $\le\mathcal{N}\mf{P}$ sind, folgt leicht so:\\
Ind.: primäre Komplexe konjugiert; die größte $1$-tra Gruppe unter ihnen ist daher $\lhd\langle\mf{G},H\rangle=\mf{K}$, wo $\mathcal{N}\mf{P}=\langle H\rangle$; $\mf{K}$~ $3$-tra, da $>\mathcal{N}\mf{P}$, also $\mf{G}$ $2$-tra.
\end{itemize}
\begin{flushright}
6/7
\end{flushright}
%%%%%%%%%%Seite 7
\begin{center}\underline{Ordnung prim. Gruppen}\end{center}
\underline{Satz:} $\mf{G}$ pri, $Gr=n$, $p^2\big||\mf{G}|$, $p^2>n$ $\Rightarrow\mf{A}_n\le\mf{G}$.\\[0.5cm]
Ind. Bew: Sei $\mf{P}$ eine $p$- Sy Gr $\mf{G}$, $\begin{cases}\phi\mf{P}=\{\text{Fixpkte}\}\\f=|\phi\mf{P}|\end{cases}$
\begin{itemize}
\item[1.] $\mf{G}$ $2$-tra
\item[2.] Min-Grad $\mf{G}\ge\frac{n}{3}-\frac{2\sqrt{n}}{3}$~~~$n=kp,~~k>1$
\item[2a] siehe $25$  (S. 16)
\item[A.] \underline{$f=0$}~~~besser $\mf{P}^\ast$ statt $\mf{P}_1$, ist später dann zu übernehmen
\item[3.] $\mathcal{N}\mf{P}_1$ ist $2$-tra auf $\phi\mf{P}_1$ denn $\mf{P}_1$ ist $p$-Sy Gr $\mf{G}_{12}$
\item[4.] $\mathcal{N}\mf{P}_1\le\mathcal{N}\mf{P}$\\
Ind: Sonst $\mf{P}_1\le\langle\mf{P},\mf{P}^\prime\rangle>\mf{P},\exists H\in\langle\mf{P},\mf{P}^\prime\rangle$ mit $(\text{Ord}H,p)=1$, das lässt jedes $\mf{S}\in T\mf{P}_1$ fest, $TH\le\phi\mf{P}_1=\phi^\ast$ wergen $3$ erzeugt $H$ unter $\mathcal{N}\mf{P}_1$ eine tra Gruppe $\mf{H}$ mit $T\mf{H}=\phi\mf{P}_1$.
\begin{itemize}
\item[a)]Falls $\phi\mf{P}_1\ge\frac{n}{2}$, enth. $\mf{G}$ ein $P$ mit $q\le\frac{p-1}{2}$ Zyklen, da $n\le p(p-1)$; $p\ge2q+1\ge2q-1$ also nach Manning $\big|\phi\mf{P}_1\big|\le4q-4\leqq2p-6$, $n\le4p-12$
\begin{flushright}
7/8
\end{flushright}
%%%%%%%%%%Seite 8
$n=kp$,~~~$k\le4-\frac{12}{p}~~~k\le3$ $\to q=1~\to~k=2~\to~\mf{G}$ $(p+1)$-tra $\to \mf{G}\le\mf{A}_n$. Also 4 bewiesen.
\end{itemize}
\item[5.] $\big|\phi\mf{P}_1\big|=p$ Denn auf $\phi^\ast=\phi\mf{P}_1$ ist $\mf{P}$ halbreg und $\lhd$ $2$ tra
\item[6.] $\mathcal{N}\mf{P}_1$ scharf $2$-tra auf $\phi$, da $\rhd$ Zykl Gr Grd $p$
\item[7.] Kein $G\in\mf{G}$ läßt 1,2 $(\in\phi\mf{P}_1=\phi)$ fest und führt ein $\gamma>1,2~~\gamma\in\phi$, in ein $\delta\in\phi$, $\delta\not=\gamma$ über. Denn sonst gäbe es $(1)(2)(\gamma\delta-)\in\mathcal{N}\mf{P}_1$
\item[$[$8.] Kein $G\in \mf{G}_{12}$ führt $\gamma,\delta\in\phi$ in das gleiche Transgebiet von $\mf{P}_1$ über.\\
\begin{picture}(0,0)\put(-70,5){unnötig}\end{picture}sonst $\exists:GP^\nu,G^{-1}=(1)(2)(\gamma\delta\ldots)$ trotz 7$\,]$
\item[9.] $\mf{G}_{12}\ni G$, $G\not=1$ auf $\phi$
\begin{flushright}
8/9
\end{flushright}
%%%%%%%%%% Seite 9
sonst sind $2,\ldots,p=\phi-\{1\}$ ein Impr Block $\Delta$ für $\mf{G}_1$. Wähle $\mf{P}_1^{G_1}$ sodaß dies $2$ nichts fest lässt. $\mf{P}_1^{G_1}$ vertauscht dann jede Ziffer in $\phi-\{1\}$. $G_1$ bringt also lauter rechte Ziffern $\delta_r~(>p)$ nach $\phi-1$. Ein Zyklus $c$ in $\mf{P}_1$, der so eine Ziff. enthält, enth keine zweite, da sonst $\Delta\cap\{\text{ Träg }C\}^{G_1}$ ein Block für $C^{G_1}$ da $\not=\text{ Träg }C_1^{G_1}$ ist. Also jeder Zykel von $\mf{P}_1$ enthlt höchstens \underline{eine} $\delta_r$, daher $k-1\ge\text{ Aut }\delta_r=p-1~~k\ge p$ W!
\item[10.] Das $G$ von $9$ macht $\mf{P}_1^{G^{-1}}\le\mf{G}_{12}$ und $\phi\langle\mf{P}_1,\mf{P}_1^{G^{-1}}\rangle<\phi\mf{P}_1=\phi^\ast$
\item[11.] Sei $\mf{Q}$ das Erzeugnis aller $\mf{P}_1^H\le\mf{G}_2$; Dann ist $\mathcal{N}\mf{Q}$ $2$-tra auf $\phi\mf{Q}$\\
daher~~~~$\mathcal{N}\mf{P}_1$ $2$-tra auf $\phi\mf{Q}$\\
Die Gruppe  der Ord. $p(p-1)$ von $\mathcal{N}\mf{P}_1$ auf $\phi$ hat also eine intra Ugr mit einem $2$-tra- Konstituenten auf $\phi\mathfrak{Q}$. Da die intra Ugr alle zyklisch sind, ist $\big|\phi \mf{Q}\big|=2$, dh $\mf{Q}$ hat keinen Fixpunkt $\not=1,2$. Also liegt jedes $\lambda=2,-,p$ in einem Tragebiet von $\mf{Q}$, das die Lge $\ge p$ hat und daher auch rechte Ziffern $(>p)$ enthält.
\begin{flushright}
9/10
\end{flushright}
%%%%%%%%%%Seite 10
\item[12.] Kein Tragebiet von $\mf{Q}$ enthält $2$ der Ziffern $\ldots3,-,p\ldots$. Denn der zugehör. tra Konstituent ergäbe in $\mathcal{N}\mf{P}_1$ eine UGr mit tra Konst $\not=1$ auf $\{3-p\},\le \mf{G}_{12}$, trotz 7.
\item[13.] Also enthält $\mf{Q}\ge p-2$ Tra Gebiete mit Längen 
\begin{eqnarray*}
&\ge&p+1\\
p^2-p-2&\ge&n-2\ge(p+1)(p-2)\\
\text{daher}&=&~~~~~~=
\end{eqnarray*}
\item[14.] $\mf{Q}$ enthält $p-2$ Tra Geb d Lge $p+1$. $n=(p-2)(p+1)+2=p^2-p$
\item[15.] $\mf{G}_1$ ist pri\\
Sonst hat ein Block $\Delta\ni2$ die Länge $1+x(p+1)\bigg|p^2-p-1$\\
Die Zahl der konj Blöcke ist $\frac{p^2-p-1}{1+x(p+1)}=y$ ganz;  $y<\frac{p^2-p}{p-1}=p~~~y\equiv1~~~~(p+1)$, $y=1$
\item[16.] $\mf{G}_1$ $2$-tra, $\mf{G}$ $3$ tra;  14,15 \& Manning 17.7 S. 42
\item[17.] $\mathcal{N}\mf{P}_1$ $3$-tra $\phi$ trotz $6$ W!.
\begin{flushright}
10/11
\end{flushright}
%%%%%%%%%%Seite 11
Also: Es ist (gilt)
\item[B.] \underline{$f>0$}
\item[18.]\underline{Vor: $f=1$} Sei jetzt $\mf{P}$ eine $p$-Sy, die $2$ fest läßt. $\mf{P}_1$ ist $p$-Sy $\mf{G}_{12}$, also $\mathcal{N}\mf{P}_1$ $2$-tra $\phi=\phi\mf{P}_1$. $\mf{P}_1$ (besser $\mf{P}^\ast$ statt $\mf{P}_1$) liegt in zwei versch $p$-Sy Gr; $\mf{P}$, $\mf{P}^G\le\mf{G}_1$ also $\exists H\in\langle\mf{P},\mf{P}^G\rangle$, $(\text{Ord}H,p)=1$. H lässt jedes $t\in T\mf{P}_1$ fest, wegen $2$-Tra von $\mathcal{N}\mf{P}_1$ gibt es tra Gr $\mf{H}\le(H)^{\mathcal{N}\mf{P}_1}$ auf $\phi$. Es ist $\big|\phi\big|<\frac{n}{2}$ wie in 4a also $\mf{G}\ge \mf{A}_n$ Marggraf[f].
\item[18a.] $f\ge1$ $\to$ die Gruppe $\mf{H}$ der $H\in g$ mit $T\mf{P}^\ast\subseteq\phi\mf{H}$ ist $\not=1$, aber intransitiv auf $T\mf{H}$.\\
\texttt{22 hierher}
\item[C.]\underline{$f\geqq2$}
Sei wieder $\mf{P}^\ast$ eine Ugr vom Index $p$ in $\mf{P}$, die kleineren Träger hat.
\item[19.] Zu $\alpha\not=\beta\in\phi^\ast=\phi\mf{P}^\ast$ gibts $K\in\mf{G}$: $\alpha^K$, $\beta^K \in\phi$, $K$ zentralisiert jeden in $\mf{P}^\ast$ auftret. Zyklus.\\
Bew: Wähle $G\in \mf{G}$, $\alpha\to1~~~\beta=2,~C\phi=\{1,2,\ldots\}^C$~~~$\exists~G_{12}:~~\mf{P}^{\ast G\,G_{12}}\le\mf{P}$\\
Das System der Zyklen $C_1\ldots C_m$, die in $\mf{P}^\ast$ auftreten, wird also durch $GG_{12}$ in ein ebenfalls von $\mf{P}$ zentralisiertes Zyklensystem überführt.  Also gibt es $N\in\mathcal{N}\mf{P}$: $C_r^{GG_{12}N}=C_\mu$ Setze $GG_{12}N=K$:\\
$\alpha^K=1^N\in\phi$~~~$\beta^N=2^N\in\phi,~~C_\mu^K=C_\mu$
\begin{flushright}
11/12
\end{flushright}
%%%%%%%%%%% Seite 12
\item[D.]\underline{$f=2$}
\item[20.] Dann $\mathcal{N}\mf{P}^\ast$ $2$-tra $\phi^\ast$~~~$\mathcal{N}\mf{P}^\ast$ pri $\phi^\ast$ also wie $B$ folgt Wid!
\item[E.]\underline{$f=3$}
\item[21.]\begin{itemize}
\item[a)] $|T\mf{H}\cap\phi|\ge2$ Genauer: Es gibt $2$ Ziffern in $\phi$, die im gleichen Transgebiet $\mf{H}$ liegen. dann $H$-$(\alpha\beta\ldots)\in\mf{H}$
\[
19:~\exists~~K=\begin{pmatrix}\alpha&\beta&\ldots\\\rho&\sigma&\ldots\end{pmatrix}~~~\rho,\sigma\in\phi
\]
$\mf{H}^K=\mf{H}$~~~~$\exists~H_1\in\mf{H},~~H_1=(\rho\,\sigma~~~)$ Sei etwa $1,2$ im selben Tragebiet von $\mf{H}$
\item[b)] Es gibt in $\phi$ zwei Ziffern, die in versch Tragebieten des Trägers von $\mf{H}$ liegen.\\
Bew: $\mf{H}$ ist intra auf $T\mf{H}$ nach 18a. Seien $\alpha,\beta$ in verschiedenen Tragebieten\\
$19^\prime$. $\exists~M\in\mf{H}$, $\alpha^H\in\mf{H}$,~~$\alpha^H,\beta^H\in\phi$.
\item[b$^\prime$)] also 3 nicht im selben Tragebiet von $\mf{H}$ wie $1,2$.
\begin{flushright}
12/13
\end{flushright}
%%%%%%% Seite 13
\item[c)] $\mf{H}$ hat keinen Fixpunkt in $\phi^\ast$. Wäre $\alpha$ einer, $\beta$ keiner, so $\alpha^M\beta^M\in\phi$~~~$\alpha^H$ Fixpunkt $\mf{H}$ in $\phi$ trotz $b,a$.
\item[d)] $\mf{K}$ tra $\phi^\ast$ Es genügt zu zeigen: Sind $\alpha\beta\in\phi^\ast$, so $\exists~K:\alpha^K\in\{1,2\}$ denn $\beta,2$ sind im selben Tragebiet sogar von $\mf{H}$. Wähle $\beta=\alpha^H\not=\alpha$ das geht: $2$; Wähle $K:\alpha^K,\beta^K\in\phi$. Da im selben Transgebiet von $\mf{H}$, ist $\alpha^K\in\{1,2\}$
\end{itemize}
\item[22] Nie ist bei $f>1$ $\mf{K}$ tra, dh $\mathcal{N}\mf{R}^\ast$ tra $\phi^\ast$\\
Bew: $\mf{K}$ hat auf $T\phi^\ast$ die Ordnung $p^\alpha$, und $|\phi^\ast|\not\equiv0~(\mf{p})$, denn wegen $f>1$ ist $p\nmid n$. Also ist $\mf{H}$, da $|\mf{K}:\mf{H}|=p^\alpha$, tra auf $\phi^\ast$ wenn $\mf{K}$ es ist, trotz 18a
\begin{flushright}
13/14
\end{flushright}
%%%%%%%% Seite 14
\item[23] Die Untergruppen $\mf{P}_1,\dots,\mf{P}_t$ vom Index $p$ in $\mf{P}_j$, die kleineren Grad als $\mf{P}$ haben, werden von $\mathcal{N}\mf{P}$ \underline{transitiv} permutiert. (Wird vielleicht nicht gebraucht, Beweis lang, bis S.16.)\\
Bew. Unten
\item[24.] Sind $\alpha,\beta\in\phi\mf{P}_2$, so $\exists~K\in\mf{K}_\vee$ ($=\cap$ Zentr der Zyklen von $\mf{P}_\nu$) mit $\alpha^K,\beta^K\in\phi$. Bew wie 19
\item[24a.] Ferner gibts $K\in\mf{K}_2:K=(\rho\sigma\ldots)$~~~$\rho,\sigma\in\phi$
\item[Bew 23:] Ist $\Delta$ die Gesamtheit der Zyklen, die in jedem $\mf{P}_1^N$ ($N\in\mf{N}=\mathcal{N}\mf{P}$) auftreten, so ist $\Delta\not=\varnothing$, wenn $\mf{N}$ intra auf  $\{\mf{P}_1,\dots,\mf{P}_t\}$, und $\mf{V}=\mf{K}_1^\mf{N}$ zentralisiert jeden Zyklus in $\Delta$ und ist tra (nach 24) auf $\Omega-\Delta$, da jedes $\alpha\in\Omega-\Delta$ 
\begin{flushright}
14/15
\end{flushright}
%%%%% Seite 15
nach $\phi$ gebracht werden kann und die Durchschnitte der Tragebiete von $\mf{V}$ mit $\phi$ ein unter der $2$-tra Gruppe $\mf{N}/\phi$ invariante System mit Lgen $>1$ nach 24a bilden, also nur aus \underline{einem} Tra System bestehen. Aus der Transitivität von $\mf{V}$ auf $\Omega-\Delta$ folgt, da $\mf{V}$ auf $\Delta$ $\text{Ord}~p^\alpha$ hat und $(|\Omega-\Delta|,p)=1$: $\mf{V}$ tra $\Omega-\Delta$. $\mf{V}$ hat eine Ugr, die auf $\phi^\Delta$ tra ist, nämlich was vom $\mathcal{N}\mf{P}\cap\mf{V}.\mf{P}$ übrig bleibt wenn man die Konstit. auf $\Delta$ wegdividiert. $\mf{V}\mf{P}$ enthält ein $p$- Element, $P$  das $\lambda, 1\le\lambda\le\ell$ ($\ell=$ Anz der Zyklen von $\mf{P}$ auf $\Omega-\Delta$) Ziffern aus $\phi$ heraus nach $\Omega-\Delta$ bringt, denn kein $p$-Zyklus in $\mf{V}\mf{P}$ kann ganz in $\phi$ liegen, wegen $\mathcal{N}\mf{P}$. $\mf{V}$ enthält dann ein $p$-freies $a$. Ebenso wie $\mf{V}$ gibts ein $\mf{W}$ zu einem anderen Tra System von $\mf{P}$ auf $\{\mf{P}_1\dots,\mf{P}_t\}$ mit derselben Eigenschaft. Auch $\mf{W}$ enthält auf $\phi$ eine tra Ugr $\mf{W}^\prime$.\\ 
$\mf{W}_0\langle\mf{P}\rangle=\mf{W}^\prime_0\langle\mf{P}\rangle$, $f>1$ vom Grad $f+\ell$ und \underline{transitiv}. Denn
\item[24.\begin{picture}(0,0)\put(-70,0){genauer}\put(-70,-12){26}\end{picture}]Die Kommutatorgr zweier tra Gruppen, deren Träger etwas gemein haben, aber sich nicht enthalten ist tra auf der Vereinigg der Träger.
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15/16
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%%%%%%%%%%% Seite 16
Forts. Bew 23.\\
OBdA ist $\ell\le\frac{k}{2}$, daher $\ell\le\frac{n-f}{2p}$\\
Ferner ist nach Marggraf[f] Gr $\mf{W}^\prime_0\mf{W}^{\prime{p}}$~~$\frac{n}{2}\le$ Gr $\leqq \ell+f$. Also $f+\ell>\frac{n}{2}\to f+p>\frac{n}{2}\to f+kp>\frac{n}{2}$ wenn $\mf{P}_1k_1p$ zusätzliche Fixpunkte hat, dh Gr $\mf{P}_1<\frac{n}{2}$. Geht nicht.
\item[(25)] $\mf{G}$ enthält kein $p$-Element mit Grad $\le\frac{n}{2}$ nach Manning, denn das gibt $q\le\frac{n}{2p}<\frac{p}{2}$.   $[$ unnötig; siehe 27 $]$
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%%%%%%%%%%% Seite 17
\begin{center}\underline{Hilfssatz über Kommutatoren in $P$ Gr-}\end{center}
\item[(26)] Sei $\mf{T}$ eine transitive Gruppe auf ihrem Träger $T$, und $Q$ eine Permut, die eine Ziffer von $T$ fest läßt, aber nicht $T$ als Ganzes. Dann ist die Gruppe $\langle(T_1\circ Q)^{T_n}\rangle_{T_i\in\mf{T}}$ tra auf ihrem Träger $T\cup T^Q$.\\
Bew: Ist $\nu$ eine neue Ziffer, dh $\nu=\tau^Q,~\tau\in T,~\nu\not=T$, und $\alpha^Q=\alpha,~\alpha\in T$, so exist $G\in\mf{T}$: $G=(\alpha\tau\dots)$
\begin{align*}
G\circ Q=G^{-1}&Q^{-1}GQ\\
&=(\tau\alpha\dots)(\alpha\nu\dots)\\
&=(\tau\nu\dots)\\
(G\circ Q)^{T_2}&=(\tau^{T_2}\nu\cdots)
\end{align*}
 also v mit allen $\tau\in T$ verbunden, daher alle $\tau$ miteinander verbunden, alles verbunden.\\
Frage: Verallgem auf $\mf{T}$ und mehreren tra Konstituenten: S. 23
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%%%%%%%%%%%% Seite 18
\begin{center}\underline{Fortsetzung D: $f\ge2$}\end{center}
\item[27.] $\mf{Z}=Zs~\mf{P}\ni Q:(|Q|,p)=1$, $Q=1$ auf $\Omega-\phi^\ast$.\\
Bew: $\mf{P}^\ast=\mf{P}_\alpha,~~~~\alpha\not\in\phi$.\\
Die Gr $\mf{K}$, die jeden Zykl von $\mf{P}^\ast$ zentral, enthält zu $\alpha,\beta\in\phi^\ast$ stets ein $K$ mit $\alpha^K,\beta^K\in\phi$ ~~~~(19)\\
Mit einem solchen $K$ transformiere das El. $b_1\notin\mf{P}^\ast,~h\in\mf{P}$. Dann erhält man ein $P\in\mf{K}$, $P=(\rho\sigma\dots)\dots$ $\rho,\sigma\in\phi$\\
Also gibts in $\mf{K}\cap\mathcal{N}\mf{P}$ ein $Q=(\rho\sigma\dots)\dots$ und da $Q$ keinen $p$-Zyklus auf $\phi$ enthält (er würde zu Vergröß. von $\mathcal{N}\mf{P}$ führen), gilt durch Potenz. mit $p$:\\
$\exists ~R\in\mf{K},~~~R=(\rho^\prime\sigma^\prime\dots)\dots\rho^\prime,\sigma^\prime\in\phi$ $(\text{Ord}R,p)=1$. Dieses $R$ zentalisiert $\mf{P}$, sonst gäbe es $p$- El des Grades $\phi^\ast-\phi$, also auch des Grades $<\frac{n}{2}$ (notfalls durch wegdividieren des Stücks in $\phi^\ast-\phi$). Aus $(|R|,p)=1$, $R\in\mf{K}$ folgt $R\big|_{\Omega-\phi^\ast}=1$
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18/19
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%%%%%%%%%%%%% Seite 19
\item[28.] $\mf{Z}$ ist tra auf $\phi$ denn $\phi\mf{Z}=\phi$, $\mf{Z}\lhd\mathcal{N}\mf{P}$, $\mathcal{N}\mathfrak{P}$ $2$-tra $\phi$.
\item[29.] $\mf{Z}\ni S$: $S=1$ auf $\Omega-\phi^\ast$, $S$ versetzt eine vorgeschriebene Ziffer $\alpha\in\phi$\\
Bew: $R^Z$ tut das, wo $R$ nach 27, $Z$ passend in $\mf{Z}$ nach 28.
\item[30.] Die Gruppe $\mf{H}$, die auf $\Omega-\phi^\ast=1$ ist, enthält ein $H$, das $\ge1,\le l$ Ziffern aus $\phi^\ast-\phi$ nach $\phi$ bringt; dabei $l=\frac{\phi^\ast-\phi}{p}$.\\
Bew: Wähle $K\in\mf{K}:\phi^K\not=\phi$, $K$ führt möglichst wenig Ziffern $(\mu)$ aus $\phi^\ast-\phi$ nach $\phi$. Wähle $P\in\mf{P}-\mf{P}^\ast$; $p^K$ versetzt $\ge1$, höchstens $\mu$ Ziffern aus $\phi$, kein Zykl $P^K$ liegt ganz in $\phi$, also führt $P^K$ genau $\mu$ Ziffern aus $\phi^\ast-\phi$ nach $\phi$. Also $\mu\le l$ ;$P^K$ kann durch ein Produkt von $p$-freien Elementen von $P^K\in\mf{K}$, dh durch ein $H\in\mf{H}$, in $\mf{P}$ zurück transformiert werden. $H$ führt also $\mu$ Ziff. von $\phi^\ast-\phi$ nach $\phi$.
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19/20
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%%%%%%%%%%%%%%% Seite 20
\item[31.] $\mf{G}\ni M\not=1$, Gr $M\le3l$\\
Nimm nach 30 in $\mf{H}$ ein El $H$, das in $\Omega-\phi^\ast=1$ ist und nach 30 $\le l$ Ziff aus $\phi^\ast-\phi$ nach $\phi$ bringt, eine darunter etwa $\phi$ erreicht. Nimm zu einem anderen $\mf{P}_2$ ($\not=\mf{P}^\ast$) nach 29 ein $S\in\mf{Z}=Z\mf{P}$, das $\varphi$ bewegt und auf $\Omega-\phi_2=1$ ist (insb. auf $\phi^\ast-\phi$). $S$ hat mit $M$ höchstens $l$ Ziffern gemein: $M=S\circ H\not=1$ hat Grad $\le3l$. Allgemein gilt:
\item[32.] In $2$-tra $\mf{G}\ngeqslant \mf{A}_n$ des Grades $n$ ist Min Grad $\ge\frac{n}{6}$\\
Bew:\begin{itemize}
\item[1:]$n\le24$ klar
\item[2:]$n\ge25$: $m\ge\frac{n}{3}-\frac{2\sqrt{n}}{3}\ge\frac{n}{3}-\frac{2n}{3\cdot 5}=\frac{n}{5}\geqq\frac{n}{6}$.
\end{itemize}
\item[$32^\prime$:] NB: Wahrscheinlich sogar $m\ge\frac{n}{5}$\\
ja: Min Grad $4~~\to~~~n\le 7$ (S\'{e}guier S. 58)
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20/21
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%%%%%%%%%%% Seite 21
\item[33.] $n\ge3l_p$ wenn $l$ minimimal gewählt nach 30\\
denn es gibt mind. 3 gekoppelte Ziffernsysteme in $\mf{P}$, sonst gibts $P^\prime$ Gr $<\frac{n}{2}$
\item[34.] \underline{Endwiderspruch:}
\begin{itemize}
\item[(33)] $3l_p\le n\underset{\to~32}{\le}6\underset{\to\text{ min Gr.}}{m}\le18l$\\
$p\le6$~~~~$p\le5$~~~~~$k\le4$~~~~~$l\le\frac{4}{3}$~~~~$l=1$\\
Nach 31 $\exists$ $M\in\mf{G}$,  Gr $M\le3~~:~~\mf{G}\ge\mf{A}_n$
\end{itemize}
\end{itemize}
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%%%%%%%%%%%% Seite 22
\begin{center}\underline{Pri. Perm-Gr: Konstit von $\mf{G}_1$}\end{center}
$\mf{G}$ sei prim.
\begin{itemize}
\item[(1)] Hat eine $p$-Sy-Gr. $\mf{P}_1$ von $\mf{G}_1$ $k$ Konstituenten $\not=I$, so hat $\mf{G}_1$ höchstens $k$ Konstituenten $\mf{T}_\nu$ '',\\
Denn jedes $\mf{T}_\nu$ enthält einen Konst von $\mf{P}_1$ $=$ Korollar zum Satz: $p\big||\mf{G}_1|\to p\big||\mf{T}_\nu|$.\\
$=$ Sonderfall der allg Vermutung über Anzahl der Tra Konst $\mf{G}_1$ und von $\mf{H}\subset \mf{G}_1\ldots$ 
\end{itemize}
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22/23
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%%%%%%%%%%%%% Seite 23
\begin{center}\underline{Transitivität von Kommutatorgruppen}\end{center}
\begin{itemize}
\item[(i)] $\mf{A}$ habe die tra Konst $\mf{A}_i$\\
$\mf{B}$~~~~~~~~$\prime\prime$~~~~~~~$\mf{B}_k$.\\
Jedes $\mf{A}_i$ bewege eine  Ziffer, die bei $\mf{B}$ fest\\
~~$\prime\prime$~~$\mf{B}_k$~~~~~~$\prime\prime$~~~~~~~~$\mf{A}$~~~~~.\\
Dann hat $\mf{A}\circ\mf{B}$ dieselben Transitivitätsgebiete wie $\langle\mf{A}^\prime,\mf{B}^\prime\rangle$,  wo $\mf{A}^\prime$ aus $\mf{A}$ durch Fortlassen derjenigen Konstituenten besteht, die nur Fixpunkte von $\mf{B}$ enthalten; entspr. $\mf{B}$.\\
Bew: Sei $\{a_1,\dots,a_m\}=$ Trä $\mf{A}_1$, $a_1\in\phi\mf{B}$. Sei $a_m$ ein Nichtfixpkt von $\mf{B}$, $a_m$ trete in $\mf{B}_1$ auf; $\mf{B}_1$ enthält $b_1$ fix bei $a$. $\mf{A}B\ni(a_1b_1)$ $a\ni(a_1a_m\dots)$; $\mf{B}\ni(a_mb_1\cdots)$. $\mf{K}=\mf{A}\circ\mf{B}$ enthält $(b_1a_m\cdots)$ $\mf{A}\ni(a_ma_\mu\ldots)\mf{K}\ni(b_1a_\mu\ldots)$; $\mf{K}\ni(b_1a_\lambda\ldots)$~~~$\mf{K}\ni(a_\lambda a_\mu)$\\
$\mf{K}$ verbindet alle Ziffern im Träger $\mf{A}_1$ miteinander, ebenso im Trä $\mf{A}_i$, Trä $\mf{B}_K$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
23/24
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%%%%%%%%%%%% Seite 24
\begin{itemize}
\item[(1)] \underline{Subnormale Ugr von pri Gruppen} versetzen \underline{alle} oder keine Ziffer.\\
Bew für einfaches $\mf{A}:\mf{A}^\prime\not=1\to\mf{A}^\mf{G}$ tra~~~$\mf{A}^\prime=1\to\mf{A}^\mf{G}=\mf{P}$, Ztr $\mf{P}$ tra, $\mathcal{N}\mf{A}$ tra\\
\underline{Unauflösbare intransitive Ugr von Perm Gr.}
\item[(2)] $\mf{H}$ unauflösbarer, $\mf{H}_0$ perfekter Kern, $\mf{H}\le\mf{G}_1$, $\mf{H}$ hat $\le k$ Transgebiete und ist mit diesen Eigensch maximal in $\mf{G}\to$ Gr $\mf{H}>\frac{n}{2}  (n=\text{ Gr }\mf{G})$\\
Bew: $\mf{H}_0\unlhdd \mf{G}$ (1) also  $\mf{H}_0$ nicht vtb mit pass. $\mf{H}_0^G$. Wähle das so, daß Gr $\mf{K}=$ min; hätte $\mf{K}\langle\mf{H},\mf{H}^G\rangle$ mehr Tragebiete als $\mf{H}$, so wäre $\mf{H}_0$ mit jedem $\mf{H}_0^K$ vtb, $\mf{H}_0\lhdd\mf{K}$, denn $\mf{H}_0^G\lhdd\mf{K}$, also wegen Perfektheit $\mf{H}_0\,\mathrm{v}\,\mf{H}_0^G$; Also $\mf{K}$ hat $\le k$ Tragebiete: also hat $\mf{K}$ keinen Fixpkt, Gr $\mf{H}>\frac{n}{2}$
\begin{flushright}
24/25
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%%%%%%%%% Seite 25
\item[(3)] Sei $n\not=p^\alpha$, $\mf{H}$ max mit $\phi\mf{H}\not=\emptyset$, $\mf{H}$ hat $\le k$ Tragebiete, $\mf{H}$ nicht nilpotent. Dann Gr $\mf{H}\ge\frac{n}{2}$\\
Bew: $\mf{H}$ ist auflösbar (2)  $\mf{K}=\mf{H}^\nu$ $\mf{K}$ ist nicht $\lhdd\mf{G}$ Wegen $n\not=p^\alpha$ (1) $\mf{K}\psi\mf{K}^\prime=\mf{K}^X$. $\mf{H}$ nicht $\vee\mf{H}^\prime=\mf{H}^x$\\
Wähle $\mf{H}^\prime$ so daß $\mf{K}\psi\mf{K}^\prime$, Gr $\langle\mf{H},\mf{H}^\prime\rangle$ min\\hätte $\mf{H}$ neues Tra-Gebiet (fremd zu Trä $\mf{H}$), so $\mf{K}$ vtb mit allen $\mf{K}\langle\mf{H},\mf{H}^\prime\rangle$\\$\mf{K}\lhdd\langle\mf{H}\mf{H}^\prime\rangle$\\[0.4cm]
(Das ist der Satz (Deskins-Adney), der subnormale Kern einer max Ugr ist normal.)
\end{itemize}
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25/26
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%%%%%%%%%%%%%%%%%Seite 26
\underline{Krit. für $\mf{A}\lhdd\mf{G}$}
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $\mf{A}\le\mf{B}\le\mf{G}$, $\forall X,Y\in\mf{G}~\mf{A}^X\,\mathrm{v}\,\mf{B}^Y$ Dann ist $\mf{A}^{\cdot\cdot\mf{B}}=\mf{A}^{\cdot\cdot\mf{G}}$.
\begin{itemize}
\item[I.] $\mf{B}=\mf{G}$ trivial
\item[II] $\mf{B}<\mf{G}$. Nach Kegel ist $\mf{A}^\mf{G}<\mf{G}$ oder $\mf{B}^\mf{G}<\mf{G}$, also $\mf{A}^g=\mf{G}^\prime\lhd\mf{G}$ $\mf{B}^\prime:=\mf{B}\cap \mf{G}^\prime$~~~$\mf{A}^\prime\le\mf{B}^\prime\le\mf{G}^\prime$~~~$\mf{A}^{\prime{X}}\,\mathrm{v}\,\mf{B}^{\prime Y}$ $\boxed{\to\text{ S.3\,}}$\\
$\mf{A}^\prime\le\mf{B}^\prime\unlhd\mf{B}$,  $\mf{A}^{\cdot\cdot\mf{G}}=\mf{A}^{\cdot\cdot \mf{G}^\prime}\underset{\text{Ind.}}{=}\mf{A}^{\cdot\cdot\mf{B}^\prime}=\mf{A}^{\cdot\cdot\mf{B}}$
\end{itemize}
Folge :
\item[Satz~(2)]\underline{$\mf{A}\lhdd\mf{B}\le\mf{G},~~~\mf{A}^X\,\mathrm{v}\,\mf{B}^Y\Rightarrow\mf{A}\lhdd\mf{G}$}
\item[(3)] $\mf{A}\,\mathrm{v}\,\mf{B}$, $\mf{B}\le \mf{G}^\prime\to\mf{A}^\prime\,\mathrm{v}\,\mf{B}$, wo $\mf{A}^\prime=\mf{A}\cap \mf{G}^\prime$.
\item[(4)] $\mf{A}\le\mf{B}\le\mf{G}~\underset{X}{\forall}~\mf{A}^X\,\mathrm{v}\,\mf{B}\to \underset{X}{\forall}~\mf{A}^X\,\mathrm{v}\,\mf{A}^{\cdot\cdot\mf{B}}$ \& ist $\mf{A}\lhdd\mf{B}$, so $\mf{A}^X\,\mathrm{v}\,\mf{A}$.\\
Beweis 1
\end{itemize}
\begin{flushright}
26/27
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%%%%%%%%%%%% Seite 27
Fragen: $\mf{A}\lhdd \mf{G}$~~Vor $\mf{A}\le\mf{G}$
\begin{itemize}
\item[(1)] Wenn für alle $X\in\mf{G}$  $\mf{A}\lhdd\langle\mf{A},\mf{A}^X\rangle$ ist, ist dann $\mf{A}\lhdd\mf{G}$?
\item[(2)] Es genügt, das für $|\mf{A}|=p$ zu beweisen. Denn wenn $\mf{A}$ einf, zusammengesetzte Ordng, so $\mf{A}\,\mathrm{v}\,\mf{A}^X\to\mf{A}\lhdd \mf{G}$.\\
Und wenn $\mf{A}$ zusammengesetzt, $\mf{B}\lhd\mf{A}$, min, so (Indukt) $\mf{B}\lhdd\mf{G}$, $\mf{B}^\mf{G}=\mf{N}\lhd\mf{G}$. Ist $\mf{B}$ nichtabelsch, so $\mf{B}\lhd\mf{N}$, und da jedes $\mf{A}^X$ ein $\mf{A}^N$ ist, ist das Erzeugnis $\mf{F}$ aller zu $\mf{B}$ isom. Füße von $\mf{A}$ normal unter $\mf{G}$ (Indukt: $\mf{G}/\mf{F}$) da oBdA $\mf{G}=\mf{A}\mf{F}$. Ist $\mf{B}$ abelsch, wieder $\mf{G}=\mf{A}\mf{F}$ angenommen, so sei $\mf{M}$ ein min $\mathcal{N}T$ von $\mf{G}$ in $\mf{F}$\\
$\mf{M}^\prime=1$ oBdA $\mf{A}\mf{M}=\mf{G}$. $\mf{K}=\langle\mf{A},\mf{A}^X\rangle>\mf{A}$, also $\mf{K}\cap\mf{M}=\mf{B}>1$~~$\mf{B}\lhd\mf{K}$, jedes $\mf{K}^Y=\mf{N}^M$, $\mf{B}\le\langle\mf{A}^Y,\mf{A}^{XY}\rangle=\mf{G}~~X,Y$ OBdA also $\mf{B}=\mf{M}$, d.h. $\langle\mf{A},\mf{A}^X\rangle\ge\langle\mf{A},\mf{M}\rangle=\mf{G}$. Nach Vor. $\mf{A}\lhdd(\mf{A}\mf{A}^X)=\mf{G}$.\\[4mm]
Also bleibt die Frage
\item[(3)] Erzeugt eine Klasse konj. El. schon dann eine $p$-Gruppe, wenn je zwei ihrer El. das tun?
\end{itemize}
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27/28
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%%%%%%%%%%%%% Seite 28
\textsl{[Die Seiten 28 und 29 sind rot durchgestrichen.]
\begin{center}\underline{Untergruppen mit wenig Tra-Gebieten}\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $\mf{A}^{\cdot\cdot\mf{G}}$ hat höchstens so viele nichttriviale Transitivitätsgebiete wie $\mf{A}$. Die nilpotenten Konstituenten von $\mf{A}^{\cdot\cdot\mf{G}}$ sind schon solche von $\mf{A}$.\\
Bew: $\mf{A}^{\cdot\cdot\mf{G}}=\mf{B}$~~~$\mf{B}=\mf{A}^\mf{B}$ also hat $\mf{B}$ kein Tragebiet in dem $\mf{A}=1$ und jedes Tragebiet von $\mf{A}$ ist in einem von $\mf{B}$ enthalten. Ist $\mf{B}^\Gamma$ nilpot, or $(\mf{A}^\Gamma)^{\mf{B}^\Gamma}=\mf{B}^\Gamma$, also $\mf{A}^\Gamma=\mf{B}^\Gamma$.\\
\anmerk die nilp Konst von $\mf{A}$ werden nur weniger
\item[Satz (2)] Sei $\mf{G}$ pri; Gr= $n$; $\mf{H}<\mf{G}$; $\mf{H}$ maximal so, daß $\mf{H}\le k$ Tragebiete hat und eine Ziffer fest läßt. Dann Grad $\mf{H}>\frac{n}{2}$, oder $\mf{H}$ ist $p$-Gr., $\mf{H}\lhdd \mf{G}_\alpha$ für jedes $\mf{G}_\alpha\ge\mf{H}$.
\begin{itemize}
\item[A.] Bew: Sei Gr $\mf{H}\le\frac{n}{2}$
\begin{itemize}
\item[(a)]\underline{$\mf{H}\,{\unlhd\unlhd}\,\langle\mf{H},\mf{H}^G\rangle=\mf{K}$} (Bew: $\mf{K}\le\mf{G}_\alpha$\\
Nach (i) ist $\mf{H}\lhdd\mf{G}_\alpha$;~~$\mf{H}\lhdd\mf{K}$, ebenso $\mf{H}^X\lhdd\mf{K}$
\item[(b)]für jedes $G\in \mf{G}$ und $\mf{A}\lhdd\mf{H}$ ist $\mf{A}\lhdd\langle\mf{A},\mf{a}^X\rangle$, denn\\ $\mf{A}\lhdd\mf{H}\lhdd\langle\mf{H},\mf{H}^X\rangle$.
\begin{flushright}
28/29
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%%%%%%%%%% Seite 29
\item[(c)]$\mf{H}$ auflösbar! Bew 24(1)~~~Sonst perfekter Kern $\mf{A}$ mit allen $\mf{A}^X$ vtb, also $\mf{A}\lhdd \mf{G}$ trotz
\item[(d)]$\mf{H}$ nilpotent.\\
Sonst $\mf{A}=\mf{H}^\nu$ mit allen Konj vtb., $\mf{A}\lhdd\mf{G}$. Min subnormale Ugr $\mf{M}$ von $\mf{A}$ erzeugt $p$-Normalteiler $\mf{P}$ von $\mf{G}$, $\mf{P}_1\not=E$. $\mf{Z}=$ Ztr $\mf{P}\not=$ tra, da ''  $\to$ Wid zu $\mf{G}$ pri
\item[(e)]$\mf{H}$ ist eine $p$-Gruppe\\
Sonst $\sigma\mf{P}$, $\mf{A}$ eine\\$\begin{smallmatrix}n\\2\end{smallmatrix}$-Sy Gr $\mf{H}$. $\mf{P}^Y$ zentralisiert $q^X$, da $\mf{P}^Y\lhd\mf{H}^Y\lhdd\langle\mf{H}^Y\mf{H}^X\rangle$, desgl $\mf{Q}^X\lhdd\cdots$\\
$\mf{P}^\mf{Q}$ zentral $\mf{Q}^\mf{G}$  $\mf{P}^\mf{G}$ tra, $\mf{Q}$ hat Fixpkt $\mf{Q}=1$.
\end{itemize}
\item[B.] Sei jetzt $\mf{H}$ nicht auflösbar (also Gr $\mf{H}>\frac{n}{2}$)
\begin{itemize}
\item[Forts: (f)] Versetzt $\mf{H}$ eine Ziffer in Transgebiet $\Gamma$ von $g_\mf{G}$, so auch im gepaarten $\Gamma^\prime$. Sonst $\exists\,G=(\ldots\gamma,\gamma^\prime\ldots)\ldots\in\mf{G}$, sodaß $\mf{H}^G$ wie $\mf{H}\,\gamma^\prime$ fest lässt, also $\mf{H}$ subnormal unter $\mf{H}^G$ ist, aber $1\in\text{ Tr }\mf{H}^G$. $\mathcal{N}\mf{H}=\mf{G}_1\ge\mf{H}^G$. W!\\
Daher $\mf{H}=$ Norm Gr. in $\mf{G}_1$ und $\mf{H}$ eine größte perfekte subnormale einköpf. Ugr. von $\mf{H}$.
\end{itemize}
\end{itemize}  
\end{itemize}}
\begin{flushright}
29/30
\end{flushright}
\begin{center}
Zerschneidungs - Verfahren: Maximale 1-tra. Gr.
\end{center} 
Vor. $\mf{G}$ maximale nicht 2 tra Gr.
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei stets $\mf{A}^!_!\mf{B}\le\mf{G}$; $\{12\}^G=\{\xi\eta\}$, $\xi\in T\mf{A}$, $\eta\in T\mf{B}$ $\Rightarrow$ $\mf{A}_\xi\text{ tra }\eta^\mf{B}$. Dann ist $\mf{A}\le\mf{G}$.\\
NB: Vielleicht allgemeiner zu formulieren:\\
$\mf{G}$ beliebig, Vor..$\Rightarrow$ $\mf{A}\le \mf{G}^V=V$-Abschl. $\mf{G}$; $V=\{\{12\}^G\}_\mf{G}$
\item[(2)] Sonderfall:\\
$\mf{G}$ beliebig, $\mf{A}|\mf{B}\le\mf{G}$, aus $\alpha^G\in T\mf{A}$ folgt $\beta^g\not\in T\mf{B}$, und aus $\beta^G\in T\mf{A}$ folgt $\alpha^G\not\in T\mf{B}$. (dh $(\alpha\beta)$ werden von $T$ in $T\mf{B}$ nicht in $\mf{G}$ getrennt). Dann ist $\mf{A}\le\mf{G}^V$~~~$V=\{\alpha\beta\}^g$
\item[(3)] Folge: Sei $\mf{A}|\mf{B}\le\mf{G}$, $\alpha,\beta\in\Omega$, $\mf{A}\not\le\mf{G}$. Dann $\exists\,G\in g: \alpha^G\in T\mf{A}$, $\beta^G\in T\mf{B}$ oder umgekehrt.\\[6mm]
Beispiel:
\item[(4)] Das liefert verschmelzende Elemente für gegebene Konstituenten von Ugr von $\mf{G}$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
30/31
\end{flushright}
\begin{center}
Subnormale Ugren von pri Gr.
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Seien $\mf{A}_1\dots\mf{A}_R\lhdd\mf{G}$, jedes $\mf{A}_i$ habe einen Fixpkt. Dann ist das Erzeugnis $\langle\mf{A}_1...\mf{A}_R\rangle$ intra denn im obersten pri Bestdteil sind alle $\mf{A}_i=1$.
\item[(2)] In einer transitiven Gruppe $\mf{G}$ ist jede perfekte subnormale Ugr., die nicht im Rumpf liegt, fixpunktfrei.\\
\mbox{~~~~~~~~}Denn sie enthält eine einköpfige die nicht im Rumpf liegt, u. perfekt ist, und die ist $\lhd~\mf{G}$.
\item[(3)] Wenn eine perfekte tra Gr $\mf{G}$ von subnormalen Ugr $\mf{A}_i$ erzeugt wird, so erzeugen schon die fixpunktfreien $\mf{A}|$ ganz $\mf{G}$.~~~~~~~~(2)
\begin{flushright}
31/32
\end{flushright}
\item[(4)] Wenn ein Homomorphismus $\varphi$ eine wesentliche (nicht im Rumpf von $\mf{G}$ erzeugte) einköpfige perfekte subnormale Ugr $\mf{A}$ in den Rumpf von $\varphi(\mf{G})$ abbildet, so ist $\varphi(\mf{A})=1$.\\
~~~~~denn sei $\mf{K} =$ Kern $\varphi$\\
$\mf{A}_1,$-$\mf{A}_k$ seien alle wesentl. mln. Ugr von $\mf{G}$, die nicht in $\varphi \mf{G}$ abgebildet werden. Dann $\mf{A}\le\mf{K}.$ $\langle\mf{A}_1,,\mf{A}_k\rangle=\mf{G}$ also $\mf{A}\le\mf{K}$.
\item[(5)] Wenn ein Erzeugnis $\mf{G}$ perfekter $\mf{A}_i\lhdd \mf{G}$ einen Fuß $=\mf{F}$ hat, aber kein $\mf{A}_i$ hat Fuß $=\mf{F}$ so ist $|\mf{F}|=p$ und der größte $p$-Normalteiler von $\mf{G}$ liegt im Zentrum $Z(\mf{G})$\\
Frage: Kann das vorkommen?
\end{itemize}
\begin{flushright}
32/33
\end{flushright}
\begin{center} Subnormal-$P$ einer Struktur\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $K$ eine Menge "`abstrakter"' transitiver Permutationsgruppen, die mit $\mf{K}$ auch jeden transitiven Konst. jedes Normalteilers von $\mf{K}$ enthält.\\
Ist $\mf{H}$ eine Permutgr, so "`erlaubt"' $K$ den Abstieg von $\mf{H}$ zu $\mf{H}^\ast<\mf{H}$, wenn\\
a) $\mf{H}^\ast\lhd\mf{H}$~~~~~~~~~~b) Es gibt einen trans. Konstituenten $\mf{T}$ von $\mf{H}$ und eine Ähnlichkeit $\sigma\mf{T}=\mf{K}$ "`$=\sigma\mf{H}$"' auf ein $\mf{K}\in K$ und einen Normalteiler $\mf{K}^\ast\lhd\mf{K}$ derart, daß $\mf{H}^\ast=\sigma^{-1}\mf{K}^\ast$ in $\mf{H}$.
\item[(2)] Kann man $\mf{H}^{\ast\ast}$ durch wiederholte Erlaubnis mit $K$ erreicht, so $\mf{H}^{\ast\ast}\lhdd\mf{H}$
\item[(3)] Kann man sowohl $\mf{H}_1^\ast$ wie $\mf{H}_2^\ast$ jeweils durch einmalige Erlaubnis von $K$ erreichen, so kann man $\vartheta=\mf{H}_1^\ast\cap\mf{H}_2^\ast$ sowohl von $\mf{H}_1^\ast$ wie von $\mf{H}_2^\ast$ aus durch (mehrmalige) Erlaubnis erreichen.\\
zum Beweis
\item[(4)] Hilfss.: Vor. 3 $\to$ man kann $\mf{H}_1^\ast$ von $\mf{N}$ aus erreichen, wenn $\mf{H}_1^\ast\lhd\mf{N}\lhd\mf{H}$
\begin{flushright}
33/34
\end{flushright}
Bew $\mf{N}=\sigma^{-1}\mf{L}$~~~$\mf{L}\lhd\mf{K}$
\begin{itemize}
\item[$\alpha$)] Ist $\mf{L}$ tra, so $\mf{L}\in K$~~~$\mf{H}_1^\ast$ ist der größte $\mathcal{N}T$ von $\mf{N}$, der durch $\sigma$ auf $\mf{K}^\ast$ abgebildet ist.
\item[$\beta$)]$\mf{L}$ intra; $\mf{L}=\mf{L}_1\mf{L}_2\cdots\mf{L}_m$, $\mf{L}_\mu\in K$\\
$\sigma_i=$ Einschr. $\sigma$ $\mf{N}=\mf{N}_1\mf{N}_2\cdots\mf{N}_m$ auf $\mf{N}_i$\\
Ausführen!  Lohnt.
\end{itemize}
Vermutungen:
\item[(5)] Sind $\mf{H}_1,\mf{H}_2\lhdd\mf{H}$, so $\langle\mf{H}_1^\wedge,\mf{H}_2^\wedge\rangle=\langle\mf{H}_1\mf{H}_2\rangle^\wedge$\\
Es gilt sicher (XI 102)
\item[(6)] $\mf{G}$ pri $\Rightarrow$ jeder tra Konst einer subnorm Ugr von $\mf{G}_1$ ist ähnlich einem von $\mf{K}$ oder $\mf{K}_\alpha$ oder $\mf{L}_\beta$, wenn $\mf{K},\mf{L}$ gepaarte Konst. von $\mf{G}$ sind.
\end{itemize}
\begin{flushright}
34/35
\end{flushright}
\begin{center}Ugr. mit wenig Tragebieten.
\end{center}
Satz (1) Sei $\mf{G}$ pri, $\mf{H}\le\mf{G}_1$, $\mf{H}$ nicht auflösbar, $\mf{H}$ habe $k$ nichttriv. Transgebiete. Dann hat $\mf{G}_1$ höchstens $k$ nichttr. Trgeb. Wähle $|\mf{H}|$ maximal. Annahme: $\mf{H}\not=\mf{G}_1$. $[$ bewiesen in $[$85$]$ 7.5 $]$
\begin{itemize}
\item[(a)]$\mf{H}\lhdd\mf{G}_\sigma$, wenn $\mf{H}\le\mf{G}_\sigma$. Denn $\mf{H}^{\cdot\cdot\mf{G}_\sigma}$ hat $\le k$ Transgebiete
\item[(b)] $\mf{H}$ trifft nicht alle Transgebiete von $\mf{G}_1$. Sonst Anz. $n$ $\mf{G}_1\le k$, aber $\mf{H}=\mf{G}_1$
\item[(c)] Sei $\mf{M}$ ein Erzeugnis von in $\mf{G}_1$ gelegenen konjugierten $\mf{H}^G$, das nicht alle Tragebiete $\mf{G}_2$ trifft, und $|\mf{M}|$ max. Dann $\mf{M}\lhd\mf{G}_1$; $\mf{G}_1=\mathcal{N}\mf{M}$.
\item[(d)] Sei $\mf{A}$ eine einköpfige perfekte subnormale Ugr maximaler Ordnung von $\mf{M}$ ($\mf{M}$ ist nicht aufl.), und $\mf{B}=\mf{A}^{\mf{G}_1}$. Dann $\mathfrak{G}_1=\mathcal{N}\mathfrak{B}$.
\item[(e)] Trifft eine in $\mf{G}_1$ gelegene konjugierte $\underline{\mf{M}}=\mf{M}^H ~~\Gamma$ (also TraGeb $\mf{G}_1$), so deckt $\underline{\mf{M}}$ das gepaarte $P^\prime$, hat dort keinen Fixpunkt. Sonst $\exists$ $G=(\gamma_1\,\gamma^\prime\cdots)\cdots$; $\mf{M}^G$ läßt $\gamma^\prime$ fest, wie $\mf{M}$, also $(\mf{M},\underline{\mf{M}}^G)\lhdd\mf{G}_{\gamma^\prime}$.
\begin{flushright}
35/36
\end{flushright}
Also $\mf{M}^G\le\mathcal{N}\mf{B}$, $\underline{\mf{M}}^G\le\mf{G}_1$ aber $\mf{M}$ trifft $P$, und $\mf{M}\lhd\mf{G}_1$, also versetzt von $\mf{M}^\gamma$, und $\mf{M}^G$ versetzt 1.
\item[(f)] Wähle $\gamma,~\gamma^\prime$ zwei beliebige Fixpunkte vom $\mf{M}$ in gespiegelten, von $\mf{M}$ unberührten Trageb von $\mf{G}$. (Exist. nach e)\\
$G=(\gamma\cap\gamma^\prime~)$  $\mf{M}^G$ lässt $1$ und $\gamma^\prime$ fest, deshab $\Gamma^\prime$ also nicht, meidet (nach e) $\Gamma$, $\mf{M}^G=\mf{N}$ wegen Maximaleigensch. $\mf{M}$\\
$G\le\mathcal{N}\mf{M}=\mf{G}$. W!\\
Der Beweis zeigt sogar:
\end{itemize}
Satz (2) $\mf{G}$ pri, $\mf{H}$ perfekt, $\mf{H}\le\mf{G}_1\Rightarrow\exists\mf{G}_\sigma\ge\mf{H}$, so daß \underline{jedes} Tra Gebiet von $\mf{G}_\sigma$ eins von $\mf{H}$ enthält; noch genauer: Bildet man von $\mf{H}$ ausgehend die Subnormalen  Hüllen in $\mf{G}_\alpha,\mf{G}_\beta,..$ wobei $\alpha,\beta,..$ jeweils ein Fixpunkt der schon erreichten Gruppe ist, so kommt man schliesslich zu einer Gr vom Grad $n-1$; die von 2 den enthaltenden $\mf{G}_\sigma$ jedes Tra Gebiet trifft.
\begin{flushright}
36/37
\end{flushright}
Andere Fassung:\\
($2^\prime$) In einer abstrakten Gr $\mf{G}$ sei $\mf{M}$ eine maximale Ugr, $\mf{H}\le\mf{M}$, $\mf{H}$ nicht auflösbar, und $\mf{H}\lhdd\mf{M}^G$ immer wenn $\mf{H}\le\mf{M}^G$. Dann gibts nur ein solches $\mf{M}^G$.\\
Fortsetzg von (1f): Nun sei $\mf{H}$ auflösbar\\
Bezeichnungen sonst wie in (1). Genügt: $\mf{M}=\mf{H}^{\mf{G}_1}$.
\begin{itemize}
\item[(g)] Sei $\underline{\mf{M}}$ eine Konjug zu $\mf{M}$, die 1 verschnt (1 im Konstit. $\mf{T}\not=1$) und ein $\delta\in\phi\mf{M}$ fest lässt. Sei $\omega$ ein Subnormaloperator, der eine passende Ugr. $\underline{\mf{U}}\,{\unlhd\unlhd}\,\underline{\mf{M}}$, die auf $\mf{T}\not=1$ ist, annuliert $\underline{\mf{U}}^\omega=1$.\\
Dann ist $\mf{M}^\omega=1$. Sonst ist $\underline{\mf{U}}\le\mathcal{N}\langle\mf{M},\mf{U}\rangle^\omega=\mathcal{N}\mf{M}^\omega=\mf{G}_1$\\[4mm]
$[$ besser gleich allgemeineren Satz? $]$
\item[(h)] Vor (g): $\underline{\mf{T}}$ ist $p$- Gruppe.\\
Sei $\mf{U}$ eine subn. Ugr kleinster Höhe in $\underline{\mf{M}}$, die auf $\mf{T}\not=1$ ist; Höhe $=$ min l: $\mf{U}^{p,p_i..p_l}=1$. Gäbe es in $\mf{T}$ eine $q$-köpfige subn Ugr $\mf{V}$, $q\not= p_i$, so $\mf{V}^{p_i...p_r}=\mf{V}^{p_i..p_r}\not=1$ trotz (g).
\begin{flushright}
37/38
\end{flushright}
\item[(i)] Wenn $\mf{M}$ in $\Gamma\not=1$ ist und in $\Gamma^\prime$ einen Fixpunkt hat, so ist der Konstituent $\mf{M}^\Gamma$ $p$-Gr.\\
$[$besser (l)$]$
\item[(j)] Das nach (e) \underline{maximal} gewählte $\mf{M}$ deckt jedes selbstgepaarte $\Gamma=\Gamma^\prime$, sonst $G=(\gamma1)..\in\mf{G}$; $\mf{M}^G=\mf{M}$.\\ $\mathcal{N}\mf{M}\ge\langle\mf{G}_1,G\rangle$%\\[4mm]
%$=$ zusätzliche Vor.!
\item[($\text{j}^\prime$)] Das max $\mf{M}$ kann nicht $\Gamma$ und $\Gamma^\prime$ meiden.
\end{itemize}
$[$(j) und ($\text{j}^\prime$) sind umklammert mit der Anmerkung:$]$
\begin{itemize}
\item[] $=$ zusätzliche Vor.!
\item[(k)] Trifft ein Erzeugnis $\langle\mf{H}^X\rangle\le \mf{G}_1$ ein $\Gamma$, aber nicht $\Gamma^\prime$, so ist es auf $\Gamma$ eine $p$-Grp. ($\mf{M}=\mf{H}^{\mf{G}_1}$) (i)
\item[(l)] Sei $\mf{V}$, das Erzeugnis \underline{aller} zu $\mf{H}$ in $\mf{G}$ konj. die in $\mf{G}_1$ liegen. $\mf{M}^{\mf{q}_1}=\mf{M}$ treffe $\Gamma^\prime$ nicht, dann ist sogar $\mf{V}^\Gamma$ $p$-Gp.\\
Bew: auf $\mf{V}^G$ wie geh. und $p$ ist eindeutig bestimmt: $p=p_1$ wieder $p_1-p_r$ miteinander gepaart, so $\mf{H}$ (oder $\mf{M}$ oder $\mf{V}$) annulliert alle längsten einköpf Subnt. von $\mf{H}$ haben Kopf $p=p_1$
\begin{flushright}
38/39
\end{flushright}
\item[(m)] Hat $\mf{M}$ $q$- Füße, $\mf{F}$ so auch jede einköpfige subn. Ugr $\mf{U}$ größter Länge. (Sonst zentralisieren sie sich, also $\mf{U}\le\mathcal{N}\mf{F}$.)
\item[(n)] Hat der größte $q$-Normalteiler $\mf{U}$ die Ord $q^n$ der $\mf{Q}$ von $\mf{M}$ $q^m$, so zentralisiert ein gegebenes Element von $\mf{U}$ mindestens $q^{m-n}$ Elemente aus $\mf{Q}$.
\item[(o)] Ist $\mf{U}\lhdd\mf{G}$, $\mf{U}_\Gamma\not=1$, $\mf{U}^\omega=1$, so $\mf{B}^\omega=1$
\item[(p)] $\mf{U}\le\mf{H}$~~~~$\mf{U}^{\cdots\mf{G}_\sigma\cdot\mf{G}_\tau}$ .. nicht aufl $\Rightarrow$ Anz Tra Geb $\mf{G}_1\le k$
\item[(q)] Sind $\overline{\mf{U}}_1,\overline{\mf{U}}_2$ zwei Endhüllen ($\mf{U}_i\le\mf{H}$) und schneidet $\overline{\mf{U}}_1$ nicht alle Trageb $\mf{G}_1$, so folgt aus $\overline{\mf{U}}_2{}^{\omega_2}=1$ stets $\overline{\mf{U}}_1{}^{\omega_1}=1$
\item[(r)] $\mf{H}\not=p^\alpha$; $\mf{G}$ pri $\Rightarrow\underset{\alpha}{\exists}$ jeder Konst $\mf{G}_\alpha$ enth einen von $\mf{H}$ \& $\mf{H}\le\mf{G}_\alpha$
\begin{flushright}
39/40
\end{flushright}
\item[(s)] $\mf{G}_1$ hat keinen $q$-Sockel ($q\not=p$).\\
Bew sonst läge der $q$-Sockel von $\mf{G}_\varphi$ ($\varphi\in\anmerk$) in $\mf{G}_1$\\
\rule{11cm}{0.5pt}\\
Fixpunkte von PGr.
\item[(t)] Ist das Erzeugnis zweier vertbaren $P$-Gr transitiv, so ist eine von ihnen fixpktfrei, genauer (w)\\
Bew genügt für pri ($\mf{A},\mf{B}$) Indukt: $\overline{\Omega}=$ Trageb $\mf{N}$.
\item[(t$^\prime$)] Statt Vertauschbarkeit genügt Subnormalität + Auflösbarkeit.
\begin{itemize}
\item[a)] $\underbrace{\langle\mf{A}^p,\mf{B}^p\rangle}_{\mf{N}}$ treu: Indukt.
\item[b)] $\mf{N}$ intra: $\overline{\Omega}$ = Tragebiete $\mf{N}$\\
Faktorgruppe ist $p$-Gruppe also oBdA $|\langle\mf{A},\mf{B}\rangle|= p$ und oBdA $\langle\mf{A},\mf{B}\rangle$ pri, dort trivial.
\end{itemize}
\item[(u)] Entstehen. $\mf{A},\mf{B}$ tra Gruppe $\mf{G}$ und hat $\mf{B}$ einen $\underset{\stackrel{\downarrow}{\alpha}}{\text{FP}}$, so ist $\mf{A}^\mf{B}$ tra. $\Gamma=\alpha^\mf{G}$ fest bei $\mf{A},\mf{B}$
\begin{flushright}
40/41
\end{flushright}
\item[(v)] Vermutung: Haben sowohl $\mf{A}$ wie $\mf{B}$ Fixpunkte, so $\mf{A}\circ\mf{B}$ tra.\\
denn oBdA haben $\mf{A}\mf{B}$
\item[$\underline{(\text{w})}$]Ist ein Produkt zweier vertauschbarer Gruppen transitiv und hat eine einen Fixpkt, so ist die andere transitiv. $\alpha^\mf{A}=\alpha\to\alpha^G=\alpha^B$.\\
Allgemeiner: Abschätzung für das Produkt der extremen Längen der\\
 Transgebiete
\item[(w$^\prime$)] Produkt zweier vertauschbaren subn Ugr $\mf{A},\mf{B}$ treu $\Rightarrow$ entweder: $\mf{A}$ und $\mf{B}$ fixpunktfrei, dh decken Tr $\mf{A}\mf{B}$ oder: die eine hat Fixpkt, die and ist tra\\
allg. gilt: größte mal kleinste Bahnlänge ist $\geqq n$ Bew $\ast$ s.o.
