Der Fluß von Kurven und Flächen entlang der mittleren

Krümmung

WISSENSCHAFTLICHE ARBEIT

von

Dagmar Engelhard

betreut von Prof.Dr.G.Huisken

an der mathematischen Fakultät der Eberhard-Karls-Universität Tübingen

Tübingen im April 1999

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Grundlagen 6 2.1 Maximumprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Erste grundlegende Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Singularitäten 13 3.1 Das maximale Zeitintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Die zwei Typen von Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Reskalierungstechniken 17 4.1 Reskalierung der TypI-Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Reskalierung der TypII-Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Reskalierung für strikt konvexe Flächen . . . . . . . . . . . . . 21

5 TypI-Singularitäten 24 5.1 Die Monotonieformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2 Homothetische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 TypII-Singularitäten 35

7 Der eindimensionale Fall 39 7.1 Der Fluß von eingebetteten Kurven . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.2 Homothetische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Konvexe Flächen 47

8.1 Der nicht reskalierte Fluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.1.2 Die Eigenwerte von A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.1.3 Eine obere Schranke für |∇H| . . . . . . . . . . . . . . 60 8.1.4 Konvergenz zu einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.2 Der reskalierte Fluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Kapitel 1

Einleitung

Allgemein soll es in dieser Arbeit um den Fluß von Kurven und Flächen entlang der mittleren Krümmung gehen, konkret: Ist M^{n} eine n-dimensionale kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand und F_{0} : M^{n} → ℝ^{n+1} eine glatte Immersion von M^{n} als Hyperfläche, so betrachten wir die Familie von glatten Immersionen F ( · , t), die folgender Evolutionsgleichung genügt:

{\frac{∂}{∂t}F (p, t) = △_{t}F (p, t),  p ∈ M^{n}, t ≥ 0, \atop F ( · , 0) = F_{0}.}  (1.1)

Dabei ist △_{t} der Laplace-Beltrami Operator auf der Hyperfläche M_{t} = F ( · , t)(M^{n}). Nach der Theorie der quasilinearen parabolischen Differentialgleichungen existiert eine Lösung der Gleichung (1.1) auf einem kurzen Zeitintervall. Dabei gilt

△_{t}F (p, t) = −H(p, t) · ν(p, t),

wobei H(p, t) die mittlere Krümmung und ν(p, t) der äußere Einheitsnormalenvektor am Punkt F (p, t) auf M_{t} ist. M_{t} bewegt sich also in Richtung der Normalen mit Geschwindigkeit der mittleren Krümmung. Daher sagen wir, daß M_{t} eine Lösung des mittleren Kümmungsflusses ist. Das Interesse, den mittleren Krümmungsfluß zu betrachten, kommt daher, daß die Gleichung (1.1) den Gradientenfluß zum Oberflächenfunktional darstellt (die mittlere Krümmung ist der Gradient des Oberflächenfunktionals). Das heißt unter dieser Gleichung wird der Flächeninhalt von M_{t} am schnellsten minimiert.

Bei unseren Untersuchungen beschränken wir uns auf den Fall nichtnegativer mittlerer Krümmung der Anfangsfläche M_{0}, d.h. es soll gelten:

H(p, 0) ≥ 0 ∀ p ∈ M^{n}.  (1.2)

Wie wir bereits am Ende des zweiten Kapitels sehen werden, bleibt dann die mittlere Krümmung auch für alle Zeiten t ≥ 0 nichtnegativ und wird sogar für t > 0 strikt positiv, wenn nicht H ≡ 0 ist. Letzteres aber können wir ausschließen, da M^{n} nach Voraussetzung kompakt ist.

Im dritten Kapitel werden wir zeigen, daß eine Lösung der Gleichung (1.1) genau bis zu dem Zeitpunkt existiert, an dem das Maximum des Betrags der zweiten Fundamentalform, max_{M_{t}} |A|^{2}, divergiert, und daß dies bereits zu einem endlichen Zeitpunkt T < ∞ geschieht. Dabei folgen wir dem Beweis in [Hu1], §8. Unser Ziel ist nun, das Verhalten der Flächen M_{t} nahe einer solchen Singularität mit Hilfe von gewissen Reskalierungstechniken, die wir in Kapitel 4 vorstellen werden, zu beschreiben. Dazu müssen wir zwei Typen von Singularitäten unterscheiden, und zwar durch die Existenz beziehungsweise die Nichtexistenz einer oberen Schranke der Wachstumsrate von |A|^{2}. Bei ersteren, den ”TypI-Singularitäten“, folgert Huisken in [Hu2] aus einer sogenannten Monotonieformel, daß sich die Flächen nach geeigneter Reskalierung nahe der Singularität einer homothetisch-selbstähnlichen Lösung von (1.1) annähern. Das heißt Teilfolgen der reskalierten Flächen M̃_{s} konvergieren gegen eine Grenzfläche M̃_{∞}, die der Gleichung

H̃_{∞} = (F̃_{∞}, ν̃_{∞})  (1.3)

genügt, wobei ( · , ·) das innere Produkt im ℝ^{n+1} und F̃_{∞} der Positionsvektor im ℝ^{n+1} ist. Betrachten wir diese Grenzfläche als neue Anfangsfläche, so ändert sich ihre geometrische Form unter dem mittleren Krümmungsfluß nicht. In [Hu3] konkretisiert dann Huisken, wie eine Fläche aussieht, die der Gleichung (1.3) genügt und nichtnegative mittlere Krümmung hat. Dies alles - von der Monotonieformel bis zu den möglichen Grenzflächen - werden wir in Kapitel 5 dieser Arbeit nachvollziehen. In dem darauffolgenden Kapitel werden wir sehen, wie sich bei einer etwas anders gearteten Reskalierung von ”TypII-Singularitäten“ translatierende Solitons ergeben - das sind Lösungen des mittleren Krümmungsflusses, die für alle Zeiten s ∈ ℝ existieren und sich durch Translation im ℝ^{n+1} bewegen. Dabei gehen wir von den beiden Arbeiten [HS1] und [HS2] aus.

In den letzten beiden Kapiteln dieser Arbeit behandeln wir noch zwei Spezialfälle, nämlich zum einen den mittleren Krümmungsfluß von im ℝ^{2} eingebetteten Kurven und zum anderen den von im ℝ^{n+1} eingebetteten mehrdimensionalen konvexen Flächen. Im ersten, dem eindimensionalen Fall vereinfacht Huisken in [Hu4] den Beweis von Graysons Theorem [Gr1], daß in der Ebene eingebettete Kurven zu einem ”runden“ Punkt konvergieren, indem er ausschließt, daß TypII-Singularitäten auftreten können. Darauf werden wir ausführlich in Kapitel 7 eingehen. In Kapitel 8 werden wir dann anhand von Huiskens Arbeit [Hu1] den konvexen Fall behandeln. Demnach bilden die Flächen M_{t} des Flusses zu einem endlichen Zeitpunkt T eine TypI-Singularität aus und verschwinden dort in einem ”runden“ Punkt, das heißt nach geeigneter Reskalierung konvergieren die Flächen gegen eine Sphäre.

Grundlagen

2.1 Maximumprinzipien

Da in dieser Arbeit immer wieder gewisse Maximumprinzipien verwendet werden, sei an dieser Stelle ein kurzer Überblick über dieselben gegeben. Dabei sei M^{n} eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand und [0, T) ein endliches Zeitintervall. Da für die Beweise der Maximumprinzipien das sogenannte Maximumlemma besonders wichtig ist (damit kann man die gegebenen parabolischen Differentialungleichungen auf elliptische zurückführen) und es auch später noch gebraucht wird, sei es hier vorweg beschrieben.

Lemma 2.1 (Maximumlemma) Sei f : M^{n}×[0, T) → ℝ eine glatte Funktion. Dann ist max_{M^{n}} f Lipschitz-stetig, und es gilt folgende Ungleichung:

\frac{d}{dt} max_{M^{n}} f ≤ sup\{\frac{∂}{∂t}f(p, t) : p ist Maximalpunkt von f( · , t)\}

wobei \frac{d}{dt}g ≤ C für eine Lipschitz-stetige Funktion g definiert ist durch:

lim_{h↘0} sup \frac{g(t + h) − g(t)}{h} ≤ C.

Beweis: siehe [Ha2], Lemma 3.5.

Theorem 2.2 (Striktes Maximumprinzip für parabolische Differentialungleichungen) Gilt für f : M^{n} × [0, T) → ℝ auf ganz M^{n} × [0, T)

\frac{∂}{∂t}f ≤ △f + b^{i}∇_{i}f + cf, f(p, 0) ≤ 0 ∀ p ∈ M^{n}

mit beliebigen Funktionen b^{i}, c : M^{n} × [0, T) → ℝ, c ≥ 0, so gilt

f ≤ 0 auf ganz M^{n} × [0, T).

Ist dann f(p, 0) < 0 für ein p ∈ M^{n}, so gilt für alle t > 0

f < 0 auf M^{n} × (0, T).

Beweis: siehe [PW], chapter 3, Theorem 13.

Theorem 2.3 Gilt für f : M^{n} × [0, T) → ℝ auf ganz M^{n} × [0, T)

\frac{∂}{∂t}f ≤ △f − bf + c

für Konstanten b, c > 0, so ist f auf ganz M^{n} ×[0, T) gleichmäßig beschränkt, und zwar durch eine Konstante, die nur von b und c und den Anfangswerten von f abhängt.

Beweis: Die obige parabolische Evolutionsungleichung bringen wir mit Hilfe des Maximumlemmas auf die elliptische Ungleichung

\frac{∂}{∂t} max_{M_{t}} g ≤ −b max_{M_{t}} g, mit g = f − c/b,

woraus max_{M_{t}} g ≤ |max_{M_{0}} g| folgt, was der Behauptung entspricht. □

Theorem 2.4 (Striktes Maximumprinzip für symmetrische Bilinearformen (Hamilton)) Sei M_{j}^{i} eine von der Zeit t ∈ [0, T) abhängige symmetrische Bilinearform auf T M^{n}, die der Evolutionsgleichung ∂M_{j}^{i}/∂t = △M_{j}^{i} + ϕ(M_{j}^{i}) genügt. Dabei sei ϕ(M_{j}^{i}) eine von M_{j}^{i} abhängige symmetrische Bilinearform auf T M^{n}, für die ϕ(M_{j}^{i}) ≥ 0 für M_{j}^{i} ≥ 0 gilt. Ist dann M_{j}^{i} ≥ 0 zur Zeit t = 0, so bleibt dies so für alle t ≥ 0. Außerdem ist für alle t > 0 der Rang von M_{j}^{i} konstant und der Nullraum von M_{j}^{i} invariant unter Paralleltransport und invariant in der Zeit.

(Anmerkung: Hier und im folgenden bedeutet M_{j}^{i} ≥ 0 für symmetrische 2-Tensoren M_{j}^{i}, daß alle Eigenwerte von M_{j}^{i} nichtnegativ sind.)

Beweis: siehe [Ha2], Lemma 8.2.

Theorem 2.5 (Striktes Maximumprinzip für elliptische Differentialungleichungen) Es gelte für f : M^{n} → ℝ auf ganz M^{n}

−△f + b^{i}∇_{i}f + cf ≤ 0,

mit Funktionen b^{i}, c : M^{n} → ℝ, c ≥ 0. Ist dann f ≤ 0, aber f ≢ 0, so ist f < 0 auf ganz M^{n}.

Beweis: siehe [E], §6.4, Theorem 4.

Aus allen in diesem Abschnitt genannten Sätzen erhalten wir entsprechende Minimumprinzipien beziehungsweise ein Minimumlemma, wenn wir die jeweiligen Ungleichheitszeichen einfach umkehren.

2.2 Bezeichnungen

Im folgenden bezeichnen wir Vektoren auf M^{n} mit X = {X^{i}}, Kovektoren mit Y = {Y_{i}} und gemischte Tensoren mit T = {T_{jk}^{i}}. Für die induzierte Metrik und die zweite Fundamentalform auf M^{n} schreiben wir g = {g_{ij}} bzw. A = {h_{ij}}. Über wiederholte Indizes wird stets von 1 bis n summiert, so daß sich das innere Produkt ⟨ · , · ⟩ auf M^{n} schreiben läßt als

⟨T_{jk}^{i}, S_{jk}^{i}⟩ = g_{ij}g^{kl}g^{mp}T_{km}^{i}S_{lp}^{j}, |T |^{2} = ⟨T_{jk}^{i}, T_{jk}^{i}⟩.

Insbesondere benutzen wir die Notation

H = g^{ij}h_{ij} = tr{h_{i}^{i}}, |A|^{2} = g^{ij}g^{kl}h_{ik}h_{jl}.

Ist F : U ⊂ ℝ^{n} → M^{n} ⊂ ℝ^{n+1} eine lokale Parametrisierung von M^{n}, so gilt:

g_{ij}(x⃗) = (\frac{∂F}{∂x_{i}} (x⃗), \frac{∂F}{∂x_{j}} (x⃗)) ,  h_{ij}(x⃗) = − (ν(x⃗), \frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}} (x⃗)) ,  x⃗ ∈ U,

wobei ( · , ·) das innere Produkt im ℝ^{n+1} und ν(x⃗) die äußere Einheitsnormale von M^{n} am Punkt F (x⃗) bezeichnet. Der induzierte Zusammenhang auf M^{n} ist dann gegeben durch:

Γ_{jk}^{i} = \frac{1}{2}g^{il} (\frac{∂}{∂x_{k}} g_{lj} + \frac{∂}{∂x_{j}} g_{lk} − \frac{∂}{∂x_{l}} g_{jk}) .

Damit ist die kovariante Ableitung von einem Vektor bzw. von einem Kovektor auf M^{n}:

∇_{j}X^{i} = \frac{∂}{∂x_{j}} X^{i} + Γ_{jk}^{i}X^{k}, ∇_{j}X_{i} = \frac{∂}{∂x_{j}} X_{i} − Γ_{ij}^{k}X_{k}.

Die k-te kovariante Ableitung eines Tensors bezeichnen wir mit ∇^{k}T. Der Laplaceoperator auf Tensoren T ist: △T_{jk}^{i} = g^{lm}∇_{l}∇_{m}T_{jk}^{i}. Der Riemannsche Krümmungstensor, der Ricci-Tensor und die skalare Krümmung sind gegeben durch die Gauß-Gleichungen:

\begin{aligned}R_{ijkl} & = & h_{ik}h_{jl} − h_{il}h_{jk}, \\ R_{ik} & = & g^{jl}R_{ijkl} = Hh_{ik} − h_{il}g^{lj}h_{jk}, \\ R & = & g^{ik}R_{ik} = H^{2} − |A|^{2}. \end{aligned}

Weiterhin gilt:

g^{ml}R_{ijkl} = \frac{∂}{∂x_{j}} Γ_{ik}^{m} − \frac{∂}{∂x_{i}} Γ_{jk}^{m} + Γ_{jl}^{m}Γ_{ik}^{l} − Γ_{il}^{m}Γ_{jk}^{l}.  (2.1)

2.3 Erste grundlegende Ergebnisse

Lemma 2.6 (i) H^{2} ≤ n|A|^{2}.

(ii)|∇^{k}H|^{2} ≤ n|∇^{k}A|^{2}, k ∈ ℕ.

Beweis: Für k ∈ ℕ^{0} gilt:

|∇^{k}H|^{2} = |g^{ij}∇_{l_{1}} … ∇_{l_{k}}h_{ij}|^{2} ≤ |g^{ij}|^{2}|∇_{l_{1}} … ∇_{l_{k}}h_{ij}|^{2} = n|∇^{k}A|^{2}. □

Lemma 2.7 Für die äußere Einheitsnormale von M_{t} gilt ∂ν/∂t = ∇H.

Beweis: Aus (ν, ν) ≡ 1 folgt (\frac{∂}{∂t}ν, ν) = \frac{1}{2} \frac{∂}{∂t} (ν, ν) ≡ 0. Da an einem Punkt p ∈ M^{n} die Tangentialvektoren {∂F/∂x_{j}}_{1≤j≤n} zusammen mit dem Normalenvektor ν den ganzen umgebenden Raum ℝ^{n+1} aufspannen, folgt hieraus:

\frac{∂}{∂t}ν = (\frac{∂}{∂t}ν, \frac{∂F}{∂x_{i}} ) g^{ij} \frac{∂F}{∂x_{j}} .

Wegen (ν, \frac{∂F}{∂x_{i}} ) ≡ 0 gilt

\frac{∂}{∂t} (ν, \frac{∂F}{∂x_{i}} ) = (\frac{∂}{∂t}ν, \frac{∂F}{∂x_{i}} ) + (ν, \frac{∂}{∂t} \frac{∂F}{∂x_{i}} ) ≡ 0,

so daß mit der Evolutionsgleichung (1.1) von F folgt:

\frac{∂}{∂t}ν = − (ν, \frac{∂}{∂t} \frac{∂F}{∂x_{i}} ) g^{ij} \frac{∂F}{∂x_{j}} = − (ν, \frac{∂}{∂x_{i}} (−Hν)) g^{ij} \frac{∂F}{∂x_{j}}
= \frac{∂}{∂x_{i}} H · g^{ij} \frac{∂F}{∂x_{j}} = ∇H.

Dabei haben wir ausgenutzt, daß (ν, ν) ≡ 1 und somit (\frac{∂}{∂x_{i}} ν, ν) ≡ 0. □

Hilfssatz 2.8 Für Vektoren {X^{k}} und Kovektoren {X_{k}} gilt

(i) ∇_{j}∇_{i}X^{k} − ∇_{i}∇_{j}X^{k} = R_{ijml}g^{kl}X^{m} = (h_{im}h_{jl} − h_{il}h_{jm})g^{kl}X^{m}. (ii) ∇_{i}∇_{j}X_{k} − ∇_{j}∇_{i}X_{k} = R_{ijkl}g^{lm}X_{m} = (h_{ik}h_{jl} − h_{il}h_{jk})g^{lm}X_{m}.

Beweis: Folgt aus Gleichung (2.1). □

Lemma 2.9 (i) △h_{ij} = ∇_{i}∇_{j}H + Hh_{im}g^{mp}h_{pj} − |A|^{2}h_{ij}.

(ii) △|A|^{2} = 2⟨h_{ij}, ∇_{i}∇_{j}H⟩ + 2|∇A|^{2} + 2Htr(A^{3}) − 2|A|^{4},

Beweis: (i) Aus den Codazzi-Gleichungen ∇_{l}h_{ij} = ∇_{i}h_{lj} und aus dem dem Hilfssatz 2.8 entsprechenden Satz für symmetrische 2-Tensoren folgt:

△h_{ij} = g^{kl}∇_{k}∇_{l}h_{ij} = g^{kl}∇_{k}∇_{i}h_{lj}
= g^{kl}∇_{i}∇_{k}h_{lj} + g^{kl}g^{mp}h_{lp}(h_{kj}h_{im} − h_{km}h_{ij})
+ g^{kl}g^{mp}h_{pj}(h_{kl}h_{im} − h_{km}h_{il})
= ∇_{i}∇_{j}H + g^{kl}g^{mp}h_{lp}h_{kj}h_{im} − (g^{kl}g^{mp}h_{lp}h_{km})h_{ij}
+ (g^{kl}h_{kl})h_{im}g^{mp}h_{pj} − g^{kl}g^{mp}h_{pj}h_{km}h_{il}
= ∇_{i}∇_{j}H + Hh_{im}g^{mp}h_{pj} − |A|^{2}h_{ij}.

(ii) Aus △|A|^{2} = 2⟨h_{ij}, △h_{ij}⟩ + 2|∇A|^{2} folgt mit (i) die Behauptung (ii). □

Lemma 2.10 Die induzierte Metrik von M_{t} = F ( · , t)(M^{n}) genügt der Evolutionsgleichung

\frac{∂}{∂t}g_{ij} = −2Hh_{ij}.  (2.2)

Beweis: Wir errechnen aus den Definitionen für die induzierte Metrik und die zweite Fundamentalform und aus der Gleichung (1.1)

\frac{∂}{∂t}g_{ij} = (\frac{∂}{∂x_{i}} (\frac{∂F}{∂t} ) , \frac{∂F}{∂x_{j}} ) + (\frac{∂F}{∂x_{i}} , \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{∂F}{∂t} ))
= (\frac{∂}{∂x_{i}} (−Hν) , \frac{∂F}{∂x_{j}} ) + (\frac{∂F}{∂x_{i}} , \frac{∂}{∂x_{j}} (−Hν))
= −H (\frac{∂ν}{∂x_{i}} , \frac{∂F}{∂x_{j}} ) − H (\frac{∂F}{∂x_{i}} , \frac{∂ν}{∂x_{j}} ) = −2Hh_{ij}.  □

Korollar 2.11 Die Inverse der induzierten Metrik genügt der Evolutionsgleichung

\frac{∂}{∂t}g^{ij} = 2Hh_{kl}g^{ik}g^{jl}.

Beweis: Folgt aus dem vorigen Lemma und der Gleichung

\frac{∂}{∂t} (g^{ik}g_{kl}) = g_{kl} \frac{∂}{∂t}g^{ik} + g^{ik} \frac{∂}{∂t}g_{kl} ≡ 0. □

Korollar 2.12 Für das Maß dμ_{t} auf M_{t} gilt: \frac{∂}{∂t}dμ_{t} = −H^{2}dμ_{t}

Beweis: Mit g = \{g_{ij}\} ist dμ_{t} = \sqrt{det g(x, t)} dx. Nach Sätzen der linearen Algebra gilt \frac{∂}{∂t} det g = det g · (g^{kl} \frac{∂}{∂t}g_{kl}) . Daraus folgt mit Lemma 2.10 die Behauptung. □

Lemma 2.13 Die zweite Fundamentalform genügt der Evolutionsgleichung

\frac{∂}{∂t}h_{ij} = △h_{ij} − 2Hh_{im}g^{ml}h_{lj} + |A|^{2}h_{ij}

Beweis: siehe [Hu1], Theorem 3.4.

Korollar 2.14 (i) \frac{∂}{∂t}h_{j}^{i} = △h_{j}^{i} + |A|^{2}h_{j}^{i}

(ii) \frac{∂}{∂t}H = △H + |A|^{2}H  (2.3)
(iii) \frac{∂}{∂t}|A|^{2} = △|A|^{2} − 2|∇A|^{2} + 2|A|^{4}  (2.4)

Beweis: (i) Folgt aus Korollar 2.11 und Lemma 2.13. (ii) und (iii) folgen aus (i) und den Definitionen von H und |A|^{2}. □

Im folgenden bezeichne [0, T) das maximale Zeitintervall, auf dem eine Lösung des mittleren Krümmungsflusses existiert. Nach dem strikten Maximumprinzip 2.2 folgt aus der Vorausssetzung H(p, 0) ≥ 0 für alle p ∈ M^{n} und aus der Evolutionsgleichung (2.3) für H, daß entweder H ≡ 0 auf M^{n} × [0, T) oder H > 0 für alle t > 0. Da es keine kompakten Minimalflächen (H ≡ 0) gibt, aber M^{n} und somit auch alle M_{t} nach Voraussetzung kompakt sind, gilt in der ganzen folgenden Arbeit (O.B.d.A. auch für t = 0)

H(p, t) > 0 ∀ (p, t) ∈ M^{n} × [0, T).  (2.5)

Wegen Lemma 2.6(i) gilt ebenso |A|^{2}(p, t) > 0 ∀ (p, t) ∈ M^{n} × [0, T).

