Nichtlineare Evolution von Hyperflächen

entlang ihrer mittleren Krümmung

DISSERTATION

der Mathematischen Fakultät der Eberhard-Karls-Universität Tübingen zur Erlangung des Grades eines Doktors

der Naturwissenschaften

vorgelegt von Felix Schulze aus Böblingen

betreut von Prof. Dr. G. Huisken

Juni 2002

Tag der mündlichen Qualifikation: 29. Juli 2002 Dekan: Prof. Dr. W. Knapp 1. Berichterstatter: Prof. Dr. G. Huisken 2. Berichterstatter: Prof. Dr. K. Ecker

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Der klassische Fluss 10 2.1 Notation und Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Evolutionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Der Fluss konvexer Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Der schwache Fluss 33 3.1 Schwache Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Elliptische Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Eigenschaften des schwachen Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1 Einleitung

Die Idee, eine Fläche mit einer Geschwindigkeit proportional zu ihrer Krümmung zu deformieren, hat in den letzten beiden Jahrzehnten zu einem eingehenden Studium der Evolution von Hyperflächen des ℝ^{n+1} geführt. Bei den dabei betrachteten Evolutionen wird eine Fläche in Richtung ihrer Normalen mit einer Geschwindigkeit abhängig von den verschiedenen skalaren Krümmungsgrößen der Fläche an diesem Punkt bewegt. Unter diesen Flüssen kommt aufgrund der Analogie zur Wärmeleitungsgleichung dem Fluss mit der mittleren Krümmung der Fläche als Geschwindigkeit eine besondere Bedeutung zu. Dieser sogenannte mittlere Krümmungsfluss wurde von verschiedenen Autoren mit Hilfe von differentialgeometrischen Methoden studiert. So konnte Huisken in [Hui84] beweisen, dass in Dimensionen n ≥ 2 unter diesem Fluss eine konvexe Fläche zu einem Punkt kontrahiert. Zusätzlich konnte er zeigen, dass die entsprechend reskalierten Flächen dabei immer runder werden. Für den Fall n = 1, das heißt für die Evolution von Kurven, erhielten Gage und Hamilton in [GH86] ähnliche Resultate. In [Gra87] konnte Grayson zeigen, dass in diesem Spezialfall die Voraussetzung der Konvexität der Anfangskurve durch die Bedingung, dass die Kurve eingebettet ist, ersetzt werden kann. Das Studium beliebiger Anfangsflächen wurde von Ecker und Huisken in [EH89, EH91] fortgesetzt. Eine wichtige geometrische Eigenschaft des mittleren Krümmungsflusses ist, dass er den Gradientenfluss zum Oberflächenfunktional bezüglich der L^{2}-Norm auf der Fläche darstellt. Dies bedeutet, dass der Fluss entlang der mittleren Krümmung lokal am schnellsten den Flächeninhalt minimiert. Unter anderem findet das darin seinen Ausdruck, dass unter diesem Fluss Hyperflächen in allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten unter bestimmten Voraussetzungen nicht zu einem Punkt kontrahieren, sondern gegen eine Minimalfläche konvergieren. Anwendung findet diese Eigenschaft in einigen numerischen Verfahren zur Auffindung von sogenannten Horizonten in Modellen von Raumzeiten der allgemeinen Relativitätstheorie, vergleiche [Pas97]. Desweiteren tritt der mittlere Krümmungsfluss als Grenzfall verschiedener physikalischer Modelle zur Beschreibung der Evolution von Phasengrenzen in bestimmten Metallschmelzen auf, vergleiche [AC79]. Die Verbindung zum mittleren Krümmungsfluss kommt dadurch zustande, dass die Evolution der Phasengrenzen durch die Minimierung der freien Oberflächenenergie bestimmt wird, das Funktional der freien Oberflächenenergie aber proportional zum Oberflächenfunktional ist. Wenn man nun auf einer geschlossenen Anfangsfläche M_{0} mit strikt positiver mittlerer Krümmung H nach dem Gradientenfluss zum Oberflächenfunktional nicht bezüglich der L^{2}-Norm auf der Fläche, sondern bezüglich einer beliebigen L^{p}-Norm fragt, führt dies zu einem Fluss mit einer positiven Potenz k der mittleren Krümmung als Geschwindigkeit. Da somit auch unter diesem Fluss in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit bei entsprechenden Voraussetzungen die Flächen zu einer Minimalfläche konvergieren, können bei einem numerischen Verfahren zur Auffindung von Horizonten durch geeignete Wahl des Exponenten k Vorteile entstehen.

In der vorliegenden Arbeit studieren wir die Evolution von Hyperflächen des ℝ^{n+1} unter dieser Klasse von Geschwindigkeiten. Konkret betrachten wir folgendes Anfangswertproblem. Sei M^{n} eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand und F_{0} : M^{n} ↦ ℝ^{n+1} eine Einbettung mit H(F_{0}(M^{n})) > δ_{0} > 0. Wir suchen dann eine Familie von Hyperflächen

F : M^{n} × [0, T) ↦ ℝ^{n+1}, T > 0,

die das Anfangswertproblem

(◇) \{ \begin{matrix}F (·, 0) = F_{0}(·) \\ \frac{dF}{dt} (·, t) = −H^{k}(·, t)ν(·, t) \end{matrix}

löst. H bezeichnet hierbei die mittlere Krümmung und ν die äußere Normale der Fläche F (M^{n}, t), so dass −Hν = H⃗ der mittlere Krümmungsvektor ist. Die Voraussetzung, dass die mittlere Krümmung der Anfangsfläche positiv ist, ist notwendig, um zu garantieren, dass das Problem wohldefiniert und strikt parabolisch ist. Mit der Evolutionsgleichung für H läßt sich zeigen, dass dies auch für alle positiven t erhalten bleibt. Im ersten Teil dieser Arbeit studieren wir die glatte Evolution von Flächen unter dem H^{k}-Fluss. Die Evolutionsgleichung ist für k ≠ 1 voll nichtlinear, es übertragen sich aber aufgrund der direkten Beziehung zum Fall k = 1 einige schöne Eigenschaften des mittleren Krümmungsflusses. Wir können zeigen:

Theorem 1.1 Sei F_{0} : M^{n} → ℝ^{n+1} eine glatte Einbettung, wobei

i) F_{0}(M^{n}) strikt konvex sei falls 0 < k < 1 ,

ii) F_{0}(M^{n}) schwach konvex sei falls k ⩾ 1 ,

und H(F_{0}(M^{n})) > 0. Dann existiert eine eindeutige, glatte Lösung zum Anfangswertproblem (◇) auf einem maximalen, endlichen Zeitintervall [0, T]. Die Flächen F (M^{n}, t) sind strikt konvex für alle t > 0 und sie kontrahieren für t → T zu einem Punkt im ℝ^{n+1}.

Konkret gliedert sich der erste Teil dieser Arbeit wie folgt. In einem ersten Abschnitt bestimmen wir die Evolutionsgleichungen verschiedener geometrischer Größen der Flächen M_{t} unter dem Fluss. Zusammen mit der Kurzzeitexistenz für parabolische Gleichungen dieses Typs können wir dann obere und untere Schranken an die Existenzzeit T beweisen, die nur von der Anfangsfläche M_{0} abhängen. Dann zeigen wir, dass die Konvexität erhalten bleibt, sowie für k ≥ 1, dass schwach konvexe Flächen sofort strikt konvex werden. Mit Hilfe der Sternförmigkeit folgt dann eine gleichmäßige Schranke an die zweite Fundamentalform und damit die Existenz des Flusses, solange eine kleine Kugel innerhalb des von den Flächen M_{t} umschlossenen Volumens existiert. Da sich zusätzlich zeigen lässt, dass das Minimum des kleinsten Eigenwertes der zweiten Fundamentalform monoton steigt unter der Evolution, können die Flächen M_{t} für t → T nur zu einem Punkt kontrahieren.

Wie schon beim mittleren Krümmungsfluss ist es auch bei der glatten Kontraktion von Flächen positiver mittlerer Krümmung unter dem H^{k}-Fluss zu erwarten, dass sich Singularitäten bilden, noch bevor die Flächen auf einen Punkt zusammenschrumpfen können. Die Bildung und Struktur der Singularitäten des glatten mittleren Krümmungsflusses wurde von Huisken [Hui90] und von Huisken und Sinestrari [HS99a], [HS99b] untersucht. Da an diesen Singularitäten die glatte differentialgeometrische Beschreibung zusammenbricht, sind verschiedene Ansätze für alternative Beschreibungen des mittleren Krümmungsflusses entwickelt worden, die über Singularitäten hinweg definiert sind und auch mit möglichen Änderungen der Topologie der Flächen M_{t} umgehen können.

Ein Ansatz von Brakke [Bra78] stammt noch aus der Zeit vor der klassischen Beschreibung des mittleren Krümmungsflusses. Brakke formuliert dabei den Fluss als einen passenden Fluss von Varifaltigkeiten im Sinne der Geometrischen Maßtheorie. Für die von ihm konstruierten Lösungen kann er unter einer zusätzlichen Dichteannahme Teilregularität beweisen.

Ein anderer Ansatz stammt von Evans und Spruck [ES91] und Chen-Giga-Goto [CGG91]. Sie fassen M_{0} als glatten Rand einer beschränkten offenen Teilmenge Ω des ℝ^{n+1} auf. Indem sie eine Funktion g : ℝ^{n+1} ↦ ℝ wählen, für die ∂Ω = {g = 0} gilt, können sie eine lipschitzstetige ”Viskositätslösung” u(x, t) : ℝ^{n+1} × ℝ → ℝ konstruieren mit u(x, 0) = g(x), die garantiert, dass sich die Niveaumengen {M_{b,t}}_{t⩾0} mit M_{b,t} := {u(x, t) = b} für alle b nach dem mittleren Krümmungsfluss bewegen, insbesondere {M_{0,t}}_{t⩾0} mit M_{0,0} = ∂Ω. In [ES91] und [ES92] beweisen sie die Eindeutigkeit sowie weitere geometrische Eigenschaften dieser Evolution. In [ES95] knüpfen sie eine Verbindung zu den Lösungen von Brakke und erhalten somit auch Regularitätsaussagen für fast jede Niveaumenge M_{b,t}. Entsprechende und weiterführende Regularitätsaussagen, wiederum basierend auf der Arbeit Brakkes, erhält Ilmanen in [Ilm94]. Neuere Arbeiten von White für Anfangsflächen mit positiver mittlerer Krümmung deuten auf eine umfassendere partielle Regularitätstheorie hin ([Whi94], [Whi97]).

Im zweiten Teil der vorliegenden Arbeit konstruieren wir eine schwache Lösung des H^{k}-Flusses. Sei dazu M_{0} der glatte Rand eines offenen, beschränkten Gebiets Ω ⊂ ℝ^{n+1} mit H(M_{0}) ≥ δ_{0} > 0. Inspiriert von den Arbeiten von Evans und Spruck [ES91] und Chen-Giga-Goto [CGG91] suchen wir eine Lösung u : Ω ↦ ℝ zu folgender singulärer, degeneriert elliptischer Gleichung

(⋆) \{ \begin{matrix}div(\frac{Du}{|Du|}) = \frac{−1}{|Du|^{k}} auf Ω \\ u = 0 auf ∂Ω. \end{matrix}

Da sich die Flächen mit positiver mittlerer Krümmung nach dem H^{k}-Fluss immer nach innen bewegen, können wir in diesem Fall die Evolution von M_{0} = ∂Ω als die Niveauflächen einer einzigen, zeitunabhängigen Funktion beschreiben. An einem Punkt, an dem u glatt ist und Du ≠ 0, besagt die Gleichung (⋆), dass sich die Niveaumengen Γ_{t} := {u = t} nach dem H^{k}-Fluss bewegen. Der rechten Seite entspricht dabei die mittlere Krümmung der Niveaumenge und der linken Seite die entsprechende Potenz der Geschwindigkeit. Aufgrund der mit der höheren Nichtlinearität als im Fall k = 1 verbundenen Schwierigkeiten verfolgen wir nicht wie Evans und Spruck den Ansatz einer ”Viskositätslösung” für (⋆), sondern betrachten das Funktional

J_{u}(v) = ∫ |Dv| − \frac{v}{|Du|^{1/k}} dx

für eine lipschitzstetige Funktion u mit |Du|^{−1/k} ∈ L_{loc}^{1}(Ω). Da die Gleichung (⋆) die Euler-Lagrange-Gleichung des Funktionals J_{u}(v) ist, können wir damit schwache Lösungen definieren. Wir sagen, dass u eine schwache Lösung des Funktionals J_{u} auf Ω ist, falls

J_{u}(u) ⩽ J_{u}(v) ,

für alle lipschitzstetigen v auf Ω mit {u ≠ v} ⋐ Ω. Falls zusätzlich verlangt wird, dass v ⩾ u beziehungsweise v ⩽ u ist, sprechen wir von einer Super- beziehungsweise Sublösung. Angeregt ist dieser Lösungsansatz durch eine Arbeit von Huisken und Ilmanen [HI98], die ein entsprechendes Funktional benutzen, um schwache Lösungen des inversen mittleren Krümmungsflusses zu definieren.

Wir konstruieren eine schwache, lipschitzstetige Superlösung des Funktionals J_{u} auf Ω mit u = 0 auf ∂Ω und untersuchen spezielle Eigenschaften dieser Lösung mit Methoden aus der geometrischen Maßtheorie. Als zusammenfassendes Theorem erhalten wir das folgende Ergebnis.

Theorem 1.2 Sei Ω ⊂ ℝ^{n+1} offen und beschränkt mit ∂Ω glatt und H(∂Ω) > δ_{0} > 0. Dann existiert eine lipschitzstetige schwache Superlösung u : Ω → ℝ^{+} zu (⋆), mit u = 0 auf ∂Ω und sup u = T. Sei Γ_{t} := {u = t} und E_{t} := {u > t}. Es gilt für alle t ∈ [0, T]:

i) L^{n+1}(Γ_{t}) = 0.

ii) Die Mengen E_{t} sind minimierend von außen in Ω, das heißt:

|∂^{∗}E_{t} ∩ K| ⩽ |∂^{∗}F ∩ K|

für alle E ⊂ F ⊂ Ω mit F \ E ⊂ K ⋐ Ω.

Es existiert eine Menge B ⊂ [0, T] mit L^{1}([0, T] \ B) = 0, so dass für alle t ∈ B gilt:

iii) ∂^{∗}E_{t} ⊂ Γ_{t} und H^{n}(Γ_{t} \ ∂^{∗}E_{t}) = 0.

iv) Die Varifaltigkeiten V_{t} := V (Γ_{t}, 1) besitzen eine verallgemeinerte mittlere

Krümmung

H_{t} ∈ L_{loc}^{k+1}(Γ_{t}; ℝ^{n+1}) .

und es ist für t_{1}, t_{2} ∈ [0, T], t_{1} < t_{2}:

|∂^{∗}E_{t_{2}}| + ∫_{t_{1}}^{t_{2}}∫_{Ω} |H_{t}|^{k+1} dμ_{t} dt ⩽ |∂^{∗}E_{t_{1}}|

v) Für k > n − 1 sind die Flächen Γ_{t} bis auf eine abgeschlossene Menge A_{t} ⊂ Γ_{t} mit H^{n}(A_{t}) = 0 lokal von der Klasse C^{1,1− \frac{k+1}{n}} .

vi) Sei k > n − 1. Dann existiert ein η_{0}, unabhängig von t, so dass

⟨−H_{t}(x), ν_{t}(x)⟩ ⩾ η_{0} > 0

H^{n}-fast überall auf Γ_{t}.

Dabei ist L^{p} das p-dimensionale Lebesgue-Maß, H^{p} das p-dimensionale Hausdorffmaß und ∂^{∗}F bezeichnet den reduzierten Rand einer Caccioppoli-Menge. Unter |∂^{∗}F ∩ K| := H^{n}(∂^{∗}F ∩ K) verstehen wir das n-dimensionale Hausdorffmaß von ∂^{∗}F in K, wobei wir dies als +∞ setzen, falls F in keiner Umgebung von K eine Caccioppoli-Menge ist. Für eine Menge mit C^{1}-Rand entspricht dies dem Oberflächenmaß des Randes. Die Eigenschaft (i) kann man so deuten, dass die ”Flächen” Γ_{t} unter der Evolution nicht springen. Dem Punkt (ii) entspricht, dass die Mengen E_{t} ihre eigene minimierende Hülle sind, was sich in klassische Begriffe übersetzen lässt als positive mittlere Krümmung des Randes. Generisch kann die Niveaumenge einer stetigen Funktion extrem wild sein. Punkt (iii) und die erste Aussage von Punkt (iv) zeigen aber, dass für fast alle Zeiten die Mengen Γ_{t} n-rektifizierbar sind, was bedeutet, dass sie H^{n}-fast überall einen maßtheoretischen n-dimensionalen Tangentialraum besitzen, und somit in gewissem Sinne Differentialgeometrie auf diesen Flächen möglich wird. Die Aussage, dass eine verallgemeinerte mittlere Krümmung existiert ergibt weitere Regularität und geometrische Struktur. In Punkt (v) wird ausgenützt, dass nach einem tiefen Regularitätstheorem der geometrischen Maßtheorie schon entsprechend hohe L^{p}-Schranken an die verallgemeinerte mittlere Krümmung genügen, um zeigen zu können, dass sich dann solch eine ’Fläche’ schon im klassischen Sinn lokal als Graph einer C^{1,α}- Funktion schreiben läßt.

Punkt (vi) sagt für k > n − 1, dass die Flächen nicht nur eine positive mittlere Krümmung haben, sondern die mittlere Krümmung sogar strikt von Null weg beschränkt ist. Dies steht in Zusammenhang dazu, dass wir eine strikt positive untere Schranke an die mittlere Krümmung der Anfangsfläche M_{0} = ∂Ω vorausgesetzt haben und unter dem klassischen H^{k}-Fluss diese untere Schranke erhalten bleibt. Im Vergleich zur zweiten Aussage von (iv) gilt bei der glatten Evolution {M_{t}} einer Fläche M_{0} für t_{1} < t_{2}:

|M_{t_{2}}| + ∫_{t_{1}}^{t_{2}}∫_{M_{t}} |H_{t}|^{k+1}dμ_{t} dt = |M_{t_{1}}|

Die Ungleichung für den schwachen Fluss spiegelt dabei die Tatsache wider, dass u nur eine Superlösung und nicht auch eine Sublösung ist. Aus diesem Grunde ist auch die Frage nach der Eindeutigkeit solch eines schwachen Flusses nicht geklärt. Für den Fall k = 1 stimmt diese Lösung mit der von Evans und Spruck konstruierten Lösung überein, und ist so im ”Viskositätssinne” eindeutig.