\item[(x)] Bei $k=1,2,3$ ist wohl sogar  Grad schwacher Abschl. $\mf{H}$ in $\mf{G}_\alpha=n-1$.\\
Die schw. Abschl. ist bis auf Ähnlk. Tr. das Erzeugnis aller "`Endhüllen"' $\mf{H}^{\cdot\cdot\mf{G}_\alpha\cdot\cdot\mf{G}_\beta\cdot\cdot}$. Die "`Endhülle"' verfeinert die schw. Abschl.
\item[(y)] Auch für beliebige (nicht subn) Ausgangsgruppe $\mf{A}$ ist $\mf{V}$ die schw. Abschl. 
\end{itemize}
\begin{flushright}
41/42
\end{flushright}
\begin{center}
$\mf{G}$ pri Bahnenzahl $\sigma(\mf{G}_\alpha)$  
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Vor über $\mf{G}_1$: Alle $p$-Sy Gr $\mf{G}$ abelsch oder hamiltonsch, $\mf{G}$ pri $\mf{H}\le \mf{G}_\alpha$, $\mf{H}$ rein $p\times$-köpfig $\to$\\
$\mf{H}$ schneidet in einem passenden $\mf{G}_\alpha\ge\mf{H}$ jede Bahn.\\
Denn oBdA $\mf{H}\lhdd\mf{G}_\alpha$ wenn $\mf{H}\le\mf{G}_\alpha$, dann $\mathcal{N}\mf{H}\ge\bigcup\mf{P}_\alpha$\\
$\mf{P}_\alpha=$ Erzeugnis der $p$-Sylow Gr $\mf{G}_2$. $\mf{P}_\alpha$ hat keinen weiteren Fixpkt.
\item[(2) ] Alle Sy Gr $\mf{G}_\alpha$ hamiltonsch, $\mf{G}$ pri $\Rightarrow$ jedes $\mf{H}\le \mf{G}_\alpha$ deckt für pass $\beta$ jedes $\gamma^{\mf{G}_\beta}$. Kurz: dann gilt der Decksatz\\
kürzer: $\mf{H}$ deckt
\item[(3)] $\mf{H}$ deckt, Tr $\mf{H}=$ Tr $\mf{K}\Rightarrow\mf{K}$ deckt
\item[(4)] $\mf{H}$ deckt nicht $\Rightarrow$ $\exists p$: Ein Konst von $\mf{H}$ hat ord $p^\therefore$ und die $p$- Sy Gr von $\mf{G}_\alpha$ sind nicht hamiltonsch  und ein Konst. von $\mf{G}_\alpha$ hat einen $p$-Normalteiler und jeder Sylowkern ist auf diesen Konst. von $\mf{G}_\alpha=1$~~(Baer)
\begin{flushright}
41/42
\end{flushright}
Es ist sogar der Normalisator $\mathcal{N}_ps\mf{G}_\alpha$  $=\mf{G}_\alpha\cap\bigcap\mathcal{N}\mf{A}$, $\mf{A}\lhdd\mf{G}_\alpha$, $\mf{A}~p\times$-köpf. auf diesem Konst $\Gamma=1$.
\item[(5)] Def: Ist $\mf{E}$ eine abst. Gr, so sei $\mathcal{N}_\mf{E}s\mf{G}$ der gemeinsame Normalis. aller in $\mf{G}$ subnorm Ugr, die zu $\mf{E}\cong$ sind.
\item[(6)] Das Zentr in der Sy Gr $\mf{P}$ von $\mf{G}$ mit $\mf{A}_p\le\mf{P}$ 
\end{itemize}
\begin{flushright}
42/43
\end{flushright}
Vor: $\mf{H}\le\mf{G}_\alpha$, $\mf{G}$ pri, $\mf{H}$ deckt nicht, $\mf{H}\le\mf{G}_\sigma\Rightarrow\mf{H}\lhdd\mf{G}_\sigma$. Dann gibt es:
\begin{itemize}
\item[(1)] ein in gewissen Sinn$^\ast$ durch $\mf{H}$ eind best. $p$: auf einer Bahn $\Gamma$ von $\mf{G}_\alpha$ ist (schwache Abschl $\mf{H}\mf{G}_\nu$)$=p^\anmerk$
\end{itemize}
Def${}_{43}\to(\mathcal{N}s_\mf{E}\mf{G}_\alpha)^\Gamma=1$ für jedes $\mf{E}$ das in $\mf{H}$ als char. Ugr auftritt. \\[4mm]
$^\ast$ jeder annull. kürzeste  Operator fängt mit $p$ an, dh jede kürzeste Primär-reihe ($=$ Kompreihe mit Primzahlpotenzindizes) fängt oben mit $p$ an) zitiere Verstreutheit\\
Beisp.: $\mathcal{N}\!s\mf{H}$ $\mf{G}_\sigma$ reg $p$-Sy Gr $\mf{G}_\sigma$
\begin{flushright}
43/44
\end{flushright}
\begin{center}
$A\lhdd G$, $|G|=\infty$ ohne Normalketten
\end{center}
$|G|\le
~\infty$ $A,B,\cdots\le G$
\begin{itemize}
\item[1.] $A\overset{B_i}{=}B_i$ $\Rightarrow A^{\langle B_i\rangle_i}=\langle B_i\rangle_i$
\item[2.] Def: $\begin{cases}A^{\cdot\cdot G}=\langle B\rangle\\A\lhdd G\Leftrightarrow A^{\cdot\cdot G}=A \end{cases}$ kurz: $=\overline{A}$, Besser \& gleichwertig:  $B\le A^B$
\item[4.] $A\le A^{\cdot\cdot G}$
\item[3.] $A^{\cdot\cdot G}=A^{A^{\cdot\cdot G}}$ nach 1
\item[5.] $A^{\cdot\cdot G}=A^{\cdot\cdot A^{\cdot\cdot G}}$\\
Bew: $A^B=B\Rightarrow B\le A^{\cdot\cdot G}$ $\Rightarrow\langle B\rangle=A^{\cdot\cdot A^{\cdot\cdot G}}$ nach 2
\item[6.] $A\le B\Rightarrow A^{\cdot\cdot G}\le B^G$ denn $\overline{A}=A^{\overline{A}}\le A^{\overline{B}}\le B^{\overline{B}}=\overline{B}$
\item[$6^\prime$] $\langle A_i^{\cdot\cdot G}\rangle_i\le\langle A_i\rangle_i^{\cdot\cdot G}$
\item[7.] $A\le B\lhdd G\Rightarrow A^{\cdot\cdot G}=A^{\cdot\cdot B}$ 6  \\$A$
\item[8.] $A\lhdd B\lhdd B\lhdd G\rightarrow A\lhdd G$~~~~~7
\item[9.] $A\le B\le G$, $A\lhdd G\Rightarrow A\lhdd B$ $A\le C\le B_1A^C=A\Rightarrow C\le A^{\cdot\cdot G}=A$~~~$\langle C\rangle=A$
\item[10.] Def 2 ist äquivalent mit $A\lhdd G\iff A=\bigcap A_i$ transfinite Normalreihe
\begin{flushright}
44/45
\end{flushright}
Bew
\begin{itemize}
\item[a)] Sei $A=\bigcap A_i$, $B=A^{\cdot\cdot G}$ im Sinn 2\\
$B=A^B\le$ jedes Gl der Normalkette $A$: $B\le\bigcap A_i=A$
\item[b)] Sei $A=A^{\cdot\cdot G}$ im Sinn 2\\
Sei $D=\bigcap$ klst Normenkette transfinit. $A\le D$ \\
Wäre $A\le D$, so $A^D<D$, Normenkette hätte nicht mit $D$ abgebrochen
\end{itemize}
\item[11.] $A\lhdd G\Rightarrow A_1G_1\lhdd G_1$ ~~~~10
\item[12.] $B\le G$, $B\le A^B\Rightarrow B\le A^{\cdot\cdot G}$\\
Bew: $\langle A,B\rangle=C$~~~~$B\le A^B\le A^C$~~~~$A\le A^C$~~~$C\le A^C$~~~$C\le A^{\cdot\cdot G}$
\begin{flushright}
45/46
\end{flushright}
\item[13.] $A_\nu\lhdd G$, $D=\bigcap A_\nu$ $\Rightarrow D\lhdd G$\\
Bew: $B\le D^B\Rightarrow B\le A_v^B\Rightarrow B\le A_\nu$. $\Rightarrow B\le D$ 
\item[14.] $G^\sigma=$ hom Bild $G=\overline{G}$, $\overline{B}=\overline{A}^{\cdot\cdot\overline{G}}$\\
$B,A=\overline{B}^{G^{-1}},\overline{A}^{G^{-1}}\longrightarrow B=A^{\cdot\cdot G}$.
\item[14]  Aufgabe: Rechnen mit Ausschnitten - Kalkül entwickeln
\item[15.] $(A^{\cdot\cdot G})^\sigma\le A^{\sigma\,\cdot\cdot G^\sigma}$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
46/47
\end{flushright}
\begin{center}
Vertauschbarkeit u. Subnormalität
\end{center}
\begin{itemize}
\item[1.] Ist $x_\nu\in G$, $A\le G$, $x_n\in AA^{x_1}\cdots A^{x_n}$, so ist $x_n\in AA^{x_1}\cdots A^{x_{n-1}}$
\begin{eqnarray*}
x_n&=&a_1a_2^{x_1}\cdots a_n^{x_n}=a_1a_2^{x_1}\cdots a_{n-1}^{x_{n-1}}x_n^{-1}a_nx_n\\
1&=&\cdots~~~\cdots~a_n\\
&=&a_na_1a_2^{x_1}\cdots a_{n-1}^{x_{n-1}}\cdot x_n^{-1}\\
x_n&=&(a_na_1)a_2^{x_1}\cdots a_{n-1}^{x_{n-1}}
\end{eqnarray*}
Folge:
\item[2.]
\begin{itemize}
\item[(i)] Ist $AA^{x_1}\cdots A^{x_n}=G$, so $AA^{x_1}\cdots A^{x_{n-1}}=G$,
\item[(ii)] Ist (i) \& jeweils das Teilprodukt $AA^{x_1}\cdots A^{x_m}$ Gruppe, so $A=G$
\end{itemize}
Man braucht also zum Nachweis von $A=G$ nur eine Folge von $A^{x_n}$, so daß $A^{x_r}\,\mathrm{v}\, A^{1+\ldots+x_{r-1}}$ und $A^{1+x_1+\ldots+x_n}=G$
\end{itemize}
\begin{flushright}
47/48
\end{flushright}
\begin{center}
Anti- Monotonie von $\sum e_\rho^2$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $\mf{G}$ eine endl. Gruppe linearer Subst. die Vielfachheiten seien $e_\rho$ (der irred Darst v. $\mf{G}$). Ist dann $\mf{H}=\mf{G}^\ast<\mf{G}$, so ist $\sum e_\rho^{\ast^2}\ge\sum e_\rho^2$ und $=$ genau wenn $\mf{G}\le$ lin Abschliessg $\mf{G}^\ast$. Denn $\sum e_\rho^{\ast^2}=\text{Rg}\mf{V}^\ast$ ($=$ Vert Ring von $\mf{G}^\ast$)
\[
\mf{V}^\ast\ge\mf{V}
\]
Statt Endlichkeit von $\mf{G},\mf{G}^\ast$ reicht auch vollstd. Reduzibilität\\
Folge
\item[(2)] $\mf{G}^\ast\le \mf{G}$ endl: $\Rightarrow$ Mittelwert $|\chi|^2$ ist über $\mf{G}$\\
\phantom{$\mf{G}^\ast\le \mf{G}$ endl: $\Rightarrow$} $\le$   $\prime\prime$~~~$\prime\prime$~~~$\prime\prime$~~~$\mf{G}^\ast$
\end{itemize}
\begin{flushright}
48/49
\end{flushright}
\begin{center}
Zur Darstellungstheorie von $p$-Gruppen
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1) ] $|G|=p^a\Rightarrow\frac{k\chi}{f}\equiv k\mod \mf{p}$\\
Bew: auf monomiale Gestalt bringen mit $p^\alpha$- ten EW als Koeff: Zeilensumme $\equiv1(\mf{p})$. In $\sum\limits_{G\in\text{Klasse}} D(G)$ ist dann Zeilensumme $\frac{k\chi}{f}\equiv\sum 1=k$
\end{itemize}
\begin{flushright}
49/50
\end{flushright}
\begin{center}
28/4/62~~~~~~Projektion von $s\mf{G}$
\end{center}
in $\mf{H}\le\mf{G}$ ist genau dann möglich, wenn für jeden Subnormalfaktor $F=F_1\times F_2$ gilt: $\mf{H}\wedge F=\mf{H}\wedge F_1\times\mf{H}\wedge F_2$ daher $F=A/B$, $\mf{H}\wedge F=(\mf{H}\cap A)B/B$\\
Bew: Ind bezgl $|\mf{G}|$: $A,B \lhdd\mf{G}$ dann Ind bezgl $|\mf{G}:A|+|\mf{G}:B|$ Man kann auf $D=A\cap B\lhd\cdot^A_B$ zurückkommen, dann auf $D=1$, $\langle A,B\rangle=G$, $|A|=|B|=p$\\
Dann Fallunterscheidung: $H$ deckt entweder $G/N$, $N=A^G\cap B^G$ oder meidet.\\
Fallunterscheidg ob ein $a^b\in H$ oder nicht.\\
Aufgabe: auf $|G|=\infty$, Max bedgg erweitern
\begin{flushright}
50/51
\end{flushright}
\begin{center}
Verlagerung.~~~~~~~~~~August 62
\end{center}
Suzuki ist an V.-Sätzen in folgender Situation interessiert:\\[10mm]
\begin{minipage}[t]{5cm}
%\mbox{}\\[10mm]\mbox{}
\begin{picture}(0,0)
\put(40,-10){\line(0,1){30}}
\put(40,-42){\line(0,1){30}}
\put(40,-42){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(40,-11){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(40,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(60,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle S_p$}}
\put(60,-11){\makebox(0,0){$\scriptstyle C\text{ cyclic}$}}
\put(60,-42){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\end{picture}
\end{minipage}\hspace*{2mm}
\begin{minipage}[t]{5cm}
\mbox{}\\[-5mm]\mbox{}$C\le$ Center of $\mathcal{N}_GC$ even $C$ is a direct factor of $\mathcal{N}_GC$.\\
Problem: What addit. cond. will give a hom $\sigma$ of $G$ with $\sigma C\not=1$
\end{minipage}\mbox{}\\[7mm]\mbox{}
\begin{flushright}
51/52
\end{flushright}
\begin{center}
Perm Gr vom Grad $p$.~~~~~~~12.9.62
\end{center}
\begin{itemize}
\item[1.] Sind $A\,B\,C$ Matrizen aus dem Gruppenring der zykl. PGr des Grd $p$, und ist $\mf{G}$ eine PGr des Grds $p$ derart, dass $(\#)$ $\mf{G}^A$, $\mf{G}^{AB}$, $\mf{G}^{ABC}$, $\mf{G}^{ABCB}$, $\mf{G}^{ABCBA}=\mf{H}\le\mf{S}^p$, so hat auch $\mf{H}^Q$ statt $\mf{G}$ dieselben Eigenschaften, wo $Q$ eine Permut. mit $A^Q=A^\ast$, $B^Q=B^\ast$, $\cdots$\\
Wenn also $\mf{G}$ maximal ist mit $(\#)$, so ist $\mf{H}=\mf{G}^Q$
\item[2.] Vermutung: Wenn $\mf{G}^A$, $\mf{G}^{AB}$, $\mf{G}^{ABA}\le\mf{S}^p$, so teilt die Invariante zu $A$ diejenige zu $B$. s. hierzu 6
\item[3.] Tatsächlich tritt in geeigneten Gruppen des Grades $p=\frac{q^n-1}{q-1}$ ($q$ Primzahlpotenz) die Invariante $q^{n-2}$ auf\\
$\mf{G}=PSL(n,q)$\\
NB: Daher ist notwendig $n$ ungerade, wenn dies $p$ wirklich Primzahl.
\begin{flushright}
52/53
\end{flushright}
\item[4.] Die Invariante $j=\frac{p+1}{4}$ tritt, wenn $p\equiv3~(4)$, $[$vielleicht nicht in Gruppen aber $]$ als Betragsquadrat einer Summe von $\frac{p-1}{2}$ $p$-ten Einheitswurzeln auf, nämlich wo die Exponenten die $\Box$ Reste mod $p$ sind (also $\kappa=$ Gaußsche Periode der Länge $\frac{p-1}{2}$).
\item[5.] Zwei Invarianten $j=\frac{t(p-t)}{p-1}$, $k=\frac{s(p-s)}{p-1}$, die sich nur um ein Quadrat einer rat Zahl unterscheiden, stimmen überein.\\
Bew: Sei $a^2j=b^2k~~~~(a,b)=1$\\
$a^2|k~~~a^2\le k\le\frac{p+1}{2p}$, $b^2\le\cdots$\\
$a,b\le\sqrt{\frac{p+1}{4}}<\frac{p}{2}$. Wähle $s,t\le\frac{p-1}{2}$\\
$(\alpha$) $a^2t(p-t)=b^2f(p-s)$ gibt $at\equiv bs$ bei pass. Wahl von sign $b$.\\
$at=bs+xp+x=\frac{at-bs}{p}$ $|x|<\frac{p}{4}$\\
$|x|\le\frac{p-1}{2p}\cdot(|a|+|b|)\le\frac{(p-1)}{p}\cdot\sqrt{\frac{p+1}{4}}$\\
$|x|\le\frac{\sqrt{p-1}}{2}\sqrt{\frac{p^2-1}{p^2}}<\frac{1}{2}\sqrt{p-1}<\frac{1}{2}\sqrt{p}<\frac{p}{4}$
\begin{flushright}
53/54
\end{flushright}
$|a-b|\le|a|+|b|\le\sqrt{p+1}<\frac{p}{2}$ ($p\ge5$)\\
$at=bs+xp$ in ($\alpha$) eingesetzt gibt $a-b\equiv 2x\mod p$ und da beide Seiten $|~|<\frac{p}{2}$, ist $0=a-b-2x,~\underset{a}{\longrightarrow}x^2=ax\to\begin{cases}x=0\\x=a \end{cases}$ $\underset{a}{\longrightarrow}\begin{cases}a=b~~(=\pm1)\\a=-b~~(=\pm1) \end{cases}$ $\to j=k$
\item[6.] Folge:
\begin{itemize}
\item[a)]\mbox{} \begin{center}\unitlength0.6mm\begin{picture}(0,0)
\put(0,0){\line(1,0){20}} 
\put(20,0){\line(0,1){20}}
\put(0,0){\line(0,1){20}}
\put(0,20){\line(1,0){20}}
\drawline(0,0)(20,0)(20,20)(0,20)(0,0)
\put(10,-4){\makebox(0,0){$\scriptstyle n$}} 
\put(49,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle j\hspace*{15mm}\Rightarrow~~m=n$}}
\put(10,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle m$}}  
\put(-5,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle j$}} 
\end{picture}\end{center}\mbox{}\\[3mm]
3.72: Frage: Können dann auch die transformierenden Matrizen zuerst gleich gewählt werden? Dann könnte man die transf. Pgr als gleich annehmen (maximale nehmen)\\[2mm]\mbox{}
\item[b)]\mbox{} \begin{center}\unitlength0.6mm\begin{picture}(0,0)
\put(0,0){\line(1,0){20}} 
\put(20,0){\line(0,1){20}}
\put(0,0){\line(0,1){20}}
\put(0,20){\line(1,0){20}}
\drawline(0,0)(20,0)(20,20)(0,20)(0,0)
\put(10,-4){\makebox(0,0){$\scriptstyle \mu$}} 
\put(25,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle \kappa$}}
\put(10,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle \lambda$}}  
\put(-5,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle \kappa$}}
\put(0,0){\vector(0,1){10}}
\put(0,0){\vector(1,0){10}}
\put(20,0){\vector(0,1){10}}
\put(0,20){\vector(1,0){10}}
\end{picture}\end{center}\mbox{}\\[3mm]
denn nach a) ist $|\lambda|=|\mu|$ und noch bei Wahl von sign $\mu$.
\begin{eqnarray*}
\kappa\overline{\kappa}\lambda&=&a\mu~~~~~a\in\ZZ\\
j\lambda&=&a\mu\\
|\lambda|=|\mu|\Rightarrow j&=&a
\end{eqnarray*}\mbox{}\\[2mm]\mbox{}
\item[c)] \mbox{} \begin{center}\unitlength0.6mm\begin{picture}(0,0)
\put(0,0){\line(1,0){20}} 
\put(20,0){\line(0,1){20}}
\put(0,0){\line(0,1){20}}
\put(0,20){\line(1,0){20}}
\put(10,-5){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}} 
\put(35,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle T~~\Rightarrow M=L$}}
\put(10,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle L$}}  
\put(-5,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle T$}}
\put(0,0){\vector(0,1){10}}
\put(0,0){\vector(1,0){10}}
\put(20,0){\vector(0,1){10}}
\put(0,20){\vector(1,0){10}}
\end{picture}\end{center}\mbox{}\\[3mm]
\mbox{}
\item[d)]\mbox{}\begin{center}\unitlength0.6mm\begin{picture}(0,0)
\put(-40,-10){\line(1,0){30}}
\put(-40,-10){\line(1,2){10}}
\put(-10,-10){\line(-1,1){20}}
\put(-40,-10){\line(2,1){15}}
\put(-10,-10){\line(-2,1){15}}
\put(-25,-3){\line(-2,5){5}}
%%%
\put(-25,-11){\line(0,1){2}}
\put(-35.2,-2){\line(-2,1){2}}
\put(-19,-7){\line(1,1){2}}
\put(-22,-0.7){\line(1,1){2}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\put(10,-10){\line(1,0){30}}
\put(10,-10){\line(1,2){10}}
\put(40,-10){\line(-1,1){20}}
\put(10,-10){\line(2,1){15}}
\put(40,-10){\line(-2,1){15}}
\put(25,-3){\line(-2,5){5}}
%%%
\put(25,-11){\line(0,1){2}}
\put(14.8,-2){\line(-2,1){2}}
\put(31,-7){\line(1,1){2}}
\put(28,-0.7){\line(1,1){2}}
\put(27,-0.){\line(1,1){2}}
\put(15,-8.5){\line(-1,2){1}}
\put(16,-8.1){\line(-1,2){1}}
\put(23,-0){\line(2,1){2}}
%%%%%%%%%%%%%%%
\put(-40,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle j$}}
\put(-15,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle j$}}
\put(-5,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle \Rightarrow$}}
\put(65,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\text{nach a)}$}}
\end{picture} \end{center}
%nach a)
\end{itemize}
\begin{flushright}
54/55
\end{flushright}
\item[7.] Zwei Invarianten mit dem selben ``$A$-freien Teil'' $w$ stimmen überein. Bew 5
\item[8.] Sind $j_1,j_2,j_3$ Invarianten mit $j_1 j_2=a^2j_3,~a\in\ZZ, a^2<j_1<\frac{p+1}{4}$, so gibt es $b,c\in\ZZ$ mit
\[
\left\{\begin{array}{rcl}
at_3&=&t_1t_2+bp\\
at_3&=&t_1+t_2+2b-a+cp
\end{array}\right.
\]
Dabei sind $|a|,|c|$ klein  $(\lesssim\sqrt{p})$\\[5mm]
!~Achtung: neue Bezeich.
\item[9.] Unter den Vor. von S. 56 oben ist
\[
j_1+j_2+c^2=j_3^\prime+a^2\text{ wenn }j_1<j_2<j_3\text{ so }<j_3^\prime+j_1
\]
mit
\[
j_3^\prime=\frac{p^2-s_3^{\prime2}}{4(p-1)}\in\mathbb{N}\text{ siehe S. 74, 80 }s_3^\prime:=2c-b\text{ ungerade }\gtrless0
\]
\[
s_3^\prime\underset{p-1}{\equiv} s_1s_2
\]
\[
b:=\frac{s_1s_2-2as_3}{p}~(\in\ZZ),~~~c:=\frac{b+as_3}{p}\in\ZZ
\]
$\mod p-2$ ist $\begin{cases}4c\equiv s_1^\prime s_2\\ s_3^\prime\equiv as_3 \end{cases}$, also ? $s_3^\prime=kl$ pos Rest $as_3\mod p-2$ daher $s\not= s_3$, $j_4\not=j_3$. $j_3^\prime\equiv1+j_1j_2-\frac{j_1j_2}{j_3}\mod p-2$. $j\equiv1-\frac{s^2}{p^2}\mod(p-2)^2$\\
$j_3^\prime-1\equiv a^2(j_3-1)$
\begin{flushright}
55/56
\end{flushright}
Sei
\[
j_2=\frac{(\frac{p}{2}+\frac{s_2}{2})(\frac{p}{2}-\frac{s_2}{2})}{p-1}=\frac{p^2-s_2^2}{4(p-1)}\in\mathbb{N}
\]
Dann ist $0<s_2<p$, $s_2$ ungerade. Sei $j_1j_2^\prime=a^2j_3,~a\in\ZZ$, dann
\[
(p^2-s_1^2)(p^2-s_2^2)=4(p-1)a^2(p^2-s_3^2)
\]
\begin{itemize}
\item[($\alpha$)] 
\[
p^4-(s_1^2+s_2^2)p^2+s_1^2s_2^2=4p^2a^2(p-1)-4pa^2s_3^2+4s_3^2a^2
\]
wähle sgn $a$ so, daß $s_1s_2\equiv2as_3(p)$
\item[($\beta$)]
\[
s_1s_2=:2as_3+bp~~~b\in\ZZ
\]
Dann gibt ($\alpha$) wegen $s_1^2s_2^2-4a^2s_3^2=(4as_3+bp)bp$
\begin{eqnarray*}
p^3-(s_1^2+s_2^2)p+(4as_3+bp)\cdot b&=&4pa^2(p-1)-4a^2s_3^2\\
4as_3b+4a^2s_3^2&\equiv&0~(p)\\
b+as_3&\equiv&0~(p)
\end{eqnarray*}
\item[($\gamma$)] Setze
\[
\frac{b+as_3}{p}=c~~\in\ZZ
\]
Dann folgt
\[
p^2-(s_1^2+s_2^2)+4as_3c+b^2p=4a^2(p-1)
\]
\[
p^2-s_1^2+p^2-s_2^2-\{p^2\underbrace{-4as_3c-b^2}_{(-b^2+4bc-4c^2)-4(p-1)c^2}\}=4a^2(p-1)
\]
Durch $4(p-1)$ dividiert gibt das 9.
\end{itemize}
\begin{flushright}
56/57
\end{flushright}
\item[10.] Ebenso gilt, falls $n^2j_1j_2=a^2j_3$ vorausgesetzt wird:
\[
n^2(j_1+j_2)+c^2=j_3^\ast+a^2+\frac{(n^2-1)p^2}{4p-4}
\]
mit
\[
\begin{cases}
ns_1s_2&=2as_3+bp\\
b+as_3&=p^c\\
j_3^\ast&=\frac{p^2-(b-2c)^2}{4p-4}.
\end{cases}
\]
Wenn also $n^2\equiv1\mod 4p-4$, so ist $j_3^\prime\in\ZZ$.
\item[11.] Im Fall $9$ wird 
\[
s_3^\prime=\frac{(4p-4)as_3-(p-2)s_1s_2}{p^2}
\]
\[
j_3^\prime\cdot p^4(4p-4)=p^6-[(4p-4)as_3-(p-2)s_1s_2]^2
\]
\item[12.] Für $p\ge11$ ist jedes $j\ge4$\\
Bew: 
\begin{eqnarray*}
\frac{2(p-2)}{p-1}&\equiv&0(p-2)\text{ wenn ganz, }\Rightarrow\geqq p-2\\
\frac{3(p-3)}{p-1}&\equiv&0(\frac{p-3}{2})~~n~~\Rightarrow \ge\frac{p-3}{2}>3\text{ Gr.}\\
\frac{p}{2}>t\ge4\Rightarrow\frac{t(p-t)}{p-1}&\ge&\frac{4(t-4)}{p-1}=\frac{4}{1+\frac{3}{p-1}}\ge(1-\frac{3}{p-1})4>3,
\end{eqnarray*}
für
\begin{flushright}
57/58
\end{flushright}
 $p>13$, nicht ganz für $p=11$
\item[12a.] $j_1j_2j_3=m^2,~a=\frac{m}{j_3}\Rightarrow s_1s_2s_3\equiv8m\mod p$
\item[13.] Für $p\ge11,~j_1j_2=a^2j_3$ ist
\[
|a|<\frac{p}{8};~~|b|<\frac{5}{4}p~~~|c|<\frac{p}{8}+\frac{5}{4}
\]
denn
\[
a^2\le\frac{j_1j_2}{4}\le\frac{\frac{p+1}{4}\frac{p-1}{4}}{4}<\frac{p^2}{64}
\]
\[
|b|=\frac{c|s_1s_2|+|2a_2s_3|}{p}<\frac{p^2+\frac{p}{4}p}{p}
\]
\item[14.] Daher ist $c$ der absolut kleinste Rest von $u_1u_2\mod p-2$\\ 
(wo $u_2=\frac{1}{2}(p-2-s_2)$ denn es ist
\item[15.] Mod $p-2$: $j_\nu\equiv1-u_\nu^2$ ~~~~~~$c\equiv u_1u_2$ $u_\nu\equiv\frac{s_\nu}{2}$~~$u_3^\prime\equiv au_3$ 
\item[$15^\prime$:] $2c-b=\left.\begin{array}{c}s_3^\prime\equiv s_1s_2\\s_\nu^\prime\equiv1\end{array}\right\}\mod(p-1)$
\item[16.] 
\[
p(2c+b)=2b+s_1s_2
\]
gibt
\[
|2c+b|\underset{\le p+2}{\le}\frac{5}{2}+\frac{|s_1s_2|}{p}\le p+\frac{5}{2}
\]
also
\[
|2c-b|\le p+2+4|c|
\]
und
\begin{flushright}
58/59
\end{flushright}
wenn $bc>0$, so
\begin{eqnarray*}
|2c-b|&\le&p+\frac{5}{2}-2-2\\
|2c-b|&\le&p-2,\text{ also }j_3^\prime>0. 
\end{eqnarray*}
\item[17.] Mit $u=\frac{p-2-s}{2}$ (wie bisher) gilt
\begin{eqnarray*}
j&=&1-u^2+\frac{u(u+1)}{p-1}\cdot(p-2)\\
&\equiv&(1+u)^2\mod p,\text{ also }1+u=t
\end{eqnarray*}
also ist $u(u+1)\ge p-1$. Hiernach könnte es Zweck haben, statt $i$ besser $k=\frac{u(u+1)}{p-1}$ zu betrachten $(0<u<\frac{p}{2})$
\item[18.] (a) läßt sich schreiben als
\[
j_1j_3+j_2j_3+c^2j_3=j_3^\prime j_3+j_1j_2
\]
Frage: Ist $c^2j_3=j_1^\prime j_2^\prime$? Nachprüfen, ob wenigstens $\mod p-2$ $cj_3=c_2j_\nu$  wohl nicht: $cj\equiv u_1u_2(1-u_3^2)~~~(p-2)$
\begin{flushright}
59/60
\end{flushright}
\item[19.] Wenn nun $j_1,j_2$ also $u_1u_2(s_1s_2)$ gegeben sind und man weiß, daß dazu ein $a,j_3$ gehört mit $j_1j_2=a^2j_3$, so kann man $j_3$ so finden:\\
Bestimme $c=|u_1u_2|_{p-2}$, dh. $c=$ (absolut kleinster Rest)
\begin{eqnarray*}
[b&=&\frac{s_1s_2-2cp}{p-2}]\\
as_3&=&\frac{p^2c-s_1s_2}{p-2}
\end{eqnarray*}
\[
a^2=\frac{4(p-1)j_1j_2+(as_3)^2}{p^2}
\]
\[
\text{sgn}\,a=\text{sgn}(as_3)
\]
\[
s_3^2=\frac{p^2}{(p-2)^2}\cdot\frac{(p^2c-s_1s_2)^2}{4(p-1)j_1j_2+(as_3)^2}
\]
\[
j_3=\frac{p^2-s_3^2}{4(p-1)}=\frac{j_1j_2}{a^2}
\]
(Frage: $u_1u_2\Rightarrow u_3$?)\\
gibt
\begin{eqnarray*}
j_3&=&\frac{p^2j_1j_2}{4(p-1)j_1j_2+\bigg(\frac{p^2c-s_1s_2}{p-2}\bigg)^2}\\
j_3^\prime&=&
\end{eqnarray*}
Forts. 74
\end{itemize}
\begin{flushright}
60/61\\
Seite 61 ist leer!\\
61/62
\end{flushright}
\begin{center}
Charaktere von $p$-Gruppen\\4.11.62~~~~~~~~Hilfss. f. Tamaschke
\end{center}
\begin{itemize}
\item[1.] Ist $\mf{G}$ eine $p$-Gp, $D$ eine irred Darst mit Charakter $\chi$, so gilt für jede Klasse konj. Elemente mit $k$ Elementen
\[
\frac{k\chi}{f}\equiv k\mod\mf{p}
\]
wo $\mf{p}$ der Primteiler von $p$ in $Q(\chi)$.\\
Allgemeiner:
\begin{flushright}
62/63
\end{flushright}
Sei $\mf{G}$ $p$-Gruppe, $D$ eine Darstellg: $\mathbb{C}$, $g_1\cdots g_k\in\mf{G}$, $\sum\limits_\kappa D(g_\kappa)$ habe den Eigenwert $\lambda$, $\sum g_\kappa\in\text{ Ztr Gr Rg }\mf{G}$. Dann ist $\lambda\equiv k\mod\mf{p}$\\
Bew: Ind $|\mf{G}|$. oBdA $D$ irreduzibel, \& $g_1\cdots g_\kappa$ eine Klasse konjugierter Elemente. Wähle $D$ monomial, und sei $\mf{G}^\prime$ normale Untergr vom Index $p$, die intransitiv ist. (Gibt es die nicht, so ist $f=1$ und die Beh trivial.)
\begin{itemize}
\item[a)]$g_1\not\in\mf{G}^\prime$ Dann $\chi(g_\kappa)=0$, $\lambda=\frac{k\chi}{f}=0$ und $k\equiv0\mod p$, da sonst $k=1$, $g_1\in\text{ Ztr }\mf{G}$, $D(g_1)~\text{diag.}$,~~~~$g_1\in\mf{G}^\prime$
\item[b)] $g_1\in\mf{G}^\prime~~\Rightarrow$ alle $g_\kappa\in\mf{G}^\prime$, $\sum g_{\kappa}$ ist auch Summe von Klassensummen in $\mf{G}^\prime$,\\
Ind: $|\mf{G}^\prime|<|\mf{G}|$, also $\lambda\equiv k(\mf{p})$
\end{itemize}
Verwandter Satz S. 105
\end{itemize}
\begin{flushright}
63/64
\end{flushright}
\begin{center}
25.1.63~~~~~~~Zerschneidung von Perm-Gruppen
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $N\unlhd G$, $G$ pri, $N_\alpha\not=1$. Dann läßt sich $N_\alpha$ auf $\Omega-\alpha$ nicht ``zerschneiden''; Es gibt keine Einbettung $\Omega-\alpha=\Gamma+\Delta$ so, dass $N_\alpha$ $\Gamma$ fest lässt und $N_\alpha^\Gamma$ enthält.\\
Bew:
\begin{itemize}
\item[(a)] Alle Bahnen maximaler Länge von $N_\alpha$ trete in $\Gamma$ auf. Ihre Vereinigung nenne $\Gamma^\prime\subseteq\Gamma$. Da $N_\alpha^\Gamma\subseteq N_\delta$ ($\delta\in\Delta$), ist $ \Gamma^\prime$ Fixblock von $N_\delta$, und für $g=(\alpha\delta\ldots)\ldots$ ist $\Gamma^{\prime g}=\Gamma^\prime$, $G=\langle G_\alpha,g\rangle$ läßt $\Gamma^\prime$ fest, W!\\
NB: Hierfür genügt schon Transitivität von $G$; Primitivität unnötig.
\item[(b)] Sowohl $\Gamma$ wie $\Delta$ mögen Bahnen $\Gamma^\prime,\ldots$ bzw $\Delta^\prime,\ldots$ maximaler Länge von $N_\alpha$ enthalten. Sei etwa $|\Gamma|\le|\Delta|$, dann $2|\Gamma|<n=|\Omega|$, daher haben für $g\in G$ stets $N_\alpha^\Gamma$ und $(N_\alpha^\Gamma)^g$ einen Fixpunkt gemeinsam, also da $N_\beta\ge N_\alpha^\Gamma$ und daher $\Gamma^\prime$ Fixblock von $N_\beta$, ist $\Gamma^\prime$ Fixblock jedes $(N_\alpha^\Gamma)^g$, also von dem transitiven $(N_\alpha^\Gamma)^G$~~W!
\end{itemize}
\begin{flushright}
64/65
\end{flushright}
\item[(2)] Meine Verallgemeinerung des Satzes von Rietz gilt schon wenn $\mathcal{N}(G)$ (statt $G$) primitiv ist.
\item[(3)] Wenn $\mathcal{N}G$ pri ist, so hat jede subnormale Ugr von $G$ lauter gleichlange Bahnen.
\item[(4)] Sei  $G$ pri, die voneinander verschiedenen Bahnlängen $\not=1$ von $G_\alpha$ seien $l_1<l_2<\cdots l_k$. Dann hat jedes $l_i$ mit mindestens einen der anderen einen $\ggt\not=1$ (z.B. mit dem längsten; trivial)
\item[(5)] Ist $A\lhdd G$, $A_\alpha\not=1$, $G$ pri, so kann man $A_\alpha$ nicht auf $\Omega-\alpha$ zerschneiden, ausgenommen $\Omega=\alpha+\Gamma+\Delta$ mit $A^\Gamma=1$.\\
Bew: Sei $S=$ Sockel $G$, $AS=N$.
\begin{flushright}
65/66
\end{flushright}
 Dann $A\lhd N\lhdd G$, $N$ tra.\\
Ann: $A_\alpha$ zerschneidbar: 
\begin{eqnarray*}
\Omega&=&\alpha+\Gamma+\Delta\\
&&\phantom{a +}~\downarrow\phantom{ + }\downarrow\\
 A_\alpha&=&\phantom{a +}~K\,\cdot\,L
\end{eqnarray*}
 $L=A_\alpha^\Delta\le A$.\\
Beh: $A^\Delta\not=1\to A^\Gamma=1$.\\
Einige längsten Bahnen von $A_\alpha$ seien in $\Delta$; etwa $\Delta^\prime,\Delta^{\prime\prime}, \ldots$. Dann $\Delta^\prime$ Festblock von $K^n$ für jedes $n\in N$, da $K^n$ mindestens einen Fixpunkt $\beta$ in $\alpha+\Gamma$ hat und die $\Delta^\prime,\cdots$ Bahnen von $A_\beta$ sind. Also $\Delta^\prime$ Bahn von $K^N$, das $\Delta N$, daher $\lhdd G$ ist. Daher haben alle Bahnen von $K^N$ die gleiche Länge, und jeder tra Konst von $K^N$ ist treu (der Normalteiler, der auf einer Bahn von $K^N$ $1$ hat, ist $\lhdd G$ und daher $=1$, da $G$ pri). Hieraus folgt $K=1$, denn $K^{\Delta^\prime}=1$. Also $A_\alpha=L$
\item[$5^\prime$] Mehr kann man wohl nicht sagen!\\
Setze auf $(3,3)=S$ die rational irred. ($:Q_3$) $2$-Gruppe $\left(\begin{smallmatrix}\pm1&\\&\pm1\end{smallmatrix}\right)$, $\left(\begin{smallmatrix}&1\\1&\end{smallmatrix}\right)$ der Ord $8$; $|A|=2\cdot3^2$, $a_1=\binom{1}{-1}$ mit $3$ Fixpunkten in $S$. $G$ ist pri, $A\lhdd G$, $A_1=\langle a_1\rangle$ hat $3$ Fixp.
\begin{flushright}
66/67
\end{flushright}
\item[6.] Sei $1\not=H\le G_\alpha$, $H$ tra auf Trä $H$, $G\lhdd P$ $P$ pri\\
Dann ist $H^{\cdot\cdot G}$ $2$-tra.\\
Bew: $P\rhd P_1\rhdd G$\\ 
$H^P$ $2$ tra, $P_1$ $2$ tra pri; Ind: $|P|$.
\item[7] Hat $H\not=1$ $k\le3$ wesentliche Trasysteme, $H\le G_\alpha$, $G$ pri, so hat mit $S\circ H^{\cdot\cdot G}$ auch $S_\alpha$ höchstens $k$ wesentliche Tra-systeme und nur den einen Fixpkt $\alpha$\\
Bew mit
\item[8.] Die Fixpkte von $N_\alpha$ eines N-Teilers $N$ von $G$ bilden einen Block von $G$. Die zugehörige Äqn ist: $\alpha\sim\beta\iff N_\alpha=N_\beta$. Entsprechende Halbblöcke wird man kriegen durch $\alpha\prec\beta$ wenn $N_\alpha\le N_\beta$.
\begin{flushright}
67/68
\end{flushright}
\item[9.] Vermutlich folgt aus $A\unlhd B$ nicht $\overline{A}\unlhd\overline{B}$ (Abschliessungen).\\
Gegenbeispiel ? 
\end{itemize}
\begin{flushright}
68/69
\end{flushright}
\begin{center}
Perm - Gr.
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $G$ habe einen regulären Normalteiler $N$, und $U\le G$ habe einen (od. mehrere) Fixpkt $\alpha$. Dann ist $\mathcal{C}U$ tra auf den Fixpkten $\Phi$ von $U$; $|\Phi|\big||\Omega|$\\
Bew: $H:=NU$~~$U=H_a$~~$H\cap\mathcal{N}U$ tra Fix$(U)$\\
$U$ zentralisiert die $n\in N$, die einen Punkt von $\Phi$ in $\alpha$ überführen.
\begin{center}
Transfer
\end{center}
\item[(2)] Hilfssatz zur Verlagerung (Berechnung von det $D=\left(\begin{smallmatrix}\varepsilon_1&&\\&\ddots&\\&&\varepsilon_n\end{smallmatrix}\right)$ mittels eines Produktes von Konjugierten $D^x$:\\
Ist $P$ eine $p$-Gruppe und $\Delta$ das Ideal im Gr.Ring $R\mod p$, das von den $x-1$ als Modul erzeugt wird, so erzeugt $\underline{P}=\sum\limits_Px$ das einzige minimale Ideal $\mf{m}$ von $R$ in $\Delta$. Denn $\mf{m}\cdot\Delta<\mf{m}$ wegen $\Delta^\infty=0$, also $\mf{m}\Delta=0$\\
$\mf{m}(x-1)=0$~~$\mf{m}=c\cdot\underline{P}$. Daher ist $\underline{P}$ als Produktsumme von $(x_i-1)$ maximal vom Grad $l$ darstellbar, wo $l$ die Länge der Kette der Zassenhausschen $p$-Dimensions-Gruppen in $P$ bedeutet (1937; Jennings) $\sim$1958 
\end{itemize}
\begin{flushright}
69/70
\end{flushright}
\begin{center}
Notre Dame 22~3~63~~~~~~~Zum Satz v. Kegel: $A^x\,\mathrm{v}\, B^y$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $A^x\,\mathrm{v}\, B^y$ (f alle $x,y\in G$): \fbox{$\overset{\text{unnötig}}{A^GB^G=G,}$} $AB<G$ $\Longrightarrow~AB^G<G$ oder $A^{G} B<G$\\
Bew mit $A^x=\langle A^g\rangle, B^\ast=-\text{ maximal }A^\ast B^\ast\not=G$
\item[(2)] $A^x\,\mathrm{v}\, B^y$, $A^{\cdot\cdot G}B=AB^{\cdot\cdot G}=H\Rightarrow AB=H$\\
Bew: (1) auf $G^\prime=(AB)^{\cdot\cdot G}$\\
Sonderfall:
\item[(3)] $A^x\,\mathrm{v}\, B^y$, $A^{\cdot\cdot G}=B^{\cdot\cdot G}\Rightarrow A^{\cdot\cdot G}=AB$
\item[(4)] FRAGE: Gilt $A^x\,\mathrm{v}\, B^y\Rightarrow AB=AB^{\cdot\cdot G}\cap A^{\cdot\cdot G}B$ oder Verwandtes?  
\end{itemize}
\begin{flushright}
70/71
\end{flushright}
\begin{center}
Monomiale $p$-Gruppen
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Ist $M$ eine trans.mon. $p$-Gr.: $C_p$, so erzeugt jede Diagonalmatrix $d\in M$ mit det $d$ $\not=1$ mit ihren Konjugierten schon alle Diag Matr.\\
Bew: Ind Grad $M=n$
\begin{itemize}
\item[(1)] $n=p$ bekannt
\item[(2)] $n>p$: $M$ ist impr. nimm Blöcke, konjugiert, aus je $p$ Punkten; $M\to\overline{M}=$ auf ihnen hat $\overline{d}$ die Determinante $\delta_{1},\cdots,\delta_{\frac{n}{p}}$ mit $\prod\not=1$. Ind: Gr $\overline{M}=\frac{n}{p}$\\
$d^M\ni\left(\begin{smallmatrix}d_1&&&\\&d_2&&\\&&\ddots&\\&&&d_{\frac{n}{p}}\end{smallmatrix}\right)$ mit det $d_1$, $\not=1$, det $d_i=1$. ($i>1$).
\item[(3)] Beh: Zu vorgegebenen $k$ Stellen $(0\le k\le\frac{n}{p}-1)\cdot j_k$ gibt es $d_k^\ast\in d^M$ mit det $d_1^\ast\not=1$, $d_{jk}^\ast=I=$ Einh.matr. des Grades $p$.\\
richtig für $k=0$. Ind: sei $k>0$, für $k-1$ schon bewiesen. Geg $j_1,\cdots,j_k$. Wähle
\[
\begin{cases}
d^{\ast\ast}\cdot~~~\text{det }_{1}^{x_1}\not=1,~~~d_{j_1}^{\ast\ast}=\cdots\cdots d_{j_{k-1}}^{\ast\ast}=1\\
\widehat{d}:~~~\widehat{d}_k\not=1,~\widehat{d}_{j1}=\cdots=\widehat{d}_{k-1}=1
\end{cases}
\]
\begin{flushright}
71/72
\end{flushright}
Wähle $q\in M$, das auf jedem der $n^\prime$ $p$ Blöcke zyklische Perm, induziert (in einem passenden Zentrum). ein geeignetes Kommutatorprodukt $r=\prod[\widehat{d},q^\kappa]$ hat an Stelle $j_k$ gerade $d_k^{-1}$ (nach (1)), also $rd^{\ast\ast}=sd^\ast\in d^M$ mit $d_{j_1}^\ast=\cdots= d_{j_{k-1}}^\ast=1$, det $d_1^\ast\not=1$.
\item[4)] Nun $k=\frac{n}{p}+1$ wählen $<$ gibt $\widetilde{d}~G_d M$, det $\widetilde{d}_1\not=1$,~~~$\widetilde{d}_i=\cdots=\widetilde{d}_{\frac{n}{p}}=I$ geeignete Kommutrng mit $q$ gibt $d_m^t=\left(\begin{smallmatrix}\varepsilon_1&&\\&\ddots&\\&&1 \end{smallmatrix}\right)\in d^M$
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{center}
Eleganterer Beweis:
\end{center}
\begin{flushright}
72/73
\end{flushright}
Beweis kürzer: Setze $D_1=\{\text{diag~det }=1\}$. $D_1M=\widehat{M}$. Dann $D\le\widehat{M}$, daher $D_1=[D,\widehat{M}]\le\Phi(\widehat{M})$, $M=\widehat{M}\ge D$.
\begin{itemize}
\item[(2)] Entsprechend gilt: Enthält eine monomiale $p$-Gruppe $M$ mit Koeff $\in\mf{C}$ $(=p\text{-Gp})$ eine Diagonalmatrix $d$ mit Koeff $\in C_p$ ($\le\text{Ztr }\mf{C},|C_p|=p$) und det $\not=1$, so enthält $M$ alle Diagmatr. mit Koeff $\in C_p$.\\
Bew: $d^M=d^P$ wo $P$ die zu $M$ gehörige Permgp ist. Setze $\widetilde{M}=d^M\cdot P$, wende (1) an 
\end{itemize}
\begin{flushright}
73/74
\end{flushright}
\begin{center}
Forts. von S. 60~~~~$P$-Gr. vom Grad $p$.~~~~~Notre Dame 26.4.63
\end{center}
Sei
\[
j_1j_2=a^2j_3\tag{1},
\]
mit
\begin{align}
j&=\frac{k(p-k)}{p-1}=\frac{p^2-s^2}{4(p-1)}, 0<s<p; 1<k<\frac{p}{2}\tag{2}\\
&=k-\frac{k(k-1)}{p-1}\notag
\end{align}
Dann 
\begin{gather*}
(p^2-s_1^2)(p^2-s_2^2)=(4p-4)a^2(p^2-s_3^2)\\
s_1^2s_2^2\equiv 4a^2s_3^2~(p)
\end{gather*}
\[
\begin{cases}
s_1s_2&=bp-2as_3~~~b\equiv1(2),~a\gtrless0\\
b&=\frac{s_1s_2+2as_3}{p}
\end{cases}\tag{3}
\]
gibt eingesetzt
\begin{align}
p^3-p(s_1^2+s_2^2)+b^2p+4as_3&(as_3-b)=4a^2p(p-1)\notag\\
4as_3(as_3-b)&\equiv0\notag\\
as_3-b=cp,~c&=\frac{as_3-b}{p}\tag{4}
\end{align}
gibt eingesetzt
\[
p^2-s_1^2+p^2-s_2^2+b^2+4as_3c=p^2+4a^2(p-1)
\]
und mit der Abkürzung
\[
s_3^\prime=b+2c\tag{5}
\]
(gegenüber S. 56 hier $a\to-a$) gibt es\\
NB: In der Bezeichnung von XVI 69 ist $\begin{cases}a:=&\delta z\\b:=&\delta(zs_3-\nu p)\\c:=&\delta \nu\\
\delta s_3^\prime=&zs_3-\nu s_0\\
s_3:=&p-2\\
j_3^\prime\equiv&1~(z)
\end{cases}$
\begin{align}
j_1+j_2+c^2&=a^2+\frac{p^2-s_3^{\prime2}}{4(p-1)} \tag{6}\\
&=a^2+j_3^\prime \tag{7}
\end{align}
Wir zeigen durch Abschätzung, dass $j_3^\prime>0$, also wirklich eine Invariante ist (auf S. 80).
\[
j_1j_3+j_2j_3+c^2j_3=j_1j_2+j_3j_3^\prime\tag{$7^\prime$}
\]
\begin{flushright}
74/75
\end{flushright}
\begin{center}
Fortsetz: Kongruenzen
\end{center}
\begin{align}
j&\equiv f_2^2~(p)&&\tag{8}\\
j&\equiv\frac{s^2}{4}~(p)&&\tag{9}\\
b&\equiv as_3~(p)&&\text{Bew}(4)\tag{10}\\
s_1s_2&\equiv-2as_3~(p)&&(3)\tag{11}\\
s^2&\equiv p^2~~~\mod 4p-4;&&(s,4p-4)=1\tag{12}\\
s_1s_2&\equiv b-2as_3&&(p-1)~~~~~~(3)\tag{$12^\prime$}\\
c&\equiv-b+as_3&&(p-1)\tag{13}\\
s_1s_2&\equiv-(b+2c)\equiv-s_3^\prime&&(p-1)\tag{$13^\prime$}\\
s_1s_2&\equiv 2b-2as_3&&(p-2)\tag{14}\\
2c&\equiv-b+as_3&&(p-2)\tag{15}\\
s_1s_2&\equiv-4c&&(p-2)\tag{16}\\
j&\equiv1-\frac{s^2}{4}&&(p-2)\tag{$16^\prime$}\\
s_3^\prime&\equiv as_3&&(p-2)~~~~~~(15)\tag{$16^{\prime\prime}$}
\end{align}
\begin{flushright}
75/76
\end{flushright}
\begin{center}
Forts.: Abschätzungen
\end{center}
Sei $p\ge79$. wegen
\[
j=k-\frac{k(k-1)}{p-1}\tag{17}
\]
\[
s^2\ge2p-1\tag{$17^\prime$}
\]
\begin{eqnarray*}
s^2&\equiv&p^2\mod p-1 (12)\\
s^2&\equiv&1~(p-1)\\
s^2&=&p,~2p-1,~3p-2,\cdots\\
s^2&\not=&p,\text{ da }4p-4\nmid p^2-p\\
&&\text{also }s^2\ge2p-1
\end{eqnarray*}
ist stets
\[
p-1\big| k(k-1)\tag{18}
\]
also bei $p\ge 79$ $k(k-1)\ge 78$
\[
k\ge10\tag{19}
\]
Ferner
\[
k(k-1)\ge p-1\tag{20}
\]
\[
k^2\ge p-1+k\ge p+9\tag{21}
\]
\begin{align}
j&\ge\frac{\sqrt{p+9}(p-\sqrt{p+9})}{p-1}>\frac{\sqrt{p}(p-\sqrt{p})}{p-1}\ge\sqrt{p}-1\tag{22}\\
&\ge9\notag
\end{align}
Ferner
\[
j\le\frac{\frac{p-1}{2}(\frac{p+1}{2})}{p-1}=\frac{p+1}{4}\tag{23}
\]
Daher aus (1) $[$ mit $j_2\le\frac{\frac{p-3}{2}\frac{p+3}{2}}{p-1}$ $]$:
\[
a^2<\frac{1}{14}p^{\frac{3}{2}}\tag{24}
\]
Sonst: aus (1) mit $i_2\le\frac{p+1}{4}-1$ und $j_3\ge5$
\[
a^2<\frac{p^2}{169},~|a|<\frac{p}{12}=\frac{p}{12}\tag{25}
\]
\begin{align}
j_1j_2&\le\frac{p+1}{4}\cdot\frac{p-7}{4}=\frac{(p-3)^2}{16}-1~(\text{da }s_2\le s_1-2,~s_1\le\frac{p+1}{4})\tag{26}\\
j_1j_2&\le\frac{p^2}{16}\notag
\end{align}
\begin{align}
|b|&\le\frac{7}{6}p&&(3,25)\tag{$26^\prime$}\\
|c|&\le|a|+1&&(4,26^\prime)\tag{$26^{\prime\prime}$}
\end{align}
\begin{flushright}
76/77
\end{flushright}
\begin{sl} $[$ Die ganze Seite 77 ist durchgestrichen $]$
\end{sl}
\begin{flushright}
77/78
\end{flushright}
Fall I: $a>0, b\ge2a$\\[5mm]
für $i=1,2$ ist
\begin{eqnarray*}
s_ip&>&s_1s_2=bp-2as_3>bp-2ap\\
s_i&>&b-2a>0\\
s_i^2&>&(b-2a)^2\\
j_i&<&\frac{p^2-(b-2a)^2}{4(p-1)}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
a^2&=&\frac{j_1j_2}{j_3}<\frac{[p^2-(b-2a)^2]^2}{16(p-1)^2\cdot9}\\
a&<&\frac{p^2-(b-2a)^2}{12(p-1)}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
&&p^2-b^2+4ab-4a^2-12a(p-1)>0\\
&&p^2-b^2-4a\underbrace{[-b+a+3p-3]}_{\ge a+p,\text{ da }b\le2p-3}>0~~~~~~~~(26^\prime)\\
&&b^2<p^2-4a(a+p)<p^2-4ap
\end{eqnarray*}
\[
0<b<p-2a
\]
Nun ist aber, wenn $ba>0$:
\[
|c|=\bigg|\frac{as_3-b}{p}\bigg|\le\left\{\begin{array}{cc}|a|&\text{ od.}\\\frac{|b|}{p}&\end{array}\right\}\le|a|\tag{27}
\]
also ist in Fall I
\[
|s_3^\prime|=|b+2c|<|p-2a|+2|a|=p,~~j_3^\prime>0
\]
\begin{flushright}
78/79
\end{flushright}
Fall II: $a>0, b\le2a$\\
Wegen 
\[
b=\frac{s_1s_2+2as_3}{p}
\]
ist $b>0$,
\begin{eqnarray*}
|s_3^\prime|&\leqq&|b|+2|c|\le2|a|+2|a|~~~(27)\\
&\le&\frac{p}{3}~~~~~~(25)
\end{eqnarray*}
also $j_3^\prime>0$ und sogar
\[
j_3^\prime=\frac{p^2-s_3^{\prime2}}{4(p-1)}>\frac{\frac{8}{9}p^2}{4(p-1)}=\frac{2p^2}{9(p-1)}>\frac{2}{9}(p+1)
\]
also in Fall II: $\frac{2}{9}(p+1)<j_3^\prime\le\frac{1}{4}(p+1)$\\[5mm]
Fall III: $a<0, b>0$\\[5mm]
Wegen
\[
b=\frac{s_1s_2+2as_3}{p}>0
\]
ist
\[
|b|<\frac{s_1s_2}{p}<p-2
\]
Ferner 
\[
c=\frac{aS_3-b}{p}<0,~~~|c|<|a|+\frac{|b|}{p}\le|a|+\underset{\substack{|\\(26^\prime)}}{\frac{7}{6}}
\]
\[
|s_3^\prime|=|b+2c|\le\begin{cases}|b|<p\text{ oder}\\
|2c|<\frac{p}{6}+\frac{7}{3}<p \end{cases}
\]
also $j_3^\prime>0$ in Fall III
\begin{flushright}
79/80
\end{flushright}
Fall IV $a<0, b<0$
\[
b=\frac{s_1s_2+2as_3}{p}<0\text{ gibt }|b|\le\begin{cases}(2|a|s_3-s_1s_2)/p\text{ oder}\\\bigg|\frac{2as_3}{p}\bigg|<\frac{p}{6} \end{cases}
\]
also 
\begin{eqnarray*}
|b|&<&\frac{p}{6}\\
|c|&\leqq&|a|+1\le\frac{p}{12}+1\\
|s_3^\prime|&\le&\frac{p}{3}+2\le p,
\end{eqnarray*}
$j_3^\prime>0$ in allen Fällen I - IV, noch prüfen!\\[5mm]
Also weitere Ungl.
\[
s_3^\prime<p\tag{28}
\]
\[
ac>0\tag{29}
\]
sonst
\begin{eqnarray*}
s_3^\prime&=&as_3-(p-2)c\\
|s_3^\prime|&>&(p-2)|c|\ge p-2 \rightarrow\leftarrow (28),\text{ denn }|c|\ge1
\end{eqnarray*}
Bew. f. $c\not=0$:\\
Wäre $c=0$, so 
\[
s_3^\prime=b=as_3=\frac{s_1s_2+2as_3}{p}
\]
nach (12) ergibt sich
\begin{gather*}
a^2s_3^2\equiv s_3^2~(4p-4)\\
4p-4\big|(a^2-1)s_3^2;~4p-4\big|a^2-1\\
a^2-1\ge 4p-4
\end{gather*}
widerspricht $j_1+j_2=a^2+j_3^\prime$, wonach $a^2<\frac{p+1}{2}$
\[
|b|\le p-3\tag{30}
\]
in
\begin{eqnarray*}
\text{I sogar }&<&p-2a\\
\text{II sogar }&<&\frac{p}{6}\\
\text{III sogar }&<&p-2\\
\text{IV sogar }&<&\frac{p}{6}
\end{eqnarray*}
\[
|c|\le|a|\tag{31}
\]
Bew: $c=\frac{as_3-b}{p}$, $|c|\le|a|\big|\frac{sb}{p}\big|+\big|\frac{b}{p}\big|<|a|+1$.
\begin{align}
j_3^\prime&\le j_1+j_2~~~(17,31)\tag{32}\\
p^2+s_3^\prime&\ge s_1^2+s_2^2\notag
\end{align}
\begin{flushright}
80/81
\end{flushright}
\begin{center}
Forts: $P$-Gr vom Grad $p$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[1.] Sind die Bezeichnungen $k$ und $l$ für die Längen der Tra Systeme von $\mf{H}$ in Darst $\mf{G}_2$ so gewählt, daß $n=|\mathcal{N}P:P|$ Teiler von $k$ ist, so ist $\mf{H}\cap\mf{K}$ vom Index $pl$ in $\mf{G}$.\\
Bew: Index $p^k$ geht nicht wegen $2$:
\item[2.] Für jeden Primteiler $q$ von $n$ enthält $\mf{H}\cap\mf{K}$ jede $q$-Sylow Gruppe $\mf{Q}$ von $\mf{G}$, welche $\mf{N}_1$ nichttrivial schneidet. Dabei ist angenommen, dass $\mf{N}_1$ elementweise in sich übergeht bei $\mf{G}_1\to\mf{G}_2$, denn $\mf{Q}$ hat in Darst. $\mf{G}_2$ einen Fixpunkt $\alpha$, $\mf{N}_1\cap\mf{Q}$ hat einen einzigen, 1, also ist $\alpha=1$, und der bleibt bei $\mf{G}_1\to\mf{G}_2$ fest wegen $\mf{N}_1$ elementweise in sich übergeht.