Singularitäten

3.1 Das maximale Zeitintervall

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, daß eine Lösung der Gleichung (1.1) genau bis zu dem Zeitpunkt T < ∞ existiert, an dem das Maximum der Krümmung divergiert. Sei im folgenden [0, T) das maximale Zeitintervall, auf dem eine Lösung des mittleren Krümmungsflusses existiert. Dann gilt

Theorem 3.1 T < ∞.

Beweis: siehe [Hu1], Lemma 5.8. Hier wird das Maximumprinzip 2.2 auf f := H − φ mit c := \frac{1}{n}((H − φ)^{2} + 3Hφ) angewendet.

Um nun auch noch beweisen zu können, daß max_{M_{t}} |A|^{2} → ∞ für t → T, benötigen wir noch einige Vorbereitungen. So bezeichne S ∗ T irgendeine lineare Kombination von Tensoren, die durch Kontraktion von S und T mit der Metrik g entstanden ist. Mit Lemma 2.10 und Korollar 2.11 folgt dann:

\frac{∂}{∂t}Γ_{jk}^{i} = \frac{1}{2}g^{il}(∇_{j} \frac{∂}{∂t}g_{kl} + ∇_{k} \frac{∂}{∂t}g_{jl} − ∇_{l} \frac{∂}{∂t}g_{jk})
= −g^{il}(∇_{j}(Hh_{kl}) + ∇_{k}(Hh_{jl}) − ∇_{l}(Hh_{jk})) = A ∗ ∇A

Daraus läßt sich mit Hilfe vollständiger Induktion folgendes Lemma beweisen:

Lemma 3.2 Für jedes m ∈ ℕ gilt die Gleichung:

\frac{∂}{∂t}|∇^{m}A|^{2} = △|∇^{m}A|^{2} − 2|∇^{m+1}A|^{2} + ∑_{i+j+k=m} ∇^{i}A ∗ ∇^{j}A ∗ ∇^{k}A ∗ ∇^{m}A

Beweis: Für m = 0 ist das die schon bekannte Evolutionsgleichung (2.4) für |A|^{2}. Weiter genau wie in [Ha1], §13. □

Lemma 3.3 Gilt |A|^{2} ≤ C_{0} auf ganz M^{n} × [0, T), so gibt es für alle m ∈ ℕ Konstanten C_{m} < ∞, die nur von n, M_{0} und C_{0} abhängen, so daß

|∇^{m}A|^{2} ≤ C_{m} auf ganz M^{n} × [0, T).

Beweis: Nach Lemma 3.2 gibt es eine nur von n und m abhängige Konstante C(n, m), so daß gilt:

\frac{∂}{∂t}|∇^{m}A|^{2} ≤ △|∇^{m}A|^{2}−2|∇^{m+1}A|^{2}+C(n, m) ∑_{i+j+k=m} |∇^{i}A||∇^{j}A||∇^{k}A||∇^{m}A|

Damit können wir vollständige Induktion durchführen: Für m = 0 haben wir vorausgesetzt, daß |∇^{m}A|^{2} = |A|^{2} ≤ C_{0}. Sei also m > 0 und |∇^{l}A|^{2} ≤ C_{l} für 0 ≤ l ≤ m − 1. Dann gibt es nach obiger Ungleichung Konstanten B_{m−1}, B_{m} > 0, die nur von n, m, M_{0} und C_{l} (0 ≤ l ≤ m − 1) abhängen, so daß gilt:

\begin{aligned}\frac{∂}{∂t}|∇^{m−1}A|^{2} & ≤ & △|∇^{m−1}A|^{2} − 2|∇^{m}A|^{2} + B_{m−1}, \\ \frac{∂}{∂t}|∇^{m}A|^{2} & ≤ & △|∇^{m}A|^{2} + B_{m}(1 + |∇^{m}A|^{2}). \end{aligned}  (3.1)

Multiplizieren wir nun die erste Ungleichung mit B_{m} und addieren sie zur zweiten, so erhalten wir mit f = |∇^{m}A|^{2} + B_{m}|∇^{m−1}A|^{2}

\frac{∂}{∂t}f ≤ △f − B_{m}|∇^{m}A|^{2} + B ≤ △f − B_{m}f + B′

wobei B = B_{m}(B_{m−1} + 1) und B′ = B + B_{m}^{2}C_{m−1}. Daraus folgt mit dem Maximum-Prinzip 2.3, daß auch |∇^{m}A|^{2} beschränkt ist, und zwar durch eine Konstante C_{m}, die nur von n, m, M_{0} und C_{0} abhängig ist, da auch die übrigen Konstanten C_{l} mit l < m wegen der Induktion nur von eben diesen Konstanten abhängig sind. □

Lemma 3.4 Sei g_{ij} eine von der Zeit t abhängige Metrik auf einer kompakten Mannigfaltigkeit M^{n} mit 0 ≤ t < T ≤ ∞, und es gelte

∫_{0}^{T} max_{M^{n}} |\frac{∂}{∂t}g_{ij}| dt ≤ C < ∞,

wobei |\frac{∂}{∂t}g_{ij}|^{2} = g^{ij}g^{kl} (\frac{∂}{∂t}g_{ik}) (\frac{∂}{∂t}g_{jl}) . Dann sind die Metriken g_{ij}(t) für alle Zeiten t äquivalent und konvergieren für t → T gleichmäßig gegen eine positiv definite Metrik g_{ij}(T), die stetig und ebenso zu allen anderen g_{ij}(t) äquivalent ist.

Beweis: siehe [Ha1], Lemma 14.2

Nun können wir den zweiten Hauptsatz dieses Abschnittes beweisen:

Theorem 3.5 Für t → T haben wir max_{M_{t}} |A|^{2} → ∞.

Beweis: Wir wollen zeigen, daß sich bei max_{M_{t}}|A|^{2} ≤ C für alle t ∈ [0, T) die Flächen M_{t} für t → T einer glatten Hyperfläche M_{T} annähern. Dann aber können wir nach der Theorie der quasilinearen parabolischen Differentialgleichungen die Lösung von (1.1) auf spätere Zeiten t > T fortsetzen, was ein Widerspruch zur Maximalität von T ist. Wir nehmen also im folgenden an, daß

max_{M_{t}} |A|^{2} ≤ C  für 0 ≤ t < T  (3.2)

und daß M_{t} lokal gegeben ist durch F (x⃗, t) für x⃗ ∈ U ⊂ ℝ^{n} und 0 ≤ t < T. Dann erhalten wir aus Gleichung (1.1) und Lemma 2.6(i):

|F (x⃗, τ) − F (x⃗, σ)| = |∫_{σ}^{τ} \frac{∂}{∂t}F (x⃗, t)dt| ≤ ∫_{σ}^{τ} H(x⃗, t)dt ≤ \sqrt{nC}(T − σ).

Da T < ∞ nach Theorem 3.1, folgt daraus, daß F ( · , t) für t → T gegen eine eindeutige stetige Funktion F ( · , T) konvergiert. Nach Lemma 2.10, Lemma 2.6(i), Ungleichung (3.2) und Theorem 3.1 gilt außerdem:

∫_{0}^{T} max_{M_{t}} |\frac{∂}{∂t}g_{ij}| dt = ∫_{0}^{T} max_{M_{t}}(2H|A|) ≤ 2\sqrt{n}CT < ∞.

So folgt aus Lemma 3.4, daß F ( · , T) die Parametrisierung einer Hyperfläche M_{T} ist. Da nach Voraussetzung |A|^{2} ≤ C < ∞ auf ganz M^{n}×[0, T), folgt aus Lemma 3.3, daß auch alle Ableitungen von A gleichmäßig beschränkt sind. Daher implizieren die Evolutionsgleichungen (1.1) und (2.2) obere Schranken für alle Ableitungen von F, so daß M_{T} = F ( · , T) glatt ist. Dies aber ist ein Widerspruch zur Maximalität von T. □

3.2 Die zwei Typen von Singularitäten

Bei jeder Singularität haben wir folgende untere Schranke:

Lemma 3.6 max_{M_{t}} |A|^{2} ≥ \frac{1}{2(T −t)}.

Beweis: Sei B(t) := max_{M_{t}} |A|^{2}. Dann gilt nach dem Maximum-Lemma 2.1 und der Evolutionsgleichung (2.4) für |A|^{2}

\frac{d}{dt}B ≤ sup\{\frac{∂}{∂t}|A|^{2}(p_{t}, t) : |A|^{2}(p_{t}, t) = max_{M_{t}} |A|^{2}\}
≤ sup{2|A|^{4}(p_{t}, t) : |A|^{2}(p_{t}, t) = max_{M_{t}} |A|^{2}} = 2B^{2}.

Da B(t) > 0 für alle t ∈ [0, T) (nach Ungleichung (2.5)) und B(t) → ∞ für t → T (nach Theorem 3.5), folgt daraus:

2 ∫_{t}^{T} dτ ≥ ∫_{t}^{T} \frac{B′(τ)}{B^{2}(τ)}dτ = \frac{1}{B(t)}.

Also ist B(t) ≥ \frac{1}{2(T −t)}. □

Dies motiviert folgende Definition.

Definition 3.7 Eine Lösung der Gleichung (1.1) hat zum Zeitpunkt T < ∞ eine TypI-Singularität, falls

max_{M_{t}} |A|^{2} ≤ \frac{C_{0}}{2(T − t)} für ein C_{0} ∈ ℝ und alle t ∈ [0, T),

eine TypII-Singularität, falls

2(T − t) max_{M_{t}} |A|^{2} → ∞ für t → T.

Reskalierungstechniken

Um näherungsweise das Verhalten von M_{t} nahe einer Singularität beschreiben zu können, verwenden wir gewisse Reskalierungstechniken, die je nach Art der Singularität verschieden sind. So multiplizieren wir bei TypI-Singularitäten zu jedem Zeitpunkt t die Parametrisierungen von M_{t} mit einem gewissen Faktor. Diesen Reskalierungsfaktor müssen wir so geschickt wählen, daß wir eine ”vernünftige“ Grenzfläche erhalten, an der wir Aussagen über das asymptotische Verhalten des mittleren Krümmungsflusses nahe der Singularität machen können. Das aber heißt, daß der Reskalierungsfaktor einerseits so groß sein muß, daß die Krümmung der so erhaltenen neuen Hyperflächen gleichmäßig beschränkt ist, daß er aber andererseits auch nicht zu groß sein darf, weil sonst die Krümmung gegen identisch Null geht, die Flächen also zu einer Ebene konvergieren. Bei TypII-Singularitäten reskalieren wir, grob gesprochen, nicht nur die einzelnen Flächen des mittleren Krümmungsflusses, sondern gleich den ganzen Fluß, so daß wir daraus einen Grenzfluß erhalten, der so spezielle Eigenschaften aufweist, daß wir ihn mit einer Translation einer bestimmten Fläche im ℝ^{n+1} identifizieren können.

4.1 Reskalierung der TypI-Singularitäten

Der Fluß M_{t} habe im folgenden bei T eine TypI-Singularität, das heißt es gelte:

max_{M_{t}} |A|^{2} ≤ \frac{C_{0}}{2(T − t)}  für ein C_{0} ∈ ℝ und alle t ∈ [0, T).  (4.1)

Daraus folgt mit der Ungleichung H^{2} ≤ n|A|^{2} (Lemma 2.6(i))

|F (p, t) − F (p, s)| ≤ ∫_{s}^{t} |H(p, τ)|dτ ≤ \sqrt{nC_{0}} ((T − s)^{1/2} − (T − t)^{1/2}) .

Also konvergiert F ( · , t) gleichmäßig für t → T. Damit haben wir folgende Definition:

Definition 4.1 Ein Punkt x ∈ ℝ^{n+1} heißt Blow-up Punkt, wenn es ein p ∈ M^{n} gibt, mit F(p,t) → x und |A|(p, t) → ∞ für t → T.

Wir nehmen im folgenden O.B.d.A an, daß der Ursprung O ∈ ℝ^{n+1} ein solcher Blow-up-Punkt ist. Damit definieren wir eine reskalierte Immersion F̃( · , s) durch

F̃(p, s) = (2(T − t))^{−1/2}F (p, t), s(t) = −\frac{1}{2} ln(T − t).

So gilt ds/dt = (2(T − t))^{−1} und

\begin{aligned}g̃_{ij}(s) & = & (2(T − t))^{−1}g_{ij}(t), & h̃_{ij}(s) & = & (2(T − t))^{−1/2}h_{ij}(t), \\ H̃(s) & = & (2(T − t))^{1/2}H(t), & |Ã|^{2}(s) & = & (2(T − t))|A|^{2}(t). \end{aligned} (4.2)

Außerdem erhalten wir Evolutionsgleichungen für alle reskalierten Krümmungsgrößen. Seien also P und Q Ausdrücke, die nur von g und A abhängen, und seien P̃ und Q̃ die entsprechenden reskalierten Größen. Dann sagen wir, P habe Grad α, wenn P̃ = (2(T − t))^{−α/2}P. Damit errechnen wir Folgendes:

Lemma 4.2 Angenommen es gilt dP/dt = △ P + Q für die ursprüngliche Evolutionsgleichung (1.1), und P hat Grad α. Dann hat Q Grad (α - 2), und es gilt dP̃/ds = ˜△P̃ + Q̃ + αP̃. □

Nach Voraussetzung (4.1) gilt |Ã|^{2} = 2(T − t)|A|^{2} ≤ C_{0}. Daraus folgt

Lemma 4.3 Für jedes m ≥ 0 gibt es eine nur von n, m, C_{0} und M_{0} abhängige Konstante C_{m} < ∞ mit | ˜∇^{m}Ã|^{2} ≤ C_{m} auf ganz M^{n} × [− ln T, ∞).

Beweis: Wie aus den Gleichungen (4.2) leicht zu errechnen ist, gilt | ˜∇^{m}Ã|^{2} = (2(T − t))^{m+1}|∇^{m}A|^{2}, das heißt |∇^{m}A|^{2} hat Grad −2(m + 1). So folgt aus dem vorigen Lemma und Lemma 3.2

\frac{∂}{∂s}| ˜∇^{m}Ã|^{2} = ˜△| ˜∇^{m}Ã|^{2} − 2(m + 1)| ˜∇^{m}Ã|^{2} − 2| ˜∇^{m+1}Ã|^{2}

+ ∑_{i+j+k=m} ˜∇^{i}Ã ∗ ˜∇^{j}Ã ∗ ˜∇^{k}Ã ∗ ˜∇^{m}Ã

≤ ˜△| ˜∇^{m}Ã|^{2} − 2| ˜∇^{m+1}Ã|^{2}

+C(n, m) ∑_{i+j+k=m} | ˜∇^{i}Ã|| ˜∇^{j}Ã|| ˜∇^{k}Ã|| ˜∇^{m}Ã|.

Da |Ã|^{2} ≤ C_{0}, können wir nun wie im Beweis von Lemma 3.3 fortfahren und erhalten die Behauptung. □

Die Krümmung der so reskalierten Hyperflächen M̃_{s} ist also samt allen ihren Ableitungen gleichmäßig in Raum und Zeit nach oben beschränkt. Nach Lemma 3.6 haben wir aber auch maxM̃_{s} |Ã|^{2} = 2(T − t) max_{M_{t}} |A|^{2} ≥ 1, so daß der reskalierte Krümmungsbetrag nie gänzlich verschwinden kann. Damit hat sich die eben beschriebene Reskalierungstechnik für TypI-Singularitäten als sinnvoll erwiesen.

4.2 Reskalierung der TypII-Singularitäten

Handelt es sich bei der zu untersuchenden Singularität um eine vom TypII, das heißt ist lim_{t→T} (2(T − t) max_{M_{t}} |A|^{2}) = ∞, so reicht die im vorigen Abschnitt beschriebene Reskalierung nicht mehr aus, denn dann gilt immer noch maxM̃_{s}|Ã|^{2} = 2(T − t) max_{M_{t}}|A|^{2} → ∞ für t → T. Wir müssen also anders vorgehen. Dazu ist es zunächst wichtig zu wissen, daß H^{2} und |A|^{2} dieselbe Blow-up Rate haben, das heißt es gilt

lim_{t→T} (2(T − t) max_{M_{t}} |A|^{2}) = ∞  ⇔  lim_{t→T} (2(T − t) max_{M_{t}} H^{2}) = ∞.

Denn es ist nicht nur H^{2} ≤ n|A|^{2}, sondern auch:

Lemma 4.4 |A|^{2} ≤ c_{0}H^{2} für ein c_{0} > 0.

Beweis: Aus den Evolutionsgleichungen (2.3) und (2.4) läßt sich errechnen, daß

\frac{∂}{∂t} (\frac{|A|^{2}}{H^{2}} ) = △ (\frac{|A|^{2}}{H^{2}} ) + \frac{2}{H} ⟨∇_{i}H, ∇_{i} (\frac{|A|^{2}}{H^{2}} )⟩ − \frac{2}{H^{4}} |H∇_{i}h_{kl} − ∇_{i}H · h_{kl}|^{2}.

Daraus folgt mit dem Maximum-Prinzip 2.2

\frac{|A|^{2}}{H^{2}} ≤ max_{M_{0}} \frac{|A|^{2}}{H^{2}} =: c_{0},

wobei c_{0} > 0 wegen Ungleichung (2.5) gilt. □

Wir wählen nun eine Folge {(p_{k}, t_{k})} für k ∈ ℕ\{0} mit p_{k} ∈ M^{n} und t_{k} ∈ [0, T − 1/k], so daß

H^{2}(p_{k}, t_{k}) · (T − \frac{1}{k} − t_{k}) = max_{{t≤T −1/k \atop M^{n}}} (H^{2}(p, t) · (T − \frac{1}{k} − t)) .

Dann setzen wir

L_{k} = H(p_{k}, t_{k}),  α_{k} = −L_{k}^{2}t_{k},  ω_{k} = L_{k}^{2} · (T − \frac{1}{k} − t_{k}).

Lemma 4.5 Für TypII-Singularitäten gilt für k → ∞:

t_{k} → T,  L_{k} → ∞,  α_{k} → −∞,  ω_{k} → ∞

Beweis: siehe [HS1], Lemma 4.3.

Nun sei für jedes k ∈ ℕ\{0} eine Familie von Hyperflächen M_{k,s} definiert durch

F_{k}(p, s) = L_{k} · (F (p, L_{k}^{−2}s + t_{k}) − F (p_{k}, t_{k})),  s ∈ [α_{k}, ω_{k}].  (4.3)

Wir versehen dann alle Größen auf M_{k,s} mit entsprechendem Index k. Damit haben wir ν_{k}(p, s) = ν(p, L_{k}^{−2}s + t_{k}) und mit g = {g_{ij}} und A = {h_{ij}}:

g_{k}(p, s) = L_{k}^{2} · g(p, L_{k}^{−2}s + t_{k}), A_{k}(p, s) = L_{k} · A(p, L_{k}^{−2}s + t_{k})
⇒ H_{k}(p, s) = L_{k}^{−1}H(p, L_{k}^{−2}s + t_{k}).

Daraus folgt

\frac{∂}{∂s}F_{k}(p, s) = −H_{k}(p, s) · ν_{k}(p, s),  (4.4)

das heißt F_{k} ist eine Lösung des mittleren Krümmungsflusses, die für Zeiten s ∈ [α_{k}, ω_{k}] existiert.

Lemma 4.6 Für die wie in (4.3) reskalierten Immersionen M_{k,s} gilt:

(i) F_{k}(p_{k}, 0) = 0, H_{k}(p_{k}, 0) = 1; (ii) Für alle ε > 0 und alle ω̄ > 0 existiert ein solches k_{0}, daß

max_{M_{k,s}} H_{k} ≤ 1 + ε für alle k ≥ k_{0} und s ∈ [α_{k_{0}}, ω̄].

Beweis: siehe [HS1], Lemma 4.4(i) und (iii).

Wie wir in Kapitel 6 noch sehen werden, konvergiert eine Teilfolge von M_{k,s} gegen einen mittleren Krümmungsfluß M̃_{s}, der für alle s ∈ ℝ definiert ist. Aus dem eben genannten Lemma folgt dann sofort, daß auf allen M̃_{s} überall H̃ ≤ 1 gilt, also |Ã|^{2} ≤ c_{0} nach Lemma 4.4. Nach Lemma 3.3 sind dann auch alle Ableitungen | ˜∇^{m}Ã| gleichmäßig beschränkt. Gleichzeitig aber ist H̃ auf M̃_{0} nicht identisch Null, da nach dem ersten Teil des obigen Lemmas 0 ∈ M_{k,0} ist und an diesem Punkt H_{k} = 1 für alle k gilt, so daß dasselbe auch für die Grenzfläche M̃_{0} gilt. Wir haben also die Reskalierung gerade so gewählt, daß die Singularität weder ”singulär“ bleibt, noch die Flächen zu trivialen Ebenen ”abflachen“. An dem so erhaltenen Grenzfluß können wir somit sehr schön sehen, wie sich der mittlere Krümmungsfluß in der Nähe der Singularität verhält. Weiteres dazu dann in Kapitel 6.

4.3 Reskalierung für strikt konvexe Flächen

In Kapitel 8 werden wir den mittleren Krümmungsfluß von konvexen Fächen und ihr Verhalten nahe einer Singularität untersuchen. Dazu benutzen wir wieder eine andere Art der Reskalierung. Im Unterschied zu den beiden zuerst beschriebenen Reskalierungstechniken konvergieren bei der im folgenden beschriebenen Methode nicht nur Teilfolgen der reskalierten Flächen; vielmehr konvergieren diese komplett gegen eine Sphäre. Außerdem können wir Aussagen über die Schnelligkeit dieser Konvergenz machen. Hier sei zunächst die Art der Reskalierung beschrieben: Wie wir in Kapitel 8 noch sehen werden, konvergieren bei konvexer Anfangsfläche M_{0} die Flächen M_{t} des Flusses gegen einen Punkt O∈ ℝ^{n+1}. Nehmen wir O.B.d.A. an, daß O∈ ℝ^{n+1} der Ursprung im ℝ^{n+1} ist, so multiplizieren wir die Parametrisierung von M_{t} zu jedem Zeitpunkt t mit einem solchen Faktor ψ(t), daß der Flächeninhalt der reskalierten Flächen M̃_{t} konstant gleich dem Flächeninhalt der Anfangsfläche M_{0} ist, das heißt M̃_{t} ist gegeben durch

F̃(p, t) = ψ(t) · F (p, t) mit |M̃_{t}| = ∫M̃_{t} dμ̃ = |M_{0}|.

Außerdem benutzen wir eine andere Zeitvariable, nämlich s(t) = ∫_{0}^{t} ψ^{2}(τ)dτ, also s ∈ [0, S) mit S = ∫_{0}^{T} ψ^{2}(τ)dτ. Um nun zu zeigen, daß H̃ für alle Zeiten s ∈ [0, S) sowohl nach oben als auch nach unten durch Konstanten C_{α}, C_{β} > 0 beschränkt ist, benötigen wir folgende drei Sätze aus Kapitel 8:

1) Die Flächen M_{t} konvergieren für t → T gegen einen Punkt O ∈ ℝ^{n+1} (Thm.8.1). O.B.d.A. ist O der Ursprung vom ℝ^{n+1}.