Der zweite Teil dieser Arbeit gliedert sich wie folgt: Nach der Definition der schwachen Lösung zeigen wir analog zur Arbeit von Huisken und Ilmanen die Äquivalenz des Variationsprinzips für eine Lösung u zu einem für alle Superniveaumengen E_{t} von u. Um die Existenz einer schwachen Superlösung zeigen zu können, approximieren wir (⋆) durch die quasilineare elliptische partielle Differentialgleichung:

(⋆)_{ε} \{ \begin{matrix}div(\frac{Du^{ε}}{\sqrt{ε^{2}+|Du^{ε}|^{2}}} ) = −(ε^{2} + |Du^{ε}|^{2})^{− \frac{1}{2k}} auf Ω \\ u^{ε} = 0 auf ∂Ω . \end{matrix}

Dieses Verfahren der elliptischen Regularisierung wurde in [ES91] und [HI98] angewendet um die Existenz einer schwachen Lösung zu zeigen. Die Gleichung (⋆)_{ε} besitzt eine geometrische Interpretation, da die Graphen

N_{t}^{ε} := graph(\frac{u^{ε}}{ε} − \frac{t}{ε})

translatierende Lösungen des klassischen H^{k}-Flusses darstellen. Die Idee dieses Verfahrens ist, dass die möglicherweise singuläre Evolution von {Γ_{t}}_{0⩽t⩽T} im ℝ^{n} approximiert wird durch die Evolution von {N_{t}^{ε}}_{0⩽t⩽T}, und zwar in dem Sinne, dass N_{t}^{ε} ≈ Γ_{t} × ℝ für kleines ε. Da die Graphen N_{t}^{ε} den H^{k}-Fluss klassisch lösen, ist die zugehörige Niveaufunktion U^{ε} eine schwache Lösung des Funktionals J_{U^{ε}} auf Ω×ℝ. Mit Hilfe von Barrieren folgen dann gleichmäßige a-priori Sup- und Gradientenschranken an Lösungen von (⋆)_{ε}, die mit einem Kontinuitätsargument die Existenz liefern. Insbesondere können wir eine Teilfolge auswählen, so dass u^{ε_{i}} → u gleichmäßig auf Ω. Aus dem Variationsprinzip für U^{ε} erhalten wir im Limes ε → 0 die Eigenschaften (i), (ii) und (iii).

Mit Hilfe eines Resultats von Evans und Spruck [ES95], das sicherstellt, dass unter hier gegebenen Voraussetzungen nicht nur Du^{ε} ⇀ Du, sondern sogar

(+) |Du^{ε}| ⇀ |Du|

konvergiert, können wir zeigen, dass ∫ |Du^{ε}|^{− \frac{1}{k}} dx im Limes ε → 0 unterhalbstetig ist. Dies hat zur Konsequenz, dass die Funktion u eine schwache Superlösung auf Ω ist. Um weitere Regularitätsaussagen über die Mengen Γ_{t} machen zu können benützen wir nun L^{p}-Schranken an die mittlere Krümmung der Graphen N_{t}^{ε}, die aus der Evolutionsgleichung für den Flächeninhalt unter dem H^{k}-Fluss folgen. Mit diesen L^{p}-Schranken können wir anhand des Kompaktheitssatzes von Allard zeigen, dass für fast alle t N_{t}^{ε_{j}} → V_{t} im Sinne von Varifaltigkeiten konvergiert, wobei die Varifaltigkeiten V_{t} bis auf höhere Multiplizitäten mit den Mengen Γ_{t} × ℝ übereinstimmen. Da die Eigenschaft (+) impliziert, dass sich für fast alle t die Flächen N_{t}^{ε_{j}} für ε_{j} → 0 nicht ”übereinanderlegen” können, sind für fast alle t die Multiplizitäten identisch Eins. So können wir Punkt (iv) und zusammen mit dem Regularitätstheorem von Allard auch Punkt (v) zeigen. Punkt (vi) ist eine Konsequenz aus dem Variationsprinzip sowie der Regularität aus (v).

Mein besonderer Dank gilt meinem Betreuer Herrn Prof. Dr. Gerhard Huisken, insbesondere für die Anregung zu dieser Arbeit und für die vielseitige Unterstützung über die letzten Jahre hinweg. Herrn Prof. Dr. Tom Ilmanen möchte ich für die Diskussionen während meines Besuches in Zürich meinen Dank aussprechen. Bei Sabine Dieter und Bernhard Nowak bedanke ich mich für die vielen erhellenden Diskussionen und für die Hilfe bei der Korrektur dieser Arbeit. Ebenso danke ich allen Mitarbeitern des Arbeitsbereiches Analysis.

2 Der klassische Fluss

2.1 Notation und Grundlagen

Sei M^{n} eine glatte Mannigfaltigkeit ohne Rand, und F : M^{n} → ℝ^{n+1} eine glatte Immersion. Die induzierte Metrik bezeichnen wir mit g = {g_{ij}}, was sich in lokalen Koordinaten darstellen lässt als

g_{ij}(p) = ⟨\frac{∂F}{∂x^{i}} (p), \frac{∂F}{∂x^{j}} (p)⟩ , p ∈ M^{n},

wobei ⟨·, ·⟩ das gewöhnliche Skalarprodukt des ℝ^{n+1} ist. Mit ∇ beziehungsweise {Γ_{k}^{ij}} sei der zugeordnete Levi-Civita Zusammenhang und mit {R_{ijkl}} der Riemannsche Krümmungstensor bezeichnet. Wenn mit ν(p) die Wahl eines lokalen Normalenvektorfeldes bezeichnet sei, erhalten wir für die zweite Fundamentalform A = {h_{ij}}:

h_{ij}(p) = ⟨\frac{∂ν}{∂x^{i}} (p), \frac{∂F}{∂x^{j}} (p)⟩ = −⟨ν(p), \frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}} ⟩ , p ∈ M^{n},

Für den Fall, dass F (M^{n}) eine kompakte, orientierbare Hyperfläche beschreibt, wollen wir im Folgenden immer davon ausgehen, dass ν(p) die äußere Einheitsnormale ist. Somit ergibt sich A als symmetrische Bilinearform

A(p) : T_{p}M × T_{p}M → ℝ

und die selbstadjungierte Weingartenabbildung

W (p) : T_{p}M → T_{p}M

als W = {h_{j}^{i}}, h_{j}^{i} := g^{ik}h_{kj}. Die Eigenwerte dieser Abbildung im Punkte p seien mit λ_{1}(p), …, λ_{n}(p) bezeichnet. Man nennt eine Fläche schwach konvex, falls λ_{i}(p) ⩾ 0 ∀ p ∈ M, i = 1, …, n und strikt konvex, falls λ_{i}(p) > 0 ∀ p ∈ M, i = 1, …, n. Mit Hilfe der homogenen Polynome ergeben sich die klassischen skalaren Invarianten der zweiten Fundamentalform: Die mittlere Krümmung ist

H := tr(W) = g^{ij}h_{ij} = λ_{1} + … + λ_{n} ,

die Gauß-Krümmung

G := det(W) = det\{h_{j}^{i}\} = \frac{det\{h_{ij}\}}{det\{g_{ij}\}} = λ_{1} · . . . · λ_{n} ,

die totale Krümmung

|A|^{2} := tr(W^{t}W) = h_{j}^{i}h_{i}^{j} = h^{ij}h_{ij} = g^{ik}g^{jl}h_{ij}h_{kl} = λ_{1}^{2} + … + λ_{n}^{2} ,

und die skalare Krümmung

R := H^{2} − |A|^{2} .

Dabei ist allgemein die Norm eines Tensors T = {T_{j_{1}···j_{s}}^{i_{1}···i_{r}}} definiert durch

|T |^{2} = g_{i_{1}k_{1}} ⋯ g_{i_{r}k_{r}}g^{j_{1}l_{1}} ⋯ g^{j_{s}l_{s}}T_{j_{1}···j_{s}}^{i_{1}···i_{r}}T_{l_{1}···l_{s}}^{k_{1}···k_{r}} .

Aus den Gaussgleichungen erhält man einen Zusammenhang zwischen der zweiten Fundamentalform und dem Riemannschen Krümmungstensor,

R_{ijkl} = h_{ik}h_{jl} − h_{il}h_{jk}.

Somit gilt für das Vertauschen zweiter kovarianter Ableitungen:

∇_{i}∇_{j}X^{k} − ∇_{j}∇_{i}X^{k} = R_{ijlm}g^{kl}X^{m} = (h_{il}h_{jm} − h_{im}h_{jl})g^{kl}X^{m}
∇_{i}∇_{j}ω_{k} − ∇_{j}∇_{i}ω_{k} = R_{ijkl}g^{lm}ω_{m} = (h_{ik}h_{jl} − h_{il}h_{jk})g^{lm}ω_{m}

für ein Vektorfeld X = {X^{k}} und eine 1-Form ω = {ω_{k}}.

Zusammen mit den Codazzi-Gleichungen ∇_{i}h_{kl} = ∇_{k}h_{il} = ∇_{l}h_{ik} ergeben sich daraus für die zweiten kovarianten Ableitungen von A folgende Vertauschungsrelationen:

Lemma 2.1 Für die zweiten kovarianten Ableitungen von A gelten folgende Identitäten:

∇_{k}∇_{l}h_{ij} = ∇_{i}∇_{j}h_{kl} + h_{kl}h_{im}h_{j}^{m} − h_{km}h_{il}h_{j}^{m} + h_{kj}h_{im}h_{l}^{m} − h_{km}h_{ij}h_{l}^{m}

Beweis: Es gilt

∇_{k}∇_{l}h_{ij} = ∇_{k}(∇_{i}h_{lj}) = ∇_{i}∇_{k}h_{lj} + R_{kilm}h_{j}^{m} + R_{kijm}h_{l}^{m}
= ∇_{i}∇_{j}h_{kl} + (h_{kl}h_{im} − h_{km}h_{il})h_{j}^{m} + (h_{kj}h_{im} − h_{km}h_{ij})h_{l}^{m} .
□

Korollar 2.2 Für den Laplace-Operator Δ (= ∑_{i} ∇_{i}∇_{i} in Normalkoordinaten) der zweiten Fundamentalform gilt

Δh_{ij} = ∇_{i}∇_{j}H + Hh_{i}^{m}h_{mj} − h_{ij}|A|^{2}
\frac{1}{2}Δ|A|^{2} = h^{ij}∇_{i}∇_{j}H + |∇A|^{2} + Htr(A^{3}) − |A|^{4} .

2.2 Evolutionsgleichungen

Im Folgenden sei M^{n} immer eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand, und

F_{0} : M^{n} → ℝ^{n+1}

eine Immersion. Desweiteren sei die glatte Familie von Hyperflächen

F : M^{n} × [0, T) → ℝ^{n+1}, T > 0,

eine Lösung des Anfangswertproblems

\begin{aligned}F (·, 0) & = F_{0}(·) \\ \frac{∂F}{∂t} (·, t) & = −f(·, t) ν(·, t) . \end{aligned}  (⋆_{f})

Die Geschwindigkeit f sei dabei eine glatte, symmetrische und homogene Funktion der Hauptkrümmungen λ_{i}. Aufgrund der Symmetrie von f können wir äquivalent dazu f als eine Funktion f̃ der Weingartenabbildung W oder als eine Funktion f̂ der zweiten Fundamentalform A auffassen:

f̃(W) = f̃({h_{j}^{i}}) = f̂(A) = f̂({h_{ij}}) = f(λ_{1}, …, λ_{n}).

Aus der Evolutionsgleichung (⋆_{f}) für die Flächen M_{t} := F (M^{n}, t) ergeben sich nun Evolutionsgleichungen für deren geometrische Größen.

Lemma 2.3 Es gelten folgende Evolutionsgleichungen für geometrische Größen der Flächen M_{t}, d.h. für Lösungen der Gleichung (⋆_{f}):

i) \frac{∂}{∂t} g_{ij} = −2fh_{ij}

ii) \frac{∂}{∂t} g^{ij} = 2fh^{ij}

iii) \frac{∂}{∂t} dμ = −Hf dμ

iv) \frac{∂}{∂t} ν = ∇f

v) \frac{∂}{∂t} h_{ij} = ∇_{i}∇_{j}f − h_{ik}h_{j}^{k}f

vi) \frac{∂}{∂t} h_{j}^{i} = ∇^{i}∇_{j}f + h^{ik}h_{kj}f

vii) \frac{∂}{∂t} f = \frac{∂f}{∂h_{j}^{i}} ∇^{i}∇_{j}f + \frac{∂f}{∂h_{j}^{i}} h^{ik}h_{kj}f

viii) \frac{∂}{∂t} H = Δf + |A|^{2}f Beweis: Siehe zum Beispiel [And94]. Wenn wir nun voraussetzen, dass die Anfangsfläche M_{0} orientierbar ist, das heißt ein globales Normalenvektorfeld wählbar ist, sowie dass für die mittlere Krümmung

H_{0}(p) > 0 ∀ p ∈ M

gilt, so ist dies auf einem kleinen Zeitintervall [0, τ), τ > 0 erhalten und die Geschwindigkeit f = H^{k}, k > 0 wohldefiniert. Damit ergeben sich zusammen mit Lemma 2.1 die folgenden Evolutionsgleichungen. Korollar 2.4 Für den Fluss mit der Geschwindigkeit f = H^{k}, k > 0 gelten die Evolutionsgleichungen:

i) \frac{∂}{∂t} g_{ij} = −2H^{k}h_{ij} ii) \frac{∂}{∂t} g^{ij} = 2H^{k}h^{ij} iii) \frac{∂}{∂t} dμ = −H^{k+1} dμ iv) \frac{∂}{∂t} ν = kH^{k−1}∇H

v) \frac{∂}{∂t} h_{ij} = kH^{k−1}Δh_{ij} + k(k − 1)H^{k−2}∇_{i}H∇_{j}H − (k + 1)H^{k}h_{il}h_{j}^{l} + kH^{k−1}|A|^{2}h_{ij} vi) \frac{∂}{∂t} h_{j}^{i} = kH^{k−1}Δh_{j}^{i} + k(k − 1)H^{k−2}∇^{i}H∇_{j}H − (k − 1)H^{k}h_{l}^{i}h_{j}^{l} + kH^{k−1}|A|^{2}h_{j}^{i} vii) \frac{∂}{∂t} H = kH^{k−1}ΔH + k(k − 1)H^{k−2}|∇H|^{2} + |A|^{2}H^{k} viii) \frac{∂}{∂t} |A|^{2} = kH^{k−1}Δ|A|^{2} − 2kH^{k−1}|∇A|^{2} + 2k(k − 1)H^{k−2}h_{j}^{i}∇^{i}H∇_{j}H

− 2(k − 1)H^{k}tr(A^{3}) + 2kH^{k−1}|A|^{4}

ix) \frac{∂}{∂t} ⟨x, ν⟩ = kH^{k−1}Δ⟨x, ν⟩ − (k + 1)H^{k} + kH^{k−1}|A|^{2}⟨x, ν⟩ Beweis: Die Punkte i) - viii) folgen aus Lemma 2.3 und Korollar 2.2. ix) Man erhält mit

\frac{∂}{∂t} ⟨x, ν⟩ = −H^{k}⟨ν, ν⟩ + kH^{k−1}⟨x, ∇H⟩ = −H^{k} + kH^{k−1}⟨x, ∇H⟩

und in einem adaptierten orthonormalen n-Bein

\begin{aligned}Δ⟨x, ν⟩ & = ∇_{i}∇_{i}⟨x, ν⟩ \\ & = ∇_{i}(h_{ij}⟨x, e_{j}⟩) = ⟨x, ∇H⟩ + H − |A|^{2}⟨x, ν⟩ \end{aligned}

die gewünschte Gleichung. □

Dass der H^{k}-Fluss, wie in der Einleitung behauptet, der Gradientenfluss bezüglich der L^{(k+1)/k}-Norm auf der Fläche ist, sieht man wie folgt. Die Evolution des Oberflächeninhalts |M_{t}| der Fläche zum Zeitpunkt t unter der Evolution d/dt M_{t} = −fν bei beliebiger Geschwindigkeit f ist nach Lemma 2.3 bestimmt durch die Formel

\frac{d}{dt}|M_{t}| = − ∫_{M} f · Hdμ_{t} .

Daraus erhalten wir mit der Hölderschen Ungleichung und der Eigenschaft, dass H > 0 unter dem H^{k}-Fluss erhalten ist:

\frac{| ∫ f · Hdμ_{t}|}{(∫ |f|^{\frac{k+1}{k}} dμ_{t})^{\frac{k}{k+1}}} ⩽ (∫ H^{k+1}dμ_{t})^{\frac{1}{k+1}} = \frac{∫ (H^{k}) · Hdμ_{t}}{(∫ (H^{k})^{\frac{k+1}{k}} dμ_{t})^{\frac{k}{k+1}}} ,

wobei Gleichheit genau dann auftritt, wenn f = H^{k}.

Im Falle der Evolution strikt konvexer Hyperflächen wird es sich als hilfreich erweisen nicht nur die Weingartenabbildung, sondern auch deren inverse Abbildung W^{−1} zu betrachten. Falls also F (M, ·) strikt konvex ist, ist W_{p}^{−1} = {b_{j}^{i}} : T_{p}M^{n} → T_{p}M^{n} wohldefiniert, und es gilt

b_{l}^{i}h_{j}^{l} = δ_{j}^{i},

wobei hier die Eigenwerte von W_{p}^{−1} mit κ_{1}, …, κ_{n} bezeichnet werden. Offensichtlich gilt

κ_{i}(p) = \frac{1}{λ_{i}(p)} für alle i ∈ \{1, …, n\}.

Die b_{j}^{i} genügen der Evolutionsgleichung:

Lemma 2.5 Es gilt für alle i, j ∈ {1, …, n},

\begin{matrix}\frac{∂}{∂t}b_{j}^{i} = kH^{k−1}Δb_{j}^{i} − 2kH^{k−1}h_{m}^{l}∇_{p}b_{l}^{i}∇^{p}b_{j}^{m}− & k(k − 1)H^{k−2}(b_{l}^{i}∇_{l}H)(b_{j}^{m}∇_{m}H) \\ + & (k − 1)H^{k}δ_{j}^{i} − kH^{k−1}b_{j}^{i}|A|^{2} \end{matrix}

Beweis: Aus b_{l}^{i}h_{j}^{l} = δ_{j}^{i} erhalten wir \frac{∂}{∂t}b_{j}^{i} = −b_{p}^{i}b_{j}^{q} \frac{∂}{∂t}h_{q}^{p} und ∇_{l}b_{j}^{i} = −b_{p}^{i}b_{j}^{q}∇_{l}h_{q}^{p} womit sich

Δb_{j}^{i} = −b_{l}^{i}b_{j}^{m}Δh_{m}^{l} + 2h_{m}^{l}∇_{p}b_{l}^{i}∇^{p}b_{j}^{m}

ergibt, was zusammen mit Korollar 2.4 die Behauptung liefert. □

Es stellt sich heraus, dass sich die Evolutionsgleichung für b_{j}^{i} vereinfachen lässt, wenn sich f(λ) = 1/g(κ) als Kehrwert einer Funktion g in den Hauptradien schreiben lässt.