\item[3.] Nicht jede $q$-Sy-Gr von $\mf{G}_1$ zu $q\mid n$ kann im $\mf{G}_2$ - Bild die Ziffer $1$ fest lassen. Denn sonst $\mf{G}_1$ als Normalisator ihres Erzeugnisses auch.
\begin{flushright}
81/82
\end{flushright}
\item[4.] Wenn ein $\mf{G}_1$ das unter $UQ$ invariant ist (wo $P^Q=P^{-1}$) noch ein weiters $V$ gestattet, so daß $g^V\in\mf{S}^p$, so bleibt $g^U$ invar. unter $V^\ast UQV=UV^{\ast2}Q$, also gestattet $\begin{cases}\mf{G}^U&V^{\ast2}U\sim W\\
\mf{G}&UV^\ast=aW+bP \end{cases}$\\
Dann ist $V^\ast U=VW$ (bei passen. Normierg W) $\Rightarrow$ $UU^\ast=WW^\ast$, (wobei $\mf{G}^V$ $W$ gestattet, $W=\sum{}^{^\prime}P^i$).
\[
\begin{CD}
\mf{G}~~\circ @>U>>\circ @.~\mf{G}^U~~~~~~~~~~~\\
V@VVV @AA{\text{\normalsize \it V}}A \\
\mf{G}^V~~\circ @>>W>\circ @.~\mf{G}^{VW}=\mf{G}^{V^\ast U}
\end{CD}
\]
Dann ist
\[
V^\ast(U+W^\ast) \text{ hermitesch}
\]
Forts: 82 und XVI 51ff.
\begin{flushright}
82/83
\end{flushright}
\begin{center}
Forts: PGr vom Gr $p$
\end{center}
\item[5.] Man könnte die Permutationen, die mit $UQ$ vertauschbar sind, nach \\Schurs Vorgang mittels Polynom - Darstellungen untersuchen; oder die $U=\sum{}^{^\prime}P^i$ darstellen durch $u(x)\mod p$ und $(1-x)^p$ (oder $(1-x)^{p-1}$), und so $UV=U^\ast W$ diskutieren\\
Forts: 241, XVI 51 
\end{itemize}
\begin{flushright}
83/84
\end{flushright}
\begin{center}
Aufgabe $\lhdd$
\end{center}
Mit Hilfe von Tamaschkes Theorie den Verband derjenigen subnormalen Untergruppen von $G$ untersuchen, die unter einer gegebenen Autom.-Gruppe $A$ von $G$ invariant sind.\\[7mm]
\mbox{}
\begin{center}
Lit. Verlagerung:
\end{center}
Higman, Canad JM. 5 (1953) 477\\
Kochendörffer J Austral Math Soc $\underline{3}$, 63-65\\
Zappa Mathematiche, Catania $\underline{13}$, 61-64 (1959)\\[7mm]
\mbox{}
\begin{center}
Frage: $\lhdd$~~~~~~~~~~$|\mf{G}|\le\infty$
\end{center}
Tritt jeder Kompfaktor von $\mf{AB}$, wo $\mf{A},\mf{B}\unlhd\mf{G}_1$ schon in $\mf{A}$ oder $\mf{B}$ auf? Dann wäre die Menge $\mf{E}_\Lambda$ der Gruppen, die nur Komp f. aus $\Lambda$ haben, wohl subnormal persistent.~~~~~~Wd!
\begin{flushright}
84/85
\end{flushright}
\begin{itemize}
\item[1] Forts: ja. Man kann auch Hauptfakt unters.: genauer 3\\
Aufgabe die subnormalen Ugruppen der charakteristisch einfachen Gruppen. Sind sie etwa normal?
\item[2] Frage: Wenn $A$ Erzeugnis subnormaler Ugr von $\mf{G}$ ist, und nicht normal, gibts dann ein $g\in G$ mit $A\not=A^g\le\mathcal{N}A$? Das wäre nützlich in Verbdg mit Zorn
\item[21/6/63~~~~3] Ist $G=\langle A_i\rangle$, $A_i\in \mf{S}G$, so enthält jeder (subnormale, $\not=1$) Ausschnitt von $G$ einen von einem $A_i$. Dann die Eigenschaft $\mf{E}(X)$: "`Jeder Ausschnitt von $X$ enthält einen Ausschnitt eines $A_i$"' ist persistent
\item[4.] NB: Eins der $A_i$ braucht nicht $\lhdd G$ zu sein, die anderen brauchen nur ``schwach subnormal'' zu sein, dh. Erzeugnisse subnormaler.
\begin{flushright}
85/86
\end{flushright}
\item[5.] Zwei schwach subnormale Ugr, die keinen zyklischen Ausschnitt $\not=1$ isomorph haben, sind elementweise vertauschbar.
\item[6.] Frage: Ist eine charakteristisch einfache Gruppe, die einen zyklischen Ausschnitt hat, abelsch?
\item[7.] Man könnte $\mf{G}$ dann auflösbar nennen, wenn jeder (subn.) Ausschnitt von $\mf{G}$ einen abelschen Ausschnitt enthält.\\
Frage: Ist jede Untergruppe einer auflösbaren Gruppe auflösbar?\\
Sind Bolkers ``aufl Gruppen'' in diesem Sinn auflösbar? vgl. Russe: AMS Transl. (2) 17
\item[Def 8.] $\mf{A}\,{\lhd\lhd\lhd}\, \mf{G}\presucc~\mf{A}=\langle\mf{A}_i\rangle$, $\mf{A}_i\lhdd\mf{G}$\\[5mm]
Frage: Gilt $\mf{A}\,{\lhd\lhd\lhd}\,\mf{B}\,{\lhd\lhd\lhd}\,\mf{G}\succ\mf{A}\,{\lhd\lhd\lhd}\,\mf{G}$?\\
Gilt $\mf{A}\,{\lhd\lhd\lhd}\, \mf{G},~\mf{B}\,{\lhd\lhd\lhd}\,\mf{G}\succ\mf{A}\cap \mf{B}\,{\lhd\lhd\lhd}\,\mf{G}$?
\end{itemize}
\begin{flushright}
86/87
\end{flushright}
\begin{center}
26.6.63~~~~~~~~~Ausschnitte
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $G$ Gruppe: $A\sqsubseteq G\presucc A=Z/N,~N\unlhd Z\le G$
\item[(2)] $A_i\sqsubseteq G\presucc\bigcap A_i:=\frac{Z}{N}$\\
$A_i=Z_i/N_i$; mit $Z=\bigcap Z_i$, $N=\prod(Z\hspace*{-4mm}\underset{\substack{\uparrow\\\text{mengen-}\\\text{theor.}}}{\cap}\hspace*{-4mm}N_i)$\\
NB: Für $A_i\le G$ ist $\bigcap A_i=$ mengentheoret. Bedeutung\\
Für $A_i=G/N_i$ ist $\bigcap A_i=\prod G/N_i$ die $g\cdot g$ Faktorgruppe
\item[(3)] $A\cap B=B\cap A$
\item[(4)] $(A\cap B)\cap C\not= A\cap(B\cap C)$ i.a.\\
Bew: $|G|=4$; $\exp2$. $|A|=|B|=|C|=2$.\\
$\left.\begin{array}{ccc}G/A\cap \left[ G/B\cap C\right]&=&G/A\cap C=C\\
\left[ G/A\cap G/B \right] \cap C&=&G/G\cap C=C/C\end{array}\right\}~~\not=$
\item[(5)] Def: $Z_1/N_1\le Z_2/N_2\presucc Z_1\le Z_2,~N_1\ge N_2\cap Z_1$
\item[(6)] $\cdots\presucc Z_1/N_1\cap Z_2/N_2=Z_1/N_1$
\begin{flushright}
87/88
\end{flushright}
\item[(7)] $1=\min\alpha$ (Ausschnitte von $\mf{G}$), $G/1=\max\alpha$.
\item[(8)] $Z_1/N_1\le Z_2/N_2\le Z_3/N_3 \succ Z_1/N_1\le Z_3/N_3$
\item[(9)] $\bigcap A_i/B_i\le A/B\le A_i/B_i\succ A/B=\bigcap A_i/B_i$.
\item[(10)] Verallg. der Projektion:\\
Sei $N\le\underset{\displaystyle{H\le G}}{Z\le G}$ (nicht $N\trianglelefteq Z$!)\\
Setze $H\neg Z/N:=$ Gesamtzahl d $N$ Kl $zN$, die El'e von $H$ enth.\\
$:=(H\cap Z)N/N$
\item[(11)] \underline{Dann} schon gilt: Sei $K\le H$.\\
$H\neg Z/N=K\neg Z/N\presucc Z\neg H/K=N\neg H/K$ nämlich  $\presucc H\cap Z\le NK$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
88/89
\end{flushright}
\begin{center}
$\lhdd$~~~~~$\infty$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[1)] $G$ perfekt, $\in$ Min sub, $G=\langle AB\rangle$, $A,B\lhdd G~~\succ~~G=A_G B_G$\\
(Kerne) $=\bigcap A^g , \ldots$\\
Bew: Wähle $B_0$ bei festem $A$ minimal mit $B_0\unlhd\lhd B$, $G=(A,B_0)$;
\begin{eqnarray*}
G&=&A^G B_0\\
G&\equiv&B_0~~~~~(A^G)~~~~~~B_0\lhd B_1\lhd\cdots\lhd G\\
G=(G,G)&\equiv&(B_0,B_0^{b_2})~~(A^G)\\
&\equiv&(\underbrace{B_0\cap B_0^{b_2}}_{\substack{=B_0\text{ wegen Mini-}\\\text{malität von }B_0}})~~~(A^G)
\end{eqnarray*}
\[
B_1=B_0^{B_2}=B_0~~~~~B_0\lhd B_2~~~~~~B_0\lhd G
\]
\begin{eqnarray*}
G&\equiv&A^G~~(B_0)\\
&\equiv&A^{A^G}~~(B_0)\\
&\vdots&\\
&\equiv&A~~(B_0)\\
G&=&AB_0=AB_G
\end{eqnarray*}
ebenso weiter \hspace*{24mm} $=A_GB_G$
\item[$1^\prime$)] Erzeugnis statt $G\in$ Min sub: $A\cap B\in$ min sub; nach Hall $\Rightarrow$ $G\in\cdots$
\begin{flushright}
89/90
\end{flushright}
\item[Methode: 2)] Allgemein sollte man mit dieser Methode perfekte (Sub-)Normalteiler von Produkten (sub-) normaler Ugr von $\mf{G}$ untersuchen.
\item[(3)] Folgt aus $A_i\,{\unlhd\unlhd}\, G$, $A_i$ perfekt $\langle A_i\rangle=\prod A_i$? Dabei kann Betrachtung des maximalen Normalteilers von $\langle A_i\rangle$ in $\prod A_i$ von Nutzen sein.
\item[\#4)] Sei $A,B\,{\unlhd\unlhd}\, G$, $A\cap B=1$; Beh $A^B\cap B^A$ enthält  keine abelsche subnor Ugr $\not=1$ von $\mf{G}\presucc$ $(A,B)=1$ \begin{picture}(0,0)\put(-240,0){(Elementweise}\put(-240,-12){Vertauschbarkeit)}\end{picture}\\
Bew: $<$ klar\\
$>$ Indukt $n=[E:A]+[E:B]$, wo $[~]=$ Tiefe, $E=\langle AB\rangle$\\
$n=0,1,2$ klar\\
$n>2$, etwa $[E:B]>1,~B\ntriangleleft E$:
\begin{center}
\begin{picture}(0,80)
\drawline(0,0)(20,20)(0,60)(-20,20)(0,0)
\drawline(0,60)(0,70)
\drawline(-10,10)(13.333,33.333)
\put(20,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(13.33,33.33){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(0,60){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(0,70){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(-20,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(25,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(22,35){\makebox(0,0){$\scriptstyle B^E$}}
\put(5,60){\makebox(0,0){$\scriptstyle E$}}
\put(5,70){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(-26,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(-16,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1$}}
\end{picture}
\end{center}
$A_i:=A\cap B^E=A\cap B^A$\\
$[B^E:A_i]\le[E:A]$, $[B^E:B]=[E:B]-1$\\ 
$A_1\lhdd G$, da $\lhd A$.\\
abel $S\lhdd G_1A_1$ $B_1B^{A_1}\succ S\lhdd G$, $S\lhdd A^B\cap B^A\succ S=n$\\
Indukt: $(A_1,B)=1=(A_1,B^A)=(A_1,B^E)$\\
$A_1$ abelsch, $A\lhd E$, $G\le A^B\cap B^A\succ A_1=1$\\
Hieraus folgt $\langle A,B^E\rangle=E$ $A\cap B^E=1$; $A^E\cap B^E$ hat keine abelsche subnor Ugr von $G$, daher $(A,B^E)=1$ (Indukt), $(A,B)=1$
\begin{flushright}
90/91
\end{flushright}
\item[5)] $A,B\,{\unlhd\unlhd}\, G$, $A\cap B=1$, $\langle A,B\rangle=E$, $A^E\cap B^E$ enthält keine subnor abelsche Gr. $\not=1$ $\Rightarrow$ $(A,B)=1$\\
Bew: in 4) wähle $E$ für $G$.
\item[7] Gedanke zur Behandlung von $\mf{E}S\mf{G}$ $=$ Menge der Erzeugnisse subn Ugr von $\mf{G}$:\\
$\mf{E}\in\mf{E}S\mf{G}\succ[\mf{G}:\mf{E}]=$ min max ${}_i[\mf{G}:\mf{A}_i]$ $\langle\mf{A}_i\rangle=\mf{E}$\\
Es ist $[\mf{G}:\mf{E}]=1\presucc\mf{E}\unlhd\mf{G}$\\
Es ist $[\mf{G}:\mf{E}]\le\infty$
\item[8.] Die richtige Verallgemeinerung der subnor. Ugr sind vielleicht die endlichen Durchschnitte von Erzeugnissen unendlich vieler Subnormaler Ugr.
\begin{flushright}
91/92
\end{flushright}
\item[9.] Das Erzeugnis endlich vieler $(n)$ endlicher subnormaler Ugr. ist subnor. und endlich.\\
Bew: Indukt. $n$.\\
Für $n=2$: Ind min $[\mf{G}:\mf{A}_1],~[\mf{G}:\mf{A}_2]$
\item[$9^\prime$.] Aufgabe: Schranke für Ord \& Tiefe des Erzeugnisses angeben.
\item[10.] In einem Erzeugnis beliebig vieler endlicher subnormaler Ugr'en hat jede endliche Ugr eine endliche subnormale Hülle.
\item[11.] Ist $H\le G$ und gibt es unter den in $H$ gelegenen $A\,{\unlhd\unlhd}\, G$ eine maximale $M$, so ist $M\unlhd H$, und $M$ enthält jede subnor. Ugr von $G$ in $H$.\\
Forts: 100
\end{itemize}
\begin{flushright}
92/93
\end{flushright}
\begin{center}
Arith. Str. zusg. Gruppen~~~~~~13.7.63
\end{center}
\begin{itemize}
\item[1.] Seien $\mf{H}_1,\mf{H}_2$ $w$-Untergruppen der endl. Gruppe $\mf{G}$. Für eine Komp-Reihe $\mf{G}_i$ von $\mf{G}$ sei $\forall_i~\mf{H}_1\neg\mf{G}^i$ konj zu $\mf{H}_2\neg\mf{G}^i$ und dies eine maximale $w$-Ugr von $\mf{G}^i$. $(i=1,2,\cdots)$\\
Damit gilt das Gleiche für jede $K$ Reihe von $\mf{G}$.\\
$[$ NB: Analog für HauptR. und charakt. Reihen.$]$\\
Bew: Es genügt $\mf{G}=\mf{G}_1\times\mf{G}_2$ zu betrachten\\
Der Witz ist: $\mf{H}_i\neg\mf{G}_2=\mf{H}_i\mf{G}_1\cap\mf{G}_2$ das zeigt: Sind $\mf{H}_i\neg\mf{G}^1$ konj in $\mf{G}^1$, so $\mf{H}_i\mf{G}_1$ konj in $\mf{G}$, also unter $\mf{G}_2$, daher $\mf{H}_i\cap\mf{G}_2$ konj in $\mf{G}_2$.\\
Dass auch $\mf{H}_i\neg\mf{G}^2=(\mf{H}_i\cap\mf{G}_1)\mf{G}^2$ konj in $\mf{G}_1$ ist klar.
\item[$1^\prime$.] Entsprechend für $\mf{H}_1\neg \mf{G}^i=\mf{H}_2\neg \mf{G}^i$ statt Konjug.
\item[2.] Wenn sogar die $\mf{H}_{1,2}\neg\mf{G}^i$ konjugiert in ihrem Erzeugnis sind $\mf{H}_1$, $\mf{H}_2$ konj. in ihrem Erzeugnis $\mf{E}$.\\
Bew: oBdA $\mf{G}=\mf{E}$ $\mf{G}^\ast\lhd\mf{G}$; Ind: $\mf{H}_i^\ast=\mf{H}\cap \mf{G}^\ast$ konj in $\mf{G}^\ast$\\
oBdA $\mf{H}_1^\ast=\mf{H}_2^\ast$~~~~~$\overline{\mf{G}}=\mathcal{N}\mf{H}_2^\ast$ in $\mf{G}/\mf{G}^\ast\neg\overline{\mf{G}}$ sind $\overline{\mf{H}}_1$, $\overline{\mf{H}}_2$ konj.
\begin{flushright}
93/94
\end{flushright}
\item[3.] Def: $\mf{M}\in\underset{\substack{\uparrow\\\text{extremal}}}{\mf{E}_\omega}\mf{G}\presucc\mf{M}$ ist $\omega$-Gr. v. $\mf{G}$ und keine $\omega$-Gr. $\overline{\mf{M}}$ von $\mf{G}$ hat Ordng, die echtes Vielf. v. $|\mf{M}|$\\
NB: Kann wohl weiter gefaßt werden: Es soll keine $\omega$-Gp in $\mf{G}$ geben, die die gleichen KFG wie $\mf{M}$ hat und noch ein paar primzahllge dazu, dann wäre z.B. jede max aufl $\omega$-Gp ``extremal''.
\item[4.] Sei $1<\mf{N}\lhd\mf{G}$, $\mf{M}_1\in\mf{E}_{\omega}\mf{G}$ $(i=1,2)$ $[$ $i=1$ genügt, denn $i=2$ \anmerk $]$\\
Sei $\mf{M}_1\cap\mf{N}=\mf{M}_2\cap\mf{N}$ \& $\mf{M}_1\mf{N}=\mf{M}_2\mf{N}$\\
Dann $\mf{M}_1=\mf{M}_2^G$ für ein $G\in\mf{G}$.\\
Bew: $\overline{\mf{G}}=\mathcal{N}(\mf{M}_1\cap\mf{N})\ge\mf{M}_1,\mf{M}_2$\\
oBdA $\overline{\mf{G}}=\mf{G}$: $\mf{M}_1\cap\mf{N}\unlhd \mf{G}$ \& $\mf{M}_i\mf{N}=\mf{G}$
\begin{center}
\begin{picture}(0,75)
\drawline(0,0)(0,75)
\thicklines
\drawline(0,0)(0,25)
\drawline(0,50)(0,75)
\put(0,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(0,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(0,50){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(0,75){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(4,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle1$}}
\put(22,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{M}_1\cap\mf{N}=\mf{d}$}}
\put(7,50){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{N}$}}
\put(5,67){\makebox(0,0){$\scriptstyle \omega$}}
\put(19,75){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{G}=\mf{M}_1\cdot\mf{N}$}}
\end{picture}
\end{center}
Nun ist $|\mf{N}:\underbrace{\mf{M}_1\cap\mf{N}}_{\mf{d}}|_\omega=1$ sonst könnte man mittels des Normalisators einer $p$-Sy $\mf{N}\slash\mf{d}$ noch größere $\omega$-Ord erzielen, die ein Vielfaches der alten ist.\\[4mm]
allgem: 10\\[4mm]
Frage: Entsprechend für längere Normalketten?
\begin{flushright}
94/95
\end{flushright}
\item[5.] Def: $\mf{H}\in \omega\text{- Mi }\mf{G}$ ($w$-minimal)\\
wenn $\mf{H}$, aber keine echte Ugr von $\mf{H}$, zu jedem $p\in \omega$ eine $p$-Sy $\mf{G}$ enthält.
\item[6.] $\mf{H}\in \omega\text{- Mi }\mf{G}$ hat ``Eigenschaft $D$'', also $S\mf{G}\to S\mf{H}$ Homo.
\item[Frage 7.] Sei $\mf{N}\lhd g$, und $\mf{G}/\mf{N}\in\mf{E}_\omega(\mf{G}/\mf{N})$. Sei $|\mf{N}|_\omega=1$. Sind dann je zwei Komplemente von $\mf{N}$ in $\mf{G}$ konjugiert?\\
ObdA kann man $\mf{N}$ als $p$-Gruppe annehmen beim Beweis.
\item[Satz 8.] Zwei $\omega$-Hall-Gruppen, die dieselben Projektionen auf eine Normalkette $\{\mf{G}_i\}$ von $\mf{G}$ haben, sind konjugiert.\\
Bew: (4)  $\mf{H}_i\cap\mf{G}_1$ ist $\omega$-extremal in $\mf{G}_1$.
\item[Frage 9:] Ist der Schnitt einer maxim. aufl. $\omega$-Ugr $\mf{H}$ von $\mf{G}$ $[$ kurz: $\mf{H}\in \mathcal{MA}\omega \mf{G}$ $]$ jeden Normalteiler von $\mf{G}$ in einer Gruppe aus $\mathcal{MA}\omega\mf{N}$?
\begin{flushright}
95/96
\end{flushright}
\item[9a] Das wäre zu bejahen, wenn folgendes gilt: eine aufl. $\omega$-Gr $a$ von Autom von $\mf{G}$ läßt stets eine $\omega$-Gr $\not=1$ von $\mf{G}$ fest, wenn $|\mf{G}|_\omega\not=1$.
\item[10.] Sei $\mf{H}_1\neg \mf{G}^i=\mf{H}_2\neg \mf{G}^i$ eine $\omega$-Gp $(i=1,\cdots,5)$ die in ihrem Normalisator in $\mf{G}^i$ kurz: $\to$ einen Index hat, der zu $\omega$ fremd ist.\\
``große $\omega$-Gp'' Dann ist $\mf{H}_1=\mf{H}_2^G$.\\
Bew für $s=2$ wie 4, dann Indukt.
\item[11.] Die Vor von 10 ist für $s=2$ und $\mf{H}_1\in\mf{E}_\omega\mf{G}$ (vgl 4) erfüllt.
\item[12.] Vorschlag zur Bezeichnung: 
\begin{align*}
\mathcal{J}=&\text{intravariant}\\
\mathcal{M}=&\text{``maximal''}\\
\mathcal{A}=&\text{``auflösbar''}\\
\omega=&\text{``$\omega$-Gp}\\
\mathcal{H}=&\text{``Hall''}\\
\text{``faktoriell''}=\mathcal{F}=&\text{``abelsch auf alle Faktoren von $\mf{G}$''}\\
\mathcal{G}=&\text{``groß''}
\end{align*}
z.B. $\mf{H}\in \mathcal{FG}\omega\mf{G}$ heißt: jede Projektion von $\mf{H}$ in Faktor $\mf{F}$ von $\mf{G}$ ist eine $\omega$-Gp, die in Norm in $\mf{F}$ einen Index prim zu $\omega$ hat.
\begin{flushright}
96/97
\end{flushright}
\item[13)] $\mf{H}\neg\mf{G}^i\in\mathcal{H}\omega\mf{G}^i\Rightarrow\mf{H}\in\mathcal{H}\omega\mf{G}$.
\item[14)] Ist für \underline{eine} Kompreihe $\mf{G}^i$ stets $\mf{H}\neg\mf{G}^i\in\mathcal{H}\omega\mf{G}^i$ so gilt das für jede KR. von $\mf{G}$.\\
genügt:
\begin{center}
\begin{picture}(0,70)
\drawline(0,0)(30,30)(0,60)(-30,30)(0,0)
\drawline(-15,15)(15,45)
\put(14,44){\vector(1,1){1}}
\drawline(15,15)(-15,45)
\put(14,16){\vector(1,-1){1}}
\thicklines
\drawline(0,0)(-15,15)
\drawline(-30,30)(-15,45)
\drawline(0,0)(15,15)
\drawline(50,14)(52,19)
\put(0,-4){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(62,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle\text{groß}$}}
\put(20,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle \mf{K}_2$}}
\put(37,30){\makebox(0,0){$\scriptstyle \mf{G}_2$}}
\put(0,65){\makebox(0,0){$\scriptstyle \mf{G}$}}
\put(-35,30){\makebox(0,0){$\scriptstyle \mf{G}_1$}}
\put(-34,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle \mf{H}_1=\mf{H}\cap\mf{G}_1$}}
\put(60,50){\makebox(0,0){$\scriptstyle \mf{G}=\mf{G}_1\times\mf{G}_2$}}
\end{picture}
\end{center}
$[$Genügt zu zeigen: $\mf{H}=(\mf{H}\cap\mf{G}_1)\times(\mf{H}\cap\mf{G}_2)$ $]$\\
Beweis: $\mf{K}_2:=\mf{H}\mf{G}_1\cap\mf{G}_2\unlhd\mf{H}\mf{G}_1$\\
$\mf{K}_2$ ist $\in\mf{H}\omega\mf{G}_2$.\\
$\mf{H}\le\mathcal{N}\mf{K}_2:\mf{H}\mf{K}_2\omega$ Gp\\[4mm]
$\mf{C}:=\mf{H}_0\mf{K}_2\le\mathcal{N}\mf{H}_1$, $\mf{C}\cap\mf{G}_1\le\mathcal{N}\mf{H}_1$      $\mf{C}\cap\mf{G}_1~~\omega$-Gp\\%[4mm]
$\mf{C}\cap\mf{G}_1=\mf{H}_1$ wegen $\mf{H}_1\in\mf{C}\omega\mf{G}_1$\\
$\mf{C}\neg\mf{G}/\mf{G}_1=\mf{H}_2\mf{G}_1/\mf{G}_1\le\mf{H}\mf{G}_1/\mf{G}_1$~~~$\mf{H}\le\mf{C}$\\
$\mf{C}=\mf{H}\succ\mf{K}_2\le\mf{H}$\\
$|\mf{H}_1\times\mf{K}|=|\mf{H}|$.~~$\mf{H}=\mf{H}_1\times\mf{K}$ dann $\nearrow$
\item[($14^\prime$)]$\mf{H}\in \mathcal{F}\mf{H}\omega\mf{G}\succ\mf{H}\underset{D}{\le}\mf{G}$.
\item[(15)] Ist für eine K-Reihe $\mf{G}^i$ stets $\mf{H}\neg\mf{G}^i\in\mf{H}\omega\mf{G}^i$, so $\mf{H}\in\mathcal{F}\mf{H}\omega\mf{G}$; und wenn $\mf{K}\neg\mf{G}^i=\mf{H}\neg \mf{G}^i$, so $\mf{K}\hspace*{-6mm}\underset{\substack{\mf{G}\\\uparrow\\\text{"`konjug. in }\mf{G}\text{"'}}}{=}\hspace*{-6mm}\mf{H}$
\begin{flushright}
97/98
\end{flushright}
\item[(16)] Insbes. ist $\mathcal{MA}\omega\le\mathcal{H}\omega$ daher gelten 14,15 auch für $\mathcal{FMA}\omega\mf{G}$
\item[(17)] Ordnet man die $p_i\in\omega$ in bestimmter Weise, ist jede $\{p,\cdots\}$ - Sylow-Normalisator Turmgruppe $\in\mf{I}\cap\mathcal{H}\omega$; sie sind selbskonjugierend und man kann in jedem einfachen Faktor von $\mf{G}$ eine solche beliebig wählen und dann zu einem $\mf{H}\in \mathcal{F}\mf{I}\mathcal{H}\omega\mf{G}$ zusammensetzen und alle $\mf{H}$ sind konjugiert.
\item[(18)] Wenn Vermutung 9a stimmt, ist $\mathcal{MA}\omega\subseteq \mathcal{FH}\omega$
\item[(19)] Nicht ist $\mathcal{MA}\omega\subseteq\mf{I}$ z.B: $\mf{G}_{168}$~~~~~$\omega=\{2,3\}$\\
$\circledast$ Für unendliche Gruppen: Man könnte $0\in\omega$ zulassen, so von Torsionsgruppen wegkommen
\begin{flushright}
98/99
\end{flushright}
\item[(20)] Sei $\mf{E}$ eine Klasse von Untergr. einer Gruppe $\mf{G}$ ($\mf{G}$ laufend) derart, daß $\mf{H}\neg(\mf{A}\times\mf{B})/\mf{A}\in\mathcal{C}~\mf{A}\times\mf{B}/\mf{A}$\\
$\mf{H}\cap\mf{A}\in\mathcal{C}\mf{A}$
\begin{center}
%\psfrag{E}{$\scriptstyle\mf{E}$}
%\epsfig{file=99d13,height=2.2cm}
\begin{picture}(0,65)
\drawline(0,0)(30,30)(0,60)(-30,30)(0,0)
\dashline[30]{3}[0.7](-27,30)(27,30)
\put(26,30){\vector(1,0){1}}
\thicklines
\drawline(-15,15)(0,0)(15,15)
\drawline(30,30)(15,45)
\drawline(-30,30)(-15,45)
\put(14,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{E}$}}
\put(27,39){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{E}$}}
\put(-27,39){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{E}$}}
\put(-11,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{E}$}}
\end{picture}
\end{center}
folgt: dasselbe mit Vertauschung $\mf{A}\leftrightarrow\mf{B}$. Dann folgt aus $\mf{H}\neg\mf{G}^i\in\mathcal{C}\mf{H}^i$ für eine Komposition$R$ (oder Haupt$R$:) dasselbe für jede.
\item[(21)] Wenn sogar gilt
\[
\left.\begin{array}{cc}
\mf{H}\neg\{\mf{A}\times\mf{B}\slash\mf{A}\}&\in\mathcal{C}\{\}\\
\mf{H}\cap\mf{A}&\in\mathcal{C}\mf{A}
\end{array}\right\}~\mf{H}=\mf{H}\cap\mf{A}\times\mf{H}\cap\mf{B}
\]
so hat jede Gruppe $\mf{H}\in \mathcal{F}\mf{G}$ die Distributivitätseigenschaft
\[
\mf{H}\in \mathcal{D}\mf{G}:~~\mf{H}\cap\,\langle\mf{A}_i\rangle=\langle\mf{H}\cap\mf{A}_i\rangle
\]
wenn $\mf{A}_i\lhdd\mf{G}$
\item[(22)] Für unendliche Gruppen könnte nützlich sein der Begriff der\\ \underline{lokalen Konjugiertheit}:\\ 
$A$ zu $B$ in $G$ lok. konj. $\presucc$ zu jeder endl. erzeugten (oder: endlichen) Ugr $A^\prime$ von $A$ $\exists g\in G:A^{\prime g}\subseteq B$ und dasgl für $B^\prime\le B$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
99/100
\end{flushright}
\begin{center}
16.7.63~~~~~~~~$\lhdd$ Forts. von S. 92
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $\mf{A},\mf{B}\lhdd\mf{G}$, $\mf{AB}=\mf{BA}$,\\
$\mathcal{S}\mf{B}$ erfüllt die Max-Bedgg $\succ \mf{AB}\lhdd\mf{G}$ allgemeiner 2\\
Bew: sonst $\exists \mf{C}_n\nearrow$, $\mf{A}\le\mf{C}_n\lhdd\mf{G}$, $\mf{C}_n\le\mf{AB}$ $\mf{C}_n=\mf{A}\cdot(\mf{C}_n\cap\mf{B})$; $\mf{C}_n\cap\mf{B}\nearrow$ W!
\item[($1^\prime$)] Es genügt: die $\{$ Subn Ugr von $\mf{B}\ge\mf{A}\cap\mf{B}\}$ erfüllt die Max. Bedgg.
\item[(2)] Satz: $\mf{A},\mf{B}\lhdd\mf{G}$, $\mf{AB}=\mf{BA}\succ\mf{AB}\,{\unlhd\unlhd}\, \mf{G}$\\
Bew: Indukt $t(\mf{A},\mf{AB})=n$\\
\begin{minipage}[b]{3cm}
\begin{picture}(0,0)
\put(20,20){\line(0,1){30}}
\put(20,51){\line(0,1){30}}
\put(20,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(20,50){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(20,81){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(30,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{A}$}}
\put(30,50){\makebox(0,0){$\scriptstyle\overline{\mf{A}}$}}
\put(30,80){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{AB}$}}
\end{picture}
\end{minipage}\hspace*{2cm}
\begin{minipage}[b]{6cm}
$n=1:~\mf{A}\lhd\mf{AB}$ bekannt\\
$n>1:$
\begin{eqnarray*}
\overline{\mf{A}}&:=&\mf{A}^{\mf{AB}}\\
&=&\mf{A}\cdot\underbrace{(\overline{\mf{A}}\cap\mf{B})}_{\substack{\overline{\mf{B}}\lhd\mf{B}\\\overline{\mf{B}}\lhdd\mf{G}}}=\mf{A}\overline{\mf{B}}\\
t(\mf{A},\mf{A}\overline{\mf{B}})&=&t(\mf{A},\mf{AB})=1\\
\succ\overline{\mf{A}}\lhdd\mf{G}\succ&&\mf{AB}\lhdd\mf{G}
\end{eqnarray*} 
\end{minipage}\\[0mm]
Noch allgemeiner: (7)
\item[3)] Frage: Erzeugen endlich viele $A^g$ eine subn. Ugr wenn $A\lhdd G$?
\item[4)] Frage: Welche $B\in \mathcal{S}G$ haben die Eigenschaft:
\[
A\lhdd G\succ\langle A,B\rangle\lhdd G ?
\]
\begin{flushright}
100/101
\end{flushright}
\item[5)] Sei $A,B\lhdd G$ stets vorausg.
\[
\langle A,B\rangle\lhdd G\presucc A^B\lhdd G
\]
\item[6)] $t(A,G)\le2\succ\langle A,B\rangle\lhdd G$
\item[(7)] Wenn $A,B\lhdd G$ und $\langle A,B\rangle=ABA$, so $\langle A,B\rangle\lhdd G$\\
Bew wie 4: $A^B=:\overline{A}=A\overline{B}A$ mit $\overline{B}=\overline{A}\cap B$
\item[(8)] Frage: Genügt auch $\langle A,B\rangle=(AB)^2$ oder sogar $=(AB)^n$?
\item[(9)] Seien $A,B\lhdd G$. Beh:
\[
\langle A,B\rangle\lhdd G\presucc A^B\lhdd G\presucc (A,B)\lhdd G
\]
\item[(10)] Def: $A$ lokal subnormal in $G\presucc$ Aus $E\le A$, $E$ endl erzeugt folgt $E\,{\unlhd\unlhd}\, G$\\
Frage: Eigenschaften?
\begin{flushright}
101/102
\end{flushright}
\item[(11)] Wenn $G\in$ Min subn, so dürften meine Sätze über die Vertauschbarkeit von subn Ugr gelten. Jedenfalls ist dann, wenn $A\lhdd G$, $A/A^\prime$ direktes Produkt endlich vieler $p$-Gruppen; $A$ ist das Erzeugnis einköpfiger subnormaler. Tamaschkes Verbandstheorie übertragen.
\item[(12)] Frage: Was für eine Verbandsstruktur hat $\mathcal{S}\mf{G}$ wenn $\mf{G}\in$ Max sub?
\item[(13)] Frage: $\mf{G}\in$ Min sub $\succ \mathcal{S}\mf{G}$ Verband?\\
Gegenbeispiele wären wohl zunächst unter den $p$-Gruppen zu suchen. Stoff für Madison.
\item[(14)] Aufgabe: Subnormale Kerne und Hüllen unter der Vor $G\in M_{\mathrm{in}}^{\mathrm{ax}}$ sub untersuchen.
\begin{flushright}
102/103
\end{flushright}
\item[(15)] $G\in$ Max sub; $D,A,B\lhdd G$, $D\le A\cap B$ $\succ$ jeder Faktor von $\langle A,B\rangle$ über $B$ enthält einen Faktor $\cong$ von $A$ über $D$\\
Bew: Wähle Gegenbeispiele mit maximalem $D$
\begin{itemize}
\item[a)] Wenn $D=A$ red. $B$, fertig
\item[b)] $D<{}_B^A$ 
\end{itemize}
%\newpage
Wähle $A_1,B_1\le\mathcal{N}D\cap{}_B^A$
\begin{center}
\begin{picture}(0,60)
\drawline(0,0)(20,20)(0,50)(-20,20)(0,0)
\drawline(20,20)(40,40)
\drawline(-20,20)(-40,40)
\drawline(1,-1)(21,19)%(20,20)
\drawline(-1,-1)(-21,19)%(-20,20)
\put(20,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(30,30){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(40,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(-20,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(-40,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(0,-6){\makebox(0,0){$\scriptstyle D$}}
\put(29,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle B_1$}}
\put(48,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(0,55){\makebox(0,0){$\scriptstyle\hat{D}$}}
\put(-28,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1$}}
\put(-47,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\end{picture}
\end{center}
Denn $B_1\le A$ fertig (Max alg $D$. Sei $B_1\not\le A\lhdd G$. Ebenso $A_1\not\le B$ subnormal.\\
Denn $D<\widehat{D}:=\langle A_1,B_1\rangle$\\ 
$\widehat{D}=A_1^{B_1}\cdot B_1$\\
$\{\text{Fakt }\widehat{D}\text{ bis }B_1\}\le\{\text{ Fakt }A_1^{B_1}\text{ bis }D\}$, also
\begin{itemize}
\item[I:] jeder Fakt $\widehat{D}$ bis $B_1$ enth Fakt $A$ bis $D$. Nun bilde $\widehat{A}:=\langle A,\widehat{D}\rangle$. Wegen $D<A_1\le A\cap\widehat{D}$ ist nach Max Eig $D$:
\item[II] Jeder Faktor von $\widehat{A}$ bis $\widehat{D}$ enth Fakt $A$ bis $A_1$, also enth. Fakt $A$ u $D$.\\
Nun $\langle A,B\rangle=\langle\widehat{A},B\rangle$
\item[III] Jed Fakt $\langle A,B\rangle$ bis $B$ enth Fakt $\widehat{A}$ bis $B_1$.
\end{itemize}
I+II+III genügt
\begin{flushright}
103/104
\end{flushright}
Ansatz zum allg. Beweis von (15) ohne Max:\\
den Ausschnitt $Z/N$ über $B$ möglichst hoch schneiden. Man kann $N=B$ annehmen. Bei Annahme der Min Bedg für subn Ugr kann man annehmen $D=D_A$
\item[(16)] $A,B\,{\unlhd\unlhd}\, G$, $G=\langle A,B\rangle$. $G/B^G$ perfekt, \& $B\in$ min $\Rightarrow$ $\exists$ minimal $A_1\le A\ni\langle A_1,B^G\rangle=G$ \& $A_1\unlhd G$
\end{itemize}
\begin{flushright}
104/105
\end{flushright}
\begin{center}
Charaktere von $p$-Elementen in monomialen Darstellungen
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $\mf{G}$ endl Gruppe, $D(g)$ monomiale transitive Darst: $\mathbb{C}$ vom Grad $n$, $h$ ein Element von $p$-Potenzordnung in $\mf{G}$, $k$ die Zahl seiner Konjugierten, $\chi=\text{ Sp }D(h)$, $\chi^0=\text{ Sp }P(h)$ wo $P$ die entsprechende tra. Permut-Darst von $\mf{G}$ ist. Dann
\[
\frac{k\chi}{n}\equiv\frac{k\chi^0}{n}\mod \mf{p}
\]
wo $\mf{p}\big|p$ in $\mathbb{Q}(\chi)$.\\
Bew: 
\begin{eqnarray*}
\frac{k\chi}{n}&=&\text{ Diagonalelement  von }\sum\limits_{h_1\in\text{ Kl }h} D(h_1),\\
&\underset{\mf{p}}{\equiv}&\cdot~~~~~\cdot~~~~~\sum P(h_1)=\frac{k\chi^0}{n}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\begin{flushright}
105/106
\end{flushright}
\begin{center}
$P$-Gr mit reg Normalt.
\end{center}
In Diss Erber findet sich der Spezialfall $\mf{G}$ aufl, $\mf{U}=\mf{G}_{12}$ des folgenden allgem. \underline{Satzes:}\\
Enthält $\mf{G}$ einen reg $\mathcal{N}T~~\mf{N}$, so sind je zwei Fixpkte $\alpha,\beta$ einer bel. Ugr $\mf{H}$ von $\mf{G}$ konjugiert unter $\mf{N}\cap\mathcal{C}\mf{H}=\mathcal{C}_\mf{N}\mf{H}$.\\
Bew: Sei $\alpha^N=\beta$, dann $\alpha^{NH}=\beta$, $\beta^{N^{-1}N^H}=\beta$; $N^{-1}N^H=1$.\\
$[\mf{G}^\ast=\mf{HN}$ hat $\mf{G}_1^\ast=\mf{H}$ wenn $1\in\phi\mf{H}$. $[$ Bew. durch Vergleich der Ord$]$ in einer tra Gr $(\mf{G}^\ast)$ sind daher je zwei $\alpha,\beta\in\phi \mf{G}_1^\ast$ konjugiert unter $\mathcal{N}\mf{G}^\ast_1$. Da $\mathcal{N}_{\mf{G}^\ast}\mf{G}_1^\ast=\mf{G}_1^\ast\cdot\mathcal{N}_{\mf{N}}\mf{G}^\ast_1$ folgt der Satz.\\
Folge: In einer aufl pri Gr ist jede Gruppe mit $\ge2$ Fixp verschieden von ihrem Normalis. (in anderer Formulierung, allgemeiner aber gleichwertig, ="'Satz von Taunt"': $\mf{G}$ endl, $\mf{U}\le\mf{G}$, aus $\mf{U}\le\mf{V}\le\mf{G}$ folgte $\mathcal{N}\mf{V}=\mf{V}$. Dann folgt aus $\mf{U}\le\mf{V}\cap\mf{W}^G$ auch $\mf{V}=\mf{V}^G$, $G\ni\mf{V}$.
\begin{flushright}
106/107
\end{flushright}
\begin{center}
Selbstkonjugierende Untergruppen
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Df: $S\le G$ $sC\iff\forall g\in G:~S\mathrm{cj}S^g$ in $\langle S,S^g\rangle$\\
\hspace*{17mm}$=$ pronormal
\item[(2)] Thm: "`Fixpunkte selbstkonjugierender Untergruppen"'\\
Seien $S\le G, S$ sei in $G$, $T\le G$, $G=ST$, $G$ acting on $\Omega$\\ 
$\alpha,\beta\in\phi S$,  $\beta\in\alpha^T$\\
Dann $\beta\in\alpha^{T\cap\mathcal{N}S}$\\
Bew: $\beta=\alpha^t$ $H:=\langle S,S^t\rangle\le G_\beta=\text{ Fixgp}$\\
$\exists g^\prime\in G^\prime:$ $S^{tg^\prime}=S$~~~$tg^\prime\le\mathcal{N}S$\\
$\alpha^{tg^\prime}=\beta^{g^\prime}=\beta$ aber $tg^\prime\not\in T$
\begin{flushright}
107/108
\end{flushright}
$S\le G^\prime\le G=TS$\\
$g^\prime=t_0S$, $t_0\in T\cap\langle S,S^g\rangle\le T_\beta$\\
besser\\
$t_1:=tt_0\le T$\\
$S^{t^\prime}=S^{tt_0}=S^{tg^\prime s^-}=S^{S^-}=S~~~t^\prime\in\mathcal{N}S$\\
$\alpha^{t^\prime}=\alpha^{tg^\prime S^-}=\beta^{g^\prime S^-}=\beta^{S^-}=\beta$\\
NB: Besonderer Beweis lohnt eigentlich nicht:\\
Bekannt ist $\exists n\in\mathcal{N}S:\alpha^n=\beta$. Nun $n=st$, $t\in\mathcal{N}S\cap N$,~~$\beta=\alpha^n=\alpha^{st}=\alpha^t$\\
(2) ist also nur Korallar zum allg. Satz über selfconj. 
\end{itemize}
\begin{flushright}
108/109
\end{flushright}
\begin{center}
$\lhdd~~~\infty$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $A,B\,{\unlhd\unlhd}\, G$, $A\cap B=M$, von $A$ bis $M$ kein Faktor $p$ $\Rightarrow AB=BA$ und jede Kette von $A$ bis $M$ entspricht einer Kette von $AB$ bis $B$.\\
Indukt $d_A(M)+d_B(M)=s$\\
%\newpage
mit el'weise Vertb. bei $s=2$
\begin{center}
%\psfrag{A}{$\scriptstyle A$}
%\psfrag{M}{$\scriptstyle M$}
%\psfrag{B}{$\scriptstyle B$}
%\psfrag{I}{$\scriptstyle I$}
%\psfrag{1}{$\scriptstyle 1$}
%\psfrag{2}{$\scriptstyle 2$}
%\psfrag{3}{$\scriptstyle 3$}
%\epsfig{file=109d13,height=3cm}
\begin{picture}(0,60)
\drawline(0,0)(60,30)(45,60)(-15,30)(0,0)
\drawline(-5,10)(4,14.5)
\drawline(6,15.5)(55,40)
\drawline(10,5)(5.5,14)
\drawline(41,18)(39,22)
\put(35,30){\vector(2,1){1}}
\put(3,14){\vector(2,1){1}}
\put(50,50){\vector(-1,2){1}}
\put(-5,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(55,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(-10,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
%\put(50,50){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(0,-5){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}}
\put(65,30){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(60,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle 2$}}
\put(49,60){\makebox(0,0){$\scriptstyle3$}}
\put(41,62){\makebox(0,0){$\scriptstyle J$}}
\put(-19,30){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\end{picture}
\end{center}
$\mathcal{Q}(A/M)\cong\mathcal{Q}(J/B)$
\item[(2)] Wenn keine subn-Reihe von $G$ $3$ mal denselben Primzahlindex hat, sind je zwei subn Ugr von $G$ vtb.
\item[(3)] Vermutung: $A,B\lhdd G$, $A\cap B=M$, $\langle A,B\rangle =J$
\[
|A/M|=p^\alpha,~~|B/M|=p^\beta\Rightarrow|J/M|=p^\gamma
\]
Zum Beweis dürfte nützen
\item[(4)] $A,B\,{\unlhd\unlhd}\, G$, $|\langle A,B\rangle/A|<\infty\Rightarrow\langle A,B\rangle\,{\unlhd\unlhd}\, G$\\
(da $\langle A,B\rangle$ eine max in $G$ subn Ugr oberhalb $A$ enth.)
\end{itemize}
\begin{flushright}
109/110
\end{flushright}
\begin{center}
Fragen von D.G. Higman ~~~~20.10.63
\end{center}
Sei $\mathrm{rk}\,\,G=$ Anzahl der Bahnen von $G_\alpha$, wo $G$ eine primitive Gruppe.
\begin{itemize}
\item[(1)] Ist die Struktur der minimalen Normalteiler $N$ von $G$ eingeschränkt durch Vorgabe von $\mathrm{rk}\,\,G$?\\
z.B Anzahl der einfachen Faktoren, Primitivität von $N$
\item[(2)] Bahnlängen $1,k,k(k-1)$ sind für prim. $G$ höchstens möglich, wenn $k=5,7,57$.\\ Existieren Beispiele für $7,57$?
\item[(3)] Wie verträgt sich $\mathrm{rk}\,\,G=3$ mit der Existenz von regulären Untergruppen? (Meth. von Schur)
\end{itemize}
\begin{flushright}
110/111
\end{flushright}
\begin{center}
$\lhdd$ endlich (Frage: Auch $\infty$?)
\end{center}
$A\sim B$ bedeute: $A,B\,{\unlhd\unlhd}\, G$, perf. Kern $A=$ perf Kern $B$
\begin{itemize}
\item[(1)] $\langle(A\cap B),C\rangle\sim AC\cap BC$   Bew einköpf perf.
\item[(2)] $\langle A,B\rangle\cap C\sim\langle(A\cap C),(B\cap C)\rangle$
\item[\#(3)] $\langle A,B\rangle=J\Rightarrow A^J\cap B^J\sim(A\cap B)^J$\\
Bew: Sei $P$ einköpf perf, $P\le A^J\cap B^J$. Diejenigen $P^x$, die $\not\le A$ sind, werden von $A$ fest gelassen (einzeln), und sie liegen in $B$. Wenn also kein $P^x\le A\cap B$, so $\{P^x\}=Q+R$, wo $\substack{Q \text{ die in }A\\R\text{ die in }B}$ gelegene $P^x$ bezeichnet, $Q\not=\emptyset$, $R\not=\emptyset$ (wegen $P\in A^J\cap B^J$), mit $R$ besteht aus den nicht in $A$ gelegenen $P^x$, daher $R^A=R$. Aber nach Def von $R$ ist auch $R^B=R$, daher $R^J=R$, also $R=R^J=\{P^x\}$, $Q=\emptyset\rightarrow\leftarrow$
\item[\#(4)] $\langle A,B\rangle\sim\langle A_J,B_J\rangle$ mit $X_J=\bigcap X^j,~J=\langle A,B\rangle$\\
Bew: $P$ eink. perf., $P\le J=\langle A,B\rangle$. Wäre $P\not\le\langle A_J,B_J\rangle$, so $P\not\le A^y$, $P\not\in A^z$ für gewisse $y,z\in J$ also $P\not\le\langle A^y,B^z\rangle=J_0$, $J_0\,{\unlhd\unlhd}\, J$ aber $J_0^J=\langle A^{y^J},B^{z^J}\rangle\geqq\langle A,B\rangle=J$ also $J_0=J$
\begin{flushright}
111/112
\end{flushright}
Allg:
\item[($4^\prime$)] $J=\langle A_1,\cdots,A_n\rangle\sim\langle A_{1_J},\cdots,A_{n_J}\rangle$\\
Bew: Sei $P$ eink perf $\le J$. Wäre $P\not\le$ rechte Seite, so $\exists x_i\in J\ge P\not\le A_i^{x_i}$ $\Rightarrow P\not\le
J_0=\langle A_1^{x_1}\cdots A_n^{x_{n}}\rangle$\\
$J_0\lhdd J$ aber $J_0^J\geqq\langle A_1\cdots A_n\rangle=J$
\item[(5)] Wenn $J=\langle A_1,\cdots, A_n\rangle$, so $J=\langle A_1^{j_1},\cdots, A_n^{j_n}\rangle~~\forall j_\nu\in J$
\item[($5^\prime$)] $\mathcal{S}G\in$ max, $\langle A_i\rangle_{i\in I}=J\Rightarrow\langle A_i^{j_i}\rangle=J$ denn r.S. $=J_0$ ist $\,{\unlhd\unlhd}\, J$, und $J_0^J=J$
\item[(6)] ohne alle Vor! $A,B$ konj in $\langle \underbrace{A,B}_{J}\rangle\Rightarrow A=B$\\
Bew: $B=A^j\le A^J$\\
$J=\langle A,B\rangle\le A^J$\ \ \ $J=A$ \ \ \ $B\le A$ und umgek.
\item[(7)] Vertauschungssätze sollten erhältlich sein unter der Vor, dass die gemeinsamen $p$-Faktoren zentral sind in geeignetem Sinn.
\end{itemize}
\begin{flushright}
112/113
\end{flushright}
\begin{center}
$\lhdd~~\infty$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $\langle A,B\rangle=J$; $A,B\,{\unlhd\unlhd}\, G$,  $\mathcal{S}J$ lattice $A\dot{\cap}B$ loc imp (dh: $1\not=F\le A\cap B$, $F$ fig $\Rightarrow F\not=F^\prime$) $\Rightarrow A^J\cap B^J$ loc imp\\
Bew mit Induktion nach $d_J(A)+d_J(B)$ mittels
\item[(2)] "`loc imp"' is normally persistent
\item[(3)] Jede auflösb. Gr. im Sinn von Baer ist loc imp: dergl "`lok aufl"' ist loc imp
\item[(4)] Def: $\sum_0(G)=\{$ einfache Faktoren der endlich erzeugten Untergr. von $G\}$ (oder $:=\{$ Köpfe der$\ldots\,\}$\\
Frage: Ist $\sum_0(A)\subseteq \mathcal{S}$ nor per?\\
NB: "`loc imp"' scheint nicht aufzutreten in Plotkins Bericht "`Generalized soluble and generalized nilpotent groups"', AMS Transl. (2)17, 29-116
\item[(5)] \mbox{}\\[-8mm]\mbox{}\\
\hspace*{-2mm}$\left.\begin{array}{l}B\,{\unlhd\unlhd}\, G,B=B^\prime, \langle a\rangle\,{\unlhd\unlhd}\, G\\
\text{rad }B=1
\end{array}\right\}
\Rightarrow a\in\mathcal{N}B$ \\
Bew: Ind $d_G(B):J=\langle a\rangle^J\cdot B$ mit $n=1$, $B^J=R\cdot B$~~~~$R=\mathrm{rad}\,\,B^G$\\
nach Ind: $(B,R)=1$, da $R\unlhd B^J$\\
$B,B^g\le ZsR$,  $\mathrm{clp}\,R$ in $B^G$ $B^g\le B\cdot Z$ $Z=\mathcal{C}R$~~$B^G=BZ$~~~$B=(B^G)^\prime\lhd G$
\end{itemize}
\begin{flushright}
113/114
\end{flushright}
\begin{center}
endl. Perm.-Gr.\\
16.11.63
\end{center}
\begin{itemize}
\item[Satz 1:] Sei $G$ eine transitive Permgruppe des Grades $n$, und $G_\alpha$ habe die orbitlengths $n_i$, $\sum\limits_{i=1}^r n_i=n$. ($\to$ FPG Ex 3.13)\\
Sind alle $nn_i\equiv1\mod 2$ so ist $|G|\equiv1(2)$.\\ 
Bew: Sei $|G|\equiv 0(2)$; zeige: $2\big|n|\beta^{G_\alpha}|$ für pass $\beta\not=\alpha$.\\
Wähle $t=(\alpha\beta)\cdots\in G$. Setze $A=G_{\alpha\beta}$, $B=G_{\alpha\beta}\langle t\rangle$; $A\underset{2}{\lhd}B$, also $2\big||G/G_{\alpha\beta}|=nn_\beta$.\\[4mm]
Allgemeiner:
\item[Satz 2.] Sei $p\big||G|$ und $p\nmid nn_1n_2\cdots n_r$. Dann $\exists G_p= p$-Sy G: $2\big||\mathcal{N}G_p:G_p|$.\\
Bew: $t=(\alpha\beta)\cdots\in G$ $|\beta^{G_\alpha}|=:n_j$ Dann $\exists~G_p\le G_{\alpha\beta}\underset{2}{\lhd}G{\alpha\beta}\cdot\langle t\rangle=:B$\\
$\mathcal{N}G_p\big\slash G_p$ deckt $B/G_{\alpha\beta}$.~~~~~$2\big||\mathcal{N}G_p/G_p|$
\item[$2^\prime$:] Ist $|\mathcal{N}G_p:G_p|$ ($G_p=$ $p$-Sy Gr $S$) ungerade für eine tra PGr $G$, und $2\big||G|$, so $p\mid nn_j$ für ein $j$.
\begin{flushright}
114/115
\end{flushright}
\item[Satz 3:] Sei $T$ ein transitiver Konstituent einer Untergruppe $U$ einer Perm Gr $G$, Träger $T=\Gamma\ni\alpha$. Seien $K,\cdots,L$ die tr-Konstituenten von $G_\alpha$, die von $\Gamma$ getroffen werden, und $K,\cdots,\Lambda$ ihre Träger. Dann $\langle G_\alpha,U\rangle\le(G_{K\cup\cdots\cup\Lambda})_\mf{E}$, wo $\mf{E}$ die abstr. Komposfaktorgruppeen von $\big(\underbrace{(G_{K\cup\cdots\cup\Lambda})^U}_{C})^{K\cup\cdots\cup L}$   bedeutet.\\
Bew: $C_\mf{E}=(G_{K\cup\cdots\cup\Lambda})_{\mf{E}}$
\item[4.] Ist $G$ $(p-1)$-fach transitive ($p$ Primzahl) und sind $n,n_1,n_2,\cdots$ die Grade von $G$ und der tra Konst. von $G_{1,2,\cdots,p-1}$, so ist $p\mid n(n-1)\cdots(n-p+2)n_j$ für ein $j$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
115/116
\end{flushright}
\begin{center}
Perm Gr \& $\lhdd$
\end{center}
Allg. Lemma:
\begin{itemize}
\item[(1)] $C\,\overset{\Lambda}{\lhdd}\,A_1=A_1^A$\\
$C\,\overset{\Lambda}{\lhdd}\,B_1=B_1^B$\\
$\Rightarrow~C_\Lambda=C_\Lambda^A=C_\Lambda^B$\\
Bew: $C_\Lambda={A_{1}}_{\Lambda^{\prime}}\unlhd A$.
\item[($1^\prime$)] $C\,\overset{\Lambda}{\unlhd\unlhd}\,\begin{cases} A\\B\end{cases}\Rightarrow\mathcal{N}(C_\Lambda)\ge\mathcal{N}A,~~\mathcal{N}B$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
116/117
\end{flushright}
\begin{center}
Ordnung prim - $P$ Gr.
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Ist $G$ transitiv mit einem regulären Normalteiler $R$, vom Grade $n$, und läßt sich $R$ durch $r$ Elemente erzeugen, so gibt es $\Delta\subseteq \Omega$ mit $|\Delta|\le r+1$ und $G_\Delta=1$.\\
Bew: $R=\langle x_1,\cdots,x_r\rangle,~\alpha \in R \hbox{ ; }
\Delta:=\{\alpha,\alpha^{x_1},\cdots,\alpha^{x_r}\}$.\\[4mm]
Folge:
\item[(2)] Hat die trans. Gr $G$ einen regulären Normalteiler, so ist $|G|<n^{1+\log_2n}$.\\[4mm]
Aufgabe:
\item[(3)] Abschätzung für die Ordnung einer auflösbaren pri $P$Gr des Grades $n$.
\item[(4)] $G$ pri, $\delta\in\Delta=$ Träger eines längsten tra Konstituenten von $G_\alpha\Rightarrow G_{\alpha\delta}$ ist intransitiv in jedem tra Konst von $G_\alpha$\\
Bew: Sonst $\exists\beta$: $G_{\alpha\beta}$ tra $\Delta^\prime$, $\Delta$ invariant bei $\langle G_\alpha,G_\beta\rangle$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
117/118
\end{flushright}
\begin{center}
Frage über monomiale Gruppen:
\end{center}
Wann gibt es eine Matrix $M$ aus $0$ und Einh.-Wu so, daß $g^{-1}Mg=\varepsilon(g)\cdot M$? (mit $\varepsilon(g)\not=1$)\\ 
höchstens wenn $\mf{G}^\prime\not=\mf{G}$.\\
Genau wenn $\mf{G}\ast\mf{G}$ eine lineare Darst $\not=1$ enthält.
\begin{center}
\underline{Über $01$-Matrizen}
\end{center}
Beweis des Satzes von \underline{König:} Bezeichnet $r$ den termrank von $A$ ($=$ maximale Zahl von Einsen, keine zwei auf einer Reihe), so können die Einsen von $A$ durch $r$ Reihen überdeckt werden.\\
Bew: 
\begin{itemize}
\item[(1)] Man kann $A$ maximal mit geg. $r(A)=r$ annehmen: $A\le B$, $r(B)=r(A)\Rightarrow A=B$.
\item[(2)] Nach Streichen einer Zeile und Spalte mit Schnittel't $0$ ist immer noch $r(A^\prime)=r$.
\item[(3)] $A$ läßt sich (Induktion) durch $r+1$ Reihen überdecken, und zwar kann man von diesen eine beliebg. Zeile \underline{und} eine bel. Spalte mit Schnitt $1$ vorschreiben. Alle Schnitte sind $1$.
\item[(4)] Sei $k\ge l$ (Typ $A=(k\times l)$) und eine Zeile minimaler Zeilensumme $s$ sei die unterste, (und $A$ maximal); etwa\\
\begin{minipage}[b]{4cm}
\begin{picture}(0,0)
\put(20,10){\line(1,0){80}}
\put(100,10){\line(0,1){80}}
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\put(85,85){\makebox(0,0){$\scriptstyle 0$}}
\put(25,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle 0$}}
\put(35,15){\line(1,0){20}}
\put(65,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle 0$}}
\put(75,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(85,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(95,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(85,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(95,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(85,35){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(95,35){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(85,45){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(95,45){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(5,55){\makebox(0,0){$\scriptstyle k\left\{\begin{array}{c}~\\[15mm]~ \end{array}\right.$}}
\put(85,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle\underbrace{~~~~~~~~}_{s}$}}
\put(60,-7){\makebox(0,0){$\scriptstyle\underbrace{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}_{l}$}}
\end{picture}
\end{minipage}\hspace*{11mm}
\begin{minipage}[b]{6cm}
Wähle Überdeckung mit $r+1$ Zeilen und Sp, davon unterste Zeile n rechteste Spalte. Wegen $3$ sind die überdeckenden Spalten unter den letzten $s$, und wegen (oBdA) $r<k$ enthält jede von ihnen eine $0$, und zwei außerhalb der gewählten überdeck. Zeilen. Das widerspricht der Min eig von $s$.
\end{minipage}\\[5mm]
NB: jede maximale Matrix sieht so aus:
\begin{center}
\begin{picture}(0,40)
\put(0,0){\line(1,0){40}}
\put(40,0){\line(0,1){30}}
\put(0,0){\line(0,1){30}}
\put(0,30){\line(1,0){40}}
\put(35,0){\line(0,1){30}}
\put(30,0){\line(0,1){30}}
\put(25,0){\line(0,1){30}}
\put(0,5){\line(1,0){40}}
\put(0,10){\line(1,0){40}}
\put(-8,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle u\left\{\begin{array}{c}~\\[-9mm]\\~\end{array}\right.$}}
\put(32.5,-8){\makebox(0,0){$\scriptstyle\underbrace{}_{v}$}}
\end{picture}
\end{center}
wo $|$ und $-$ mit Einsen voll besetzt, $u+v=r$
\end{itemize}
\begin{flushright}
118/119
\end{flushright}
\begin{center}
$P$-Gr. vom Rang $3$
\end{center}
$G$ tra, $G_\alpha$ habe $3$ tra const. Eine der beiden Vert. matr. sei 
\[
V=[v~\underbrace{s\cdot\cdots s}_{e}~\underbrace{t\cdots t}_{f}]=V^\ast
\]
Dann ist (bei trans. $G$):\\
(0) $G$ pri $\Rightarrow |s|,|t|<v$ da $V\ge0$ indecomposable \& primitive,
\[
~\begin{cases}n=1+e+f\\
0=v+es+ft\\
nv=v^2+es^2+ft^2 \end{cases}\tag{$1abc$}
\]
 und (Beweis Frame)
\[
\frac{nvw}{ef}=(s-t)^2
\]
Ferner (aus $(V-s)(V-t)=cF,~F=\binom{1\cdots1}{1\cdots1}$ (vgl el't $(1,1)$ und max EW))
\[
(v-s)(v-t)=(v+st)n\tag{2}
\]
und ähnlich Sp$\, (V-v)(V-t)= ~~$
%\;\curvearrowright$
\begin{picture}(0,0)\put(0,3){\begin{rotate}{-90}$\Rsh$\end{rotate}}
\end{picture}
\[
nv(t+1)=e(s-v)(s-t)\tag{3a}
\]
und ebenso
\[
nv(s+1)=f(t-v)(t-s)\tag{3b}
\]
Daher aus $3a\cdot(t-v)-3b\cdot(s-v):$
\[
nv(v-1-s-t)=(n-1)(v-s)(v-t)\tag{4}
\]
und daraus mit (2)
\[
v(v-1-s-t)=(n-1)(v+st)\tag{5}
\]
und mit Frame und 3a, b:
\[
\begin{cases}f(s-t)(t+1)=(s-v)w\\e(t-s)(s+1)=(t-v)w
\end{cases}\tag{6}
\]
Das sollte Behandlung eines $\Box$ freien $n$ ermöglichen
\begin{flushright}
119/120
\end{flushright}
\begin{center}
Kompfakt Gr \& Trans Konst von $U_\alpha$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)]
Sei $G$ pri, $U\le G,~U\not=U_\alpha\unlhd G_\alpha$. Dann ist
$\Sigma (U_\alpha)=
\underbrace{\Sigma (U_\alpha^\Gamma)}_{\Lambda}$ mit $\Gamma=\alpha^U$
\begin{center}
$\Sigma$ Menge der Kompfaktgr.