2) H̃_{max}/H̃_{min} → 1 für s → S (Kor.8.24(ii)).

3) h̃_{ij} ≥ εH̃g̃_{ij} auf ganz M^{n} × [0, S) (Kor.8.24(i)).

Theorem 4.7 Es gibt Konstanten C_{α} und C_{β}, so daß für 0 ≤ s < S gilt:

0 < C_{α} ≤ H̃_{min} ≤ H̃_{max} ≤ C_{β} < ∞

Beweis: Die Fläche M̃_{s} umschließt ein Volumen Ṽ_{s}, das durch das Divergenztheorem gegeben ist, nämlich

Ṽ_{s} = \frac{1}{n + 1} ∫M̃_{s}(F̃, ν)dμ.  (4.5)

Da nach Ungleichung (2.5) jeder Vektor −Hν auf M_{t} nach innen zeigt, ist es offensichtlich, daß für t_{1} > t_{2} die Fläche M_{t_{1}} in einem Gebiet des ℝ^{n+1} liegt, das von M_{t_{2}} umschlossen wird. Somit liegt der Punkt O, gegen den nach Theorem 8.1 die Flächen M_{t} konvergieren, in jedem der Gebiete, die von den Flächen M_{t} umschlossen werden. Da wir angenommen haben, daß O der Ursprung vom ℝ^{n+1} ist, liegt er auch in jedem der Gebiete, die von den reskalierten Flächen M̃_{s} umschlossen werden. Somit ist (F̃, ν̃) überall auf M̃_{s} positiv.

Mit der isoperimetrischen Ungleichung haben wir

Ṽ_{s} ≤ c_{n}|M̃_{s}|^{n/(n−1)} = c_{n}|M_{0}|^{n/(n−1)}.

Damit erhalten wir aus Gleichung (4.5), der Gleichung div_{M} F = n und der ersten Variationsformel ∫_{M} div_{M}Y dμ = ∫_{M} H(Y, ν)dμ

|M_{0}| = |M̃_{s}| = \frac{1}{n} ∫M̃_{s} H̃(F̃, ν̃)dμ̃ ≤ \frac{n + 1}{n} · H̃_{max} · Ṽ_{s}
≤ \frac{n + 1}{n} · c_{n}|M_{0}|^{n/(n−1)} · H̃_{max},

woraus wir wegen H̃_{max}/H̃_{min} → 1 (Korollar 8.24(ii)) eine untere Schranke nicht nur für H̃_{max}, sondern auch für H̃_{min} erhalten. Nach Korollar 8.24(i) gilt auf ganz M^{n} × [0, S) : h̃_{ij} ≥ εH̃g̃_{ij}. So kann das eingeschlossene Volumen Ṽ_{s} durch das Volumen einer Kugel vom Radius (εH̃_{min})^{−1} abgeschätzt werden:

Ṽ_{s} ≤ c_{n}(εH̃_{min})^{−(n+1)}

Aus Gleichung (4.5) und der ersten Variationsformel folgt andererseits

Ṽ_{s} ≥ \frac{1}{n + 1}H̃_{max}^{−1} ∫M̃_{s} H̃(F̃, ν̃)dμ̃ = \frac{n}{n + 1}H̃_{max}^{−1}|M_{0}|

⇒ (H̃_{min})^{n} ≤ c_{n}ε^{−(n+1)} \frac{n + 1}{n}|M_{0}|^{−1} · \frac{H̃_{max}}{H̃_{min}} ,

wodurch wir wegen H̃_{max}/H̃_{min} → 1 eine obere Schranke für H̃_{max} erhalten.

□

Damit ist auch diese Art von Reskalierung bei konvexen kompakten Anfangsflächen als sinnvoll erwiesen: Die mittlere Krümmung ist sowohl nach oben als auch nach unten durch positive Konstanten gleichmäßig beschränkt.

TypI-Singularitäten

In diesem Kapitel wollen wir das Verhalten von Lösungen des mittleren Krümmungsflusses (1.1) untersuchen, die zu einem endlichen Zeitpunkt T eine TypI-Singularität ausbilden, wo also gilt:

max_{M_{t}} |A|^{2} ≤ \frac{C_{0}}{2(T − t)}  für ein C_{0} ∈ ℝ und alle t ∈ [0, T).  (5.1)

Dazu verwenden wir die in Abschnitt 4.1 beschriebene Reskalierungstechnik. Wir nehmen also O.B.d.A den Ursprung O ∈ ℝ^{n+1} als einen Blow-up-Punkt an und haben damit Immersionen F̃( · , s) : M^{n} → ℝ^{n+1} gegeben durch

F̃(p, s) = (2(T − t))^{−1/2}F (p, t), s(t) = −\frac{1}{2} ln(T − t).

Aus ds/dt = (2(T − t))^{−1} und den Gleichungen (4.2) folgt somit aus Gleichung (1.1) die Evolutionsgleichung für die reskalierten Flächen M̃_{s} = F̃( · , s)(M^{n}), nämlich

\frac{d}{ds}F̃(p, s) = F̃(p, s) + H̃(p, s),  s ∈ [−\frac{1}{2} ln T, ∞);  (5.2)

dabei ist H̃ = −H̃ν der mittlere Krümmungsvektor von M̃_{s}. Außerdem folgt mit Korollar 2.12:

Lemma 5.1 Für das Maß dμ̃_{s} gilt: \frac{∂}{∂s}dμ̃_{s} = (n − H̃^{2})dμ̃_{s}. □

5.1 Die Monotonieformel

In diesem Abschnitt wollen wir die sogenannte Monotonieformel beweisen und mit dieser dann zeigen, daß die TypI-Singularitäten asymptotisch homothetisch-selbstähnlich sind. Sei also auf ℝ^{n+1} eine Gewichtsfunktion ρ definiert durch

ρ(x) = exp (−\frac{1}{2}|x|^{2}) .

Damit erhalten wir

Theorem 5.2 (Monotonieformel) Mit F̃^{⊥} = (F̃, ν)ν gilt die Formel (F̃ = F̃(p, s) ist der Positionsvektor im ℝ^{n+1}):

\frac{d}{ds} ∫M̃_{s} ρ dμ̃_{s} = − ∫M̃_{s} ρ|H̃ + F̃^{⊥}|^{2} dμ̃_{s}.  (5.3)

Beweis: Aus der Evolutionsgleichung (5.2) von F̃ folgt

\frac{∂}{∂s}ρ(F̃(p, s)) = − (F̃(p, s), \frac{∂}{∂s}F̃(p, s)) ρ(F̃(p, s))
= − (|F̃(p, s)|^{2} + (F̃(p, s), H̃(p, s))) ρ(F̃(p, s)).

Das ergibt mit Lemma 5.1:

\frac{d}{ds} ∫M̃_{s} ρ dμ̃_{s} = − ∫M̃_{s} ρ·(|F̃|^{2} + (F̃, H̃)) dμ̃_{s} + ∫M̃_{s} ρ·(n − H̃^{2})dμ̃_{s}
= − ∫M̃_{s} ρ·|H̃ + F̃|^{2}dμ̃_{s} + ∫M̃_{s} ρ·(F̃, H̃) dμ̃_{s} + n ∫M̃_{s} ρ dμ̃_{s}.

Da nach Voraussetzung M^{n} und somit auch alle Einbettungen M̃_{s} kompakt sind, können wir hier die erste Variationsformel ∫_{M}div_{M}Y dμ=− ∫_{M}(Y, H)dμ auf Y = ρF̃ anwenden. Dazu berechnen wir zunächst divM̃_{s}(ρF̃), indem wir eine Orthonormalbasis {e_{i}} auf T_{p}M̃_{s} wählen, so daß

divM̃_{s}(ρF̃) = (∇_{e_{i}}(ρF̃), e_{i}) = ((∇_{e_{i}}ρ)F̃ + ρ ∇_{e_{i}} F̃ , e_{i})
= ∇_{e_{i}}ρ (F̃, e_{i}) + ρ (e_{i}, e_{i}),

wobei (e_{i}, e_{i}) = n und ∇_{e_{i}}ρ = −\frac{1}{2}∇_{e_{i}}|F̃|^{2} · ρ = −(F̃, e_{i}) · ρ. Mit F̃^{⊤} = ∑_{i=1}^{n}(F̃, e_{i})e_{i} haben wir also

divM̃_{s}(ρF̃) = −ρ (|F̃^{⊤}|^{2} − n),

woraus mit der Variationsformel folgt:

∫M̃_{s} ρ (F̃, H) dμ̃_{s} = ∫M̃_{s} ρ (|F̃^{⊤}|^{2} − n) dμ̃_{s}.

Somit gilt mit F̃^{⊥} = (F̃, ν)ν

\frac{d}{ds} ∫M̃_{s} ρ dμ̃_{s} = − ∫M̃_{s} ρ |H̃ + F̃|^{2}dμ̃_{s} + ∫M̃_{s} ρ |F̃^{⊤}|^{2}dμ̃_{s}
= − ∫M̃_{s} ρ |H̃ + F̃^{⊥}|^{2}dμ̃_{s}.  □

Korollar 5.3 Für R > 0 ist der Flächeninhalt von M̃_{s} ∩ B_{R}(0) für alle s ∈ [−\frac{1}{2} ln T, ∞) gleichmäßig beschränkt, das heißt es gibt ein C_{R} > 0, das nur von R und der Anfangsfläche M_{0} abhängt, so daß |M̃_{s} ∩ B_{R}(0)| ≤ C_{R}.

Beweis: Nach dem vorigen Theorem ist

\frac{d}{ds} ∫M̃_{s} ρ dμ̃_{s} = − ∫M̃_{s} ρ|H̃ + F̃^{⊥}|^{2} dμ̃_{s} ≤ 0

für alle s. Also haben wir

∫M̃_{s} ρ dμ̃_{s} ≤ ∫M̃_{0} ρ dμ̃_{0} ≤ |M̃_{0}| = (2T)^{−n/2}|M_{0}| =: C

mit C < ∞, weil nach Voraussetzung M^{n} und somit auch M̃_{0} kompakt ist. Somit gilt wegen ρ(F̃) · exp (\frac{R^{2}}{2} ) ≥ 1 für F̃ ∈ M̃_{s} ∩ B_{R}(0):

|M̃_{s} ∩ B_{R}(0)| = ∫_{M̃_{s}∩B_{R}(0)} dμ̃_{s} ≤ exp (\frac{R^{2}}{2} ) ∫_{M̃_{s}∩B_{R}(0)} ρ dμ̃_{s}
≤ C · exp (\frac{R^{2}}{2} ) =: C_{R} < ∞

für alle s ∈ [−\frac{1}{2} ln T, ∞). □

Mit Voraussetzung (5.1) und der Annahme, daß der Ursprung O ∈ ℝ^{n+1} ein Blow-up-Punkt ist, haben wir folgendes Lemma:

Lemma 5.4 Es gibt ein p∈M^{n}, so daß F̃(p, s) für s→∞ beschränkt bleibt.

Beweis: Da nach Annahme der Ursprung des ℝ^{n+1} ein Blow-up-Punkt ist, gibt es ein p ∈ M^{n} mit F (p, t) → 0 für t → T. Damit folgt aus (5.1):

|F (p, t)| ≤ ∫_{t}^{T} |H(p, τ)|dτ ≤ \sqrt{nC_{0}} ∫_{t}^{T}(2(T −t))^{−1/2}dτ ≤ \sqrt{nC_{0}}(2(T −t))^{1/2}.

Also gilt für alle s: |F̃(p, s)| = (2(T − t))^{−1/2}|F (p, t)| ≤ \sqrt{nC_{0}} < ∞. □

Wir erhalten nun mit Hilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß und des Satzes von Arzela-Ascoli eine nicht triviale Grenzfläche:

Theorem 5.5 Gilt die Ungleichung (5.1), so gibt es für jede Folge s_{j} → ∞ eine solche Teilfolge (s_{jl})_{l∈ℕ}, daß die Flächen M̃_{s_{jl}} gegen eine glatte, nicht leere Grenzfläche M̃_{∞} konvergieren.

Beweis: Für q ∈ ℝ^{n+1} sei W_{r}(q) der abgeschlossene Würfel im ℝ^{n+1} mit Seitenlänge 2r und Mittelpunkt q. Sei weiterhin U_{r,p}^{s} für p ∈ M^{n} die Komponente von F̃^{−1}( · , s)(W_{r}(F̃(p, s))), in der auch p liegt. Da |Ã|^{2} nach Ungleichung (5.1) in s gleichmäßig beschränkt ist, gibt es eine nur von C_{0} abhängige Zahl r_{0} > 0, so daß sich F̃( · , s)(U_{r_{0},p}^{s}) für jedes p ∈ M^{n} als Graph einer C^{∞}-Funktion f_{p,s} über dem Kompaktum K_{r_{o}}(F̃(p, s)) := T_{F̃(p,s)}M_{s} ∩ W_{r_{o}}(F̃(p, s)) schreiben läßt und dabei der Gradient |∇f_{p,s}| für alle (p, s) ∈ M^{n} × [−\frac{1}{2} ln T, ∞) gleichmäßig beschränkt ist. Nach Korollar 5.3 ist für jedes R > 0 der Flächeninhalt von M̃_{s} ∩ B_{R}(0) gleichmäßig in s durch eine Konstante C_{R} beschränkt, so daß sich jede Fläche M̃_{s} ∩ B_{R}(0) als Graph über eine von s unabhängige Anzahl N = N(r_{0}, C_{R}) von Kompakta K_{r_{o}}(q_{s}^{k}) ⊂ T_{q_{s}^{k}}(M̃_{s} ∩ B_{R}(0)), 1 ≤ k ≤ N schreiben läßt.

Da die Menge der Punkte q_{s}^{k} wegen M̃_{s} ∩ B_{R}(0) ⊂ B_{R}(0) im ℝ^{n+1} beschränkt ist und die Menge der möglichen Richtungen v_{s}^{k} ∈ ℝ^{n+1} der Tangentialräume T_{q_{s}^{k}}(M̃_{s} ∩ B_{R}(0)) im ℝ^{n+1} der Sphäre, also einem kompakten topologischen Raum, entspricht, gibt es nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß für jede Folge s_{j} → ∞ eine Teilfolge (s_{jl})_{l∈ℕ} ⊂ (s_{j})_{j∈ℕ}, so daß für jedes 1 ≤ k ≤ N die Tangentialräume T_{q_{s_{jl}}^{k}}(M̃_{s_{jl}} ∩ B_{R}(0)) für l → ∞ konvergieren.

(Anmerkung: Um eine solche Teilfolge zu finden, nehmen wir eine Teilfolge von (s_{j}), für die q_{s}^{1} konvergiert, hiervon eine Teilfolge, für die q_{s}^{2} konvergiert usw., so daß wir eine Teilfolge erhalten, für die alle q_{s}^{k} konvergieren. Davon nehmen wir wieder eine Teilfolge, für die v_{s}^{1} konvergiert, hiervon eine Teilfolge, für die v_{s}^{2} konvergiert usw. Schließlich haben wir die gesuchte Teilfolge, für die sowohl alle q_{s}^{k} als auch alle v_{s}^{k} konvergieren.)

Mithilfe des Satzes von Arzela-Ascoli finden wir nun weiter heraus, daß für jedes 1 ≤ k ≤ N auch jede Folge der Funktionen f_{s}^{k}, die auf den jeweiligen Kompakta K_{r_{0}}(q_{s}^{k}) leben und M̃_{s} ∩ B_{R}(0) beschreiben, eine sogar gleichmäßig konvergente Teilfolge besitzt. Denn da nach Konstruktion von r_{0} sowohl |∇f_{s}^{k}| als auch |f_{s}^{k}| für alle 1 ≤ k ≤ N und alle s ∈ [−\frac{1}{2} ln T, ∞) gleichmäßig beschränkt sind, ist zum einen F = \{f_{s}^{k} | 1 ≤ k ≤ N, s ∈ [−\frac{1}{2} ln T, ∞)\} ⊂ C^{∞}(K_{r_{o}}(0), ℝ) gleichgradig stetig und zum andern F (x) = {f(x) | f ∈ F } ⊂ ℝ für alle x ∈ K_{r_{0}}(0) relativkompakt in ℝ (K_{r_{o}}(0) ist das abgeschlossene Quadrat im ℝ^{n} mit Seitenlänge 2r_{0} und Mittelpunkt 0; dieses ist isomorph zu den oben beschriebenen Kompakta K_{r_{o}}(q_{s}^{k})). Somit sind die Voraussetzungen für den Satz von Arzela-Ascoli erfüllt. Demnach ist die Funktionenmenge F bezüglich der Supremums-Metrik D(f, g)=sup{|f(x)−g(x)|, x∈K_{r_{o}}(0)} relativkompakt in C^{∞}(K_{r_{o}}(0), ℝ), so daß es wieder nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine solche Teilfolge (s_{jl})_{l∈ℕ} ⊂ (s_{j})_{j∈ℕ} gibt, daß nicht nur T_{q_{s_{jl}}^{k}}(M̃_{s} ∩ B_{R}(0)), sondern auch f_{s_{jl}}^{k} ∈ F für l → ∞ konvergiert. Da es sich um Konvergenz bezüglich der Supremums-Metrik handelt, ist sie sogar gleichmäßig, so daß die Grenzfunktion f_{∞}^{k} := lim_{l→∞} f_{s_{jl}}^{k} wieder stetig ist. Da nach Lemma 4.3 auch die Ableitungen von Ã gleichmäßig beschränkt sind, läßt sich ganz analog beweisen, daß es für jedes m > 0 solche Teilfolgen von (s_{j})_{j∈ℕ} gibt, daß auch die m-ten Ableitungen der Funktionen f_{s}^{k} konvergieren. Für eine Diagonalfolge (s_{jl})_{l∈ℕ} konvergieren dann alle Ableitungen, so daß die Flächen M̃_{s_{jl}} ∩B_{R}(0) gegen eine glatte Grenzfläche M̃_{R,∞} ⊂ \overline{B_{R}(0)} konvergieren. Wegen des vorigen Lemmas ist diese Grenzfläche nicht leer, wenn wir R groß genug wählen. Da wir mit jedem R > 0 so verfahren können, finden wir eine Diagonalfolge (s_{jl})_{l∈ℕ}, für die die Flächen M̃_{s_{jl}} gegen eine glatte, nicht leere Grenzfläche M̃_{∞} ⊂ ℝ^{n+1} konvergieren, das heißt (s_{jl})_{l∈ℕ} ist die gesuchte Teilfolge von (s_{j})_{j∈ℕ}. □

Die Monotonieformel ergibt nun eine Charakterisierung der Grenzfläche.

Theorem 5.6 Jede Grenzfläche M̃_{∞}, die wir wie im obigen Theorem erhalten, genügt der Gleichung

H̃_{∞} = (F̃_{∞}, ν̃_{∞}),  (5.4)

wobei F̃_{∞} der Positionsvektor, H̃_{∞} die mittlere Krümmung und ν̃_{∞} der Normalenvektor der Grenzfläche ist.

Beweis: Sei (s_{j})_{j∈ℕ} eine Folge, für welche die Flächen M̃_{s_{j}} gegen die Grenzfläche M̃_{∞} konvergieren. Dann erhalten wir aus der Monotonieformel (5.3)

lim_{j→∞} ∫_{0}^{s_{j}} ∫M̃_{s} ρ|H̃ + F̃^{⊥}|^{2} dμ̃_{s} ds = ∫M̃_{0} ρ dμ̃_{0} − lim_{j→∞} ∫M̃_{s_{j}} ρ dμ̃_{s_{j}} < ∞.

Also ist

lim_{j→∞} ∫M̃_{s_{j}} ρ |H̃ + F̃^{⊥}|^{2} dμ̃_{s_{j}} = ∫M̃_{∞} ρ |H̃ + F̃^{⊥}|^{2} dμ̃_{∞} = 0.

Da der Flächeninhalt von M̃_{∞} wegen der Abschätzungen in Lemma 4.3 nicht verschwinden kann und überall ρ > 0 ist, gilt auf ganz M̃_{∞}:

|H̃ + F̃^{⊥}| ≡ 0 ⇒ H̃ = |F̃^{⊥}| = (F̃, ν̃). □

Was bedeutet nun diese Gleichung? Um dies zu klären, nehmen wir an, daß die Anfangsfläche M̃_{0} der Gleichung H̃_{0} = (F̃_{0}, ν̃_{0}) genügt. Für

F (p, t) := (2(T − t))^{1/2}F̃_{0}(p),

ist ν = ν̃ konstant in t und H(t) = (2(T − t))^{−1/2}H̃_{0}, und somit wegen H̃_{0} = (F̃_{0}, ν̃_{0})

(\frac{∂}{∂t}F (p, t))^{⊥} = −(2(T − t))^{−1/2}H̃_{0}ν̃_{0} = −Hν.

Bis auf tangentiale Deformation ist also der mittlere Krümmungsfluß für diese Anfangsflächen durch Homothetien gegeben. Bildlich sieht dies genau wie eine homothetische Schrumpfung der Fläche aus: ”tangentiale Deformation“ bedeutet lediglich, daß M_{t} zu jedem Zeitpunkt t umparametrisiert wird. Wir können somit die Grenzflächen M̃_{∞} als neue Anfangsflächen betrachten, die Reskalierung rückgängig machen und sehen, daß M_{t} nahe der Singularität homothetisch-selbstähnlich schrumpft. Noch offene Fragestellungen betreffen die Eindeutigkeit der Grenzfläche in Theorem 5.5 und die Zahl der Lösungen der Gleichung (5.4). Im nächsten Abschnitt werden wir den Fall betrachten, in dem die Fläche, für die (5.4) gilt, nichtnegative mittlere Krümmung hat.

5.2 Homothetische Lösungen

Sei wieder M̃_{∞} eine wie in Theorem 5.5 gefundene Grenzfläche des mittleren Krümmungsflusses. Für diese gilt dann die Homothetienbedingung (5.4). Da nach Ungleichung (2.5) die mittlere Krümmung auf allen Flächen M_{t} positiv ist, ist sie auch auf allen reskalierten Flächen M̃_{s} positiv und somit auf M̃_{∞} wenigstens nicht negativ. Nach Korollar 5.3 ist der Flächeninhalt von M̃_{∞} in jedem Kompaktum des ℝ^{n+1} beschränkt. Damit haben wir folgendes Theorem:

Theorem 5.7 Eine wie in Theorem 5.5 erhaltene Grenzfläche M̃_{∞} ist eine der folgenden Flächen:

(i) S^{n}, (ii) S^{n−m} × ℝ^{m}, (iii) Γ × ℝ^{n−1},

wobei Γ eine der homothetisch schrumpfenden ”Abresch-Langer-Kurven“ ist, die im Theorem 7.4 dieser Arbeit präzisiert werden.

Der Einfachheit halber lassen wir im ganzen folgenden Beweis bei allen möglichen Bezeichnungen die Tilde und den Index ∞ weg, also M̃_{∞} = M, H̃_{∞} = H, Ã_{∞} = A usw.. Wir zeigen zunächst folgenden Hilfssatz.