Im Folgenden wollen wir die Funktionen f und g jeweils als Funktionen von λ beziehungsweise h_{j}^{i} und κ beziehungsweise b_{j}^{i} auffassen, ohne dies in der Notation zu unterscheiden. Es ergibt sich:

Lemma 2.6 Sei f(h_{j}^{i}) = 1/g(b_{j}^{i}) . Es gilt

\frac{∂^{2}f}{∂h_{j}^{i}∂h_{q}^{p}} = \frac{2}{f} \frac{∂f}{∂h_{j}^{i}} \frac{∂f}{∂h_{q}^{p}} − \frac{1}{g^{2}} \frac{∂^{2}g}{∂b_{n}^{m}∂b_{l}^{k}} b^{mq} b_{np} b^{jk} b_{il} − \frac{1}{g^{2}} \frac{∂g}{∂b_{l}^{k}} (b^{jq} b_{p}^{k} b_{il} + b^{jk} b_{l}^{q} b_{ip})
= \frac{2}{f} \frac{∂f}{∂h_{j}^{i}} \frac{∂f}{∂h_{q}^{p}} − \frac{1}{g^{2}} \frac{∂^{2}g}{∂b_{n}^{m}∂b_{l}^{k}} b^{mq} b_{np} b^{jk} b_{il} − \frac{∂f}{∂h^{ip}} b^{jq} − \frac{∂f}{∂h_{jq}} b_{ip} .

Beweis: Aus h_{j}^{k} b_{l}^{j} = δ_{l}^{k} folgt \frac{∂}{∂h_{j}^{i}} b_{l}^{k} = − b^{jk} b_{il}. Also ist

\frac{∂f}{∂h_{j}^{i}} = − \frac{1}{g^{2}} \frac{∂g}{∂h_{j}^{i}} = − \frac{1}{g^{2}} \frac{∂g}{∂b_{l}^{k}} \frac{∂}{∂h_{j}^{i}} b_{l}^{k} = \frac{1}{g^{2}} \frac{∂g}{∂b_{l}^{k}} b^{jk}b_{il} .

Daraus folgt

\frac{∂^{2}f}{∂h_{j}^{i}∂h_{q}^{p}} = − \frac{2}{g^{3}} \frac{∂g}{∂h_{q}^{p}} \frac{∂g}{∂b_{l}^{k}} b^{jk}b_{il} + \frac{1}{g^{2}} \frac{∂^{2}g}{∂b_{n}^{m}∂b_{l}^{k}} (\frac{∂}{∂h_{q}^{p}} b_{n}^{m})b^{jk}b_{il} + \frac{1}{g^{2}} \frac{∂g}{∂b_{l}^{k}} \frac{∂}{∂h_{q}^{p}} (b^{jk}b_{il}) .

Mit

\frac{∂}{∂h_{q}^{p}} b^{jk} = \frac{∂}{∂h_{q}^{p}} (g^{jl} b_{l}^{k}) = − g^{jl} b_{p}^{k} b_{l}^{q} = − b^{jq} b_{p}^{k}

und analog

\frac{∂}{∂h_{q}^{p}} b_{il} = \frac{∂}{∂h_{q}^{p}} (g_{ik} b_{l}^{k}) = − g_{ik} b_{p}^{k} b_{l}^{q} = − b_{ip} b_{l}^{q}

ergibt sich die Behauptung. □

An einigen Punkten ist es günstig, nicht nur Größen wie H und |A|^{2}, sondern auch den gesamten Satz elementarsymmetrischer Polynome S_{l} in den Hauptkrümmungen wie auch deren Quotienten Q_{l} zu betrachten. Aus diesem Grund sind im nächsten Abschnitt einige ihrer Eigenschaften zusammengestellt. Für Beweise wollen wir auf [Lie96], [HS99a] oder [Die02] verweisen. Für jedes l ∈ {1, ..., n} seien die elementarsymmetrischen Polynome S_{l} und deren Quotienten Q_{l} definiert als

S_{l}(λ) = ∑_{1⩽i_{1}<...<i_{l}⩽n} λ_{i_{1}}λ_{i_{2}} · ... · λ_{i_{l}} für λ = (λ_{1}, ..., λ_{n}) ∈ ℝ^{n}

und

Q_{l}(λ) = \frac{S_{l}(λ)}{S_{l−1}(λ)} für λ ∈ Γ_{l−1}

mit S_{0} ≡ 1 und S_{l} ≡ 0 für l > n. Dabei definieren wir

Γ_{l} := {λ ∈ ℝ^{n} | S_{1}(λ) > 0, S_{2}(λ) > 0, ... , S_{l}(λ) > 0} .

Die Mengen Γ_{l} sind offene Kegel und erfüllen Γ_{l} ⊃ Γ_{l+1} für alle l ∈ {1, ... , n − 1}. Γ_{n} stimmt mit dem positiven Kegel überein.

Weiter wollen wir mit S_{l;i}(λ) die Summe aller Terme von S_{l}(λ) bezeichnen, die den Faktor λ_{i} nicht enthalten. Folgenden Identitäten ergeben sich (vgl. [HS99a]):

Lemma 2.7 Für alle l ∈ {0, ..., n}, i ∈ {1, ..., n} und λ ∈ ℝ^{n} gilt

\frac{∂S_{l+1}}{∂λ_{i}} (λ) = S_{l;i}(λ) ,
S_{l+1}(λ) = S_{l+1;i}(λ) + λ_{i}S_{l;i}(λ) ,
∑_{i=1}^{n} S_{l;i}(λ) = (n − l)S_{l}(λ) ,

∑_{i=1}^{n} λ_{i}S_{l;i}(λ) = (l + 1)S_{l+1}(λ) ,

∑_{i=1}^{n} λ_{i}^{2}S_{l;i}(λ) = S_{1}(λ)S_{l+1}(λ) − (l + 2)S_{l+2}(λ) .

Eine weitere wichtige Eigenschaft dieser Polynome ist die sogenannte Newton-Ungleichung.

Lemma 2.8 Für alle l ∈ {1, ..., n − 1} und λ ∈ ℝ^{n} gilt

(l + 1)(n − l + 1)S_{l−1}(λ)S_{l+1}(λ) ⩽ l(n − l)S_{l}^{2}(λ) .

Gleichheit gilt genau dann, wenn alle λ_{i} identisch sind.

Ebenso gilt:

Lemma 2.9

i) Die Funktion Q_{l+1} ist konkav auf Γ_{l} für l ∈ {0, …, n − 1}.

ii) \frac{∂}{∂λ_{i}} Q_{l}(λ) > 0 auf Γ_{l} für alle i ∈ \{1, …, n\} und l ∈ \{2, …, n\}.

Mit diesen Eigenschaften und Lemma 2.6 ergibt sich eine hilfreiche Evolutionsungleichung für die inverse Weingartenabbildung.

Lemma 2.10 Sei k > 0 und M_{t} ein Fluss strikt konvexer Flächen. Dann gilt:

\frac{∂}{∂t}b_{j}^{i} ⩽ kH^{k−1}Δb_{j}^{i} + (k − 1)H^{k}δ_{j}^{i} − kH^{k−1}b_{j}^{i}|A|^{2}

Beweis: Für k ⩾ 1 folgt dies direkt aus der Evolutionsgleichung von b_{j}^{i}. Für k < 1 wenden wir Lemma 2.6 auf f = H^{k}(λ) und g = Q_{n}^{k}(κ) an. Daraus erhalten wir

\begin{aligned}k(k − 1)H^{k−2}δ_{l}^{m}δ_{p}^{q} = \frac{∂^{2}f}{∂h_{l}^{m}∂h_{p}^{q}} = & 2k^{2}H^{k−2}δ_{l}^{m}δ_{p}^{q} − H^{2k} \frac{∂^{2}(Q_{n}^{k})}{∂b_{o}^{n}∂b_{s}^{r}}b^{nq}b_{op}b^{rm}b_{sl} \\ & − kH^{k−1}δ_{lp}b^{mq} − kH^{k−1}δ^{mq}b_{lp} \end{aligned}

und durch Multiplikation mit ∇^{v}h_{l}^{m}∇_{w}h_{p}^{q} und Summation

k(k − 1)H^{k−2}∇^{v}H∇_{w}H = 2k^{2}H^{k−2}∇^{v}H∇_{w}H

− H^{2k} \frac{∂^{2}(Q_{n}^{k})}{∂b_{o}^{n}∂b_{s}^{r}}(b^{nq}b_{op}∇_{w}h_{q}^{p})(b^{rm}b_{ls}∇^{v}h_{m}^{l})

− 2kH^{k−1}b^{mq}∇_{w}h_{q}^{p}∇^{v}h_{pm}.

Anhand der Codazzi-Gleichungen und der Konkavität von Q_{n}^{k}(κ) für 0 < k ⩽ 1 folgt nun

−k(k + 1)H^{k−2}∇^{v}H∇_{w}H ⩾ −2kH^{k−1}b^{mq}∇_{p}h_{m}^{v}∇^{p}h_{qw} ,

was zusammen mit

∇^{l}h_{w}^{q} = −h_{w}^{s}h_{t}^{q}∇^{l}b_{s}^{t}

und durch Multiplizieren mit \frac{k−1}{k+1} b_{v}^{i} b_{j}^{w}, sowie −1 < \frac{k−1}{k+1} < 0, ergibt:

−k(k − 1)H^{k−1}(b_{v}^{i}∇^{v}H)(b_{j}^{w}∇_{w}H) ⩽ 2kH^{k−1}h_{m}^{l}∇_{p}b_{l}^{i}∇^{p}b_{j}^{m} .

Einsetzen in Lemma 2.5 liefert die Behauptung. □

2.3 Erste Eigenschaften

Sei F_{0} : M^{n} → ℝ^{n+1} eine glatte geschlossene Hyperfläche wie in der Einleitung. Zusätzlich sei M_{0} orientierbar und ν die Wahl eines Einheitsnormalenvektorfeldes. Wir wollen nun das Anfangswertproblem (⋆_{f}) betrachten für f = H^{k}, k > 0. Um Wohldefiniertheit und Kurzzeitexistenz garantieren zu können, müssen wir wie im vorherigen Abschnitt voraussetzen, dass

H_{0}(p) > δ > 0 für alle p ∈ M.  (+)

Zu bemerken ist, dass selbst mit dieser Bedingung Gleichung (⋆_{H^{k}}) nur schwach parabolisch ist aufgrund der Invarianz der Gleichung unter tangentialen Diffeomorphismen. Nichtsdestotrotz garantiert (+), dass

\frac{∂}{∂λ_{i}} H_{0}^{k}(λ) > 0 für alle 1 ⩽ i ⩽ n, p ∈ M^{n},

womit wir aus [HP96] erhalten:

Proposition 2.11 (Kurzzeitexistenz) Falls die mittlere Krümmung auf M_{0} strikt positiv ist, hat (⋆_{H^{k}}) eine eindeutige Lösung F : M^{n} × [0, T) → ℝ^{n+1}, zumindest für ein kleines T > 0.

Bemerkung 2.12 Es ist nicht zu erwarten, dass für k > 1 im Allgemeinen glatte Lösungen auf einem kleinen Zeitintervall existieren, solange man nur

H_{0}(p) ⩾ 0 p ∈ M^{n}

fordert. Dies folgt aus einem Vergleich mit der Diffusionsgleichung im porösen Medium

\frac{∂}{∂t}u − Δ(u^{γ}) = 0 auf ℝ^{n} × (0, ∞)

für u ⩾ 0, γ > 1. Für diese Gleichung ist bekannt, dass Lösungen existieren, deren Träger zum Zeitpunkt t = 0 und auch für spätere Zeiten beschränkt ist, wie auch dass diese Lösungen nicht notwendig C^{∞} sind. Ein anderes geometrisches Beispiel liefert der Gauß-Fluss

\frac{∂}{∂t}F = −K · ν

wofür R. Hamilton [Ham94] zuerst bemerkte, dass zu schwach konvexen Anfangsdaten Lösungen existieren, die schwach konvex bleiben und nicht C^{∞} sind.

Beispiel 2.13 Für die Evolution einer Sphäre mit Anfangsradius R_{0} erhalten wir als Evolutionsgleichung für den Radius R(t) = \frac{n}{H(t)}

\frac{d}{dt}R = −(\frac{n}{R})^{k}

mit der Lösung

R(t) = (R_{0}^{k+1} − (1 + k)n^{k} · t)^{\frac{1}{k+1}} ,

womit sich als maximale Existenzzeit T = \frac{R_{0}^{k+1}}{n^{k}(1+k)} ergibt.

Mit Hilfe der Evolutionsgleichung von H folgt nun eine untere Schranke an H_{min}(t) := min_{p∈M^{n}} H(p, t) und eine obere Schranke an das maximale Existenzintervall.

Lemma 2.14 Es ist

H_{min}(t) ⩾ H_{min}(0) · (1 − \frac{k + 1}{n}H_{min}^{k+1}(0) · t)^{− \frac{1}{k+1}} .

Beweis: Aus der Evolutionsgleichung für H (Korollar 2.4) und |A|^{2} ⩾ \frac{1}{n}H^{2} erhält man

\begin{aligned}\frac{d}{dt}H & = kH^{k−1}ΔH + k(k − 1)H^{k−2}|∇H|^{2} + |A|^{2}H^{k} \\ & ⩾ kH^{k−1}ΔH + k(k − 1)H^{k−2}|∇H|^{2} + \frac{1}{n}H^{k+2} , \end{aligned}

woraus sich aus dem Vergleich mit der GDGL

\frac{d}{dt}φ = \frac{1}{n}φ^{k+2}; φ(0) = H_{min}(0)

die gewünschte Abschätzung ergibt. □

Bemerkung 2.15 Insbesondere liefert dies für die maximale Existenzzeit des Flusses T_{max}, dass T_{max} ⩽ \frac{n}{k+1}H_{min}^{−(k+1)}(0).

Mit Hilfe des elliptischen Maximumprinzips folgt nun, dass eine Anfangsfläche M_{0} unter dem H^{k}-Fluss eingebettet bleibt.

Lemma 2.16 Sei F_{0}(M^{n}) eine eingebettete Hyperfläche des ℝ^{n+1} und F : M^{n} × [0, T) ein H^{k}-Fluss mit H(·, t) ⩾ 0 für t ∈ [0, T). Dann ist F (M^{n}, t) eine Einbettung für alle t ∈ [0, T).

Beweis: Da M_{0} eingebettet ist, ist M_{0} insbesondere orientierbar und berandet ein Volumen V_{0}. Sei t_{0} ∈ (0, T) der erste Zeitpunkt an dem F (M^{n}, ·) keine Einbettung mehr ist. Als einzige Möglichkeit dafür, dass bei t = t_{0} keine Einbettung vorhanden ist, kann auftreten, dass sich zwei Lagen der Fläche an einem Punkt x_{0} ∈ ℝ^{n+1} berühren. Und da F (M^{n}, t) für t < t_{0} ein Volumen berandet sind die Normalenvektoren jeweils nach außen gerichtet. Zusätzlich können wir o.B.d.A. voraussetzen, dass die beiden Lagen in keiner Umgebung von x_{0} übereinstimmen. Indem wir die Flächen wieder lokal als Graphen über dem gemeinsamen Tangentialraum in x_{0} auffassen, ergibt sich wegen H ⩾ 0 ein Widerspruch zum strikten elliptischen Maximumprinzip. □

Aus dem strikten Maximumprinzip für parabolische Differentialgleichungen bekommt man ein Barrieren-Prinzip.

Proposition 2.17 Seien F_{i} : M_{i}^{n} → ℝ^{n+1}, i = 1, 2 zwei Einbettungen und F_{i} : M_{i}^{n} × [0, T) → ℝ^{n+1} die zugehörigen H^{k}-Flüsse, und H_{i}(·, t) ⩾ δ > 0 für t ∈ [0, T). Sind dann F_{1}(M_{1}^{n}, 0) und F_{2}(M_{2}^{n}, 0) disjunkt, so auch F_{1}(M_{1}^{n}, t) und F_{2}(M_{2}^{n}, t) für alle t ∈ [0, T).

Beweis: Angenommen zum Zeitpunkt t_{0} sei in x_{0} ∈ ℝ^{n+1} der erste Berührpunkt der beiden Flüsse. Dann können wir dies in U ×(t_{0}−ε, t_{0}], U eine Umgebung von x_{0}, als die Evolution der Graphen zweier Funktionen u_{1}, u_{2} über dem Tangentialraum T_{x_{0}}F_{1}(M_{1}^{n}, t_{0}) = T_{x_{0}}F_{2}(M_{2}^{n}, t_{0}) auffassen. O.B.d.A. sei u_{1} ⩾ u_{2} und u_{1} > u_{2} auf Ū × [t_{0} − ε, t_{0}). Sei weiter angenommen, dass die Normalenvektoren der beiden Graphen in (x_{0}, t_{0}) in die entgegengesetzte Richtung zeigen. Dann können sie jeweils nur nach außen zeigen, da sich die Flächen sonst nicht in x_{0} hätten berühren können. Mit dem strikten elliptischen Maximumprinzip folgt dann aber wie in Lemma 2.16 der Widerspruch. Wir können damit davon ausgehen, dass die Normalenvektoren in die gleiche Richtung zeigen. Anhand von Interpolation zwischen den parabolischen Differentialgleichungen, die u_{1} und u_{2} erfüllen, sieht man, dass auch w := u_{1} − u_{2} eine lineare, strikt parabolische Differentialgleichung erfüllt:

\frac{∂}{∂t}w = a^{ij}D_{i}D_{j}w + b^{i}D_{i}w .

Da aber w sein Minimum auf U × (t_{0} − ε, t_{0}] annimmt, liefert das strikte Maximumprinzip für parabolische Differentialgleichungen (vergleiche [Lie96]) dass w ≡ 0 und damit den Widerspruch. □

Bemerkung 2.18 Für F_{0}(M^{n}) ⊂ B(x, R), x ∈ ℝ^{n+1}, ergibt sich zusammen mit der maximalen Existenzzeit der Evolution von ∂B(x, R) (Beispiel 2.13) eine weitere Schranke an die Maximale Existenz von F_{t}(M^{n}).

In der nächsten Proposition soll dargelegt werden, unter welchen Bedingungen wir aus der Kurzzeitexistenz auf Langzeitexistenz schließen können.

Proposition 2.19 Sei [0, T) das maximale Existenzintervall des H^{k}-Flusses M_{t} und T < ∞, sowie H(·, 0) ⩾ δ_{0} > 0. Dann gilt lim sup_{t→T} max_{M_{t}} |A|^{2} = +∞ .