\end{center}
Bew:\\\mbox{}
\begin{center}
%\psfrag{1}{$\!\!\!\scriptstyle G_\alpha$}
%\psfrag{2}{$\scriptstyle U$}
%\psfrag{3}{$\scriptstyle U_\alpha$}
%\psfrag{4}{$\!\!\!\!\!\!\begin{array}{c}\\\scriptstyle\Lambda\end{array}$}
%\psfrag{5}{$\scriptstyle U_\alpha^\Lambda\unlhd U_1G_{\alpha1}G$}
%\epsfig{file=1201d13,height=3cm}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,30)
\drawline(0.3,0)(0.3,7)
\drawline(0.3,7.5)(0.3,12.5)
\drawline(0.3,12)(0.3,22)
\drawline(-0.2,12.5)(-0.2,22)
\drawline(-0.2,12.5)(-4,18)
\drawline(-0.2,22)(-4,18)
\drawline(-0.2,12.5)(-11,28.13)
\drawline(-3.7,18.4)(-10.6,28.43)
\thicklines
\drawline(0,0)(0,7)
\drawline(0.2,0)(0.2,7)
\drawline(0,7.5)(0,12.5)
\drawline(0.2,7.5)(0.2,12.5)
\drawline(-0.2,12.5)(-3.8,17.8)
\drawline(-0.2,12.8)(-3.8,18.1)
%%%%%%%%%
\put(0.1,-0.4){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
\put(0.1,22){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
\put(-11,28.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\put(11,-1){\makebox(0,0){$\scriptstyle U_\alpha^\Lambda\unlhd U_1G_{\alpha},G$}}
\put(3,22){\makebox(0,0){$\scriptstyle U$}}
\put(-3,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle \Lambda$}}
\put(-6,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle U_\alpha$}}
\put(-13.4,28){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_\alpha$}}
\end{picture}
\end{center}
\item[(2)] Kompfakt von $G_\alpha$:\\
$G$ pri $\Rightarrow\sum(G_\alpha)\subseteqq\sum(K)+\sum(\Lambda)$ wo $K=$ Konst von $G_{\alpha\beta}$ auf $\beta^{G_\alpha}$; $\Lambda=$ Konst von $U$ auf $\gamma^{G_\alpha}$ wo $G_{\alpha\gamma}<U\le G_\alpha$ und $\beta,\gamma$ spiegel an $\alpha$
\begin{center}
%\psfrag{1}{$\!\!\scriptstyle G_\gamma$}
%\psfrag{2}{$\!\!\scriptstyle G_\alpha$}
%\psfrag{3}{$\scriptstyle 1$}
%\psfrag{4}{$\scriptstyle G_\beta$}
%\epsfig{file=1202d13,height=3cm}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,30)
\dashline[30]{0.5}(0,0)(0,8)
\drawline(0,8)(8,16)(6,18)(-2,10)(0,8)
\drawline(-2,10)(-2,26)
\drawline(8,16)(8,20)
\drawline(6,18)(11,23)
\drawline(6,18)(-2,26)
\drawline(-1.5,10.5)(-1.5,25.5)
\dottedline[$\cdot$]{1}(-2,26)(-14,14)
\drawline(-12,16)(-12,12)(-19,19)
\thicklines
\drawline(-2,10)(6,18)(8,16)(8,20)
\drawline(-12,12)(-14,14)
%%%%%%%%%%%%
\put(8,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
\put(-12,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
%%%%%
\put(2,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(12,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_\beta$}}
\put(-9,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_\alpha$}}
\put(-22,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_\gamma$}}
\end{picture}
\end{center}
\end{itemize}
\begin{flushright}
120/121
\end{flushright}
\begin{center}
Pri $P$-Gr $G$ mit einem maximalen Sprung\\ in der Reihe der Bahnenlängen von $G_\alpha$\\ 27.11.63 nach Lektüre von MZ D G Higman
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $G$ tra, Bahnlgn $G_\alpha=n_1=1< k\le n_3\cdots$\\
Dann $n_3\ge k(k-1)$, und wenn $n_3=k(k-1)$, so ist $G_\alpha$ $2$-tra auf $\Gamma$ mit $|\Gamma|=k$.\\
Bew: $V$ sei Vertmatr zu $\Gamma$\\
$n_3>k(k-1)\Rightarrow V^\ast V=kI+\beta V$ mit \anmerk, gibt Imprimitivität; siehe $(I+V)^\infty$\\
\\ \\ \\
$n_3=k(k-1)\Rightarrow V^\ast V=kI +W$\ \ \  $W$ zu $\Delta$ Länge $n_3$.\\[0mm]$=V^2$
\[V=
\underset{\underbrace{\mbox{\hspace*{2cm}}}_{\Gamma}~~\underbrace{}_{\Delta}}{\overset{~~~~~~~\overbrace{\mbox{\hspace*{2cm}}}^{R}~~\overbrace{}^{n_3}~~\overbrace{}^{n_4}}{\left(\begin{array}{c|c|c|c}
\begin{array}{c}0\end{array}&\begin{array}{ccc}1&\cdots&1\end{array}&\begin{array}{c}0\end{array}&\begin{array}{c}0\end{array}\\\hline
\begin{array}{c}1\\\vdots\\1\end{array}&\begin{array}{c}M\end{array}&\begin{array}{c}N\end{array}&\begin{array}{c}0\end{array}\\\hline
\begin{array}{c}0\end{array}&\begin{array}{c}N^\prime\end{array}&\begin{array}{c}R\end{array}&\begin{array}{c}~\end{array}
\end{array}\right)}}
\]
Wenn $M$ $\not=0$, so reichen die Einsen in den Zeilen Nr. $2,\cdots,k+1$ gerade aus um $N\not=0$ zu machen für geeignetes $\Delta,|\Delta|=n_3$, also $M\not=0\Rightarrow M$ hat $k-1$ Einsen in jeder Zeile \& Spalte,
\[
I+V=\left(\begin{array}{cc}
\begin{array}{ccc}1&\cdots&1\\\vdots&&\\1&&1\end{array}&\begin{array}{c}0\end{array}\\
\begin{array}{c}0\end{array}&\begin{array}{|cc}\hline~&~\\~&~\end{array}
\end{array}\right)~\Rightarrow G\text{ impr.}
\]
Also $M=0$
\begin{flushright}
121/122
\end{flushright}
Wäre $G_\alpha$ nicht $2$-tra auf $\Gamma$, so gäbe es Vertmatrix $R$ für $G_\alpha^\Gamma$ mit $r$ Einsen je Zeile, $\spur R=0$, $0<r<k-1$. Die Summe der $n$ Konj. von $R$ intr $G$ gibt vert Matrix $S$ für $G$ mit $rkn$ Einsen, also $rk$ je Zeile; $rk<k(k-1)$, daher $S=r\cdot V$; das lieferte aber $M\not=0$. Wid!
\item[($1^\prime$.)] Die $k(k-1)$ Einsen in $N$ können so angeordnet werden:
\[
N=\left.\begin{pmatrix}e&&&&\\&e&&&\\&&e&&\\&&&\ddots&\\&&&&e\end{pmatrix}\right\}k
\]
\[
e=(\underbrace{1\cdots1}_{k-1})
\]
\item[($1^{\prime\prime}$)] $G_{1, k+m}$ lässt auch $2$ fest. $m=1\cdots k-1$\\
Denn die Spalte $k+1$ hat in dem Festblock $2\cdots k+1$ von $G_\alpha$ nur eine $1$ an der Stelle $2$.
\item[($1^{\prime\prime\prime}$)] Die Darstellung ($1^\prime$) liefert eine Zerlegung von $R$ in $k^2$ Blöcke der Grösse $(k-1)\times(k-1)$ (die mit Permutationsmatrizen besetzt sind, wenn $rk\,\,G=3$). $G_\alpha^\Delta$ ist impri, hat $G_\alpha^\Gamma$ also obersten pri Bestandteil.\\
$G_{1,2}$ hat einen \underline{tra} Konst auf $k+2,\cdots,2k$ vom Grad $k-1$\\
Denn $|G_{1, 2}:G_{1, 2, k+2}|=k-1$.\\[4mm]
Aufgabe: Fortsetzen bis 
\begin{itemize}
\item[a)] Bestimmung von $V$  und der maximalen mit $V$ vertb $P$ Gr
\item[b)] Bestimmung der maximalen $G$ mit maximalem Sprung hinter einem späteren $n_k$ $\langle~ \anmerk~\rangle$
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}
122/123
\end{flushright}
\begin{center}
Fortsetzg: Sei $n=k^2+1$
\end{center}
$N=G_{i,\cdots,k+1}$ ist auf Rest halbregulär und genau $k$ Konjugierte $N^x$ liegen in $G_1$, aber nicht in $G_{12\ldots k+1}=G_{1,\Gamma}$. Diese $N^x$ müssen "`hinten"' $k$ Fixpunkte haben, sonst gibt $N^{xg_1}$ zu viele Konj in $G_1$, also haben sie genau einen Fixpkt in $\Gamma$. Daher ist $N\cong$ einen halbregulären Normalteiler von $K_2$, wo $K=G_1^\Gamma$. Daher:
\begin{itemize}
\item[(1)] entweder ist $K=G_1^\Gamma$ treu, oder $K_2$ hat halbreg. Normalteiler $\not=1$.\\
Diese Überlegung muß einen allgemeinen Satz über die Kerne bei untreuen trans. Konst. geben.
\item[(2)] Nach (1) ist $K_2$ imprimitiv, wenn $k={}_{5}^7$, den es hat einen halbreg. auf\-lös\-ba\-ren NT, und sein Grad ist $\left\{\begin{array}{c}6\\56\end{array}\right\}\not=p^{\alpha_1}$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
123/124
\end{flushright}
\begin{center}
Higman-Gruppe
\end{center}
vom Grad $50$ mit orbit lengths $1,7,42$:\\
Sei $V$ die Vertmatrix mit Zeilensumme $7$. Dann hat $V$ die EWe $7,-3,2$ mit Vfh $1,21,28$,  und genügt $V^2=7I+W$, $V=V^\prime$, $V^2=F+6-V$. $V$ hat Gestalt
\[
V=\left(\begin{array}{c|c}
\begin{array}{cc}0&e\end{array}&\begin{array}{cccc}0&0&\cdots&0\end{array}\\\hline
\begin{array}{cc}e&0\end{array}&\begin{array}{cccc}f&0&\cdots&0\\0&f&&0\\&0&&\vdots\\0&\vdots&&f\end{array}\\
&\begin{array}{|c|c|ccc|}\hline0&c&&S&\\\hline&&&&\\\hline\end{array}
\end{array}\right)
\]
\[
e=(1111111)~~~~f=(111111)~~~~S=S_{ik}\text{ Permut.}
\]
Die Matrix 
\[
S=\begin{pmatrix}0&S_{12}&S_{13}&\cdots&S_{17}\\\hline
&0&&&\\
&&&\ddots&\\
S_{71}&S_{72}&S_{73}&&0
\end{pmatrix}~=S^\prime
\]
genügt den Gleichungen (mit $F=\binom{1\cdots 1}{1\cdots1}_{42}=F_{42},~~E=\left(\begin{smallmatrix}F_0&&\\&F_0&\\&&\ddots\end{smallmatrix}\right)$
\begin{align}
SF=&FS=6F\notag\\
SE=&ES=F-E\notag\\
S^2=&F-E+6-S\notag\\
S^3=&4F+2E-6+7S\tag*{$\to$}\\
S^4=&33F-9E+42-13S\notag\\
S^5=&176F+22E-78+55S\notag
\end{align}
S hat die EWe $2,(-3),6,-1$ mit Vfh $21,14,1,6$.\\
\hspace*{-2mm}$\left.\begin{array}{l}\text{Die Gl} \to\text{ zeigt }\spur S^3=0\\\text{ Für } I+S=T\text{ gilt }T^2=F-E+G+T\end{array}\right\}$
gibt Beziehg zwischen $S_{ik}$
\begin{flushright}
124/125
\end{flushright}
\begin{center}
Abschliessg von $P$-Gr
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Die $2$-Abschließung $G^{(2)}$ einer $P$ Gr ungerader Ordnung hat ungerade Ordnung. Denn die Längen von $G,G_\alpha$ bleiben ungeändert.\\
Frage: Kann $|G^{(2)}|$ dann neue Primfaktoren enthalten?
\item[(2)] Die $p$-Abschließung einer $P$Gr, deren Ordnung $\not=0(p)$ ist, hat eine gleichartige Ordnung. Bew wie (1)
\item[(3)] Seien $A\le B=$ tra zwei $P$ Gr. Dann
\begin{eqnarray*}
B\le A^{(2)}&\iff&A\text{ hat dieselben Orbits wie }B\\
&&A_\alpha\text{ hat dieselben Orbits wie }B_{\alpha}(\forall\alpha)
\end{eqnarray*}
Denn dann ist jede einfache VertMatrix von $A$ auch eine von $B$, und umgekehrt ist trivial.
\item[($3^\prime$)] $A\le B$ nicht notw. tra. $B\le A^{(2)}$ $\iff$ jeder irred Bestandteil von $B$ bleibt irred bei Einschränkung auf $A$, und verschiedene bleiben verschieden.
\item[(4)] Die $2$-Abschließung einer tra $p$-Gruppe Perm Grad $p^n$ ist die volle $p$-Sy der $S^{p^n}\iff \underset{\substack{\uparrow\\\text{Ableitung}}}{P^{(n-1)}}\not=1$.\\
Denn genau dann bleibt jede in $S^{p^n}$ enthaltene irred Darst bei Einschrkg auf $P$ irreduzibel.
\item[(5)] $G$ unipri vom Grad $p^3\Rightarrow$ höchstens $p^{2p}\big||G|$.\\
Bew:
\begin{itemize}
\item[a)] $\widehat{P^\prime}$ hat orblengths $p\Rightarrow$ je $p$ gekoppelt $\Rightarrow|P^\prime|\le p^p,|P/P^\prime|=p^2$~~~~oder
\item[b)] orblength $\widehat{P^\prime}=p^2\Rightarrow|P^\prime|\le p^{2p-1}$,
$|P/P^\prime|=p$
\end{itemize}
$\widehat{N}:=\text{ größte Ugr mit orbits von }N$
\end{itemize}
\begin{flushright}
125/126
\end{flushright}
\begin{center}
10.12.63~~~~~~~~Symbolische Potenzen im Vertauschungsring
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $V=\begin{pmatrix}V_{11}&\cdots&V_{1k}\\\vdots&&\\V_{k1}&\cdots&V_{kk} \end{pmatrix}$ eine Vertauschungsmatrix von $G$, und je zwei $V_{\alpha\beta}$ seien vertauschbar. Für die "`$\mu$-te elementarsymmertische Funktion"' $e_\mu^{(V)}$, definiert durch $|\lambda I-\underset{~~~~~~~\substack{\uparrow\\x_{\alpha\beta}}}{\binom{x_{11},\cdots}{\cdots, x{kk}}}|=\sum(-1)^{k-\mu}f_\lambda(\underset{\substack{\uparrow\\k^2\text{ Variable!}}}{x_{11}\cdots x_{nn}})$
\[
e_\lambda(V)=f_\lambda(V_{11},\cdots,V_{nn})
\]
gilt dann mit jeder Primzahl $p$:
\begin{eqnarray*}
e_\mu(V^p)&\equiv&(e_\mu(V))^p\mod p\\
&\equiv&e_\mu(V^{(p)})\text{ mit }V^{(p)}:=(V_{ik}^p)
\end{eqnarray*}
Bew: $(x_{\alpha\beta})=x$
\[
\sum_\mu(-1)^{k-\mu}e_\mu(X^p)\lambda^{p\mu}=|\lambda^pI-X^p|
\]
\begin{eqnarray*}
&\equiv&|(\lambda I-x)^p|=|\lambda I-X|^p\\
&\equiv&\sum\lambda^{p\mu}e_\mu(X)^p(-1)^{k-\mu}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
e_\mu(X^p)\equiv e_\mu(X)^p=\big(\sum \overbrace{v_{\alpha\beta}v_{\gamma\delta}\cdots}^{\mu\text{ Faktoren}}\big)^p&\equiv&\sum v_{\alpha\beta}^pv_{\gamma\delta}^p\cdots\\
&=&e_\mu(v^{(p)}).
\end{eqnarray*}
\item[(2)] Insbesondere für den Spur-Block $SB(V)=\sum V_{ii}$ gilt $SB(V^p)\equiv \sum V_{ii}^p$
\item[(3)] Hiernach enthält der Vert-Ring von $G$ unter Vor (1) stets eine Matrix $W$ mit $SB(W)\equiv SB(V^{(p)})\; (p)$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
126/127
\end{flushright}
\begin{center}
Vergrößerung von $2$-tra Gruppen
\end{center}
\begin{itemize}
\item[Satz (1)] Sei $G$ $2$-tra auf $\Omega$ ($|\Omega|\le\infty$) und $G_\alpha=H$; sei $t=(\alpha\beta)\cdots\in G$. Sei $H\le\widehat{H}\le S_\alpha^\Omega$\\
Notwendig \& hinreichend für Existenz eines $\widehat{G}\ge G$ mit $\widehat{G}_\alpha=\widehat{H}$ ist:
\[
t^-\widehat{H}_\beta t=\widehat{H}_\beta.
\]
Bew: notw klar, da $\widehat{H}_\beta=\widehat{G}_{\alpha\beta}$\\
hinreichend: bilde $\widehat{G}:=\widehat{H}+\widehat{H}t\widehat{H}$\\
es genügt zu zeigen: $t\widehat{H}t\le\widehat{G}$ (denn
\begin{gather*}
\widehat{H}(t\widehat{H}t)\widehat{H}\le\widehat{H}\widehat{G}\widehat{H}=\widehat{G},\\
\widehat{H}t\widehat{H}\cdot\widehat{H}t\widehat{H}\subseteq\widehat{G}\\
\widehat{G}\widehat{H}t\widehat{H}\le\widehat{G}\\
\end{gather*}
da $\widehat{G}\widehat{H}\le\widehat{G}$, folgt rechts Mult. $\widehat{G}\ge\widehat{G}$; $\widehat{G}$ Gp.\\
Es ist 
\begin{gather*}
\widehat{H}=H\widehat{H}_\beta,\text{ da }H\text{ tra }\Omega-\alpha\\
\text{also }t\widehat{H}t=tH\widehat{H}_\beta t\\
=tHt\cdot t^-\widehat{H}_\beta t\le(\overbrace{H+HtH}^{\text{da }G~~2\text{-tra}})\cdot\widehat{H}_\beta\\
\le(\widehat{H}+\widehat{H}t\widehat{H})\widehat{H}=\widehat{G}
\end{gather*}
\end{itemize}
\begin{flushright}
127/128
\end{flushright}
\begin{center}
Aufgabe: Darstellungen faktorisierter Gruppen
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $G=AB$, $\chi_A(g)$ induz durch mon Darst $\psi$ von $A$,\\ 
\hspace*{15mm}$\chi_B(g)$ induz durch mon Darst $\omega$ von $B$
\[
\Rightarrow \frac{1}{g}\sum\limits_{G}\overline{\chi_A}\chi_B=\begin{cases}0&\\
1&\text{ wenn }\psi(x)=\omega(x)\text{ für }x\in A\cap B\end{cases}
\]
Bew: Verkettende Matrix ist bestimmt durch ihr Element $(1,1)$, daher\\ 
Rg verk Modul $\le1$, und $=1$ genau wenn $\psi(x)=\omega(x)$ für $x\in A\cap B$
\item[($1^\prime$)] Im Fall $\frac{1}{g}\sum\overline{\chi}_A\chi_B=1$ ist der Grad $f$ des gemeinsamen irred. Bestandteils $\rho=\binom{m_{11}\cdots}{\cdots m_{ff}}$ $\frac{|x|^2|y|^2}{|x^\ast y|^2}=f=\text{Rg}$ Verk. Matrix von $\chi_A,\chi_B$\\ 
wo $\rho(a)x=\psi(a)\cdot x$~~$\rho(b)y=\psi(b)y$, unitär\\
Bew: oBdA $y=\left(\begin{smallmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{smallmatrix}\right)$\\
Da $y^\ast\rho^\ast(a)\rho(b)x=\psi^\ast(a)\omega(b)\cdot y^\ast x$\\
Wegen irred mon $\rho$ ist $y^\ast x\not=0$ oBdA $y^\ast x=1$ also $y=\left(\begin{smallmatrix}1\\0\\|\\0\end{smallmatrix}\right)$~~~$x=\left(\begin{smallmatrix}1\\\xi\\0\\1\\0\end{smallmatrix}\right)$ gibt für $\rho(g)=\binom{m_{11}\,m_{12}\,\cdots}{m_{21}\,m_{22}\,\cdots}_{f\times f}$ $g=a^-b$ : $m_{11}+\xi m_{12}=\lambda(g):=\psi(a)\omega(b)$ für $g=ab$ Wid!
\begin{flushright}
128/129
\end{flushright}
Daher $|m_{11}+\xi m_{1\nu}|^2=1$ für festes $g$ also $|G|=\sum\limits_G|m_{11}+\xi m_{1\nu}|^2$, also 
\begin{eqnarray*}
|G|&=&\sum\limits_G|m_{11}|^2+|\xi|^2\sum\limits_G|m_{1\nu}|^2+2\text{Re}\xi\sum\limits_G\overline{m_{11}}m_{1\nu}\\
&=&\frac{|G|}{f}({1}+|\xi|^2)
\end{eqnarray*}
\[
f=1+|\xi|^2=|x|^2=\frac{|x|^2|y|^2}{|x^\ast y|^2}
\]
also oBdA $\xi=\sqrt{f-1}$, $\rho$ unitär.\\[4mm]
Nun ist $\xi m_{12}=\lambda(g)-m_{11}$ also $|\xi||m_{1\nu}|\le2$\\
$|\xi^2|\cdot\frac{|G|}{f}=|\xi|^2\sum\limits_G(m_{1\nu})^2\le4|G|$\\
$f-1=|\xi|^2\le 4f$ klar, hilft nichts.\\
$[$Nun $\ldots$ nichts: durchgestrichen$]$
\end{itemize}
\begin{flushright}
129/130
\end{flushright}
\begin{center}
Aufgabe
\end{center}
Untersuchung der genau $3$-tra $P$ Gr mit transitiven Untergruppen kleineren Grades ($2$-tra bei Hall 1962).\\[5mm]
Aufgabe: Arithmetik der Gruppenringe\\
Jeder komm. Ring: $\anmerk$, der von "`ganzen"' Größen erzeugt wird, ist endlicher $\mf{o}$-Modul ($\mf{o}=$ ganze Größen in alg. Zahlkörper)\\
Frage: \underline{Welcher} Ring wird von allen Untergruppensummen einer
abelschen endl. Gruppe erzeugt (reduzierte Form?)
\begin{flushright}
130/131
\end{flushright}
\begin{center}
$S$-Ringe von Matrizen
\end{center}
\begin{center}
5.1.64 NB (25.10.76)\\
Siehe hierzu DG Higman: Geom. Dedicata 4, 1-32 (1975): Coherent configurations I 
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Def: $R$ ist ein $S$ - Ring von Matrizen, wenn $R$ aus $n\times n$-Matr. besteht, über $0=$ ganze alg Zahl eine Basis aus "`einf. Matrizen"' $\tau_1,\cdots.\tau_r$ besitze (nur $0,1$ als Elemente) mit $\sum\tau_k=(1),\tau_1=1$\\
Higman fordert noch ein Diag. el't $=1$ $\Rightarrow$ alle El'te außerhalb Diag $=0$, d.h. $\tau_k(1)_{(n\times n)}=n_{k}(1)=(1)\tau_k$\\
$\left(\begin{smallmatrix}1&&&&\\&1&&0&\\&&1&&\\&0&&1&\\&&&&1 \end{smallmatrix}\right)\in R$\ \  $R$ halbeinfach. Also $n_1+\cdots+n_r=n$.\\
Vollständig reduziert sei 
\[
\tau\sim\text{red }\tau=\overset{\overbrace{~~~~~~~}^{e_\delta\text{mal}}}{\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c|c|c}
&&\\\hline
&D^\delta(\tau)&\\\hline
\end{array}\\
~
\end{array}\right)};~~~\text{Gr }D^\delta=f_\delta
\]
$r={\rm Rg}_{\mf{o}} D$. Die Anzahl der inäqn. Darst in $R$ sei $d$\\
Vorläufig kann $R$ irgend ein halbeinfacher Ring von Matrizen sein.
\item[(2)] Setzt man für jede $f\times f$-Matrix $A=(a_{\kappa\nu})$ \\
$A\downarrow=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{12}\\\vdots\\a_{ff}\end{pmatrix}$ in fester, willkürl. Anwendung, und bezeichnet $T_{f^2}$ die Permutationsmatrix des Grades $f^2$ mit
\[
(A^\prime)\downarrow=T_{f^2}A\downarrow,
\]
so ist
\[
\det T_{f^2}=(-1)^{\frac{f(f-1)}{2}},
\]
da soviel Paare von Stellen $(i,k),(k,i)$ vertauscht werden.\\ 
Es ist $\text{Sp}AB=\overline{A\downarrow}^\prime T_{f^2}B\downarrow$. Setze
\[
D(\tau)=\begin{pmatrix}D^1(\tau)\downarrow\\D^2(\tau)\downarrow\\\vdots\\D^d(\tau)\downarrow \end{pmatrix}\text{ und }D=(D(\tau_1)\cdots D(\tau_r))
\]
Wegen $r=\sum f_\delta^2$ ist $D$ eine $r\times r$-Matrix
\begin{flushright}
131/132
\end{flushright}
\item[(3)] Für $S$-Ringe ist
\begin{align*}
&\text{Sp }\tau_i\tau_k=n_k\delta_{ik^\ast}\\
&=\text{Sp }\text{red }\tau_i\text{ red }\tau_k\\
&=\sum_j e_\delta\text{ Sp }D^\delta(\tau_i)D^\delta(\tau_k)\\
&=\sum e_\delta(D^\delta(\tau_i)\downarrow)^\prime T_{f_\delta^2}(D^\delta(\tau_k)\downarrow)\\
&=D^\prime ED\big|_{i,k}. 
\end{align*}
Mit
\[
E:=\begin{pmatrix}\ddots&&\\&e_\delta T_{f_{\delta}^2}&\\&&\ddots \end{pmatrix};~~N:=n(\delta_{ik^\ast})_{r\times r},
\]
ist also 
\[
\#~~~D^\prime ED=nN
\]
\item[(4)] $\Delta:=\det D$ ist ganz algebraisch, da 
\begin{eqnarray*}
\Delta^2&=&\pm\det D^\prime\left(\begin{matrix}\ddots&&\\&T_{f_\delta^-}&\\&&\ddots \end{matrix}\right)D\\
&=&(\text{Sp }\tau_i\tau_k)
\end{eqnarray*}
in der Darstellung von $R$, die jeden irred Bestandteil nur einmal enthält. Alle Spuren sind ganz alg. da $\sum\text{EWe}(\tau_i\tau_k)$
\item[(5)] Ersetzg einer Darst in $D$ durch eine äqu. ändert $\Delta$ nicht:
\[
D^\delta(\tau)\Rightarrow(A^{\prime-}\times A)D^\delta(\tau),~\det A^{\prime-}\times A=1
\]
\begin{flushright}
132/133
\end{flushright}
\item[6.] $\Delta^2$ ist rational.\\
Denn Körperautom. (eines Körpers, der alle Elem von $D$ enthält) vertauschen die Darst. nur bis auf Äquivalenz, also $\Delta\to\pm\Delta$ (5)
\item[7.] Ist die Anzahl der Darstellungen $D^\delta$ mit\\[5mm]
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{reellem Charakter}&nichtreellem Char\\\hline
geradem Grad $f$&~~~~~$r_0$~~~~~&$c_0$\\\hline
ungeradem Grad $f$&$r_1$&$c_1$\\\hline
\end{tabular}\\[5mm]
so ist $\overline{\Delta}=(-1)^{c_1}\cdot\Delta$\\
denn Vertauschg zweier Darstellgen mit nichtreellen Char. vertauscht $f$ Paare von Zeilen, gibt also $-$ wenn $f$ ungerade, $+$ wenn $f$ gerade. Die Darst. mit reellem Char geben nach 5 bei $x\to\overline{x}$ keinen Beitrag zu sgn $\Delta$.
\begin{flushright}
133/134
\end{flushright}
\item[(8)] Ist $\pi=\text{per }D$ die "`Permanente"' von $D=(d_{ik}),\pi=\sum d_{1d_1}\cdots d_{rd_r}$, so ist für $\alpha\in\text{ aut }K$
\[
\Delta^\alpha\underset{2}{\equiv}\pi^\alpha=\text{per }D^\alpha=\text{per}\begin{pmatrix}\text{Darstellungen von}\\D\text{; so vert,}\\\text{daß $\sim$ den alten}\end{pmatrix}
\]
\[
\underset{2}{\equiv}\det(\cdots)=\Delta
\]
also $\Delta^\alpha\equiv\Delta\mod 2$ für jedes $\alpha\in\text{ aut }K$\\
Frage: Ist $\pi$ rat?\\
Dann $\Delta^2=(\pi+2\gamma)^2\equiv\pi^2\mod4\equiv0,1\mod4$\\
Ja für "`Determinanten-Permanente"': 31.5.76 iterierte La\-place-Ent\-wick\-lung
\item[(9)] Für jede Darstellung $D^\ast$ eines halbeinfachen belieb. Ringes $R$, die die irred Darst. $D^{(\delta)}$ irgend eine Anzahl von Malen, $e_\delta^\ast$-mal enthält, ist die Diskrim.
\[
D(\tau_1,\cdots \tau_r)=\Delta_{(\tau_1\cdots\tau_r)}^{\ast^2}=\prod_{\delta=1}^d e_\delta^{\ast f_\delta^2}\cdot\Delta^2(\tau_1\cdots\tau_r)
\]
Bew (3). Das gilt für \underline{jede} Basis $(\tau_1\cdots\tau_r)$ von $R$. Dabei 
\[
\Delta^{\ast^2}:=\det(\text{Spur}D^\ast(\tau_i\tau_k))
\]
\item[($9^\prime$)] Frage:  Wenn $R,\widetilde{R}$ zwei $S$-Ringe mit $R\subseteq \widetilde{R}$, ist dann\\ $\Delta(\tau_1,\cdots,\tau_r)\big|\Delta(\widetilde{\tau}_1,\cdots,\widetilde{\tau}_{\widetilde{\tau}})$? (Antwort (14)$^\prime$) I.A. nicht!\\ 
Wenn ja, gilt für $R\subseteq$ Gruppenring von $\mf{H}$: $\Delta(\tau_1\cdots\tau_r)\big|h^h$\\
das gäbe gute Teilbarkeitsverschärfungen für Frame
\begin{flushright}
134/135
\end{flushright}
\item[(10)] $\Delta$ ist rational genau wenn jedes $\alpha\in\text{ Aut }K$ eine gerade Permutation der Charaktere von $R$ bewirkt, für die $f$ ungerade ist.\\ 
Wenn $R=$ Centralizer Rg dann $e_\rho$ ungerade! Denn Vertauschg der geraden Darst ändert det $\Delta$ nicht.
\item[(11)]
Wenn neben $\tau_k$ auch stets $\tau_k^\ast=\tau_{k^\ast}$ vorkommt.
\item[$\to$ S. 143] Sei $r=h+2s$
\item[]wo $\begin{array}{c} h\text{ die Anzahl der hermiteschen }\\
                  2s\text{ die Anzahl der nicht hermiteschen }\end{array}
\Big\}~~\tau_k$.\\
Dann ist
\[
s\equiv\sum_\delta\frac{f_\delta(f_\delta-1)}{2}+c_1
\]
denn 
\begin{eqnarray*}
\text{sgn }|N|&=&(-1)^s\\
&=&\text{sgn }|E|\cdot\text{sgn}\Delta^2
\end{eqnarray*}
Daher
\item[($11^\prime$)] \ \ \ $s\equiv \#f_\delta\equiv2,3(4)$
\item[]
wenn $2|c_1$, dh wenn jedes $\alpha$ die  ungeraden Darst. mit nichtreell Char
gerade permutiert und sonst $\equiv 1+\#f_\delta\equiv2,3(4)$
\begin{flushright}
135/136
\end{flushright}
\item[(12)] Die Elementarteiler von $\{\cdots \underset{\underbrace{}_{f_{\delta}^2\text{ mal}}}{e_\delta}\cdots\}$ teilen die von $\{\cdots n_k\cdots\}$ denn die ersten sind die von $E$, die letzteren die von $N$, und $D$ kann ganz alg gewählt werden;
\[
\frac{\prod nn_k}{\prod e_\delta^{f_s^2}}=D(\tau_1\cdots\tau_r)=\Delta^2(\tau_1\cdots\tau_r)=\Delta^2.
\] 
Bew 3.
\item[($12^\prime$)] Ist $R$ $S$-Ring $\tau_1+\cdot+\tau_r=F=(1)_{r\times r}$\\
Bew: benutze $\begin{cases}D^{(1)}(\tau_k)=n_{k}\\
\widehat{\tau}=F,~\widehat{\tau_2}=\tau_2,\cdots,\widehat{\tau}_r=\tau_r\text{ als Basis }R \end{cases}$ 
\[
\mf{N}\left(\begin{array}{cc}n&\begin{array}{ccc}n_2&\cdots&n_r\end{array}\\
\begin{array}{c}n_2\\\vdots\\n_r\end{array}&\begin{array}{|ccc|}\hline 
&&\\
&n_k\delta_{ik^\ast}&\\
&&\\\hline\end{array}
\end{array}\right)=(\text{Sp}(\widehat{\tau}_i\widehat{\tau}_k))=\widehat{D}^\prime E\widehat{D}
\]
\[
\widehat{D}=\left(\begin{array}{cc}
\begin{array}{c}n\\0\\|\\0\end{array}&\left|\begin{array}{c}\text{Rest wie}\\D~~~~~~~\\~\\~\end{array}\right.
\end{array}\right)
\]
\[
E=\begin{pmatrix}1&&&\\
&e_2T_{f_2^2}&&\\
&&\ddots&\\
&&&e_dT_{f_d^2} \end{pmatrix}=\left(\begin{array}{ccc}
n&Z&\\
\begin{array}{c}0\\|\\0\end{array}&\begin{array}{c}~\\B\\~\end{array}&
\end{array}\right)=
\]
\[
\begin{pmatrix}n&Z\\0&B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&\widetilde{E}\end{pmatrix}
\]
mit $B_{(r-1)\times(n-1)}$\\
Daher $n|\Delta$, $(n_k\delta/_{k^\ast})_{2\cdots r}=B^\prime EB-Z^\prime Z$
\[
\#~~\frac{n^{r-2}\prod n_k}{\prod e_\delta^{f_\delta^2}}
\]
ganz. Elem. Teiler von $(n\delta_{ik^\ast})_{2\cdots r}-Z^\prime Z$ sind durch die von $\{\underset{\overbrace{f_\delta^2\text{ mal}}^{~}}{e_\delta\cdots}\}_{2\cdots r}$ teilbar.
\begin{flushright}
136/137
\end{flushright}
\item[(13)] Achtung: Statt $\tau_i^\ast=\tau_{i^\ast}\in$ Basis zu verlangen, genügt, dass die Basis als Ganzes selbstdual ist bezüglich des inneren Produkts\\
Spur $xy$.\\[4mm]
Antwort auf $9^\prime$:
\item[(14)] Ist $R$ ein Teil - $S$ - Ring im Zentrum eines $S$ - Rings $R^\prime$, so ist\\ $\Delta(\tau_1\cdots\tau_r)\big|\Delta(\tau_1^\prime,\cdots,\tau_{r^\prime}^\prime)$\\
Bew: Diskrim Matrix $D^\prime(\tau_1^\prime,\cdots,\tau_{r^\prime}^\prime)=D^\prime(\tau_1\cdots\tau_r~~\tau_{r+1}^\prime\cdots\tau_{r^\prime}^\prime)$; für die treue Minimaldarst $D^\prime$  von $R^\prime$ ausschreiben. Die $r\times r$ Det $\not=0$\\ 
für geeignete Wahl in den ersten $r$ Spalten sind dann
\[
\pm\text{det }D(\tau_1\cdots\tau_r).~~\text{ Laplace.}
\]
\item[($14^\prime$)] Das Gleiche gilt wenn man die irred Darst von $R^\prime$ ganzzahlig machen kann derart daß $R$ daher ausreduziert ist und äqu Darst daher gleich sind.\\
Aufgabe: Erweitern auf $m\times n$ $S$-Matrizen von XI 353\\
Man muß wohl von Paaren von Moduln reden: $(M,N)$ mit $MN$ Ring \& $NM$ Ring; das könnte für Ganzheit der EWe genügen\\
Vielleicht sollte man das als Def für halbeinfache Halbringe nehmen mit allgemeinerer Äq.def $M\sim PMQ$, det$\,P\not=0$ det$\,Q\not=0$\\
Das würde besser zu nichtunitären Darst. passen\\
z.B.: vtb mit $\left(\begin{smallmatrix} D_1&0\\0&D_2\end{smallmatrix}\right)$ wenn $D_r$ zwei Darst. eine Gr oder Moduln von Matrizen der Form $\left(\begin{array}{c|c}
0&M\\\hline
N&0\end{array}\right)$\\
$\begin{pmatrix}0&M\\N&0\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}0&P^-MQ\\Q^-NP&0 \end{pmatrix}$\\[5mm]
F
\end{itemize}
\begin{flushright}
137/138
\end{flushright}
\begin{center}
Aufgabe: Halbringe von $(m\times n)$ - Matrizen
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(16)] Def ein Halbring $M$ von $m\times n$ - Matrizen $:\mathbb{C}$ ist
\begin{itemize}
\item[a)] ein Modul: $\mathbb{C}$, der
\item[b)] $MM^\ast M\le M$ erfüllt $(M_1M_2^\ast M_3\in M)$.
\end{itemize}
\item[(17)] Ist $M$ Halbring, so $M^\ast$ und $UMV$ mit $U,V$ unitär auch Halbringe\\
Bew: $M^\ast MM^\ast\le M^\ast$
\begin{eqnarray*}
UMV\cdot V^\ast M^\ast U^\ast\cdot UMV&=&UMM^\ast MV\\
&\subseteq&UMV
\end{eqnarray*}
\item[(18)] Def: $M\sim N$ wenn $M=UNV$~~~~$U,V$ unitär
\item[(19)] Def: $M$ halbeinfach wenn
\[
\begin{array}{cc}M\sim&\begin{pmatrix}\mathbb{C}_{f_1\times g_1}&&&\\
&C_{f_2\times g_2}&&\\
&&\ddots&\\
&&&C_{f_d\times g_d}\end{pmatrix}\\
&\begin{array}{cccc}
|&|&&|\\
e_1\text{-mal}&e_2\text{-mal}&&e_d\text{-mal}
\end{array}
\end{array}
\]
\[
f_i,g_i\in\mathbb{N}.
\]
\item[(20)] Der Verkettungsmodul zweier unitärer Darstellungen ist Halbring
\item[($20^\prime$)] Der Verkettungsmodul zweier transitiver Permgr ist ein halbeinfacher $S$-Halbring.\\[4mm]
Vermutung: Ein Halbring $M$, der endlicher $\mf{o}$-Modul ist, ist in einem mit Elementen $\in \mf{o}$.
\begin{flushright}
138/139
\end{flushright}
\item[(21)] Was man für diese Th. braucht, sind zwei Modul $\underset{\substack{|\\\text{Rg }=\,n}~~~~~~}{\overset{\substack{\text{Rg }=\,m\\|}~~~~~~}{\begin{cases} M=\{\mu\}\\N=\{\nu\}\end{cases}}}$ so dass $MN$ ein he Ring $R$ ist. Für jede $\left\{\begin{array}{c}\text{Darst }D\text{ von }R\\\text{Best }\mu_1\cdots v_1\cdots \end{array}\right\}$ kann man dann die $m\times n$ Matrix bilden:
\[
D(\mu_1\ldots~\mu_m;~~\nu_1\cdots \nu_n):=\bigg(\text{Sp}\big(D(\mu_i\nu_k)\big)\bigg);~~\Delta=\text{det }D
\]
Transf auf andere Basen $\mu_1^\prime\cdots \nu_1^\prime\cdots$ ist klar: $\Delta\to\text{det }A\cdot\text{det }B\cdot D$ Abhängigkeit von $D$ wie in 9.\\ 
Ist $m=n$ und $\left\{\begin{array}{c}D(\mu_1\cdots v_m)\\D^\prime(\mu_1^\prime\cdots v_m^\prime)\end{array}\right\}$ monomial, so ergeben sich Elementarteiler, falls geeignete $\mu\nu\in R$ ganz sind in dem Sinn, dass sie einen endl. $\mf{o}$-Modul erzeugen.
\item[(22)] Um in einer Darstellung $D$ eines Rings und endl. $\mf{o}$-Moduls $R$ einen ganzen Teilring $R$ (dh endl $\mf{o}$-Modul) auszureduzieren, bis zur Trenng der inäqn irr. Bestandteile, genügen die Nenner, die in $D(e_i)$ auftreten, wo $e_i$ die zentralen prim Idempotenten von $R$ durchläuft. Denn damit kann man die $D(e_\rho)$ auf Diagonalform bringen.
\[
\begin{pmatrix}I&0\\X&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&0\\B&C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I&0\\-X&I\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\XA-CX+B&C\end{pmatrix}\text{ linear in }X.
\] 
z.B. um eine homogene volle Darst. $D^\delta$ in einem Matrizen- $S$-Ring trennen, genügen die Nenner der Koeffizienten des auf $\Box\sum~~\sum e_\rho f_\rho$ normierten zentralen Idempotents zu $D^\delta$
\begin{flushright}
139/140
\end{flushright}
\item[23.] Allg Theorie: Gegeben Ring $R$ mit $1$, freier $R$-Modul $M$ mit einer bilinearen nichtausgearteten Abbildung $\underbrace{(a_1,a_2)}\to$  $\underline{a_1a_2}$ geschrieben, $\in K=$ ein Körper.\\
$\text{Rg}_RA=n$~~~\\
Sind dann $b_1,\cdots,b_n$;~~~$\widehat{b}_1,\cdots,\widehat{b}_n$ zwei Basen von $M$, so gilt für die Matrizen aus $K_{n\times n}$
\[
B=(\underline{b_ib_k}),~~\widehat{B}=(\widehat{b}_i\widehat{b}_k),~~C=(b_i\widehat{b}_k)
\]
\begin{itemize}
\item[(I)]
\[
\begin{cases}
C^\prime B^{-1}C&=\widehat{B}\\
C\widehat{B}^{-1}C^\prime&=B
\end{cases}
\]
\end{itemize}
Bew: $\exists x: \widehat{b}_k=\xi_{lk}b_l$\\
$\underline{b_i\widehat{b}_k}=\underline{b_ib_l}\xi_{lk}$~~~$C=BX~\Box$\\
$\widehat{b}_i\widehat{b}_k=\widehat{b}_ib_l\xi_{lk}$~~~$\widehat{B}=C^\prime X~\circ$\\
Setze $X$ aus $\Box$ in $\circ$ ein; dividiere erste Gl durch Zweite: $C\widehat{B}^{-1}=\ldots$
\begin{itemize}
\item[]
Wenn beide Basen ``monomial'' sind in dem Sinn dass $B$ und $\widehat{B}$ monomiale Matrizen sind, so ergibt
\begin{itemize}
\item[Ia)] Orthog rel für die Spalten von $C$ 
\item[Ib)] Orthog rel für die Zeilen von $C$
\end{itemize}
\item[(II.)] Ist z.B. $M$ eine halbeinfache Algebra: $K$ und $K$ zerfällend und setzt man $a_1a_2=\text{Sp}\; D(a_1a_{12})$ für eine beliebige treue
Darstellg. $D(M):K$, so ist jedes System von Matrixeinheiten $e_i$ in $M$
eine monomiale Basis. Und wenn $D\sim\sum e_\delta D^\delta$, $D^\delta$ irred
$H$ bel, ist 
\[
\text{Sp}(e_{ik}^\alpha~e_{lm}^\beta)=\begin{cases}0&\alpha\not=\delta\text{ od }ik\not=ml\text{ oder }\beta^\prime\not=\delta\\
1&ik=lm\text{ und }\alpha=\delta=\beta \end{cases}
\]
 daher 
\[
\underline{e_{ik}^\alpha\cdot e_{lm}^\beta}=\begin{cases}0&\alpha\not=\beta\text{ oder }ik\not= ml\\
e_\delta&\alpha=\beta,~ik=ml\end{cases}
\]
\begin{flushright}
140/141
\end{flushright}
Also ist für ein System von Matr Einh. $\varepsilon_1\cdots\varepsilon_n$:
\[
E=\begin{pmatrix}
e_1Q_{f_1^2}&&&\\
&e_2Q_{f_2^2}&&\\
&&\ddots&\\
&&&e_\delta Q_{f_\delta^2}
\end{pmatrix}=E^\prime\text{ wo }Q=(\delta_{ik,ml})
\] 
nur von der Darst $D$ abhgig.
\[
\text{det}Q_{f_\delta^-}=(-1)\frac{f\delta(f_\delta-~~)}{2}
\]
nicht von der Wahl der Matrixeinheiten.
\item[III.] Ist z.B. $M$ ein $S$-Ring von $\text{Rg }n$ in einer Gruppe $H$ der Ord $h$, mit einfachen Basiselementen $\tau_1\cdots \tau_n$;~~$\tau_2=\underline{\mf{T}_\nu},~~ |\mf{T}_\nu|=t_\nu$, und wählt man für $D$ die reg. Darst. von $H$, so wird die Matrix
\[
T=(\underline{\tau_i\cdot\tau_k})=\begin{pmatrix}
t_1&&&\\
&t_2&&\\
&&t_3&\\
&&\begin{array}{ccc}
&t_3&\\
&&\ddots
\end{array}&&
 \end{pmatrix}=(t_i\delta_{ik^\ast})=T^\prime
\]
wenn zB. $\tau_3^\ast=\tau_4$.\\
Setzt man also 
\[
C=(\underline{\varepsilon_i\tau_k})=(\text{Sp}\,D(\varepsilon_i\tau_k))
\]
so wird nach I
\[
\begin{cases}
CT^-C^\prime&=E\\
C^\prime E^-C&=T
\end{cases}
\]
\item[IV.] Besonderer Fall: $M$ kommutativer $S$-Ring: $H$. Die Darstellung $\omega_\sigma$ von $M$ komme in der $D(M)$ $e_\sigma$ mal vor. Dann ist $(e_\sigma=n_\sigma^\#\text{ bei }T_\text{?})$
\[
E=\begin{pmatrix}
e_1&&\\
&\ddots&\\
&&e_n
\end{pmatrix} = N^\#,~~~~T=\begin{pmatrix}
t_1&&&&\\
&\ddots&&&\\
&&&t_3&\\
&&t_4&&\\
&&&&\ddots
\end{pmatrix}
\]
\begin{flushright}
141/142
\end{flushright}
Mit prim Idemp $\varepsilon_\nu$ von $M$ wird
\[
C=(\text{Sp}\,D(\varepsilon_i\tau_k))=E(\omega_{ik})=EW
\]
$\omega_{ik}=\chi_i(\tau_k)$ für $M$, $\omega_{ik}\in\Gamma$ ganz alg, gibt
\[
\begin{cases}
WT^-W^\prime&=E^-\\
W^\prime EW&=T~~~W^\prime N^\#W=T
\end{cases}
\]
det $W$ $=|\chi_i(\widetilde{\tau}_k)|$ mit $\overline{\tau}_1=\underline{M}$; $\overline{\tau}_2=\anmerk$
\[
=\begin{vmatrix}
h&\ast&\ast&\cdots\\
0&&&\\
\vdots&&&\\
0&&&
\end{vmatrix}~~~~~h\big|\text{det}\,W
\]
Spezialfall: $M=\text{Ztr}\,H$; $H$ habe Darst Vfh $e_\sigma$; $H$ habe Char $Z_{ik}$ Grad $f_\sigma$
\[
E=\begin{pmatrix}
f_1^2&&\\&\ddots&\\&&f_n^2
\end{pmatrix}~~~~~~T=\begin{pmatrix}
n_1&&&&\\
&\ddots&&&\\
&&&n_3&\\
&&n_1&&\\
&&&&\ddots
\end{pmatrix}=(n_i\delta_{ik^\ast});%~~n_i\text{ Klassengl.}
\]
$n_i$ Klassengl.
\begin{gather*}
W=(\omega_{ik})=\left(\frac{\overline{\chi_{ik}}n_k}{f_i}\right)\\
E^\frac{1}{2}WT^{-1}=(\overline{\chi_{ik}})~~~~~W=E^{-\frac{1}{2}}(\overline{\chi})T
\end{gather*}
\[
\begin{cases}
\chi T\chi^\prime&=I\\
\chi^\prime\chi&=T^{-1}
\end{cases}
\]
\item[V.] Ist eine Ordnung in einer anderen enthalten, so ist ihre Diskrim-Matrix ein Vielfaches der anderen: $\Rightarrow$ ElTeiler Sätz\\
Anwendg auf ganzzahl. $S$-Ring in einer bel Max ord die letztere hat Diskr Matrix nach II.
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}
142/143
\end{flushright}
\begin{center}
Perm Gr $G$, tra, Char $=\chi$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[Th:] Die Anzahl der selbstgepaarten tra Konst. von $G_a$ stimmt überein mit der Gesamtzahl der reellen einfachen Charaktere in $\chi(G)$ (mit Zählung der Vielfachheit)\\
Bew: ?
\end{itemize}
Achtung: Anders bei Higman, D. G.:\\
Coherent Configurations I; Geometriae Dedicata 4(1975), 1-32:\\
(7.4): Die Anzahl der symmetrischen Basismatrizen des Vertauschungsrings $V$ einer primit. Perm. Gr. ist gleich der Anzahl der irreduziblen Bestandteile $1.$ Art minus Anzahl 2. Art, beide mit Vielfachheit gezählt. Dabei 1. Art: Darstellung auf reellen Matrizen transformierbar. 2. Art: Charakter reell, Char. Darst. nicht auf reellen Matrizen transformierbar\\
(well known for the group case, Frobenius-Schur)\\
Dort übrigens eine zusätzliche Bedingung (6.5) ("`Krein inequality"') für die Basismatrizen von $V$.\\
Vorläufer bei L.L.Scott, AMS Notices, Jan. 1973, 701-20-45.
\begin{flushright}
143/144\\
Die Seite 144 ist leer\\
144/145
\end{flushright}
\begin{center}
Arithmet. Struktur bis S. 162: Januar 64
\end{center}
(Madison) 14.1.64, $20^{32}$ $\mathcal{M}=\max$; $\pi=\pi$-Untergr. $\widetilde{G}$ konjugiert in $G$, besser $\underset{G}{=}$ $Z=$ Centralizer
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $N\unlhd G$, $N\in\pi G$. Dann $A\in\mathcal{M}\pi G\iff N\le A$, $A/N\in \mathcal{M}\pi G/N$.
\item[(2)] Sei $N\unlhd G$, $|N|_\pi=1$, $A\le G$. Dann $A\in \mathcal{M}\pi G\iff A\in\pi G$, $AN/N\in \mathcal{M}\pi G/N$. Bew Thompson
\item[(3)] Folgende Klassen "`großer"' $\pi$-Gruppen haben Interesse: lage
\begin{eqnarray*}
\mf{L}\pi G:&=&\{A\big|A\in\pi G;~~A\unlhd B\in\pi G\Rightarrow A=B\}\\
\mathcal{M}\pi G:&=&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\le\\
\mathcal{M}_1\pi G:&=&\{A\big|A \in\pi G;~~|A|\big||B|=|B|_\pi\Rightarrow|A|=|B|\}\\
\mathcal{M}_2\pi G:&=&~~\cdots~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|A|\le|B|=|B|_\pi\Rightarrow\cdots
\end{eqnarray*}
$\hat{\mathcal{M}}$ siehe (7)(11). Es ist $\mathcal{M}_2\subseteq \mathcal{M}_1\subseteq \mathcal{M}\subseteq\mf{L}$.\\ 
z.B.
\item[(4)] $A\in\mathcal{M}_1\pi G$, $N\unlhd G$, $|N|_\pi\not=1\Rightarrow A\cap N\not=1$.\\
Bew: sonst $B=\mathcal{N}_{NA}$ Sylowturm $N$.\\[4mm] 
Folge für $G=G_0\unrhd G_1\unrhd\cdots\unrhd G_e=1$, $G_{i-1}/G_i=:G^i$ gilt
\item[(5)] $A\in\mathcal{M}_1\pi G_1$  $B\neg G^\lambda=A\cap G^\lambda\Rightarrow A\underset{G}{\sim} B$\\
Bew mit Induktion mittels
\item[(6)] $A,B\in\mathcal{M}\pi G$, $B\neg G^\lambda=A\neg G^\lambda$, $N^\text{min}\unlhd G$\\
$\Rightarrow A\cap N=B\cap N=\prod_\times(A\cap N_\sigma)$; mit $N=N_1x+N_S$ ist $A\le N_\sigma\in\hat{\mathcal{M}}\pi N_\sigma$ Def siehe (7)\\
Bew:
\begin{itemize}
\item[a)] $|N|=p^\nu$, $p\in\pi$~~~$N\cap A=B\cap N=N$
\begin{flushright}
145/146
\end{flushright}
\item[b)] $|N|=p^\nu$, $p\not\in \pi\Rightarrow A\cap N=1=B\cap N$
\item[c)] $N=N_1\times\cdots\times N_s$, $N_\sigma=N_\sigma^\prime$ einfach
\end{itemize}
Nun Benutze
\item[Lemma (7)] $N_1\le G$, $\mathcal{C}N_1=1$, $N_1\cap K_1=1$, $K_1\le\mathcal{Z}_GN_1$, $K:=N_1\times K_1$, $A\in\mathcal{M}\pi G$, $a\in A-\mathcal{N}_AN_1\Rightarrow [N_1^a,N_1]=1$\\
 $\Rightarrow$ $A\cap(\overbrace{N_1\times K_1}^{K})=(A\cap N_1)\times(A\cap K_1)$, und $A\cap N_1\in\widehat{\mathcal{M}}\pi N_1$, wo 
\item[Def:] $\widehat{\mathcal{M}}\pi G=\{B\big|\exists c\in\pi\text{ aut }G\rightarrow B^c =B,~\& ~x^c=x\in\pi G\Rightarrow x\in B\}$\\
Besser Def: (11): Bestimmg von $\hat{\mathcal{M}}:(9)$\\
Zum Beweis besser erst Lemma 8!\\
Bew: oBdA $K_1=\mathcal{Z}_G N_1$; dann $N_1,K_1, N_1\times K_1$ invariant unter $\mathcal{N}_AN_1$. Bilde die von $\mathcal{N}_AN_1$ auf $N_1$ induzierte Automgr $C$; $(A\cap N_1)^C=A\cap N_1$; Wähle ein beliebiges $B\in\mathcal{M}\{X\in\pi N_1, X^C=X\}$. Dann $B\in\widehat{\mathcal{M}}\pi N_1$, $B$ invariant unter $\mathcal{N}_AN_1$, also
\[
B^A=\langle B^1,B^{a_2},\cdots,B^{a_s}\rangle\text{ wo }A=\sum_{r=1}^s(\mathcal{N}_AN_1)a_\sigma
\]
Aber jedes $B^{a_\sigma}$ liegt in einer anderen Konjugiert von $N_1$ unter $A$, und die zentralisieren sich nach Vorauss. gegenseitig. Also $B^A=B^1\bullet B^{a_2}\bullet\cdots B^{a_\sigma}\in\pi G$ Wegen $A\in\mathcal{M}\pi G$ ist $B^A\le A$, insbesondere $B\le A$. Also $B\le A\cap N_1$.
\begin{flushright}
146/147
\end{flushright}
Nun enthält aber $C$ insbesondere die von $A\cap N_1$ auf $N_1$ induzierten inneren Automorphismen, also $B^{A\cap N_1}=B$, daher $B\cdot(A\cap N_1)\in\pi N_1$ und fest unter $\mathcal{N}_A N_1$, also $B\cdot(A\cap N_1)=B$, d.h. $B\le A\cap N_1$, also $B=A\cap N_1$\\[4mm]
Schluß des Beweises von (6):
\begin{itemize}
\item[a)] Wähle $K_1=G_\lambda$ wo $\lambda=\min$ mit $N_1\nleq G_\lambda$. Dann deckt $N_1$ das $G^\lambda$, $[N_1,G_\lambda]=1$. Wähle in (7) $K_1=G_\lambda$ gibt
\[
A\cap G_{\lambda-1}=(A\cap N_1)\times(A\cap G_\lambda)
\]
also
\[
A\neg G^\lambda=(A\cap N_1)\underset{\substack{\uparrow\\\text{dis-}\\\text{junkt}}}{\cdot} G_\lambda/G_\lambda
\]
ebenso
\begin{gather*}
B\neg G^\lambda=(B\cap N_1)\cdot G_\lambda/ G_\lambda\\
(A\cap N_1)G_\lambda=(B\cap N_1)G_\lambda\\
A\cap N_1=B\cap N_1\in\widehat{\mathcal{M}}\pi N_1
\end{gather*}
ebenso $N_\sigma$ statt $N_1$.
\item[b)] Wähle in 7  $K_1=N_2\times\cdots\times N_S$, gibt
\[
A\cap N=(A\cap N_1)\times(A_1\cap N_2\cdot N_S)
\]
also kommen die 1. Komp von $A$ invertiert vor, ebenso die $\sigma$-ten Komp:
\[
A\cap N=\prod\nolimits_\times(A\cap N_\sigma)=\prod(B\cap N_\sigma)=B\cap N
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}
147/148
\end{flushright}
\item[Lemma (8)] Verallg. des Gedankens von (7):\\
Vor: $A\in\mathcal{M}\pi G$, $B\in\pi G_1$ für jedes $a\in A$ ist $B\cdot B^a=B^a\cdot B$.\\
Beh: $B\le A$\\
Bew: $B^A\in\pi G$, $A\cdot B^A\in\pi G,~=A$.
\item[(9)] Ist $\mathcal{C}G=1$, so ist $B\in\widehat{\mathcal{M}}\pi G\iff\exists M\in\mathcal{M}\pi\widehat{G}\ni B=G\cap M$.\\
$\not=s$. (10)\\
Dabei $\widehat{G}:=\text{aut}\,G$, mit identif. $G,$ inn $G$\\
Bew:
\begin{itemize}
\item[a)] $B\in\widehat{\mathcal{M}}\pi G\Rightarrow\exists C\le\text{aut}\,G~~~~\ni$
\[
\begin{cases}
B&=B^C\\
X&=x^C\in\pi G\Rightarrow X\le B
\end{cases}
\]
$B^C=B$, also $BC\in\pi G$. Wähle  $M\ge BC$, $M\in\mathcal{M}\pi\widehat{G}$. Dann $M\cap G\ge B$ und fest bei $M$, also bei $C$, daher $M\cap G=B$
\item[b)] Sei $M\in\mathcal{M}\pi\widehat{G}$, $B=G\cap M$. Dann  $B^M=B$, und wenn $X\in\pi G$, $X^M=X$, so $XM\in\pi\widehat{G}$, also $XM=M$, $X\le M$, $X\le G\cap M=B$.
\end{itemize}
\item[(10)] Für jedes $G$ ist $B\in\widehat{\mathcal{M}}\pi G\iff\exists M\in\mathcal{M}\pi$ hol (Holomorph) $G$ mit $M\cap G=B$.\\
Bew wie (9).~~~~~~s. auch (11)
\begin{flushright}
148/149
\end{flushright}
\item[(11)] $B\in\widehat{\mathcal{M}}\pi G\iff\exists H\unrhd G$, $M\in\mathcal{M}\pi H$, $M\cap G=B$\\
Dies die beste Def von $\widehat{\mathcal{M}}$ aber wichtiger
$\mathcal{M}^{\widehat{\widehat{}}}$ (4)\\
Bew: 
\begin{itemize}
\item[a)] $\Rightarrow$ (10) $H=\text{hol}\,G$
\item[b)] $\Leftarrow$ $C:=$ Aut von $G$, indduz von $M$; $B^C=B$;\\ 
$X^C=X\in\pi G\Rightarrow X^M=X$, $\langle X,M\rangle\in\pi H,=M$
\end{itemize}
\item[(12)] $B\in\widehat{\mathcal{M}}\pi G$, $G_1$ char in $G\Rightarrow B\cap G_1\in\widehat{\mathcal{M}}\pi G_1$ Bew Def (7)
\item[(13)] Aufgabe: $C_\pi(S^k\text{ wr } S^\ell)=?$
\item[(14)] Aufgabe: Wann $\widehat{\mathcal{M}}\pi G=M\pi G=\mf{L}\pi G$?
\item[(15)] Def: $\widehat{\widehat{\mathcal{M}}}\pi G=\{B\big|\exists_{H,M}G\,{\unlhd\unlhd}\, H,M\in\mathcal{M}\pi H,M\cap G=B\}$\\
$\widehat{c}$, $\widehat{\widehat{c}}\pi G=$ Aut. d. Klassen konjugierter $X\in\widehat{\widehat{\mathcal{M}}}\pi G,\widehat{\mathcal{M}}$
\item[(16)] Aufgabe: Untersuche die Familie der $G$ mit
$\widehat{\widehat{c}}_\pi G=1$. Normal persistent?
\begin{flushright}
149/150
\end{flushright} 
\item[(17)] $N\unlhd G$, $\widehat{c}_\pi N=1\Rightarrow c_\pi G=c_\pi G/N$.\\
Bew: Wenn $M_\pi=1$, (24); Sonst (20). Sonderf 21
\item[(18)] $\widehat{c}_\pi G=1\forall\pi\iff G$ sol\\
Bew: $c_\pi\le\widehat{c}_\pi\le\widehat{\widehat{c}}_\pi$
\item[(19)] Frage: $\widehat{\mathcal{M}}=\widehat{\widehat{\mathcal{M}}}$ ?