Hilfssatz 5.8 M ist analytisch.

Beweis: Sei u : U ⊂ ℝ^{n} → ℝ lokale Graphdarstellung von M ⊂ ℝ^{n+1}. Dann ist

H = −D_{i} (\frac{D_{i}u}{\sqrt{1 + |Du|^{2}}} )

und somit wegen H = (F, ν) = ((x, u(x)), ν) mit ν = \frac{1}{\sqrt{1+|Du|^{2}}} (−Du, 1)

−D_{i} (\frac{D_{i}u}{\sqrt{1 + |Du|^{2}}} ) = \frac{1}{\sqrt{1 + |Du|^{2}}} (−(Du, x)_{ℝ^{n}} + u).  (5.5)

Daraus folgt nach der Theorie der quasilinearen partiellen Differentialgleichungen, daß u und somit auch M analytisch ist. Literatur?? □

Beweis des Theorems 5.7: Sei e_{1}, ..., e_{n} ein angepaßtes orthonormales n-Bein. Durch zweimaliges Differenzieren der Gleichung H = (F, ν) erhalten wir

△H = H − |A|^{2}H + (F, e_{l})∇^{l}H,  (5.6)
⟨h_{ij}, ∇_{i}∇_{j}H⟩ = |A|^{2} − Htr(A^{3}) + \frac{1}{2}(F, e_{l})∇^{l}|A|^{2},  (5.7)

wobei tr(A^{3}) = h_{l}^{k}h_{k}^{j}h_{j}^{l}. Dabei haben wir benutzt, daß ∇_{i}ν = h_{i}^{l}∇_{l}F, ∇_{i}∇_{j}F = −h_{ij}ν, (F, ν) = H und ∇_{i}h_{j}^{l} = ∇^{l}h_{ij} (Codazzi). Da nach unseren Überlegungen zu Beginn dieses Abschnittes die mittlere Krümmung überall nichtnegativ ist, gilt nach Gleichung (5.6)

−△H + (F, e_{l})∇^{l}H + H = |A|^{2}H ≥ 0,

so daß entweder H ≡ 0 ist, und somit M = ℝ^{n} wegen H = (F, ν) (dies entspricht dem zweiten Fall des Theorems mit m = n), oder mit dem strikten Maximum-Prinzip 2.5 folgt, daß überall

H > 0

ist, was wir im folgenden voraussetzen wollen. Mit Lemma 2.9(ii) erhalten wir aus der Gleichung (5.7):

△|A|^{2} = 2|A|^{2} + (F, e_{l})∇^{l}|A|^{2} + 2|∇A|^{2} − 2|A|^{4}.

Da außerdem

|h_{ij}∇_{l}H − H∇_{l}h_{ij}|^{2} = |A|^{2}|∇H|^{2} + H^{2}|∇A|^{2} − H⟨∇_{i}|A|^{2}, ∇_{i}H⟩ (5.8)

und

∇_{i} (\frac{|A|^{2}}{H^{2}} ) = \frac{1}{H^{2}} ∇_{i}|A|^{2} − 2\frac{|A|^{2}}{H^{3}} ∇_{i}H,  (5.9)

folgt mit Gleichung 5.6

△ (\frac{|A|^{2}}{H^{2}} ) = \frac{2}{H^{4}} |h_{ij}∇_{l}H − H∇_{l}h_{ij}|^{2} − \frac{2}{H} ⟨∇_{i}H, ∇_{i} (\frac{|A|^{2}}{H^{2}} )⟩

+(F, e_{l})∇^{l} (\frac{|A|^{2}}{H^{2}} ) .

Diese Gleichung multiplizieren wir mit |A|^{2}ρ, wobei wieder wie im vorigen Abschnitt ρ(x) = exp (−\frac{1}{2}|x|^{2}). Benutzen wir dann ∇_{i}ρ = −(F, e_{i})ρ und die Gleichung (5.9) und führen partielle Integration durch, so erhalten wir

∫_{M} H^{2} |∇ (\frac{|A|^{2}}{H^{2}} )|^{2} ρ dμ + 2 ∫_{M} \frac{|A|^{2}}{H^{4}} |h_{ij}∇_{l}H − H∇_{l}h_{ij}|^{2} ρ dμ = 0.

Wegen H >0 ist somit

A|^{2}/H^{2} ≡ α > 0  (5.10)

und |h_{ij}∇_{l}H − H∇_{l}h_{ij}| ≡ 0.  (5.11)

Daraus folgt mit den Codazzi-Gleichungen

h_{ij}∇_{l}H = H∇_{l}h_{ij} = H∇_{j}h_{il} = h_{il}∇_{j}H ⇒ |h_{ij}∇_{l}H − h_{il}∇_{j}H|^{2} ≡ 0.

Wählen wir dann an einem gegebenen Punkt p ∈ M das Koordinatensystem so, daß e_{1} = ∇H/|∇H| und somit in diesen Koordinaten ∇_{l}H = |∇H|·δ_{1l} ist, so folgt daraus

|∇H|^{2} (|A|^{2} − ∑_{k=1}^{n} h_{1k}^{2}) ≡ 0,

und somit |∇H| = 0 oder |A|^{2} = ∑_{k=1}^{n} h_{1k}^{2} an diesem Punkt. In dem Fall, daß überall |∇H| = 0 gilt, folgt aus H > 0 und Gleichung (5.11), daß |∇A|^{2} ≡ 0. Das aber ist gleichbedeutend damit, daß M entweder eine Sphäre S^{n} oder ein Zylinder S^{n−m} × ℝ^{m} ist, was den ersten beiden Fällen des Theorems 5.7 entspricht.

Gibt es dagegen einen Punkt p_{0} ∈ M, wo |∇H| ≠ 0, so gilt dort

∑_{k=1}^{n} h_{1k}^{2} = |A|^{2} = h_{11}^{2} + 2 ∑_{k=2}^{n} h_{1k}^{2} + ∑_{i,j=2}^{n} h_{ij}^{2},

und somit

|A|^{2} = h_{11}^{2} = H^{2}.  (5.12)

Aus (5.10) folgt, daß diese Gleichung sogar überall auf M gilt. Damit wollen wir nun zeigen, daß M eine der Flächen Γ × ℝ^{n−1} darstellt. Da M nach Hilfssatz 5.8 analytisch ist, reicht es, eine kleine Umgebung V von p_{0} in M zu betrachten. Damit seien zwei Distributionen definiert durch

D_{1} = {X ∈ T_{p}V | p ∈ V, AX = HX},
D_{2} = {X ∈ T_{p}V | p ∈ V, AX = 0}.

Wir wollen zeigen, daß D_{1} und D_{2} involutiv sind, daß also für X, Y ∈ D_{i} auch die Lieklammer [X, Y] in D_{i} ist, um hinterher den Satz von Frobenius anwenden zu können. Sei also Y ∈ D_{1}, so gilt HY^{k} = h_{j}^{k}Y^{j} und somit

H∇_{i}HX^{i}Y^{k} = h_{j}^{k}∇_{i}HX^{i}Y^{j},

woraus mit Gleichung (5.11) folgt:

∇_{X}H(Y) = ∇_{X}A(Y).  (5.13)

Mit HY = AY haben wir aber auch ∇_{X}(HY) = ∇_{X}(AY), was äquivalent ist zu

∇_{X}H(Y) + H(∇_{X}Y) = ∇_{X}A(Y) + A(∇_{X}Y).

Daraus folgt mit (5.13), daß H(∇_{X}Y) = A(∇_{X}Y), also ∇_{X}Y ∈ D_{1}. Hier haben wir nur vorausgesetzt, daß Y in D_{1} liegt, X ist dagegen zunächst beliebig. Ist aber auch X ∈ D_{1}, so ist nach eben Bewiesenem ∇_{Y} X ∈ D_{1} und somit auch [X, Y] = ∇_{X}Y − ∇_{Y} X ∈ D_{1}. Analog können wir beweisen, daß für X, Y ∈ D_{2} auch [X, Y] in D_{2} liegt.

Damit ist die Voraussetzung für den Satz von Frobenius erfüllt. Demnach gibt es durch jeden Punkt p ∈ V lokale Integralmannigfaltigkeiten I(p) von D_{1} und J(p) von D_{2}. Da deren Tangentialräume komplementär sind, also zusammengesetzt den jeweiligen Tangentialraum von V ergeben, gibt es für V ein lokales Koordinatensystem U = {(x, y_{1}, ..., y_{n−1})}, so daß p_{0} dem Ursprung entspricht und

I((x̄, ȳ_{1}, ..., ȳ_{n−1})) = {(x, ȳ_{1}, ..., ȳ_{n−1}) ∈ U},
J((x̄, ȳ_{1}, ..., ȳ_{n−1})) = {(x̄, y_{1}, ..., y_{n−1}) ∈ U}

die Integralkurven von D_{1} beziehungsweise die (n−1)-dimensionalen Integralblätter von D_{2} sind.

Wir können nun weiterhin zeigen, daß die Tangentialraumzerlegung D_{1} ∩ T_{p}V × D_{2} ∩ T_{p}V = T_{p}V invariant unter Paralleltransport ist, daß also für X(0) ∈ D_{i} auch alle parallelverschobenen Vektoren X(t) in D_{i} sind:

Um dies zu beweisen, sei zunächst X = X_{1} ⊕ X_{2} ∈ D_{1} ⊕ D_{2}, wobei X(0) ∈ D_{1}. Dann gilt für jede Kurve γ in M:

0 = ∇_{γ̇(t)}X(t) = ∇_{γ̇(t)}X_{1}(t) + ∇_{γ̇(t)}X_{2}(t),

woraus folgt:

∇_{γ̇(t)}X_{2}(t) = −∇_{γ̇(t)}X_{1}(t) ∈ D_{1};

letzteres gilt, weil X_{1}(t) ∈ D_{1}, und somit wie oben bewiesen ∇_{γ̇(t)}X_{1}(t)∈D_{1}. Damit aber gilt

\frac{d}{dt}|X_{2}(t)|^{2} = 2⟨∇_{γ̇(t)}X_{2}(t), X_{2}(t)⟩ = 0,

da D_{1}⊥D_{2}. Also ist X_{2}(t) ≡ X_{2}(0) = 0 und somit X(t) ∈ D_{1}. Ganz analog läßt sich beweisen, daß für X(0) ∈ D_{2} auch alle parallelverschobenen Vektoren X(t) in D_{2} sind.

Da die Parallelverschiebung eine Isometrie ist, bedeutet das, daß alle I(ȳ) × J(ȳ) isometrisch zu I(0) × J(0) sind, das heißt M ist nahe p_{0} isometrisch zu I(0)×J(0). Da auf J(0) die zweite Fundamentalform verschwindet, ist J(0) ein Stück einer (n − 1)-dimensionalen Ebene. Auf I(0) gilt dagegen

∇_{e_{1}}e_{1} = −h_{11}ν = −Hν, ∇_{e_{1}}ν = h_{1}^{l}e_{l} = He_{1}.

Also ist I(0) ein Stück einer Kurve Γ in einer zweidimensionalen Ebene E. In dieser Ebene genügt die Kurve der Gleichung H = (F, ν) = (F^{E}, ν) (F^{E} ist der Positionsvektor in der Ebene E), so daß eine lokale Graphdarstellung von ihr die Differentialgleichung (5.5) erfüllt. Aus dieser folgt, daß die ganze Kurve geschlossen sein muß, weil es sonst ein Kompaktum im ℝ^{n+1} gibt, in dem die Mannigfaltigkeit M = Γ × ℝ^{n−1} einen unendlich großen Flächeninhalt hat, was ein Widerspruch zu Korollar 5.3 ist. Also ist Γ eine der von Mullin, Abresch und Langer gefundenen Kurven (vgl. Theorem 7.4) und M = Γ × ℝ^{n−1}, womit Theorem 5.7 bewiesen ist. □

Anmerkung: In den ersten beiden Fällen des eben bewiesenen Theorems läßt sich aus der Gleichung H = (F, ν) ganz leicht der Radius r der Sphäre bzw. des Zylinders berechnen, denn es ist H = n/r bzw. H = (n − m)/r und (F, ν) = r, also r = \sqrt{n} bzw. r = \sqrt{n − m}.

TypII-Singularitäten

In Abschnitt 4.2 haben wir gesehen, daß die bei TypI-Singularitäten übliche Reskalierung für TypII-Singularitäten nicht ausreicht, und haben ein andere Art der Reskalierung kennengelernt, durch die wir für jedes k ∈ ℕ\{0} einen mittleren Krümmungsfluß M_{k,s} erhalten. Die Krümmungsschranke in Lemma 4.6 impliziert nach Lemma 4.4 und 3.3 entsprechende Schranken für die zweite Fundamentalform und alle ihre Ableitungen. Da diese gleichermaßen für fast alle k und alle in einem bestimmten Intervall liegende s überall auf M_{k,s} gelten, finden wir mit der gleichen Methode wie in Theorem 5.5 eine Art Grenzfluß:

Theorem 6.1 Für jede Folge k_{j} → ∞ gibt es eine Teilfolge (k_{jl})_{l∈ℕ}, für welche die M_{k_{jl},s} auf kompakten Teilmengen von ℝ^{n+1} × ℝ gleichmäßig gegen einen glatten Grenzfluß M̃_{s} konvergieren, der für alle s ∈ ℝ definiert ist.

Beweis: Anders als in Theorem 5.5 haben wir hier keine Folge von Flächen im ℝ^{n+1} gegeben, sondern eine Folge von Flüssen M_{k,s}, deren Verhalten untersucht werden soll - das heißt es kommt noch ein weiterer Parameter, nämlich s, hinzu. Wir können aber diese Flüsse als im ℝ^{n+2} eingebettete (n+1)-dimensionale Mannigfaltigkeiten verstehen, die durch

\begin{aligned}F_{k}^{∗} & : & M^{n} × ℝ & → & ℝ^{n+2}, \\ & & (p, s) & → & (F_{k}(p, s), s) \end{aligned}

gegeben sind. Damit läßt sich aus den Evolutionsgleichungen (4.4) und (2.3) von F_{k} und der mittleren Krümmung errechnen, daß |A_{k}^{∗}| nur von |A_{k}|, H_{k}, |∇H_{k}| und △H_{k} abhängig ist, und zwar so, daß aus deren Beschränktheit, die Beschränktheit von |A_{k}^{∗}| folgt. Analog findet man auch Schranken für alle Ableitungen von A_{k}^{∗}. Diese gelten nach Lemma 4.6 gleichermaßen für alle k ≥ k_{0} und alle s ∈ [α_{k_{0}}, ω̄] überall auf M_{k,s}. So können wir nun tatsächlich genau wie im Beweis von Theorem 5.5 argumentieren und erhalten für jede Folge k_{j} → ∞ eine Teilfolge (k_{jl})_{l∈ℕ}, für die M_{k_{jl}}^{∗} gegen eine glatte (n+1)-dimensionale Grenzfläche M̃^{∗} konvergieren. Diese ist durch eine neue Parametrisierung

\begin{aligned}F^{∗} & : & M^{n} × ℝ & → & ℝ^{n+2} \\ & & (p, s) & → & (F̃(p, s), s) \end{aligned}

gegeben. Fassen wir deren letzten Parameter wieder als Zeit auf, so ist dieses der behauptete Grenzfluß M̃_{s}. Da k_{jl} → ∞, können wir k_{0} und ω̄ beliebig groß wählen, so daß α_{k_{0}} → −∞ nach Lemma 4.5 und ω̄ → ∞ und somit M̃_{s} für alle s ∈ ℝ definiert ist. □

Die mittlere Krümmung dieses Grenzflusses erfüllt nun H̃ ≤ 1 wegen Lemma 4.6. Nach Ungleichung (2.5) gilt überall und zu jeder Zeit H > 0, also auch H_{k} > 0 und somit H̃ ≥ 0. Wie gegen Ende von Abschnitt 4.2 schon begründet, folgt aus Lemma 4.6(i), daß H̃ auf M̃_{0} nicht identisch Null ist, so daß nach dem strikten Maximum-Prinzip 2.2 und der Evolutionsgleichung (2.3) für die mittlere Krümmung überall H̃ > 0 gilt.

Im folgenden wollen wir zeigen, daß jede reskalierte Fläche M̃_{s} konvex ist, das heißt daß jeder Eigenwert κ_{i} der reskalierten zweiten Fundamentalform Ã nichtnegativ ist. Dazu seien symmetrische Funktionen definiert durch

S_{m}(κ) = ∑_{1≤i_{1}<i_{2}<···<i_{m}≤n} κ_{i_{1}}κ_{i_{2}} ⋯ κ_{i_{m}}.

Damit gilt:

Theorem 6.2 Für jedes m mit 2 ≤ m ≤ n und jedes η > 0 gibt es eine Konstante C_{η,m}, die nur von n, m, η und M_{0} abhängt, so daß wir überall auf M^{n} × [0, T) die Abschätzung haben

S_{m} ≥ −ηH^{m} − C_{η,m}.

Beweis: siehe [HS2], Theorem 1.1.

Korollar 6.3 Jede reskalierte Fläche M̃_{s} ist konvex.

Beweis: Nach Definition (4.3) von F_{k} ist κ_{i,k}(x, s) = L_{k}^{−1}κ_{i}(x, L_{k}^{−2}s + t_{k}), und somit S_{m,k} = L_{k}^{−m}S_{m} (mit entsprechenden Argumenten). Also haben wir nach dem obigen Theorem

S_{m,k} ≥ −ηL_{k}^{−m}H^{m} − L_{k}^{−m}C_{η,m}.

Da L_{k}^{−m}H^{m} → H̃^{m} und L_{k} → ∞ für k → ∞ nach Lemma 4.5, folgt daraus S̃_{m} ≥ −ηH̃^{m} und somit S̃_{m} ≥ 0, da η > 0 beliebig ist. Daraus folgt wiederum, daß alle κ_{i} nichtnegativ sind; denn sei

S̃_{m,p} := ∑_{{1≤i_{1}<i_{2}<···<im≤n \atop iq≠p ∀q∈\{1,...,m\}}} κ_{i_{1}}κ_{i_{2}} ⋯ κ_{i_{m}}

für m = 1, …, n − 1, p = 1, …, n. Dann gilt für jedes p

S̃_{m} = S̃_{m,p} + κ_{p}S̃_{m−1,p}

für m = 2, …, n − 1. Definieren wir dann S̃_{n,p} := 0, S̃_{0,p} := 1, so gilt diese Gleichung auch für m = 1 und m = n. Da ja, wie oben festgestellt, alle S̃_{m} ≥ 0, folgt aus ihr

S̃_{m,p} ≥ −κ_{p}S̃_{m−1,p},

speziell S̃_{1,p} ≥ −κ_{p} und κ_{p}S̃_{n−1,p} ≥ 0, was für κ_{p} < 0 zu einem Widerspruch führt. Somit ist jedes κ_{p} ≥ 0, und damit die reskalierte Fläche M̃_{s} konvex.□

Im folgenden heißt eine Lösung des mittleren Krümmungsflusses, die für alle Zeiten existiert und sich durch Translation im ℝ^{n+1} bewegt, ein ”translatierender Soliton“. Damit haben wir

Theorem 6.4 Jeder Grenzfluß M̃_{s} ist entweder selber ein strikt konvexer Soliton, oder es ist (bis auf starre Bewegungen) M̃_{s} = Σ_{s}^{k} × ℝ^{n−k}, wobei Σ_{s}^{k} ein k-dimensionaler strikt konvexer translatierender Solition ist.

Beweis: Die schwache Konvexität des Grenzflusses wurde bereits im obigen Korollar bewiesen. Für die weitere Behauptung wenden wir das strikte Maximum-Prinzip 2.4 für symmetrische Bilinearformen auf die nichtnegative zweite Fundamentalform an, für die nach Korollar 2.14(i) auf M̃_{s}, s ∈ ℝ gilt

\frac{∂}{∂s}h̃_{j}^{i} = △h̃_{j}^{i} + |Ã|^{2}h̃_{j}^{i}.

Demnach ist der Rang von Ã konstant und der Nullraum von Ã invariant unter Paralleltransport und invariant in der Zeit. Ähnlich wie im Beweis des Theorems 5.7 definieren wir für s ∈ ℝ zwei Distributionen durch

D_{1} := {X ∈ T_{p}M̃_{s} | p ∈ M̃_{s}, ÃX ≠ 0},
D_{2} := {X ∈ T_{p}M̃_{s} | p ∈ M̃_{s}, ÃX = 0}.

Daß der Nullraum von Ã invariant unter Paralleltransport ist, bedeutet dann, daß für X(0) ∈ D_{2} auch jeder auf M̃_{s} parallelverschobene Vektor X(t) in D_{2} liegt. Somit liegt für X ∈ D_{2} auch jede kovariante Ableitung ∇_{Y} X in D_{2}, also

[X, Y] = ∇_{X}Y − ∇_{Y} X ∈ D_{2} für X, Y ∈ D_{2}.

Da der Rang von Ã konstant ist, ist auch D_{1} invariant unter Paralleltransport. Somit gilt ebenfalls

[X, Y] = ∇_{X}Y − ∇_{Y} X ∈ D_{1} für X, Y ∈ D_{1}.

Damit ist nun wieder die Voraussetzung für den Satz von Frobenius erfüllt. Demnach spaltet sich jedes M̃_{s} in ein isometrisches Produkt Σ_{s}^{k} × ℝ^{n−k}, wobei Σ_{s}^{k} Integralmannigfaltigkeit von D_{1} und ℝ^{n−k} Integralmannigfaltigkeit von D_{2} ist (ist D_{2} = {0}, so ist k = n, also M̃_{s} = Σ_{s}^{n}). Da D_{1} und D_{2} auch invariant in der Zeit sind, ist k unabhängig von s. Da überall auf Σ_{s}^{k} alle Eigenwerte der zweiten Fundamentalform strikt positiv sind, während sie auf ℝ^{n−k} verschwinden, ist Σ_{s}^{k} eine strikt konvexe Lösung des mittleren Krümmungsflusses. Schließlich erreicht die mittlere Krümmung H^{∗} von Σ_{s}^{k} an einem Punkt in der ”Raumzeit“ ihr absolutes Maximum, da zum einen H^{∗} = H̃, zum anderen nach obigen Überlegungen H̃ ≤ 1 gilt, es aber einen Punkt p ∈ M^{n} gibt, wo H̃(p, 0) = 1 ist (folgt direkt aus Lemma 4.6(i)). Daher ist nach Hamiltons Charakterisierung von konvexen, ”ewigen“ Lösungen des mittleren Krümmungsflusses (siehe [Ha3], Theorem 1.3) Σ_{s}^{k} ein translatierender Soliton. □

Anmerkung: Im Fall k = 1 ist der einzige translatierende Soliton die ”grim reaper“ Kurve mit der Gleichung y = ln (cos x) + s (siehe [A]). In höheren Dimensionen kennt man rotationssymmetrische translatierende Solitons (Literatur ??). Nicht bekannt ist, ob es noch weitere translatierende Solitons gibt, die konvex oder von positiver mittlerer Krümmung sind.