Beweis: Wir wollen zeigen, dass unter der Annahme max_{M_{t}}|A|^{2} ⩽ C die Flächen M_{t} zu einer glatten Grenzfläche M_{T} konvergieren. Wegen der unteren Schranke an H_{min}(t), Lemma 2.14, ist H_{min}(T) > 0 und die Kurzzeitexistenz, Prop. 2.11, liefert einen Widerspruch zur Maximalität von T.

Sei also

max_{M_{t}}|A| ⩽ C für 0 ⩽ t < T.

Aus der Evolutionsgleichung und der oberen Schranke an H ⩽ \sqrt{n}|A| ⩽ C erhalten wir durch Integration

|F (p, t_{1}) − F (p, t_{2})| ⩽ C|t_{1} − t_{2}|

und damit die Konvergenz von F (·, t) zu einer stetigen Grenzfläche F (·, T). Wegen der Schranke an |A| ist die Konvergenz sogar in C^{1}.

Wie zum Beispiel zu Beginn des Beweises von Lemma 2.10 zu sehen ist, ist H^{k} für k ⩽ 1 konkav in h_{j}^{i}. Da die Schranke an |A| lokale Gradientenschranken impliziert, ist die Evolutionsgleichung (⋆_{H^{k}}) wegen Lemma 2.14 gleichmäßig parabolisch. Somit sind zusammen mit der angenommenen gleichmäßigen C^{2}-Schranke die Abschätzungen von Krylov [Kry78], Theorem 2, Kapitel 5.5 anwendbar und liefern gleichmäßige C^{2,α}-Schranken.

Für k > 1 betrachten wir o.B.d.A. den Fluß lokal, gegeben durch den Graphen einer Funktion u(x, t) über einem passenden affinen n-dimensionalen Unterraum. Die Höhenfunktion u erfüllt dann folgende parabolische Differentialgleichung:

\frac{∂}{∂t}u = \sqrt{1 + |Du|^{2}}^{1−k}((δ^{ij} − \frac{D_{i}uD_{j}u}{1 + |Du|^{2}} )D_{ij}u)^{k} .  (1)

Dieser Operator ist nicht mehr konkav in den zweiten Ableitungen. Mit den a-priori Abschätzungen an |A| lässt sich dennoch leicht zeigen, dass die Voraussetzungen für Theorem 2, Kapitel 5.3 in [Kry78] erfüllt sind, woraus sich gleichmäßige Hölder-Abschätzungen in Raum und Zeit an \frac{∂}{∂t}u ergeben. Mit Hilfe von [Kry78] Theorem 4 in Kapitel 5.2 erhält man ebenfalls gleichmäßige Hölder-Abschätzungen in Raum und Zeit an Du. Wegen H(·, t) ⩾ δ und Gleichung (1) erfüllen insbesondere

v := \sqrt{1 + |Du|^{2}}^{1−k} und w := ((δ^{ij} − \frac{D_{i}uD_{j}u}{1 + |Du|^{2}} )D_{ij}u)^{k−1}

gleichmäßige C^{β}-Abschätzungen in Raum und Zeit, β ⩽ α. Damit können wir (1) als strikt parabolische Differentialgleichung

\frac{∂}{∂t}u − a^{ij}D_{ij}u = 0

auffassen mit Koeffizienten a^{ij} in C^{β} in Raum und Zeit. Die inneren Schauderabschätzungen im parabolischen Fall, vergleiche [Lie96], ergeben nun die gewünschten C^{2,β}-Abschätzungen. In beiden Fällen, das heisst k ⩽ 1 und k > 1, folgen anhand der Schauderabschätzungen auch alle höheren C^{l}-Schranken. □

Bemerkung 2.20 C^{2,α}-Abschätzungen die nicht nur im Innern, sondern auch in einer Umgebung einer Anfangsfläche M_{0} gelten, kann man anhand der Resultate von Krylov [Kry78] zeigen. Es lässt sich nachprüfen, dass diese nur von der Schranke an |A| und der C^{2,α}-Norm der Anfangsfläche abhängen.

Bemerkung 2.21 Für den Fall, dass man den H^{k}-Fluss nicht im euklidischen Raum, sondern auf einer Mannigfaltigkeit betrachtet, ist unter Voraussetzung von gleichmäßigen |A|-Schranken zu erwarten, dass die Flächen M_{t} für t → ∞ zu einer Minimalfläche konvergieren. Dies wird Gegenstand eines zukünftigen Projekts sein.

An einigen weiteren Punkten wird es sich als sinnvoll erweisen, bei der Evolution von h_{j}^{i} und b_{j}^{i} auch die Evolution von λ_{max}, κ_{max} zu studieren. Da aber λ_{max}, κ_{max} nur lipschitz-stetig sind, ist es notwendig, glatte Approximationen zu betrachten.

Die Niveauflächen der Funktion max (x_{1}, x_{2}) auf ℝ^{2} lassen sich durch Hyperbeln approximieren. Diese sind Niveauflächen der Funktion

ũ_{2} (x_{1}, x_{2}) = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} + \sqrt{(\frac{x_{1} − x_{2}}{2} )^{2} + δ^{2}}

für ein δ > 0. Rekursiv erhält man eine Approximation an max (x_{1}, …, x_{n}).

Definition 2.22 Für δ > 0 setze

ũ_{2} (x_{1}, x_{2}) = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} + \sqrt{(\frac{x_{1} − x_{2}}{2} )^{2} + δ^{2}}

ũ_{n+1}(x_{1}, …, x_{n+1}) = \frac{1}{n + 1} ∑_{i=1}^{n+1} ũ_{2} (x_{i}, ũ_{n} (x_{1}, …, x̂_{i}, …, x_{n+1})) , n ⩾ 2 .

Lemma 2.23 Für jedes δ > 0 und n ⩾ 2 gilt:

(i) ũ_{n} (x_{1}, …, x_{n}) ist glatt, symmetrisch, monoton steigend und konvex .

(ii) \frac{∂ũ_{n}(x_{1},...,x_{n})}{∂x_{i}} ⩽ 1

(iii) max (x_{1}, …, x_{n}) ⩽ ũ_{n} (x_{1}, …, x_{n}) ⩽ max (x_{1}, …, x_{n}) + (n − 1)δ

(iv) Für x ∈ ℝ^{n} gilt

ũ_{n}(x_{1}, …, x_{n}) − (n − 1)δ ⩽ ∑_{i=1}^{n} \frac{∂ũ_{n} (x_{1}, …, x_{n})}{∂x_{i}} · x_{i} ⩽ ũ_{n} (x_{1}, …, x_{n})

(v) ∑_{i} \frac{∂ũ_{n}}{∂x_{i}} = 1 .

Beweis: Die Aussagen folgen direkt und meist induktiv aus der Definition, vergleiche [Hei01].

Das nächste Lemma zeigt, dass gleichmäßige Schranken an die mittlere Krümmung auch auf einem kleinen Zeitintervall Schranken an |A| implizieren.

Lemma 2.24 Sei F : M^{n} × [0, τ) → ℝ^{n+1} ein H^{k}-Fluss, k ⩾ 1, und 0 < H < C auf M^{n} × [0, τ). Für λ_{min}(t) := min_{M_{t},i} λ_{i}(p) gilt dann

|λ_{min}(t)| ⩽ ((max\{−λ_{min}(0), 1\})^{−2} − C′t)^{− \frac{1}{2}} ,

mit C′ = 2knC^{k−1}(C^{2} + (n − 1)^{2}).

Beweis: Für die Evolution von β_{j}^{i} := −h_{j}^{i} erhalten wir aus Korollar 2.4:

\frac{∂}{∂t}β_{j}^{i} ⩽ kH^{k−1}Δβ_{j}^{i} + (k − 1)H^{k}β_{l}^{i}β_{j}^{l} + kH^{k−1}|A|^{2}β_{j}^{i} .

Sei nun u(β_{j}^{i}) eine glatte Approximation an − min(λ_{1}, …, λ_{n}) wie in Definition 2.22 für ein δ > 0. Aus

\frac{∂}{∂t}u = \frac{∂u}{∂β_{j}^{i}} (\frac{∂}{∂t}β_{j}^{i})

und

Δu = \frac{∂^{2}u}{∂β_{q}^{p}∂β_{m}^{l}} ∇^{v}β_{q}^{p}∇_{v}β_{m}^{l} + \frac{∂u}{∂β_{j}^{i}} Δβ_{j}^{i} ,

sowie der Monotonie von u folgt

\begin{matrix}\frac{∂}{∂t}u ⩽ kH^{k−1}Δu − & kH^{k−1} \frac{∂^{2}u}{∂β_{q}^{p}∂β_{m}^{l}} ∇^{v}β_{q}^{p}∇_{v}β_{m}^{l} \\ + & (k − 1)H^{k} \frac{∂u}{∂β_{j}^{i}} β_{l}^{i}β_{j}^{l} + kH^{k−1}|A|^{2} \frac{∂u}{∂β_{j}^{i}} β_{j}^{i} , \end{matrix}

wodurch sich mit Lemma 2.23

\frac{∂}{∂t}u ⩽ kH^{k−1}Δu + kH^{k}|A|^{2} + kH^{k−1}|A|^{2}u

ergibt. Wegen H > 0 ist auch λ_{max}(p) > 0 und mit

λ_{max}(p) ⩽ H − (n − 1)λ_{min}(p) ⩽ H + (n − 1)u

ist

|A|^{2} ⩽ 2n(H^{2} + (n − 1)^{2}u^{2}) ⩽ 2n(C^{2} + (n − 1)^{2}u^{2}).  (2)

Wir erhalten für o.B.d.A u ⩾ 1:

\frac{∂}{∂t}u ⩽ kH^{k−1}Δu + C′u^{3} ,

mit C′ = 2knC^{k−1}(C^{2} + (n − 1)^{2}). Das Resultat ergibt sich nun aus dem Vergleich mit der GDGL und δ → 0. □

Bemerkung 2.25 Da C = C(H) im obigen Beweis ist, liefert (2) insbesondere auch eine Schranke an |A|.

Theorem 2.26 Sei F : M^{n} × [0, T) → ℝ^{n+1} eine Familie von Einbettungen, die den H^{k}-Fluss löst, mit Anfangsfläche M_{0} := F (M^{n}, 0). Weiter sei H(·, 0) ⩾ δ_{0} > 0, k ⩾ 1 und T die maximale Existenzzeit. Dann ist T ⩾ ρ(M_{0}) > 0, wobei ρ nur von der C^{2,α}-Norm der Anfangsfläche und δ_{0} abhängt.

Beweis: Sei d(·, M_{0}) die mit Vorzeichen versehene Abstandsfunktion zu M_{0}. Dabei sei das Vorzeichen so gewählt, dass V := ∇d : ℝ^{n+1} → ℝ^{n+1} auf M_{0} mit dem Normalenvektorfeld übereinstimmt. Auf Ω_{γ_{0}} := {x ∈ ℝ^{n+1}|d(x, M_{0}) ⩽ γ_{0}} ist V glatt, wobei γ_{0} > 0 nur von der C^{2}-Norm der Anfangsfläche M_{0} abhängt. Wir glätten V nun, dafür definieren wir X := ρ_{ξ} ∗ V, wobei ρ_{ξ} der Standard-Glättungskern für ein ξ > 0 sei. Zu jedem δ > 0 existiert ein ξ = ξ(δ, C^{2}(M_{0})), so dass

|X − V |(x) ⩽ δ für alle x ∈ Ω_{\frac{γ_{0}}{2}} .

Insbesondere hängt damit die C^{2}-Norm von X auf Ω_{\frac{γ_{0}}{2}} nur von der C^{2}-Norm von M_{0} und δ ab.

Für ein hinreichend kleines δ > 0, zum Beispiel δ = \frac{1}{100}, sei w := ⟨X(F (p, t)), ν(p, t)⟩. Folglich ist |w − 1|(p) ⩽ δ für p ∈ M_{0}, w ⩾ \frac{1}{2} auf M^{n} × [0, ε), 0 < ε ⩽ T, und für die Evolutionsgleichung erhält man in einem adaptierten n-Bein:

\begin{matrix}\frac{∂}{∂t}w = kH^{k−1}Δw− & kH^{k−1}⟨ΔX, ν⟩ − 2kH^{k−1}h^{ij}⟨∇_{i}X, e_{j}⟩ \\ + & kH^{k−1}|A|^{2}⟨X, ν⟩ − H^{k}⟨DX(ν), ν⟩ . \end{matrix}

Indem wir nun die Evolution von w mit der von H^{k} günstig kombinieren, können wir die schlechten Krümmungsterme kontrollieren. Es ergibt sich für v := \frac{H^{k}}{w−1/4},

\frac{∂}{∂t}v = kH^{k−1}Δv + \frac{2k}{H} v⟨∇w, ∇v⟩ + (\frac{k}{H} ⟨ΔX, ν⟩ + \frac{2k}{H} h^{ij}⟨∇_{i}X, e_{j}⟩

+ ⟨DX(ν), ν⟩ − \frac{k}{4H} |A|^{2})v^{2}

⩽ kH^{k−1}Δv + \frac{2k}{H} v⟨∇w, ∇v⟩ + (\frac{C}{H} + C \frac{|A|}{H} + C − \frac{k}{4H} |A|^{2})v^{2}
⩽ kH^{k−1}Δv + \frac{2k}{H} v⟨∇w, ∇v⟩ + (C + \frac{C}{H} − \frac{k}{8n}H)v^{2}

wobei C = C(C^{2}(M_{0}), k, n). Wegen H^{k} ⩾ \frac{H^{k}}{4(w−1/4)} = \frac{1}{4}v erhalten wir einen Widerspruch falls v sein erstes Maximum größer C(C^{2}(M_{0}), k) annimmt und so

H ⩽ C′(C^{2}(M_{0}), k, n) auf [0, ε).

Sei t_{0} := max\{t ∈ [0, T)| min_{M_{t}}⟨X, ν⟩ ⩾ \frac{1}{2}\}. Nach der obigen Rechnung erhalten wir gleichmäßige Schranken an H auf dem Intervall [0, t_{0}], die nur von den C^{2}-Schranken an M_{0} abhängen. Für τ := min\{t_{0}, \frac{1}{2}C′^{−1}(max\{|λ_{min}(0)|, 1\})^{−2}\} ergibt Lemma 2.24 gleichmäßige Schranken an |A| auf dem Intervall [0, τ]. Mit C^{2,α}-Schranken an M_{0} und Bemerkung 2.20 impliziert dies gleichmäßige C^{2,α}-Abschätzungen auf [0, τ].

Um \frac{∂}{∂t}ν = kH^{k−1}∇H zu kontrollieren benötigen wir C^{3}-Abschätzungen. Indem wir den Fluß wieder lokal als die Evolution der Höhenfunktion u über einem passenden Tangentialraum auffassen, erhalten wir mit v_{k} := \frac{∂u}{∂x_{k}} , k ∈ \{1, …, n\} und den inneren Schauderabschätzungen im parabolischen Fall (vergleiche [Lie96], Theorem 4.9):

|v_{k}|_{2+α}^{∗} ⩽ C .  (3)

Für die parabolischen Höldernormen verwenden wir die Notation wie in [Lie96]. Die C^{2,α}-Schranken an u und (3) lassen sich zusammenfassen als

|u|_{2+α}^{(−(2+α))}, |u|_{3+α}^{(−1)} ⩽ C .  (4)

Im restlichen Beweis werden wir durch Interpolation zwischen diesen beiden Normen zeigen, dass |∇H| gerade noch in der Zeit integrabel ist. Wir rechnen dazu in lokalen Koordinaten, das heisst wir betrachten wieder die Evolution der Höhenfunktion u auf Ω_{ε} := Ω × (0, ε), Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet.

Mit X = (x, t) sei ein Punkt im ℝ^{n+1} bezeichnet, x ∈ ℝ^{n}. Die Norm |x| sei die euklidische Norm auf dem ℝ^{n} und |X| := max\{|x|, |t|^{\frac{1}{2}} \} sei die parabolische Norm auf dem ℝ^{n+1} . Für X ∈ Ω_{ε} bezeichne d(X) den Abstand zum parabolischen Rand von Ω_{ε} und d(X, Y) := min d(X), d(Y). Wir wählen X_{1} ∈ ω_{ε} mit o.B.d.A d(X_{1}) ⩽ \frac{1}{2}, es sei μ ∈ (0, \frac{1}{2}] eine noch zu bestimmende Konstante und

v := \frac{∂^{2}u}{∂x_{i}∂x_{j}} für ein festes Tupel i, j ∈ \{1, …, n\}.

Wähle nun x_{2}, so dass x_{1} − x_{2} parallel zu Dv(X_{1}) ist und |x_{1} − x_{2}| = μd(X_{1}). Damit ist X_{2} := (x_{2}, t_{1}) ∈ Ω_{ε}. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein x_{3} auf der Verbindungslinie zwischen x_{1} und x_{3}, so dass für X_{3} := (x_{3}, t_{1}) gilt:

Dv(X_{3}) · (x_{1} − x_{2}) = v(X_{1}) − v(X_{2}) .

Nach unserer Wahl von X_{2} erhalten wir

|Dv|(X_{1}) = Dv(X_{1}) · \frac{x_{1} − x_{2}}{|x_{1} − x_{2}|} ⩽ Dv(X_{3}) · \frac{x_{1} − x_{2}}{|x_{1} − x_{2}|} + |Dv(X_{1}) − Dv(X_{3})|

und daraus

\begin{matrix}|Dv|(X_{1}) ⩽ & \frac{|v(X_{1}) − v(X_{2})|}{|x_{1} − x_{2}|} + |Dv(X_{3}) − Dv(X_{1})| \\ ⩽ & |v|_{α}^{(−α)} \frac{|X_{1} − X_{2}|^{α}}{|x_{1} − x_{2}|} + |v|_{1+α}^{(1)} \frac{|X_{1} − X_{3}|^{α}}{d(X_{1}, X_{3})^{2+α}} . \end{matrix}  (5)

Wegen d(X_{1}) ⩾ 2|x_{1} − x_{2}| ⩾ 2|x_{1} − x_{3}| ist \frac{1}{2}d(X_{1}) ⩽ d(X_{1}, X_{3}) ⩽ d(X_{1}). Aus (5) ergibt sich:

|Dv|(X_{1}) ⩽ |v|_{α}^{(−α)}(μd(X_{1}))^{α−1} + 2^{2+α}|v|_{1+α}^{(1)}d(X_{1})^{−2}μ^{α} .

Multiplikation mit d(X_{1})^{(2+α)(1−α)} und die Wahl μ := d(X_{1})^{1+α} liefert

d(X_{1})^{(2+α)(1−α)}|Dv|(X_{1}) ⩽ |v|_{α}^{(−α)} + 2^{2+α}|v|_{1+α}^{(1)} ,

was sich in Termen von u als

|u|_{3}^{((2+α)(1−α)−3)} ⩽ |u|_{2+α}^{(−(2+α))} + 2^{2+α}|u|_{3+α}^{(−1)}

ausdrücken lässt.