\item[(20)] $\widehat{c}_\pi G=1$, $B\in\widehat{\mathcal{M}}\pi G\Rightarrow B\in\underset{\substack{|\\\text{Hall-}\\\text{gp.}}}{\mathcal{H}}\pi G$\\
Bew: $\mathcal{M}\subseteq\widehat{\mathcal{M}}$, also $c_\pi G=1$
\item[(21)] aufl $N\unlhd G\Rightarrow c_\pi G=c_\pi G/N$\\
braucht nicht Th.-- Feit
\item[(22)] Aufgabe: Nichtabelsche "`Kohomologietheorie mit durchweg subnormaler"' Einbettung untersuchen $0\to A\to B$
\item[(23)] Ist $a_\pi G$ die Zahl der Klassen unter aut $G$ konjugierter max $\pi$- Untergruppen von $G$, so gilt:
\[
C\text{ char in }G\Rightarrow a_\pi C\le a_\pi G
\]
mit $\lhdd$ char char statt $\,{\unlhd\unlhd}\,$.\\
Aufgabe: Weitere Sätze für: $a_\pi$ statt $c_\pi$ beweisen.
\begin{flushright}
150/151
\end{flushright}
\item[(24)] Wenn $N\unlhd G$, $|N|_\pi=1$; $A,B\in\pi G$ so $A\underset{G}{\sim}B\iff AN\underset{G}{\sim}BN\iff$
\[
AN/N\underset{G/N}{\sim}BN/N.
\]
Bew: Th. Feit.
\item[(24)] Wenn $N\unlhd G$; $N\le A,B\le G$ so $A\underset{G}{\sim}B\iff A/N\underset{G/N}{\sim} B/N$
\item[(25)] Ist jede komp Fakt Gr von $G$ entw. $\pi$- oder $\pi^\prime$- Gp, so ist $\widehat{\widehat{c}}_\pi G=1$\\
Bew: $G\,{\unlhd\unlhd}\, H$, $M\in\mathcal{M}\pi M$ $\Rightarrow$ mit (27)\\
$M$ deckt die $\pi$-Char. fakt. von $G$, meidet die $\pi^\prime$- Char. faktoren von $G$\\
Bew: Indukt $|G|$ mit (1), (2). Dann Konjugiertheit nach Satz für Layer Projections
\item[(26)] Frage: $\widehat{\widehat{c}}_n G=1\Rightarrow$ jeder Komp-Index $\begin{cases}\pi\text{ od}\\\pi^\prime\end{cases}$?
\begin{flushright}
151/152
\end{flushright}
\item[(27)] $N\,{\unlhd\unlhd}\, G$, $N\in\pi G$, $A\in\widehat{\widehat{\mathcal{M}}}\pi G$ $\Rightarrow N\le A$
\item[(28)] Aufgabe: wird die äußere Aut. Gr einer perfekten einfachen Gr. stets von Involutionen erzeugt?
\item[(29)] \underline{Große Aufgabe}: Statt der Familie $\pi G$ eine beliebige invariant definierte Klasse $\kappa G$ von Ugr von $G$ betrachten, $\kappa$ klassifizieren nach Verhalten bei Hom, $\times , \ldots$
Grundvor: $\sigma$ iso $G\Rightarrow \kappa(G^\sigma)=(\kappa G)^\sigma$\\
z.B. $\kappa=\text{coc}$~~~~~~~$A\in\text{ coc }G\iff\forall g\in G\exists h\in\langle A,A^g\rangle$ $A^g=A^h$ also $A\in\text{ coc }G\iff A\underset{G}{\sim}B\Rightarrow A\underset{\langle A,B\rangle}{\sim}B$\\
oder
\[
A\in\left\{\begin{array}{c}\text{isc }G\\\text{auc }G\end{array}\right\}\iff B\le G\left\{\begin{array}{c}B\cong A\\\exists\sigma\in\text{ aut }G\ni B=A^\sigma\end{array}\right\}\Rightarrow A\underset{\langle A,B\rangle}{\sim}B
\]
\item[(30)] Zu jedem $\kappa$ gehört $\hat{\kappa},\hat{\hat{\kappa}}$, 
\begin{gather*}
A\in\hat{\kappa}G\iff\exists\hat{G}\unrhd G,~\hat{A}\in \kappa\hat{G},~\hat{A}\cap G=A\\
A\in\hat{\hat{\kappa}}G\iff\exists\hat{\hat{G}}\,{\unrhd\unrhd}\, G, \ldots
\end{gather*}
Es ist $\kappa\subseteq\hat{\kappa}\subseteq\hat{\hat{\kappa}}$
\begin{flushright}
152/153
\end{flushright}
Zu jedem $\kappa$ gehört $\overleftarrow{\kappa}$:
\[
A\in\overleftarrow{\kappa}G\iff\forall_\eta:H\to\!\mapstochar G,\exists B\in \kappa H\ni B^\eta\le A.
\]
z.B. $\overleftarrow{\pi}=\pi$, $\overleftarrow{\mathcal{M}\pi}=\mathcal{M}\pi$.\\
Komposition von Klassen.
\[
A\in\kappa\lambda G\iff \exists H\in\lambda G,~A\in\kappa H
\]
\[
A\in K\overline{\lambda}G\iff\exists\overline{G},~\overline{A}\ni G\in\lambda\overline{G},~~\overline{A}\in K\overline{G},~A=G\cap\overline{A}
\]
z.B. $\mathcal{H}\pi=\mathcal{H}\overline{\pi}\,\overline{\nu}$; dabei\\
feste Bez:
\begin{eqnarray*}
A\in\nu G&\iff&A\unlhd G\\
A\in\sigma G&\iff&A\,{\unlhd\unlhd}\, G\\
A\in\delta G&\iff&A\text{ direkter Faktor von }G
\end{eqnarray*}
Man könnte schreiben $\sigma=\nu\ldots\nu$ oder $=\nu^a$\\
Aber vielleicht sollte man wie in Kohomol Th die Untergr als Abbildg abstrakter Gruppen  festlegen. Vielleicht gibts das alles schon in Funktoren-Theorie.\\
Def: $\kappa$ kovariant $\iff [ \eta\in\text{ hom }G\Rightarrow(\kappa G)^\eta=\kappa(G^\eta) ]$\\
z.B. $\pi$ kov, $\mathcal{M}\pi$ nicht.
\begin{flushright}
153/154
\end{flushright}
Def: 
\[
\kappa\left.\begin{array}{c}\text{super var}\\\text{covar}\\\text{subvar}\end{array}\right\}\iff \kappa(G^\eta)\left\{\begin{array}{c}\supseteq\\=\\\subseteq\end{array}\right.~~(KG)^\eta
\]
für $\forall\eta\in\text{ hom }G$\\
Besser: Schreibe
\[
\kappa\eta\begin{smallmatrix}\supseteq\\=\\\subseteq\end{smallmatrix}\eta\kappa
\]
wenn für jeden Hom $\eta$ von $G$ gilt $\kappa(\eta(G))\,\begin{smallmatrix}\supseteq\\=\\\subseteq\end{smallmatrix}~\eta(\kappa(G))$, z.B. $\mathcal{M}\pi$ subvar\\
$\kappa$ direkt $\iff$ $A,B\in \kappa G$,
$\exists A\times B\Rightarrow A\times B\in \kappa G$\\
Def:
\[
\kappa\text{ distrib }\iff\left\{\begin{array}{cc}
&A\in \kappa(G_1\times G_2)\\
\leftrightarrow&A=A_1\times A_2,\\
&A_i\le G_i,A_i\in \kappa G_i
\end{array}\right\}
\]
zB. $\pi$ ist direkt; $\mathcal{M}\pi$ ist distr.\\
$\kappa=\text{ coc }\Rightarrow\kappa\eta=\eta\kappa,~\kappa\delta\subseteq \kappa$\\
$\mathcal{M}\text{ coc }$distr. Allgemeiner:
\item[(31)]Satz: Sei $\left\{\begin{array}{c}\kappa\text{ direkt }\\\kappa\delta\subseteq \kappa,\eta \kappa\subseteq \kappa\eta\end{array}\right\}$; dann $\mathcal{M}\kappa$ distrib. ("`direkt"' wohl ab\-zu\-schwä\-chen ?)\\
Bew:
\begin{itemize}
\item[a)] Sei $A\in\mathcal{M}\kappa(G_1\times G_2)$, $A_i=\text{Komp }A$ in $G_i$; dann
\begin{gather*}
A_i\in\kappa G_i\text{ da }\eta \kappa\subseteq \kappa\eta\\
A_i\in\kappa(G_1\times G_2),\text{ da }\kappa\delta\subseteq\kappa\\
A\le A_1\times A_2\in\kappa(G_1\times G_2)\text{ da }\kappa\text{ direkt}\\
A=A_1\times A_2\text{ da }A\in\mathcal{M}\pi(G_1\times G_2)
\end{gather*}
\item[b)] Sei $A=A_1\times A_2$, $A_i\in \mathcal{M}\kappa G_i$; $G=G_1\times G_2$.\\
Dann $A_i\in\kappa G$ da $\kappa\delta\le\kappa$\\
$A=A_1\times A_2\in\kappa G$ da $\kappa$ direkt; $|G|<\infty$!\\
Wähle $A\le B\in\mathcal{M}\kappa G$, dann ist $B=B_1\times B_2$ (a)\\
also mit $A_i\le B_i\in\kappa G_i$, $A_i=B_i$
\end{itemize}
\begin{flushright}
154/155
\end{flushright}
\item[(32)] Wenn $\hat{\pi}(C)\not=1$ für jeden Kompfaktor jedes $M\le G$ so gilt:
\item[\underline{Satz:}] Ist $A,B\in\hat{\hat{\mathcal{M}}}\pi G$, $A\neg G^\lambda=B\neg G^\lambda$ für jeden nichtabelschen Faktor $G^\lambda$ in einer $K.-R$, von $G$, so $A\underset{G}{\sim}B$.\\
Bew: Ind von unten
\item[(33)] Aufgabe: Projektionseigenschaft $\mathcal{S}G\to\mathcal{S}\hat{\mathcal{M}}$.
\item[(34)] Die Vor von (32) kann ersetzt werden durch\\ 
$A,B$ sollen je eine $2$-Sylowgr. von $G$ enthalten. Vielleicht genügt auch: Ihre Projektionen in die nicht abelschen Faktoren $G^\lambda$ sollen je eine $2$-Sy von $G^\lambda$ enthalten
\item[(35)] Hauptlemma: $M\in\mathcal{M}\pi G$, $S,T\le G$; wenn $P_i\in\pi S_i$, so $\langle P_i\rangle\in\pi G$, wobei $S_i$ die verschiedenen Konjugierten von $S$ unter $M$ sind; $S\le \mathcal{N}T$, $S\cap T=1$
\[
\Rightarrow[M\neg ST/T]\neg S=M\neg S~~~~~~~(\ast)
\]
\begin{flushright}
155/156
\end{flushright}
Vor schwächer: Wenn linke Seite von $(\ast)$ $=P$ gesetzt wird, soll $P^M\in\pi G$ sein: d.h. für $P=(M\cap ST)\cdot T\cap S$ sei $P^M\in\pi G$.
\item[(36)] Vermutung $\begin{cases}\text{\fbox{V}}\\\text{\fbox{V$^\prime$}} \end{cases}$: In der äußeren Automgr. jeder einfachen Gr. $S$ bilden die $|S|$- Elemente eine $\begin{cases}\text{nilpotente}\\\text{auflösbare} \end{cases}$ Untergruppe.\\
$\Rightarrow\text{\fbox{V$^{\prime\prime}$}}$: $S$ einfach, $|S|_\pi\not=1$, $A\in\pi\text{ aut }G\Rightarrow\exists B\in\pi S$, $B\not=1$, $B^A=B$
\item[Th (37)] \fbox{V$^{\prime\prime}$} $\Rightarrow$ zwei max $\pi$- Ugr $A,B$ von $G$ s. auch sind $\underset{G}{=}$ genau wenn ihre Projektionen in die nichtabelschen Faktoren $G^\lambda$ einer Normalreihe von $G$ simultan-konjugiert in $G$ sind\\
Bew mit 42
\item[Th (38)] \fbox{V$^{\prime\prime}$} $\Rightarrow$ keine max $\pi$-Ugr von $G$ meidet den $\pi$-Sockel $S_\pi$ von $G$\\
($:=P/Q$ wo $Q$ die max $\pi$-aufl nor Ugr von $G$ und $P/Q=$ Sockel $G/Q$)\\
genügt V$^{\prime\prime}$ $(S_\pi)$! "`für die einf. Fakt. von"'\\
wohl gleichwertig:\\
\fbox{V$^{\prime\prime}$} $\Rightarrow$ keine max $\pi$-Ugr von $G$ meidet Kopf $A$ wenn $A\,{\unlhd\unlhd}\, G$ und minimal in $\mathcal{S}G$ nicht - $\pi$ - auflösbar (daher $A$ einköpfig)\\
genügt V$^{\prime\prime}$ (Kopf $A$)
\begin{flushright}
156/157
\end{flushright}
\item[(39)] Frage: Sind in einer einfachen Gruppe je zwei $\pi$-Untergr maximaler $\pi$-Ordnung konjugiert?\\
Antw: 15.11-77: NEIN! Bsp: $|G|=168$, $\pi=\{2,3\}$ aber dort wenigstens konjugiert in Aut $G_1$
\item[(40)] Methode: Erst die $G$ untersuchen vom Bau
\begin{center}
\begin{picture}(0,100)
\put(0,0){\line(0,1){30}}
\put(0,32){\line(0,1){30}}
\put(0,64){\line(0,1){30}}
\put(2,0){\line(0,1){30}}
\put(2,32){\line(0,1){30}}
\put(2,64){\line(0,1){30}}
\put(1,31){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
\put(1,63){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
\put(8,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(8,31){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(8,63){\makebox(0,0){$\scriptstyle H$}}
\put(8,93){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\end{picture}
\end{center}
wo $G/H$ und $K\pi$-sol, und $H/K$ direktes Produkt einfacher nichtabelscher $\pi$-Gruppen.
\item[Th (41)] \fbox{V$^{\prime\prime}$} $A,B\in\mathcal{M}\pi G$, $A\neg G^\lambda=B\neg G^\lambda$ für die nichtab $G^\lambda$\\
$\Rightarrow A\underset{\langle A,B\rangle}{=}B$\\
Bew: die Vor überträgt sich auf $G^\ast=\langle A,B\rangle$;  auf $G^\ast$ (37) anwenden
\item[(42)] Projektionen: $A\le B\le G$, $Q\in \mathcal{Q}G\Rightarrow$
\begin{itemize}
\item[i)] $A\neg(Q\neg B)=(A\neg Q)\neg B$
\item[ii)] $A\neg Q=[A\neg(Q\neg B)]\neg Q$
\end{itemize}
also die beiden linken Seiten bestimmen sich gegenseitig
\begin{flushright}
157/158
\end{flushright}
Bew:
\begin{itemize}
\item[i)] $Q=U/N$; $Q\neg B=U\cap B\big/N\cap B$\\ 
$A\neg(Q\neg B)=(A\cap U\cap B)(N\cap B)/N\cap B=\mf{L}/N\cap B$\\
$\underline{\mf{L}}=A(N\cap B)\cap U\cap B=AN\cap B\cap U\cap B=
AN\cap U\cap B$\\ 
andererseits $A\neg Q=(A\cap U)N/N=AN\cap U/N$\\ $(A\neg Q)\neg B=AN\cap U\cap B/N\cap B=\mf{L}/N\cap B$
\item[ii)] $A\neg(Q\neg B)=AN\cap U\cap B/N\cap B$~~s.o.
\begin{eqnarray*}
[A\neg(Q\neg B)]\neg Q&=&(AN\cap U\cap B\cap U)N/N\\
&&AN\cap U\ge N\\
&=&(AN\cap U\cap BN)/N\\
&=&AN\cap U/N\\
&=&(A\cap U)N/N=A\neg Q
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\item[($42^\prime$)] $A\le G^\prime\le G$, $Q\in \mathcal{Q}G$, $Q^\prime=Q\neg G^\prime$\\
$\overset{\text{äq. }42}{\Rightarrow}$
\begin{itemize}
\item[i)] $A\neg Q^\prime=(A\neg Q)\neg Q^\prime$
\item[ii)] $A\neg Q=(A\neg Q^\prime)\neg Q$
\item[iii)] $A\neg Q\cong A\neg Q^\prime$
\end{itemize}
im endl Fall wegen Ord.
\begin{flushright}
158/159
\end{flushright}
\item[(43)] Es ist $Q_1\neg(Q\neg Q_2)=(Q_1\neg Q)\cap Q_2$ genau wenn
\begin{itemize}
\item[a)] $(U_1N\cap U)N_2\cap U_2=U_1(NN_2\cap U_2)\cap UN_2\cap U_2$
\item[\& b)] $(N_1N\cap U)N_2\cap U_2=N_1(NN_2\cap U_2)\cap UN_2\cap U_2$
\end{itemize}
wobei die Reihenfolge der Faktoren geändert w. kann.
\item[(44)] Es ist $Q_1\neg Q_2=Q_2\neg Q_1$ genau wenn $U_1N_2\cap U_2=N_1 U_2\cap U_1$ \& $N_1N_2\cap U_2=N_1N_2\cap U_1$ und das ist gleichwertig mit $N_1\le U_2$ \& $N_2\le U_1$ dh mit $\langle N_1,N_2\rangle\le U_1\cap U_2$
\item[($44^\prime$)] Also $Q_1\neg Q_2=Q_2\neg Q_1\iff N_1,N_2\le U_1\cap U_2\iff N_i\le U_j$\\
Frage: $\Rightarrow$ $Q_1\neg(Q\neg Q_2)=(~~).?$
\item[(45)] Aufgabe: $\pi$-Gr maximaler Ord in $A^n,S^n$
\item[(46)] Frage: Kann man eine Gruppe, in der die nichtabelschen Kompfakt. $C^\lambda$ vorkommen, so vergrößern, dass jedes $C^\lambda$ durch aut $C^\lambda$ ersetzt wird und keine neuen nichtabelschen Faktoren auftreten ?
\begin{flushright}
159/160
\end{flushright}
\item[(47)] Sei $c\mathcal{H}\pi G$ die Anzahl der Klassen konjugierter $\pi$-Hallgruppen in $G_1$ ~Dann gilt:\\
Ist $c\mathcal{H}\pi G^\lambda=1$ $\underset{1}{\overset{l}{\forall}}\lambda$, so $c\mathcal{H}\pi G=1$; und je zwei Hallgr. v. $G$ sind schon in ihrem Erzeugnis konjugiert.\\
Steht das bei Hall? Bedeutet $G^\lambda\in C_\omega\Rightarrow G\in C_\omega$\\
Bew: Indukt $\lambda$.
\item[(48)] Vermutung: $A\in\hat{\hat{\mathcal{M}}}\pi G\Rightarrow A\neg G^\lambda\in\mf{L}\pi G^\lambda$.\\
Das würde 37 in der Theorie der großen Proj. einordn.
\item[(49)] Vermutung: Ist $N\unlhd G$ $|N|_\pi=\begin{cases}|N|\\ 1 \end{cases}$, $A\in\pi G$, so ist $A\in cc G\iff AN/N\in cc G/N$ dabei $A\in cc G\iff\forall x\in G\exists h\in\langle A,A^x\rangle\ni A^x=A^h$
\item[(50)] Sei $\mf{L}\unlhd G$, $\mf{L}\in\pi^\prime G$ (dh $|\mf{L}|_\pi=1$). Sei $A\in\pi G$, $U=U^\mf{L}\le G$; dann ist $A\mf{L}\cap U\mf{L}=(A\cap U)\mf{L}$.\\
Bew: Sei $a\in A\mf{L}\cap U\mf{L}$ dann $a\equiv u(\mf{L})$\\ 
Wähle $n\in\mathbb{N}, n\equiv1(|G|_\pi);n\equiv0(|G|_{\pi^\prime})$\\
$a=a^n=u^n(\mf{L})$ $u^n$ ist $\pi$-El't in $U$.
\begin{flushright}
160/161
\end{flushright}
Ersetze $u$ durch $u^n$, dh oBdA kann man $\langle u\rangle\in\pi G$ annehmen. $\langle a\rangle,\langle u\rangle$ sind Kplte von $\mf{L}$ in $\langle a\rangle\mf{L}=\langle u\rangle\mf{L}$; also nach Zasshs. $\exists \mf{l}\in\mf{L}\ni a=u^\mf{l}$ wegen $U^{\mf {L}}=U$ ist $u^\mf{l}\in U$, also $a\in A\cap U$; $A\mf{L}\cap U\mf{L}\le(A\cap U)\mf{L}\ge$ triv.
\item[(51)] Man kann zu gegebenen $A_\lambda\in\pi K_\lambda$ nicht immer ein $A\in\pi G$ finden mit $A\neg K_\lambda\geqq A^\lambda$. ($K_\lambda$ nichtabelsche Kompfaktgr $G$)\\
zB. in $A_5\text{ wr }A_5$ schreibe $\pi=\{3,5\}$ vor
\[
\left\{\begin{array}{cc}
\text{unten}&3\times5\times5\times\times5\times5\\
\text{oben}&5
\end{array}\right\}\text{ geht nicht}
\]
\item[(52)] Fragen:
\begin{itemize}
\item[a)] $G$ einfach: $c_\pi G=1\Rightarrow \hat{c}_{\pi} G=1$ ?
\item[b)] $\boxed{G\succ Q\text{ einfach }\Rightarrow c_\pi Q=1}~\Rightarrow c_\pi G=1$ ?
\end{itemize}
\begin{flushright}
161/162
\end{flushright}
31.1.64 (Madison)
\item[(53)] Sind die Rümpfe aller ein-dick-köpfigen subnormalen Untergr von $G$ auf\-lös\-bar ("`$G$ einschichtig"'), und  sind für ihre einfachen Köpfe $S_i$ zwei verschiedene  Untergruppen von $\hat{S}_i$ nie ineinander enthalten, so ist
\[
c_\pi(G)=\text{ Anzahl der Klassen}
\]
unter $G$ konjugierter Funktionen $f$ auf $\Sigma=\{S_1,\cdots,S_i,\cdots\}$ mit Werten $f(S_i)=$ eine Klasse in $S_i$ konjugierter Gruppen $\in \hat{\mathcal{M}}\pi S_i$.
\item[(54)] z.B. Wenn noch alle $S_i\cong A^5$, und $|\pi\cap\{235\}|=2$, so hat $f(S_i)$ stets $2$ mögliche Werte, daher
\[
c_\pi(G)=\text{ Anzahl der orbits}
\] 
von $G$ auf der Potenzmenge von $\Sigma$
\[
=\frac{1}{|G|}\cdot\sum_{g\in G}2^{\zeta(g)}
\]
wo $\zeta(g)$ die Anzahl der Zyklen $=$ orbits von $g$ auf $\Sigma$ bezeichnet.
\end{itemize}
\begin{flushright}
162/163
\end{flushright}
\begin{flushright}
Tü, 15.7.64
\end{flushright}
\begin{itemize}
\item[(1)] $A\,{\unlhd\unlhd}\, G$, $B\le G$, $G=\langle A,B\rangle$,\\ 
$\underbrace{\exists g\in G:~~B^g\le\mathcal{N}A}_{}\Rightarrow A\unlhd G$.\\
Statt dessen genügt: $\mathcal{N}_G(A)$ deckt $G/A_1~~(\text{Nov 73})$\\
z.B. $|G:A_1|<\infty$, $B\subseteq \bigcup(\mathcal{N}A)^g~~(g\in G)$\\[4mm]
Bew: Sonst $A\lhd\cdots\unlhd A_2\lhd A_1\lhd G$ (kanonische Reihe)
\begin{gather*}
G=B\cdot A_1~~~g=ba_1.\\
B^{ba_1}\le\mathcal{N}A\le\mathcal{N}A_2\\
B^{a_1}\le\mathcal{N}A_2=\mathcal{N}A_2^{a_1}\\
B\le\mathcal{N}A_2~~~A_2\unlhd G~~~Wid!
\end{gather*}
Allgemeiner:
\item[(2)] $A\,{\unlhd\unlhd}\, G$, $B\le G$, $\exists c\in\langle A,B\rangle; B^c\le\mathcal{N}A$ $\Rightarrow B\le\mathcal{N}A$.~~~~~~(1)
\item[(3)] Damit kommt wohl heraus: hat eine Ugr von $\mf{G}_\alpha$ $t\le 5$ wes. Bahnen und ist $\mf{G}$ pri, so hat $\mf{G}_\alpha\le4$ wes. Bahnen.
\end{itemize}
\begin{flushright}
163/164
\end{flushright}
\begin{center}
19.7.64~~~$2$-tra Gru: $3$-Relationen
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Die Gruppe $\mf{G}$ des Grades $p$ der Ord $p(p-1)$ ist gekennzeichnet durch die Relation
\[
R:x+y=2z
\]
Bew: $\mf{G}$ läßt $R$ invariant; wenn $s\in\mf{S}^pR$ invar läßt so erhält $S$ den Mittelpkt; läßt $s$ $0$ und $1$ fest, so läßt $S$ alle $\frac{x}{2^n}$ fest $0\le x\le 2^n$. Wähle $2^n>p$, dann läßt $S$ alle $\frac{0}{2^n},\frac{1}{2^2},\cdots,\frac{p-1}{2^n}$ fest, also alle $x$:
\[
\mf{H}=\text{ Gru }R\Rightarrow\mf{H}_{12}=1;\text{ da }\mf{G}\le\mf{H},\text{ ist }\mf{G}=\mf{H}
\]
\item[(2)] Die Basis-$3$-Relationen von $\mf{G}$ sind
\begin{eqnarray*}
G&:&x=y=z\\
U_1&:&x\not=y=z\\
U_2&:&y\not=x=z\\
(1)&:&z\not=x=y\\
(a)&&\begin{cases}ax-y=(a-1)z\\x\not=y\not=z\not=x \end{cases}~~~~\text{für }_0^1~\not=a\in K_p
\end{eqnarray*}
\item[(3)] Bezüglich der Verknüpfung zweier Rel $R,S$:
\[
f_R\cdot f_S=\sum_t f_R(xtz)f_S(tyz)
\]
haben die char Fkt der Basis rel von $\mf{G}$ die
\begin{flushright}
164/165
\end{flushright}
Multiplikationstafel:
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|}
&$G$&$U_1$&$U_2$&$(a)\not=0$\\\hline
$G$&\begin{picture}(0,0)\drawline(-6,7.5)(118,7.5)(118,-46)(-6,-46)(-6,7.5)\drawline(200,-10)(210,-10)(210,-20)(200,-20)(200,-10)\drawline(199,-9)(211,-9)(211,-21)(199,-21)(199,-9)\put(210,-35){\makebox(0,0){$\scriptstyle\text{trivial}$}}\put(220,-15){\makebox(0,0){$\scriptstyle+(1)$}}\end{picture}$G$&$0$&$U_2$&$0$\\
\hline
$U_1$&$U_1$&$0$&$z\not=\begin{cases} x\\y\end{cases}$&$0$\\\hline
$U_2$&$0$&$(p-1)G$&$0$&$U_2$\\\hline
$(a)$&$0$&$U_1$&$0$&$(aa^\prime)$\\
$a\not=0$&&&&\\\hline
&&&&
\end{tabular}
\end{center}
Hiermit müßte sich zeigen lassen, daß jede echte Obergr. von $\mf{G}$ $3$-tra ist.\\
$G,U_2$ erzeugen Ideal\\
$G,U_1,U_2,\underbrace{\sum(a)}_{z\not=\begin{cases} x\\y\end{cases}}$ erzeugen Ideal $\mf{T}$
\item[(4)] Sei $\mf{R}$ der Ring der invar Fkt mit rationalen Werten.\\
$\mod7$ haben wir als Elemente die $(a)$ mit $a\not=0$ und der Relation $\sum(a)\equiv0$ und der Multipl. Tafel (Für $Q$ als Koeff \anmerk)
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|}
&$(a^\prime)$\\\hline
$(a)$&$(aa^\prime)$\\\hline
\end{tabular}
\end{center} 
\[
a\equiv1,2,\cdots,p-1~(p)
\]
Also 
\[
\mf{R}/\mf{T}\cong Q(Z_{p-1})/(\sum a^\nu)
\]
\begin{flushright}
165/166
\end{flushright}
\begin{center}
noch $2$-tra $P$ Gr
\end{center}
\item[(5)] Frage: Ist der $3$-Relationenring einer $2$-tra Gr $\mf{G}\cong$ dann $2$-Rel-Ring von $\mf{G}_\alpha$?\\
Dann könnte man so die Frage der Erweiterung einer tra $P$Gr untersuchen\\
Antwort: Ja, im Wesentlichen
\item[(6)] Sei $\mf{G}\le\mf{S}^\Omega$ jeder $3$-Rel. $f(xyz)$ von $\mf{G}$ ordne zu
\[
\widetilde{f}(x,y)=f(xy\alpha)~~~~\alpha\in\Omega\text{ fest}\tag*{besser: 7}
\]
Dann
\[
\left\{\begin{array}{ccc}
\widetilde{c_1f_1+c_2f_2}&=&c_1\widetilde{f_1}+c_2\widetilde{f_2}\\
\widetilde{f_1\circ f_2}&=&\widetilde{f_1}\circ\widetilde{f_2}~~\&~~\widetilde{f_1f_2}=\widetilde{f_1}\widetilde{f_2}
\end{array}\right.
\]
Also $\mf{R}\to\widetilde{\mf{R}}_\alpha$ ist Homomorphismus $(+\circ\cdot)$\\
Dabei $\widetilde{f}=0\iff f(xy\alpha)\equiv 0$ in $x,y$\\
Ist $\mf{G}$ transitiv, so folgt $f(xyz)\equiv 0~~~xyz$\\
Also:\\
$f\to\widetilde{f}$ ist Isomorphismus wenn $\mf{G}$ tra. Aber Achtung: hier $x,y=\alpha$ zugelassen
\begin{flushright}
166/167
\end{flushright}
\item[(7)] Jeder invar. Fkt $f(xyz)$ von $\mf{G}$ $=$ $2$ tra ordne zu
\[
f_\alpha(x,y)=f(xy\alpha)\text{ für }x,y\in\Omega-\alpha
\]
Dann ist
\[
(f\underset{\substack{|\\\Omega}}{\circ}g)_\alpha=f_\alpha\underset{\substack{|\\\Omega-\alpha}}{\circ} g_\alpha+f(\beta\alpha\alpha)g(\alpha\beta\alpha)
\]
$\underbrace{\text{mit }\beta\not=\alpha}_{\text{const.}}$\\
Da die Konstanten $h(xy)$ auf $\Omega-\alpha+\Omega-\alpha$ ein Ideal $\mf{C}_\alpha$ bilden, und $f=c\Rightarrow f_\alpha=c$, ist $f\to f_\alpha$ ein Homom $\mf{F}/\mf{C}$ auf $\mf{F}_\alpha/\mf{C}_\alpha$. Der Kern dieses Hom besteht aus den $f(xyz)$ mit $f(xyz)=$ const auf
\[
z\not=
\begin{cases}
x\\y
\end{cases},
\]
d.h. auf $(x,y)\in\langle\Omega-\alpha,\Omega-\alpha)$. Das sind die\\ 
$f=\text{ const } f_{x\not=y=z}+\text{ const }f_{y\not=x=z}+\text{ const }f_{x=y=z}$; also sind sie trivial.\\
$[$ NB das sind die $G, U_1, U_2$ im Bsp (3) $]$
\begin{flushright}
167/168
\end{flushright}
\item[(8)] Satz: Die bei der $2$-tra Gru $\mf{G}$ invarianten Funktionen, die für $z=x$ und für $z=y$ stets verschwinden (deren Träger also zu den $3$ trivialen Basis rel. $x\not=y=z$, $y\not=x=z$, $x=y=z$ fremd sind) bilden einen Ring $\mf{R}_0$, der vermöge $f\to f_\alpha$ nach (6) isomorph auf dem vollen Ring aller Rel von $G_\alpha$ abgebildet ist. Das Einselement von $\mf{R}$ ist
\[
f_{x=y\not=z}=\begin{cases}1&x=y\not=z\\0&\text{sonst} \end{cases}
\]
\item[(9)] Satz: Sei $\mf{G}$ tra Ordnet man jeder bei $\mf{G}_\alpha$ inv. Fkt $f(xy)~~~(x,y\in\Omega-\alpha)$ zu die Fkt
\[
\hat{f}(xyz)=\begin{cases}f(x^gy^g),\text{ wo }\begin{cases}z^g=\alpha\\g\in\mf{G}\end{cases}&\text{wenn }z\not={}_y^x\\
0&\text{wenn }z=x\text{ oder }z=y
 \end{cases}
\]
so ist $f\to\hat{f}$ ein Isomorphismus von $\mf{R}(\mf{G}_\alpha)$ auf den Ring $\mf{R}_0$ der $3$-Fkt von $\mf{G}$, die für $z=\begin{cases}x\text{ od}\\y \end{cases}=0$ sind\\
Nun in $\hat{f}$ $x\to y\to z\to x$!
\end{itemize}
\begin{flushright}
168/169
\end{flushright}
\begin{center}
Primit. $P$-Gr.: Allgemeines
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $\mf{G}$ pri $\Omega$, $\alpha\not\in\Gamma=$ Bahn $\mf{G}_\alpha$\\ 
Sei $0\not=\Delta\subseteq\Omega$, $\Delta^{\mf{G}_\alpha}\not=\Omega$; $1\not=\mf{U}\le\mf{G}_\rho,\exists\rho\in\Omega$.\\
Dann $\exists G\in\mf{G}$, $\mf{U}^G$ ändert $\Delta$ und hat einen Fixpunkt in $\Gamma$.\\
Bew: $\Delta^{\mf{G}_\alpha}$ ist nur bei $\mf{G}_\alpha$ invariant. Wählt man also $H$ so, daß
\[
\begin{cases}
\mf{U}^H\nleq\mf{G}_\alpha&\\
\mf{U}^H\le\mf{G}_{\gamma_1}&\text{ für ein }\gamma_1\in\Gamma
\end{cases}
\]
was wegen Primitivität von $\mf{G}$ geht, so läßt $\mf{U}^H$ $\Delta^{\mf{G}_\alpha}$ nicht fest, daher $\exists G_{\alpha}$, $\mf{U}$ läßt $\Delta^{G_\alpha}$ nicht fest; $\mf{U}^{G_\alpha^{-1}}$ läßt $\Delta$ nicht fest und hat Fixpunkt $\gamma_1^{G_\alpha}=\gamma\in\Gamma$.
\begin{flushright}
169/170
\end{flushright}
Anders gesagt:
\item[($1^\prime$)] $\mf{G}$ pri, $0\not=\Delta\subset\Omega$ treffe nicht alle Bahnen von $\mf{G}_\nu$, $\Gamma$ ist eine Bahn $\not=\alpha$ von $\mf{G}_\alpha$, $1\not=\mf{U}$ hat FP $\Rightarrow$ $\exists G\in \mf{G}$; $\mf{U}^G$ ändert $\Delta$ und hat FP in $\Gamma$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
170/171
\end{flushright}
\begin{center}
Allgem. Zerschneidungssatz
\end{center}
\begin{itemize}
\item[Satz (1)]Wirke $\mf{H}$ auf $\Omega=\Gamma+\Delta$, $\Gamma^\mf{H}=\Gamma$. Sei $\Delta=U\Delta_i$ eine Überdeckg von $\Delta$,\\
$\forall i:\gamma\in\Gamma,\delta\in\Delta_i\Rightarrow\Delta_i\subseteq\delta^{\mf{H}_\gamma}$ Sei $\mf{N}=\{N\in\mf{H}\big|\Delta_i^N=\Delta_i\forall i\}$. Dann gilt $\mf{N}^\Gamma\times\mf{N}^\Delta\subseteq\mf{H}^{(2)}$\\
Zu zeigen ist: zu geg. $N\in\mf{N}$, $\gamma\in\Gamma,~~\delta\in\Delta$\\
$\exists H\in\mf{H}:\delta^H=\gamma,~\delta^H=\delta^N$.\\
Bew: Sei $\delta\in\Delta_i$. Dann $\delta^N\in\Delta_i\subseteq\delta^{\mf{H}_\gamma}$\\
Wähle $G\in\mf{H}_\gamma$: $\delta^N=\delta^G$.
\item[($1^\prime$)] Sonderfall $\Delta_i=\delta_i^\mf{H}$ gibt die bisherige Zerschneidung
\begin{flushright}
171/172
\end{flushright}
\item[(2)] Wirke $\mf{H}$ auf $\Omega=\Gamma+\Delta_i$ $\Gamma^\mf{H}=\Gamma$. Sei $\Delta=\cup\Delta_i$ eine bei $\mf{H}$ invariante (im Ganzen) Überdeckung von $\Delta$. Es gebe $\mf{K}\le\mf{H}$ derart, daß $\begin{cases}\text{i)}&\mf{K}\text{ in jedem }\gamma^\mf{H}\text{ einen Fixpunkt hat}\\
\text{ii)}&\text{ für jedes }\delta\in\Delta_i\text{ gilt }\Delta_i\subseteq\delta^\mf{K} \end{cases}$.\\
Sei $\mf{N}=\{N\in\mf{H}\big|\Delta_i^N=\Delta_i\forall i\}$. Dann ist
\[
\begin{cases}
\mf{N}^\Gamma\times\mf{N}^\Delta\le\mf{H}^{(2)}\\
\mf{N}\unlhd\mf{H}
\end{cases}
\]
Bew: Geg $\begin{cases}\gamma\in\Gamma\\\delta\in\Delta_i \end{cases}$. Wähle $\gamma_0:=\gamma^{H_0}=$ Fixpunkt $\mf{K}$.\\
$\delta_0:=\delta^{H_0}\in\Delta_i^{H_0}=\Delta_0$. Nach Vor ist
\[
\Delta_0\subseteq\delta_0^\mf{K}\subseteq\delta_0^{\mf{H}_{\gamma_0}}=\delta^{H_0\mf{H}_{\gamma_0}}
\]
also
\[
\Delta_i\subseteq\delta^{H_0\mf{H}_{\gamma_0}\overline{H}_0}=\delta^{\mf{H}_\gamma};~(1)
\]
Allgemeiner:
\item[(3)] $\Omega=\Gamma+\Delta$, $\mf{H}\le\mf{G}$, $\Gamma^\mf{H}=\Gamma$\\ 
$\mf{H}$ habe in $\Gamma$ die wes. Bahnen $\Gamma_i$, in $\Delta$ die Bahnen $\Delta_j$\\
$\forall i,j\exists\gamma_i\in\Gamma_i$, $\delta_j\in\Delta_j:\Delta_j\le\delta_j^{\mf{G}_{\gamma_i}}$.\\
Dann ist $\mf{H}^\Gamma$, $\mf{H}^\Delta\le\mf{G}^{(2)}$
\end{itemize}
\begin{flushright}
172/173
\end{flushright}
\begin{center}
$\lhdd$ Perm Gr.
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $\mf{G}$ sei tra, $\mathcal{S}\mf{G}\in\max$ und werde von zwei subnorm. Ugr'en $\mf{A},\mf{B}$ erzeugt; dann ist $\mf{A}$ oder $\mf{B}$ fixpunktfrei.\\
Bew: sonst hat $(\mf{A},\mf{B}^g)$ Fixpkt, ist $\not= \mf{G}$. aber:
\item[(2)]$\langle\mf{A},\mf{B}\rangle=\mf{G}$, $s\mf{G}\in\max$,  $\mf{A},\mf{B}\,{\unlhd\unlhd}\,\mf{G}\Rightarrow\langle\mf{A},\mf{B}^g\rangle=\mf{G}$. \\ denn sind $\langle\mf{A},\mf{B}^g\rangle=\overline{\mf{G}}\lhdd \mf{G}$\\
$\langle\mf{A},\mf{B}^g\rangle^\mf{G}<\mf{G}$ aber $=$ .\\[4mm]
Frage:
\item[(3)] Welche unendlichen $\mf{G}$ haben die Eigenschaft:
\[
\mf{A},\mf{B}\,{\unlhd\unlhd}\,\mf{G},~~\langle\mf{A},\mf{B}\rangle^\mf{G}=\mf{G}\Rightarrow\langle\mf{A},\mf{B}\rangle=\mf{G}?
\]
anders geschrieben wird verlangt:
\[
\mf{A},\mf{B}\lhdd\mf{G},~~\mf{A}^\mf{G}\cdot\mf{B}^\mf{G}=\mf{G}\Rightarrow\langle\mf{A},\mf{B}\rangle=\mf{G}
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}
173/174
\end{flushright}
\begin{center}
$S$-Ringe: Vollst.- Eig.
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Ist $\mf{H}=\langle P\rangle\times\langle Q\rangle$ el abelsch Typ $(p,p)$, so ist, mit $R=\langle PQ\rangle$, der von $1,\langle P\rangle,\langle Q\rangle,\langle PQ\rangle$, $\mf{H}$ erzeugte Modul $\mf{M}$, obwohl er $S$-Ring ist, deswegen nicht einbettbar, weil jeder einbettbare $S$-Ring, gedeutet als Gesamtheit $\mf{F}$ invarianter Funktionen von $2$ Variabl., die folgenden Eigenschaft hat (die $\mf{M}$ nicht hat):
\[
f(x\xi)g(\xi y)g(x\eta)f(\eta y)h(\xi\eta)
\]
Aus $f,g,h\in\mf{F}$ folgt
\[
\sum_{V,W}f(XV)g(VY)g(XW)f(WY)h(VW)\in\mf{F}\tag{$\ast$}
\]
Wähle bei $\mf{M}$
\begin{eqnarray*}
f(X,Y)&=&\chi_{\langle Q\rangle}(XY^\prime)\\
g(X,Y)&=&\chi_{\langle PQ\rangle}(XY^{-1})\\
h(X,Y)&=&\chi_{\langle P\rangle}(XY^{-1})
\end{eqnarray*}
$\chi_\mf{M}=$ Charakt Fkt von $\mf{M}$\\
%\begin{minipage}[b]{65mm}
Aus ($\ast$) folgt nämlich dann:\\
\begin{minipage}[b]{69mm}
\[
\exists U,V~\left\{\begin{array}{c|c}
Y\equiv W\langle Q\rangle&\text{wenn ein~\anmerk }SR\\
X\equiv W\langle R\rangle&\langle P\rangle\langle Q\rangle\\
X\equiv V\langle Q\rangle&\langle R\rangle\text{ enthält, }\\
V\equiv Y\langle R\rangle&\text{ so auch }\ast\\
V\equiv W\langle P\rangle&\langle P Q^2\rangle
\end{array}\right.
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{35mm}
\begin{picture}(0,0)
\put(20,-25){\line(1,0){60}}
\put(20,-25){\line(0,1){60}}
\put(20,-25){\line(1,1){60}}
\put(20,-5){\line(1,1){60}}
\put(40,-8){\line(0,1){30}}
\put(20,-5){\line(1,0){20}}
\put(48,-5){\makebox(0,0){$\scriptstyle W$}}
\put(90,-32){\makebox(0,0){$\scriptstyle \equiv x\mod\langle P\rangle$}}
\put(15,5){\makebox(0,0){\begin{rotate}{90}$\scriptstyle \equiv x\mod\langle Q)$\end{rotate}}}
\put(15,-5){\makebox(0,0){$\scriptstyle V$}}
\put(48,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle y$}}
\put(60,5){\makebox(0,0){\begin{rotate}{45}$\scriptstyle \equiv x\mod\langle PQ\rangle$\end{rotate}}}
\end{picture}
\end{minipage}
\end{itemize}\mbox{}\\[5mm]\mbox{}
\begin{flushright}
174/175
\end{flushright}
\begin{center}
Invariante Funktionen bei $P$ Gr.~~~~~~~~~9.8.64
\end{center}
\begin{itemize}
\item[Hi Satz 1.] Sei $\mf{H}\le\mf{G}$, $\mf{H}$ tra $\Omega$, $0\in\Omega$. Sei $\mf{M}_0\subseteq\Omega^{k-1}~~(k\ge 2)$, $\mf{M}_0$ inv bei $\mf{H}_0$. Definiere $\mf{M}\subseteq\Omega^k:(\xi_1,\cdots,\xi_k)\in\mf{M}\iff$ für jedes $N\in\mf{H}$ mit $\xi_k^H=0$ ist $(\xi_1^H,\cdots,\xi_{k-1}^H)\in\mf{M}_0$ besser $k$ durch $k+1$ ersetzen\\
Dann gilt: \underline{$\mf{M}$ inv $\mf{G}$ $\iff$ $\mf{M}_0$ inv $\mf{G}_0$}\\
Bew: $\Rightarrow$ $(\xi_1\cdots\xi_{k-1})\in\mf{M}_0,~~G_0\in\mf{G}_0$ $\Rightarrow$ $(\xi_1,\cdots,\xi_{k-1},0)\in\mf{M}$, da $\mf{M}_0$ inv $\mf{G}_0$~~~$(\xi_1^{G_0},\cdots,\xi_{k-1}^{G_0},0)\in\mf{M}$\\
$H=1:$ $(\xi_1^{G_0}\cdots\xi_{k-1}^{G_0})\in\mf{M}_0\Rightarrow\mf{M}_0$ inv $\mf{G}_0$\\
$\Leftarrow$ $\mf{M}_0$ inv $\mf{G}_0$\\
Nach Def. ist 
\begin{eqnarray*}
\mf{M}&=&\{(\xi_1\cdots\xi_{k-1}0)^H\big|_{H\in\mf{H}}~(\xi_1\cdots\xi_{k-1})\in\mf{M}_0\}\\
\text{also}~~~~~\mf{M}&=&(\mf{M}_0,0)^\mf{H}\\
&=&(\mf{M}_0,0)^{\mf{G}\circ\mf{H}}=(\mf{M}_0,0)^\mf{G}\text{ inv. } \mf{G}
\end{eqnarray*}
unnötig, siehe $2^\prime$-$3^\prime$
\item[Satz 0] Ist $f(xy\cdots)$ inv. bei $\mf{U}\le\mf{G}$ und $\mf{G}=\sum\limits_1^nG_\nu\mf{U}$, so ist $\sum\limits_{\nu=1}^nf(x^{G_\nu}y^{G_\nu}\cdots)$  inv. bei $\mf{G}$.
\begin{flushright}
175/176
\end{flushright}
\item[Satz 2.] $\mf{H}\le\mf{G}$, $\mf{H}$ tra $\Omega$, $0\in\Omega$; $f$ eine Funktion von $k$ Veränd. in $\Omega$\\
Dann $f(\xi_1\cdots\xi_k)$ inv $\mf{G}$
\begin{eqnarray*}
&\iff&\exists g(\xi_1\cdots\xi_{k-1})\text{ inv. }\mf{G}_0\\
&&f(\xi_1\cdots\xi_{k-1}\xi_k)=\\
&&g(\xi_1^H\cdots\xi_{k-1}^H)\text{ wenn }\xi_k^H=0
\end{eqnarray*}
Besser $2^\prime$ S. 177.\\
Bew $\Rightarrow$ Sei $f(\xi_1\cdots\xi_k)$ inv $\mf{G}$. Setze $g(\xi_1\cdots\xi_{k-1})=f(\xi_1\cdots\xi_{k-1}0)$
\begin{itemize}
\item[a)] 
\begin{eqnarray*}
g(\xi_1^{G_0}\cdots\xi_{k-1}^{G_0})&=&f(\xi_1^{G_0}\cdots\xi_{k-1}^{G_0}0^{G_0})=f(\xi_1\cdots\xi_{k-1}0)\\
&=&g(\xi_1\cdots\xi_{k-1})\Rightarrow g\text{ inv. }\mf{G}_0
\end{eqnarray*}
\item[b)]
\[
\xi_k^H=0\Rightarrow f(\xi_1\cdots\xi_{k-1}\xi_k)=f(\xi_1^H\cdots\xi_{k-1}^H0)=g(\xi_1^H\cdots\xi_{k-1}^H)
\]
\end{itemize}
$\Leftarrow$ Sei $g$ inv $\mf{G}_0$, $f(\xi_1\cdots)=g(\xi_1^H\cdots)$ wenn $\xi_k^H=0$. Für gegebenes $(\alpha_1\cdots\alpha_k)\in\Omega^k$ setze
\begin{align*}
c_0:&=f(\alpha_1\cdots\alpha_k)&\mf{M}&=\{(\xi_1\cdots\xi_k)\big|f(\xi_1\cdots\xi_k)=c_0\}\\
&&\mf{M}_0&=\{(\xi_1\cdots\xi_{k-1})\big|g(\xi_1\cdots\xi_{k-1})=c_0\}
\end{align*}
Dann gilt: $(\xi_1\cdots\xi_k)\in\mf{M}\iff$ für jedes $H$ mit $\xi_k^H=0$ ist $(\xi_1^H\cdots\xi_{k-1}^H)\in\mf{M}_0$\\
$\mf{M}_0$ inv $\begin{cases}\mf{G}_0\\\mf{H}_0 \end{cases}$; daher erfüllen $\mf{M},~\mf{M}_0$ die Vor von Hi Satz 1, also ist $\mf{M}$ inv $\mf{G}$ daher $(\alpha_1,\cdots,\alpha_k)^G\in\mf{M}$~~$f(\alpha_1^G\cdots\alpha_k^G)=f(\alpha_1\cdots\alpha_k)$ $f$ inv $\mf{G}$\\[4mm]
unnötig, siehe $2^\prime$-$3^\prime$
\begin{flushright}
176/177
\end{flushright}
\begin{center}
noch invar. Fkt
\end{center}
Nun Vor reg. Ugr:
\item[Satz 3:] Sei $\Omega=\mf{H}$, $\mf{G}$ wirke auf $\Omega$, $K^H=KH~~(H\in\mf{H})$\\ Dann $f(x_1\cdots x_k)$ inv $\mf{G}\iff\underset{g}{\exists} f(x_1\cdots x_k)=g(x_1\widetilde{x}_k,\cdots,x_{k-1}\overline{x}_k)$ mit $g(u_1\cdots u_{k-1})$ inv $\mf{G}_1$ ($1$=neutr El. $\mf{H}$) und wenn es so ein $g$ gibt, dann \[g(u_1\cdots u_{k-1})\cdot f(u_1\cdots u_{k-1}1)\]siehe $3^\prime$\\
Bew: die $\mf{G}$ der rechts angeg. Eig sind die mit der Eig. 2:\\[4mm]
$x_k^H=1\iff H=x_k^{-1}$\\
Besser und direkter: Sei $\mf{H}$ tra $\Omega,\mf{H}\le\mf{G}$
\item[Satz $2^\prime$] $f(x_1\cdots x_{k+1})$ inv $\mf{G}\iff f(x_1\cdots x_{k+1})$ inv $\mf{H}$ \& $f(x_1\cdots x_{k}0)$ inv $\mf{G}_0$\\
Bew: $\Leftarrow$ $G\in g\to$; wähle $K\in\mf{H}$, $0^K=x_{k+1}$\\
$f(x_1^G\cdots x_{k+1}^G)=f(y_1^{KG}\cdots0^{KG})$\\
$KG=G_0H$ setze $y_i^K=x_i~~(i=1\cdots k)$\\
Voller Bew S. 179
\item[Satz 4:] Vollstdigkeitseig der $k$- Invarianten von $\mf{G}_1$:\\
Sei wie in 3 $\Omega=\mf{H}$; Dann gilt:
\begin{itemize}
\item[a)] Aus $f(x_1\cdots x_{\mu}\cdots x_r\cdots x_k)$ inv $\mf{G}_0$ folgt natürlich\\ 
$f(x_1\cdots x_r\cdots x_\mu\cdots x_k)$ inv $\mf{G}_0$ (kurz: $\in\mf{F}_0$)
\item[b)] $f(x_1\cdots x_k)\in\mf{F}_0\to\sum\limits_t f(x_1\cdots t\cdots t\cdots x_{k})\in\mf{F}_0$
\item[c)] Aus $f(x_1x_\nu x_{k})$ inv $\mf{G}_0$ folgt $f(x_1\overline{x}_\nu,\cdots,\overline{x}_\nu\cdots,x_k\overline{x}_\nu)$ inv $\mf{G}_0$ $(\nu=1\cdots k)$
\item[d)] siehe 178
\item[(e)] $f(x_1\cdots x_k)$, $g(u)$ inv $\mf{G}_0$ $\Rightarrow$\\
FALTUNG\\
$\sum\limits_{t\in\mf{H}}f(x_1,\overline{t}\cdots x_k\overline{t})g(t)$ inv $\mf{G}_0$\\
NB: für $k=1$ ist das Schurs Ring-Eig.
\item[(e$^\prime$)] Man braucht die Summation in e nur über eine beliebige bei $\mf{G}_1$ feste Teilmenge $\mf{T}$ von $\mf{H}$ zu erstrecken (ersetze $g$ durch $g\cdot\chi_\mf{F}$)
\begin{flushright}
177/178
\end{flushright}
\item[d)] $f(u)$ inv $\mf{G}_1\to f(u^{-1})$ inv $\mf{G}_0$
\item[e$^{\prime\prime}$)] $f(x_1\cdots x_k)$, $g(u)$ inv $\mf{G}_0\to\sum\limits_{t\in\alpha^{\mf{G}_0}}f(x_1t,\cdots,x_k t)g(t)$ inv $\mf{G}_0$
\item[f)] 
\[
f(x_1\cdots x_k)\in\mf{F}_1\Rightarrow\begin{cases}f(x_1\overline{x_{k+1}},\cdots,x_k\overline{x_{k+1}})\in\mf{F},\text{ daher auch}\\
f(x_1\overline{x_k},\cdots,x_{k-1}\overline{x_k},1)\in\mf{F}.
\end{cases}
\]
\item[g)] Ist $\mf{U}\le\mf{G}$, $f(x\ldots)$ inv $\mf{G}_0$, $h(x)$ inv $\mf{U}$, so
\[
f\circ h=\sum_t\hat{f}(x_1t_{\cdot\cdot}^{-1})h(t)\text{ inv }\mf{U}.
\]
Bew: 
\begin{itemize}
\item[c)] $k=1$
\begin{eqnarray*}
&&f(x_1,\overline{x}_{k+1}\cdots x_k\overline{x}_{k+1})\text{ inv }\mf{G}~~~x_1\leftrightarrow x_{k+1}\\
&\Rightarrow&f(x_{k+1},\overline{x}_1\cdots x_k\overline{x}_1)\text{ inv }\mf{G}~~~x_{k+1}=1\\
&\Rightarrow&f(\overline{x}_1~~x_2\overline{x}_1\cdots x_k\overline{x}_1)\text{ inv }\mf{G}
\end{eqnarray*}
\item[d)] folgt aus c $(k=1)$
%\item[f)] unabh z aus Satz $3^\prime$
\item[g)] $f(xy^{-1})h(y)$ inv $\mf{U}$
\end{itemize}
\item[h)] $\mf{H}$ add geschrieben:
\[\left.
\begin{array}{r}
f(x-y-y)f(y-x~~x)\\
f(xy)\in\mf{F}_0\to f(y,x), f(-x~y-x)(-y~x-y)
\end{array}\right\}\in\mf{F}_0
\]
\item[i)] S. 179
\end{itemize}
Kurzer Beweis der Hauptsachen mit (Vor $\mf{H}$ reg, $\Omega=\mf{H}$)
\item[Satz $3^\prime$]
\begin{itemize}
\item[a)] $f(x_1\cdots x_{k+1})\in\mf{F}\to f(x_1\cdots x_k~1)\in\mf{F}_1$
\item[b)] $f(x_1\cdots x_k)\in\mf{F}_1\to f(x_1\overline{x}_{k+1},\cdots,x_k\overline{x}_{k+1})\in\mf{F}$
\item[c)] ~~~~~~~$\cdots$~~~~~$\to f(x_1\overline{x}_k,\cdots,x_{k-1}\overline{x}_k,1)\in\mf{F}$\\
Bew
\begin{itemize}
 \item[b):] Satz $2^\prime$.
 \item[c)\phantom{:}] b mit $x_{k-1}$ ident $x_k$
 \end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}
178/179
\end{flushright}
Beweis von Satz $2^\prime$: $\mf{H}$ tra $\Omega\ni0$\\
Beh: $f(x_1\cdots x_k~0)\in\mf{F}_0$, $f(x_1\cdots x_k x_{k+1})$ inv $\mf{H}$ $\Rightarrow f(x_1\cdots x_k x_{k+1})\in\mf{F}$
\[
f(x_1^G\cdots x_{k+1}^G)=f(y_1^{HG}\cdots 0^{HG})\text{ wo }\begin{cases}H:0^H=x_{k+1},\\x_i=y_i^H,H\in\mf{H}\\y_{k+1}=0 \end{cases}
\]
\begin{eqnarray*}
&=&f(y_1^{G_0L}\cdots 0^{G_0L})~~~~\text{wo }H= G_oL,L\in\mf{H}\\
&=&f(y_1^{G_0L}\cdots 0^{L})\\
&=&f(y_1^{G_0}\cdots 0)~~~\text{ da }f\text{ inv. }\mf{H}\\
&=&f(y_1\cdots 0)~~~\text{ da }f(x_1\cdots 0)\in\mf{F}_0\\
&=&f(y_1^{H}\cdots 0^{H})=f(x_1\cdots x_{k+1})\\
\end{eqnarray*}
Wahrscheinlich ist 3 zu verallg. mittels $\Omega=\mf{H}/\mf{H}_1$
\begin{itemize}
\item[i)] $f_0(xy\ldots)$ inv $\mf{G}_0\to\sum\limits_{t\in\mf{T}} f_0(x-t~~y-t~~\cdots)$ inv bei jeder Ugr von $\mf{G}$, die $\mf{T}$ als Ganzes fest läßt.
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}
179/180
\end{flushright}
\begin{center}
5.~~~~Beispiel: Gruppen vom Grad $p$
\end{center}
Sei $\Omega=K_p$~~~~~ $\mf{H}: x^H=x+1$ $\mf{H}\le\mf{G}=$ einf. tra.
\begin{itemize}
\item[a)] Bestimmung der $f(x)\in\mf{F}_\Delta$
\[
1,x^{p-1}\in\delta_0
\]
Da $\mf{G}_0$ nicht tra auf $\Omega-0$, gibts $3$ lin un inv Polynome \\
$\exists g\in\mf{F}_0$, Gr $g< p-1$, $g(0)=0$\\
hierunter wähle $g$ so, daß $g$ normiert und Grad $g=m=$ min\\
Ist $\mf{T}$ Bahn von $\mf{G}_0$ in $\Omega-0$, so nach 4e$^\prime$ (mit 2. Fakt. $=1$)
\[
\mf{F}_0+\sum_{t\in\mf{T}}g(x+t)-\sum_{t\in\mf{T}}g(x)=\sum_{\substack{t_i\\1\le\nu\le m}}g_\nu(x)t^\nu=h(x)
\]
\[
g(x+t)=\sum_0^m g_\nu(x)t^\nu,~~g_0=g
\]
da Gr $h<m$, ist $h=$ const, also
\[
\sum_\mf{T}t^\nu=0~~~~\nu=1,\cdots,m-1\text{ wegen Gr }g_\nu=m-\nu
\]
daher ist $|\mf{T}|\ge m$\\
Ferner ist da $g\in\mf{F}_0$ und $\mf{G}_0$ tra $\mf{T}$
\begin{eqnarray*}
g(t)-g(t_1)&=&\text{ const auf }\mf{T}~~(t_1\in\mf{T}\text{ fest})\\
&=&0
\end{eqnarray*}
also $m\ge|\mf{T}|$; $m=|\mf{T}|$
\[
g(t)=g(t_1)+\prod_{t\in\mf{T}}(x-t)
\]
wegen $\sum t^\nu=0,~\nu=1,\cdots,m-1$ sind die ersten $m-1$ el sym Fkt der $t$ auch $0$, als $\prod(x-t)=x^m+\text{ const }$
\[
g(x)=x^m+\text{ const }=x^m
\]
wegen $g(0)=0$
\[
x^m\in\mf{F}_0
\]
\begin{flushright}
180/181
\end{flushright}
hieraus folgt $m\big| p-1$ da für $x^{G_0}=x^\prime~~(x\not=0)$ stets
\begin{align*}
x^{p-1}&=x^\prime~{}^{p-1}\\
x^m&=x^\prime~{}^m~~~~~~~~p-1=qm+r,~r<n
\end{align*}
\[
x^\nu=x^\prime~{}^\nu~~~~x^r\in\mf{F}_0~~~~~r=0
\]
Nicht nötig fürs folgende:\\
NB: Hieraus folgt, dass $1,x^m,x^{2m}\cdots,x^{p-1}$ $K$-Basis von $\mf{F}_0$ sind, denn ein $m$ und richtige Anzahl $\frac{p-1}{m}+1$ da festes Bahn $\mf{T}\subseteq\Omega-\alpha$ die Länge $m$ hat.
\item[b)] Einige $2$-Invarianten. Mit $x^m$ enthält $\mf{F}_0$ (impr $\mf{F}$) nach 4$f$ auch $(x-y)^m$ und $\mf{F}_0$ enthält mit jeder Form $\begin{cases}f(x)\\g(x) \end{cases}$ vom Grade $m$ auch
\[
\sum_{t\in K}t^{p-1-m}\cdot f(xt)g(ty)
\]
\begin{eqnarray*}
f\circ g&:=&\sum_{t\in K}f(x,t)g(t,y)t^{(p-1-m)^{\swarrow\equiv0\mod m}}\\
&&f=\sum f_\mu x^\mu y^{m-\mu}~~g=\sum g_\nu x^\nu y^{m-\nu}~~\Rightarrow\\
-f\circ g&=&\sum_{\mu,\nu}f_\mu(x)^\mu t^{m-\mu} g_\nu t^\nu y^{m-\nu}\bigg|_{t^m}\text{ wegen }\sum t^\nu=0\\
&&\hspace*{4cm}\begin{cases}p-1\nmid\nu\\\text{od. } \nu=0 \end{cases}\\
&=&\sum_{\mu=0}^mf_\mu g_\mu x^\mu y^{m-\mu}
\end{eqnarray*}
\begin{flushright}
181/182
\end{flushright}
Da die Koeff in $f=(x-y)^m$ alle $\not\equiv0$, ist
\[
\underbrace{f\circ\cdots\circ f}_{p-1}=x^m+x^{m-1}y+\cdots+y^m=\frac{x^{m+1}-y^{m+1}}{x-m}_{(x\not=y)}
\]
Daher
\[
h=\begin{cases}\frac{x^{m+1}-y^{m+1}}{x-y}&x\not=y\\mx^m&x=y \end{cases}\to h\in\mf{F}_0
\]
$x\not=0$, $x^\prime:=x^{G_0}\Rightarrow$
\[
\frac{x^{m+1}-y^{m+1}}{x-y}=\frac{x^\prime\,{}^{m+1}-y^\prime\,{}^{m+1}}{x^\prime-y^\prime}~~~(x\not=y)
\]
subtrahiere $x^m=x^\prime\,{}^m$:
\[
\frac{(x^m-y^m)y}{x-y}=\frac{(x^\prime\,{}^m-y^\prime\,{}^m)y^\prime}{x^\prime-y^\prime}\text{ wegen }~~~~x^m=x^{\prime m}
\]
\[
\frac{x^\prime}{x}=\frac{y^\prime}{y}\leftarrow yx^\prime=xy^\prime~~\leftarrow\frac{y}{x-y}=\frac{y^\prime}{x^\prime-y^\prime}\text{ wenn }~~~~x^m\not= y^m
\]
das gilt aber auch für $x^m=y^m (\not=0)$, da dann $\exists c$ mit $x^m\not=c^m$, also
\[
\frac{x^\prime}{x}=\frac{c^\prime}{c}=\frac{y^\prime}{y}
\]
also zu $G_0~\exists a:~~x^{G_0}=ax$ für $x\not=0$ auch für $x=0$.\\
Zu $G~\exists~ a,b$; $x^G=ax+b$
\begin{flushright}
182/183
\end{flushright}
\begin{center}
Noch Gruppen vom Grad $p$
\end{center}
\item[A.] NB: Bei Ausnutzung der zykl Vert. $C$ der Ord $3$:
\[
f(x~y)\in\mf{F}_1\to f(y-x~~-x)~~~\text{hat Ord }3
\]
Im Fall $\Omega=K_p$ wird es zweckmäßig sein, Funktionen auf $\Omega\times\Omega$ mit Werten aus $K_{p^2}$ zu betrachten, damit die $3.$ Einh Wurzeln da sind.