Der eindimensionale Fall

In diesem Kapitel wollen wir den eindimensionalen Fall des mittleren Krümmungsflusses betrachten, und zwar insbesondere den von eingebetteten, geschlossenen kompakten Anfangskurven. Für den Fall, daß sich die Anfangskurve überschneidet, der mittlere Krümmungsfluß aber nahe der Singularität eine homothetische Lösung ausbildet, sind die Ergebnisse von Mullin, Abresch und Langer, im Theorem 7.4 zusammengefaßt, für dessen Beweis auf entsprechende Literatur verwiesen wird.

7.1 Der Fluß von eingebetteten Kurven

Wir betrachten die Familie von glatten Einbettungen von geschlossenen Kurven

F : S^{1} × [0, T) → ℝ^{2},

die Lösung des Gradientenflusses zum Längenfunktional (”curve shortening flow“) ist, welcher dem mittleren Krümmungsfluß im Höherdimensionalen entspricht. Ist s = s_{t} die Bogenlänge auf F ( · , t), so folgt aus |(d/ds)F | ≡ 1, daß (d^{2}/ds^{2})F ⊥(d/ds)F, also (d^{2}/ds^{2})F = −κν für ein κ ∈ ℝ. Dann ist κ = −(ν, (d^{2}/ds^{2})F) die (mittlere) Krümmung und somit der (mittlere) Krümmungsfluß gegeben durch

\frac{d}{dt}F (p, t) = κ⃗(p, t),  p ∈ S^{1}, t ∈ [0, T),  (7.1)

wobei κ⃗ = −κν der Krümmungsvektor ist. Für Existenz, Regularität und Langzeit-Verhalten gilt zunächst einmal dasselbe wie im mehrdimensionalen Fall: Eine glatte Lösung existiert auf einem endlichen maximalen Zeitintervall [0, T), wobei die mittlere Krümmung für t → T beliebig groß wird (vgl.[Gr1] und [Gr2]). Wir können nun aber mit Hilfe eines Vergleichs des Verhaltens von extrinsischer und intrinsischer Abstandsfunktion zeigen, daß sich bei eingebetteten geschlossenen Anfangskurven nur TypI-Singularitäten ausbilden können. Mehr noch: Die Kurven Γ_{t} : S^{1} → F (S^{1} × {t}) konvergieren für t → T gegen einen ”runden“ Punkt, das heißt bei einer Reskalierung, wie sie in Abschnitt 4.1 beschrieben wurde, konvergieren Teilfolgen der reskalierten Kurven zu einem Kreis.

Wir definieren also

d, l : S^{1} × S^{1} × [0, T) → ℝ

durch

d(p, q, t) := |F (p, t) − F (q, t)|_{ℝ^{2}},
l(p, q, t) := ∫_{q}^{p} ds_{t}.

Erstere Funktion gibt den extrinsische Abstand von F (p, t) und F (q, t) an, das heißt den Abstand zwischen diesen beiden Punkten im umliegenden Raum; letztere ist der intrinsische Abstand, nämlich die Länge der Kurve zwischen F (p, t) und F (q, t). Da auf geschlossenen Kurven l nur für 0 ≤ l ≤ L/2 glatt definiert ist (L ist die Gesamtlänge der Kurve), benutzen wir stattdessen die glatte Funktion ψ : S^{1} × S^{1} × [0, T) → ℝ,

ψ := \frac{L}{π} sin (\frac{lπ}{L} ) .

Auf diese Weise ist es egal, welchen der beiden Kurventeile zwischen F (p, t) und F (q, t) wir zur Messung des intrinsischen Abstandes l benutzen. Der Quotient d/ψ kann als eine Art Maß für die Ähnlichkeit von Γ_{t} mit einem Kreis angesehen werden, da auf einem solchen d/ψ ≡ 1. Außerdem gilt:

Hilfssatz 7.1 Ist eine geschlossene Kurve Γ_{t} kein Kreis, so ist min_{Γ_{t}}(d/ψ) < 1.

Beweis: Da Γ_{t} kein Kreis ist, gibt es wenigstens ein Paar von Punkten (p, q) ∈ S^{1} × S^{1}, wo einerseits

l(p, q, t) = \frac{1}{2}L(t)

gilt, andererseits der extrinsische Abstand d(p, q, t) strikt kleiner als der Durchmesser des Kreises vom Umfang L(t) ist, also

d(p, q, t) < \frac{1}{π} L(t).

Aus beidem folgt dann

ψ(p, q, t) = \frac{1}{π} L(t) > d(p, q, t),

also min_{Γ_{t}}(d/ψ) ≤ (d/ψ)(p, q, t) < 1. □

Damit können wir nun zeigen, daß das jeweilige Minimum min_{Γ_{t}} (d/ψ) mit der Zeit t monoton wächst:

Theorem 7.2 Der Quotient d/ψ nehme zur Zeit t_{0} ∈ [0, T) sein Minimum bei (p,q) in S^{1} × S^{1} an. Dann gilt

\frac{d}{dt}(d/ψ)(p, q, t_{0}) ≥ 0

mit Gleichheit genau dann, wenn Γ_{t_{0}} ein Kreis ist.

Beweis: Ist Γ_{t_{0}} ein Kreis, so sind wegen der Eindeutigkeit des mittleren Krümmungsflusses auch alle folgenden Kurven Γ_{t} mit t ≥ t_{0} Kreise, also (d/ψ) ≡ 1 auf S^{1} × S^{1} × [t_{0}, T); darum gilt

\frac{d}{dt}(d/ψ)(p, q, t_{0}) = 0.

Ist dagegen Γ_{t_{0}} kein Kreis, so können wir nach obigem Hilfssatz voraussetzen, daß (d/ψ)(p, q, t_{0}) < 1 ist. Und da wir den Quotienten d/ψ auf der Diagonalen von S^{1} × S^{1} stetig fortsetzen können, indem wir ihn dort gleich 1 setzen, ist l(p, q, t_{0}) ≠ 0 , und somit O.B.d.A. 0 < l(p, q, t_{0}) ≤ \frac{1}{2}L(t_{0}). Da d/ψ zur Zeit t_{0} bei (p, q) sein Minimum annimmt, haben wir

δ(ξ)(d/ψ)(p, q, t_{0}) = 0,  δ^{2}(ξ)(d/ψ)(p, q, t_{0}) ≥ 0,  (7.2)

wobei δ(ξ) und δ^{2}(ξ) die erste und zweite Variation bezüglich eines Variationsvektors ξ ∈ T_{p}Γ_{t_{0}} ⊕ T_{q}Γ_{t_{0}} bezeichnen. Um dies auszuwerten, definieren wir für s = s_{t_{0}} (Bogenlängenparameter)

e_{1} := \frac{d}{ds}F (p, t_{0}), e_{2} := \frac{d}{ds}F (q, t_{0}), ω := −d^{−1}(p, q, t_{0})(F (p, t_{0})−F (q, t_{0})).

Mit δ_{1} := δ(e_{1} ⊕ 0) ist δ_{1}(F (p, t_{0}) − F (q, t_{0})) = \frac{d}{ds}F (p, t_{0}) = e_{1}, somit

δ_{1}(d)(p, q, t_{0}) = \frac{(δ_{1}(F (p, t_{0}) − F (q, t_{0})), F (p, t_{0}) − F (q, t_{0}))}{d(p, q, t_{0})}
= \frac{(e_{1}, −d(p, q, t_{0})·ω)}{d(p, q, t_{0})} = −(e_{1}, ω);  (7.3)
δ_{1}(l)(p, q, t_{0}) = δ_{1}(s_{t_{0}}(q) − s_{t_{0}}(p)) = −1;
δ_{1}(ψ)(p, q, t_{0}) = cos (\frac{lπ}{L} ) · δ_{1}(l)(p, q, t_{0}) = − cos (\frac{lπ}{L} ) .  (7.4)

Entsprechend läßt sich errechnen, daß mit δ_{2} := δ(0 ⊕ e_{2})

δ_{2}(d) = +(e_{2}, ω),  δ_{2}(l) = +1,  δ_{2}(ψ) = + cos (\frac{lπ}{L} )  (7.5)

an der Stelle (p, q, t_{0}) gilt. Daraus folgt mit der Quotientenregel

δ_{1}(d/ψ) = −\frac{1}{ψ} (e_{1}, ω) + \frac{d}{ψ^{2}} cos (\frac{lπ}{L} ) ,
δ_{2}(d/ψ) = \frac{1}{ψ} (e_{2}, ω) − \frac{d}{ψ^{2}} cos (\frac{lπ}{L} ) ,

so daß wir mit ξ = e_{1} ⊕ 0 beziehungsweise ξ = 0 ⊕ e_{2} aus (7.2) erhalten:

(e_{1}, ω) = (e_{2}, ω) = \frac{d}{ψ} cos (\frac{lπ}{L} ) .  (7.6)

Im Blick auf diese Gleichung müssen wir nun zwei Fälle unterscheiden: Wegen (e_{1}, ω) = (e_{2}, ω) ist entweder ∠(e_{1}, ω) = ∠(e_{2}, ω) oder ∠(e_{1}, ω) = −∠(e_{2}, ω). Im ersten Fall ist e_{1} = e_{2}, im zweiten ist e_{1} + e_{2} parallel zu ω (folgt aus einfacher zeichnerischer Überlegung).

Fall 1: Ist e_{1} = e_{2}, so erhalten wir mit δ_{1,2} := δ(e_{1} ⊕ e_{2})

δ_{1,2}(l) = δ_{1}(l) + δ_{2}(l) = 0, δ_{1,2}^{2}(l) = δ^{2}(e_{1} ⊕ e_{2})(l) = 0,

so daß δ_{1,2}(ψ) = 0 und δ_{1,2}^{2}(ψ) = 0 und somit

δ_{1,2}^{2}(d/ψ) = \frac{1}{ψ} δ_{1,2}^{2}(d),

wobei nach den Gleichungen (7.3) und (7.5)

δ_{1,2}^{2}(d) = δ_{1}(δ_{1}(d)) + δ_{1}(δ_{2}(d)) + δ_{2}(δ_{1}(d)) + δ_{2}(δ_{2}(d))
= −(δ_{1}e_{1}, ω) − (e_{1}, δ_{1}ω) + (e_{2}, δ_{1}ω) − (e_{1}, δ_{2}ω) + (δ_{2}e_{2}, ω) + (e_{2}, δ_{2}ω).

Wegen e_{1} = e_{2}, δ_{1}(e_{1}) = κ⃗(p, t_{0}) und δ_{2}(e_{2}) = κ⃗(q, t_{0}) gilt also

δ_{1,2}^{2}(d) = −(δ_{1}e_{1}, ω) + (δ_{2}e_{2}, ω) = (κ⃗(q, t_{0}) − κ⃗(p, t_{0}), ω).

Setzen wir dann ξ = e_{1} ⊕ e_{2} in (7.2), so erhalten wir daraus:

0 ≤ δ_{1,2}^{2}(d/ψ) = \frac{1}{ψ} (κ⃗(q, t_{0}) − κ⃗(p, t_{0}), ω).  (7.7)

Fall 2: Ist (e_{1} + e_{2}) ∥ ω, so setzen wir ξ = e_{1} ⊖ e_{2} in (7.2) und erhalten

0 ≤ δ^{2}(e_{1} ⊖ e_{2})(d/ψ) = \frac{1}{ψ} (κ⃗(q, t_{0}) − κ⃗(p, t_{0}), ω) + \frac{4π^{2}}{L^{2}} \frac{d}{ψ} .  (7.8)

Dabei haben wir mit δ_{1,2} := δ(e_{1} ⊖ e_{2}) folgende leicht nachzurechnende Gleichungen benutzt:

δ_{1,2}(d) = δ_{1}(d) − δ_{2}(d) = −(e_{1} + e_{2}, ω),
δ_{1,2}(ψ) = δ_{1}(ψ) − δ_{2}(ψ) = −2 cos (\frac{lπ}{L} ) ,
δ_{1,2}^{2}(ψ) = δ_{1}(δ_{1,2}(ψ)) − δ_{2}(δ_{1,2}(ψ)) = −\frac{4π^{2}}{L^{2}} ψ,
δ_{1,2}(ω) = \frac{1}{d}(e_{1} + e_{2}, ω) · ω − \frac{1}{d}(e_{1} + e_{2}),
δ_{1,2}(e_{1} + e_{2}) = δ_{1}(e_{1}) − δ_{2}(e_{2}) = κ⃗(p, t_{0}) − κ⃗(q, t_{0}),
|e_{1} + e_{2}| = (e_{1} + e_{2}, ω) = \frac{2d}{ψ} cos (\frac{lπ}{L} ) ,

wobei letztere Gleichung aus (7.6) und der Voraussetzung folgt, daß (e_{1} + e_{2}) parallel zu ω ist und |ω| = 1.

Sei nun s der Bogenlängenparameter zur Zeit t; so folgt aus L(t) = ∫_{S^{1}} ds und (d/dt)(ds) = −κ^{2}(ds) (vgl. Kor.2.12), daß \frac{dL}{dt} = − ∫_{S^{1}} κ^{2}ds, entsprechend \frac{dl}{dt} = − ∫_{q}^{p} κ^{2}ds. Daraus folgt mit ganz normalen Rechenregeln

\frac{d}{dt}ψ = −\frac{ψ}{L} ∫_{S^{1}} κ^{2}ds − cos (\frac{lπ}{L} ) ∫_{q}^{p} κ^{2}ds + \frac{l}{L} cos (\frac{lπ}{L} ) ∫_{S^{1}} κ^{2}ds;

außerdem erhalten wir aus der Evolutionsgleichung (7.1)

\frac{d}{dt}(d)(p, q, t_{0}) = (κ⃗(q, t_{0}) − κ⃗(p, t_{0}), ω),

so daß mit α := lπ/L, also 0 < α ≤ \frac{π}{2}, folgt:

\begin{aligned}\frac{d}{dt}(d/ψ) & = & \frac{1}{ψ} (κ⃗(q, t_{0}) − κ⃗(p, t_{0}), ω) + \frac{d}{ψL} (1 − \frac{l}{ψ} cos α) ∫_{S^{1}} κ^{2}ds \\ & & +\frac{d}{ψ^{2}} cos α ∫_{q}^{p} κ^{2}ds. \end{aligned} (7.9)

Damit greifen wir nun die obige Fallunterscheidung wieder auf: Fall 1: e_{1} = e_{2}. Aus der Abschätzung (7.7) folgt mit (7.9)

\frac{d}{dt}(d/ψ) ≥ \frac{d}{ψL} (1 − \frac{l}{ψ} cos α) ∫_{S^{1}} κ^{2}ds + \frac{d}{ψ^{2}} cos α ∫_{q}^{p} κ^{2}ds.

Da \frac{l}{ψ} cos α = α(tan α)^{−1} < 1 wegen 0 < α ≤ \frac{π}{2}, folgt hieraus wie erwartet

\frac{d}{dt}(d/ψ)(p, q, t_{0}) > 0.

Fall 2: (e_{1} + e_{2}) ∥ ω. Aus der Abschätzung (7.8) folgt mit (7.9)

\frac{d}{dt}(d/ψ) ≥ −\frac{4π^{2}}{L^{2}} \frac{d}{ψ} + \frac{d}{ψL} (1 − \frac{l}{ψ} cos α) ∫_{S^{1}} κ^{2}ds + \frac{d}{ψ^{2}} cos α ∫_{q}^{p} κ^{2}ds.

Wegen ∫_{S^{1}} κds = 2π und der Hölder-Ungleichung gilt

∫_{S^{1}} κ^{2}ds ≥ \frac{1}{L} (∫_{S^{1}} κ ds)^{2} = \frac{4π^{2}}{L} ,

und da wie oben (1 − \frac{l}{ψ} cos α) > 0, haben wir damit

\frac{d}{dt}(d/ψ) ≥ \frac{d}{ψ^{2}l} cos α (−\frac{4π^{2}l^{2}}{L^{2}} + l ∫_{q}^{p} κ^{2}ds) .  (7.10)

Wiederum nach der Hölder-Ungleichung ist l ∫_{q}^{p} κ^{2}ds ≥ (∫_{q}^{p} κ ds)^{2} = β^{2}, wobei 0 < β ≤ π der Winkel zwischen e_{1} und e_{2} ist; da (e_{1} + e_{2}) parallel zu ω ist, folgt mit Gleichung (7.6):

cos (\frac{β}{2} ) = (e_{1}, ω) = (e_{2}, ω) = \frac{d}{ψ} cos α;

und da nach Voraussetzung (d/ψ)(p, q, t_{0}) < 1, ist cos(β/2) < cos α, also α < β/2 und somit

l ∫_{q}^{p} κ^{2}ds ≥ β^{2} > 4α^{2} = \frac{4π^{2}l^{2}}{L^{2}} .

So folgt aus (7.10), daß

\frac{d}{dt}(d/ψ)(p, q, t_{0}) > 0,

womit das Theorem bewiesen ist. □

Mit dem Maximum-Lemma 2.1 folgt aus dem eben Bewiesenen, daß das Minimum von (d/ψ) auf S^{1} × S^{1} mit der Zeit monoton wächst. Haben wir also zu Beginn des Flusses eine kompakte Kurve Γ_{0} gegeben, die sich nirgendwo selber schneidet (die also im ℝ^{2} eingebettet ist), so gibt es ein ε > 0, so daß nicht nur zur Zeit t = 0

min(d/ψ) ≥ ε  (7.11)

gilt, sondern, da min (d/ψ) monoton wächst, auch für alle Zeiten t > 0. Einerseits folgt daraus, daß die Kurve unter dem mittleren Krümmungsfluß eingebettet bleibt, andererseits haben wir damit auch folgendes Theorem:

Theorem 7.3 Ist die Anfangskurve F_{0} : S^{1} → ℝ^{2} des mittleren Krümmungsflusses kompakt, geschlossen und eingebettet, dann bildet die Lösung von (7.1) zu einem endlichen Zeitpunkt T eine TypI-Singularität aus und konvergiert glatt gegen einen ”runden“ Punkt.

Beweis: Nach den Ausführungen im Kapitel 3 bildet die Lösung des mittleren Krümmungsflusses zu einem endlichen Zeitpunkt T entweder eine TypIoder eine TypII-Singularität aus. Im letzteren Fall können nach dem vorigen Kapitel die Kurven Γ_{t} so reskaliert werden, daß sie gegen einen translatierenden Soliton - hier, im ℝ^{2}, die ”grim reaper“ Kurve - konvergieren. Dann aber wird das Minimum des Quotienten d/ψ, der bei der Reskalierung erhalten bleibt, beliebig klein, was ein Widerspruch zu (7.11) ist. Also ist die Singularität vom TypI, so daß wir nach dem vorletzten Kapitel Γ_{t} so reskalieren können, daß es zu jeder Folge t_{j} → ∞ eine Teilfolge t_{j_{l}} → ∞ gibt, für welche Γ̃_{t_{j_{l}}} zu einer homothetisch-selbstähnlichen Lösung des mittleren Krümmungsflusses konvergiert; dies kann nach Abresch-Langer im eindimensionalen, eingebetteten Fall nur das Schrumpfen eines Kreises sein (siehe Abschnitt 7.2). Man sagt, Γ_{t} konvergiert glatt gegen einen ”runden“ Punkt. □

7.2 Homothetische Lösungen

Ist die Anfangskurve des mittleren Krümmungsflusses nicht eingebettet, so können wir bei unseren Untersuchungen des mittleren Krümmungsflusses wieder nur wie in den letzten beiden Kapiteln nach der Art der Singularität unterscheiden: Wir können jeweils so reskalieren, daß die Kurven bei einer TypI-Singularität gegen eine homothetisch-selbstähnliche Lösung von (7.1) konvergieren, bei einer TypII-Singularität gegen einen translatierenden Soliton. Im ersten Fall hat bereits Mullin [Mu] alle möglichen konvexen homothetischen Lösungen des mittleren Krümmungsflusses gefunden, während Abresch und Langer [AL] bewiesen haben, daß diese tatsächlich die einzigen sind. Demnach gilt:

Theorem 7.4 Eine geschlossene, kompakte, in Bogenlänge parametrisierte Kurve F : S^{1} → ℝ^{2} erfülle die Homothetienbedingung κ = (F, ν). Dann ist F entweder ein m-fach überdeckter Kreis oder gehört einer Familie von Kurven {F_{m,n}} an, die wir wie folgt beschreiben können: Sind m und n positive ganze Zahlen mit 1/2 < m/n < \sqrt{2}/2, so gibt es (bis auf Kongruenz) genau eine in Bogenlänge parametrisierte Kurve F_{m,n} : S^{1} → ℝ^{2} mit Rotationsindex m, die sich nach genau n Perioden der Krümmungsfunktion κ > 0 wieder schließt. Dabei ist κ eine Lösung der Gleichungen

B′′ + 2λ^{2}(e^{B} − 1) = 0, B = 2 ln(κ/λ)

für eine Konstante λ.

Für geeignete Polar-Koordinaten (r, θ) gilt zwischen κ und r die Beziehung κ = C exp(\frac{1}{2}λ^{2}r^{2}) für eine Konstante C.

Beweis: siehe [AL] Theorem A.

Konvexe Flächen

In diesem Kapitel werden wir uns mit dem mittleren Krümmungsfluß von konvexen mehrdimensionalen Anfangsflächen M_{0} befassen, die glatt im ℝ^{n+1} eingebettet sind, sich also nirgendwo selber schneiden. Als erstes wollen wir mit Hilfe von Integralabschätzungen nachweisen, daß die Flächen M_{t} des Flusses zu einem endlichen Zeitpunkt T gegen einen einzigen Punkt O ∈ ℝ^{n+1} konvergieren. Dazu haben wir bereits in Abschnitt 3.1 bewiesen, daß eine Lösung des mittleren Krümmungsflusses (1.1) genau bis zu dem Zeitpunkt T < ∞ existiert, an dem das Maximum des Krümmungsbetrages divergiert. Wir untersuchen also im folgenden wieder das Verhalten des mittleren Krümmungsflusses nahe diesem Zeitpunkt T. In Abschnitt 4.3 haben wir eine Reskalierungstechnik für konvexe Flächen kennengelernt, nach der wir eine obere und eine untere gleichmäßige Schranke für die mittlere Krümmung der reskalierten Flächen M̃_{s} erhalten (Thm.4.7). Damit werden wir in Abschnitt 8.2 beweisen, daß M̃_{s} gegen eine Sphäre konvergiert. Außerdem werden wir Aussagen über die Schnelligkeit der Konvergenz machen. Da wir den eindimensionalen Fall bereits im vorigen Kapitel behandelt haben, gehen wir hier von einer mehr dimensionalen kompakten Mannigfaltigkeit M^{n} (n ≥ 2) aus, die den Einbettungen F ( · , t) : M^{n} → M_{t} ⊂ ℝ^{n+1} zugrunde liegt. Daß die Anfangsfläche konvex ist, bedeutet, daß zu Beginn des Flusses alle Eigenwerte der zweiten Fundamentalform nichtnegativ sind, also h_{j}^{i}(0) ≥ 0. Aus der Evolutionsgleichung für h_{j}^{i} (Kor.2.14(i)) und dem Maximumprinzip für symmetrische Bilinearformen (Thm.2.4) folgt dann, daß h_{j}^{i} ≥ 0 auch für t ≥ 0. Außerdem folgt wie in Kapitel 6, daß M_{t} = Σ_{t}^{k} × ℝ^{n−k} für t > 0, wobei Σ_{t}^{k} strikt konvex ist. Da nach Voraussetzung M^{n} kompakt ist, ist k = n und somit M_{t} für t > 0 strikt konvex. Also sind alle Eigenwerte der zweiten Fundamentalform überall und zu jeder Zeit (O.B.d.A. auch für t = 0) strikt positiv, kurz:

h_{j}^{i} > 0.  (8.1)

Damit folgt aus der Definition von H und |A|^{2}, daß

|A|^{2} ≤ H^{2}.  (8.2)

8.1 Der nicht reskalierte Fluß

In diesem Abschnitt wollen wir zunächst den nicht reskalierten Fluß untersuchen. Genauer gesagt wollen wir folgendes Theorem beweisen:

Theorem 8.1 Sei der mittlere Krümmungsfluß wie in (1.1) mit n ≥ 2 und konvexer Anfangsfläche M_{0} gegeben, und sei [0, T) das maximale Zeitintervall, auf dem eine Lösung von (1.1) existiert. Dann konvergieren für t → T die Flächen M_{t} des Flusses gegen einen einzigen ”runden“ Punkt O ∈ ℝ^{n+1}.