Da aber für F : M^{n} × [0, ε) → ℝ^{n+1} der parabolische Rand nur aus M_{0} besteht und in die parabolische Norm die Zeit t nur mit der halben Potenz eingeht, folgt daraus

|∇H|(p, t) ⩽ \frac{C}{t^{η}} mit η := \frac{(2 + α)(1 − α)}{2} < 1 .

Zusammen mit |DX(ν)|(p, t) ⩽ C(M_{0}) auf M^{n} × (0, τ) sieht man für p ∈ M^{n}:

\begin{matrix}\frac{1}{2} ⩽ & |⟨X, ν⟩(p, 0) − ⟨X, ν⟩(p, τ)| \\ ⩽ & | ∫_{0}^{τ} −H^{k}⟨DX(ν), ν⟩ + ⟨X, kH^{k−1}∇H⟩ dt| ⩽ C(τ + τ^{1−η}) , \end{matrix}

was die gewünschte untere Schranke an τ liefert. □

2.4 Der Fluss konvexer Flächen

In diesem Abschnitt wollen wir die Evolution konvexer Flächen unter dem H^{k}- Fluss studieren. Um für beliebiges k > 0 Kurzzeitexistenz und strikte Parabolizität garantieren zu können sei als Grundvoraussetzung immer gefordert, dass

H(p, 0) ⩾ δ > 0 für alle p ∈ M^{n} .

Wie auch beim mittleren Krümmungsfluss ist die Konvexität für beliebiges k > 0 unter dem Fluss erhalten. Darüber hinaus werden wir im Hauptresultat dieses Abschnitts zeigen können, dass für alle k > 0 die Flächen M_{t} im Limes t → T zu einem Punkt schrumpfen.

Lemma 2.27 Sei F_{0}(M^{n}) schwach konvex und F : M^{n} × [0, T) → ℝ^{n+1} der zugehörige H^{k}-Fluss, k ⩾ 1. Dann ist F (M^{n}, t) schwach konvex für alle t ∈ [0, T).

Beweis: Aus der Evolutionsgleichung von h_{j}^{i}, (Korollar 2.4), erhalten wir

\frac{∂}{∂t}h_{j}^{i} ⩾ kH^{k−1}Δh_{j}^{i} − (k − 1)H^{k}h_{l}^{i}h_{j}^{l} + kH^{k−1}|A|^{2}h_{j}^{i} .

Sei nun ξ(p) ∈ T_{p}M^{n} ein Nulleigenvektor von W (p, t), das heisst h_{j}^{i}ξ^{j} = 0, i = 1, …, n und damit auch

( − (k − 1)H^{k}h_{l}^{i}h_{j}^{l} + kH^{k−1}|A|^{2}h_{j}^{i}) ξ^{j}(p, t) = 0 .

Nach dem schwachen Maximumprinzip für 2-Tensoren von R. Hamilton, [Ham82], Theorem 9.1, ist damit h_{j}^{i} ⩾ 0 erhalten. □

Stärker noch ist für strikt konvexe Flächen der minimale Eigenwert λ_{min}(t) := min_{M_{t},i} λ_{i} monoton wachsend. Insbesondere gilt dies auch für 0 < k ⩽ 1.

Lemma 2.28 Sei F_{0}(M^{n}) strikt konvex und F : M^{n} × [0, τ) → ℝ^{n+1} ein H^{k}-Fluss, k > 0. Dann sind alle M_{t}, t ∈ [0, τ) strikt konvex und λ_{min}(t) monoton wachsend.

Beweis: Mit Lemma 2.10 folgt für die Evolution der inversen Weingartenabbildung W^{−1} = {b_{j}^{i}}:

\frac{∂}{∂t}b_{j}^{i} ⩽ kH^{k−1}Δb_{j}^{i} + (k − 1)H^{k}δ_{j}^{i} − kH^{k−1}|A|^{2}b_{j}^{i} .

Zu einem δ > 0 wählen wir eine glatte Approximation u(b_{j}^{i}) an max(κ_{1}, …, κ_{n}) wie in Definition 2.22. Aus

\frac{∂}{∂t}u = \frac{∂u}{∂b_{j}^{i}} (\frac{∂}{∂t}b_{j}^{i}) und Δu = \frac{∂u}{∂b_{j}^{i}} Δb_{j}^{i} + \frac{∂^{2}u}{∂b_{q}^{p} ∂b_{m}^{l}} ∇^{v}b_{q}^{p}∇_{v}b_{m}^{l}

sowie der Monotonie von u ergibt sich

\frac{∂}{∂t}u ⩽ kH^{k−1}Δu − kH^{k−1} \frac{∂^{2}u}{∂b_{q}^{p} ∂b_{m}^{l}} ∇^{v}b_{q}^{p}∇_{v}b_{m}^{l} + (k − 1)H^{k}tr(\frac{∂u}{∂b_{j}^{i}}) − kH^{k−1}|A|^{2} \frac{∂u}{∂b_{j}^{i}} b_{j}^{i} .

Die Identitäten und Abschätzungen aus Lemma 2.23 liefern zusammen mit der Konvexität von u, dass

\frac{∂}{∂t}u ⩽ kH^{k−1}Δu + (k − 1)H^{k} − kH^{k−1}|A|^{2}(u − (n − 1)δ) .

An Punkten (p, t) mit u > (n − 1) k δ sieht man, dass

\frac{∂}{∂t}u(p, t) < kH^{k−1}Δu(p, t) + (k − 1)H^{k−1}(\frac{H}{u} − |A|^{2})u(p, t) ⩽ kH^{k−1}Δu

wegen

\frac{H}{u} (p) ⩽ \frac{H(p)}{κ_{max}(p)} = H(p)λ_{min}(p) ⩽ |A|^{2}(p) .

Wir erhalten so einen Widerspruch falls u zum ersten Mal ein neues Maximum größer (n − 1) k δ annimmt. Der Limes δ → 0 ergibt die Behauptung, da u(p, 0) > 0. □

Bemerkung 2.29 Um auch für 0 < k < 1 zu zeigen, dass schwache Konvexität erhalten ist, approximieren wir zuerst eine schwach konvexe Anfangsfläche M_{0} mit H(M_{0}) > δ > 0 durch strikt konvexe Flächen M_{0}^{i} (zum Beispiel mit Hilfe des mittleren Krümmungsflusses). Von diesen Flächen starten wir jeweils den H^{k}-Fluss, mit Lemma 2.30 sehen wir, dass eine gleichmäßige untere Schranke an T_{i} existiert. Mit Proposition 2.19 erhalten wir gleichmäßige C^{2,α}-Schranken an die Flüsse M_{t}^{i}, die aber nach Lemma 2.28 konvex sind. Durch Auswahl einer konvergenten Teilfolge ergibt sich, dass auch der Fluss M_{t} konvex ist.

Im konvexen Fall liefert die Evolutionsgleichung für H schon eine obere Schranke an |A| für kleine Zeiten.

Lemma 2.30 Sei F_{0}(M^{n}) konvex und F (·, t) ein H^{k}-Fluss. Dann ist

|A|(p, t) ⩽ H(p, t) ⩽ (H_{max}(0)^{−(k+1)} − (k + 1)t)^{− \frac{1}{k+1}} ,

und somit insbesondere T ⩾ \frac{1}{k+1}H_{max}(0)^{−(k+1)}.

Beweis: Wegen Lemma 2.27 und Bemerkung 2.29 sind die Flächen M_{t} konvex und damit |A| ⩽ H. Die Evolutionsgleichung für H zeigt, dass

\frac{∂}{∂t}H ⩽ kH^{k−1}ΔH + k(k − 1)H^{k−2}|∇H|^{2} + H^{k+2} .

Der Vergleich mit der GDGL ergibt die Schranke an H und Proposition 2.19 die untere Schranke an T. □

Um zeigen zu können, dass für k ⩾ 1 schwach konvexe Flächen sofort strikt konvex werden, untersuchen wir die Evolution der Quotienten Q_{l} der elementarsymmetrischen Polynome in den Hauptkrümmungen.

Lemma 2.31 Sei k ⩾ 1 und F : M^{n} × [0, T) → ℝ^{n+1} ein H^{k}-Fluss konvexer Flächen mit

S_{l−1}(p, t) > 0 für alle (p, t) ∈ M^{n} × [0, T) ,

so dass Q_{l} wohldefiniert ist. Dann gilt

\frac{∂}{∂t}Q_{l} ⩾ kH^{k−1}ΔQ_{l} + H^{k−1}(k|A|^{2} − l(k − 1)HQ_{l})Q_{l} .  (6)

Beweis: Aus

\frac{∂}{∂t}Q_{l} = \frac{∂Q_{l}}{∂h_{j}^{i}} (\frac{∂}{∂t}h_{j}^{i}) und ΔQ_{l} = \frac{∂Q_{l}}{∂b_{j}^{i}} Δh_{j}^{i} + \frac{∂^{2}Q_{l}}{∂h_{q}^{p} ∂h_{m}^{l}} ∇^{v}h_{q}^{p}∇_{v}h_{m}^{l}

sowie der Evolutionsgleichung für h_{j}^{i} bekommen wir

\begin{aligned}\frac{∂}{∂t}Q_{l} = kH^{k−1}ΔQ_{l} & − kH^{k−1} \frac{∂^{2}Q_{l}}{∂h_{q}^{p} ∂h_{m}^{l}} ∇^{v}h_{q}^{p}∇_{v}h_{m}^{l} + k(k − 1)H^{k−2} \frac{∂Q_{l}}{∂h_{j}^{i}} ∇^{i}H∇_{j}H \\ & − (k − 1)H^{k} \frac{∂Q_{l}}{∂h_{j}^{i}} h_{l}^{i}h_{j}^{l} + kH^{k−1}|A|^{2} \frac{∂Q_{l}}{∂h_{j}^{i}} h_{j}^{i} . \end{aligned}

Mit Hilfe von Lemma 2.7 können wir die beiden letzten Terme vereinfachen.

\begin{aligned}\frac{∂Q_{l}}{∂h_{j}^{i}} h_{j}^{i} = ∑_{m} \frac{∂Q_{l}}{∂λ_{m}} λ_{m} & = \frac{1}{S_{l−1}^{2}} (S_{l−1} ∑_{i} S_{l−1,i} λ_{i} − S_{l} ∑_{i} S_{l−2,i} λ_{i}) \\ & = \frac{1}{S_{l−1}^{2}} (lS_{l−1}S_{l} − (l − 1)S_{l−1}S_{l}) = Q_{l} \end{aligned}

\frac{∂Q_{l}}{∂h_{j}^{i}} h_{l}^{i}h_{j}^{l} = ∑_{m} \frac{∂Q_{l}}{∂λ_{m}} λ_{m}^{2} = \frac{1}{S_{l−1}^{2}} (S_{l−1} ∑_{i} S_{l−1,i} λ_{i}^{2} − S_{l} ∑_{i} S_{l−2,i} λ_{i}^{2})

= \frac{1}{S_{l−1}^{2}} (S_{l−1}(S_{1}S_{l} − (l + 1)S_{l+1}) − S_{l}(S_{1}S_{l−1} − lS_{l}))

= −(l + 1)\frac{S_{l+1}}{S_{l−1}} + lQ_{l}^{2} .

Mit der Monotonie und der Konkavität der Q_{l} folgt daraus die Ungleichung. □

Es ergibt sich direkt:

Proposition 2.32 Sei F_{0} : M^{n} → ℝ^{n+1} eine schwach konvexe Hyperfläche mit H(F_{0}) ⩾ δ > 0 und F : M^{n} × [0, T) → ℝ^{n+1} der zugehörige H^{k}-Fluss mit k ⩾ 1. Dann ist M_{t} strikt konvex für alle t ∈ (0, T).

Beweis: Wegen H(p, 0) > 0 ist H(p, t) > 0 für alle t ∈ (0, T). Somit ist Q_{2} wohldefiniert und nichtnegativ. Wegen der Schranken an |A|^{2} für t ∈ [0, ε] ist

|H^{k}(k|A|^{2} − 2(k − 1)HQ_{2})| ⩽ C

auf diesem Intervall. Damit ergibt sich aus (6):

\frac{∂}{∂t}Q_{2} ⩾ kH^{k−1}ΔQ_{2} − CQ_{2}

für t ∈ [0, ε). Für v := e^{Ct}Q_{2} erhalten wir:

\frac{∂}{∂t}v ⩾ kH^{k−1}Δv .  (7)

Angenommen es existiere (p_{0}, t_{0}) ∈ M^{n} × (0, ε) mit Q_{2}(p_{0}, t_{0}) = 0, dann ist auch v(p_{0}, t_{0}) = 0. Die Harnackungleichung im parabolischen Fall (vergleiche [Lie96]) und Gleichung (7) liefert, dass v ≡ 0 für alle t ∈ (0, t_{0}) und somit Q_{2} ≡ 0 für alle t ∈ (0, t_{0}). Dies steht im Widerspruch zur Existenz von strikt konvexen Punkten auf M_{t}, und damit ist Q_{2} > 0 auf M^{n}×(0, T). Dieses Argument kann iterativ fortgesetzt werden bis zu Q_{n} > 0 auf M^{n} × (0, T). □

Das nächste Lemma zeigt, dass die mittlere Krümmung und somit auch |A| beschränkt bleiben, solange M_{t} ein nicht verschwindendes Volumen berandet.

Lemma 2.33 Sei F : M^{n} × [0, τ) ein H^{k}-Fluss konvexer Flächen und für δ > 0, x_{0} ∈ ℝ^{n+1}, sei B_{δ}(x_{0}) ⊂ V_{t} für alle t ∈ [0, τ), wobei V_{t} das von M_{t} berandete Volumen bezeichne. Dann ist

H(p, t) ⩽ C(δ, k, n) für alle (p, t) ∈ M^{n} × [0, τ) .

Beweis: Sei X := x − x_{0} das Ortsvektorfeld mit Ursprung in x_{0}. Aufgrund der Konvexität der Flächen M_{t} existiert α > 0, α = α(δ), sodass

⟨X, ν⟩ − α ⩾ \frac{α}{2} > 0 für alle (p, t) ∈ M^{n} × [0, τ) .

Insbesondere ist

v := \frac{H^{k}}{⟨X, ν⟩ − α}

wohldefiniert. Mit Korollar 2.4 erhalten wir für die Evolutionsgleichung von v:

\begin{aligned}\frac{∂}{∂t}v & = kH^{k−1}Δv + \frac{2k}{H} v∇^{i}⟨X, ν⟩∇_{i}v + (k + 1)v^{2} − αk \frac{|A|^{2}}{H} v^{2} \\ & ⩽ kH^{k−1}Δv + \frac{2k}{H} v∇^{i}⟨X, ν⟩∇_{i}v + ((k + 1) − \frac{αk}{n} H)v^{2} . \end{aligned}

Angenommen in (p_{0}, t_{0}) nehme v zum ersten Mal ein Maximum C >> 0 an. Dann ist

H^{k}(p_{0}, t_{0}) ⩾ C(⟨X, ν⟩ − α)(p_{0}, t_{0}) ⩾ \frac{αC}{2} ,

woraus der Widerspruch folgt, falls

C ⩾ \frac{2}{α}(\frac{n(k + 1)}{αk})^{k} .

□

Nun sind alle Vorbereitungen für das abschließende Resultat getroffen.

Theorem 2.34 Sei F : M^{n} × [0, T) → ℝ^{n+1} ein H^{k}-Fluss, wobei

i) F_{0}(M^{n}) strikt konvex sei für 0 < k < 1 ,

ii) F_{0}(M^{n}) schwach konvex sei für k ⩾ 1 ,

und H(F_{0}(M^{n})) > 0. Dann existiert der Fluss bis zu einem maximalen Zeitpunkt T an dem die Flächen M_{t} zu einem Punkt im ℝ^{n+1} kontrahieren.

Beweis: Wegen Lemma 2.33 und Proposition 2.19 kann der Fluss so lange fortgesetzt werden wie eine kleine Kugel in seinem Inneren existiert. Aufgrund von Proposition 2.32 werden die Flächen M_{t} für k ⩾ 1 sofort strikt konvex. Für 0 < k < 1 folgt dies aus den Voraussetzungen und Lemma 2.28. Insbesondere ist in beiden Fällen wegen Lemma 2.28 λ_{min}(t) monoton wachsend und lim_{t→T} λ_{min}(t) ⩾ δ > 0.

Sei nun angenommen, dass zwei verschiedene Punkte x, y ∈ ℝ^{n+1} existieren mit x, y ∈ V_{t} für alle t ∈ [0, T), V_{t} das von M_{t} berandete Volumen. Dann schneidet jede 2-dimensionale Ebene Z durch x und y die Flächen M_{t} transvers in regulären Kurven c_{t}^{Z}. Wegen λ_{min}(t) > \frac{δ}{2} ist auch die Krümmung der Kurven C_{t}^{Z} größer ε_{0} > 0.

Sei I_{t} := Z ∩ V_{t}. Da H^{n}(V_{t}) → 0, muss ein Z existieren mit H^{2}(I_{t}) → 0. Dies steht jedoch im Widerspruch dazu, dass x, y ∈ I_{t} und die Krümmung der Kurven c_{t}^{Z} gleichmäßig von Null weg beschränkt ist. □

3 Der schwache Fluss

Für eine beliebige n-dimensionale, eingebettete Hyperfläche N_{0} ⊂ ℝ^{n+1} mit H(N_{0}) > δ_{0} > 0 ist wie beim mittleren Krümmungsfluss auch beim H^{k}-Fluss zu erwarten, dass sich bei der Evolution der Flächen M_{t} Singularitäten entwickeln, noch bevor die Flächen M_{t} zu einem Punkt oder Ähnlichem kontrahieren können.

Um nun auch eine Evolution über Singularitäten hinweg definieren zu können, machen wir wie in der Einleitung beschrieben den folgenden Ansatz. Sei im Folgenden N_{0} = ∂Ω, , Ω ⊂ ℝ^{n+1} offen und beschränkt. Ferner sei N_{0} glatt und

H(N_{0}) ⩾ δ_{0} > 0 .

Wir wollen die Evolution von N_{0} als Niveaumengen einer Funktion u : Ω → [0, ∞) anhand von

E_{t} := {x ∈ Ω|u(x) > t}, N_{t} := ∂E_{t}

darstellen. An einem Punkt, an dem u glatt mit Du ≠ 0 ist, ist (⋆_{H^{k}}), siehe S. 12, äquivalent zu

(⋆) div(\frac{Du}{|Du|}) = −\frac{1}{|Du|^{\frac{1}{k}}} .

Dabei ist die linke Seite die mittlere Krümmung der Niveaumenge {u = t} und die rechte Seite die entsprechende Potenz der Geschwindigkeit.