\item[B.] NB: $\mf{G}$ vom Grad $p$ ist $3$-tra genau wenn $\mf{G}_{1-1}^\ast$ nur die beiden Bahnen $\{1-1\}$ und $\Omega-\{1-1\}$ hat. Will man also indirekt zeigen, daß $\mf{G}$ $3$-tra, so kann man annehmen $\mf{G}_{1-1}^\ast$ hätte $3$ Bahnen und damit drei lin un $2$-Invarianten.
\item[C.] Die Gesamtheit $\mf{F}$ der Vertauschungsmatrizen derjenigen Gruppen auf $1,2,\cdots,(p-1)$, die zur Gruppe $\mf{G}_0$ einer Gr des Grades $p$ gehören, hat die Vollstd-Eig:
\[
f(x~y)\in\mf{F}\Rightarrow f(x-y~-y)\in\mf{F}
\]
wo
\[
f(0,y)=f(x,0)=0
\]
gesetzt werden kann. Das bedeutet:
\[
\overset{\substack{i\\\downarrow}}{\begin{pmatrix}
&&a&&\\&&b&&\\&&\vdots&&\\&&c&&\\&&0&&\\&&d&&\\&&\vdots&&\\&&e&&
\end{pmatrix}}\in\mf{F}\Rightarrow
\overset{\substack{p-1\\\downarrow}}{\begin{pmatrix}
&&d&&\\&&\vdots&&\\&&e&&\\&&0&&\\&&a&&\\&&b&&\\&&\vdots&&\\&&e&&
\end{pmatrix}}\in\mf{F}.
\]
Das ist wohl eine der 6 "`Spiegelungen"' der Bahnen von $\mf{G}_{01}$\\
Wenn $N\in\mathcal{N}\mf{P}$ mit $N^2=1$, so gilt auch $f(y-x~y)\in\mf{F}$:
\[
\underset{\substack{\uparrow\\i}}{\begin{pmatrix}
&&a&&\\&&\vdots&&\\&&c&&\\&&0&&\\&&d&&\\&&\vdots&&\\&&e&&
\end{pmatrix}}\in\mf{F}\Rightarrow
\underset{\substack{\uparrow\\i}}{\begin{pmatrix}
&&c&&\\&&\vdots&&\\&&a&&\\&&0&&\\&&e&&\\&&\vdots&&\\&&d&&
\end{pmatrix}}\in\mf{F}.
\]
\begin{flushright}
183/184
\end{flushright}
Das muss nützlich für die Untersuchung der nicht $3$-tra Gruppen $\mf{G}$ vom Grad $p$ sein. Ferner:
\item[c$^\prime$.] Frage: Sei $\mf{V}$ ein Ring von Matrizen mit dieser Symmetriebedgg, bestehend aus allen Matrizen, die mit einer geg tra $2$-abg $P$ Gr $\mf{H}$ auf $\{12\cdots p-1\}$ vertauschbar sind; ist dann $\mf{HP}\,\dot{=}\,\mf{PH}$ mit $\mf{P}=\langle P\rangle$, $P:x\to x+1$?
\begin{flushright}
184/185
\end{flushright}
\begin{center}
noch Gruppen vom Grad $p$.
\end{center}
\item[d)] Ist $\mf{G}$ $2$-tra, $f(xy)\in\mf{F}_0$, so ist
\[
\sum_t f(x-t,y-t)\text{ inv }\mf{G},\text{ also }=(x-y)^{p-1}\cdot c+d
\]
\begin{eqnarray*}
f_{\kappa\lambda}(x,y)=\sum_t(x-t)^k(y-t)^l&=&-\sum_{\kappa+\lambda=p-1}x^{k-\kappa}y^{l-\lambda}\binom{k}{\kappa}\binom{l}{\lambda}\\
&=&\text{ Form vom Grad }k+l-(p-1)
\end{eqnarray*}
Ist also $f(xy)\in\mf{F}_0$, $f=\sum h_k$, $h_k$ homogen vom Grade $k$, so ist 
\[
\sum h_k(x-t,y-t)=\begin{cases}0&k<2p-2\\
-(x-y)^{p-1}&k=l=p-1
 \end{cases}
\]
\item[e)] Die Faltung definiert man besser nicht durch $\sum f(x-t)g(t)$, sondern durch
\[
f\circ g=-\sum_{t=0}^{p-1}f(x-t)g(t)=f(x-t)g(t)\big|_{t^{p-1}}
\]
Dann gilt nämlich
\[
x^{p-1}\circ x^k=\begin{cases}x^k&k=0,1\cdots,p-2\\
x^{p-1}+1&k=p-1 \end{cases}
\]
daher $x^{p-1}\circ f(x)=f(x)$ wenn Grad $f<p-1$.
\item[f)] mit $(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)$ gilt
\[
\Delta(f\circ g)=(\Delta f)\circ g
\]
Ferner
\item[g)]
\[
f\circ g=g\circ f,~~f\circ(g\circ h)=(f\circ g)\circ h
\]
\begin{flushright}
185/186
\end{flushright}
\item[h)]
\[
\begin{cases} 
1\circ g=\begin{cases}0&\text{Gr }g<p-1\\+1&g=t^{p-1} \end{cases}\\
1\circ g=g_{p-1},\text{ wenn }g(t)=\sum\limits_0^{p-1}g_\nu t^\nu.
\end{cases}
\]
$n=p^\alpha$
\item[i)] Bei regulären Ugr vom Typ $(p,\cdots,p)$ ist Betrachtung des $\mf{G}_0$-invarianten Polynoms $g(x)$ niedrigsten Grades und $g(G)=0$ nützlich: es hat die Gestalt
\[
g=x^kh(x^{p-1})
\]
(Bew: $g(cx)=c^mg(x)$)\\
Wahrscheinlich ist $k\big|p-1$ (Bew: $x\to cx$) und $f(x)=f(x^{\frac{p-1}{p}})$ für jedes $f\in\mf{F}$ wenigstens bei $2$ abgeschlossenen $\mf{G}$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
186/187
\end{flushright}
\begin{center}
$P$-Gruppen $\mf{G}$ vom Grad $p^2$ mit reg. elem Ugr.
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Wähle $K_{p^2}:=\Omega=$ Wertevorrat der Funktionen. Die bei $\mf{G}$ invar. Fkt. sind Polynome in $x,y,\cdots$ vom Grad $\le q:=p^2-1$ in jedem\\
\underline{Azimutalen Fall:} Die primären Komplexe $\not=$ triv. sind konjugiert. In additiver Schreibweise: mit $f(x)\in\mf{F}_0$ und $a\in K_p$ ist $f(ax)\in\mf{F}_0$
\item[(2)] $\mf{F}_0$ enthält, wenn $n$ nichttriviale Bahnen von $\mf{G}_0$ existieren, mit $e=\frac{p-1}{n}$ genau eine Fktion der Gestalt
\[
\begin{cases}
f_\lambda(x)-x^{\lambda e}h_\lambda(x^{p-1})~~(\lambda=1\cdots n)\\
f_\lambda(1)=1
\end{cases}
\]
Sie ist gekennzeichnet durch
\[
f_\lambda(ax)=a^{e\lambda}f(x)~~(\forall a\in K_p)\text{ Dabei }f_n=1-\delta_{x,0}
\]
\item[(3)] NB: Dies kann auch ohne Anwendung von Polynomen zum Nachweis der Existenz und Eindtgkeit von $f_\lambda$ direkt dienen, wobei "`$1$"' dann irgend ein festes Element $\not=0$ von $\Omega$ bezeichnet und über den Wertevorrat der Funktionen nur vorausgesetzt
\begin{flushright}
187/188
\end{flushright}
wird: Körper der $n$ $n$-te Einheitswurzeln enthält).
\item[(4)]
\[
\begin{cases}
x^k\circ x^l=(-1)^{l+1}\binom{k}{k+l-q}x^{k+l-q}=cx^{k+l-q}\\
f(x+y)=\sum y^i f_i(x),~~ f_i=-f\circ x^{q-i}
\end{cases}
\]
wenn $2\big|q=p^2-1$
\item[(5)]
\[
0\le a_{i},b_i\le p-1\Rightarrow\left(\begin{array}{c}
a_0+a_1p+\cdots+a_m p^m\\
b_0+b_1p+\cdots+b_mp^m
\end{array}\right)=\prod\binom{a_i}{b_i}
\]
\item[(6)] Nach (5) ist $x^k\circ x^l\not=0$ genau wenn $k+l-q$ innerhalb od. auf Rand des Quadrates
\begin{center}
%\psfrag{0}{$\scriptstyle 0$}
%\psfrag{1}{$\scriptstyle 1$}
%\psfrag{p-1}{$\scriptstyle p-1$}
%\psfrag{p}{$\scriptstyle p$}
%\psfrag{2p-1}{$\!\!\!\!\!\!\scriptstyle 2p-1$}
%\psfrag{Q}{$\scriptstyle \mf{Q}$}
%\psfrag{k+l-q}{$\scriptstyle k+l-q$}
%\psfrag{k}{$\scriptstyle k$}
%\psfrag{l}{$\scriptstyle l$}
%\psfrag{pp-1}{$\!\!\!\!\!\!\scriptstyle p(p-1)$}
%\psfrag{p2-1=q}{$\!\!\!\!\!\!\scriptstyle p^2-1=q$}
%%%%%\psfrag{1}{$\scriptstyle A$}
%\epsfig{file=1881d13,height=3cm}
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\put(35,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle k$}}
\put(45,30){\makebox(0,0){$\scriptstyle l$}}
\put(15,31){\makebox(0,0){$\scriptstyle\nearrow$}}
\put(17,22){\makebox(0,0){$\scriptstyle k+l-q$}}
\put(-20,30){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{Q}$}}
%\put(){\makebox(0,0){$\scriptstyle$}}
%\put(){\makebox(0,0){$\scriptstyle$}}
\end{picture}
\end{center}
bleibt:
%\newpage
\item[(7)] Die in $f_\lambda$ auftretenden Potenzen liegen auf Schräglinien:
\begin{center}
\begin{picture}(0,70)
\drawline(0,0)(60,0)(60,60)(0,60)(0,0)
\drawline(0,20)(40,60)
\drawline(0,40)(20,60)
\drawline(0,50)(10,60)
\drawline(20,0)(60,40)
\drawline(40,0)(60,20)
\drawline(10,50)(50,10)
\put(49,11){\vector(1,-1){1}}
\put(42,37){\begin{rotate}{45}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left.\begin{array}{c}~\\[12mm]~\end{array}\right\}\scriptstyle$\end{rotate}}
\put(50,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle k-1$}}
%\put(){\makebox(0,0){$\scriptstyle$}}
%\put(){\makebox(0,0){$\scriptstyle$}}
\thicklines
\drawline(0,0)(60,60)
\put(51,56){\makebox(0,0){$\scriptstyle\Delta$}}
\put(20,65){\makebox(0,0){$\scriptstyle\lambda e$}}
\put(10,65){\makebox(0,0){$\scriptstyle e$}}
\end{picture}
\end{center}
\item[(8)] Kein $f(x)\in\mf{F}_0$ enthält eine Potenz aus $\Delta=/\hspace*{-1.92mm}/\hspace*{-1.92mm}/$. Sonst wäre ein $f\not=\text{ const }\cdot x^q$ inv $\mf{G}$ und in $x\to ax$, $a\in K_p$. Solche $f$ sind aber $=\alpha+\beta x^2$.
\begin{flushright}
188/189
\end{flushright}
\item[9)] $f_1$ hat gewisse Potenzen aus der 1. Schräglinie unter der Diagonalen $/\hspace*{-1.92mm}/\hspace*{-1.92mm}/=:\Delta$\\
Denn sonst hätte $f_1^n$ Potenzen auf $\Delta$. $\rightarrow\leftarrow$ (7)
\item[(10)] $f_{n-1}$ hat nur Potenzen über $\Delta$. Sonst hätte nach (6) $\underbrace{f_{n-1}\circ\cdots\circ f_{n-1}}_{n}$ Potenzen auf $\Delta$.
\item[(11)] Nicht $n=2$: Bew (10), (9)\\
Nicht $n$ gerade.
\item[(12)]
\[
\begin{cases}
(f_\lambda)^k=f_{k\lambda}&\lambda=1,2,\cdots\\
f_\lambda f_\mu=f_{\lambda+\mu}&
\end{cases}
\]
Bew: 2
\item[(13)]
\[
\begin{cases}
f_\lambda\circ f_\mu=c_{\lambda\mu}\cdot f_{\lambda+\mu}&(\lambda+\mu\not=n)\text{ Bew: 2}\\
f_\lambda\circ f_{n-\lambda}=-1&
\end{cases}
\]
Bew: $\big|_{=0}=\sum{}^{^\prime}f_\lambda(t)^1f_1(t)=q$
\item[NB($13^\prime$)] Bei Fkt mit Werten in bel Körper nach (3) gilt statt $13_2$
\[
f_\lambda\circ f_{n-\lambda}=q\cdot\delta_{x,0}-f_n=-1+\gamma^2\delta_{x,0}
\]
\begin{flushright}
189/190
\end{flushright}
\item[(14)] Ist $f^\ast$ das $f_\lambda$ von kleinstem Grad, so ist $f^\ast\circ f=$ const für jedes $f\in\mf{F}_0$ mit Grad $f<q$, das heißt $\sum f(t)=0$.\\[4mm]
Bew:
\item[(15)] Grad $f\circ g\le$ Grad $f$ (in normierter Schreibw, von Gr $\le q$); und $<$ wenn Gr $g<q$ Bew (6)
\item[(16)] Für das $f^\ast$ von (14) gilt ferner:
\[
\begin{cases}
n^\ast=\text{Gr }f^\ast\le\frac{p+1}{2}\cdot p\\
f^\ast\text{ hat nur Potenzen über $\Delta$.}
\end{cases}
\]
$ [ $ NB: Künftige Aufschreibung wäre besser mit $q$: 
\begin{picture}(40,40)
\put(8,-5){\line(1,0){15}}
\put(23,-5){\line(0,1){15}}
\put(8,-5){\line(0,1){15}}
\put(8,10){\line(1,0){15}}
\put(8,-9){\makebox(0,0){$\scriptstyle 0$}}
\put(23,-9){\makebox(0,0){$\scriptstyle p-1$}}
\put(28,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle q$}}
\put(8,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(3,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle p$}}
\end{picture}, dann $\Delta~~~\setminus$, und die kleineren Exponenten liegen \underline{unter} $\Delta$. $ ] $ \\
Zum Beweis: nach 11 ist $n$ ungerade
\item[(17)] Genau eins von $f_\lambda$ und $f_{n-\lambda}$ $(0<\lambda<n)$ hat Potenzen nur über der Diagonalen $\Delta$.\\ Sonst $f_\lambda\circ f_{n-\lambda}\ni$ Potenzen auf $\Delta$. $\to\leftarrow$ (8), oder $f_\lambda\circ f_{n-\lambda}=0$ $\to\leftarrow$ (13)\\
Bew (16): Mindestens $f_{\frac{p-1}{2}}$ oder $f_{\frac{p+1}{2}}$ haben nur Potenzen über $\Delta$ ($\ge$). Also mindestens $n^\ast=\text{ Gr }f^\ast\le\text{ Gr }f_{\frac{p-1}{2}}\le\frac{p-1}{2}\cdot p^e$ oder $n^\ast\le\text{ Gr }f_{\frac{p+1}{2}}=\frac{p(p+1)}{2}p^e$ daher $n^\ast\le\frac{p(p+1)}{2}e$. Also liegt $n^\ast$ in dem rot schraffierten Bereich (da die Verteilg der Potenzen symmet. bezgl $\setminus$ ist; siehe 18):
\begin{flushright}
190/191
\end{flushright}
\begin{center}
%\psfrag{1}{$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\scriptstyle ep\frac{(p-1)e}{2}\,\to$}
%\psfrag{2}{$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\scriptstyle p\frac{(p+1)e}{2}\,\to$}
%\psfrag{3}{$\scriptstyle \text{rot: }n^\ast$}
%\psfrag{4}{$\scriptstyle \frac{p-1}{2}e$}
%\psfrag{5}{$\scriptstyle \frac{p+1}{2}e$}
%\psfrag{6}{$\!\!\!\!\!\!\!\scriptstyle \leftarrow~~\text{Pot von }f_A$}
%\epsfig{file=191d13,height=3cm}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,30)
\drawline(0,0)(25,0)(25,25)(0,25)(0,0)
\drawline(0,0)(25,25)
\drawline(25,0)(0,25)
\drawline(0,8.5)(25,8.5)
\drawline(0,12.5)(25,12.5)
\drawline(0,17)(25,17)
%\drawline(12.5,0)(12.5,25)
%%%%%%%waagerechte Schraffur
%\dashline[30]{2}(2,8.5)(2,23)
%\dashline[30]{2}(4,8.5)(4,21)
%\dashline[30]{2}(6,8.5)(6,19)
%\dashline[30]{2}(8,8.5)(8,17)
%\dashline[30]{2}(10,8.5)(10,15)
%\dashline[30]{2}(12,8.5)(12,13)
%\dashline[30]{2}(14,8.5)(14,11)
%\dashline[30]{2}(16,8.5)(16,9)
%%%%%senkrechte Schraffur
%\dashline[30]{1}[0.7](0,10.5)(4.5,10.5)
%\dashline[30]{1}[0.7](0,12.5)(6.5,12.5)
%\dashline[30]{1}[0.7](0,14.5)(8.5,14.5)
%\dashline[30]{1}[0.7](0,16.5)(8.5,16.5)
%\dashline[30]{1}[0.7](0,18.5)(6.5,18.5)
%\dashline[30]{1}[0.7](0,20.5)(4.5,20.5)
%\dashline[30]{1}[0.7](0,22.5)(2.5,22.5)
%\dashline[30]{1}[0.7](0,24.5)(0.5,24.5)
%%%%%%%%%%%%alternativ: durchgezogene Schraffur
%%%%%%%waagerechte Schraffur
\drawline(2,8.5)(2,23)
\drawline(4,8.5)(4,21)
\drawline(6,8.5)(6,19)
\drawline(8,8.5)(8,17)
\drawline(10,8.5)(10,15)
\drawline(12,8.5)(12,13)
\drawline(14,8.5)(14,11)
\drawline(16,8.5)(16,9)
%%%%%senkrechte Schraffur
\drawline(0,10.5)(4.5,10.5)
\drawline(0,12.5)(6.5,12.5)
\drawline(0,14.5)(8.5,14.5)
\drawline(0,16.5)(8.5,16.5)
\drawline(0,18.5)(6.5,18.5)
\drawline(0,20.5)(4.5,20.5)
\drawline(0,22.5)(2.5,22.5)
\drawline(0,24.5)(0.5,24.5)
%%
\thicklines
\drawline(8,0)(25,17)
\drawline(0,6)(19,25)
\drawline(2,8.5)(0,8.5)(0,25)(16.5,8.5)
\put(16.5,8.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(19,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(10,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(42,17){\makebox(0,0){$\scriptstyle \leftarrow~~\text{Pot von }f_A\text{ (grün)}$}}
\put(20,28){\makebox(0,0){$\scriptstyle \frac{p+1}{2}e$}}
\put(9,28){\makebox(0,0){$\scriptstyle \frac{p-1}{2}e$}}
\put(-5,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{rot: }n^\ast$}}
\put(-8,17){\makebox(0,0){$\scriptstyle ep\frac{(p-1)e}{2}\,\to$}}
\put(-8,8.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle p\frac{(p+1)e}{2}\,\to$}}
%\put(){\makebox(0,0){$\scriptstyle $}}
\end{picture}
\end{center}
$\frac{(n+1)}{2}e(1+p)\equiv e(p-1)$\\
$\mf{G}$ enthält unter $\Delta$ nur Pkte, die unter oder auf $/$ (grün) liegen, darauf liegt aber kein roter Punkt.\\Der Beweis zeigt zusätzlich:
\item[($17^\prime$)] Entweder Gr $f_{\frac{n-1}{2}}\le\frac{(n-1)}{2}ep$ oder Gr $f_{\frac{n+1}{2}}\le\frac{n+1}{2}ep$ oder beides.\\[5mm]
Jedenfalls $n^\ast=$ min Gr $\le\frac{n+1}{2}ep$, $n^\ast \in~|||~\cap\equiv~~=~~$ \begin{picture}(30,0)
\put(0,-10){\line(1,0){10}}
\put(0,-10){\line(0,1){25}}
\put(10,-10){\line(1,1){8}}
\put(17,-2){\line(-1,1){17}}
\end{picture}\\[5mm]
und~\begin{picture}(20,0)
\put(0,-10){\line(1,0){10}}
\put(0,-10){\line(0,1){25}}
\put(10,-10){\line(1,1){8}}
\put(17,-2){\line(-1,1){17}}
\end{picture} ~enthält den Grad jedes $f_\lambda$, der $\le p\frac{n+1}{2}e$ ist.\\[3mm]\mbox{}
\item[(18)] Die Verteilg der Potenzen in $f_\lambda$ ist symmetr. zu $\setminus$, entsprechende Koeff $c,d$ sind konjugiert: $c=d^p$.\\
Bew: $f_\lambda(x)=f_{\lambda}^p(x)$.
\begin{flushright}
191/192
\end{flushright}
\item[(19)] Wenn $f_2$ Potenzen unter $\Delta$ besitzt, so haben $f_1,f_3,f_5\cdots,f_{\frac{n+1}{2}}$ nur Potenzen über $\Delta$\\
Bew: $f_2,f_4,\cdots,f_{\frac{n-1}{2}}$ haben Pot unter $\Delta$, da $f_4=f_2\circ f_2,\cdots$ und sich die "`äusseren"' Potenzen so lange nicht wegheben bei der Faltung, als man $\Delta$ nicht überschreitet.\\
Allgemeiner zeigt dieser Schluß mit (17):
\item[(20)] Wenn $f_\kappa,f_\lambda,\cdots,f_\mu$ Potenzen unter $\Delta$ enthalten, so $\kappa+\lambda+\cdots+\mu\not=n$, und wenn $\cdots<\cdot \cdot$, so hat $f_{n-(\kappa+\lambda+\cdots+\mu)}$ nur Potenzen über $\Delta$.
\begin{center}
%\psfrag{1}{$\hspace*{-8mm}\scriptstyle \substack{\text{Bereich für}\\\text{den Mini-}\\\text{malgrad }n^\ast}$}
%\psfrag{2}{$\!\!\!\!\scriptstyle p\frac{n+1}{2}e$}
%\psfrag{3}{$\scriptstyle 0$}
%\psfrag{4}{$\!\!\!\!\!\!\scriptstyle (n-1)e$}
%\psfrag{5}{$\!\scriptstyle p-1$}
%\psfrag{6}{$\scriptstyle p^2-1$}
%\psfrag{7}{\begin{rotate}{45}$\hspace*{-16mm}\scriptstyle\text{Exponentenfreies Inneres}$ \end{rotate}}
%\psfrag{8}{$\!\!\scriptstyle (n+1)e$}
%\epsfig{file=192d13,height=3cm}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,30)
\drawline(0,0)(25,0)(25,25)(0,25)(0,0)
\drawline(25,0)(0,25)
\drawline(4,0)(25,21)
\drawline(0,4)(21,25)
\drawline(12.5,-2)(12.5,27)
\drawline(0,10.5)(25,10.5)
\drawline(8.5,12.5)(27,12.5)
\drawline(-2,12.5)(0,12.5)
%%%%%%%%Schraffur
\drawline(2,10.5)(2,23)
\drawline(4,10.5)(4,21)
\drawline(6,10.5)(6,19)
\drawline(8,12)(8,17)
\drawline(10,14)(10,15)
\thicklines
\drawline(0,10.5)(6.5,10.5)(10.5,14.5)(0,25)(0,10.5)
\put(25,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(25,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(0,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(0,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
\put(21,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
\put(0,10.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(25,-3){\makebox(0,0){$\scriptstyle p^2-1$}}
\put(29,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle (n+1)e$}}
\put(29,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle p-1$}}
\put(21,29){\makebox(0,0){$\scriptstyle (n-1)e$}}
\put(0,28){\makebox(0,0){$\scriptstyle 0$}}
\put(-5,18){\vector(1,0){7}}
\put(-15,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle \substack{\text{Bereich für}\\\text{den Mini-}\\\text{malgrad }n^\ast}$}}
\put(47,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle\left.\begin{array}{l}\text{Bessere}\\\text{Zeichnung}\\\text{zu 17}\end{array}\right.$}}
\put(-8,10.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle p\frac{n+1}{2}e$}}
\put(12.5,12.5){\makebox(0,0){\begin{rotate}{45}$\hspace*{-16mm}\scriptstyle\text{Exponentenfreies Inneres}$ \end{rotate}}}
%\put(){\makebox(0,0){$\scriptstyle $}}
\end{picture}
\end{center}
\begin{flushright}
192/193
\end{flushright}
\begin{center}
noch Gruppen vom Grad $p^2$, azimutale
\end{center}
\item[(21)] Der Fall $n=3$.\\
Fortzusetzen vielleicht mit Untersuchung von $\sum g(x-t)h(y-t)k(t)$\\
Benutzt man als Wertebereich der Funktionen irgend Integritätsbereich $K$ mit $3$ $3$-ten Einheitswurzeln $1,\delta,\delta^2,$ so gelten bei Bahnen $0,\mf{T},\mf{T}^{(\infty)}=\mf{T}^\prime$ $\mf{T}^{(a^n)}=\mf{T}^n$ $a$ symbolische Potenzierung die Tafeln
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccc}
&$0$&$\mf{T}$&$\mf{T}^\prime$&$\mf{T}^{\prime\prime}$\\\hline
$f_0$&$1$&$0$&$0$&$0$\\
$f_1$&$0$&$1$&$\rho$&$\rho^2$\\
$f_2$&$0$&$1$&$\rho^2$&$\rho$\\
$f_3$&$-1$&$-1$&$-1$&$-1$
\end{tabular}
\end{center}
I: Festlegung der lin. un Funktionen aus $\mf{F}_0$
\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccc}
&$f_0$&$f_1$&$f_2$&$f_3$\\\hline
$f_0$&$f_0$&$f_1$&$f_2$&$0$\\
$f_1$&$f_1$&$\zeta f_2$&$p^2f_0+f_3$&$0$\\
$f_2$&$f_2$&$p^2f_0+f_3$&$\eta f_1$&$0$\\
$f_3$&$f_3$&$0$&$0$&$-p^2 f_3$
\end{tabular}
\end{center}
II: Faltung $f_i\circ f_{k}$\\
Da z.B. die Charakt. Fkt $\chi_1$ (von $\mf{T}$) geg. durch
\[
3\chi_1=-f_0+f_1+f_2-f_3,
\]
wird
\item[$21_1$]
\begin{eqnarray*}
9\chi\circ\chi&=&\chi_0[3p^2-3]+\chi_1[p^2-8+\eta+\zeta]\\&&+\chi_2[p^2-2+\eta\rho+\zeta\rho^2]+\chi_3[p^2-2+\eta\rho^2+\zeta\rho]
\end{eqnarray*}
Dabei ist $\zeta,\eta\in K$ mit $3\eta=p^2$.\\
Im Fall der kompl Zahlen $K$ ist $|\zeta|=p$, $\overline{\zeta}=\eta$.\\
Also gibt $21_1$ die Multipl Tafel des Schurrings bis auf "`kleine"' Unsicherheit
\end{itemize}
\begin{flushright}
193/194
\end{flushright}
\begin{center}
Gruppen vom Grad $p^a$, azimutaler Fall
\end{center}
$\mf{G}$ wirke auf $K_+$, $K=$ Körper $\text{GF}(p^a)$ $\mf{G}$ enthalte $\{x\to ax+b\}=\mf{N}$ ($=$ scharf $2$-tra)\\
Aufgabe: Untersuche, ob $\mf{G}$ $3$-tra, wenn $\mf{G}>\mf{N}$!\\
Ansatz: Die bei $\mf{N}$ invarianten Funktionen $f(xyz)$ mit Werten in $K$ sind genau die homogenen der Grade $0,q,2q,3q,~~(q=|K|\cdot1=p^a\cdot1)$ die nur von den Differenzen abhängen, sowie die Linearverbindungen von solchen. Trivial (dh invar bei $\mf{S}^K$), sind genau die Linearverbindgn (mit Teilgraden $\le1$)\\ 
von $1,(x-y)^q, (x-z)^q,(y-z)^q,[(x-z)(y-z)]^q \leftarrow$ was aber noch
mod $x^{p^a}-x$ inv zu reduzieren ist, denn bei $\mf{S}^0$ inv. sind genau die
Linearverbdgn von
\[
1,x^q,y^q,(x-y)^q,x^qy^q
\]
invariant.\\
Ansatz: Die Annahme, $\mf{G}$ liesse eine weitere Fkt. inv, widerlegen
\begin{flushright}
194/195
\end{flushright}
\begin{center}
Erweiterungen der scharf $2$-tra Gruppe\\
$x\to ax+b$ über $GF(p^a)=\Omega=K$
\end{center}
kann man untersuchen mittels der (mindestens) auf $\Omega-\{0,1\}$ (besser auf $\Omega$ definierten Funktionen $\Omega\to\Omega$, die bei $\mf{G}_{01}$ invariant sind: $\mf{F}_{01}$. Es gilt:
\begin{itemize}
\item[a)]
\[
\mf{F}_{01}\ni f(x)\Rightarrow \mf{F}_{01}\ni f(1-x),f(\frac{1}{x}),f(\frac{x-1}{x}),f(\frac{x}{x-1}),f(\frac{1}{1-x})
\]
(Das sind die $6$ gebrochenen lin Transform, die $0,1,\infty$ vertauschen.) Ferner gilt:
\item[(2)] 
\[
\mf{F}_{01}\ni f(x)\Rightarrow \mf{F}_0\ni f(\frac{x}{x-y}),f(\frac{x-y}{x}),f(\frac{x}{y})
\] 
denn allgemeiner gilt
\item[(3)]
\[
\mf{F}_{01}\ni f(x)\Rightarrow \mf{F}\ni f(\frac{x-z}{y-z}).
\]
Hieraus folgt:
\item[(4)] 
\[
f,g\in\mf{F}_{01}\Rightarrow\mf{F}_{01}\ni\sum{}^{^\prime}f(\frac{x}{y})\overset{\substack{f\odot g\\\swarrow}}{g(t)},~\underbrace{\sum_{t\not=0}{}^{^\prime}f(1-t)g(tx)}_{\displaystyle{=f\odot g}}
\]
wo
\[
\sum=\sum_{t\in K},~~~~~~~\sum{}^{^\prime}=\sum_{0\not=t\in K}
\]
NB: Es ist für $\widetilde{f}=\sum{}^{^\prime}f(t):~~\widetilde{f\odot g}=\widetilde{f}_0\circ\widetilde{g}_1$
\item[(5)] Ist
\[
\mf{F}_{01}\ni f=\sum_0^{p^\alpha-1}a_\nu x_{\nu}\mf{F}_{01}\ni g=\sum b_\nu x^2,
\]
so ist
\[
\sum{}^{^\prime} a_\nu b_\nu x^\nu\in\mf{F}_{01}
\]
\begin{flushright}
195/196
\end{flushright}
\item[(6)] Hieraus folgt ein Beweis für meinen Satz:
\[
\mf{G}>\mf{N}~(\text{ Gr. }=p)\Rightarrow\mf{G}~~3\text{-tra},
\]
wo $|\mf{N}|=p(p-1)$.\\
Bew: Wähle $f\in\mf{F}_{01}$, $f\not=\text{ const}$, $\text{Gr }f$ minimal $=m$\\
Bei pass. Normierung wird $f=\sum\limits_{1}^{p-1}a_\nu x^\nu,~a_\nu=\begin{cases}0\\1\end{cases}$.\\
Ferner ist $f(1-x)=(-1)^mf(x)+c$.\\
Wenn $m=1$, so $f=x$ inv. unter $\mf{G}_{01},\mf{G}_{01}=1$, fertig.\\
Sei $m>1$. Koeff. Vergl. bei $x^{m-1}$ gibt
%\[
\begin{eqnarray*}
f(x)+c^\prime&=&(x-1)^m-a_{m-1}(x-1)^{m-1}+\cdots\\
a_{m-1}&=&-m-a_{m-1}
\end{eqnarray*}
%\]
Da $m\not\equiv 0$, ist $a_{m-1}\not\equiv0$, daher $\equiv 1$, also $m\equiv -2$, wegen $m\le p-1$ ist $m=p-2$\\
$[$Nun ist $g=(x-1)^{p-1}-x^{p-1}$ ein Polynom vom Grad $p-2$, also $f=\text{ const }g$ $]$\\
Also gibts nur $\le 3$ lin un Funktionen in $\mf{F}_{01}$, zu kennzeichnen durch $a_{p-1}, a_{p-2}, a_0:\mf{G}$ ist $3$-tra
\item[(7)] Mit $f\in\mf{F}_{01}$ ist auch $f(x^p)\in\mf{F}_{01}$. viel allgemeiner (8)\\
Bew: OBdA hat $f$ nur Koeff $0,1$ (5).\\
Dann ist $f(x^p)=[f(x)]^p\in\mf{F}_{01}$.\\
Die in $\mf{F}_{01}$ auftretenden Exponentenkonfigurationen gestalten also Spiegelungen an~~~ \begin{picture}(0,0)\drawline(0,5)(20,5)(20,-15)(0,-15)(0,5)\drawline(20,-15)(0,5)\end{picture}\hspace*{10mm}\begin{picture}(0,0)\drawline(0,5)(20,5)(20,-15)(0,-15)(0,5)\put(10,-5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}\put(10,-0.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\text{Mitte}$}}\put(10,-25){\makebox(0,0){$\scriptstyle \begin{matrix}\scriptstyle{\downarrow}\\\scriptstyle{\anmerk}\end{matrix}$}}\end{picture}\hspace*{10mm}, daher auch an \begin{picture}(0,0)\drawline(0,5)(20,5)(20,-15)(0,-15)(0,5)\drawline(0,-15)(20,5)\end{picture}\hspace*{10mm}. 
\begin{flushright}
196/197
\end{flushright}
\item[(8)] Wenn $(h,p^2-1)=1$, so $f\in\mf{F}_{01}\Rightarrow f(x^h)\in\mf{F}_{01}$\\
Bew: OBdA $\begin{cases}f=\sum e_a(x)\\ \text{Werte ganzzahlig}\end{cases}$~~~~$e_a(x)=\delta_{xa}$\\
$h=$ Primzahl: $e_a\odot e_b=e_{ab}$
\[
\underbrace{f\odot f\odot\cdots\odot f}_{\anmerk}=\sum e_{a^h} + h\cdot\ldots
\]
kleinste Reste mod $h$: $\sum e_{a^h}=\overline{f}\in\mf{F}_{01}$
\[
\overline{f}(x^h)=\begin{cases}1\\0\end{cases}\iff\left.\begin{array}{ccc}x^h&=&a^h\\&\not=&\end{array}\right.
\]
also $\overline{f}(x^h)=f(x)$\hspace*{3.4cm}$\overline{f}(x)=f(x^{\frac{1}{h}})$.
\item[($8^\prime$)\begin{picture}(0,0)\put(-25,-12){$p>2$}\end{picture}]Insbesondere für ungerades $h\mid p^2+1$ ist stets
\[
f(x)\in\mf{F}_{01}\rightarrow f(x^h)\in\mf{F}_{01}
\]
also $x\to x^{\frac{p^2+1}{2}}$ erlaubt. Daher
\[
\left.\begin{array}{lc}2\mid k&\Rightarrow\\2\nmid k&\end{array}\right.~\begin{cases}x^k\to x^k\\ x^k\to x^{k+\frac{p^2-1}{2}}=x^{k-\frac{p^2-1}{2}}\end{cases}
\]
\item[(9)] Wenn also das $f$ mit minimalem Grad $m$ (Siehe 6) \underline{eine} gerade Potenz enthält, so enthält es stets $x^k + x^{k+\frac{p^2-1}{2}}$ für ungerade $k$ mit demselben Koeffizienten.\\
Falls es \underline{nur} gerade $k$ enthält, so ist $f(x) = f(-x) =f(1-x)$, dabei $f(x)=f(x+1)$, d.h. $f(x) = g(x^p -x)$~~Gr$\,g\le p-1$.\\
Mit der $0$-$1$ - Bedingg folgt \underline{\underline{dann}} $f=(x^p-x)^{p-1}$.
\begin{flushright}
197/198
\end{flushright}
\item[(10)] Die $f$ mit $f(x)=f(1-x)$ sind darstellbar als
\[
\sum c_\nu(x^\nu+(1-x)^\nu)
\]
\item[(11)] Wenn
\[
(n,p^2-1)=(k,p^2-1),
\]
so gibt es $h$ mit
\[
hn\equiv k~(p^2-1)\text{ und }(h,p^2-1)=1.
\]
Also gilt dann
\[
\mf{F}\ni x^n\Rightarrow f\ni x^k
\]
für das "`minimale"' $f$.
\item[(12)] Aufgabe: Perm Gr mit regulärer zyklischer Ugr vom Grad $p-1$ untersuchen mit $\Omega=K_x$.\\
Man weiß:
\[
f(x)\in \mf{F}_1\to\begin{cases}f(x^a)\in \mf{F}_1,&(a,p-1)=1\\
\sum f(\frac{x}{t})g(t);&\sum a_\nu b_\nu x^\nu\in \mf{F}_1. \end{cases}
\]
Vielleicht leichter\\
aus Schurs Satz von pri  $\to 2$-tra
\end{itemize}
\begin{center}
Eine Klasse von Gruppen zu Ringen
\end{center}
Satz: Sei $R$ ein Ring. Dann bilden diejenigen $1-1$ Abbildungen von $R$ auf sich, die in der Form $x\to g(x)=\sum a_\nu\sigma_\nu(x)$  dargestellt werden können mit $a_\nu\in R$, $\sigma_\nu$ ein Ring-Endomorphismus von $R$, eine Gruppe $\mf{E}_R$. Es ist $\mf{E}_{GF(p^\alpha)}=$ Holomorph von $(\underbrace{p,p,\cdots,p}_{\alpha})$
\begin{flushright}
198/199
\end{flushright}
\begin{center}
Allg Theorie der Perm Gr mit reg Ugr
\end{center}
Sei (bei additiver Schreibg der reg Ugr)
\[
f\wedge g:=\sum f(x-t)g(x)
\]
und
\[
f\circ g(x)=f(g(x))
\]
Dann gilt:\\
Ist $f$ inv bei $\mf{G}_0$ und $g:x\to g(x)\in\mf{G}$ und $\varphi(x)$ eine beliebige Funktion, so ist
\begin{itemize}
\item[($1^\prime$)]
\[
(f\wedge\varphi)\circ g=f\wedge(\varphi\circ g)
\]
Folgt das aus einer allg Formel mit belieb $\varphi$ \underline{und} $f$?\\
Beweis: 
\begin{eqnarray*}
(f\wedge\varphi)\circ g&=&\sum_t f(g(x)-t)\varphi(t)=\sum_s f(g(x)-g(s))\varphi(g(s))\\
&\underset{f\text{ inv}}{=}&\sum f(x-s)\varphi(g(s))=f\wedge(\varphi\circ g).
\end{eqnarray*}
\begin{flushright}
199/200
\end{flushright}
\item[$1^\prime$] Für belieb lin $\mf{l}(\mf{l}(\mf{x}+\mf{y})=\mf{l}(\mf{x})+\mf{l}(\mf{y}))$ ist $(h\wedge k)\circ\mf{l}=(h\circ\mf{l})\wedge(k\circ\mf{l})$
\item[(2)] Hiermit Beweis des Satzes von Burnside über Gr $\mf{G}=p$:\\
Sei $f\in\mf{F}_0$, $0<$ Gr $f<p-1$. Durch Faltung kann man erreichen
\[
k:=\text{Gr }f\le\frac{p-1}{2}.
\]
Dann ist $x^k=f\circ h_k~~(k=1,2,\cdots,n)$ für geeignete Funktionen $h_{k}$. Also ist nach (1)
\[
g\in\mf{G}\Rightarrow g^k=f\wedge h_k(g),
\]
daher Grad $g^k\big|_{\text{reduz}}\le n$;
\[
k=1:\text{ Gr }g\le n\le\frac{p-1}{2};
\]
also $k+2$: Gr $g^2\big|_{\text{red}}=2\text{ Gr }g\le n,~~\text{ Gr }g\le\frac{n}{2}$ usw: Gr $g=1$.
\begin{flushright}
200/201
\end{flushright}
\item[(3)] Diejenigen Permutationen $g$ auf $\Omega=GF(p^2)$ die durch Polynome der Art
\[
g(x)=\alpha+\beta x+\gamma x^p
\]
dargestellt werden können, bilden eine Gruppe.\\
$=$ Normalisator der Translationsgruppe.  Man kann so ein El, nichttrivial in $\mf{G}$ annehmen
\item[(4)] Allgemein ist mit $q=p^2-1$
\begin{gather*}
\sum_{t\in K}f(x-t)g(y-t)h(z-t)=\underbrace{(-1)^{i+k+l}}_{\substack{=1\text{ wenn}\\p\text{ ungerade}}}~~\bullet\\
\bullet~~~-\sum_{\substack{\frac{i+k+l}{q}\\=1,2,\ldots}}f_i(x)g_k(y)h_l(z)=-\sum_{q|i+k+l}{^\prime}{}f_i(x)g_k(y)h_l(z)~~1<i,k,l\not=0,0,0
\end{gather*}
wo
\[
f(xyz)=\sum x_if^i(y)\text{ usw. }
\]
also
\[
f_i(x)=-f(x)\wedge x^{p^2-1-i}
\]
Dabei ist
\item[(5)]
\[
(x^i)_k\big|_{x=0}=\delta_{ik}.
\]
\item[(6)] In $x^iy^j\big|_k$ kommt $x^\alpha y^\beta$ genau dann vor, wenn $\alpha+\beta=i+j-k$ und $\alpha\prec i,\beta\prec k$;
\begin{flushright}
201/202
\end{flushright}
dabei heißt $\alpha\prec i:\binom{i}{\alpha}\not=0$, dh. $x^\alpha$ kommt in $(x+\alpha)^i$ vor.
\item[(7)] Ansatz: Wenn man eine $f(x,y)\in\mf{F}_0$ finden könnte, für die\\ 
$xy=\sum f(x-t,y-t)\varphi(t)$ eine Lösung $\varphi(t)$ hat, so wäre für $g\in\mf{G}$  stets
\[
g(x)\cdot g(y)=\sum f(x-t~y-t)\varphi(g(t)),
\]
daher hätte $g(x)$ höchstens den Grad $\frac{1}{2}\cdot\text{ Gr }f$. \\
Nützlich ist dabei:
\item[(8)] Für $f(xy),~h(z)$ erkläre $f\wedge h=\sum f(x-t~y-t)h(t)$.\\
Dann gilt mit $k(\lambda)$ bel:
\[
(f\wedge h)\wedge k=f\wedge(h\wedge k).
\]
\item[(9)] Der Fall $n=3$ $[$ Skizze ist eingelegt mit Vermerk "'Zu S. 202 XIII"' $]$
\begin{center}
%\psfrag{0}{$\scriptstyle 0$}
%\psfrag{e}{$\scriptstyle e$}
%\psfrag{2e}{$\scriptstyle 2e$}
%\psfrag{p-1}{$\scriptstyle p-1$}
%\psfrag{b1}{$\scriptstyle \boxed{1}$}
%\psfrag{f}{$\scriptstyle f$}
%\psfrag{F}{$\scriptstyle F$}
%\psfrag{p2-p}{$\scriptstyle p^2-p$}
%\psfrag{p2-1}{$\scriptstyle p^2-1$}
%\psfrag{a}{$\scriptstyle a$}
%\psfrag{b9}{$\scriptstyle \boxed{9}$}
%%%%%\psfrag{1}{$\scriptstyle 1$}
%\epsfig{file=201ad13,width=9cm}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,72)
\drawline(-45,0)(45,0)
\drawline(-33,0)(-33,66)
\drawline(-45,66)(45,66)
\drawline(33,0)(33,66)
\drawline(-45,22)(45,22)
\drawline(-45,44)(45,44)
\drawline(-33,33)(33,33)
\drawline(-11,0)(-11,66)
\drawline(0,0)(0,66)
\drawline(11,0)(11,66)
\drawline(-33,66)(-11,0)(33,44)(-33,66)
\drawline(-33,66)(33,0)
\drawline(-33,66)(33,22)(11,0)
\drawline(14,0)(33,19)
\drawline(11,19)(14,22)
\drawline(-33,0)(33,66)
\drawline(-33,22)(11,66)
\drawline(-33,44)(-11,66)
%%%%%%%%%Schraffur
\drawline(15,0)(33,18)
\drawline(16,0)(33,17)
\drawline(17,0)(33,16)
\drawline(18,0)(33,15)
\drawline(19,0)(33,14)
\drawline(20,0)(33,13)
\drawline(21,0)(33,12)
\drawline(22,0)(33,11)
\drawline(23,0)(33,10)
\drawline(24,0)(33,9)
\drawline(25,0)(33,8)
\drawline(26,0)(33,7)
\drawline(27,0)(33,6)
\drawline(28,0)(33,5)
\drawline(29,0)(33,4)
\drawline(30,0)(33,3)
\drawline(31,0)(33,2)
\drawline(32,0)(33,1)
%%%%%%%%%
\drawline(11,1)(32,22)
\drawline(11,2)(31,22)
\drawline(11,3)(30,22)
\drawline(11,4)(29,22)
\drawline(11,5)(28,22)
\drawline(11,6)(27,22)
\drawline(11,7)(26,22)
\drawline(11,8)(25,22)
\drawline(11,9)(24,22)
\drawline(11,10)(23,22)
\drawline(11,11)(22,22)
\drawline(11,12)(21,22)
\drawline(11,13)(20,22)
\drawline(11,14)(19,22)
\drawline(11,15)(18,22)
\drawline(11,16)(17,22)
\drawline(11,17)(16,22)
\drawline(11,18)(15,22)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\drawline(-12,44)(-11,45)
\drawline(-13,44)(-11,46)
\drawline(-14,44)(-11,47)
\drawline(-15,44)(-11,48)
\drawline(-16,44)(-11,49)
\drawline(-17,44)(-11,50)
\drawline(-18,44)(-11,51)
\drawline(-19,44)(-11,52)
\drawline(-20,44)(-11,53)
\drawline(-21,44)(-11,54)
\drawline(-22,44)(-11,55)
\drawline(-23,44)(-11,56)
\drawline(-24,44)(-11,57)
\drawline(-25,44)(-11,58)
\drawline(-26,44)(-11,59)
\drawline(-27,44)(-11,60)
\drawline(-28,44)(-11,61)
\drawline(-29,44)(-11,62)
\drawline(-30,44)(-11,63)
\drawline(-31,44)(-11,64)
\drawline(-32,44)(-11,65)
%%%%%%
\drawline(-33,45)(-12,66)
\drawline(-33,46)(-13,66)
\drawline(-33,47)(-14,66)
\drawline(-33,48)(-15,66)
\drawline(-33,49)(-16,66)
\drawline(-33,50)(-17,66)
\drawline(-33,51)(-18,66)
\drawline(-33,52)(-19,66)
\drawline(-33,53)(-20,66)
\drawline(-33,54)(-21,66)
\drawline(-33,55)(-22,66)
\drawline(-33,56)(-23,66)
\drawline(-33,57)(-24,66)
\drawline(-33,58)(-25,66)
\drawline(-33,59)(-26,66)
\drawline(-33,60)(-27,66)
\drawline(-33,61)(-28,66)
\drawline(-33,62)(-29,66)
\drawline(-33,63)(-30,66)
\drawline(-33,64)(-31,66)
\drawline(-33,65)(-32,66)
\put(-33,-3){\makebox(0,0){$\scriptstyle p^2-p$}}
\put(33,-3){\makebox(0,0){$\scriptstyle p^2-1$}}
\put(38,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle \xleftarrow{\hspace*{8mm}}~~~\boxed{9}$}}
\put(36,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle a$}}
\put(25,39){\makebox(0,0){$\scriptstyle F$}}
\put(33,69){\makebox(0,0){$\scriptstyle p-1$}}
\put(11,69){\makebox(0,0){$\scriptstyle 2e$}}
\put(7,64){\makebox(0,0){$\scriptstyle f$}}
\put(-11,69){\makebox(0,0){$\scriptstyle e$}}
\put(-33,69){\makebox(0,0){$\scriptstyle 0$}}
\put(-35,55){\makebox(0,0){$\scriptstyle \boxed{1}~~\xrightarrow{\hspace*{8mm}}$}}
\end{picture}
\end{center}
\mbox{}\\[3mm]%\mbox{}
Ist $F$ die invar Fkt zum Exp $2e$, so folgt aus $F\wedge\varphi=0$ ($\wedge=$ Faltung), dass $\varphi$ fremd zum Quadrat $\fbox{9}$ (abgeschl) ist. Also ist $\sum\varphi(t)t^\lambda=0$ für $x\in~\boxed{1}$, dh $\varphi\wedge x^\lambda=0$, insb $\varphi\wedge x^{\frac{p^2-1}{3}}=0$\\
Beweis: 10\\
Vermutung: Hieraus folgt $x^{\frac{p^2-1}{3}}=F\wedge h$ lösbar. (\anmerk~$h\cap \anmerk$ Frobenius - Algebren jedes Hauptideal durch seinen Annulator bestimmt ist)
\begin{flushright}
202/203
\end{flushright}
\item[10.] Satz von der Lösbarkeit\\
einer Faltungsgleichung auf endl. Abelschen Gruppen $\mf{A}$.\\
Gegeben $f(x),g(x)$. Genau dann gibt es $u(x)$ mit $f\wedge u=g$, wenn aus $f\wedge v=0$ stets $g\wedge v=0$ folgt.\\
Bew: "`Nur dann"' klar:
\[
g\wedge v=(u\wedge f)v=u\wedge(f\wedge v)=u\wedge 0=0
\]
"`Dann"' Sei
\[
F=(f(x-y))_{n\times n},~G=(g(x-y))_{n\times n}
\]
mit $n=|\mf{a}|$. Aus $F_\mf{x}=0$ folgt $G_\mf{x}=0$, also (mit $F\sim\left(\begin{smallmatrix} I&0\\0&0\end{smallmatrix}\right)$) $\exists$ Matrix $M_{n\times n}$:
\[
G=MF
\]
dh $\exists$ Fkt $m(x,y)$:
\begin{eqnarray*}
g(x-y)&=&\sum_t m(x,t)f(t-y)\\
g(0-y)&=&\sum m(0,t)f(t-y)
\end{eqnarray*}
$-y=z$
\begin{align*}
m(0,-t)&=:v(t)&g(z)&=\sum v(t) f(z-t)\\
&&g&=v\wedge f
\end{align*}
\begin{flushright}
203/204
\end{flushright}
\item[11.] Wieder $n=p^2$\\
Sei $\mf{E}$ die Menge der Exponenten, die in der Darstellung mindestens eines $g\in\mf{G}$ wirklich auftreten; Sei $\mf{K}$ die Menge der Polynome $k(x)$ derart, daß für jedes $g\in\mf{G}$ $k(g(x))$ nur Potenzen aus $\mf{E}$ enthält. Dann gilt:
\begin{itemize}
\item[a)] $\mf{K}$ ist $\mf{G}-K$- Modul: $\sum c_j k_j(g_i(x))\in\mf{K}$
\item[b)] $k\in\mf{K}\to k(ax+b)\in\mf{K}$ wenn $a\in$ Ugr der Ord $e$, $b\in K$
\item[c)] $k\in\mf{K},f$ beliebig $\Rightarrow k\wedge f\in\mf{K}$
\item[d)] Vor $\ast$: Sei $\mf{E}\le$ 1. Quadrant. Wenn $\mf{E}\not=\{0,1,p\}$, so ist $x^2,x^{2p}\in\mf{K}$, $x^{p+1}\not\in\mf{K}$
\item[e)] nach 10 gilt: Wenn ein $k\in\mf{K}$ Potenzen einer Schrägreihe $\mf{S}$ enthält, aber beide Enden nicht enthält, so $\mf{E}=\{01p\}$, denn
\item[f)] Die $(p-1)$- homogenen Teile von $k\in\mf{K}$ sind wieder in $\mf{K}$, falls $\mf{E}$ keine zwei Exponenten enthält, die sich um $\lambda e$ unterscheiden und in derselben Zeile liegen.\\
Denn $k(x)\in\mf{K}\to k(ax)\in\mf{K}$; das gibt $e$-homogene Teile $\in\mf{K}$, so daß die Potenzen innerhalb $k$ in Schritte von $e$ fortschreiten. Aber wegen $x\in\mf{G}$ gehören sie zu $\mf{E}$, schreiten nur $p-1$ fort.
\begin{flushright}
204/205
\end{flushright}
\item[g)] Die Potenzen, die in den $\mf{K}$ auftreten ($=:\text{ Exp }\mf{K}$) sind \underline{genau} die aus\\ $\mf{E}$: Exp$\,\mf{K} =$ Exp$\,\mf{G}$.\\
Bew $\rightarrow$: $x\in\mf{G}$, also $k(x)$ Exp $\in\mf{E}$; Exp$\,\mf{K}\subseteq\mf{E}$.\\
\phantom{Bew }$\leftarrow$: $g\in\mf{K}$, also $\mf{E}\subseteq$ Exp$\,\mf{K}$
\item[h)] $\mf{E}$ ist abgeschlossen bezgl Verschiebung mit Vektoren~\begin{picture}(10,5)
\put(5,0){\makebox(8,0){$\longleftarrow$}}
\put(5,0){\makebox(22.5,10){$\uparrow$}}
\put(5,0){\makebox(14,9.8){$\nwarrow$}}
\end{picture}~~;  Bew c)\\
d.h. mit $\underset{1~~~~}{\leftarrow}$ und $\uparrow1$.
\item[Vor $\ast$ i)] $\begin{cases}\text{ Sei }\mf{E}\subseteq\text{ erster Quadrant: }a<\frac{p}{2},~b<\frac{p}{2}\\
\text{Wenn }\mf{E}\not=\{0~1~p\},\text{ so}
\end{cases}$\\
enthält $\mf{K}$ keine Funktion $x^n$, $n\not\in\{0,1,p\}$\\
Bew: $n=a+bp$, $x^n\in\mf{K}\rightarrow$\\
$g^a\cdot(g^p)^b$ hat Exp in $\mf{E}$.\\
Wähle $g$ so, dass es Exponenten auf der höchsten Schräglinie hat, die $\mf{E}$ trifft. $g^p$ hat dort auch Exponenten, und wegen\\
Gr $g+$ Gr $g^p\le p^2-1$ ist Gr $gg^p=$ Gr $g +$ Gr $g^p$, nichts hebt sich, $\mf{G}\mf{G}^p$ enthält was auf der doppelt so hohen Schräglinie.
\item[j)] Unter Vor $\ast$ trägt jede Schräglinie höchstens $2$ lin un Funktionen zu $\mf{K}$ bei. (e)
\begin{flushright}
205/206
\end{flushright}
\item[k)] Wenn ein $k\in\mf{K}$ kein $x^\lambda$, $\lambda\le p-1$ und kein $x^{p-\lambda}$, $\lambda\le p-1$ enthält, so ist $k=0$  (e)
\item[l)] Von $3$ benachbarten inneren Exp auf einer Schräglinie in $\mf{E}$ sind immer mindestens $2$ in $\mf{E}$ enthalten.\\
sonst verschiebe auf die $3$ Schrägr  h) d)
\item[Vor $\ast$ m)] Exp $\mf{K}$ liegt symmetr. zur Diagonalen durch $0$, denn $\text{Exp}\{g\}$ tut das, weil ${}^\ast$ $\text{Exp}\{g^p\}\subseteq\mf{E}=\exp\{g\}$.\\
${}^\ast$ das folgt aus
\item[n)] $x^p\in\mf{K}$ außer wenn $\mf{E}=\{0,1\}$\\
(Vor: $\ast$!)\\
Bew: $x\in\mf{K}$; man kann jedes $k\in\mf{K}$ auf die Schräglinie $(1,p)$ schieben, das auf höherer Schräglinie liegt, kommt $x^p+cx$ heraus, so ist wegen $x\in\mf{K}$ auch $x^p\in\mf{K}$. Ausnahmen könnte es also nur geben, wenn $x^p$ nur in $k~\wedge\therefore$ auftrifft, d.h. jedes $k=a_0+a_1x+\ldots+a_mx^m$, $m\le p-1$ ist. Dann ist, wenn $\mf{E}\not=\{0,1\}$, ein $k=x^2+ax+b\in\mf{K}$, $x^2\in\mf{K}$, Wid.
\begin{flushright}
206/207
\end{flushright}
\item[o)] alle $g^p\in\mf{K}$  $(g\in\mf{G})$~~(n) (a)
\item[p)] $k\in\mf{K}\rightarrow k^p\in\mf{K}$\\
Bew: Sei $k=\sum a_\nu x^\nu$\\
$\sum a_\nu g^\nu(x)=k(g(x))$ hat nur Potenzen in $\mf{E}=\mf{E}^p$\\
$(~~~~)^p~~~\prime\prime~~~\prime\prime~~~\prime\prime~~~\hspace*{36.5mm}\mf{E}$\\
$\sum a_\nu^p g^p(x)~~~\prime\prime~~~\prime\prime~~~~~~\prime\prime$\\
$\sum a_\nu^px^p=k(x)^p\in\mf{K}$
\item[q)] Enthält $\mf{K}$ in einer Schräglinie, die nicht durch $0,1$ geht, zwei linear un hom Fkt, so auch in die vorangehenden.\\
Bew: $\leftarrow~0\uparrow$ sind lin un wenn $0$ einen inneren "'Platz"' hat; und einen solchen kann man stets machen wenn in der Schräglinie $2$ lin un exist.