Der Beweis hierzu erstreckt sich über die folgenden 4 Unterabschnitte.

8.1.1 Grundlagen

Wir wollen zunächst einige grundlegende Abschätzungen von Größen, die durch die Metrik g und die zweite Fundamentalform A gebildet sind, festhalten. Für die jeweiligen Beweise wird auf entsprechende Stellen in G.Huiskens Arbeit [Hu1] verwiesen. Als erstes verbessern wir die Ungleichung |∇H|^{2} ≤ n|∇A|^{2} aus Lemma 2.6:

Lemma 8.2 (i) |∇A|^{2} ≥ \frac{3}{n+2}|∇H|^{2}.

(ii) |∇A|^{2} − \frac{1}{n}|∇H|^{2} ≥ \frac{2(n−1)}{3n}|∇A|^{2}.

Beweis: siehe [Hu1], Lemma 2.2.

Für symmetrische 2-Tensoren M_{ij}, N_{ij} sagen wir, daß M_{ij} ≥ N_{ij}, wenn M_{ij} − N_{ij} ≥ 0, das heißt wenn die Eigenwerte von M_{ij} − N_{ij} nichtnegativ sind (entsprechendes gilt für die strikte Ungleichung). Damit folgt aus (8.1) und der Kompaktheit von M_{0}, daß es ein ε > 0 gibt, so daß zur Zeit t = 0 gilt:

h_{ij} ≥ εHg_{ij}.  (8.3)

Mit dem Maximumprinzip für Tensoren folgt, daß dies auch für alle Zeiten t ≥ 0 gilt:

Lemma 8.3 Gilt zu Beginn des Flusses εHg_{ij} ≤h_{ij} ≤βHg_{ij} mit H > 0 und Konstanten 0 < ε ≤ 1/n < β < 1, so bleibt dies so für alle Zeiten t ∈ [0, T).

Beweis: siehe [Hu1], Theorem 4.3.

Damit haben wir für alle Zeiten t ≥ 0 folgende Abschätzungen:

Lemma 8.4 Mit C = tr(A^{3}) = g^{ij}g^{kl}g^{mp}h_{ik}h_{lm}h_{jp} gilt:

(i) HC − |A|^{4} ≥ nε^{2}H^{2}(|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2});

(ii) |H∇_{i}h_{jk} − ∇_{i}H · h_{jk}|^{2} ≥ \frac{1}{2}ε^{2}H^{2}|∇H|^{2}.

Beweis: siehe [Hu1], Lemma 2.3.

Nun sei noch eine grundlegende Evolutionsgleichung genannt, die wir für den übernächsten Abschnitt brauchen.

Lemma 8.5 Es gilt die Gleichung

\frac{∂}{∂t} (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}) = △ (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}) − 2 (|∇A|^{2} − \frac{1}{n}|∇H|^{2})

+2|A|^{2} (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}) .

Beweis: Folgt direkt aus den Evolutionsgleichungen (2.3) und (2.4) und der Gleichung

\frac{∂}{∂t}H^{2} = 2H(△H + |A|^{2}H) = △H^{2} − 2|∇H|^{2} + 2|A|^{2}H^{2}. □

8.1.2 Die Eigenwerte von A

In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, daß sich die Eigenwerte der zweiten Fundamentalform für t → T zumindest an solchen Punkten, wo die mittlere Krümmung gegen Unendlich geht, einander annähern. Dazu betrachten wir den Term

|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2} = \frac{1}{n} ∑_{i<j}^{n}(κ_{i} − κ_{j})^{2},

der offensichtlich mißt, wie weit die Eigenwerte κ_{i} von A voneinander entfernt sind. Wir können zeigen, daß der Term |A|^{2} −H^{2}/n relativ zu H^{2} klein wird. Genauer:

Theorem 8.6 Es gibt allein von M_{0} abhängige Konstanten δ > 0 und C_{0} < ∞, so daß

|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2} ≤ C_{0}H^{2−δ}

für alle Zeiten t ∈ [0, T).

Um dies zu beweisen, betrachten wir die Funktion

f_{σ} = \frac{(|A|^{2} − H^{2}/n)}{H^{2−σ}},

für die wir für genügend kleine σ > 0 eine obere Schranke finden wollen. Dazu brauchen wir die Evolutionsgleichung für f_{σ} und einige Integralabschätzungen.

Lemma 8.7 Für jedes σ ≥ 0 gilt

\frac{∂}{∂t}f_{σ} = △f_{σ} + \frac{2(1 − σ)}{H}⟨∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩ − \frac{2}{H^{4−σ}} |H∇_{i}h_{jk} − ∇_{i}H · h_{jk}|^{2}

− \frac{σ(1 − σ)}{H^{2}}|∇H|^{2}f_{σ} + σ|A|^{2}f_{σ}

Beweis: siehe [Hu1], Lemma 5.2.

Wäre der letzte Term dieser Evolutionsgleichung, σ|A|^{2}f_{σ}, nicht positiv, so könnten wir hier das Maximumprinzip 2.2 auf f_{σ} − max_{M_{0}} f_{σ} anwenden. So aber erhalten wir lediglich mit Lemma 8.4(ii):

Korollar 8.8 Für jedes σ ≥ 0 gilt

\frac{∂}{∂t}f_{σ} ≤ △f_{σ} + \frac{2(1 − σ)}{H}⟨∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩ − \frac{ε^{2}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2} + σ|A|^{2}f_{σ}

Den negativen Term −ε^{2}|∇H|^{2}/H^{2−σ} können wir mit Hilfe des Divergenz-Theorems verwerten durch Lemma 8.9 Sei p ≥ 2. Dann haben wir mit dem ε aus Ungleichung (8.3) für jedes η > 0 und jedes 0 ≤ σ ≤ 1 die Ungleichung

nε^{2} ∫ f_{σ}^{p}H^{2}dμ ≤ (2ηp + 5) ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2}dμ
+η^{−1}(p − 1) ∫ f_{σ}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2}dμ.

Beweis: Wir haben

△f_{σ} = \frac{H△|A|^{2} − (2 − σ)|A|^{2}△H}{H^{3−σ}} − \frac{σ}{nH^{1−σ}} △H
−\frac{2(2 − σ)}{H^{3−σ}}⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩ + \frac{(2 − σ)(3 − σ)}{H^{4−σ}}|A|^{2}|∇H|^{2} (8.4)

+\frac{1}{n} \frac{σ(1 − σ)}{H^{2−σ}}|∇H|^{2}

(vgl. [Hu1], Gleichung (5)). Diese Gleichung wollen wir im folgenden neu formulieren. Dazu bezeichnen wir mit h_{ij}^{0} den spurlosen Anteil der zweiten Fundamentalform, also

h_{ij}^{0} = h_{ij} − \frac{H}{n} g_{ij}.

Dann ist nach Lemma 2.9(ii)

△|A|^{2} = 2⟨h_{ij}^{0}, ∇_{i}∇_{j}H⟩ + \frac{2}{n}H△H + 2|∇A|^{2} + 2(HC − |A|^{4})

wobei wieder C = tr(A^{3}). Damit haben wir

\frac{H△|A|^{2} − (2 − σ)|A|^{2}△H}{H^{3−σ}} − \frac{σ}{nH^{1−σ}} △H

= \frac{2}{H^{2−σ}} ⟨h_{ij}^{0}, ∇_{i}∇_{j}H⟩ − \frac{2 − σ}{H} f_{σ}△H + \frac{2}{H^{2−σ}} (HC −|A|^{4}) + \frac{2}{H^{2−σ}} |∇A|^{2}.

Weiterhin gilt

⟨∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩ = −\frac{2 − σ}{H} f_{σ}|∇H|^{2} + \frac{1}{H^{2−σ}} ⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩ − \frac{2}{nH^{1−σ}} |∇H|^{2},

woraus mit Gleichung (5.8) folgt:

−\frac{2(2 − σ)}{H^{3−σ}}⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩

= −\frac{2}{H^{3−σ}} ⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩ − \frac{2(1 − σ)}{H^{3−σ}}⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩
= \frac{2}{H^{4−σ}} ( |H∇_{i}h_{jk} − ∇_{i}H · h_{jk}|^{2} − H^{2}|∇A|^{2} − |A|^{2}|∇H|^{2} )

−\frac{2(1 − σ)}{H}⟨∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩ − \frac{2(1 − σ)(2 − σ)}{H^{2}}f_{σ}|∇H|^{2} − \frac{4(1 − σ)}{nH^{2−σ}}|∇H|^{2}.

Also ist

−\frac{2(2 − σ)}{H^{3−σ}}⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩+\frac{(2 − σ)(3 − σ)}{H^{4−σ}}|A|^{2}|∇H|^{2}+\frac{σ(1 − σ)}{nH^{2−σ}}|∇H|^{2}

= \frac{2}{H^{4−σ}} |H∇_{i}h_{jk} − ∇_{i}H · h_{jk}|^{2} − \frac{2}{H^{2−σ}} |∇A|^{2}

−\frac{2(1 − σ)}{H}⟨∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩ + \frac{σ(1 − σ)}{H^{2}}f_{σ}|∇H|^{2},

so daß schließlich aus der Gleichung (8.4) folgt

△f_{σ} = \frac{2}{H^{2−σ}} ⟨h_{ij}^{0}, ∇_{i}∇_{j}H⟩ − \frac{2 − σ}{H} f_{σ}△H + \frac{2}{H^{2−σ}} (HC − |A|^{4})

+\frac{2}{H^{4−σ}} |H∇_{i}h_{jk} − ∇_{i}H · h_{jk}|^{2} − \frac{2(1 − σ)}{H}⟨∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩

+\frac{σ(1 − σ)}{H^{2}}f_{σ}|∇H|^{2}.

Damit haben wir für 0 ≤ σ ≤ 1

\begin{aligned}△f_{σ} & ≥ & \frac{2}{H^{2−σ}} ⟨h_{ij}^{0}, ∇_{i}∇_{j}H⟩ − \frac{2 − σ}{H} f_{σ}△H + \frac{2}{H^{2−σ}} (HC − |A|^{4}) \\ & & −\frac{2(1 − σ)}{H}⟨∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩. \end{aligned}  (8.5)

Diese Ungleichung multiplizieren wir für p ≥ 2 mit f_{σ}^{p−1} und integrieren über M^{n}. Dabei erhalten wir durch partielle Integration folgende Gleichungen:

∫ f_{σ}^{p−1}△f_{σ}dμ = −(p − 1) ∫ f_{σ}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2}dμ;

∫ \frac{2}{H^{2−σ}} f_{σ}^{p−1}⟨h_{ij}^{0}, ∇_{i}∇_{j}H⟩ dμ = − ∫ g^{ij}g^{kl}∇_{j} (\frac{2}{H^{2−σ}} f_{σ}^{p−1}h_{ik}^{0}) ∇_{l}H dμ
= 2(2 − σ) ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{3−σ}} ⟨h_{ij}^{0}, ∇_{i}H∇_{j}H⟩ dμ

−2(p − 1) ∫ \frac{f_{σ}^{p−2}}{H^{2−σ}} ⟨h_{ij}^{0}, ∇_{i}f_{σ}∇_{j}H⟩ dμ

−2(1 − \frac{1}{n}) ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2} dμ;

− ∫ \frac{2 − σ}{H} f_{σ}^{p}△H dμ = (2 − σ) ∫ g^{ij}∇_{i} (\frac{f_{σ}^{p}}{H} ) ∇_{j}H dμ
= (2 − σ)p ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H} ⟨∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩ dμ

−(2 − σ) ∫ \frac{f_{σ}^{p}}{H^{2}} |∇H|^{2} dμ.

Bei der zweiten Gleichung haben wir zuletzt die Codazzi-Gleichungen benutzt. Daraus folgt nun mit (8.5)

0 ≥ (p − 1) ∫ f_{σ}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2}dμ + 2(2 − σ) ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{3−σ}} ⟨h_{ij}^{0}, ∇_{i}H∇_{j}H⟩ dμ

−2(p − 1) ∫ \frac{f_{σ}^{p−2}}{H^{2−σ}} ⟨h_{ij}^{0}, ∇_{i}f_{σ}∇_{j}H⟩ dμ − 2(1 − \frac{1}{n}) ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2} dμ

+(2 − σ)p ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H} ⟨∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩ dμ − (2 − σ) ∫ \frac{f_{σ}^{p}}{H^{2}} |∇H|^{2} dμ

+2 ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} (HC − |A|^{4}) dμ − 2(1 − σ) ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H} ⟨∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩ dμ. (8.6)

Allgemein gilt

ab ≤ \frac{η}{2}a^{2} + \frac{1}{2η} b^{2} für jedes η > 0, somit auch

⟨a_{i}, b_{i}⟩ ≤ \frac{η}{2}|a_{i}|^{2} + \frac{1}{2η} |b_{i}|^{2} und ⟨a_{ij}, b_{ij}⟩ ≤ \frac{η}{2}|a_{ij}|^{2} + \frac{1}{2η} |b_{ij}|^{2};

|h_{ij}^{0}|^{2} = (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}) = f_{σ}H^{2−σ}, f_{σ} ≤ H^{σ};

(8.7)

letztere Abschätzung kommt von Ungleichung (8.2). Damit haben wir

\frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{3−σ}} ⟨−h_{ij}^{0}, ∇_{i}H∇_{j}H⟩ ≤ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{3−σ}} (\frac{η_{1}}{2} |h_{ij}^{0}|^{2} + \frac{1}{2η_{1}} |∇H|^{4})

= \frac{η_{1}}{2} \frac{f_{σ}^{p}}{H} + \frac{1}{2η_{1}} \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{3−σ}} |∇H|^{4},

\frac{f_{σ}^{p−2}}{H^{2−σ}} ⟨h_{ij}^{0}, ∇_{i}f_{σ}∇_{j}H⟩ ≤ \frac{f_{σ}^{p−2}}{H^{2−σ}} (\frac{η_{2}}{2} |h_{ij}^{0}|^{2} + \frac{1}{2η_{2}} |∇H|^{2}|∇f_{σ}|^{2})

= \frac{η_{2}}{2} f_{σ}^{p−1} + \frac{1}{2η_{2}} \frac{f_{σ}^{p−2}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2}|∇f_{σ}|^{2},

\frac{f_{σ}^{p−1}}{H} ⟨−∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩ ≤ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H} (\frac{η_{3}}{2} |∇f_{σ}|^{2} + \frac{1}{2η_{3}} |∇H|^{2})) ,

woraus mit Ungleichung (8.6) folgt, daß

∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} (HC−|A|^{4})dμ ≤ (2 − σ) ∫ (\frac{η_{1}}{2} \frac{f_{σ}^{p}}{H} + \frac{1}{2η_{1}} \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{3−σ}} |∇H|^{4}) dμ

+(p − 1)∫ (\frac{η_{2}}{2} f_{σ}^{p−1} + \frac{1}{2η_{2}} \frac{f_{σ}^{p−2}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2}|∇f_{σ}|^{2})dμ

+2 ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2} dμ

+(p − 1) ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H} (\frac{η_{3}}{2} |∇f_{σ}|^{2} + \frac{1}{2η_{3}} |∇H|^{2})) dμ;

beim vorletzten Term haben wir die Ungleichung f_{σ}/H^{σ} ≤ 1 aus (8.7) verwendet, beim letzten Term die Abschätzung \frac{1}{2}((2 − σ)p − 2(1 − σ)) ≤ p − 1 für p ≥ 2. Setzen wir nun für η > 0

η_{1} := \frac{2|∇H|^{2}}{H} ,  η_{2} := \frac{|∇f_{σ}|^{2}}{2ηf_{σ}} ,  η_{3} := \frac{H^{1−σ}}{2η} ,

so folgt

∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} (HC−|A|^{4})dμ ≤ (\frac{5}{4}(2 − σ) + 2(p − 1)η + 2) ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2}dμ

+\frac{p − 1}{2η} ∫ f_{σ}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2}dμ,

wobei wir wieder benutzt haben, daß nach (8.7)

\frac{f_{σ}}{H^{σ}} ≤ 1  ⇒  \frac{f_{σ}^{p}}{H^{2}} ≤ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} ,  \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{σ}} ≤ f_{σ}^{p−2}.  (8.8)

Nach Lemma 8.4(i) gilt nε^{2}H^{4−σ}f_{σ} ≤ HC − |A|^{4} für ε aus (8.3). Daraus erhalten wir die Behauptung, wenn wir die obige Ungleichung noch ein wenig aufrunden und bedenken, daß σ ≥ 0. □

Damit können wir nun zeigen, daß hohe L^{p}-Normen von f_{σ} für genügend kleine σ beschränkt sind.

Lemma 8.10 Es gibt eine Konstante C_{1} < ∞, die nur von M_{0} abhängt, so daß für alle

p ≥ 100ε^{−2}, σ ≤ \frac{n}{8}ε^{3}p^{−1/2}

die Ungleichung

(∫_{M_{t}} f_{σ}^{p} dμ)^{1/p} ≤ C_{1}

auf [0, T) anhält. (Dabei genüge ε wieder der Ungleichung (8.3) und sei gleichzeitig so klein, daß p ≥ 2 und σ ≤ 1)

Beweis: Gilt

C_{1} := (|M_{0}| + 1) sup_{σ∈[0,1]} (sup_{M_{0}} f_{σ}) ,

so ist C_{1} < ∞, da M_{0} und [0, 1] kompakt sind und f_{σ} für alle σ ∈ [0, 1] auf M_{0} stetig ist. Da |M_{0}| + 1 ≥ |M_{0}|^{1/p} für alle p ≥ 2 gilt mit diesem von p unabhängigem C_{1} die oben behauptete Ungleichung für t = 0. Also genügt es zu zeigen, daß

\frac{∂}{∂t} ∫_{M_{t}} f_{σ}^{p} dμ ≤ 0 für 0 ≤ t < T.  (8.9)

Um dies zu erreichen, multiplizieren wir die Ungleichung in Korollar 8.8 mit pf_{σ}^{p−1} und erhalten

\frac{∂}{∂t} ∫ f_{σ}^{p}dμ + ∫ f_{σ}^{p}H^{2}dμ + p(p − 1) ∫ f_{σ}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2}dμ + ε^{2}p ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2}dμ

≤ 2(1 − σ)p ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H} |∇H||∇f_{σ}| dμ + σp ∫ f_{σ}^{p}|A|^{2} dμ.  (8.10)

Dabei haben wir benutzt, daß nach Korollar 2.12

\frac{∂}{∂t} ∫ f_{σ}^{p} dμ = ∫ \frac{∂}{∂t}f_{σ}^{p} dμ − ∫ f_{σ}^{p}H^{2} dμ,

und nach partieller Integration (wie oben schon einmal errechnet)

∫ pf_{σ}^{p−1}△f_{σ} dμ = −p(p − 1) ∫ f_{σ}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2} dμ;

auch die Schwarzsche Ungleichung ⟨∇_{i}H, ∇_{i}f_{σ}⟩ ≤ |∇H||∇f_{σ}| haben wir verwendet. Da ab ≤ \frac{η}{2}a^{2} + \frac{1}{2η}b^{2} nach (8.7) können wir mit a := f_{σ}|∇H|/H, b := |∇f_{σ}|, und η := 2/(p − 1) abschätzen, daß für σ ≥ 0

2(1−σ)p ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H} |∇H||∇f_{σ}| dμ

≤ \frac{2p}{p − 1} ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2} dμ + \frac{1}{2}p(p − 1) ∫ f_{σ}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2} dμ,

wobei wir beim ersten Term der rechten Seite wieder benutzt haben, daß f_{σ}^{p}/H^{2} ≤ f_{σ}^{p−1}/H^{2−σ} (vgl.(8.8)). Da nun O.B.d.A. p−1 ≥ 100ε^{−2} −1 ≥ 4ε^{−2} (dann ist (2p)/(p − 1) ≤ \frac{1}{2}ε^{2}p) und |A|^{2} ≤ H^{2} nach (8.2, folgt mit Ungleichung (8.10)

\frac{∂}{∂t} ∫ f_{σ}^{p}dμ + \frac{1}{2}ε^{2}p ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2}dμ + \frac{1}{2}p(p − 1) ∫ f_{σ}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2}dμ ; ≤ (σp − 1) ∫ f_{σ}^{p}H^{2} dμ.  (8.11)

Da nach Voraussetzung σ ≤ \frac{n}{8}ε^{3}p^{−1/2}, folgt daraus mit Lemma 8.9

\frac{∂}{∂t} ∫ f_{σ}^{p}dμ + \frac{1}{2}ε^{2}p ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2}dμ + \frac{1}{2}p(p − 1) ∫ f_{σ}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2}dμ

≤ \frac{ε}{8}p^{1/2}(2ηp + 5) ∫ \frac{f_{σ}^{p−1}}{H^{2−σ}} |∇H|^{2}dμ

\frac{ε}{8}p^{1/2}η^{−1}(p − 1) ∫ f_{σ}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2}dμ.

Wählen wir hier η = εp^{−1/2}, so erhalten wir

\frac{ε}{8}p^{1/2}(2ηp + 5) ≤ \frac{1}{2}ε^{2}p und \frac{ε}{8}p^{1/2}η^{−1}(p − 1) ≤ \frac{1}{2}p(p − 1),

wobei wir bei ersterer Ungleichung die Voraussetzung ε^{2}p ≥ 100 verwendet haben. So folgt schließlich die gewünschte Ungleichung (8.9) und damit die Behauptung. □

Korollar 8.11 Setzen wir voraus, daß

p ≥ (\frac{m}{n})^{2} 2^{8}ε^{−6}, σ ≤ \frac{n}{16}ε^{3}p^{−1/2}

für ein m ∈ ℕ, so gilt auf [0, T)

(∫_{M_{t}} H^{m}f_{σ}^{p} dμ)^{1/p} ≤ C_{1}.