3.1 Schwache Lösungen

Wir wollen nun einen schwachen Lösungsbegriff für (⋆) einführen. Wie es sich herausstellt ist (⋆)_{H^{k}} für beliebiges k > 0 weder der Gradientenfluss einer Energie, noch ist (⋆) eine Euler-Lagrange-Gleichung. Indem wir jedoch die rechte Seite von (⋆) fixieren, können wir die Gleichung als Euler-Lagrange-Gleichung des Funktionals

J_{u}(v) = J_{u}^{K}(v) := ∫_{K} |Dv| − \frac{v}{|Du|^{\frac{1}{k}}} dx  (8)

auffassen. Dabei haben wir uns von [HI98] inspirieren lassen. Huisken und Ilmanen verwenden in dieser Arbeit einen entsprechenden Ansatz um schwache Lösungen des inversen mittleren Krümmungsflusses zu definieren.

Definition 3.1 Sei u ∈ C_{loc}^{0,1}(Ω) ∩ L^{∞}(Ω) und |Du|^{− \frac{1}{k}} ∈ L_{loc}^{1}(Ω). Dann ist u eine schwache (Sub- bzw. Super-) Lösung von (⋆) auf Ω, falls

J_{u}^{K}(u) ⩽ J_{u}^{K}(v)  (9)

für jede lokal lipschitzstetige Funktion v (v ⩽ u bzw. v ⩾ u) mit {v ≠ u} ⊂ K ⊂ Ω, K kompakt. Da die Definition nicht von der speziellen Wahl von K abhängt, werden wir den Index K im Weiteren unterdrücken.

Aufgrund der Identität

J_{u}(min(v, w)) + J_{u}(max(v, w)) = J_{u}(v) + J_{u}(w)

für {v ≠ w} ⋐ Ω sieht man für v = w, dass u genau dann eine schwache Lösung ist, falls u gleichzeitig eine schwache Sub- und Superlösung ist.

Äquivalente Formulierung: Sei F ⊂ Ω×ℝ eine messbare Teilmenge und ∂^{∗}F der reduzierte Rand von F. Wir bezeichnen mit |∂^{∗}F ∩ K| das (n + 1)-dimensionale Hausdorffmaß H^{n+1} von ∂^{∗}F ∩ K, wobei wir |∂^{∗}F ∩ K| := +∞ setzen, falls F in keiner Umgebung von K eine Caccioppoli-Menge ist. E △ F := (E \ F) ∪ (F \ E) bezeichne die symmetrische Differenz zweier Mengen E und F. Damit können wir für eine Lipschitzfunktion u auf Ω×ℝ mit |Du|^{− \frac{1}{k}} ∈ L_{loc}^{1}(Ω×ℝ) das Funktional

J_{u}^{K}(F) := |∂^{∗}F ∩ K| − ∫_{F ∩K} |Du|^{− \frac{1}{k}} dx  (10)

für F ⊂ Ω×ℝ definieren. Dabei sagen wir, dass E das Funktional J_{u} in einer Menge A (von außen bzw. von innen) minimiert, falls

J_{u}^{K}(E) ⩽ J_{u}^{K}(F)  (11)

für alle F mit F △ E ⋐ A (bzw. zusätzlich F ⊃ E, F ⊂ E), mit einer kompakten Menge K mit F △ E ⊂ K ⊂ A. Wiederum hängt diese Definition nicht von der speziellen Wahl von K ab. Mit Hilfe der allgemeinen Ungleichung, siehe Lemma 3.15,

J_{u}(E ∪ F) + J_{u}(E ∩ F) ⩽ J_{u}(E) + J_{u}(F)  (12)

für E △ F ⋐ A, sieht man, dass E das Funktional J_{u} in A genau dann minimiert, wenn E es gleichzeitig von außen und von innen minimiert.

Lemma 3.2 Sei u ∈ C_{loc}^{0,1}(Ω)∩L^{∞}(Ω) und |Du|^{− \frac{1}{k}} ∈ L_{loc}^{1}(Ω). u ist genau dann eine (Sub- bzw. Super-) Lösung von (⋆) auf Ω, falls für jedes t die Menge E_{t} := {u > t} das Funktional J_{u} in Ω (von innen bzw. von außen) minimiert.

Beweis: 1) Sei v lokal lipschitzstetig mit {v ≠ u} ⊂ K ⊂ Ω. Für F_{t} := {v > t} ist dann F_{t} △ E_{t} ⊂ K für alle t. Man wähle a < b mit a < u,v < b auf K. Mit der Koflächenformel sieht man, dass

\begin{matrix}J_{u}^{K}(v) = & ∫_{K} |Dv| − \frac{v}{|Du|^{\frac{1}{k}}} dx \\ = & ∫_{a}^{b} |∂^{∗}F_{t} ∩ K| dt − ∫_{K} ∫_{a}^{b} χ_{F_{t}} \frac{1}{|Du|^{\frac{1}{k}}} dt dx − a ∫_{K} \frac{1}{|Du|^{\frac{1}{k}}} dx \\ = & ∫_{a}^{b} J_{u}^{K}(F_{t}) dt − a ∫_{K} \frac{1}{|Du|^{\frac{1}{k}}} dx . \end{matrix} (13)

Falls nun jedes E_{t} das Funktional J_{u} in Ω minimiert, zeigt diese Gleichung, dass u auch (8) minimiert. Das gleiche Argument ist auch für schwache Sub- und Superlösungen anwendbar.

2) Sei nun u eine Sublösung von (8). Man wähle t_{0} und F, so dass

F ⊂ E_{t_{0}}, E_{t_{0}} \ F ⋐ Ω .

Wir wollen zeigen, dass J_{u}(E_{t_{0}}) ⩽ J_{u}(F). Da J_{u} unterhalbstetig unter L_{loc}^{1}- Konvergenz ist, können wir annehmen, dass

J_{u}(F) ⩽ J_{u}(G)  (14)

für alle G mit G △ E_{t_{0}} ⊂ E_{t_{0}} \ F. Indem man

F_{t} := \begin{cases}F ∩ E_{t} & t ⩾ t_{0} \\ E_{t} & 0 ⩽ t < t_{0} \end{cases}

definiert, erhält man aus (14) J_{u}(F) ⩽ J_{u}(E_{t} ∪ F) für alle t ⩾ t_{0}, und daraus mit (12)

J_{u}(E_{t} ∩ F) ⩽ J_{u}(E_{t})

für t ⩾ t_{0}. Insgesamt ist also

J_{u}(F_{t}) ⩽ J_{u}(E_{t}) für alle t .

Wir definieren nun v durch v > t auf F_{t}, womit v ⩽ u und {v ≠ u} ⋐ Ω. Folglich ist v ∈ BV_{loc} ∩ L_{loc}^{∞}, insbesondere ist dann J_{u}(v) wohldefiniert . Indem wir v durch glatte Funktionen v_{i} → v mit |Dv_{i}| → |Dv| approximieren, erhalten wir aus den Voraussetzungen, dass J_{u}(u) ⩽ J_{u}(v). Da damit (13) auch für v zutreffend ist, gilt

∫_{a}^{b} J_{u}(E_{t}) dt ⩽ ∫_{a}^{b} J_{u}(F_{t}) dt ,

wodurch wir J_{u}(F_{t}) = J_{u}(E_{t}) für fast alle t erhalten. Mit (14) folgt daraus

J_{u}(E_{t} ∪ F) ⩽ J_{u}(F)

für fast alle t ⩾ t_{0}. Im Limes t ↘ t_{0} ergibt sich aus der Unterhalbstetigkeit

J_{u}(E_{t_{0}}) ⩽ J_{u}(F) .

3) Für den Fall, dass u eine Superlösung ist, wählen wir wie in 2) t_{0} und F mit

E_{t_{0}} ⊂ F, F \ E_{t_{0}} ⋐ Ω .

Wie zuvor können wir annehmen, dass

J_{u}(F) ⩽ J_{u}(G)

für alle G mit G △ E_{t_{0}} ⊂ F \ E_{t_{0}}. Man definiert wieder

F_{t} := \begin{cases}F ∪ E_{t} & 0 ⩽ t ⩽ t_{0} \\ E_{t} & t > t_{0} , \end{cases}

woraus völlig analog zu 2) folgt, dass

J_{u}(E_{t} ∩ F) ⩽ J_{u}(F)

für fast alle t ⩽ t_{0}. Da aber nach Voraussetzung |Du|^{− \frac{1}{k}} ∈ L_{loc}^{1}(Ω), ist H^{n+1}({u = t_{0}}) = 0, und somit konvergiert E_{t} → E_{t_{0}} für t ↗ t_{0}, insbesondere E_{t} ∩ F → E_{t_{0}}, woraus wieder anhand der Unterhalbstetigkeit folgt, dass

J_{u}(E_{t_{0}}) ⩽ J_{u}(F) .
□

Damit die Definition 3.1 sinnvoll ist, muss natürlich gewährleistet sein, dass im Falle eines glatten Flusses diese Bedingungen erfüllt sind.

Lemma 3.3 Sei (N_{t})_{c⩽t⩽d} eine glatte Familie von Hyperflächen enthalten in Ω×ℝ mit strikt positiver, gleichmäßig beschränkter mittlerer Krümmung, die den H^{k}-Fluss im klassischen Sinne löst. Es sei W die vom Fluss (N_{t})_{c⩽t⩽d} überstrichene Menge, und sei auf W die Funktion u durch u = t auf N_{t} mit E_{t} := {u > t} definiert. Dann minimieren die E_{t} das Funktional J_{u} in W für alle t ∈ [c, d].

Beweis: Die äußere Normale, definiert durch ν_{u} := −\frac{Du}{|Du|}, ist ein glattes Vektorfeld auf W mit div(ν_{u}) = H_{N_{t}} = |Du|^{− \frac{1}{k}} > 0 . Für eine Menge F mit F △ E_{t} ⊂ K ⋐ W erhalten wir mit dem Divergenzsatz und indem wir ν_{u} als Kalibrierung benutzen:

|∂^{∗}E_{t} ∩ K| − ∫_{E_{t}∩K} |Du|^{− \frac{1}{k}} dx = ∫_{∂^{∗}E_{t}∩K} ν_{∂E_{t}} · ν_{u} dH^{n+1} − ∫_{E_{t}∩K} |Du|^{− \frac{1}{k}} dx

= ∫_{∂^{∗}E_{t}∩\overline{F}} ν_{∂E_{t}} · ν_{u} dH^{n+1} + ∫_{∂^{∗}E_{t}\F} ν_{∂E_{t}} · ν_{u} dH^{n+1} − ∫_{E_{t}∩K} |Du|^{− \frac{1}{k}} dx

= ∫_{∂^{∗}F_{t}\E_{t}} ν_{∂^{∗}F} · ν_{u} dH^{n+1} − ∫_{F \E_{t}} |Du|^{− \frac{1}{k}} dx + ∫_{∂^{∗}F ∩\overline{E_{t}}} ν_{∂^{∗}F} · ν_{u} dH^{n+1}

+ ∫_{E_{t}\F} |Du|^{− \frac{1}{k}} dx − ∫_{E_{t}∩K} |Du|^{− \frac{1}{k}} dx

= ∫_{∂^{∗}F ∩K} ν_{∂^{∗}F} · ν_{u} dH^{n+1} − ∫_{F ∩K} |Du|^{− \frac{1}{k}} dx ⩽ |∂^{∗}F ∩ K| − ∫_{F ∩K} |Du|^{− \frac{1}{k}} dx .

□

3.2 Elliptische Regularisierung

In diesem Abschnitt beweisen wir mit Hilfe elliptischer Regularisierung die Existenz approximativer Lösungen zu (⋆). In Abschnitt 3.3 werden wir dann zeigen können, dass wir im Limes ε → 0 eine schwache Superlösung im Sinne von Definition 3.1 erhalten. Wie in [ES91] und [HI98] ist die Approximation von (⋆) durch die quasilineare elliptische partielle Differentialgleichung

(⋆)_{ε} \{ \begin{matrix}div(\frac{Du^{ε}}{\sqrt{ε^{2}+|Du^{ε}|^{2}}} ) = −(ε^{2} + |Du^{ε}|^{2})^{− \frac{1}{2k}} auf Ω \\ u^{ε} = 0 auf ∂Ω \end{matrix}

der Schlüssel zur Existenz einer schwachen Lösung. Dieser Differentialgleichung können wir eine geometrische Interpretation geben. Indem wir w^{ε} := \frac{1}{ε}u^{ε} definieren, erfüllt w^{ε}:

(⋆⋆)_{ε} \{ \begin{matrix}div(\frac{Dw^{ε}}{\sqrt{1+|Dw^{ε}|^{2}}} ) = −ε^{− \frac{1}{k}} (1 + |Dw^{ε}|^{2})^{− \frac{1}{2k}} auf Ω \\ w^{ε} = 0 auf ∂Ω. \end{matrix}

Diese Gleichung sagt aus, dass die translatierenden Graphen

N_{t}^{ε} := graph(w^{ε} − \frac{t}{ε}), −∞ < t < ∞

den H^{k}-Fluss auf Ω×ℝ lösen. Dies sieht man leicht, indem man

U^{ε}(x′, t) := u^{ε}(x) − εz, x′ := (x, z) ∈ Ω×ℝ  (15)

definiert, so dass N_{t}^{ε} = {U^{ε} = t}. Unter der Annahme, dass u^{ε} glatt ist, erfüllt U^{ε} die Gleichung (⋆).

Sei angenommen, die approximativen Lösungen u^{ε} konvergieren in einem passenden Sinne im Limes ε → 0 zu einer schwachen Lösung u mit den Niveaumengen

Γ_{t} := {u = t} .

Die grundsätzliche Idee ist, dass die möglicherweise singuläre Evolution {Γ_{t}}_{0⩽t⩽T} im ℝ^{n} approximiert wird durch die glatte Evolution {N_{t}^{ε}}_{t∈ℝ} im ℝ^{n+1}, und zwar in dem Sinne, dass für ein 0 < t < T, N_{t}^{ε} ≈ N_{t} := Γ_{t} × ℝ für hinreichend kleines ε > 0.

Um die Existenz einer Lösung zu (⋆)_{ε} zu zeigen, benötigen wir a-priori Abschätzungen.

Lemma 3.4 Sei u^{ε} eine C^{2}-Lösung zu (⋆)_{ε} und diam(Ω) = R. Dann ist

sup_{Ω} |u^{ε}| ⩽ C(R, k) .

Beweis: Wir zeigen, dass

γ(r) := \frac{σ}{ε} (R_{0}^{k+1} − r^{k+1})

für hinreichend großes σ > 0 eine Superlösung zu (⋆⋆)_{ε} ist. Dabei sei Ω ⊂ B(x_{0}, R_{0}), x_{0} ∉ Ω, d(x_{0}, Ω) ⩾ 1, r := |x − x_{0}|. Es wäre also zu zeigen, dass

(δ_{ij} − \frac{D_{i}γD_{j}γ}{1 + |Dγ|^{2}} )D_{i}D_{j}γ ⩽ −ε^{− \frac{1}{k}} (1 + |Dγ|^{2})^{\frac{k−1}{2k}}  (16)

auf Ω. Sei o.B.d.A x_{0} = 0. Aus

\begin{aligned}D_{i}γ & = −\frac{σ}{ε} (k + 1)r^{k−1}x_{i} \\ |Dγ|^{2} & = (\frac{σ}{ε} (k + 1))^{2}r^{2k} \\ D_{i}D_{j}γ & = −(\frac{σ}{ε} (k + 1)r^{k+1})δ_{ij} − \frac{σ}{ε} (k + 1)(k − 1)r^{k−3}x_{i}x_{j} \end{aligned}

erhalten wir äquivalent zu (16):

\frac{1}{1 + |Dγ|^{2}} (\frac{σ}{ε} k(k + 1)r^{k−1}) + \frac{σ}{ε} n(k + 1)r^{k−1} ⩾ ε^{− \frac{1}{k}} (1 + |Dγ|^{2})^{\frac{k−1}{2k}} .  (17)

Für k ⩾ 1 ist 0 ⩽ \frac{k−1}{2k} ⩽ \frac{1}{2}, und wegen (a + b)^{α} ⩽ a^{α} + b^{α} für a, b ⩾ 0, 0 ⩽ α ⩽ 1 ergibt sich für 0 < ε ⩽ 1:

\begin{aligned}ε^{− \frac{1}{k}} (1 + |Dγ|^{2})^{\frac{k−1}{2k}} & ⩽ ε^{− \frac{1}{k}} (1 + (k + 1)^{\frac{k−1}{k}} (\frac{σ}{ε} )^{\frac{k−1}{k}} r^{k−1}) \\ & ⩽ \frac{1}{ε}r^{k−1}(1 + (k + 1)σ^{\frac{k−1}{k}}) . \end{aligned}

Wird also σ so groß gewählt, dass

(1 + (k + 1)σ^{\frac{k−1}{k}}) ⩽ σ(k + 1)n ,

so ist (17) erfüllt.

Für k < 1 genügt es zu zeigen, dass

ε^{− \frac{1}{k}} ⩽ (1 + |Dγ|^{2})^{\frac{1−k}{2k}} (\frac{σ}{ε} n(k + 1)r^{k−1}) .

Wegen r ⩾ 1 erhalten wir aber

(1 + |Dγ|^{2})^{\frac{1−k}{2k}} (\frac{σ}{ε} n(k + 1)r^{k−1}) ⩾ (\frac{σ}{ε} )^{\frac{1}{k}} (k + 1)^{\frac{1}{k}} n .

Damit wäre für σ ⩾ ((k + 1)n^{k})^{−1} die Bedingung (17) erfüllt.

Da nach dem Maximumprinzip w^{ε} ⩾ 0 und γ|_{∂Ω} ⩾ 0 ist, folgt ebenfalls mit dem Maximumprinzip die Schranke an sup |w^{ε}|.

□

Aus dem nächsten Lemma ergeben sich a-priori Schranken an den Gradienten von u^{ε}.

Lemma 3.5 Es sei H(∂Ω) ⩾ δ_{0} > 0. Dann ist

|Du^{ε}| ⩽ (R, δ_{0}, C^{2}(∂Ω)),

mit R = diam(Ω).