\item[q$^\prime$)]Enthält ein Schräglinie eine Null, so hat die vorangehende den Rang $2$.
\begin{flushright}
207/208
\end{flushright}
\item[r)] Wenn $\mf{E}$ im 1. Quadranten, so $\mf{E}=\{0,1,p+1\}$, $\mf{G}$ läßt die reg Ugr. invariant\\
Bew: Enthält $\mf{K}$ eink in der Schräglinie durch $2,1+p,2p$, so ist für einen homogenen Teil $h$ höchsten Schräggrades (etwa $m$), der in passendem $g$ in $\mf{G}$ auftritt, $k(h(\xi))=0$ für jedes $\xi\in K$.\\
Bew: Ist $\mf{K}=ax^2+bx^{p+1}+cx^{2p}$, so ist $0\equiv ah^2+bh^{p+1}+ch^{2p}$, aber nur mod \underline{$x^{p^2}-x$}, da sonst etwas in einer zu hohen Schräglinie, nämlich der zu $2m$, aufträte in $k(g(x))$.\\
Setzt  man $h=\sum a_\nu x^\nu$ und dann $h^\ast:=\sum a_\nu x^{\overline{p^\nu}}$\\ 
\underline{wo der Exponent mod $p^2-1$ reduziert ist:}\\
$\overline{p^\nu}=\{\text{ kl positiver Rest von }p^\nu\mod p^2-1\}$ so ist\\
$ah^2+bhh^\ast +ch^{\ast2}=0$ \underline{formal}\\
Durch Körpererweiterung $\overline{K}$ kann diese Form faktorisiert werden: $0=(\alpha h+\beta h^\ast)(\gamma h+\delta h^\ast)$\\
Da $\overline{K}[x]$ Integritätsbereich, folgt $\alpha h+\beta h^\ast=0$ etwa.
\begin{flushright}
208/209
\end{flushright}
also $\exists c: h^\ast=ch$ $(c\in K$ fest) für \underline{jeden} homogenen Teil des Maximalschräggrades $m$ in $g$, also ist $c\in K$. (nicht nur in $\overline{K}$). Also hat die Form $k$ eine rat Nullstelle $c$, also ist die zweite auch rat. Bei passender Normierung ist $k=(x-cx^p)(x-dx^p)$\\
Falls $c\not=d$, sei wieder $h$ ein höchster (Grad $m$) in $g$, und zwar etwa in $g_1$ mit $g_1(0)=0$ auftretender homogener Teil. Dann ist $h-ch^\ast=0$, daher hat $h-dh^\ast=(c-d)h^\ast$ \underline{den vollen} Schräggrad, also hat $g_1-dg_1^\ast$ den vollen Schräggrad.; $k(g)=(g_1-cg_1^\ast)(g_1-dg_1^\ast)$ hat nur Schräggrad $m$, also liegt $g-cg^\ast$ ganz auf der Schräglinie durch $0$, d.h. $g_1-cg_1^\ast=\text{ const}$\\
$g_1-cg_1^p=\text{ const.}$, wegen $g_1(0)=0$ ist const $=0$\\
$g_1(g_1^{-1})-c[g_1(g_1^{-1})]^p=0$\\
$x-cx^p=0$~~${}_\uparrow^\downarrow$
\begin{flushright}
209/210
\end{flushright}
Also ist $c=d:k=(x-cx^r)^2$, $c\not=0$ wegen (d).\\
Wegen $k\in\mf{K}$ hat dann $g-cg^p$ stets nur (für $\forall g\in\mf{G}$) Exponenten im auf die Hälfte ähnlich verkleinerte Bereich $\frac{1}{2}\mf{E}$. Übrigens ist $\mf{E}$ ein Dreieck~~~\begin{picture}(20,50)
\put(0,30){\line(1,0){20}}
\put(0,30){\line(0,-1){40}}
\put(20,30){\line(-1,-2){20}}
\drawline(0,-2)(15,30)
\drawline(0,7)(10,30)
\drawline(0,16)(5,30)
%\drawline(0,10)(0,30)
\end{picture}
, denn sonst gäbe es $g=~~~~ $\begin{picture}(20,50)
\put(0,30){\line(1,0){20}}
\put(0,30){\line(0,-1){40}}
\put(20,30){\line(-1,-2){20}}
\put(0,-10){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(0,-15){\makebox(0,0){$\scriptstyle 0$}}
\put(10,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle\times$}}
\put(20,30){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(28,30){\makebox(0,0){$\scriptstyle\not=0$}}
\end{picture}~~~ entgegen $g=cg^p$.\\[4mm]\mbox{}
\end{itemize}
\end{itemize}
Satz I: Sei $\mf{G}$ eine unter $x\to-x$ invariante, z.B. $2$-abgeschlossene\footnote{siehe 214} Gruppe auf $\Omega=K_{p^2},~p>2$, die alle Translationen $x\to x+t,~~t\in K$ enthält. In der reduzierten Darstellung jedes $g\in\mf{G}:~~g(x)=\sum\limits_{0}^{p^2-1}a_\nu x^\nu$  mögen nur Exponenten aus dem $1$. Quadranten $\mf{Q}_1$ auftreten\footnote{Es genügt vielleicht, dass die Potenzen in den Leitgliedern in $\mf{Q}_1$ liegen (maximaler Schräggr.)}(siehe 214 "`$g$ mager"'): $\nu=a+bp$, mit $0\le a,b\le\frac{p-1}{2}$. Dann ist entweder die Gruppe $\mf{T}$ der Translationen normal in $\mf{G}$, d.h. es treten höchstens $\nu=0,1,p$ auf, oder $\mf{G}$ enthält einen intra Normalteiler mit auflösbarer Faktorgr; ist also imprim
\begin{flushright}
210/211
\end{flushright}
Beweis: Wähle ein Polynom $m(x)\in K_{p^2}[x]$ nicht konstant derart, daß
\begin{itemize}
\item[a)] für jedes $g\in\mf{G}$ die in $m(g(x))_{\text{red}}$ \underline{auftretenden} Exponenten in $\mf{Q}_1$ liegen (z.B. $k=x$ tut das), und 
\item[b)] der größte dabei auftretende "`Schräggrad"' $\overline{\nu}=a+b$ (wenn $\nu=a+bp$) möglichst klein, etwa $=n$ ist.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item[A.] Sei $\mf{M}$ die Menge aller Polynome $f(x)$ über alg abg Erweit von $K_{p^2}$ mit 
\[
\underset{\substack{\uparrow\\=\{\overline{\nu}\}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}{\begin{cases}
\underset{|}{\text{Exp }}f(g(x))\subseteq \mf{Q}_1\\
\text{(Exponentenmenge $=\{\nu\}$)}\\
\overline{\text{Exp}}f(g(x))\le n
\end{cases}}
\]
$m(x)\in\mf{M},$ also $\mf{M}\not=\emptyset$.\\
Da neben $g(x)$ stets $g(x)-t\in\mf{G}$ wo $t\in K$ beliebig gewählt ist, folgt:
\[
m(x)\in\mf{M}=m(x-t)\in\mf{M}
\]
\begin{flushright}
211/212
\end{flushright}
$\mf{M}$ ist $\mf{G}$-Modul:
\begin{gather*}
f_1,f_2\in\mf{M}\to c_1f_1+c_2 f_2\in\mf{m}\\
f(x)\in\mf{M}\to f(g(x))\in\mf{M}
\end{gather*}
Also $f\in\mf{M}\to f\wedge h\in \mf{M},~~~\forall h$.\\
Ferner ist $1\in\mf{M}$, und 
\[
f(x)\in\mf{M}\to f(x^p)\in\mf{M}
\]
Schließlich gilt
\[
f(x)\in\mf{M}\Rightarrow f(-x)\in\mf{M}.
\]
Bew: 
\[
\text{Exp }f(-g(x))=\text{Exp }\underbrace{f(-g(-x)}_{=f(g(x))})
\]
wegen $-g(-x)\in\mf{G}$
\item[B.] Wir zeigen: $\mf{M}$ enthält kein $k$ vom Schräggrad $2$.\\ 
Annahme:
\[
\mf{M}\ni k=ax^2+\beta x^{1+p}+\gamma x^{2p}+\delta x+\varepsilon x^p+\eta
\]
oBdA $\eta=0$. Ferner ist $\mf{M}\ni \ell:=k(x)+k(-x)$
\[
\mf{M}\ni\ell=\alpha x^2+\beta x^{1+p}+\gamma x^{2p}
\]
\begin{flushright}
212/213
\end{flushright}
Notfalls in Erweiterungskörper $\widehat{K}$ zerlegt sich der quadrat. Teil $\ell$:
\[
\ell=(ax+bx^p)(cx+dx^p)
\]
Da $ax+bx^p\not=$ const, $\exists g\in\mf{G}:$ Grad $ag+bg^p\ge n$. Wegen der Quadrantenbedingg ist Exp $cg+bg^p\subseteq \mf{G}_1$, Exp $cg+dg^p\in\mf{Q}_1$, also $n\ge$ Grad $(ag+bg^p)(cg+dg^p)=\text{ Gr }+\text{ Gr }$ daher Gr $cg+dg^p\leqq0$, $cg+dg^p=$ const, $x\to\overline{g}(x)$: $cx+dx^p=$ const ${}^\downarrow_\uparrow$\\
Folglich gibts kein $k+\mf{M}$: $\overline{\text{Gr }}k=2$.
\item[B.] Es gibt kein $k\in\mf{N}$ mit $\overline{\text{Gr}}\,k\ge 2$.\\
sonst $\exists k\wedge h\in\mf{M}$ mit $\overline{\text{Gr}}$ $k\wedge h=2$.
\item[C.]Wähle $k\in\mf{M}$, $k=\text{ const}$, oBdA $k(0)=0$. Nach A,B ist $k=\alpha x+\beta x^p$, und da $k(g)\in\mf{M}$ ist auch $k(g)=\alpha^\prime x+\beta^\prime x^p+\gamma^\prime$
\begin{itemize}
\item[I.] $x\in\mf{M}$. Dann $g\in\mf{M}$, $\overline{\text{Grad}}\,g=1$ fertig ($\forall g$)
\item[II.]$x\not\in\mf{M}$. Dann enth. $\mf{M}$ nur ein Elm mit El't mit $k(0)=0$, also ist mit festem $k$
\[
k(g)=c_g\cdot k(x)+d_g
\]
Die $g\in\mf{G}$ mit $c_g=1$, $d_g=0$ bilden Normalteiler $\mf{N}$ mit auflösbarer Faktorgr. Für $g\in\mf{N}$ ist $k(g(x))=k(x)$ und da $k(x)\not=$ const, ist $\mf{N}$ intransitiv~~~QED\\
($\mf{N}=$ Kern v. $g\to\left(\begin{smallmatrix} c_g&d_g\\0&1\end{smallmatrix}\right)$)
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}
213/214
\end{flushright}
Aufgabe\\
Satz I kann vielleicht auf Halbgruppen $\mf{G}$ mit regulärer elementar-abelschen Untergruppe erweitert werden. Vermutlich ist $g(x)\in g\to-g(-x)\in \mf{G}$. Siehe auch Satz II. 232\\
Bemerkung: Die Funktionen $f(x)=\alpha x+\beta x^p$ sind die sämtlichen additiven (dh Endomorphismen von $K_+$): $f(x+y)=f(x)+f(y)$\\
Der Schräggrad $\overline{\text{Gr }}\varphi(x)$ ist die kleinste Zahl $k$ mit
\[
\varphi(x)=\sum f_1f_2\cdots f_K~~~K\le k,~~f_i\text{ additiv}
\]
Satz: Ist $\mf{G}$ $2$-abgeschlossen mit einer regulären Untergruppe $\mf{H}$ dargestellt auf $\mf{H}$, so gilt:
\[
g(x)\in \mf{G}\to-g(-x)\in\mf{G}
\]
Bew: Ist $f(x)$ inv. bei $\mf{G}_0$, so auch $f(-x)$; daher 
\begin{gather*}
f(-g(x))=f(-x)\\
f(-g(-x))=f(x),~~~~-g(-x)\in\mf{G}
\end{gather*}
\begin{flushright}
214/215
\end{flushright}
\begin{flushleft}
22.9.64
\end{flushleft}
Satz I$^\prime$: Ist $\mf{G}$ eine nur einfache tra Gruppe des Grades $p^2$ mit el ab. Ugr $\mf{H}$, die nicht in $\mf{G}$ normal ist, so hat $\mf{G}_0$ entweder eine Invariante $f(x^{p-1})\not=\begin{cases}\text{const}\\x^{p^2-1} \end{cases}$ oder die "`homogenen"' Invarianten $f_i$ von S. 189 liegen für $i>\frac{n}{2}$ oberhalb der Diagonalen\\
haben die Faltungstafel auf S. 189 mit $c_{\lambda\mu}=0$  für $n<i+j<\frac{3n}{2}$, d.h. $f_i\wedge f_j=0$
\begin{center}
\begin{picture}(0,40)
\put(0,0){\line(1,0){40}}
\put(40,0){\line(0,1){40}}
\put(0,0){\line(0,1){40}}
\put(0,40){\line(1,0){40}}
\put(0,0){\line(1,1){40}}
\put(0,4){\line(1,1){36}}
\put(0,8){\line(1,1){32}}
\put(0,12){\line(1,1){28}}
\put(0,16){\line(1,1){24}}
\put(20,0){\line(1,1){20}}
\put(35,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle 0$}}
\end{picture}
\end{center}
Beweis: oBdA sei $\mf{G}$ $2$-abgeschl. Wäre ein $f_i$ unter $f_1,\cdots,f_{\frac{n-1}{2}}$ ganz oberhalb der Diagonalen, so ganz im 1. Quadranten $\mf{Q}_1$, also hätte $f_i(\mf{H})$ nur Exponenten oberhalb $f$, also in $\mf{Q}_1$, falls $x=f\wedge h$ Lösung $h$ hat. Nach Satz I, 210, geht das nicht. Also ist $x=f\wedge h$ unlösbar. Nun\\
Hilfssatz: Sei $\begin{cases}f\text{ homogen und}\\\overline{\text{Gr }}f\ge 1\text{ und }f\wedge h=x \end{cases}$ unlösbar, dann ist $f=(\alpha x+x^p)^n$ mit passenden $\alpha$ so dass $\alpha^{p+1}=1$\\
Bew: je zwei Faltungen $f\wedge h$, die homogen vom $\overline{\text{Grad}}$ $1$ sind, sind lin abhängig:
\begin{flushright}
215/216
\end{flushright}
etwa $=$ const$(\alpha x+\beta x^p)$. Nach Vor ist $\beta\not=0$, oBdA $\beta=1$. $f_0=(\alpha x+x^p)^n$ ist eine Fktion dieser Eigenschaft\\
gäbe es ein davon lin un $f^{~~~\prime\prime~~~~\prime\prime}$, so könnte man $c$ finden, so daß $g=f-cf_0$ die Potenz $x^{pn}$ nicht enthält: $g=~~~$\begin{picture}(20,50)
\put(0,30){\line(1,0){20}}
\put(0,30){\line(0,-1){40}}
\thicklines
\put(20,30){\line(-1,-2){20}}
\end{picture}~~~Dann $\exists h: g\wedge h=x$ im Widerspruch zu $g\wedge h=\text{ const }(\alpha x+x^p)$.\\
Schluß des Beweises II.:\\
Wäre ein $f_i$ ganz oberhalb der Diag, $i\le\frac{n-1}{2}$, also $f_i$ in $\mf{Q}_1$, so wäre $f\wedge h$ unlösbar\\ 
also $f_i=c\cdot(x^p+d x)^{ie}$. Da $f_i=f_i^p=c^p(x+d^p x^p)^{ie}$, wäre $+cd=c^p$, $d=c^{p-1}$.
\[
f_i=c x^{ie}\cdot(x^{p-1}+c^{p-1})^{ie}
\]
Wähle $d_0\in K:d_0^{p-1}=-1$; das geht da $\frac{p^2-1}{p+1}$ gerade. Dann ist $f_i(d_0c)=0$, trotz $d_0c\not=0$. Aber $f_i(x)\not=0$ für $x\not=0$. Wid.!
\begin{flushright}
216/217
\end{flushright}
\begin{center}
Noch Permgr mit reg Ugr. $\mf{H}$
\end{center}
Normierung von $\mf{G}$ durch Änderung der Einbettung von $K_+$ in $\mf{G}$\\
Ist $\sigma$ ein Automorphismus von $\mf{H}$, so ist
\begin{itemize}
\item[a)] $\sigma$ vertauschbar mit Faltung und mit $\mf{G}^\sigma=\sigma^{-1}\mf{G}\sigma$.
\item[b)] $f\in\mf{F}_0\to f(x^\sigma)\in\mf{F}_0^{(\sigma)}$
\item[c)] $f(x)\in\mf{M}$  (im Sinn von S. 211) $\to f(x^\sigma)\in\mf{M}^{(\sigma)}$\\
Damit kann man dann das $x^n+cx$ vom Beweis Satz II (S. 216) zu $x^p-x$ normieren durch Übergang von $\mf{G}$ zu $\mf{G}^\sigma$.
\end{itemize}
Partielle Summation:
\begin{gather*}
x\cdot[f\wedge g]=(xf)\wedge g + f\wedge xg\\
x^2\cdot[f\wedge g]=(x^2f)\wedge g+ 2xf\wedge xg+f\wedge x^2 g\\
x^{p+1}\cdot[f\wedge g]=(x^{p+1}f)\wedge g+ xf\wedge x^pg+x^p f\wedge xg+f\wedge x^{p+1}g\\
x^p\cdot[f\wedge g]=x^pf\wedge g+ f\wedge x^pg\\
\end{gather*}
\begin{flushright}
217/218
\end{flushright}
Es gibt in $K_{p^2}$ zwei Ableitungen:
\[
f^\prime=f(x+t)\big|_{t},~~~f^\ast=f(x+t)_{t^p}
\]
Rechenregeln aufstellen!~~~siehe 221(1)\\[4mm]
Partielle Summation funktioniert mit additiven Funktionen $l(x)$:\\
$l(x+y)=l(x)+l(y)$ also für $l(x)=\alpha x+\beta x^p$:
\[
l[f\wedge g]=(lf)\wedge g+f\wedge lg
\]
Bew:
\begin{align*}
&=\sum l(x)f(x-t)g(t)\\
&=\sum[l(x)-l(t)]f(x-t)g(t)+\sum l(t)f(x-t)g(t)
\end{align*}
$f,g$ sind beliebg.\\
Ist $l$ additiv, so gilt
\[
l^i\wedge l^k=[x^i\wedge x^k]\circ l
\]
wenn $u\in K,~l(u)<0,~\to  u=0$ und $f(h)\wedge\varphi(l)=0~~~\forall f,\varphi$ wenn $l$ ausgeartet: $\exists u_0\not=0:l(u_0)=0$ denn dann tritt jeder Wert von $l$ $p$-mal auf.
\begin{flushright}
218/219
\end{flushright}
$n=3$ Hier hat das $f$ (zum Exp $2e$) einen $1$-Annulator $a$ homogen, auf der Schräglinie $5e$ oder tiefer. Denn auf der $5e-1$ hat es sogar $2$ lin un (alle diese $e+2$ Potenzen mit $f$ gebildet, ergeben Linearverbindgen von $e$ Potenzen auf der Linie $e-1$). Und wenn zwei Annullatoren eine Defektsumme (Defektschräglinie von $p^2-1$ aus gezählt mit $0$ beginnend) $<p-1$ haben, sonst ihre ggT
auch Annullator (ggT der Formen in $x^{p^2-1}$  $x^{p^2-p}$).\\
NB: $k<p,l$ additiv $\to$
\begin{gather*}
l^k\wedge x^{p^2-2}=\alpha l^{k-1}\\
l^k\wedge x^{p^2-1-p}=\beta l^{k-1}
\end{gather*}
wenn $l=\alpha x+\beta x^p$
\begin{flushright}
219/220
\end{flushright}
\begin{center}
$n=3$
\end{center}
Mit Hilfe des Annulators (Zerlegung von $a^{\ast)}$ Linearfaktoren) kann man zeigen
\[
f=\sum_{i=1}^l \alpha_il_i^{2e}~~~~~~a=\prod l_i
\]
Ansatz: Man berechne dann z.B. $f\wedge x^{(p^2-1)-(2e-2)}$ oder allgemeiner $f\wedge x^k$ als $\sum\beta_i l_i^{\cdot\cdot}$ damit ist dann auch jedes $g\in\mf{G}$ als $\sum\cdots l_i^{\overline{a}}$ dargestellt. Hieraus sollte man sehen können, daß $g$ und $g^2$ nur dann Bereiche oberhalb der Linie $2e$ liegen, wenn $g$ sogar oberhalb der Linie $e$ liegt, d.h. in $\mf{Q}_1$. Dann Satz I, S 210 anwenden.\\
$\ast)$ an der Gestalt als $\wedge$ Polynom in $x^{p^2-1-1},~x^{p^2-1-p}$ 
\[
=\frac{\partial}{\partial x}\text{ und }\frac{\partial}{\partial\overline{x}}~~~(\overline{x}=x^p)
\]
Sind $l_1\cdots l_e$ verschiedene Linearformen, so sind für festes $k\ge e$
\[
l_1^k,\cdots,l_e^k
\]
lin un (Vandermonde)\\
Sie müssen sich eignen zur Untersuchung der $f\wedge$ und damit der $g\in\mf{G}$.\\
Vielleicht empfiehlt es sich, $f$ als "`symbolische Potenz"' zu schreiben!
\begin{flushright}
220/221
\end{flushright}
\begin{center}
noch Gruppen vom Grad $p^2$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Die  Untersuchung des Rings der $f(z,\overline{z})$ mit $z^p-\overline{z}=\overline{z}^p-z=0$ ist vermöge $z=x+iy$ gleichwertig zu $g(x,y)$ mit $x^p=x,~y^p=y$.\\
Bew:
\[
K[u]\underset{\substack{\uparrow~~~~~~~~\\\text{"`modulo"'}}}{\slash{u^{p^2}-u}}\cong K[z,\overline{z}]\slash{z^p-\overline{z},~\overline{z}^p-z}\cong K[x,y]\slash{x^p-x,~y^p-y}
\] 
Wenn form $g^2\equiv r~~(u^p-\overline{u},~\overline{u}^p-u)$, $g^2=r+a(u^p-\overline{u})+b\cdot(\overline{u}^p-u)$; oBdA $a,b$ homogen; $=au^p+b\overline{u}^p$ wegen Homogenität; Gr $a= $Gr $b<2\hat{g}-p$
\item[(2)] Im Fall $n=3$ wäre es wohl nützlich, erst zu zeigen: Es gibt keine als Leitglied eines Gruppenelements auftretende Form $\ell^k\not=g(x,y)\in K[x,y]$ wo $\ell$ linear vom Grad $g=k~{}_{>\frac{p-1}{2}}^{\le2(\frac{p-1}{3})}$ mit 
\[
g^2=ax^p+by~~(\ast),
\]
wo $a,b$ Formen des Grades $2k-p$. stimmt im wes. siehe 223\\
(dass $k\not=\frac{p+1}{2}$ sein müsste, folgt so:\\
Wähle Diffop $\delta=\alpha\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial y}$ mit $\partial b=v$, den gibts wegen Grad $b=1$; dann
\[
2g-\delta g=\delta a-x^p +(\delta b)y^p=\delta a\cdot x^p
\]
\begin{itemize}
\item[Wenn I.] $a\not=cb$, so $\delta a\not=0$, so also $g\big| x^p$~~~$g=x^k$ ebenso $g=y^k$ Wid!
\item[Wenn II.] $a=cb:$  
\begin{flushright}
221/222
\end{flushright}
\item[Wenn aber] $a=\text{const }b$, so $g\cdot\frac{\partial g}{\partial u}=c_1\cdot x^p +c_2 y^p=(d_1x+d_2y)^p$~~~$g=(d_1x+d_2y)^k$ 
\end{itemize}
NB: für $g=l^k$, $l$ linear reduziert sich $g^2$ tatsächlich auf "`niedrige"' Potenzen:
\[
g^2=l^p\cdot l^{2k-p}=(\therefore x^p+\therefore y^p)l^{2k-p}
\]
$\leftarrow~(\ast)$ In $K(z\overline{z})$ gilt die entsprechende Bedgg für Graderniedrgg:\\ $g^2=\therefore z^p+\therefore\overline{z}^p$. $[$Verweis auf $(\ast)$ S. 221$]$\\
NB: Wenn $g=l^{\frac{p+1}{2}}\cdot g_1$, $l$ linear, so ist 
\begin{eqnarray*}
g^2&=&l^p\cdot(lg_1^2)\\
&=&\therefore x^p +\therefore y^p
\end{eqnarray*}
Die\begin{picture}(0,0)\put(-60,-10){Ja!~~223}\end{picture} Frage wäre, ob nur dann. Sonst invariant gegen $\begin{smallmatrix}x\to ax+by\\y\to cx+dy\end{smallmatrix}$ mit $\left|\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right|\not=0$\\
Daher kann $g^2=\therefore x^p+\therefore y^p$ nicht eintreten, wenn $g=l_1^k+l_2^k$~~~$l_1\not=\text{const }l_2$\\
NB: bei uns ist $g=\sum_1^n e_i^k,~~n\le e$\\ 
denn oBdA $l_1=x,~~~l_2=y$:\\ 
$(x^k+y^k)^2=\therefore\to x^k\cdot y^k=\therefore~~{}_\uparrow^\downarrow$ Grad$_x$. 
\end{itemize}
\begin{flushright}
222/223
\end{flushright}
\begin{center}
25.9.64~~~~~~~~~~~~~~Noch $P$ Gruppen vom Grad $p^2$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Satz: Sei $K$ ein Körper der Char $p$, $f\in K[x]$, $p>2$, $f^2=r+sx^{p^\lambda}$, $\frac{1}{2}p^\lambda\le\hat{f}<p^\lambda$, $\lambda>0$, $f\not\equiv0$. $\hat{q}=\text{ Gr }q$\\ 
Dann ist entweder 
\[ \ {\rm II} \hskip 40pt
\text{Gr }f=:k\le m+m^\prime-\hat{q}\le2m-1\begin{cases}q^2T(r_1,S)~~\\
m=\max(\hat{r},\hat{s})~~m^\prime=\max(\widehat{r^\prime},\widehat{s^\prime}) \end{cases}%\tag{ II }
\]
oder
\[ {\rm I}  \hskip 43pt
\exists~~\alpha\text{ mit }\begin{cases}
(x-\alpha)^p\big|f^2~\&~\alpha^{p^\lambda}\in K\\
r=-\alpha^{p^\lambda}s~~(\text{also }\alpha\in K\text{ wenn }K\text{ vollkomm.})
\end{cases}%\tag{ I }
\]
NB: sogar $2k-k^\ast<m+m^\prime-\hat{q}$, wo $k^\ast=\# \text{ verschiedene Wu von }f$\\[4mm]
Bew: Man kann annehmen, daß $r$ und $s$ keinen $\Box\not=1$ als gemeinsamen Faktor haben; damit ist $r^\prime+ts^\prime\not\equiv0$. Bilde 
\begin{eqnarray*}
R(t)&:=&\text{ Diskr}_x~(\overbrace{r(x)+s(x)}^{h(x)}t)=\text{ Diskr }h\\
&=&\text{Res}_x(r+st~,~r^\prime+s^\prime t)=\text{Res}(h,h^\prime)\\
\text{Gr}_tR(t)&\le&m+m^\prime
\end{eqnarray*}
mit $m=\max(\hat{r},\hat{s})$, $m^\prime=\max(\widehat{r^\prime},\widehat{s^\prime})$\\
Frage: Gibt es Ähnliches wenn $f\cdot g$ "`klein"' statt $f^2$ klein?\\
Sei
\begin{gather*}
(x-\xi)^n\big|f,n\ge1;~0<n\le k\\
(x-\xi)^{n+1}\big|f^2=r+sx^{p^\lambda}\\
x\to x+\xi:~~~x^{n+1}\big|r(x+\xi)+s(x+\xi)\cdot(x^{p^\lambda}+\xi^{p^\lambda})\\
=r(x+\xi)+\xi^{p^\lambda}s(x+\xi)+x^{p^\lambda}s(x+\xi)
\end{gather*}
wegen $n+1<p$ ist
\begin{eqnarray*}
&&x^{n+1}\big|r(x+\xi)+\xi^{p^\lambda}s(x+\xi)=a_0+a_1x+\cdots\\ 
&&a_0=\cdots=a_n=0
\end{eqnarray*}
\begin{itemize}
\item[I.] Wenn nun Gr $h<n$, so folgt
\begin{gather*}
r(x+\xi)+\xi^{p^\lambda}s(x+\xi)\equiv0\\
r(x)=-\xi^{p^\lambda}-s(x)\to\xi^{p^\lambda}\in K\\
f^2=s(x)-(-\xi^{p^\lambda}+x^{p^\lambda})=s(x)(x-\xi)^{p^\lambda}
\end{gather*}
fertig
\begin{flushright}
223/224
\end{flushright}
Sei also weiter Gr $h\ge n=n_\xi$, für jede Wurzel $\xi$ von $f$
\begin{eqnarray*}
R(t)&=&\text{Res}(r(x+\xi)+s(x+\xi)\cdot t~~,~~~\frac{d}{dx}\cdots)\\
&=&\text{Res}(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+\underset{\substack{||~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\s_0+s_1x+s_2x^2+\cdots}}{s(x+\xi)[t-\xi^p]}~~,~~\frac{d}{dt}\ldots)
\end{eqnarray*}
%\[
%=~\underset{\underbrace{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}_{m^\prime\text{ Spalten}}~~~~~~~\underbrace{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}_{m\text{ Spalten}}}{\left|\begin{array}{cc}
%a_0+s_0[t-\xi^{p^\lambda}]&a_1+s_1[~~~]\\
%a_1+s_1[~~~]&2a_2+2s_s[~~~]\\
%\vdots&\vdots\\
%a_{n-1}+s_{n-1}[~~~]&na_{n}+ns_n\cdot[~~~]
%\end{array}\right|}
%\]
\[
=~\underbrace{\left|\begin{array}{c}
a_0+s_0[t-\xi^{p^\lambda}]\\
a_1+s_1[~~~]\\
\vdots\\
a_{n-1}+s_{n-1}[~~~]
\end{array}\right.}_{m^\prime\text{ Spalten}}~~\underbrace{\left.\begin{array}{c}
a_1+s_1[~~~]\\
2a_2+2s_s[~~~]\\
\vdots\\
na_{n}+ns_n\cdot[~~~]
\end{array}\right|}_{m\text{ Spalten}}
\]
also wegen $a_0=\cdots=a_n=0$ haben wir
\[
(t-\xi^{p^\lambda})^{2n-1}\big|R(t)
\]
Aus $\xi\not=\eta$ folgt $\xi^{p^\lambda}\not=\eta^{p^\lambda}$ wegen Char $p$, also indem man $\xi$ die Nullstellen von $f$ durchlaufen läßt, folgt, wenn $R(t)\not\equiv0$,
\item[II:]$k=\text{Gr }f\le\text{Gr }R(t)\le m+m^\prime$.\\
Sei nun $R(t)\equiv0$, dh.
\[
h:=r(x)+s(x)\cdot t\in K(t)[x]
\]
hat einen quadratischen Faktor $\not=$ const $h=k^2\cdot l$,\\ $k,l\in K(t)[x]\text{Gr }k\ge1$ . Nach Wegschaffen der Nenner in $t$ und Primitiv-machen von $k,l$ wird $k_0^2\cdot l_0=h\cdot\varphi(t)=$ primitiv, also $\varphi=$ const, und wegen $t$- Grad auch $k_0\in K[x]$ unabh. von $t$
\[
l_0=\therefore+t\therefore,
\]
also $k_0^2\big|r$ und $k_0^2\big|s$~~~Wid!
\end{itemize}
\begin{flushright}
224/225
\end{flushright}
\item[Zusatz ($1^\prime$)] Unter den Vor von (1) ist in jeder Darstellg
\[
f(x)=\sum_{\nu=1}^n c_{\nu}(x-\xi_\nu)^k~~~~~~n>\frac{p+1}{2}\text{ oder }n=1
\]
Denn $(x-\alpha)^{\frac{p+1}{2}}\big|f$, oBdA $\alpha=0$ durch Translation,
also
\[
x^{\frac{p+1}{2}}\big|f~~~~~0=
\sum_{\substack{\nu=1\\\xi_{\nu} \ne 0}}^n{}{^\prime}c_\nu\xi_{\nu}^{n-k},
~~k=0,\cdots,\frac{p+1}{2}
\]
Sei $n>1$, dann ist ein $\xi_\nu\not=0$, die Anzahl der von Null verschiedenen ist $>\frac{p+1}{2}$.\\
Damit ist der Fall erledigt, dass der Annullator $a$ von S. 219 quadratfrei ist.
\item[NB (2)] So könnte man im azimutalen Fall $p^\lambda$ wohl mindestens für $n\ge 5$ direkt die Elemente $g\in\mf{G}$ mod $x^{p^2}-x$ vermöge ihre Leitglieder, untersuchen, nachdem man durch eine Transl $x\to x+ax^p$ den Grad max gemacht hat. 
\item[NB (3)] Man sollte die Untersuchung über die Einbettung regulärer Gruppen $\mf{H}$ von vorn herein invariant führen (bezüglich Automorphismen von $\mf{H}$).
\begin{flushright}
225/226\\
$[$Die ganze Seite ist durchgestrichen.$]$
\end{flushright}
\begin{center}
\sl{Siehe 227}
\end{center}
\begin{flushright}
226/227
\end{flushright}
\end{itemize}
\begin{center}
Darstellung der Funktionen $K_{p^\alpha}\to K_{p^\alpha}$:
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Der Ring der Funktionen $K_{p^\alpha}\to K_{p^\alpha}$ ist isomorph $K_{p^\alpha}[x]\slash x^{p^\alpha}-x=R_{K_{p^\alpha}}$
\item[(2)] 
\[
R\cong K[u_1,\cdots,u_\alpha]\slash{(u_1^p-u_1,\cdots,u_\alpha^p-u_\alpha)}
\]
wenn $K\ge K_{p^\alpha}$; dabei $K=K[x]\slash{x^{p^\alpha}-x}$\\
etwa $\alpha=3$ Bew: Wähle $\alpha,\beta,\gamma\in K_{p^3}$ so, daß mit
\[
\alpha^\prime=\alpha^p,~~\alpha^{\prime\prime}=\alpha^{p^2}\text{ gilt }\begin{vmatrix}
\alpha&\alpha^\prime&\alpha^{\prime\prime}\\
\beta&\beta^\prime&\beta^{\prime\prime}\\
\gamma&\gamma^\prime&\gamma^{\prime\prime}
\end{vmatrix}\not=0
\]
In $R_K$ setze
\begin{eqnarray*}
u_1&:=&\alpha x+\alpha^\prime x^p+\alpha^{\prime\prime}x^{p^2}\\
u_2&:=&\beta x+\beta^\prime x^p+\beta^{\prime\prime}x^{p^2}\\
u_3&:=&\gamma x+\gamma^\prime x^p+\gamma^{\prime\prime} x^{p^2}
\end{eqnarray*}
\begin{flushright}
227/228
\end{flushright}
Dann ist in $u_i^p\equiv u_i$ mod $x^{p^3}-x$.\\ 
Umgekehrt; definiert in $K[u_1u_2u_3]$ drei Polynome $xyz$ von $u_1u_2u_3$ durch
\begin{eqnarray*}
u_1&:=&\alpha x+\alpha^\prime y+\alpha^{\prime\prime}z\\
u_2&:=&\beta x+\beta^\prime y+\beta^{\prime\prime}z\\
u_3&:=&\gamma x+\gamma^\prime y+\gamma^{\prime\prime}z
\end{eqnarray*}
Dann folgt aus $u_i^p=u_i$:
\begin{eqnarray*}
u_1&:=&\alpha z^p+\alpha^\prime x^p+\alpha^{\prime\prime}y^{p}\\
u_2&:=&\beta z^p+\beta^\prime x^p+\beta^{\prime\prime}y^{p}\\
u_3&:=&\gamma z^p+\gamma^\prime x^p+\gamma^{\prime\prime} y^{p}
\end{eqnarray*}
also
\[
x=z^p~~~y=x^p~~~z=y^p
\]
daher
\[
x^{p^3}=x
\]
$R{K_{p^\alpha}}$ sollte gut geeignet sein zur Untersuchung der Abb von $K_{p^\alpha}$ in sich.\\
Alle diese $u_i$ sind additive Funktionen auf $K_{p^\alpha}$, wenn für $\xi\in K_{p^\alpha}$ gesetzt wird $u_i(\xi)=\alpha\xi+\alpha^\prime\xi^p+\alpha^{\prime\prime}\xi^{p^2}$; Die Translationsgruppe $(p,p,p)$ von $K_{p^\alpha}$ ist $x^\tau=x+d_i$.\\
$u_1=u_1+\alpha\xi+\alpha^\prime\xi^\prime+\alpha^{\prime\prime}\xi^{\prime\prime}$ usw., d.h. 
\begin{flushright}
228/229
\end{flushright}
die Translationen sind die $p^\alpha$ Transform
\begin{gather*}
\mf{T}:~~~u_i^\tau=u_i+\tau_i\text{ mit }\tau_i\in K_p\\
(\mathcal{N}\mf{T})_0\text{ ist }u_i^{\prime}=\sum c_{ik}u_k,~~\text{det}\,c_{ik}\not=0\\
\mathcal{N}\mf{T}\text{ ist }u_i^\prime=\sum c_{ik}n_k+d_i
\end{gather*}
Ist $\mf{G}$ auf $K_{p^3}$ $2$-abgeschlossen und sind je zwei nichttriviale Bahnen von $\mf{G}_0$ konjugiert (azimutaler Fall) so erhält $\mf{G}$ mit $g(x)$ stets auch $g(ax)~~a\in K_p$, und mit $f(x)$ ist (auch ohne $2$-Abschließg) $f(ax)$ eine Invariante von $\mf{G}$, $\forall a\in K_p$
\[
\xi\in K_{p^\alpha}\iff(u_1,u_2,u_3)\in K,
\]
wo $u_1=\alpha\xi+\alpha^\prime\xi^p+\alpha^{\prime\prime}\xi^{p^2}$ usw.
\item[(2)] NB: Zur Behandlung der $P$ Gr mit reg $\mf{H}\cong(\underbrace{p,p\cdots,p}_{\alpha})$ wird sich der Körper $K_{p^\alpha}$ nur dann empfehlen, wenn in $\mf{H}$ eine Ugr der Ord $p^\beta,~\beta\mid\alpha$ ausgezeichnet ist, oder eine Kette von solchen; die wird man dann mit Teilkörpern  von $K_{p^\alpha}$ identifizieren, oder wenn bestimmte Autom. von $\mf{H}$ interessieren, die man
\begin{flushright}
229/230
\end{flushright}
besonders gut in $K_{p^\alpha}$ darstellen kann. In allen anderen Fällen wird man besser als $\Omega$ den Vektorraum $\mf{V}$ der Dim $\alpha$ über $K_{p}$ nehmen,\\ etwa $\mf{x}=\left(\begin{smallmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_\alpha \end{smallmatrix}\right)~x_i\in K_p$. Invariante sind Funktionen $f(\mf{x})$, Abbildungen von $\Omega$ in sich sind Funktionen $n$-Tupel:
\[
f(\mf{x})=\begin{pmatrix} f_1(\mf{x})\\\vdots\\f_\alpha(\mf{x})\end{pmatrix},
\]
Faltung ist
\[
f\wedge g=\sum_{A\in\mf{V}}f(\mf{x}-A)g(A)
\]
Vorteilhaft ist hier die Regel von den getrennten Veränderlichen: Wenn $f(x_1\cdots x_\alpha)=f^\prime(x_1\cdots x_\beta)$, und ähnlich $g$, $f^{\prime\prime}(x_{\beta+1}\cdots x_{\gamma})$ so ist
\[
f\wedge g=(f_1^\prime\wedge g^\prime)\cdot(f^{\prime\prime}\wedge g^{\prime\prime})
\]
Insbesondere ist die Faltung von Monomen $x_1^{n_1}~x_2^{n_2}\cdots x_\alpha^{n_\alpha}$ leicht, nämlich variablenweise auszuführen.\\
Dann braucht man die Binomialformel nicht:
\[
\begin{pmatrix}
n_0+n_1p+\cdots\\k_0+k_1p\cdots\end{pmatrix}\equiv\prod\begin{pmatrix}n_i\\k_i\end{pmatrix}\mod p.
\]
Wieder gilt, wenn Exp $h(x_1\cdots x_\alpha)$ die Menge der wirklich auftretenden Exponentenkombinationen bezeichnet:\\
Ist $f$ Invariante von $\mf{G}_0$ und $x_1=f\wedge\therefore$, so ist für jedes $g\in\mf{G}$\\ 
Exp $g_1\subseteq\text{ Exp }f$.
\begin{flushright}
230/231
\end{flushright}
\begin{itemize}
\item[(1)] Der Ring aller Funktionen auf endlichem $\Omega$ mit Werten aus einem Körper $K$ mit $|K|>2$ ist ein Hauptidealring.\\ 
Der ggT von $f$ und $g$ ist die Funktion, die auf \\
Träger $f$ $\cup$ Träger $g$ $=1$ ist, sonst $=0$\\
Jedes Element von $K[x_1\cdots x_\alpha]_{(x_i^p-x_i)_\alpha}$ ist Produkt von Faktoren $\sum c_\nu x_\nu +d$.\\
Bew:
\[
\cong KK_{p^\alpha}[x]/{xp^\alpha-x}.
\]
\item[(2)] Im Ring  mit $\alpha=2$ ist $l_1\wedge l_2=\begin{cases}1\\0\end{cases}$ wenn $l_1,l_2$ lin ${}_{\displaystyle{\text{ab}}}^{\displaystyle{\text{un}}}$; daher $l_i=c_{i1}x_1+ c_{i2}x_2$
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}
231/232
\end{flushright}
\begin{center}
Gruppen vom Grad $p^2$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[Satz II] Wenn $\mf{G}$ drei elementfremde rationale Komplexe $\not=\{1\}$ hat mit Längen $2<n_1\le n_2\le n_3$, so ist $\mf{G}$ linear oder $\mf{G}\rhd\mf{N}\not=$ intra $\mf{G}/\mf{N}$ auflösbar.\\
Beweis: oBdA $\mf{G}$ $2$-abg. Besteht $\mf{K}_1$ aus $n_1$ Ugr der Ord $p$, und ist die $i$-te von ihnen gekennzeichnet durch $l_i(x_1,x_2)=0$, so ist ($l_i$ linear),
\[
\sum_{i=1}^{n_1}l_i^{p-1}=:f_1\text{ inv. bei }\mf{G}_0=\begin{cases}n_1-1&\alpha\in\mf{K}_1\\n_1&0\not=\alpha\not\in\mf{K}_1\\0&\alpha=1 \end{cases}
\]
ebenso
\[
\sum_{j=1}^{n_2}m_j^{p-1}=:f_2.
\]
Wegen $n_1>1$ sind $x_1,x_2=f_1\wedge\therefore$ also für $\forall g\in \mf{G}$ $(g_1,g_2=f_1\wedge\therefore$\\
daher, wenn $\mf{G}_1$ hom Leitglied $g_1=h_1$; Gr $h_1=k$:
\begin{align*}
h_1&=\sum c_i l_i^k\\
\text{aber ebenso}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&=\sum d_j m_j^k
\end{align*}
Für $k\ge n_1+n_2-1$ sind $l_1^k\cdots m_{n_2}^k$ lin un, also ist $k\le n_1+n_2-2\le\frac{2(p+1)}{3}-2<\frac{2}{3}(p-1)$\\
Ebenso Leitglied $g_2$.\\ 
NB: Das Gleiche gilt für jede Funktion $f$ mit $f=f_1\wedge\therefore=f_2\therefore$
\begin{flushright}
232/233
\end{flushright}
Also ist Gesamtgrad $\begin{smallmatrix}g_1\\g_2\end{smallmatrix}<\frac{2(p-1)}{3}$; kurz: Exp $g_i\subseteq:\mathcal{E}$.\\
Nach Vor. ist $n_1>2$.\\
Dann ist $x_1^2$ und $x_2^2$ von der Form $f_1\wedge\therefore$, also ist  nach NB 232
\[
\text{Exp}\,\begin{cases}g_1^2\\g_2^2 \end{cases}\subseteq\mathcal{E}.
\] 
Auf Leitglied $h_1$ wende (1) von S. 223 an:
\[
h_1^2=rx_1^p+sx_2^p~~~~\text{Gr}\,r,s=2k-p=m
\]
$\Rightarrow$ entw.
\[
k:=\text{Gr}\,h_1\le2m-1=4k-2p-1~~~~k\ge\frac{2p-1}{3}{}_\uparrow^\downarrow
\]
oder
\[
\exists l^{\frac{p+1}{2}}\big|h_1=\sum^{n_1} c_i l_i^k=\sum^{n_2}d_jm_j^k
\]
Differenziere mit $n_1-1$ lin Op, die alle $l_i$ außer einem $l_0$, zum Verschwinden bringen. Wenn
\[
n_1-1\begin{cases}<&\frac{p+1}{2}\\<&k\end{cases},\text{ so bleibt }l\big|l_0^{\text{pos}}, l=l_0
\]
Wenn sogar 
\[
n_2-1<\begin{cases}\frac{p+1}{2}\\k\end{cases},
\]
so ebenso $l=m_0$; aber $l_i\not=m_j$. ${}_\uparrow^\downarrow$
\begin{flushright}
233/234
\end{flushright}
Also ist
\[
n_2-1\ge\frac{p+1}{2}\text{ oder }\ge k.
\]
Der erste Fall ist unmöglich wegen
\[
\frac{p+1}{2}<n_2\le n_3\Rightarrow n_2+n_3>p+1,
\]
also
\begin{eqnarray*}
k&\le&n_2-1<\frac{p+1}{2}\\
k&\le&\frac{p-1}{2}
\end{eqnarray*}
Dann ist Exp $g_1$ im 1. Quadranten I von 210: $\mf{G}$ linear oder $\unrhd$ $\mf{N}$ intra, $\mf{G}/\mf{N}$ aufl.
\item[Satz III.] Sei $\mf{G}$ pri, Grad $p^2$, mit reg Ugr. $\mf{G}$ habe einen nichttrivialen rationalen Komplex; $\mf{G}$ habe einen irrationalen Komplex. Dann ist $\mf{G}$ linear.\\[4mm]
Bew: Nach II hat $\mf{G}$ nur einen nt rat Komplex, daher nur eine l.u. homogene Invariant $f_0$ vom Grad $p-1$. Wenn $\mf{G}$ eine hom Inv vom Grad $<\frac{2}{3}(p-1)$ hat, so wohl fertig wie früher ($\sim$ 225)\\
Hat $\mf{G}$ keine hom Inv., so kleinen Grades, so gibts $f_1, f_2\in\mf{F}_0$ mit $f_1(ax)=a^\alpha\cdot f_1(x)$
\[
f_2(ax)=a^\beta f_2(x),~~\alpha+\beta=p-1,~~{}_{\beta}^{\alpha}\not=0;~~\alpha\le\beta.
\]
Dann
\[
f_1\wedge f_2=c f_0+d\Rightarrow f_0\wedge f_1\wedge f_2= cf_0\wedge f_0=c\cdot e
\]
\begin{flushright}
234/235
\end{flushright}
$e\underset{p}{\not\equiv}0$, da
\begin{eqnarray*}
e&=&\sum f_0(-t)f_0(t)\\
&=&(p-1)\cdot[k(k-1)^2+(p+1-k)k^2]
\end{eqnarray*}
wenn der rat Komplex aus $k$ Ugr besteht. Wegen $\mf{G}$ pri ist $k>1$, daher $e\not\equiv0(p)$. Also ist $f_0\wedge f_1\not=0$, das ist also homogen vom Grad $\alpha\le\frac{p-1}{2}$.
\item[HS] $\mf{G}$ $2$-ab pri, reg el ab Ugr, Grad $p^2\Rightarrow$ entweder Rang $g\le3$, jeder Komplex rational.\\ 
oder $\mf{G}\underset{2}{\rhd}\mf{G}^\ast=\mf{H}_1\otimes\mf{H}_2$ Kroneckerprod, $\mf{G}_1\cong \mf{G}_2$ (von $k=2$)\\
Einzelheiten bei Existenz einer vom Invariant oberhalb $\frac{2}{3}(p-1)$ noch nachzuprüfen.\\
Bew: I, II III $\in$ 234,~~~~~~tritt Rg $\mf{G}=3$ auf?\\
Kurz: $\mf{G}$ unipri, Grad $\mf{G}=p^2\Rightarrow$ i.a. $\mf{G}$ linear: $\mf{H}\unlhd \mf{G}$. 
\end{itemize}
\begin{flushright}
235/236
\end{flushright}
\begin{center}
$\lhdd$
\end{center}
Unterhaltung mit Mr. Camina, QMC, London 22.10.64
\begin{itemize}
\item[(1)] Def: 
\[
G\in\mathcal{Z}:\iff\text{ If }G\,{\unrhd\unrhd}\, \underset{\substack{|\\\text{simple}}}{A\rhd B}. \text{ then }\mathcal{N}_GA\,{\unlhd\unlhd}\, G
\]
\[
G\in\mathcal{X}:\iff A\,{\unlhd\unlhd}\, G\Rightarrow\mathcal{N}A\lhdd G
\]
clear: $\mathcal{X}\subseteq Z$..~~~Problem: $\mathcal{X}=Z$?
\[
W(G)=\bigcap\mathcal{N}_GA,~~A\lhdd G.
\]
\item[(2)]
\[
\begin{array}{ccc}
\text{result: }&~~~~G/W(G)\text{ nilp }&\Rightarrow G\in\mathcal{X}\\
\text{problem:}&~~&\Leftarrow~~?
\end{array}
\]
\item[3)] Unterhaltung mit Barratt, Prof, Manchester:\\
Gilt
\[
G_1\times Z_\infty\cong G_2\times Z_\infty\Rightarrow G_1\cong G_2~~?
\]
\item[4)] Arbeit D. Robinson erschien Proc. Camb. PhSoc. 1964
\end{itemize}
\begin{flushright}
236/237
\end{flushright}
\begin{center}
31.1.65~~nach Rektorfest\\
Erweiterung der Theorie max. $\pi$-Gruppen.
\end{center}
Sei $\mathcal{Q}G$ die Menge der In-Gruppen (Ausschnitte) von $G$.\\
Sei $\mf{I}$ ein Ideal in $\mathcal{Q}$: $A\in \mathcal{Q},~B\in\mf{I}$\\
$\Rightarrow A\neg B\& B\neg A\in\mf{I}$ (gleichwertig: $\Rightarrow B\neg A\in \mf{I}$)\\
$[$ NB: $\mf{J}\mathcal{Q}\subseteq\mf{I}\Rightarrow \mathcal{Q}\mf{I}\subseteq\mf{I}$ $]$\\
Das Ideal habe die zusätzlichen Eigensch:
\begin{itemize}
\item[I.] $G_1\unlhd G_3$, $G_1\le G_2\unlhd G_3$, $G_2/G_1\in\mf{I}$, $G_3/G_2\in\mf{I}$ $\Rightarrow G_3/G_1\in\mf{I}$ ("`Integrabität"') (od "`Additivität"')
\item[II] $G_0\unrhd G_1$, $G_0\rhd G_2$, $G_1\cap G_2=G_3$, $\exists I\in\mf{I}$ mit $I\neg G_0/G_i=G_0/G_i~~~(i=1,2)$ $\Rightarrow G_0/G_3\in\mf{I}$.
\item[III] Ist $G_0\unrhd G_2$, $G_0\unrhd G_1\unrhd G_2$ und $G_0/G_1\in\mf{I}$, $I\neg G_1/G_2=\{G_2/G_2\}$, so exist $H\slash{G_2}\le\mf{I}:~HG_1=G_0$, $H\cap G_1=G_2$, und je zwei solche $H$'s sind konj in $G_0$.
\end{itemize}
Dann sind vermutlich je zwei Maximal Ausschnitte in $\mf{I}$ die dieselben Projektionen in eine $K_i$-Reihe von $G$ ergeben, konjugiert in $G$.
\begin{flushright}
237/238
\end{flushright}
\begin{center}Teilkonstit. primitiver $P$. - Gruppen\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $\mf{G}$ tra $\Omega$, $\mf{G}_\alpha$ simultan tra, auf $\beta^{G_\alpha}\not=\gamma^{G_\alpha}$ mit Längen $b\ge c$; ($|\Omega|=n$). $\mf{G}$ habe keinen Teilgrad $m$ mit $m\ge b$ und $m\big|bc$. 
\[
\Rightarrow \mf{K}:=\langle \mf{G}_\alpha,\mf{G}_\gamma\rangle\subseteq\mf{G}_{\alpha\gamma}\mf{G}_\beta;~~c\le|\mf{K}:\mf{G}_a|\big|(b, n)\text{ ;}
\]
wenn $c>1$, so $\mf{G}$ impri\\
Zusatz $1^\prime$ auf S. 239\\
Bew:
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,55)
\drawline(-23,0)(23,0)
\drawline(-23,10)(23,10)
\drawline(-23,35)(23,35)
\drawline(-23,45)(23,45)
\drawline(0,0)(17,10)(17,45)(0,34)(-17,45)(-17,10)(0,0)
\drawline(17,10)(-3.5,32)(-17,10)
\drawline(17,10)(4.857,35)
\drawline(4.065,36.63)(0,45)(-4.065,36.63)
\drawline(-4.857,35)(-17,10)
\drawline(-17,45)(-12,53)
\drawline(0,34)(0,28)
\dottedline{0.5}(-12,53)(0,34)
\dashline[30]{1}(0,28)(0,0)
\drawline(-20,0)(-20,45)
\put(-20,1){\vector(0,-1){1}}
\put(-20,9){\vector(0,1){1}}
\put(-20,11){\vector(0,-1){1}}
\put(-20,34){\vector(0,1){1}}
\put(-20,36){\vector(0,-1){1}}
\put(-20,44){\vector(0,1){1}}
\put(0,-4){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{G}_{\alpha\beta\gamma}$}}
\put(12,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle c$}}
\put(20,7){\makebox(0,0){$\scriptstyle \mf{G}_{\beta\gamma}$}}
\put(20,33){\makebox(0,0){$\scriptstyle m$}}
\put(17,48){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{G}_\gamma$}}
\put(12,39){\makebox(0,0){$\scriptstyle c$}}
\put(0,48){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{G}_\beta$}}
\put(-6,47.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle |bc$}}
\put(-12,56){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{H}\mf{G}_{\alpha\gamma}$}}
\put(-19,48){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{G}_\alpha$}}
\put(-10,39){\makebox(0,0){$\scriptstyle c$}}
\put(-3.5,33.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{H}$}}
\put(3,33){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{G}_{\alpha\gamma}$}}
\put(-10,28){\makebox(0,0){$\scriptstyle b$}}
\put(-18,27){\makebox(0,0){$\scriptstyle b$}}
\put(-16,7){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{G}_{\alpha\beta}$}}
\put(-12,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle c$}}
\put(-24,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle c$}}
\put(-24,22.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle b$}}
\put(-24,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle c$}}
\end{picture}
\end{center}
\mbox{}\\[1mm]\mbox{}
\begin{eqnarray*}
\mf{G}_{\alpha\beta}\cdot\mf{G}_{\alpha\gamma}&=&\mf{G}_\alpha\\
|\mf{G}_{\alpha\gamma}:\mf{G}_{\alpha\beta\gamma}|&=&b\\
|\mf{G}_\alpha:\mf{G}_{\alpha\beta\gamma}|&=&bc\\
bc=|\mf{G}_\gamma:\mf{G}_{\alpha\beta\gamma}|&\leqq&|\mf{G}_\gamma:\mf{G}_{\alpha\gamma}||\mf{G}_\gamma:\mf{G}_{\beta\gamma}|\\
&=&cm
\end{eqnarray*}
\[
m\ge b~~~m|bc
\]
\[
m=b
\]
Also steht hier: (Pfeil auf $\leqq$ oben) $=$
\[
\mf{G}_{\alpha\beta}\mf{G}_{\beta\gamma}=\mf{G}_\gamma
\]
\begin{eqnarray*}
\mf{G}_{\alpha\gamma}&\text{ vtb mit }&\mf{G}_{\alpha\beta},~\mf{G}_{\beta\gamma}\\
\mf{G}_{\alpha\gamma}&\text{ vtb mit }&\langle\mf{G}_{\alpha\beta},~\mf{G}_{\beta\gamma} \rangle=:\mf{H}
\end{eqnarray*}
also
\[
\mf{G}_\alpha,~\mf{G}_\gamma\le\mf{G}_{\alpha\gamma}\mf{H}\subseteqq\mf{G}_{\alpha\gamma}\mf{G}_\beta
\]
\[
c\leqq|\langle\mf{G}_\alpha,\mf{G}_\gamma\rangle:\mf{G}_\alpha|\text{ teilt }b;
\]
Wenn $c>1$ so $\mf{G}$ impri\\
Bew: 
\[
\mf{G}_\alpha\mf{G}_\gamma\subseteq\mf{K}\subseteq\mf{G}_\alpha\mf{G}_\beta
\]
Wde!
\begin{flushright}
238/239
\end{flushright}
\item[Zusatz $1^\prime$:] Wenn
\[
(\mf{K}:\mf{G}_\alpha)=b,
\]
so ist wegen $\mf{K}\le\mf{G}_\alpha\mf{G}_\beta$ sicher $\mf{K}=\mf{G}_\alpha\mf{G}_\beta$ also $\mf{G}_\alpha$ vertb $\mf{G}_\beta$.\\
Frage: Gehts ebenso für Mannings Satz über $2$-tra Konst von $\mf{G}_\alpha$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
239/240
\end{flushright}
\begin{center}
Frage von D\'{e}nes, J. Budapest 1965:
\end{center}
Gibt es eine Gruppe $G$, in der ein passendes Element $g^\prime\in G^\prime$ nicht ein Kommutator ist?
\begin{center}
Gruppen $\mf{G}$ vom Grad $p$.
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Zwei Untergr. vom Index $p$, die je eine Bahn gleicher Länge besitzen, sind konjugiert.\\
Denn von $\mf{G}_1$ aus haben sie dieselbe Invariante.
\item[(2)] $\mf{G}$ $3$-tra $\Rightarrow$ Klassenzahl $c_p=1$ (Ito)
\item[(3)] $a^2j_1=b^2j_2\Rightarrow j_1=j_2$ oder $a^2=b^2$\\
Bew: $a^2k(p-k)=b^2l(p-l)$~~~~oBdA $ak\ge bl; a,b>0$\\
$ak=\delta bl+xp$~~~~$\delta=\pm1$ $\frac{p}{4}>x\ge0~~~a^2,b^2\le\frac{p+1}{4}$
\begin{itemize}
\item[[ 1]] $\delta a-b-2\delta x=yp$
\item[[ 2]] $bly=x(a-x)$
\end{itemize}
\item[[ 1]] Zeigt: $y=0$
\item[[ 2]] Zeigt:
\[
\anmerk\begin{cases}
x=0\to ak=bl&a(p-k)=b(p-l)~~a=b\\
x=a\to ak=\delta bl+ap&a(p-k)=bl~~ak=b(p-l)~~a=b
\end{cases}
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}
240/241
\end{flushright}
\begin{center}
Gruppen vom Grad $p$~~~~Forts. v. 83
\end{center}
Satz: Ist $j_1j_2=j_3j_4$, so ist $j_1=j_3$ oder $j_1=j_4$.\\
Bew: Sei
\[
j_1=\frac{k(p-k)}{p-1},~~j_2\cdots l,~j_3\cdots m,~ j_4:\cdots m
\]
oBdA sei $kl\ge mn$; $k,l,m,n<\frac{p}{2}$
\begin{gather}
k(p-k)l(p-l)=m(p-m)n(p-n)\notag\\
kl=\delta mn+xp~~~~\delta=\pm1\tag*{$\circledast$}
\end{gather}
daher
\[
0\le kl-mn\le xp\le kl+mn<2\cdot\frac{p}{2}\frac{p}{2}~~~~~0\le x<\frac{p}{2}
\]
gibt eingesetzt in $kl(p^2-p(k+l)+kl)=\cdots$
\[
\begin{cases}
m+n+\delta(2x-k-l)=py&\text{(I)}~~~~~\surd\\
mn(1-y)=(k-x)(l-x)&\text{(II)}~~~~~~~\surd
\end{cases}
\]
(I) zeigt, da $x\ge 0$,  wegen $kl\ge mn$:
\[
-p<py<2p,~~y=\begin{cases} 1\\0\end{cases}~~~~~\surd
\]
Fall \underline{$y=1$:} $(k-x)(l-x)=0$ etwa $x=k$ $\circledast$ gibt $k(p-l)=-\delta mn$, also $\delta=-1$.\\
$mn=k\cdot(p-l)~\&~m+n=k+(p-l)$ (aus I) geben $\{m,n\}=\{k,p-l\}$, etwa $m=p-l>\frac{p}{2}$ W!~~~$\surd$\\
Also ist\\
\underline{$y=0$:}
\[
\left.\begin{array}{cccc}
\text{I}&m+n&=&\delta(k+l-2x)\\
\text{II}&mn&=&\delta(k-x)\cdot\delta(l-x)
\end{array}\right\}\{m,n\}=\{\delta(k-x),\delta(l-x)\}~~~~\surd
\]
etwa $m=\delta(k-x)$, $n=\delta(l-x)$; $x=k-\delta m= [=l-\delta_n]$
\begin{gather}
kl=\delta mn+kp-\delta mp= k(p-l)=\delta m(p-n)\text{ also }\delta>0,~\delta=+1~~~~\surd\tag*{$\circledast$}\\
kl=+(k-x)(l-x)+xp\text{ gibt }0=x(p-k-l+x)~~~~\surd\tag*{$\circledast$}
\end{gather}
Ist $x=0$, so $m=k$, $j_1=j_3$. Ist $(~~)=0$, so $m=k-x=p-l>\frac{p}{2}$  W!
\begin{flushright}
241/242
\end{flushright}
\begin{center}
Gruppen vom Grad $p$
\end{center}
Aus der Vorauss.
\[
k(p-k)l(p-l)=m(p-m)a^2(p-1),~~a\not=1,a>0,~k,l,m<\frac{p}{2}
\]
wenn das aus $\kappa\lambda=a\mu$ entstand, gilt\\
$q|a\Rightarrow q|k$, $q|l$ bei passend. Normg.\\[4mm]
folgt:
\begin{itemize}
\item[(1)] $kl=\delta ma+xp$
\item[($1^\prime$)] $a^2m^2<pj_1j_2$
\item[($1^\prime$)] $am<\frac{1}{4}p^{\frac{3}{2}}$
\item[($1^{\prime\prime}$)] $|\lambda|<\frac{1}{4}(p+\sqrt{p})$
\item[(2)] $\delta(2x-k-l)+a(m+1)=yp$
\item[(3)] $(a-y)am=(k-x)(l-x)$
\item[($3^\prime$)] s.u. Frage: verfeinerbar in $Q(\sqrt[p]{1})$? Frage: $ac\mid$?