Beweis: Dies folgt sofort aus dem vorigen Lemma, da

(∫_{M_{t}} H^{m}f_{σ}^{p} dμ)^{1/p} = (∫_{M_{t}} f_{σ′}^{p} dμ)^{1/p} ,

für

σ′ = σ + \frac{m}{p} ≤ \frac{n}{16}ε^{3}p^{−1/2} + mp^{−1/2} \frac{n}{m} \frac{ε^{3}}{16} = \frac{n}{8}ε^{3}p^{−1/2}.

(Auch die Voraussetzung p ≥ 100ε^{−2} des vorigen Lemmas ist für genügend kleine ε erfüllt.)

Mit Hilfe der folgenden Sobolev-Ungleichung können wir nun Theorem 8.6 beweisen.

Lemma 8.12 Für alle Lipschitz-stetigen Funktionen v auf M^{n} gilt

(∫_{M^{n}} |v|^{n/(n−1)} dμ)^{(n−1)/n} ≤ c_{n} (∫_{M^{n}} |∇v| dμ + ∫_{M^{n}} H|v| dμ) ,

mit einer nur von n abhängigen Konstanten c_{n} > 0.

Beweis: siehe [MS], Theorem 2.1.

Beweis des Theorems 8.6: Wir definieren für k ≥ k_{0} := sup_{M_{0}} f_{σ}

f_{σ,k} := max(f_{σ} − k, 0) und A_{t}(k) := {x ∈ M_{t} | f_{σ}(x) ≥ k}

und multiplizieren die Ungleichung aus Korollar 8.8 mit pf_{σ,k}^{p−1} und erhalten wie im Beweis des Lemmas 8.10 (vgl.Gl.(8.11))

\frac{∂}{∂t} ∫_{A_{t}(k)} f_{σ,k}^{p}dμ + \frac{1}{2}p(p − 1) ∫_{A_{t}(k)} f_{σ,k}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2}dμ ≤ σp ∫_{A_{t}(k)} f_{σ,k}^{p−1}f_{σ}H^{2} dμ.

Dabei gilt für p ≥ 2

\frac{1}{2}p(p − 1)f_{σ,k}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2} ≥ \frac{p^{2}}{4} f_{σ,k}^{p−2}|∇f_{σ}|^{2} = |∇f_{σ,k}^{p/2}|^{2},

so daß für v = f_{σ,k}^{p/2}

\frac{∂}{∂t} ∫_{A_{t}(k)} v^{2} dμ + ∫_{A_{t}(k)} |∇v|^{2} dμ ≤ σp ∫_{A_{t}(k)} H^{2}f_{σ}^{p} dμ.

Da nach Voraussetzung k ≥ k_{0} = sup_{M_{0}} f_{σ} und somit v ≡ 0 auf M_{0}, folgt daraus durch Integration über die Zeit, daß einerseits

sup_{[0,T)} ∫_{A_{t}(k)} v^{2}dμ ≤ σp ∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)} H^{2}f_{σ}^{p} dμ  (8.12)

und andererseits

∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)} |∇v|^{2} ≤ σp ∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)} H^{2}f_{σ}^{p} dμ.  (8.13)

Da supp v ⊆ A_{t}(k), folgt aus Lemma 8.12 und der Hölder-Ungleichung

(∫_{A_{t}(k)} v^{2q} dμ)^{1/q} ≤c_{n} ∫_{A_{t}(k)} |∇v|^{2} dμ+c_{n} (∫_{A_{t}(k)} H^{n} dμ)^{2/n}(∫_{A_{t}(k)} v^{2q} dμ)^{1/q}

für

q = \{ \begin{matrix}n/(n − 2), & n > 2, \\ ∞, & n = 2. \end{matrix}

Nach Korollar 8.11 haben wir für ein p′ ≥ 2^{8}ε^{−6} und σ ≤ \frac{n}{16}ε^{3}p^{′−1/2}

(∫_{A_{t}(k)} H^{n} dμ)^{2/n} ≤ k^{−2p′/n} (∫_{A_{t}(k)} H^{n}f_{σ}^{p′} dμ)^{2/n} ≤ k^{−2p′/n}C_{1}^{2p′/n},

also c_{n} (∫_{A_{t}(k)} H^{n} dμ)^{2/n} ≤ 1/2 für k ≥ k_{1} = k_{1}(k_{0}, C_{1}, n). Damit ist

(∫_{A_{t}(k)} v^{2q} dμ)^{1/q} ≤ 2c_{n} ∫_{A_{t}(k)} |∇v|^{2} dμ.  (8.14)

Und da nach der Hölder-Ungleichung für q_{0} = 2 − (1/q)

∫_{A_{t}(k)} v^{2q_{0}} dμ ≤ (∫_{A_{t}(k)} v^{2q} dμ)^{1/q} (∫_{A_{t}(k)} v^{2} dμ)^{1−1/q} ,

folgt daraus mit den Ungleichungen (8.12) und (8.13): (∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)}v^{2q_{0}}dμ dt)^{1/q_{0}} ≤(∫_{0}^{T} (∫_{A_{t}(k)}v^{2q}dμ)^{1/q} (∫_{A_{t}(k)}v^{2}dμ)^{1−1/q}dt)^{1/q_{0}}

≤ (sup_{[0,T)} ∫_{A_{t}(k)} v^{2} dμ)^{1−1/q_{0}} (∫_{0}^{T} (∫_{A_{t}(k)}v^{2q}dμ)^{1/q} dt)^{1/q_{0}}
≤ c′_{n}σp ∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)} H^{2}f_{σ}^{p}dμ dt

mit c′_{n} = (2c_{n})^{1/q_{0}}. Also gilt mit

∥A(k)∥ := ∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)} dμ dt

nach der Hölder-Ungleichung für r > 1 (∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)} v^{2q_{0}}dμ dt)^{1/q_{0}} ≤ c′_{n}σp∥A(k)∥^{1−1/r} (∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)} H^{2r}f_{σ}^{pr}dμ dt)^{1/r} . Damit gilt andererseits (wiederum nach der Hölder-Ungleichung)

∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)}v^{2}dμ dt ≤ ∥A(k)∥^{1−1/q_{0}} (∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)} v^{2q_{0}}dμ dt)^{1/q_{0}}
≤ c′_{n}σp∥A(k)∥^{2−1/q_{0}−1/r} (∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)} H^{2r}f_{σ}^{pr}dμ dt)^{1/r} (8.15)

Ist nun h > k, so ist f_{σ,k} ≥ f_{σ,h} und A_{t}(h) ⊆ A_{t}(k), somit |h − k|^{p}∥A(h)∥ = ∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(h)}(f_{σ,k} − f_{σ,h})^{p}dμ dt ≤ ∫_{0}^{T} ∫_{A_{t}(k)} f_{σ,k}^{p}dμ dt.

Setzen wir dann voraus, daß

pr ≥ (\frac{2r}{n})^{2} 2^{8}ε^{−6}, σ ≤ \frac{n}{16}ε^{3}(pr)^{−1/2},

so folgt mit Ungleichung (8.15) und Korollar 8.11 für h > k ≥ k_{1}

|h − k|^{p}∥A(h)∥ ≤ C_{2}∥A(k)∥^{γ}

mit C_{2} = c′_{n}σp·C_{1}^{p}T^{1/r} < ∞ und γ = 2 − 1/q_{0} − 1/r. Ist dann ∥A(h)∥ ≠ 0, so gilt nach dieser Ungleichung mit k = k_{1} und d = 2 C_{2}^{1/p}∥A(k_{1})∥^{(γ−1)/p} für genügend große p:

|h − k_{1}| ≤ \frac{1}{2} d ·(\frac{∥A(k_{1})∥}{∥A(h)∥})^{1/p} < d,

da 0 < ∥A(h)∥ ≤ ∥A(k_{1})∥ < ∞ . Daher ist ∥A(h)∥ = 0 für h ≥ k_{1} + d und somit μ(A_{t}(k_{2})) = 0 für k_{2} = k_{1} + d und alle t ∈ [0, T], das heißt es gilt

f_{σ} ≤ k_{2} auf ganz M^{n} × [0, T).

Damit ist das große Theorem dieses Abschnittes (Thm 8.6) bewiesen. □

8.1.3 Eine obere Schranke für |∇H|

Zwar können wir nicht sagen, daß der Gradient der mittleren Krümmung beim mittleren Krümmungsfluß allgemein beschränkt bleibt, wohl aber können wir |∇H| durch H selber nach oben abschätzen und zwar wie folgt:

Theorem 8.13 Für jedes η > 0 gibt es eine Konstante C(η, M_{0}, n), so daß

|∇H|^{2} ≤ ηH^{4} + C(η, M_{0}, n).

Für den Beweis brauchen wir die im folgenden genannten Lemmas.

Lemma 8.14 Wir haben die Evolutionsgleichung

\frac{∂}{∂t}|∇H|^{2} = △|∇H|^{2} − 2|∇^{2}H|^{2} + 2|A|^{2}|∇H|^{2}
+2⟨∇_{i}H · h_{jk}, ∇_{j}H · h_{ik}⟩ + 2H⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩.

Beweis: siehe [Hu1], Lemma 6.2.

Korollar 8.15 Aus dem vorigen Lemma folgt sofort:

\frac{∂}{∂t}|∇H|^{2} ≤ △|∇H|^{2} − 2|∇^{2}H|^{2} + 4|A|^{2}|∇H|^{2} + 2H⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩.

Lemma 8.16 Es gilt die Ungleichung

\frac{∂}{∂t} (\frac{|∇H|^{2}}{H} ) ≤ △ (\frac{|∇H|^{2}}{H} ) + 3|A|^{2} (\frac{|∇H|^{2}}{H} ) + 2⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩.

Beweis: Mit dem obigen Korollar und der Evolutionsgleichung (2.3) können wir errechnen, daß

\frac{∂}{∂t} (\frac{|∇H|^{2}}{H} ) ≤ \frac{H△|∇H|^{2} − |∇H|^{2}△H}{H^{2}} − \frac{2}{H} |∇^{2}H|^{2}

+3|A|^{2} (\frac{|∇H|^{2}}{H} ) + 2⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩.

Außerdem ist

△ (\frac{|∇H|^{2}}{H} ) = \frac{H△|∇H|^{2} − |∇H|^{2}△H}{H^{2}} + \frac{2}{H^{3}} |∇H|^{4}

−\frac{4}{H^{2}} ⟨∇_{i}∇_{j}H, ∇_{i}H∇_{j}H⟩.

Da 2(|∇H|^{2}−H|∇^{2}H|)^{2}/H^{3} ≥ 0, folgt mit der Schwarzschen Ungleichung

\frac{2}{H^{3}} |∇H|^{4} − \frac{4}{H^{2}} ⟨∇_{i}∇_{j}H, ∇_{i}H∇_{j}H⟩, ≥ \frac{2}{H^{3}} |∇H|^{4} − \frac{4}{H^{2}} |∇^{2}H||∇H|^{2}
≥ −\frac{2}{H} |∇^{2}H|^{2},

so daß

△ (\frac{|∇H|^{2}}{H} ) ≥ \frac{H△|∇H|^{2} − |∇H|^{2}△H}{H^{2}} − \frac{2}{H} |∇^{2}H|^{2},

woraus schließlich die Behauptung folgt. □

Lemma 8.17 Wir haben die Evolutionsgleichungen

(i) \frac{∂}{∂t}H^{3} = △H^{3} − 6H|∇H|^{2} + 3|A|^{2}H^{3}

(ii) \frac{∂}{∂t} ((|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}) H) ≤ △ ((|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}) H) − \frac{2(n − 1)}{3n}H|∇A|^{2}

+ C_{3}|∇A|^{2} + 3|A|^{2}H (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}) ,

mit einer Konstanten C_{3}, die nur von n, C_{0} und δ, also letzten Endes nur von M_{0} abhängt.

Beweis: Die Gleichung (i) folgt sofort aus der Evolutionsgleichung (2.3). Für die Ungleichung (ii) folgt aus dem Lemma 8.5

\frac{∂}{∂t} ((|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2})H) = △ ((|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2})H)−2 ⟨∇_{i} (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}), ∇_{i}H⟩

−2H (|∇A|^{2} − \frac{1}{n}|∇H|^{2}) + 3|A|^{2}H (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}).

Nach Theorem 8.6 gilt für h_{ij}^{0} = h_{ij} − \frac{H}{n} g_{ij}

|h_{ij}^{0}|^{2} = |A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2} ≤ C_{0}H^{2−δ},

so daß mit 0 ≤ |∇_{k}h_{ij}^{0}|^{2} = |∇A|^{2} − \frac{1}{n}|∇H|^{2} ≤ |∇A|^{2} folgt

2 |⟨∇_{i} (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}), ∇_{i}H⟩| = 4|⟨h_{ij}^{0}∇_{k}H, ∇_{k}h_{ij}^{0}⟩|
≤ 4|h_{ij}^{0}||∇H||∇A|
≤ 4\sqrt{nC_{0}}H^{1−δ/2}|∇A|^{2}. (8.16)

Den letzten Term können wir nun weiter abschätzen. Dazu betrachten wir für ein a > 0 die Funktion f(s) = a − a^{1−s} + s, s ∈ ℝ. Durch Kurvendiskussion finden wir heraus, daß f ≥ 0 auf [0, 1]. Da nach Voraussetzung überall H > 0, folgt daraus, daß ηH − (ηH)^{1−δ/2} + δ/2 ≥ 0 für jedes η > 0 und 0 ≤ δ ≤ 2; dies ist äquivalent zu

H^{1−δ/2} ≤ η^{δ/2}H + η^{δ/2−1} δ/2.  (8.17)

Wählen wir dann η so, daß 4\sqrt{nC_{0}}η^{δ/2} = 2(n − 1)/(3n), so folgt aus (8.16)

2 |⟨∇_{i} (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}), ∇_{i}H⟩| ≤ \frac{2(n − 1)}{3n}H|∇A|^{2} + C(n, C_{0}, δ)|∇A|^{2}

mit einer nur von n, C_{0} und δ abhängigen Konstanten C(n, C_{0}, δ) ≥ 0. Da nach Lemma 8.2

−2H (|∇A|^{2} − \frac{1}{n}|∇H|^{2}) ≤ −\frac{4(n − 1)}{3n}H|∇A|^{2},

folgt daraus mit obiger Evolutionsgleichung für C_{3} = C(n, C_{0}, δ) die behauptete Ungleichung. □

Beweis des Theorems 8.13: Um nun das Haupttheorem dieses Abschnittes zu beweisen, versuchen wir zunächst für die Funktion

f = \frac{|∇H|^{2}}{H} + N (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}) H + NC_{3}|A|^{2} − ηH^{3},

für ein genügend großes N, das nur von n und η abhängt, eine obere Schranke zu finden. Aus Lemma 8.16 und 8.17 und der Evolutionsgleichung für |A|^{2} (2.4) erhalten wir

\frac{∂f}{∂t} ≤ △f + 3|A|^{2} (\frac{|∇H|^{2}}{H} ) + 2⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩

−N \frac{2(n − 1)}{3n}H|∇A|^{2} − NC_{3}|∇A|^{2} + 3N|A|^{2}H (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2})

+2NC_{3}|A|^{4} + 6ηH|∇H|^{2} − 3η|A|^{2}H^{3}.

Da ⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩ = 2⟨h_{ij}∇_{k}H, ∇_{k}h_{ij}⟩ ≤ 2|A||∇H||∇A| und |A|^{2} ≤ H^{2}, |∇H|^{2} ≤ n|∇A|^{2} können wir eine Teilsumme nach oben hin abschätzen, und zwar gilt für eine nur von n und η abhängige Konstante C(n, η)

3|A|^{2} (\frac{|∇H|^{2}}{H} ) + 2⟨∇_{i}H, ∇_{i}|A|^{2}⟩ + 6ηH|∇H|^{2} ≤ C(n, η)H|∇A|^{2}.

Da nach Voraussetzung n ≥ 2, können wir N so groß wählen, daß

\frac{∂f}{∂t} ≤ △f + 3NH^{3} (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}) + 2NC_{3}H^{4} − \frac{3}{n}ηH^{5},  (8.18)

wobei wir die Ungleichung (1/n)H^{2} ≤ |A|^{2} ≤ H^{2} verwendet haben. Aus Theorem 8.6 folgt

3NH^{3} (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}) + 2NC_{3}H^{4} ≤ 3N ·max\{C_{0}, C_{3}\}·(H^{5−δ} + H^{4}).

Ganz ähnlich wie wir oben Ungleichung (8.17) bewiesen haben, können wir zeigen, daß

H^{5−δ} ≤ η^{′δ}H^{5} + η^{′δ−5}δ

für alle η′ > 0 und 0 ≤ δ ≤ 5. Damit erhalten wir wegen H^{4} ≤ H^{5−δ} + 1 für 0 ≤ δ ≤ 1:

H^{5−δ} + H^{4} ≤ 2η^{′δ}H^{5} + 2η^{′δ−5}δ + 1.

Wählen wir η′ > 0 so, daß

\frac{3}{n}η = 3N ·max\{C_{0}, C_{3}\}·2η^{′δ},

so hängt η′ nur von η, δ, n, C_{0} und C_{3} ab, also im Grunde nur von η und M_{0}, so daß

3NH^{3} (|A|^{2} − \frac{1}{n}H^{2}) + 2NC_{3}H^{4} ≤ \frac{3}{n}ηH^{5} + C(η, M_{0})

und aus der Ungleichung (8.18) folgt, daß

∂f/∂t ≤ △f + C(η, M_{0}).

So gilt nach dem Maximumlemma 2.1:

\frac{∂}{∂t} max_{M_{t}} f ≤ C(η, M_{0})  ⇒  max_{M_{t}} f ≤ max_{M_{0}} f + C(η, M_{0})·t.

Also ist f ≤ max_{M_{0}} f + C(η, M_{0})T =: C′(η, M_{0}). Da für jede Konstante C ≥ 0 die Ungleichung H^{4} + CH ≤ 2H^{4} + C + C^{2} gilt, folgt schließlich aus der Definition von f:

|∇H|^{2} ≤ ηH^{4} + C′(η, M_{0})H ≤ 2ηH^{4} + C′′(η, M_{0}).

Da η > 0 beliebig ist, entspricht dies der Behauptung in Theorem 8.13. □

8.1.4 Konvergenz zu einem Punkt

In diesem Abschnitt wollen wir nun endgültig die Konvergenz von M_{t} zu einem Punkt O ∈ ℝ^{n+1} beweisen. Dazu brauchen wir folgendes Theorem:

Theorem 8.18 Für t → T haben wir H_{max}/H_{min} → 1.

Um dies zu beweisen, sei zunächst Myers Theorem zitiert.

Theorem 8.19 (Myers) Gilt entlang einer Geodäte von mindestens πK^{−1/2} Länge die Ungleichung R_{ij} ≥ (n − 1)Kg_{ij}, so hat die Geodäte konjugierte Punkte; eine minimierende Geodäte, auf der diese Ungleichung gilt, ist also höchstens πK^{−1/2} lang.

Beweis: siehe [P], Theorem 1.2, §9.1.

Außerdem brauchen wir

Lemma 8.20 Mit ε aus Ungleichung (8.3) gilt auf ganz M^{n} × [0, T)

R_{ij} ≥ (n − 1) ε^{2}H^{2}g_{ij}.

Beweis: Wir können an jedem Punkt p ∈ M^{n} eine solche Koordinatentransformation durchführen, daß g_{ij} = δ_{ij} und zugleich h_{ij} = δ_{ij}κ_{i}. Dann gilt κ_{p} ≥ εH für jedes 1 ≤ p ≤ n (Lemma 8.3) und somit wegen H = ∑_{p=1}^{n} κ_{p}

R_{ij} = Hh_{ij} − h_{ik}g^{kl}h_{lj} = (H − κ_{i})κ_{i}δ_{ij} ≥ (n − 1)ε^{2}H^{2}g_{ij}. □

Beweis des Theorems 8.18: Nach Theorem 8.13 gibt es zu jedem η > 0 eine Konstante C(η) mit |∇H| ≤ \frac{1}{2}η^{2}H^{2} + C(η) auf M^{n} × [0, T). Da H_{max}(t) → ∞ für t → T (Theorem 3.5), gibt es ein θ ∈ [0, T) mit C(η) ≤ \frac{1}{8}η^{2}H_{max}^{2}(θ). Dann ist

max_{M_{θ}} |∇H| ≤ η^{2}H_{max}^{2}(θ).  (8.19)

Sei nun x ein Punkt auf M_{θ}, wo H sein Maximum annimmt. Aufgrund der Beschränkung des Gradienten von H haben wir entlang einer Geodäte auf M_{θ}, die von x ausgeht und höchstens η^{−1}H_{max}(θ)^{−1} lang ist, die Abschätzung H ≥ (1 − η)H_{max}(θ). Nach Lemma 8.20 können wir Myer’s Theorem 8.19 anwenden, indem wir K := ε^{2}(1 − η)^{2}H_{max}^{2}(θ) setzen. Demnach ist eine minimierende Geodäte, die von x ausgeht und an einem Punkt y ∈ M_{θ} endet, wo H sein Minimum annimmt, nicht länger als πK^{−1/2}, also für genügend kleine η auch nicht länger als η^{−1}H_{max}^{−1}(θ), so daß

H_{min}(θ) ≥ (1 − η)H_{max}(θ).  (8.20)

Da θ von η abhängt, können wir hier nicht einfach η gegen Null gehen lassen. Wir brauchen noch eine Zusatz-Überlegung: Nach der Evolutionsgleichung (2.3) und dem Maximumlemma 2.1 gilt auf ganz [0, T)

\frac{∂}{∂t}H_{min} ≥ min_{M_{t}}(|A|^{2}H) ≥ 0,

das heißt H_{min}(t) ist mit der Zeit t monoton wachsend. Somit folgt mit der Ungleichung (8.20) für η ≤ \frac{1}{2}

H_{max}(t) ≥ H_{min}(t) ≥ H_{min}(θ) ≥ \frac{1}{2}H_{max}(θ)

für alle t ∈ [θ, T). Daher ist mit demselben η wie oben C(η) ≤ \frac{1}{2}η^{2}H_{max}^{2}(t), so daß die Ungleichung (8.19) auch für alle t ∈ [θ, T) gilt. Daraus folgt, daß auch die zweite Ungleichung (8.20) für alle t ∈ [θ, T) gilt. Nun können wir η gegen Null gehen lassen, womit Theorem 8.18 bewiesen ist. □

Korollar 8.21 Für t → T haben wir |A|^{2}/H^{2} → 1/n.

Beweis: Da nach Theorem 8.18 auch H_{min}(t) → ∞ und somit überall H → ∞ für t → T, folgt dies sofort aus Theorem 8.6. □

Für eine weitere Folgerung aus Theorem 8.18, die wir im nächsten Abschnitt anwenden werden, brauchen wir

Lemma 8.22 Es gilt ∫_{0}^{T} H_{max}^{2}(τ)dτ = ∞.

Beweis: Da H_{max}^{2} stetig in t ist, haben wir eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

\frac{∂g}{∂t} = H_{max}^{2}g, g(0) = H_{max}(0).

Weiterhin haben wir nach der Evolutionsgleichung (2.14) wegen |A|^{2} ≤ H^{2}

\frac{∂}{∂t}H ≤ △H + H_{max}^{2}H,

und daher

\frac{∂}{∂t}(H − g) ≤ △(H − g) + H_{max}^{2}(H − g).