Beweis: Wir konstruieren Barrieren am Rand für (⋆⋆)_{ε} der Form

v(x) = Ψ(d), mit d(x) = dist(x, ∂Ω)

in einer Umgebung V := {0 ⩽ d(x) < α_{0}}, in der d glatt ist. Zusätzlich sei α_{0} > 0 so klein gewählt, dass

α_{0} sup_{∂Ω} |A| < \frac{1}{2} auf V,  (18)

wobei |A| hier die Norm der zweiten Fundamentalform von ∂Ω bezeichne. Nach Lemma 14.17 in [GT83] gilt für x_{0} ∈ V:

[D^{2}d(x_{0})] = diag[\frac{−λ_{1}}{1 − λ_{1}d}, …, \frac{−λ_{n}}{1 − λ_{n}d}, 0]

bezüglich eines Normalkoordinatensystems in y_{0} mit d(x_{0}) = |x_{0} −y_{0}|, y_{0} ∈ ∂Ω. Mit (18) erhalten wir

Δd(x_{0}) = −H(y_{0}) − ∑_{i=1}^{n} \frac{λ_{i}^{2}d}{1 − λ_{i}d} ⩽ −H(y_{0}) ⩽ −δ_{0} .  (19)

Notwendige Bedingung für eine Superlösung von (⋆⋆)_{ε} ist

Qv := ((1 + |Dv|^{2})δ_{ij} − D_{i}vD_{j}v)D_{i}D_{j}v + ε^{− \frac{1}{k}} (1 + |Dv|^{2})^{\frac{3k−1}{2k}} ⩽ 0 .

Für unseren Ansatz v(x) = Ψ(d) ist wegen D_{i}dD_{j}D_{i}d = 0

QΨ(d) ⩽ −Ψ′(1 + (Ψ′)^{2})δ_{0} + Ψ′′ + ε^{− \frac{1}{k}} (1 + (Ψ′)^{2})^{\frac{3k−1}{2k}} .  (20)

Unter der Voraussetzung Ψ′ ⩾ max \{1, \frac{4^{k}}{δ_{0}^{k}ε}\}, 0 < ε ⩽ 1, folgt dann

QΨ(d) ⩽ −Ψ′ − (Ψ′)^{3}δ_{0} + Ψ′′ + δ_{0}(Ψ′)^{3} ⩽ −Ψ′δ_{0} + Ψ′′ .

Damit ist für o.B.d.A. δ_{0} ⩽ 1

Ψ(d) := \frac{4^{k}a}{δ_{0}^{k}ε}d ,

und a ⩾ 1 eine Superlösung auf V. Wenn wir nun a hinreichend groß wählen, so dass

\frac{4^{k}a}{δ_{0}^{k}ε}α ⩾ \frac{1}{ε}C(R, k)

ist, wobei C(R, k) die Konstante aus Lemma 3.4 bezeichne, dann ist Ψ(d) ⩾ w^{ε} auf ∂V und wir erhalten

|Dw^{ε}||_{∂Ω} ⩽ \frac{1}{ε}C(R, k, α) .

Sei nun τ der n+2-te Einheitsvektor in Ω×ℝ ⊂ ℝ^{n+1}×ℝ. Dann gilt für v := ⟨ν, τ⟩^{−1} auf graph(w^{ε}):

Δv = 2v^{−1}|∇v|^{2} + |A|^{2}v − v^{2}⟨∇H, τ⟩ .

Wegen v = \sqrt{ε^{2} + |Dw^{ε}|^{2}} liefert (⋆⋆)_{ε}:

H(w^{ε}) = H(v) = ε^{− \frac{1}{k}} v^{− \frac{1}{k}}

und somit

∇H = −\frac{1}{k}ε^{− \frac{1}{k}} v^{− \frac{k+1}{k}} ∇v .

Man sieht, dass

−Δv + 2v^{−1}|∇v|^{2} + |A|^{2}v + \frac{1}{k}ε^{− \frac{1}{k}} v^{\frac{k−1}{k}} ⟨∇v, τ⟩ = 0,

womit wir nach dem Maximumprinzip erhalten, dass

max_{Ω} |Dw^{ε}| = max_{∂Ω} |Dw^{ε}| .

□

Mit Hilfe der a-priori Abschätzungen sind wir nun in der Lage, die Existenz von Lösungen zu (⋆)_{ε} zu beweisen. Dazu studieren wir Lösungen zu folgender Familie von Gleichungen:

(⋆)_{ε,τ} \{ \begin{matrix}div(\frac{Du^{ε,τ}}{\sqrt{ε^{2}+|Du^{ε,τ} |^{2}}} ) = −τ (ε^{2} + |Du^{ε,τ}|^{2})^{− \frac{1}{2k}} auf Ω \\ u^{ε,τ} = 0 auf ∂Ω \end{matrix}

für 0 ⩽ τ ⩽ 1 und 0 < ε ⩽ 1.

Lemma 3.6 (Approximative Existenz) Sei Ω ⊂ ℝ^{n+1}, Ω offen und beschränkt, sowie ∂Ω glatt und H(∂Ω) ⩾ δ_{0} > 0. Dann existiert zu jedem 0 < ε ⩽ 1, 0 ⩽ τ ⩽ 1 eine glatte Lösung u^{ε,τ} mit Schranken

|u^{ε,τ}| ⩽ C(δ_{0}, k, R), |Du^{ε,τ}| ⩽ C(δ_{0}, k, R)

unabhängig von ε, τ; R = diam(Ω).

Beweis: Gleichmäßige Abschätzungen an sup |u^{ε}| und sup |Du^{ε}|, unabhängig von ε, τ folgen völlig analog wie in Lemma 3.4 und Lemma 3.5. Um die Existenz von Lösungen zu zeigen, wollen wir die Kontinuitätsmethode auf (⋆)_{ε,τ} für 0 ⩽ τ ⩽ 1 anwenden. Sei ε > 0 fest gewählt, u^{τ} := u^{ε,τ}; wir schreiben (⋆)_{ε,τ} in der Form

F^{τ}(u^{τ}) := div(\frac{Du^{τ}}{\sqrt{ε^{2} + |Du^{τ}|^{2}}} ) + \frac{τ}{(ε^{2} + |Du^{τ}|^{2})^{\frac{1}{2k}}} = 0

mit u^{τ} = 0 auf ∂Ω. Die Abbildung

F : C_{0}^{2,α}(\overline{Ω}) × ℝ → C^{α}(\overline{Ω}) ,

definiert durch F (v, τ) := F^{τ}(v), ist C^{1} und hat die eindeutige Lösung F (0, 0) = 0. Sei

S := \{τ|τ ∈ [0, 1], (⋆)_{ε,τ} hat ein Lösung u^{ε,τ} ∈ C^{2,α}(\overline{Ω})\} .

Offensichtlich ist 0 ∈ S. Wir wollen zeigen, dass S offen wie auch abgeschlossen ist.

Sei τ ∈ S und u^{τ} die zugehörige Lösung von (⋆)_{ε,τ}. Für die Linearisierung von F^{τ} um u^{τ} erhalten wir in Richtung h ∈ C_{0}^{2,α}(\overline{Ω}):

\begin{aligned}DF^{τ} |_{u^{τ}} (h) = & \frac{1}{\sqrt{ε^{2} + |Du^{τ}|^{2}}} (δ_{ij} − \frac{D_{i}u^{τ}D_{j}u^{τ}}{ε^{2} + |Du^{τ}|^{2}} )D_{i}D_{j}h + D_{i}(\frac{1}{\sqrt{ε^{2} + |Du^{τ}|^{2}}} )D_{i}h \\ & − D_{i}(\frac{D_{i}u^{τ}D_{j}u^{τ}}{(ε^{2} + |Du^{τ}|^{2})^{\frac{3}{2}}} )D_{j}h − \frac{τ}{k} \frac{D_{i}u^{τ}}{(ε^{2} + |Du^{τ}|^{2})^{\frac{1}{2k} +1}} D_{i}h . \end{aligned}

Damit hat die Linearisierung L(h) := DF^{τ} |_{u^{τ}} (h) : C_{0}^{2,α}(\overline{Ω}) → C^{α}(\overline{Ω}) die Form

Lh = a^{ij}D_{i}D_{j}h + b^{i}D_{i}h

mit λ|ξ|^{2} ⩽ a^{ij}(x)ξ_{i}ξ_{j} ⩽ Λ|ξ|^{2}, λ, Λ > 0, wobei die Koeffizienten {a^{ij}} von der Klasse C^{1,α}(\overline{Ω}) und die Koeffizienten \{b^{i}\} von der Klasse C^{α}(\overline{Ω}) sind. Nach Theorem 6.14 in [GT83] ist L bijektiv. Die Schauder-Abschätzungen, Theorem 6.6 [GT83], zusammen mit Theorem 3.7 [GT83] zeigen, dass L^{−1} stetig ist. Mit dem impliziten Funktionensatz erhalten wir Lösungen von (⋆)_{ε,τ} auf einem Intervall (τ − δ, τ + δ), δ > 0. Insbesondere ist S somit offen.

Wir wollen nun zeigen, dass S ebenso abgeschlossen ist. Dafür sei u^{τ} wieder eine Lösung von (⋆)_{ε,τ}. Mit Hilfe der Nash-Moser-DeGiorgi Abschätzungen, Theorem 13.2 [GT83], und den a-priori Schranken, ergeben sich gleichmäßige Schranken an ∥u^{τ}∥_{C^{1,α}}, unabhängig von τ. Mit den Schauder-Abschätzungen folgt

∥u^{τ}∥_{C^{2,α}} ⩽ C(ε) ,

unabhängig von τ. Mit Hilfe von Arzela-Ascoli sieht man, dass S geschlossen ist. Aus den höheren Schauder-Abschätzungen folgt die Glattheit der Lösungen. □

Um sie später teilweise in den Limes übertragen zu können, wollen wir nun einige geometrische Eigenschaften des approximierenden Flusses studieren.

Wir verwenden die folgende Notation: u^{ε} sei eine Lösung zu (⋆)_{ε} auf Ω, w^{ε} := \frac{1}{ε}u^{ε}. Nach (⋆⋆)_{ε} sind die Flächen N_{t}^{ε} ⊂ Ω×ℝ,

N_{t}^{ε} := graph(w^{ε}(x) − \frac{t}{ε}), −∞ < t < ∞,  (21)

translatierende Lösungen des H^{k}-Flusses auf Ω×ℝ. Diese Graphen sind Niveaumengen der Funktion

U^{ε}(x, z) := u^{ε}(x) − εz,  (22)

mit U^{ε} : Ω × ℝ → ℝ und N_{t}^{ε} = {U^{ε} = t}. Analog wie bei Caccioppoli-Mengen definieren wir

|∂^{∗}N_{t}^{ε} ∩ K| = (H^{n+1} L N_{t}^{ε})(K) := H^{n+1}(N_{t}^{ε} ∩ K)

für K ⊂ Ω×ℝ.

Bemerkung 3.7 Da die Graphen N_{t}^{ε} den H^{k}-Fluss glatt lösen und ihre mittlere Krümmung beschränkt ist, ist die Funktion U^{ε} nach Lemma 3.3 eine schwache Lösung des Funktionals J_{U^{ε}} auf Ω×ℝ.

Die nächsten drei Lemmata sind direkte Konsequenzen aus dem Variationsprinzip.

Lemma 3.8 Die Mengen E_{t}^{ε} sind strikt minimierend von außen in Ω×ℝ, das heißt

|∂^{∗}E_{t}^{ε} ∩ K| < |∂^{∗}F ∩ K|

für F mit E_{t}^{ε} ⊂ F, F \ E_{t}^{ε} ⊂ K ⋐ Ω×ℝ, und H^{n+2}(F \ E_{t}^{ε}) > 0.

Beweis: Mit Bemerkung 3.7 erhalten wir

|∂^{∗}E_{t}^{ε} ∩ K| + ∫_{(F \E_{t}^{ε})∩K} |DU^{ε}|^{− \frac{1}{k}} dx ⩽ |∂^{∗}F ∩ K|  (23)

□

Lemma 3.9 (Massenschranke) Es sei K′ := Ω × [0, 1]. Dann ist

|N_{t}^{ε} ∩ K′| ⩽ H^{n}(∂Ω) + 2H^{n+1}(Ω)

für alle −∞ < t < ∞, 0 < ε ⩽ 1.

Beweis: Sei M_{i} ⊂ Ω eine Folge von glatten, geschlossenen Hyperflächen, die ∂Ω von innen approximiert mit H^{n}(M_{i}) → H^{n}(∂Ω), sowie V_{i} → Ω, V_{i} das von M_{i} berandete Volumen. Sei

F := E_{t}^{ε} ∪ (V_{i} × [0, 1]),  (24)

dann liefert Lemma 3.8 die gewünschte Abschätzung für i → ∞. □

Lemma 3.10 Sei K′ := Ω × [0, 1] und T_{ε}^{+} := sup_{K′} U^{ε}, T_{ε}^{−} := inf_{K′} U^{ε}. Dann ist

∫_{T_{ε}^{−}}^{T_{ε}^{+}}∫_{N_{t}^{ε}∩K′} |H_{t}^{ε}|^{k+1} dH^{n+1}dt ⩽ H^{n}(∂Ω) + 2H^{n+1}(Ω) ,  (25)

wobei H_{t}^{ε} die mittlere Krümmung von N_{t}^{ε} bezeichne.

Beweis: Indem wir F wie in (24) definieren, erhalten wir wie in Lemma 3.9

|∂^{∗}E_{t}^{ε} ∩ K′| + ∫_{K′\E_{t}^{ε}} |DU^{ε}|^{− \frac{1}{k}} dx ⩽ H^{n}(∂Ω) + 2H^{n+1}(Ω)

und wegen lim_{t→T_{ε}^{+}} |∂^{∗}E_{t}^{ε} ∩ K′| = 0,

∫_{K′} |DU^{ε}|^{− \frac{1}{k}} dx ⩽ H^{n}(∂Ω) + 2H^{n+1}(Ω) .  (26)

Anhand der Koflächenformel und (⋆⋆)_{ε} folgt dann

∫_{K′} |DU^{ε}|^{− \frac{1}{k}} dx = ∫_{T_{ε}^{−}}^{T_{ε}^{+}}∫_{N_{t}^{ε}∩K′} |DU^{ε}|^{− \frac{k+1}{k}} dH^{n+1}dt = ∫_{T_{ε}^{−}}^{T_{ε}^{+}}∫_{N_{t}^{ε}∩K′} |H_{t}^{ε}|^{k+1} dH^{n+1}dt .

□

Bemerkung 3.11 Die Massenschranke an N_{t}^{ε} lässt sich durch geeignete Wahl einer Testfunktion auch direkt aus der partiellen Differentialgleichung (⋆⋆)_{ε} gewinnen. Ebenso erhält man die Aussage von Lemma 3.10 aus der Evolutionsgleichung

\frac{∂}{∂t}dμ = −H^{k+1}dμ

des Maßes dμ unter dem H^{k}-Fluss.

3.3 Eigenschaften des schwachen Flusses

Einige der Ergebnisse des vorangegangenen Abschnitts lassen sich nun im Limes ε → 0 auf den ”Grenzfluss ”übertragen. Aufgrund der gleichmäßigen Abschätzungen an sup |u^{ε}| und sup |Du^{ε}| können wir eine Folge ε_{i} → 0 auswählen, so dass

u^{ε_{i}} → u

gleichmäßig auf \overline{Ω}. Obwohl wir erst später zeigen werden, dass u eine schwache Superlösung im Sinne von Definition 3.1 auf Ω ist, wollen wir dem vorgreifend schon jetzt u als schwachen H^{k}-Fluss bezeichnen.

Da u^{ε_{i}} → u konvergiert, gilt auch

U^{ε_{i}} → U

lokal gleichmäßig auf Ω×ℝ, für U : Ω×ℝ → ℝ : (x, z) ↦ u(x). Es ist für E_{t} := {u > t} ⊂ Ω und E′_{t} := {U > t} ⊂ Ω×ℝ,

E′_{t} = E_{t} × ℝ .

Die maximale Existenzzeit des schwachen Flusses sei wie im klassischen Fall mit

T := sup_{Ω} u

bezeichnet. Auf K ⊂ Ω×ℝ, K kompakt, gilt für

T_{ε}^{+} := sup_{K} U^{ε}, T_{ε}^{−} := inf_{K} U^{ε} ,

dass T_{ε}^{+} → T und T_{ε}^{−} → 0. Um die Konvergenz von E_{t}^{ε} → E′_{t} zu untersuchen, benötigen wir das folgende einfache Lemma.

Lemma 3.12 Sei U ⊂ ℝ^{n+1} und (f_{i})_{i⩾1}, f messbare Funktionen mit

f_{i} → f punktweise fast überall.

Ist H^{n+1}({f = τ}) = 0, so konvergiert

χ_{{f_{i}>τ}} → χ_{{f>τ}}

in L_{loc}^{1}(U).

Beweis: Wegen H^{n+1}({f = τ}) = 0 konvergiert χ_{{f_{i}>τ}} → χ_{{f>τ}} punktweise fast überall und damit auch in L_{loc}^{1}(U). □

Theorem 3.13 Der schwache H^{k}-Fluss ist ”non-fattening”, das heißt H^{n+1}({u = τ}) = 0 für alle τ ∈ [0, T].

Beweis: Wir setzen wieder K′ := Ω × [0, 1]. Für zwei beliebige t_{1}, t_{2} ∈ ℝ, t_{1} < t_{2} und 0 < ε ⩽ 1, folgt mit der Koflächenformel:

Vol(E_{t_{1}}^{ε} ∩ K′) − Vol(E_{t_{2}}^{ε} ∩ K′) = ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∫_{N_{t}^{ε}∩K′}(H_{t}^{ε})^{k} dH^{n+1}dt .  (27)

Daraus ergibt sich mit der Hölderschen Ungleichung, sowie Lemma 3.9 und Lemma 3.10:

\begin{aligned}∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∫_{N_{t}^{ε}∩K′}(H_{t}^{ε})^{k} dH^{n+1}dt & ⩽ |t_{2} − t_{1}|^{\frac{1}{k+1}} ( ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ( ∫_{N_{t}^{ε}∩K′}(H_{t}^{ε})^{k} dH^{n+1})^{\frac{k+1}{k}} dt)^{\frac{k}{k+1}} \\ & ⩽ |t_{2} − t_{1}|^{\frac{1}{k+1}} C( ∫_{t_{1}}^{t_{2}} ∫_{N_{t}^{ε}∩K′}(H_{t}^{ε})^{k+1} dH^{n+1}dt)^{\frac{k}{k+1}} \\ & ⩽ C|t_{2} − t_{1}|^{\frac{1}{k+1}} , \end{aligned} (28)

wobei C = C(Ω, ∂Ω, K′), unabhängig von ε. Damit ist

|Vol(E_{t_{1}}^{ε} ∩ K′) − Vol(E_{t_{2}}^{ε} ∩ K′)| ⩽ C|t_{2} − t_{1}|^{\frac{1}{k+1}} .  (29)

Nun ist H^{n+1}({u = τ}) = 0 für alle τ ∈ [0, T] \ J , J abzählbar, und so auch H^{n+2}({U = τ}) = 0 für alle entsprechenden τ. Sei τ_{0} ∈ J ∩ (0, T). Wir wählen Folgen (t_{j}^{−})_{j⩾1}, (t_{j}^{+})_{j⩾1} ⊂ (0, T) \ J mit t_{j}^{−} ↗ τ_{0} und t_{j}^{+} ↘ τ_{0}. Nach Lemma 3.12 gilt

Vol(E_{t_{j}^{+}}^{ε_{i}} ∩ K′) → Vol(E′_{t_{j}^{+}} ∩ K′)

und

Vol(E_{t_{j}^{−}}^{ε_{i}} ∩ K′) → Vol(E′_{t_{j}^{−}} ∩ K′)

für ε_{i} → 0, und damit aus (29)

|Vol(E′_{t_{j}^{−}} ∩ K′) − Vol(E′_{t_{j}^{+}} ∩ K′)| → 0

für j → ∞. Aus

E′_{t_{j}^{−}} → {U ⩾ τ_{0}}; E′_{t_{j}^{+}} → {U > τ_{0}}

erhalten wir

H^{n+2}({U = τ_{0}}) = 0 und H^{n+1}({u = τ_{0}}) = 0 .