\item[(4)] Für $j=\frac{k(p-k)}{p-1}\not=1$ ist $\frac{k}{2}<j<k$; $\sqrt{p}-1<j\le\frac{p+1}{4}$\\
$y,a,m$ bestimmen $k-x, l-x$\\
Unter der Voraussetzung $k<m<l$, also $j_1<j_3<j_2$, folgt:
\item[(5)] $\frac{kl}{4m}<a^2<\frac{2kl}{m}$; stets $x\le k,l~~|y|\le|c|$
\item[($5^\prime$)] $j_1<a^2<j_2$
\item[(6)] $x<l$~~~~~~(1)
\item[($3^\prime$)] $x(p+x-k-l)=am(a-y-\delta)$
\item[(7)] $y<a$~~~~~~(2)
\item[(8)] $x<k$~~~~~~(1)(5)
\item[(9)] $x>0$~~~~~~(1)(5)
\item[(10)] $(k-1)(l-1)+2x+\delta a-1=p(x+\delta y)$
\item[(11)] $x+\delta y\ge 0$~~~~~~(10)
\begin{flushright}
242/243
\end{flushright}
\item[26.9.65~~(12)] Ist $j_1j_2=a^2 j_3$ wegen $k\lambda=a\mu$, so ist $a|j_1$, $a|j_2$\\
Bew: Sei $q^\alpha|a$, wähle $\mf{q}|q$, $\mf{q}\nmid \kappa$.\\
Dann $\mf{q}^\alpha|\kappa\lambda$~~~~$\mf{q}^\alpha|\lambda$~~~~ $\mf{q}^\alpha|\lambda\overline{\lambda}=j_2$~~~~$q^\alpha|j_2$.\\
Anderer, einfacher Bew. 1. unten auf dieser Seite $\ast$\\[4mm]
allg Zahlentheorie:
\item[(13)] Sind $a,b,c,d$ paarweise teilerfremd, so ist
\[
1=a_1bcd+ab_1cd+abc_1d+abcd_1
\]
mit
\[
|a_1|<|a|,~|b_1|<b~~~\text{usw.}
\]
Bew:
\[
\frac{1}{abcd}=\frac{x_1}{a}+\frac{x_2}{b}+\frac{x_3}{c}+\frac{x_4}{d}
\]
reduziere $x_1$ mod $a$, \anmerk~ $y_1$ und $0\le y_1~ca$ \anmerk
\[
n+\frac{1}{abcd}=\frac{y_1}{a}+\cdots+\frac{y_n}{d}~~~~n\in\mathbb{Z},~1\le n\le~ \anmerk
\]
ändert zwei oder $3$ ein $y_2$ ab $\to y_2-1$.\\[4mm]
Aus (12) folgt:
\item[$\displaystyle{{}^?_{1978}}$~~(14)]
\[
\kappa\lambda=p^\alpha\mu\text{ kommt nicht vor}
\]
\[
a=p^\alpha\Rightarrow \begin{cases}a|k~~a|l\\a|y\text{ oder }|y|<a~y=0\end{cases}
\]
$\ast$ Anderer Bew (12):
\[
\kappa\lambda=a\mu\Rightarrow\lambda\overline{\mu}=\frac{j_2}{a}\cdot\overline{\kappa}\Rightarrow\overline{\kappa}\mu=\frac{\kappa\overline{\kappa}\lambda}{a}=\frac{j_1}{a}\lambda
\]
\[
\ast~~\kappa\lambda = a\mu\Rightarrow \lambda\overline{\mu}=\frac{a\mu\overline{\mu}}{\kappa}=\frac{j_1j_2}{a\kappa}=\frac{j_2}{a}\cdot\overline{\kappa}
\]
\begin{flushright}
243/244
\end{flushright}
\item[15.] Gilt $j_1j_2=a^2j_3$ wegen $\kappa\lambda=a\mu$, so ist $j_1j_2j_3=r^2$ mit $j_\alpha\big|r\big|j_\alpha j_\beta$\\
$j_1=a_2a_3,\cdots,$~~~$r=a_1a_2a_3$
\item[16] Sei 
\[
K_1K_2=a_3 K_3^\ast+x_3 F \text{ und zykl. }
\]
dann ist
\begin{gather*}
K_1K_1^\ast=a_2a_3 I+c_1F\text{ und zykl.}\\
k_1^2=a_2a_3+c_1p\text{ und zykl.}\\
k_1=a_2a_3+c_1\text{ und zykl.}\\
j_1=a_2a_3\\
k_1(a_1+x_1)=\text{ zykl }=t=\text{ const}_R\\
a_1c_1+k_1x_1=\text{ const }\\
k_1k_2=a_3 k_3+x_3p 
\end{gather*}
wenn $a_1\le a_2\le a_3$, so $a_2a_3<\frac{p}{4}$, daher $a_1,a_2<\frac{\sqrt{p}}{2}$
\item[17] Jeder Primteiler von $a_1a_2a_3$ ist $2^r$-ter Rest mod $p$ wenn $2^r\big| p-1$.\\
denn kein $\mf{q}|a_1a_2a_3$ ist $=\overline{\mf{q}}$, so ist jeder Konjugierter $\mf{q}_i$ reell, $\mf{q}_i\big|\kappa\iff \mf{q}_i\big|\overline{\kappa}$, $\forall q_i\big|\kappa$; $q\big|\kappa$ Wid!
\[
0\le x_3\le\begin{cases}k_1\\k_2 \end{cases}
\]
\[
k_1(p-k_1)=a_2a_3(p-1)
\]
Ersetzg von $k$ durch $p-k_2$ oder zyklische Vertauschung ergibt entweder $\{a_1,a_2,a_3\}\to\{a_1a_2a_3\}$ oder $\{a_1,a_2,a_3\}\to\{-a_1,-a_2,-a_3\}$
\begin{flushright}
244/245
\end{flushright}
\item[18.] 
\[
kl-am=xp\Rightarrow |a|<\begin{cases}k^{\frac{2}{3}}\\e^{\frac{2}{3}}  \end{cases}\text{ oder }\underset{\substack{||~~~~~\\x()()()}}{\prod=0}
\]
also $x\approx\frac{kl}{p}$, $x_3\approx\frac{k_1k_2}{p}$
\begin{gather*}
k(p-l)+am=(k-x)p\\
(p-k)l+am=(l-x)p\\
(p-k)(p-l)-am=(p-k-l+x)p\\
x(k-x)(p-l)(p-k-l+x)\equiv 0\mod a^3m^2
\end{gather*}
wenn $\prod:=\downarrow\not=0$, so
\[
|a^3m^2|\le k^2l(p-l)\text{ wenn }k<l
\]
da $m\to p-m$ nichts an $|a|$ ändert, folgt
\[
|a^3|\big(\frac{p+1}{2}\big)^2\le k^2\frac{p-1}{2}\frac{p+1}{2}
\]
\[
\begin{array}{cccc}
|a^3|\le k^2&|a|&\le&k^{\frac{2}{3}},\text{ also auch}\\
&|a|&\le&l^{\frac{2}{3}}
\end{array}
\]
\[
|a_1|\le|a_2|\le|a_3|\Rightarrow|a_1|\ge p^\frac{1}{4},~|a_2|\le\frac{1}{2}\sqrt{p},~|a_3|\le\big(\frac{p}{2}\big)^{\frac{2}{3}}
\]
\begin{gather*}
|a_1a_2a_3|^2=j_1j_2j_3<\frac{p^3}{4^3}\\
|a_1a_2a_3|<\frac{p^{\frac{3}{2}}}{8}
\end{gather*}
\item[19.] Der Automorphismus $g\to g^{KT}$ der Ordnung $2$ von $\langle\mf{G},\mf{G}^{KT}\rangle$ läßt ein Element $i$ aus einem $2$-Sylow - Zentrum fest. $i$ untersuchen ?!
\end{itemize}
\begin{flushright}
245/246
\end{flushright}
\begin{center}
Perm Gr vom Grad $p^2$~~~~~~Forts. von 235
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Ist $l(\mf{x})=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2$, so ist für $0\le i\le q=p-1$
\[
l^i(\mf{x})\wedge(x_1^qx_2^q(\frac{\gamma_1}{x_1}+\frac{\gamma_2}{x_2}))=-il^{i-1}(\mf{x})\cdot l(\gamma_1,\gamma_2)
\]
Ähnlich zu Differentiation
\item[(2)]
\begin{gather*}
f:=\sum_\rho{}^\prime l_\rho(\mf{x})^q,~~h:=f\wedge(x_1^qx_2^q(\frac{\gamma_1}{x_1}+\frac{\gamma_2}{x_2}))\Rightarrow\\
h^2\big|_{x_1^{q-2}x_2^{q}}=2\cdot\sum_{\rho,\sigma}\underline{\beta_\rho\beta_\sigma l_\rho(\mf{c})\cdot l_\gamma(\mf{c})}\cdot\Delta_{\rho\sigma}^{q-2}\\
\Delta_{\rho\sigma}=\begin{vmatrix}\alpha_\rho&\beta_\rho\\\alpha_\sigma&\beta_\sigma \end{vmatrix}\\
l_\rho=\alpha_\rho x_1+\beta_\rho x_2~~~~\mf{c}:=(\gamma_1\gamma_2)
\end{gather*}
\item[(3)] Wenn $f(\mf{x})\in\text{ inv }G_0$, dann
\[
\sum_\mf{t} f(\mf{x}-\mf{t})f(\mf{y}-\mf{t})f(\mf{z}-\mf{t})=:{}^3f~~\in\text{ inv }G.
\]
Das sollte man auf $f=\sum^\prime l_\rho^2$ anwend. Es wird ${}^3 f\not=0$
\item[(4)]
\[
\sum_\mf{t} t_1^\alpha t_2^\beta=\begin{cases}1&\alpha\text{ und }\beta\text{ pos-Vielfache von }q\\0&\text{sonst} \end{cases}
\]
\item[(5)] Ist
\[
f=\sum_{\rho=1}^\mf{x}l_\rho(\mf{x})^q,\text{ so ist }r(r-1)\ge p-2; G\text{ nichtlinear}
\]
Bew. Schätze Anzahl der Pkte ab, die von zweien sichtbar.
\end{itemize}
\begin{flushright}
246/247
\end{flushright}
\begin{center}
Perm Gr vom Grad $p:$ Burnside-Beweis.
\end{center}
B: $\sum tg(t)=0$ wenn $\mf{G}$ $1$-tra
\begin{itemize}
\item[(1)] $\exists$ invariante 
\[
f(x)=\sum_0^n a_\nu x^\nu~~~0<n<p-1, a_n\not=0
\]
wenn $\mf{G}\not=2$- tra 
\item[(2)]
\begin{eqnarray*}
\sum t\big| f(x^{g^{-1}}-t)&=&f(x-t^g)=a_n(x-t^g)^n+a_{n-1}(x-t^g)^{n-1}+\cdots\\
&=&a_n(-t)^n+\anmerk(t)\\
c&=&\sum t f(x-g(t))\\
&=&x^n\cdot\therefore+x^{n-1}[a_{n-1}\sum_t\overline{m}a_nn\sum tg(t)]
\end{eqnarray*}
$[$Anmerkung mit Verweispfeil auf das erste Gleichheitszeichen in (2):\\
Koeff von $x^{n-1}t^n$ ist links $0$, rechts $=$ Koeff $t^n$ in $g(t)+na_n$\\
also Grad $g<n$ $]$ \\
also
\[
\sum_t tg(t)=0~~~x\bot g,\forall g
\]
\end{itemize}
A: Lemma: Gr $\mf{G}=p$, $\sum tg(t)=0\forall g\in\mf{G}\iff g=ax+b,\forall g$\\
Bew:
\begin{itemize}
\item[(3)] Aus
\[
\mathcal{F}(x)\bot g(x),~~\forall g\in G
\]
folgt
\[
\begin{cases}
\mathcal{F}(h(x))\bot g(x)\\
\mathcal{F}^\prime(x)\bot g(x)\\
k(x)\bot g(x)\\
\forall \text{ Gr }k\le \text{ Gr }\mathcal{F}
\end{cases}
\]
\item[(3)]
\[
h(x)\bot g(x)~~\forall g,h\in\mf{G}
\]
\item[(4)]
\[
m=\max\text{Grad }g\Rightarrow 2m<p-1
\]
\item[(5)]
\begin{equation*}
1,x,x^2,\cdots,x^{\frac{p-1}{2}}\bot g(x)\forall g
\]
\item[(6)]
\begin{gather*}
h^\kappa\bot g~~\forall g,h~~~~~\kappa=0,1,\cdots,\frac{p-1}{2}\\
\text{red Gr}\,h^\kappa<p-1-m~~~~0<\kappa\le\frac{p-1}{2}
\end{gather*}
also
\[
\kappa m<p-1-m\text{ wenn }\kappa m\le p-1,~0<\kappa\le\frac{p-1}{2}
\]
\item[(7)] Wäre $m\ge2$, so $\exists \kappa: 0\le \kappa\le\frac{p-1}{2}$~~~$p-1=\kappa m+r$~~~$\delta\le r\le m$ $\kappa m\le p-1$  $\kappa m<p-1-m$~~~~$r=p-1-\kappa m>m$ Wid.\\
folgt B
\end{itemize}
\begin{flushright}
247/248
\end{flushright}
\begin{center}
$\bigcap H^x H^y$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Für $H\le G$ defin.
\[
{}_GH=\bigcap\limits_{\substack{x,y\in G\\H^x\not=H^y}}H^xH^y
\]
\item[(2)] $({}_GH)^g={}_GH,~~\forall g\in G$
\item[(3)]
${}_GH\le G$. $u,v\in{}_GH~~u=h_1^xh_2^y$, $v=h_3^yh_4^x$ $uv=h_1^x(h_2h_3)^yh_4^x$ konj zu $(h_4h_1)^x(h_2h_3)^v$
\item[(4)] $x\in{}_GH\Rightarrow H^x=H$ sonst $x\in HH^x$, Wid.
\item[(6)] $x\in{}_GH\Rightarrow(H^y)^x=H^y$~~~(4)
\item[(6)] $x\in{}_GH\Rightarrow x\in H$ Bew: $x\in H^x$~~~~$x=x^{-1}hx$~~~ $x=h$
\item[(7)]
\[
\bigcap\limits_{H^x\not=H^y}H^xH^y=\bigcap\limits_{x\in G}H^x~~~~~(6)
\]
\end{itemize}
\begin{center}
Idee zu Grad $p$:
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(a)] Die Fktion zu $KT$ aufstellen, Involutionen suchen, die sie fest lassen.
\item[(b)] Invarianten $\mathcal{F}(x_1x_2x_3)$ suchen. z.B. $\sum\limits_tf(x_1-t)f(x_2-t)f(x_3-t)$
\item[(c)] Für nicht $3$-tra Gruppen: Ist $f(xy)$ inv bei $\mf{G}_0$ irgendeinem $\mf{H}\,\underset{p}{<}\,\mf{G}$, so ist zu $F(xy):=\sum f(x-t;y-t)\cdot\varphi(x)$ stets Grad $f(x^g,y^g)\le\text{ Grad }f(xy)$\\
Wenn $\exists f$ mit Gesamtgrad $<p-2$, so $\mf{G}$ linear (das  muß Bew für den Fall $|\mathcal{N}\mf{P}:\mf{P}|=p-1$ geben.)
\item[(d)]$x\to\varphi(x)$ beschreibt eine Permutation von $F_p$ genau wenn 
\[
\sum_{t=0}^{p-1}\varphi(t)^\nu=0
\]
für $\nu=0,1,\cdots,p-2$ und $\varphi(x)\not=\text{ const}$.\\
Bew: sonst Vielfachheit $x_\lambda$ von $\chi$ im Wertevorrat von $\varphi$:\\
$\varphi\not=0$ gibt $\sum\lambda^\nu x_\nu=0$ für $r$ verschiedene $\lambda^\prime s$, $r<p-1$ $v_\nu\equiv0$ Wid. 
\end{itemize}
\begin{flushright}
248/249
\end{flushright}
\begin{center}
$\omega$-Untergruppen
\end{center}
Aufgabe: Untersuche die $\omega$-Kerne von $G$, das sind die Untergruppen von $G$, die zu jeder $\omega$-Untergruppe von $G$ eine konjugierte enthalten.\\[6mm]
$[$Eingelegtes Skizzenblatt:$]$\\
XIII zu S. 250\\
Beh: $A\text{ v }B^x$ f alle $B^x\le B^{\cdot\cdot G}$ $\Rightarrow A^{\cdot\cdot G}\cap B^{\cdot\cdot G}\le AB$\\ 
falls $A,B$ Gegenbeisp  mit maximalem $|A|+|B|$; $(AB)_G=1$
\begin{center}
%\psfrag{1}{$\scriptstyle G$}
%\psfrag{2}{$\scriptstyle K$}
%\psfrag{3}{$\!\!\!\!\scriptstyle \mathcal{N}B^{\cdot\cdot G}$}
%\psfrag{4}{$\scriptstyle H$}
%\psfrag{5}{$\!\!\!\!\scriptstyle AB^{\cdot\cdot G}$}
%\psfrag{6}{$\!\!\!\!\scriptstyle B^{\cdot\cdot G}=G$}
%\psfrag{7}{$\!\!\!\scriptstyle AB^G$}
%\psfrag{8}{$\!\!\!\!\scriptstyle G=A^{\cdot\cdot G}B$}
%\psfrag{9}{$\!\!\!\!\scriptscriptstyle A^{\cdot G}B\cap AB^{\cdot G}$}
%\psfrag{10}{$\scriptstyle A^{\cdot\cdot G}B$}
%\psfrag{11}{$\scriptstyle A^{\cdot\cdot G}$}
%\psfrag{12}{$\scriptstyle A$}
%\psfrag{13}{$\!\!\!\!\!\!\scriptstyle A\cap B^{\cdot\cdot G}$}
%\psfrag{14}{$\scriptstyle A\cap B$}
%\psfrag{15}{$\hspace*{-5mm}\scriptstyle B\cap A^{\cdot\cdot G}\lhdd G$}
%\psfrag{16}{$\scriptstyle B$}
%\psfrag{17}{$\!\!\!\scriptstyle A^G\cap B^{\cdot G}$}
%\psfrag{18}{$\!\!\!\scriptstyle AB$}
%\psfrag{19}{$\hspace*{-6mm}\left.\begin{array}{c}\\[5mm]\end{array}\right\}\scriptstyle\text{ Ord }p$}
%\epsfig{file=249d13,width=6cm}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,100)
\drawline(0,0)(14,19)(0,38)(-14,19)(0,0)
\drawline(3,28)(25,62)(3,96)(-19,62)(3,28)
\drawline(5.5,7.5)(-8,27)
\drawline(-6.3,8.6)(8.2,26.7)
\drawline(-6.3,8.6)(3,28)(5.5,7.5)
\drawline(3,28)(-0.379,15.99)
\drawline(-14,19)(-8,27)(-6,41.9)(-14,19)
\drawline(14,19)(11,40.2)(8.2,26.7)(14,19)
\drawline(-6,41.9)(16.9,74.4)
\drawline(11,40.2)(-11.2,74)
\drawline(0,38)(2.2,53.5)
\drawline(-12.1,51.4)(10,85.2)
\drawline(-12.1,51.4)(-14,19)
\drawline(0.1,17.8)(-11.5,34.5)
\drawline(-14,19)(-11.5,34.5)(-6,41.9)
\drawline(-14.5,18.5)(-0.5,-0.5)
\drawline(0.5,-0.5)(14.5,18.5)
\dottedline[$\scriptstyle\cdot$]{1}(0,38)(-1.2,19.6)
\dottedline[$\scriptstyle\cdot$]{1}(3,28)(3,42)
\drawline(11,40.2)(15,35)(13,27)
\dottedline[$\scriptstyle\cdot$]{1}(-10,48.2)(12,82)
\dottedline[$\scriptstyle\cdot$]{1}(-15.8,57)(6.5,90)
\dottedline[$\scriptstyle\cdot$]{1}(-2,88)(20.1,54.3)
\dottedline[$\scriptstyle\cdot$]{1}(-10,48.2)(-12.7,40)
%%%
\thicklines
\drawline(-14,19)(-8,27)(-6,41.9)(2.2,53.5)(11,40.2)(3,28)(-6.3,8.6)(-0.379,15.99)(3,28)(5.5,7.5)(-8,27)
\drawline(-14,19)(-6,41.9)
\drawline(2.2,53.5)(0,38)
\drawline(11,40.2)(14,19)(8.2,26.7)(11,40.2)
\drawline(25,62)(16.9,74.4)
\drawline(-50,42)(-50,52)
%%%%%%%%%%%%%Beschriftung
\put(-42,47){\makebox(0,0){$\scriptstyle\text{ normal}$}}
\put(4,-1){\makebox(0,0){$\scriptstyle A\cap B$}}
\put(18,7){\makebox(0,0){$\scriptstyle B\cap A^{\cdot\cdot G}~(\lhdd G)$}}
\put(17,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(20,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle (G=A^{\cdot\cdot G}B)$}}
\put(26,54){\makebox(0,0){$\scriptstyle (AB^G)$}}
\put(33,62){\makebox(0,0){$\scriptstyle B^{\cdot\cdot G}~(=G)$}}
\put(24,74.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle AB^{\cdot\cdot G}$}}
\put(17,86){\makebox(0,0){$\scriptstyle \mathcal{N}B^{\cdot\cdot G}$}}
\put(9,91){\makebox(0,0){$\scriptstyle H$}}
\put(3,98){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(-5,88){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(-18,74){\makebox(0,0){$\scriptstyle A^{\cdot\cdot G}B$}}
\put(-25,62){\makebox(0,0){$\scriptstyle A^{\cdot\cdot G}$}}
\put(-18,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(-13,8.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle A\cap B^{\cdot\cdot G}$}}
\put(8,28){\makebox(0,0){$\scriptstyle A^{\cdot\cdot G}\cap B^{\cdot\cdot G}$}}
\put(3,38){\makebox(0,0){$\scriptstyle AB$}}
\put(6,48){\makebox(0,0){$\left.\begin{array}{c}\\[6mm]\end{array}\right\}\scriptstyle\text{ Ord }p$}}
\put(6.4,60){\makebox(0,0){$\scriptscriptstyle A^{\cdot\cdot G}B\cap AB^{\cdot\cdot G}$}}
%%%%%%%%
\put(12,67){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
\put(10,85){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
\put(-2,88){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
\put(-2,60.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
\put(-12.7,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
%\put(){\makebox(0,0){$\scriptstyle $}}
\end{picture}
\mbox{}\\[5mm]\mbox{}$[$rote Beschriftungen sind eingeklammert.$]$
\end{center}
$(B\lhd A^GB)$\\
$A^GB\le H<G\Rightarrow B\lhdd H\& B\lhd A^{\cdot\cdot G}B\cap B^{\cdot\cdot G}$\\
$A^{\cdot\cdot G}B\le H<G\Rightarrow B\lhdd H$\\
$AB\le H<G\Rightarrow~ \overset{A}{\underset{B}{\text{oder}}}  \lhdd H$~~~~$N_{\text{min}}\not= N^\prime\Rightarrow N\le A^{\cdot\cdot G}\cap B^{\cdot\cdot G}$\\
$A,B\unlhd A^{\cdot\cdot G}B\cap A B^{\cdot\cdot G}$\\
$A\,{\unlhd\unlhd}\,\mathcal{N}B^{\cdot\cdot G}$ wenn die $\not=G$, $B\lhdd K$ wenn $\underset{B}{A}^G\le K< G$\\
$[$ Nur schwach lesbare Textteile werden als ausradiert interpretiert.$]$
\begin{flushright}
249/250
\end{flushright}
\begin{center}
$\lhdd$
\end{center}
Vermutung: $G$ endl, (oder $\in\max s$gp); $A,B\le G$,
\[
\forall x,y\in G (\text{ od }\left\{\begin{array}{c}\forall y \in B^{\cdot\cdot G}\\
\forall x \in A^{\cdot\cdot G} \end{array}\right\}~~A^x\text{ v }B^y) \Rightarrow A^{\cdot\cdot G}\cap B^{\cdot\cdot G}\le AB.
\]
Das Gegenbeispiel mit kleinstem $|G:A|+|G:B|$ hat folgende Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item[(1)] $A,B\unlhd AB$; $A^{\cdot\cdot G}\cdot B^{\cdot\cdot G}=G$, alle $A^{x\cdot\cdot G}\cdot B^{y\cdot\cdot G}$ konj in $G$
\item[(2)] $A\cap B^{\cdot\cdot G}\& A^{\cdot\cdot G}\cap B\lhdd G$
\item[(3)] $A^{\cdot\cdot G}\cap B^{\cdot\cdot G}\slash A^{\cdot\cdot G}\cap B^{\cdot\cdot G}\cap AB=p$ Primzahl
\item[(4)] $M\cap B\lhdd G$ wenn $A\le M\lhd G$.
\item[(5)] $N_\text{min}\lhd G\Rightarrow|N:N\cap AB|=p$, $|N|=p^\nu$.\\
Bew mit
\item[(6)] $d_GC=2$, $C\le D<G \Rightarrow D\cdot C^G<G$\\
insb. anwenden auf $1$-köpf. perfektes $C$; $D=A$ od $B$.
\item[(7)] $AB\le H<G\Rightarrow A\lhdd H$ oder $B\lhdd H$\\
Bew: sonst $A^{\cdot\cdot H}>A$ $B^{\cdot\cdot H}>B$. 
\[
\text{ Ind: }\begin{cases}
(A)^{\cdot\cdot G}\cap B^{\cdot\cdot G}\le A^{\cdot\cdot H} B\\
A^{\cdot\cdot G}\cap (B)^{\cdot\cdot G}\le AB^{\cdot\cdot H}\\
A^{\cdot\cdot H}\cap B^{\cdot\cdot H}\le AB\Rightarrow A^{\cdot\cdot H}B\cap AB^{\cdot\cdot H}\le AB
\end{cases}
\]
das gibt
\[
A^{\cdot\cdot G}\cap B^{\cdot\cdot G}\le AB
\]
\begin{flushright}
250/251
\end{flushright}
\begin{center}
noch $\lhdd$
\end{center}
\item[8.] $A^x\le A^{\cdot\cdot G}$, $B^y\le B^{\cdot\cdot G}\Rightarrow A^x\le\mathcal{N}B^y$, $B^y\le\mathcal{N} A^x$
\item[Satz: 9] $AB\not=G$, $A^x\text{ v }B^y$ $\forall x,y\Rightarrow A^G B<G$ oder $AB^G<G$.
\item[Folge: 10]
\[
A^x\text{ v }B^y\Rightarrow\begin{cases}A^{AB}\cap B^{AB}\,{\unlhd\unlhd}\, G&\text{ da }\lhdd A^GB~~ \&~~\le A^G\lhd G\\
A^{B^G}\cap B^{A^G}\,{\unlhd\unlhd}\, G&\text{ da }B^{A^G}\le\mathcal{N}A^{B^G} \end{cases}
\]
trivial auch $A^{B^G}\cap B^{G}\lhdd G$  $[$Zusatz: $A^{AB}=A^B$, $B^{AB}=B^A$ $]$
\item[Satz 11:] $AB\not=G$,
\item[genauer 12]
\[
A^x\text{ v }B^y~\forall\,xy\Rightarrow\begin{cases}A\cdot B^{A^G}\not=G~~\&\\ BA^{B^G}\not=G \end{cases}
\]
Note: 11 $\Rightarrow$ 9\\
Bew: Wähle $\overline{B}$ max.
\[
\overline{B}=\langle B,B^{x_1},\cdots\rangle~,A\overline{B}\not=G.
\]
Dann $A\le\mathcal{N}\,\overline{B}$, aber auch $A\le\mathcal{N}\,\overline{B}^t$, $\forall t\in G$: sonst
\[
\exists a\in A: B^\ast:=\langle \overline{B}^t,\overline{B}^{ta}\rangle>\overline{B}^t
\]
\[
AB^\ast=A\overline{B}^t\not=G
\]
nun $A\cdot B^{\ast t^{-1}}\not= G,~~\overline{B}<B^{\ast t^{-1}}$.\\
Also $A^x\le\mathcal{N}\,\overline{B}$~~~$A^G\le\mathcal{N}\,\overline{B}$
\[
A\cdot B^{A^G}\le A\overline{B}^{A^G}=A\overline{B}\not=G.
\]
\anmerk, nochmals auf $A$ angewandt (oder gleich $\overline{A}$, $\overline{B}$ maximal) bei festgehaltenem $\overline{B}$:
\item[Satz 12.]
\[
\boxed{  A^x\text{ v }B^y~~\forall x,y\in G,~~AB\not=G\Rightarrow A^{B^G}\cdot B^{A^G}\not=G,~ A^{B^G}\cap B^{A^G}\,{\unlhd\unlhd}\, G }\,(\leftarrow 10)
\]
Frage: $A^{\cdot\cdot G}\cap B^{\cdot\cdot G}\le A^{B^G}\cap B^{A^G}$?\\
Vermutlich genügt $x\in A^{B^{\cdot\cdot G}}$, $y\in B^{A^{\cdot\cdot G}}\Rightarrow A^y\text{ v }B^x$ 
\begin{flushright}
251/252
\end{flushright}
\item[$9^\prime$:] $A^x\text{ v }B^y$, $AB\not= G\Rightarrow$ entweder $A^G B^{A^G}\not=G$ oder $B^GA^{B^G}\not=G$
\item[Satz 13:]
\begin{itemize}
\item[a)] Ist $N^\prime<N_{\min}\unlhd G$, $A<G$, $A\cap N\not=1$, so ist $AN<G$
\item[allg: b)]Ist $N_{\min}\unlhd G$, $A<G$, $A\cap N\ge$ subnorm Ugr $\not=1$ von $N$, so ist $AN<G$.
\end{itemize}
\item[Frage 14:] 
\begin{itemize}
\item[a)] Was folgt aus $A^x\le\mathcal{N}B\forall x\in G$?
\item[b)] Was folgt aus $A^x\le\mathcal{N}B~\&~B\le \mathcal{N} A^x~~\forall x\in G$?
\end{itemize}
\item[15.] Def: für $A,B\le G$ setze $A^{\cdot\cdot B}=A^{\cdot\cdot\langle A,B\rangle}$. Dann gilt $A^{\cdot\cdot B}$ ist monoton $\nearrow$ in $A,B$.
\[
\langle A_1,A_2\rangle^{\cdot\cdot B}\geqq\langle A_1^{\cdot\cdot B},A_2^{\cdot\cdot B}\rangle
\]
\item[16.] Frage: $A^x\text{ v }B^y\Rightarrow A^{\cdot\cdot G}\cap B^{\cdot\cdot G}\cap AB \lhdd G$?
\item[16.] Satz: (Enthält Kegel und meine)~~(wegen $A^{B^{A^{\cdot^{\cdot^{\cdot^G}}}}}\le AB$)
\[
A^x\text{ v }B^y\Rightarrow\begin{cases}A^{B^{A^{\cdot^{\cdot^{B^G}}}}}=A^B\text{ wenn l.S.  genügend lang}\\
A^B\cap B^A\lhdd G \end{cases}
\]
Bew: Wenn $AB=G$, so l.S. $\leqq A^{\langle AB\rangle}=A^B$, und $\ge A^{B^A}$\\
Wenn $AB<G$, so etwa $A^GB=:H<G$~~~(11)
\[
\text{(l.S.)}_H=A^{B\cdots B^H}\le A^{B\cdots B^G},~~~~\ge A^{B\cdots B^{A^G}}=\text{(l.S.)}_G
\]
Ind: $\text{(l.S.)}_H=A^B$\\
NB: Klar: $A^{B^{\cdot^{\cdot^G}}}\cap B^{A^{\cdot^{\cdot^G}}}\ge D^{A^{\cdot^{\cdot^G}}}$, $D=A\cap B$, also $D^{\cdot\cdot G}\le A^D$, $D^{\cdot\cdot G}=D^{\cdot\cdot B}$\\
FRAGE: (ja) Ist für beliebige $A,B$ in $G$ stets $A^{B^{\cdot\cdot G}}\cap B^{A^{\cdot\cdot G}}\lhdd G$?
\end{itemize}
\begin{flushright}
252/253\\
29.11.65
\end{flushright}
\begin{center}
Vertauschbarkeit \& Subnormalität $\lhdd$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)]
\[
(A,B,G):= \begin{array}{c}\left.\begin{array}{c}\lim A^{B^{A^{^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{B^G}}}}}}}\end{array}\right\}n\to\infty\\
\mbox{}\end{array}=\cdots~(n=N)
\begin{picture}(0,0)\put(-100,20){$\scriptstyle\leftarrow(\text{e.g. oder }A$}\end{picture}
\]
\hspace*{40mm}$\overset{\nwarrow}{\text{Diese Folge fällt monoton}}$\\[3mm]
($G$ endlich; klappt auch in $G$ mit Minbedgg)
\item[(2)] $(A,B,G)=(A^{\langle A,B\rangle},B,G)$
\item[\begin{picture}(0,0)\put(-30,-5){3a,b}\put(-30,-15){p. 254}\end{picture}(3)] $\overline{A}=(ABG)$, $\overline{B}=(BAG)$ sind die umfassenden Untergruppen von $G$ mit $\overline{A}=A^{\overline{B}}$, $\overline{B}=B^{\overline{A}}$\\
Frage: auch für "`$\le$"'?
\end{itemize}
Vor: Weiter sei nach (2) stets $A\le\mathcal{N}B\&B\le\mathcal{N}A$
\begin{itemize}
\item[(4)] $(A,B,G)=(A,B,H)$ für
\begin{eqnarray*}
H_1&=&AB^G\\
H_2&=&BA^G\\
H_3&=&AB(A^G\cap B^G)\\
H_4&=&AB(A^{\cdot\cdot G}\cap B^{\cdot\cdot G})
\end{eqnarray*} 
\item[(5)] $(A,B,G)\cap (BAG)\,{\unlhd\unlhd}\, G$\\
Pf Indukt. (4) mit $H_3$, nebst
\item[(6)] Wenn $G=AB^G\cap BA^G$, so $(A,B,G)=A^G$\\
Bew: $A^{B^G}=A^{AB^G}=A^G$, $B^{A^G}=B^G$\\[4mm]
Kegel:
\item[(7)] Wenn $A^x\text{ v }B^y$ und $AB<G$, so $G^\ast:=AB(A^G\cap B^G)<G$
\item[(8)] $(A,B,G)^\varphi=(A^\varphi B^\varphi G^\varphi)$, wenn $\varphi\in$ hom $G$\\
obwohl Durchschnittsbildg "`eingeht"';  eliminiere dies. $(n=N)$
\begin{flushright}
253/254
\end{flushright}
\item[(3a)] $(A,B,G)$ ist isoton in allen Variablen
\item[(3b)] $(AAG)=A^{\cdot\cdot G}$
\item[9\begin{picture}(0,0)\put(-30,-5){?}\end{picture}] Wenn bei festem $A,B$ ($\le\mathcal{N}_A^B$, wohl entbehrlich) gesetzt wird $G^\ast:=AB^G\cap BA^G$ und $H=G^{\ast\ast\cdots\cdots\ast}$ das Endglied der absteigenden Kette, so ist mit $\overline{A}=(ABG)$ und $\overline{B}=(BAG)$
\[
\begin{cases}
\overline{A}=A^H,~~\overline{B}=B^H\\
H=A\overline{B}=B\overline{A}~~(AB=H=AB^H=BA^H)
\end{cases}
\]
Bew: $H=AB^H=BA^H$ als Endglied?
\[
\overline{A}=A^{B^{A^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{B^H}}}}}}=A^{A\cdot B^{^{A\cdot B^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{AB^H}}}}}}}=\cdots=A^H
\]
ebenso $\overline{B}=B^H$\\
Also $\left.\begin{smallmatrix}A\\B \end{smallmatrix}\right\}\le H=AB^H=A\overline{B}$; ebenso $=B\overline{A}$ auch wenn $^A_B\nleq\mathcal{N}_A^B$.
\item[($9^\prime$)]
\[
\begin{cases}A\le\mathcal{N}(BAG)~~B\le\mathcal{N}(ABG)\\
\begin{array}{ccc}
A\cdot(BAG)&=&B\cdot(ABG)=G^{\ast\ldots\ast}\\
&=&(ABG)(BAG)
\end{array}
\end{cases}
\]
\item[(10)] $A^B=A\Rightarrow\underbrace{A\cap(BAG)}_{=D^{[G]}}\lhdd G$\\
Bew: $D^{[G]}=D^{[AB^G\text{ oder }BA^G]}\lhdd [~~~]$ (Indukt. anw.) und $\le A^G\cap B^G\lhd G$.\\
Wenn $[~~~]=G_{1>0}$ $D^{[G]}=A\cap B^G$.\\ 
Es genügt $A\cap B^A\lhdd B^A$ denn $AB=G\Rightarrow(BAG)=B^A$~~Forts. XIV, 10
\begin{flushright}
[Keine neue Seitennummer!] \ \ 254/254
\end{flushright}
\[
|H|=\frac{|A|\,|\overline{B}|}{|A\cap\overline{B}|}=\frac{|\overline{A}|\,|\overline{B}|}{|\overline{A}\cap\overline{B}|}
\]
Also
\item[(11)]
\[
\begin{cases}
|\overline{A}\cap\overline{B}|=|A\cap\overline{B}|\cdot|\overline{A}:A|=\frac{|\overline{A}|}{|A:A\cap\overline{B}|}~~~[\text{ auch ohne }_B^A\le\mathcal{N}_A^B]\\
\overline{A}\cap\overline{B}\lhdd G
\end{cases}
\]
\item[(12)] Wenn $A^x\text{ v }B^y$, so $G^{\ast\cdots \ast}=AB$ (Kegel)
\item[(13)] Vermutung: Wenn $A,B\le G$ sind und $A\,{\unlhd\unlhd}\, B^x$ gilt für mehr als $\frac{1}{2}|G|$ Elemente $x\in \mf{G}$, so ist $A\lhdd G$.\\
Ist richtig, wenn $A=A^\prime$. Denn zu $A,A^x\exists$ mindestens $1~~y\in G$ $\to$ $A,A^x\,{\unlhd\unlhd}\, B^y$. also $A\text{ v }A^x$, $A\lhdd G$.\\
Stets ist wenigsten der perfekte Kern
\[
A^\ast\lhdd G.
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}
[Keine Seitennummer eingetragen!]\ \ 254/[255]
\end{flushright}
Ist $A$ nilpotent, $=P\times Q\times\cdots$, so ist $[P^x,Q^y]=1$, also $(P^G,Q^G]=1$, also $P^G$\\
Wenn $H<G$, so ist die Vor. für eine passende Konjugierte von $\overline{G}$ (statt $G$) erfüllt.\\
oBdA: Der "'Subnormalisator"' $\mathcal{S}A~~(\subseteq G)$ enthält also zu jeder maximalen Untergr. $M$ von $G$ eine Konjugierte.
\begin{flushright}
[255]/256
\end{flushright}
\begin{center}
Unabhängige Untergruppen\\
besser: "`$\{G:G_i\}$ unabh"'
\end{center}
\begin{itemize}
\item[1] Def $\{G_i\}_{i=1\cdots n}$ unabh. in $G\iff\forall x_1,\cdots x_n\exists g\in\bigcap G_i x_i$.\\
Vielleicht bequemer: $\forall x_1\cdots x_n\in G\exists g\in G$, $g_i\in G_i\to gg_i=x_i$\\
Achtung: Baer Nor Sol gps \anmerk~ nennt $\{G_\lambda\}$ indep $\iff\langle G_\lambda\rangle=\prod\limits_\otimes G_\lambda$
\item[2] eq: ... $\bigcap$ $x_iG_i\not=\emptyset$ siehe schärfer: $10$ 
\item[$2\frac{1}{2}$] $\{G_i\}_{i\in I}$ un $G$, $A\subseteq I\Rightarrow\{G_i\}_{i\in A}$ un $G$.
\item[3] $\{G_i\}$ un $G$, $G_i\le H_i\le G\Rightarrow \{H_i\}$ un $G$.
\item[$3\frac{1}{2}$] $G_1,G_2$ un $G\iff G_1G_2=G$ Bew: $\bigcap H_ix_i\supseteq\bigcap G_i x_i\not=\emptyset$
\item[Satz 4] Sei $\{G_i\}$ un $G$ und $H\le G$. Dann
\[
\{G_i\cap H\}\text{ un }H\iff H\cap G_i=\bigcap HG_i
\]
hatte Breuninger 16.10.65 für $n=2$, $H\lhd G$, $\bigcap G_i \le H$.\\
Bew: $\Rightarrow$ "`$g\in\bigcap HG_i\Rightarrow g\in H\cap G_i$"'\\
Bew: $g\in Hg_i~\exists g_i\in G_i$ $y_i:=gg_i^{-1}\in H$\\ 
$\exists h=h_iy_i=gg_i^{-1}y_i$; $h_i\in H\cap G_i\subseteq G_i$\\
$g=hy_i^{-1}g_i=hd$,~~~~$d=y_i^{-1}g_i\in G_i$,~~~~$d\in\bigcap G_i$,~~~$g\in H\cap G_i$\\[5mm]
$\Leftarrow$ Sei $y_i\in H$ $\exists g=g_iy_i$, $g_i\in G$.\\
$g^{-1}=y_i^{-1}g_i^{-1}\in HG_i,~~\forall i$\\
$=h^{-1}d,~~d\in\bigcap G_i$, $h\in H$\\
$H\ni h=dg=dg_iy_i=h_iy_i$, $h_i\in H\cap G_i$
\item[5](Breuninger) $\{G_i\}$ un $G$, $N_i:=\mathcal{N}G_i$, $K:=\bigcap G_i$ $N:=\bigcap N_i$, $\Rightarrow$\\ 
$N/K=\prod\limits_{\text{dir}} S_i/K$; $S_i=N\cap\bigcap\limits_{j\not=i}G_i=N/N\cap G_i$\\
\hspace*{52mm}$\approx\prod NG_i/G_i$\\
Bew: 4: $\{G_i\cap N\}\underset{\lhd}{\text{un }}N$
\begin{flushright}
256/257
\end{flushright}
\item[6] Ist $G$ kompakt, so ist $\{G_i\}_{i\in I}$ un $G$ $\iff$ jedes endl Teilsystem ist un $G$.\\
(Alles obige gilt für beliebige Indexmengen!)
\item[7] Für $A,B\subseteq I$ ($=$ Indexmenge) definiere $G_A:=\bigcap\limits_{i\in A}G_i$ usw.\\
Dann
\begin{eqnarray*}
G_{A\cup B}&=&G_A\cap G_B\\
G_{A\cap B}&=&G_A\cdot G_B
\end{eqnarray*}
auch für unendliche Überdeckungen von I usw aufschreiben!
\item[Lemma (8)] Zum Beweis der zweiten Formel:\\
Lemma:\\ (A fest) Das System $\{G_i\cap G_A\}_{i\in I}$ un $G_A$ denn
\[
x_i\in G_A\Rightarrow \exists g=g_ix_i;~g_i\in G_i
\]
für $i\in A$ ist $g=g_ix_i\in G_i$~~~~$g\in G_A$\\
Bew $7_2$: Nach 4 ist
\begin{eqnarray*}
G_AG_B&=&\bigcap_{b\in B}G_{A}G_b\\
&=&\bigcap_{b\in B}\bigcap_{a\in A}G_a G_b\overset{3\frac{1}{2}}{=}\underset{a=b}{\cap\cap}=\bigcap_{c\in A\cap B}G_c
\end{eqnarray*}
\item[9] $\{G_i\}$ un $G$ $\Rightarrow$ $G$ wirkt simultan-transitiv auf
\begin{itemize}
\item[a)] alle $G/G_i:\exists g\in G\to G_ig=G_ix_i$ für gegebene $x_i$
\item[b)] $G$ wirkt simultan-transitiv auf den Klassen zu $G_i$ konjugierter Gruppen\\
Bew: geg $x_i\in G_i\exists g\in G_i x_i; G_i^g=G_i^{x_i}$
\end{itemize}
\begin{flushright}
257/258
\end{flushright}
\begin{center}
unabhängige Untergruppen
\end{center}
\item[10.] $\{G_i\}$ un $G$; $x_i,y_i\in G\Rightarrow \bigcap x_iG_i y_i\not=\emptyset$\\
Bew: $\exists t\in G$, $t\in\bigcap x_iG$, $x_i G=tG$, $\bigcap x_i G_i y_i=\bigcap tG_iy_i=t\bigcap G_iy_i\not=\emptyset$
\end{itemize}
\begin{flushright}
258/259
\end{flushright}
\begin{center}
$\lhdd$~~~~~~~~12.12.65
\end{center}
\begin{itemize}
\item[Lemma (1)] $N\lhd G$, $G/N$ perfekt: $A,B\le G$,\\ 
$G=AN=BN\Rightarrow G=\underbrace{[A,B]}_{\substack{\text{Kommu-}\\\text{tator}}}N$
\item[(2)] $N\lhd G$, $G/N$ perfekt, $A,B\le G$, $A,B\unlhd\langle A,B\rangle$, $G=AN=BN$\\
$\Rightarrow G=(A\cap B)N$
\item[(3)] $N\lhd G$, $A\lhdd G$, $A$ minimal mit $AN=G$, $G/N$ perfekt $\Rightarrow A\unlhd G$
\item[Satz (4)] $A,B\,{\unlhd\unlhd}\, G$, $G/B^G$ perfekt (Äq: $G=\langle A^\prime,B^G\rangle$ od wenn $|G|<\infty$ $G=\langle A^\prime,B\rangle$), $d_GA\le2$, $G=\langle A,B\rangle$ $\Rightarrow$ $G=AB=BA$\\
Frage: auch für $d_GA>2$?\\
Beweis: Sei $A\ntriangleleft G$. Ind $d_GB=d$. $d\le 1$ trivial.\\
$d\ge2$
\begin{center}
%\psfrag{1}{$\scriptstyle G$}
%\psfrag{2}{$\scriptstyle B_2$}
%\psfrag{3}{$\scriptstyle B_1$}
%\psfrag{4}{$\scriptstyle B$}
%\psfrag{5}{$\scriptstyle B\cap A_1$}
%\psfrag{6}{$\!\!\scriptstyle C$}
%\psfrag{7}{$\scriptstyle 1$}
%\psfrag{8}{$\!\!\!\!\!\scriptstyle A\cap B_1$}
%\psfrag{9}{$\scriptstyle A$}
%\psfrag{10}{$\!\scriptstyle D$}
%\psfrag{11}{$\!\!\!\scriptstyle A_1$}
%\psfrag{12}{$\!\!\!\!\!\!\scriptscriptstyle A_1\cap B_1$}
%\psfrag{13}{$\scriptstyle \text{Bild 1}$}
%\epsfig{file=259d13,height=5cm}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,45)
\drawline(0,0)(0,4)(15,20.5)(10,25.5)(10,34)(4,44.5)(-6,34)(-6,26)(-10.5,22)(0,4)
\drawline(-6,26)(4.5,9)
\drawline(-4.3,11.4)(10,25.5)
\drawline(-6,34)(0,23.5)(10,34)
\drawline(-10,21.5)(-5.7,25.2)
\drawline(0.3,15.8)(0,23.5)
\spline(-6,34)(-5,31)(-5,30)(-5,29)(-6,26)
\spline(-5.7,25.2)(-5.8,25.5)(-6,24.3)(-7.5,23)(-10,21.5)
\spline(0,23.5)(-0.1,22)(-0.5,18)(-2.5,14)(-4.3,11.4)
\spline(0,23.5)(0.1,22)(0.6,17)(2.3,13)(4.5,9)
\spline(10,34)(9,31)(9,30)(9,29.4)(10,25.5)
\spline(10,25.5)(10.3,24.5)(10.4,23)(13,21)(15,20.5)
%%%%%%
\thicklines
\drawline(-10,21.5)(-5.7,25.2)
\drawline(-6,26)(-6,34)(4,44.5)
\drawline(0.3,15.8)(0,23.5)(10,34)(10,25.5)
\drawline(-32,20)(-32,25)
%%%%%%%%
\put(0,-2){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(0,-5){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{Bild 1}$}}
\put(10,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle B\cap A_1$}}
\put(18,20.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(13,34){\makebox(0,0){$\scriptstyle B_1$}}
\put(10,39){\makebox(0,0){$\scriptstyle B_2$}}
\put(6,45){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(-8,34){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1$}}
\put(-9,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle D$}}
\put(-12,22){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(-8,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle A\cap B_1$}}
\put(0,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle C$}}
\put(1,28){\makebox(0,0){$\scriptscriptstyle A_1\cap B_1$}}
\put(-23,22.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\text{normal}$}}
\put(7,39){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\end{picture}
\end{center}
\mbox{}\\[5mm]\mbox{}
Nach Ind ist $(B\to B_1)$ \underline{$G=AB_1$}. Ferner \underline{$G=A_1B$}, da $G=(A_1B)^G$ und $A,B\lhdd G$.\\
Das gibt Bild 1.\\
Fall I: aus $N\lhd G$, $N\subseteq AB$  folgt $N=1$\\
$ C\le D$, $\forall b_1\in B_1$ ist $C=C^{b_1}\le D^{b_1}$ $\forall g\in G\exists b_1\in B~\cdot\ni\cdot$ $D^g=D^{b_1}$\\ 
$C=D^g$ $\forall g\in G$\\
$C^g\le D$,  $C^G\le D\le AB$, $C^G=1,~~C=1$
\begin{flushright}
259/260
\end{flushright}
Daher $A\cap B_1=1$, $G=AB_1$\\
Da $A\ntriangleleft G$ angenommen (sonst Beh trivial), $\exists~~~A^g\cdot\ni\cdot~~~A\cap A^g<A$.\\
Da $A,A^g\unlhd A_1$, ist nach 2 auch
\[
(A\cap A^g)B^G=G
\]
Daher nach Ind: $G=(A\cap A^g)\cdot B_1$. Also
\begin{eqnarray*}
A&\le&(A\cap A^g)\cdot B_1\\
A&=&(A\cap A^g)\cdot (A\cap B_1)\\
&=&A\cap A^g\text{ wegen }A\cap B_1=1
\end{eqnarray*}
Wid.\\
Fall II: $\exists N\lhd G$, $N\le AB$. Benutze
\item[(5)] Lemma: $A_1B\le G$; $N_\lambda\unlhd G$, $N_\lambda\subseteq AB$\\
$(\forall \lambda\in\Lambda)\Rightarrow$
\[
\bigg[\prod_{\lambda\in\Lambda}N_\lambda\bigg]\subseteq AB=AB\cdot\prod N_\lambda
\]
Bew: $|\Lambda|=2$: $n_\lambda\in N_\lambda$
\begin{eqnarray*}
n_1&=&a_1b_1\\
n_1n_2&=&a_1b_1n_2\\
&=&a_1n_2^\prime b_1\\
&=&a_1(a_2^\prime b_2^\prime)b_1\in AB
\end{eqnarray*}
$|\Lambda|<\infty$ Indukt\\
$|\Lambda|=\infty$: $x\in\prod N_\lambda \Rightarrow x\in\prod\limits^{\text{fin}}{}^{^\prime}N_\lambda$.\\[4mm]
Damit Bew Fall II:\\
Wähle $N:=\prod N_\lambda$, $N_\lambda\unlhd G$, $N_\lambda\subseteq AB$
\begin{flushright}
260/261
\end{flushright}
Dann gilt für $(x\to\overline{x})=$ nat hom $G\to \overline{G}=G/N$:\\
$\overline{G}=\langle\overline{A},\overline{B}\rangle$; $\overline{M}\le\overline{A}\,\overline{B}$, $\overline{M}\unlhd\overline{G}\Rightarrow \overline{M}=1$; $\overline{G}/\overline{B}^{\overline{G}}$ perfekt. $d_{\overline{G}}(\overline{A})\le 2$, $d_{\overline{G}}\overline{B}\le d$.\\
Also nach Teil I: $\overline{G}=\overline{A}\,\overline{B}$.\\
Das heißt $G=ANB=AB$
\item[Satz (6):] $A\lhdd G$, $B\lhdd G$, $G=\langle A,B\rangle$, $A\subseteq A^\prime B\Rightarrow G=AB$\\
Äq: $A/(A\cap B)^A$ perfekt\\
Bew: Indukt $d=d_GA$, bei festem $d$ nach $d_GB$.\\
$d=1$ triv~~~~$d_GB\le 1$ trivial\\
Fall $d=2$ folgt aus (4): Für $N:=B^G$ ist
\[
G^\prime N\ge A^\prime N=\langle A,B\rangle=\langle A,B\rangle=G
\]
also $G/N$ perfekt.\\[4mm]
Fr.: reicht $A/A^\prime(A\cap B)\bot B/B^\prime(A\cap B)$?\\[4mm]
Fall $d>2$: nach Induktion ist $G=AB_1=A_1B$ ferner für $G^\ast:=\langle A,H\rangle$:\\ \underline{$G^\ast=AH$} $=AKH=DH$ denn
\begin{eqnarray*}
A&=&A^\prime(A\cap B)\\
&=&A^\prime(A\cap H)\subseteq A^\prime M
\end{eqnarray*}
\begin{center}
%\psfrag{1}{$\scriptstyle A$}
%\psfrag{2}{$\scriptstyle D$}
%\psfrag{3}{$\!\!\!\!\scriptstyle A_1$}
%\psfrag{4}{$\!\!\!\!\scriptstyle A_2$}
%\psfrag{5}{$\scriptstyle G$}
%\psfrag{6}{$\scriptstyle B_1\cdot$}
%\psfrag{7}{$\scriptstyle B$}
%\psfrag{8}{$\scriptstyle H$}
%\psfrag{9}{$\scriptstyle K$}
%\psfrag{10}{$\scriptstyle A\cap B$}
%\psfrag{11}{$\scriptstyle 1$}
%\psfrag{12}{$\!\!\!\scriptstyle C$}
%\psfrag{13}{$\!\!\!\!\scriptstyle G^\ast$}
%\psfrag{14}{$\!\!\!\!\!\!\scriptscriptstyle A_1\cap B_1$}
%\psfrag{15}{$\scriptstyle E$}
%\psfrag{16}{$\scriptstyle F$}
%\epsfig{file=261d13,height=5cm}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,50)
\drawline(0,0)(0,6)(18.5,26)(15,29)(15,36)(6,47)(-8,32)(-8,25)(-12,21)(0,6)
\drawline(-2.8,9.6)(15,29)
\drawline(-8,25)(3.8,10.1)
\drawline(7.9,14.5)(5.00,17.89)(5.00,24.89)(-4,36)
\drawline(1.13,13.59)(1.13,20.59)(15,36)
\drawline(1.13,20.59)(-8,32)
\dashline[30]{1}(-8,25)(-4,29)(5.13,17.59)
%%%%%%%%%
\drawline(0,42.5)(2,40.5)
\drawline(9.5,40.5)(11.5,42.5)
%%%
\Thicklines
\drawline(-8,25)(-8,32)(-4,36)
\drawline(1.13,13.59)(1.13,20.59)(5,24.89)(5,17.89)
\drawline(15,29)(15,36)
%%%%%%%%%%%%%%%
\put(1.7,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(4,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle A\cap B$}}
\put(6,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(10,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle H$}}
\put(20,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(18.5,36){\makebox(0,0){$\scriptstyle B_1$}}
\put(6,49){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(-8,36){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_2$}}
\put(-11,32){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1$}}
\put(-4,31){\makebox(0,0){$\scriptstyle G^\ast$}}
\put(1,24){\makebox(0,0){$\scriptscriptstyle A_1\cap B_1$}}
\put(1.1,11.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle C$}}
\put(7,17.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle F$}}
\put(5.5,16.2){\begin{rotate}{-45}$\scriptstyle >$\end{rotate}}
\put(7,24.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle E$}}
\put(-14,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(-10,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{Fig }2.$}}
%%%%
\put(1.13,13.59){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(15,29){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(-4,36){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(-8,32){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(-4,29){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
%\put(1,41.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle \times$}}
%\put(10.5,41.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle \times$}}
%\put(){\makebox(0,0){$\scriptstyle $}}
\end{picture}
\end{center}
$\mathcal{N}G^\ast\ge A_1\cap B_1$ $D,A_1; A_1\cap B_1,F,E; A_1,E,A_2$.\\ 
Also $G^\ast\unlhd A_2$, $d_GG^\ast\le d_GA=1$\\
Indukt: $G=G^\ast B=AH^\prime B=AB$ denn $G^{\ast^\prime}B\supseteq A^\prime B\ge A$,\\ 
also $G^{\ast^\prime}B\ge AB\supseteq AH=G^\ast$.
\begin{flushright}
261/262
\end{flushright}
\begin{center}
$\lhdd$
\end{center}
\item[(7)] Vermutung (7):
\begin{gather*}
A,B\lhdd G,~~~~A/(A\cap B)A^\prime\otimes B/(A\cap B)B^\prime=0\\
\Rightarrow AB=BA
\end{gather*}
NB Kriterien für $A\otimes B=0$ siehe Fuchs, Buch Chap XI
\item[(8)] Frage: Gibt es Vertauschungssätze der Art:\\
Ist $A,B\lhdd G$, so ist $[A,\cdots,A]_k\text{ v }B$ wenn $k\ge f(d_GA)$?
\end{itemize}
\begin{flushright}
262/263
\end{flushright}
\begin{center}
Perm Gr mit regulärer Untergruppe
\end{center}
Satz: Sei $\mf{G}$ tra $\mf{H}$, $\mf{H}\le \mf{G}$, $\mf{H}$ additiv geschrieben, Sei $\mf{U}\le\mf{G}$\\
Sei $f_0$ eine bei $\mf{G}_0$ invariante Fktion
\[
f_0:\mf{H}\to R (=\text{ Ring})
\]
Sei $\mf{F}$ eine bei $\mf{U}$ inv. Menge von Fkt $f:\mf{H}\to R$. Dann ist $f_0\wedge\mf{F}$ $(:=\{f_0\wedge f|f\in\mf{F}\})$ inv bei $\mf{U}$.\\
Bew: Sei $\varphi\in f_0\wedge\mf{F}$, $u\in U$
\begin{eqnarray*}
\varphi(x)&=&\sum_\xi f_0(x-\xi)f(\xi)\\
\varphi(u(x))&=&\sum_\xi f_0(u(x)-\xi)f(\xi)\\
&=&\sum_\xi f_0(u(x)-u(\xi))f(u(\xi))\\
&=&\sum_\xi f_0((t_{\mf{U}(\xi)}u)(x))f(u(\xi))
\end{eqnarray*}
$t_\rho(x):=x-\rho,~~~t_\rho\in\mf{G}$\\
Nun ist aber
\[
(t_{\mf{U}(\xi)}u)(x)=(h_\xi t_\xi)x\text{ mit }h_\xi\in\mf{G}_0
\]
denn
\[
0=(t_{\mf{U}(\xi)}u)(\xi)=(h_\xi t_\xi)(\xi)=h_\xi(t_\xi(\xi))=h_\xi(0)
\]
Also
\begin{eqnarray*}
\varphi(u(x))&=&\sum f_0(h_\xi(x-\xi))f(u(\xi))\\
&=&\sum f_0(x-\xi)f(u(\xi))\\
&=&\sum f_0(x-\xi)\overline{f}(\xi),~~~\overline{f}\in\mf{F}\\
&\in&f_0\wedge \mf{F}
\end{eqnarray*}
Kürzerer Beweis: 199 (1)
\begin{flushright}
263/264
\end{flushright}
3.1.66
\begin{center}
Perm Gr von Grad $p$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Ist $m$ der kleinste unter den Graden der bei $G$ invarianten Funktionenmoduln (Gr $\mf{m}=\max$ Gr $f$, $f\in\mf{m})$,\\
so sind alle Grade $0,m,2m,\cdots, p-2, p-1$\\
es ist $m\big|p-2$\\
Bew: Grad $\mf{m}^\bot=p-2$- Grad $\mf{m}$, wenn $\mf{m}\not=0$
\item[(2)] Ist $i$ der kleinste unter den Graden der Invarianten von $G_0$, so sind \[0,i,2i,\cdots, p-1\] alle Grade von Invarianten\\
Bew: Faltung
\item[(3)] Die aus einer Invariante Grad $i$ hervorgehende Modul \anmerk~ hat Grad $i$.
\item[(4)] Ist $G$ nicht $2$-tra, so ist $i<p-1$, also $m|i|p-1$, $m|p-1$ aber auch $m|p-1$\\
also $m=1$; dh $g$ linear, $\forall g\in G$
\end{itemize}
Variante:
\begin{itemize}
\item[($3^\prime$)] Grad $f=i$, $f$ inv $G_0$ $\Rightarrow \text{ deg }f\wedge\overset{\substack{\text{alle}\\\text{fkt}}}{\mf{M}}=i$\\
$\text{deg }f\wedge\mf{M}_0=i-1$
\item[($4^\prime$)] $\exists~~f$ mit $1\le i\le p-2$, so existieren $G$-Moduln mit Grad $i,i-1$, also nach 2 ist $m\big|i-(i-1)$, $m=1$\\
Besser bei dieser Variante die Dimensionen der $G$-Moduln anschn. 
\item[(5)] Faltung mit Invar. von $G_0$ ist $G_1$ Modul-Endomorphismus und umgekehrt.\\
(centralizer ring)
\begin{flushright}
264/265
\end{flushright}
\item[6.] Die Anzahl der Bahnen von $G_0$ ist die Anzahl der einköpf
$\times$ $1$-köpf $G$-Moduln.\\
Bew. Ordne Invar lexikographisch
\item[7.] Sind $\mf{a},\mf{b}$ $P$-moduln (d.h. Faltideale in $\mf{M}$) mit $\mf{a}\wedge\mf{b}\not=0$, so ist jedes $x_i\in\mf{a}+\mf{b}$.\\
Bew. $\exists~ a\wedge\mf{b}\not=0$; also $\exists~a\wedge b=1$.
\[
x_i=x_i(a\wedge b)=(x_ia)\wedge b+a\wedge(x_ib)\le\mf{a}+\mf{b}
\]
\item[8.] Ist $G$ primitiv, so gibt es keine unter $G$ invarianten Funktionen\underline{ring} außer $\mf{c}$ und $\mf{M}$.\\
Bew. Weierstraß-Stone\\
NB: Es gibt keine gemeinsame Nullstelle von $\mf{m}$ ($=G$-Modul$ \not=0$)
\item[9.] Ist $G$ pri, und sind $\mf{a},\mf{b}$ $P$-moduln mit $\mf{b}=\mf{a}^{\bot}$, so ist $\mf{a}\mf{b}=\mf{M}_0$.\\
Bew: sonst $\exists\,\mf{m}\not=\mf{c}$ mit $\mf{m}\bot\mf{a}\mf{b}$, d.h. $\mf{m}\mf{a}\mf{b}\subseteq\mf{M}_0$. Dann $\mf{m}\mf{b}\subseteq\mf{a}^\bot=\mf{b}$, der von $\mf{m}$ erzeugte Ring $\hat{\mf{m}}$~~~~$\hat{\mf{m}}\mf{b}\subseteq\mf{b}$ also $\hat{m}=\mf{M}$ nach 8: also $\mf{M}\mf{b}\subseteq\mf{b}$; da $\mf{b}$ keine feste Nullstelle hat, gibts zu $\xi\in\Omega\; b$, $b(\xi)\not=0$
und $\mf{b}\ni\delta_{\xi x}b$, also $\mf{b}=\mf{M}$.\\
\rule{11cm}{0,5pt}\\
$[$Zusatz zu (5) auf Seite 264:$]$\\
$\leftarrow$ insbesondere mit rank $G=3=$ Anzahl der 1. Moduln\\ in einer Komp$[$ositions$]$reihe von $\mf{M}$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
265/266
\end{flushright}
1. \begin{minipage}[t]{3cm}
Taam C.T.:
\end{minipage}~\begin{minipage}[t]{7.5cm}
Compact linear transformations\\
PAMS 11, 39-42\\
(mögliche andere Def von vollstetig)
\end{minipage}\\[2mm]
2. \begin{minipage}[t]{3cm}
Menon P.K.:
\end{minipage}~\begin{minipage}[t]{7.5cm}
Difference sets in abelian groups\\
PAMS 11, 368-376
\end{minipage}\\[2mm]
3. \begin{minipage}[t]{3cm}
Ostrowski, A.M.:
\end{minipage}~\begin{minipage}[t]{7.5cm}
On some Conditions for non-vanishing of\\
determinants.\\
PAMS 12, 268-273
\end{minipage}\\[2mm]
4. \begin{minipage}[t]{3cm}
L. Solomon:
\end{minipage}~\begin{minipage}[t]{7.5cm}
On the sum of the elements in the character\\
table of a finite group.\\
PAMS 12, 962-3
\end{minipage}\\[2mm]
5. \begin{minipage}[t]{3cm}
Le Varasseur, R:
\end{minipage}~\begin{minipage}[t]{7.5cm}
Les groupes d'ordre fini ...\\
Ann Univ Lyon (I) 15 1904\\
Paris, Ganthier-Villars
\end{minipage}\\[2mm]
gibt Tabellen von Gruppen der Ordnung $p^5$.
\begin{flushright}
266/Einband
\end{flushright}
Frame-Verallgemeinerung 131-143\\
\hspace*{2cm}(Rinderspacher gezeigt 3-75)\\
Verallgem. von D.G. Higman Tagungsbericht OW 22/1977\\
\hspace*{2cm}Dazu B. Weisfeiler, ebenda\\
ein Satz von Frame und Verschärfung:
\[
\sum\limits_{x\in H\le G}\chi(x)\le\sum\limits_{y\in Hg}\chi(y)
\]
Siehe Sonderdruck FRAME: Double ...\\
\hspace*{2cm}BAMS 49,81-92
\end{document}