So erhalten wir mit dem Maximumprinzip 2.2, daß H ≤ g und somit g → ∞ für t → T. Damit aber haben wir

∫_{0}^{t} H_{max}^{2}(τ)dτ = ln (\frac{g(t)}{g(0)}) → ∞ für t → T,

womit das Lemma bewiesen ist. □

Korollar 8.23 Mit h(t) = ∫_{M_{t}} H^{2} dμ /∫_{M_{t}} dμ gilt

∫_{0}^{T} h(τ)dτ = ∞.

Beweis: Nach Theorem 8.18 gibt es ein t_{0} ∈ [0, T), so daß H_{max}/H_{min} ≤ 2 für alle t ∈ [t_{0}, T). Also folgt mit dem vorigen Lemma

∫_{0}^{T} H_{min}^{2}(τ)dτ ≥ ∫_{t_{0}}^{T} H_{min}^{2}(τ)dτ ≥ \frac{1}{4} ∫_{t_{0}}^{T} H_{max}^{2}(τ)dτ = ∞.

Wegen h ≥ H_{min}^{2} folgt daraus die Behauptung. □

Beweis des Theorems 8.1: Da nach Ungleichung (2.5) die mittlere Krümmung überall und zu jeder Zeit strikt positiv ist, zeigen alle mittlere Krümmungsvektoren −Hν auf M_{t} nach innen, so daß für t_{2} > t_{1} offensichtlich die Fläche M_{t_{2}} in einem Gebiet des ℝ^{n+1} liegt, das von M_{t_{1}} umschlossen wird. Nach Korollar 8.21 nähern sich die Flächen M_{t} für t → T einer Sphäre an, deren Durchmesser aber wegen H → ∞ verschwindet. Damit ist das erste Theorem dieses Kapitels bewiesen. □

8.2 Der reskalierte Fluß

In Abschnitt 4.3 haben wir bereits die Reskalierungstechnik vorgestellt, die wir im Fall konvexer Anfangsflächen verwenden wollen. Demnach multiplizieren wir die Parametrisierung einer jeden Fläche M_{t} mit einem solchen Faktor ψ(t), daß der Flächeninhalt einer jeden reskalierten Fläche M̃_{t} konstant gleich dem Flächeninhalt von M_{0} ist. Dabei nehmen wir O.B.d.A. an, daß der Punkt O∈ ℝ^{n+1}, zu dem die nicht reskalierten Flächen M_{t} konvergieren, der Ursprung ist (ansonsten betrachten wir statt M_{t} die Fläche, die durch die Parametrisierung F ( · , t) − O gegeben ist) − diese Voraussetzung brauchten wir für den Beweis des Theorems 4.7, den wir in Abschnitt 4.3 bereits vorweggenommen haben. Wir haben also M̃_{t} gegeben durch

F̃( · , t) = ψ(t) · F ( · , t)

mit

∫M̃_{t} dμ̃ = |M_{0}| für 0 ≤ t < T.  (8.21)

Damit gelten die Gleichungen

\begin{aligned}g̃_{ij} & = & ψ^{2}g_{ij}, & h̃_{ij} & = & ψh_{ij}, & H̃ & = & ψ^{−1}H, \\ |Ã|^{2} & = & ψ^{−2}|A|^{2}, & dμ̃_{t} & = & ψ^{n}dμ_{t}, & h̃ & = & ψ^{−2}h, \end{aligned}  (8.22)

wobei h wie in Korollar 8.23 definiert ist, entsprechend h̃ = ∫ H̃^{2}dμ̃ /∫ dμ̃. Daraus folgen mit der neuen Zeitvariablen

s(t) = ∫_{0}^{t} ψ^{2}(τ)dτ

sofort die dem Lemma 8.3, dem Theorem 8.18 und dem Korollar 8.21 entsprechenden Sätze:

Korollar 8.24 Für den reskalierten Fluß haben wir mit S = ∫_{0}^{T} ψ^{2}(τ)dτ

(i) h̃_{ij} ≥ εH̃g̃_{ij};

(ii) H̃_{max}/H̃_{min} → 1 für s → S;

(iii) \frac{|Ã|^{2}}{H̃^{2}} → \frac{1}{n}  für s → S .  □

Damit sind alle Voraussetzungen für den in Abschnitt 4.3 vorweggenommenen Beweis des Theorems 4.7 erfüllt, so daß dieser endlich vollständig ist.

Um nun eine Evolutionsgleichung für F̃ zu finden, leiten wir zuerst Gleichung (8.21) nach der Zeit ab und erhalten mit (8.22) und Korollar 2.12

0 = \frac{∂}{∂t} ∫M̃_{t} dμ̃ = (\frac{∂ψ^{n}}{∂t} ) ∫_{M_{t}} dμ − ψ^{n} ∫_{M_{t}} H^{2} dμ,

somit

ψ^{−1} \frac{∂ψ}{∂t} = \frac{1}{n} \frac{∫_{M_{t}} H^{2} dμ}{∫_{M_{t}} dμ} = \frac{1}{n}h.  (8.23)

Für die wie oben definierte neue Zeitvariable s gilt ds/dt = ψ^{2}, woraus wir zusammen mit (8.22) und (8.23) die Evolutionsgleichung des reskalierten Flusses auf einem Zeitintervall [0, S) mit S = ∫_{0}^{T} ψ^{2}(τ)dτ erhalten, nämlich

\frac{∂}{∂s}F̃ = −H̃ν̃ + \frac{1}{n}h̃F̃.  (8.24)

Damit geht es in diesem Abschnitt vor allem um den Beweis des folgenden Theorems:

Theorem 8.25 Die reskalierte Gleichung (8.24) hat eine glatte Lösung M̃_{s} für alle Zeiten 0 ≤ s < ∞. Für s → ∞ konvergieren die Flächen M̃_{s} in der C^{∞}-Topologie gegen eine Sphäre mit Flächeninhalt |M_{0}|.

Für den ersten Teil des Theorems müssen wir nur zeigen, daß

Lemma 8.26 S = ∞.

Beweis: Aus ds/dt = ψ^{2}, H̃^{2} = ψ^{−2}H^{2}, h̃ = ψ^{−2}h und dem Korollar 8.23 folgt mit der Transformationsformel

∫_{0}^{S} h̃(σ)dσ = ∫_{0}^{T} h(τ)dτ = ∞.

Da aber nach Theorem 4.7 h̃ ≤ H̃_{max}^{2} ≤ C_{β}^{2} < ∞ auf [0, S), ist S = ∞. □

Es bleibt uns noch, den zweiten Teil des obigen Theorems zu beweisen. Zunächst einmal: Nach Theorem 4.7 ist die mittlere Krümmung von M̃_{s} nach unten hin gleichmäßig beschränkt; das impliziert eine obere Schranke des inneren Durchmessers aller M̃_{s}, denn nach Korollar 8.24(i) gilt R̃_{ij} ≥ (n − 1)ε^{2}H̃^{2}g̃_{ij}, so daß mit Myer’s Theorem 8.19 folgt:

diamM̃_{s} = sup{L(γ) | γ ist minimierende Geodäte auf M̃_{s}}
≤ \frac{π}{εH̃_{min}(s)} ≤ \frac{π}{εC_{α}} . (8.25)

Also liegen alle M̃_{s} in einem begrenzten Gebiet um O. Weiterhin können wir sie nach Korollar 8.24 zwischen zwei beliebig dicht beieinander liegenden Sphären, einer inneren und einer äußeren, zwängen, wenn s groß genug ist. Damit haben wir schon in schwacher Weise die Konvergenz zu einer Sphäre bewiesen. Es bleibt noch zu zeigen, daß auch die Metriken glatt gegen die Metrik einer Sphäre konvergieren, das heißt, daß die ”Grenzfläche“ tatsächlich eine glatte Mannigfaltigkeit darstellt. Dazu zeigen wir, daß die Konvergenz von M̃_{s} in gewisser Weise exponentiell ist. Und zwar haben wir zunächst

Lemma 8.27 Es gibt Konstanten δ > 0 und C < ∞, so daß

∫M̃_{s} (|Ã|^{2} − \frac{1}{n}H̃^{2}) dμ̃ ≤ Ce^{−δs}.

Beweis: Sei f̃ := |Ã|^{2}/H̃^{2} − 1/n. Diese Funktion entspricht der in Abschnitt 8.1.2 definierten Funktion f_{σ} für σ = 0. Wie im Beweis von Lemma 8.10 erhalten wir für p ≥ 100ε^{−2} ≥ 2

\frac{∂}{∂s} ∫ f̃^{p}dμ̃ ≤ −\frac{1}{2}ε^{2}p ∫ \frac{f̃^{p−1}}{H̃^{2}} |∇H̃|^{2}dμ̃ − \frac{1}{2}p(p − 1) ∫ f̃^{p−2}|∇f̃|^{2}dμ̃
+ ∫ f̃^{p}(h̃ − H̃^{2})dμ̃;

letzterer Term kommt von \frac{∂}{∂s}dμ̃ = (h̃ − H̃^{2})dμ̃, was sich mit (8.22) und (8.23) leicht nachrechnen läßt. Mit η = 2/p gilt −\frac{1}{2}p(p − 1) = −η^{−1}(p − 1) und −\frac{1}{2}ε^{2}p ≤ −50 ≤ −(2ηp + 5). Daher folgt aus dem Lemma 8.9, das ganz entsprechend auch für die reskalierten Größen f̃, H̃, dμ̃ gilt, daß

\frac{∂}{∂s} ∫ f̃^{p}dμ̃ ≤ −nε^{2} ∫ f̃^{p}H̃^{2}dμ̃ + ∫ f̃^{p}(h̃ − H̃^{2})dμ̃.

Da H̃_{min}^{2} ≤ h̃ ≤ H̃_{max}^{2} folgt aus Korollar 8.24(ii), daß h̃ − H̃^{2} → 0 für s → ∞; nach Theorem 4.7 ist −H̃^{2} ≤ −C_{α}^{2} < 0. So gibt es für alle s, die größer als ein bestimmtes s_{0} ≥ 0 sind, ein δ > 0 mit

\frac{∂}{∂s} ∫ f̃^{p}dμ̃ ≤ −δ ∫ f̃^{p}dμ̃,

so daß nach der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen

∫ f̃^{p}dμ̃ ≤ Ce^{−δs}.

Zwar gilt diese Ungleichung zunächst nur für alle s ≥ s_{0}, da jedoch das eben abgeschätzte Integral stetig in s ist, läßt sich eine so große Konstante C finden, daß diese Ungleichung für alle s ≥ 0 gilt. Mit Theorem 4.7, der Hölder-Ungleichung und |M̃_{s}| = |M_{0}| folgt daraus schließlich

∫ (|Ã|^{2} − \frac{1}{n}H̃^{2}) dμ̃ = ∫ f̃H̃^{2}dμ̃ ≤ C_{β}^{2} (∫ f̃^{p}dμ̃)^{1/p} (∫ dμ̃)^{1−1/p}
≤ C′e^{−δ′s}  □

Aus | ˜∇^{m}Ã|^{2} = ψ^{−2(m+1)}|∇^{m}A|^{2} errechnen wir mit Lemma 3.2

\frac{∂}{∂s}| ˜∇^{m}Ã|^{2} = ˜△| ˜∇^{m}Ã|^{2} − 2| ˜∇^{m+1}Ã|^{2} + ∑_{i+j+k=m}˜∇^{i}Ã ∗ ˜∇^{j}Ã ∗ ˜∇^{k}Ã ∗ ˜∇^{m}Ã

−\frac{2(m + 1)}{n}h̃| ˜∇^{m}Ã|^{2}.  (8.26)

Da der letzte Summand nicht positiv ist und |Ã|^{2} ≤ H̃^{2} ≤ C_{β}^{2}, können wir daraus genau wie in Lemma 3.3 folgern, daß auch | ˜∇^{m}Ã|^{2} für jedes m ∈ ℕ gleichmäßig nach oben beschränkt ist. Damit und mit dem folgenden Hilfssatz können wir das nächste Theorem beweisen.

Hilfssatz 8.28 Ist T irgendein Tensor auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M, so gibt es für 1 ≤ l ≤ m − 1 eine nur von n und m abhängige Konstante C(n, m) mit

(i) ∫_{M} |∇^{l}T |^{2} dμ ≤ C(n, m) (∫_{M} |∇^{m}T |^{2} dμ)^{l/m} (∫_{M} |T |^{2} dμ)^{1−l/m}

(ii) ∫_{M} |∇^{l}T |^{2m/l} dμ ≤ C(n, m) · max_{M} |T |^{2(m/l−1)} ∫_{M} |∇^{m}T |^{2} dμ

Beweis: siehe [Ha1], Korollar 12.7 und 12.6.

Theorem 8.29 Es gibt Konstanten δ > 0 und C < ∞, so daß

|Ã|^{2} − \frac{1}{n}H̃^{2} ≤ Ce^{−δs}.

Beweis: Wir bezeichnen wieder mit Ã^{0} den spurlosen Anteil der zweiten Fundamentalform Ã, also

Ã^{0} = \{h̃_{ij}^{0}\} = \{h̃_{ij} − \frac{1}{n}H̃g̃_{ij}\} .

Wie sich leicht nachrechnen läßt, ist damit | ˜∇^{m}Ã^{0}|^{2} = | ˜∇^{m}Ã|^{2} − \frac{1}{n}| ˜∇^{m}H̃|^{2} für alle m ∈ ℕ^{0}. Daher ist | ˜∇^{m}Ã^{0}|^{2} wie schon | ˜∇^{m}Ã|^{2} für alle m ∈ ℕ^{0} gleichmäßig nach oben beschränkt. So können wir aus dem ersten Teil des vorigen Hilfssatzes (setze dort l := m und m ⇝ m + 1) schließen, daß für alle m ∈ ℕ

∫M̃_{s} | ˜∇^{m}Ã^{0}|^{2} dμ̃ ≤ C_{m} (∫M̃_{s}(|Ã|^{2} − \frac{1}{n}H̃^{2}) dμ̃)^{1/(m+1)} ≤ C′_{m}e^{−δs}

nach Lemma 8.27. Daraus folgt mit dem zweiten Teil des obigen Hilfssatzes (setze dort l := m und m ⇝ \frac{pm}{2}) für p·m gerade und m ≤ \frac{pm}{2} − 1

∫M̃_{s} | ˜∇^{m}Ã^{0}|^{p} dμ̃ ≤ C_{m,p} · max_{M̃_{s}} |Ã^{0}|^{p−2} ∫M̃_{s} | ˜∇^{pm/2}Ã^{0}|^{2} dμ̃ ≤ C′_{m,p}e^{−δs},

wobei C′_{m,p} = C_{m,p} · C_{β}^{p−2} · C′_{pm/2}. Da hierbei p und m beliebig groß sein können, folgt aus den Sobolewschen Einbettungssätzen die Behauptung, denn danach gilt für p, m groß genug

|Ã^{0}| ≤ (∫M̃_{s} | ˜∇^{m}Ã^{0}|^{p} dμ̃)^{1/p} ≤ C_{m,p}^{′1/p} e^{−δs/p},

womit das Theorem bewiesen ist. □

Damit haben wir nun weitere Abschätzungen:

Korollar 8.30 Es gibt Konstanten δ > 0 und C, C_{m} < ∞, so daß

(i) maxM̃_{s} | ˜∇^{m}Ã|^{2} ≤ C_{m}e^{−δ_{m}s} für m > 0. (ii) H̃_{max} − H̃_{min} ≤ Ce^{−δs} (iii) |h̃_{ij}H̃ − \frac{1}{n} h̃g̃_{ij}| ≤ Ce^{−δs}

Beweis:(i) Sei zunächst m = 1, dann ist zu zeigen, daß

max_{M̃_{s}} | ˜∇Ã|^{2} ≤ C_{1}e^{−δ_{1}s}.

Mit Lemma 8.5, welches auch für die reskalierten Formen gilt, errechnen wir

\frac{∂}{∂s}|Ã^{0}|^{2} = ˜△|Ã^{0}|^{2} − 2 (| ˜∇Ã|^{2} − \frac{1}{n}| ˜∇H̃|^{2}) + 2|Ã|^{2}|Ã^{0}|^{2} − \frac{2}{n}h̃|Ã^{0}|^{2}.

Daraus folgt mit dem vorigen Theorem und dem Lemma 8.2(ii), welches ebenfalls auch für die reskalierten Formen gilt,

\frac{∂}{∂s}|Ã^{0}|^{2} ≤ ˜△|Ã^{0}|^{2} − \frac{4(n − 1)}{3n}| ˜∇Ã|^{2} + Ce^{−δs}.

Weiterhin haben wir nach Gleichung (8.26)

\frac{∂}{∂s}| ˜∇Ã|^{2} ≤ ˜△| ˜∇Ã|^{2} + C′| ˜∇Ã|^{2}.

Bei beiden Abschätzungen haben wir wieder verwendet, daß |Ã| ≤ C_{β}. Aus beiden folgt mit f := | ˜∇Ã|^{2} + \frac{3n}{4(n−1)} · (C′ + 1)|Ã^{0}|^{2}

\frac{∂}{∂s}f ≤ ˜△f − | ˜∇Ã|^{2} + Ce^{−δs} ≤ ˜△f − f + C′′e^{−δ′s},

nach dem vorigen Theorem. Daraus folgt mit dem Maximumlemma 2.1

\frac{∂}{∂s} max_{M̃_{s}} f ≤ − max_{M̃_{s}} f + C′′e^{−δ′s}.

Aus dieser gewöhnlichen Differentialungleichung folgt, was zu zeigen war:

max_{M̃_{s}} | ˜∇Ã|^{2} ≤ max_{M̃_{s}} f ≤ C_{1}e^{−δ_{1}s}.

Für m > 1 wenden wir nun vollständige Induktion an. Sei also

| ˜∇^{l}Ã|^{2} ≤ C_{l}e^{−δ_{l}s} für 1 ≤ l ≤ m − 1

vorausgesetzt. Dann können wir wie im Beweis von Lemma 3.3 folgern, daß mit g := | ˜∇^{m}Ã|^{2} + B̃_{m}| ˜∇^{m−1}Ã|^{2} für eine nur von m abhängige Konstante B̃_{m} > 0 gilt

\frac{∂}{∂s}g ≤ ˜△g − B̃_{m}| ˜∇^{m}Ã|^{2} + B̃e^{−ηs} ≤ ˜△g − B̃_{m}g + B̃′e^{−η′s}.

(Ersetze in den Ungleichungen (3.1) B_{m−1} durch B̃_{m−1}e^{−η_{m−1}s} und B_{m} durch B̃_{m}e^{−η_{m}s} und bedenke, daß e^{−η_{m}s} ≤ 1; dann gilt obige Ungleichung für B̃, η > 0 mit B̃e^{−ηs} ≥ B̃_{m}(B̃_{m−1}e^{−η_{m−1}s} + e^{−η_{m}s}).) Daraus folgt wieder mit dem Maximumlemma die gewöhnliche Differentialungleichung

\frac{∂}{∂s} max_{M̃_{s}} g ≤ −B̃_{m} max_{M̃_{s}} g + B̃′e^{−η′s}

und daraus

max_{M̃_{s}} | ˜∇^{m}Ã|^{2} ≤ max_{M̃_{s}} g ≤ C_{m}e^{−δ_{m}s},

womit der erste Teil des Korollars bewiesen ist.

(ii) Seien x, y ∈ M̃_{s} so, daß H(x) = H_{max} und H(y) = H_{min} und sei γ : [0, 1] → M̃_{s} eine minimierende Geodäte mit γ(0) = x und γ(1) = y. Dann folgt mit Ungleichung (8.25)

H̃_{max} − H̃_{min} ≤ ∫_{γ} | ˜∇H̃|dγ ≤ L(γ) · max_{M̃_{s}} | ˜∇H̃| ≤ \frac{π}{εC_{α}} · max_{M̃_{s}} | ˜∇H̃|.

Da nach (i) maxM̃_{s} | ˜∇H̃| ≤ n · maxM̃_{s} | ˜∇Ã|^{2} ≤ nC_{1}e^{−δ_{1}s}, folgt daraus die Behauptung (ii).

(iii) Wegen C_{α}^{2} ≤ H̃_{min}^{2} ≤ h̃ ≤ H̃_{max}^{2} ≤ C_{β}^{2} gilt

|h̃_{ij}H̃ − \frac{1}{n}h̃g̃_{ij}|^{2} = |Ã|^{2}H̃^{2} − \frac{2}{n}h̃H̃^{2} + \frac{h̃^{2}}{n}
≤ C_{β}^{2}(|Ã|^{2} − \frac{H̃^{2}}{n}) + \frac{2}{n}C_{β}^{2}(H̃_{max}^{2} − H̃_{min}^{2}).

Da H̃_{max}^{2} − H̃_{min}^{2} = (H̃_{max} + H̃_{min})(H̃_{max} − H̃_{min}) ≤ 2C_{β}(H̃_{max} − H̃_{min}), folgt daraus mit Theorem 8.29 und Teil (ii) dieses Korollars Teil (iii). □

Beweis des Theorems 8.25: Aus ds/dt = ψ^{2}, den Gleichungen (8.22) und (8.23) und der Evolutionsgleichung (2.2) für g_{ij} folgt sofort die Evolutionsgleichung für die reskalierte Metrik g̃_{ij}, nämlich:

\frac{∂}{∂s}g̃_{ij} = \frac{2}{n}h̃g̃_{ij} − 2H̃h̃_{ij}.

Damit haben wir nach Korollar 8.30(iii)

∫_{0}^{∞} max_{M̃_{s}} |\frac{∂}{∂s}g̃_{ij}|ds ≤ \frac{2C}{δ} < ∞,

so daß nach Lemma 3.4 die Metriken g̃_{ij}(s) für s → ∞ gleichmäßig gegen eine positiv definite Metrik g̃_{ij}(∞) konvergieren. Weiterhin gilt für m > 0

\frac{∂}{∂s} ˜∇^{m}g̃_{ij} = −2 ˜∇^{m}(H̃h̃_{ij}),

da h̃ konstant auf M̃_{s} und somit ˜∇^{m}(h̃g̃_{ij}) = 0. Nach Korollar 8.30(i) fällt also auch |\frac{∂}{∂s} ˜∇^{m}g̃_{ij}| exponentiell ab, so daß die Metriken sogar in der C^{∞}-Topologie konvergieren und somit g̃_{ij}(∞) glatt ist. Schließlich ist g̃_{ij}(∞) nach Korollar 8.24 die Metrik einer Sphäre, die wegen |M̃_{s}| ≡ |M_{0}| Flächeninhalt |M_{0}| hat. Damit ist das Haupttheorem dieses Abschnittes bewiesen. □

Daraus folgt nun, was wir in der Einleitung bereits behauptet haben: Bei konvexer Anfangsfläche M_{0} bildet M_{t} zum Zeitpunkt T eine TypI-Singularität aus, da sich M_{t} dort einer homothetisch-selbstähnlichen Lösung, nämlich einer Sphäre, annähert, womit ausgeschlossen ist, daß die Singularität vom TypII ist.

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