Für τ = T wählen wir eine Folge (t_{j}^{−})_{j⩾1} ⊂ (0, T) \ J und t_{j}^{+} > T mit t_{j}^{−} ↗ T, t_{j}^{+} ↘ T. Wegen

Vol(E_{t_{j}^{+}}^{ε_{i}} ∩ K′) → 0

für i → ∞ ergibt sich analog wie zuvor

Vol(E′_{t_{j}^{−}} ∩ K′) → 0

für j → ∞ und folglich H^{n+1}({u = T }) = 0. Analog argumentiert man für τ = 0.

□

Bemerkung 3.14 Die Ungleichung (29) sagt insbesondere aus, dass die Funktion

Vol_{t} : [0, T] → ℝ : t ↦ H^{n+1}(E_{t})

eine hölderstetige Funktion mit Hölderexponent \frac{1}{k+1} ist, sowie dass

lim_{t→T} Vol_{t} = 0 .

Um zu zeigen, dass auch im Limes ε_{i} → 0 die Mengen E_{t} minimierend von außen sind, sind die zwei folgenden Lemmata hilfreich.

Lemma 3.15 Seien E_{1}, E_{2} Caccioppoli-Mengen in U ⊂ ℝ^{n+1}. Dann gilt für jede offene Menge A ⊂ U:

|∂^{∗}(E_{1} ∪ E_{2}) ∩ A| + |∂^{∗}(E_{1} ∩ E_{2}) ∩ A| ⩽ |∂^{∗}E_{1} ∩ A| + |∂^{∗}E_{2} ∩ A|  (30)

Beweis: Seien zuerst f, g glatte Funktionen mit 0 ⩽ f ⩽ 1, 0 ⩽ g ⩽ 1 und sei

ϕ := f + g − f ·g und ψ := f ·g .

Es gilt

|Dϕ| ⩽ (1 − f)|Dg| + (1 − g)|Df| und |Dψ| ⩽ f|Dg| + g|Df| ,

und damit

∫_{A} |Dϕ| + ∫_{A} |Dψ| ⩽ ∫_{A} |Df| + ∫_{A} |Dg| .

Wir wählen zwei Folgen glatter Funktionen in A, {f_{j}}, {g_{j}}, die in L_{1}(A) gegen χ_{E_{1}} und χ_{E_{2}} konvergieren mit

∫_{A} |Df_{j}| → |∂^{∗}E_{1} ∩ A| und ∫_{A} |Dg_{j}| → |∂^{∗}E_{2} ∩ A|.

Da ϕ_{j} → χ_{E∪F} und ψ_{j} → χ_{E∩F} folgt (30) aus der Unterhalbstetigkeit bei L_{loc}^{1}- Konvergenz. □

Lemma 3.16 Sei U ⊂ ℝ^{n+1} eine offene Menge und E_{h} ⊂ U eine Folge von Caccioppoli-Mengen in U, die in L_{loc}^{1}(U) zu E ⊂ U konvergieren. Ist |∂^{∗}E_{h} ∩ K| ⩽ C(K), unabhängig von h für K ⊂ U, K kompakt, sowie die Mengen E_{h} minimierend von außen in U, so ist auch E minimierend von außen in U.

Beweis: Es sei E ⊂ F mit F \ E ⊂ K ⊂ U, K kompakt. Wegen χ_{F ∪E_{h}} → χ_{E} und

χ_{E_{h}} → χ_{E} in L_{loc}^{1}(U \ K), existiert K′ ⊂ U kompakt mit K′^{∘} ⊃ K und ∂K′ glatt, so dass (gegebenenfalls für eine Teilfolge, siehe die nachfolgende Bemerkung)

|∂^{∗}(F ∪ E_{h}) ∩ ∂K′| = |∂^{∗}E_{h} ∩ ∂K′| = 0 ∀h, ∫_{∂K′} |φ_{F ∪E_{h}}^{−} − φ_{E_{h}}^{+}| dH^{n} → 0 . (31)

Dabei bezeichnen φ_{F ∪E_{h}}^{−}, φ_{E_{h}}^{+} die innere, beziehungsweise äußere, Spur von χ_{F ∪E_{h}} und χ_{E_{h}} auf ∂K′. Wir erhalten für F_{h} := E_{h} ∪ (F ∩ K′), vergleiche [Giu84], Prop. 2.8:

|∂^{∗}F_{h} ∩ U| = |∂^{∗}E_{h} ∩ (U \ K′)| + ∫_{∂K′} |φ_{F ∪E_{h}}^{−} − φ_{E_{h}}^{+}| dH^{n} + |∂^{∗}(F ∪ E_{h}) ∩ K′| . (32)

F_{h} ist eine zulässige Vergleichsmenge für E_{h}, damit ist |∂^{∗}E_{h} ∩ U| ⩽ |∂^{∗}F_{h} ∩ U|. Aus (32) folgt

|∂^{∗}(F ∪ E_{h}) ∩ K′| ⩾ |∂^{∗}E_{h} ∩ K′| − ∫_{∂K′} |φ_{F ∪E_{h}}^{−} − φ_{E_{h}}^{+}| dH^{n} .

Aus (30) ergibt sich

|∂^{∗}F ∩ K′| ⩾ |∂^{∗}(E_{h} ∩ F) ∩ K′| − ∫_{∂K′} |φ_{F ∪E_{h}}^{−} − φ_{E_{h}}^{+}| dH^{n} .

Wegen (31) und χ_{E_{h}∩F} → χ_{E} in L_{loc}^{1}, sowie der Unterhalbstetigkeit sieht man, dass

|∂^{∗}F ∩ K′| ⩾ |∂^{∗}E ∩ K′| .

□

Bemerkung 3.17 Um die Existenz einer Menge K′ zu zeigen, die (31) erfüllt, sei

W ⊂ U kompakt mit W^{∘} ⊃ K und ∂W glatt. Es sei d(x) := d(x, W) die Abstandsfunktion zu W. Dann bilden die Hyperflächen M_{t} := {x|d(x) = t} für 0 < t < δ, δ > 0 eine glatte Blätterung einer äußeren Tubenumgebung von ∂W. Analog wie in [Giu84], Remark 2.13, gilt für die inneren und äußeren Spuren φ_{F ∪E_{h},t}^{−} und φ_{E_{h},t}^{+} auf M_{t}:

φ_{F ∪E_{h},t}^{−}(x) = χ_{F ∪E_{h}}(x), φ_{E_{h},t}^{+}(x) = χ_{E_{h}}(x)

H^{n}-fast überall auf M_{t} für fast alle t ∈ (0, δ). Aus der Konvergenz von (χ_{F ∪E_{h}} − χ_{E}) → 0 auf U \ K erhalten wir mit der Koflächenformel:

\begin{aligned}∫_{\{0<d(x)<δ\}} |χ_{F ∪E_{h}} − χ_{E}| dx & = ∫_{\{0<d(x)<δ\}} |φ_{F ∪E_{h},t}^{−} − φ_{E_{h},t}^{+}| dx \\ & = ∫_{0}^{δ} ∫_{M_{t}} |φ_{F ∪E_{h},t}^{−} − φ_{E_{h},t}^{+}|(x) dH^{n}(x) dt → 0 , \end{aligned}

und damit, dass ∫_{M_{t}} |φ_{F ∪E_{h},t}^{−} − φ_{E_{h},t}^{+}|(x) dH^{n}(x) → 0 für fast alle t ∈ (0, δ). Da für

jedes feste h

|∂^{∗}(F ∪ E_{h}) ∩ M_{t}| = |∂^{∗}E_{h} ∩ M_{t}| = 0

für alle bis auf abzählbar viele t, können wir ein t ∈ (0, δ) wählen, so dass (31) erfüllt ist.

Proposition 3.18 Die Mengen E_{t} sind minimierend von außen in Ω für alle t ∈ (0, T).

Beweis: Sei t ∈ (0, T). Nach Lemma 3.13 und Lemma 3.12 konvergiert E_{t}^{ε_{i}} → E′_{t} in L_{loc}^{1}(Ω×ℝ). Die Mengen E_{t}^{ε_{i}} sind nach Lemma 3.8 minimierend von außen und wegen Lemma 3.17 ist dann auch E′_{t} minimierend von außen auf Ω×ℝ.

Wir wollen zeigen, dass auch die Mengen E_{t} minimierend von außen sind. Sei dazu F ⊂ Ω mit E_{t} ⊂ F, F \ E_{t} ⊂ K ⊂ Ω, K kompakt. F′ := F × [−l, l] ist eine zulässige Vergleichsmenge zu E′_{t} und wir erhalten für K′ := K × [−l − 1, l + 1] aus |∂^{∗}E′_{t} ∩ K′| ⩽ |∂^{∗}F′ ∩ K′|:

2(l + 1)|∂^{∗}E_{t} ∩ K| ⩽ 2l|∂^{∗}F ∩ K| + 2H^{n+1}(F \ E_{t})

und daraus im Limes l → ∞,

|∂^{∗}E_{t} ∩ K| ⩽ |∂^{∗}F ∩ K| .
□

Korollar 3.19 Die Funktion [0, T] → ℝ : t ↦ |∂^{∗}E_{t} ∩ \overline{Ω}| ist monoton fallend.

Um weitere Eigenschaften des schwachen Flusses u zu studieren, wollen wir auf Ergebnisse von L.C.Evans und J.Spruck in [ES95] zurückgreifen. Dazu definieren wir

H^{ε} := div(\frac{Du^{ε}}{\sqrt{ε^{2} + |Du^{ε}|^{2}}} ) und  (33)
ν^{ε} := \frac{Du^{ε}}{\sqrt{ε^{2} + |Du^{ε}|^{2}}} ,  (34)

wobei wir H^{ε} als die approximative mittlere Krümmung und ν^{ε} als approximative Normale der Niveaumengen von u verstehen. Unter der Voraussetzung, dass

sup_{0<ε_{i}⩽1} ∫_{Ω} |H^{ε_{i}}| dx < ∞ ,  (35)

haben Evans und Spruck gezeigt, dass nicht nur Du^{ε} ⇀ Du, sondern sogar

|Du^{ε_{i}}| ⇀ |Du| schwach−∗ in L^{∞}(Ω) .

Heuristisch sagt dies aus, dass bei der Konvergenz der Graphen N_{t}^{ε} → N_{t} für fast alle Zeiten t kein Verlust an Flächeninhalt auftritt. Dies impliziert insbesondere, dass sich die Flächen N_{t}^{ε} im Limes ε → 0 nicht ”zusammenfalten ”oder ”übereinanderlegen”. Genau diese Implikation werden wir in einem späteren Abschnitt ausnutzen, um zu zeigen, dass die ”Grenzflächen”N_{t} im Limes fast überall Dichte 1 besitzen.

Lemma 3.20 Sei u^{ε} eine Lösung zu (⋆)_{ε} auf Ω. Dann ist

∫_{Ω} |H^{ε}| dx ⩽ C(|∂Ω|, |Ω|) .

Beweis: Dies ist eine Umformulierung von (26). □

Die genaue Aussage von Evans und Spruck lautet wie folgt:

Theorem 3.21 (Evans/Spruck) Seien v^{ε_{i}} : U → ℝ, U ⊂ ℝ^{n+1}, ε_{i} → 0, eine Folge von Funktionen mit

sup_{ε_{i}} ∥v^{ε_{i}}∥_{L^{∞}(U)} < ∞ , sup_{ε_{i}} ∥|Dv^{ε_{i}}|∥_{L^{∞}(U)} < ∞

und

v^{ε_{i}} → v lokal gleichmäßig
Dv^{ε_{i}} ⇀ Dv schwach−∗ in L^{∞}(U; ℝ^{n+1}) ,

sowie

sup_{ε_{i}} ∥H^{ε_{i}}∥_{L^{1}(U)} < ∞ .

Dann konvergiert auch

|Dv^{ε_{i}}| ⇀ |Dv| schwach−∗ in L^{∞}(U)

ν^{ε_{i}} → ν := \frac{Dv}{|Dv|} in L^{2}(\{|Dv| ≠ 0\}; ℝ^{n+1}) .

Beweis: Siehe [ES95], Kapitel 3. Der Beweis benutzt Methoden der ”Compensated Compactness”. Evans und Spruck beweisen das Resultat für U = ℝ^{n+1}, für U ⊂ ℝ^{n+1} läuft der Beweis analog. □

Da u^{ε_{i}} → u lokal gleichförmig und u^{ε_{i}}, u gleichmäßig lipschitz-stetig sind, konvergiert auch Du^{ε_{i}} ⇀ Du im Sinne von Distributionen auf Ω. Wegen der Kompaktheit in schwach− ∗ L^{∞}(Ω; ℝ^{n+1}) konvergiert auch

Du^{ε_{i}} ⇀ Du schwach−∗ in L^{∞}(Ω; ℝ^{n+1}) .

Wir erhalten mit Theorem 3.21 und Lemma 3.20:

|Du^{ε_{i}}| ⇀ |Du| schwach−∗ in L^{∞}(Ω)  (36)
ν^{ε_{i}} → ν := \frac{Du}{|Du|} in L^{2}(\{|Du| ≠ 0\}; ℝ^{n+1}) .  (37)

Als erste Konsequenz ergibt sich:

Lemma 3.22 Seien u^{ε_{i}} → u, wo u^{ε_{i}} Lösungen von (⋆)_{ε_{i}}sind, wie oben definiert. Dann ist

H^{n+1}({Du = 0}) = 0 .

Beweis: Sei A := {Du = 0} ⊂ Ω. Wegen Lemma 3.20 gilt:

∫_{A} 1 dx = lim_{ε_{i}→0} ∫_{A} \sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}}^{− \frac{1}{k+1}} \sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}}^{\frac{1}{k+1}} dx

⩽ lim sup_{ε_{i}→0} ( ∫_{A} \sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}}^{− \frac{1}{k}} dx)^{\frac{k}{k+1}} · ( ∫_{A} \sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}} dx)^{\frac{1}{k+1}}

⩽ C lim sup_{ε_{i}→0} ( ∫_{A} \sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}} dx)^{\frac{1}{k+1}} .

Aus |\sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}} − |Du^{ε_{i}}|| ⩽ ε_{i} und (36) ergibt sich

H^{n+1}(A) ⩽ C lim sup_{ε_{i}→0} ( ∫_{A} |Du^{ε_{i}}| dx)^{\frac{1}{k+1}} = 0 .

□

Proposition 3.23 Seien u^{ε_{i}} Lösungen zu (⋆)_{ε_{i}} mit ε_{i} → 0,so dass u^{ε_{i}} → u lokal gleichmäßig auf Ω. Dann ist für ϕ ∈ L^{∞}(Ω), ϕ ⩾ 0:

∫_{Ω} ϕ|Du|^{− \frac{1}{k}} dx ⩽ lim inf_{ε_{i}→0} ∫_{Ω} ϕ\sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}}^{\frac{1}{k}} dx

Beweis: Seien ϕ, ψ ∈ L^{∞}(Ω), ϕ, ψ ⩾ 0. Man erhält

∫_{Ω} ϕψ dx = lim_{ε_{i}→0} ∫_{Ω} (ϕ^{\frac{1}{k+1}} ψ\sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}}^{\frac{1}{k+1}} )(ϕ^{\frac{k}{k+1}} \sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}}^{− \frac{1}{k+1}} ) dx

⩽ lim inf_{ε_{i}→0} ( ∫_{Ω} ϕψ^{k+1}\sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}} dx)^{\frac{1}{k+1}} ( ∫_{Ω} ϕ\sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}}^{− \frac{1}{k}} dx)^{\frac{k}{k+1}}

= ( ∫_{Ω} ϕψ^{k+1}|Du| dx)^{\frac{1}{k+1}} lim inf_{ε_{i}→0} ( ∫_{Ω} ϕ\sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}}^{− \frac{1}{k}} dx)^{\frac{k}{k+1}} .

Wir wählen ψ := φ_{m}(|Du|^{− \frac{1}{k}} ) mit φ_{m} : ℝ → ℝ,

φ_{m}(z) = \begin{cases}m & z ⩾ m \\ z & −m ⩽ z ⩽ m \\ −m & z ⩽ −m . \end{cases}

Wegen ψ ⩽ |Du|^{− \frac{1}{k}} erhalten wir aus (38)

( ∫_{Ω} ϕψ dx)^{\frac{k}{k+1}} ⩽ lim inf_{ε_{i}→0} ( ∫_{Ω} ϕ\sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}}^{− \frac{1}{k}} dx)^{\frac{k}{k+1}} ,

woraus mit monotoner Konvergenz folgt, dass für m → ∞:

∫_{Ω} ϕ|Du|^{− \frac{1}{k}} dx ⩽ lim inf_{ε_{i}→0} ∫_{Ω} ϕ\sqrt{ε_{i}^{2} + |Du^{ε_{i}}|^{2}}^{− \frac{1}{k}} dx .

□

Bemerkung 3.24 Analog zu Proposition 3.23 kann man nachprüfen, dass

∫_{K} ϕ|DU|^{− \frac{1}{k}} dx ⩽ lim inf_{ε_{i}→0} ∫_{K} ϕ|DU^{ε_{i}}|^{− \frac{1}{k}} dx  (39)

für K ⊂ Ω×ℝ, K kompakt und ϕ ∈ L^{∞}(Ω×ℝ), ϕ ⩾ 0.

Damit können wir zeigen, dass u eine Superlösung des Funktionals J_{u} ist.

Theorem 3.25 (Existenz) Die Funktion u ist eine Superlösung des Funktionals J_{u} auf Ω mit u = 0 auf ∂Ω.

Beweis: Wir wollen zunächst zeigen, dass die Funktion U die Bedingung (9) auf Ω×ℝ für V ⩾ U, {U ≠ V } ⋐ Ω×ℝ, V ∈ C_{loc}^{0,1}(Ω×ℝ) erfüllt. Sei dafür K ⊂ Ω×ℝ, K kompakt mit {U ≠ V } ⊂ K} und

δ_{i} := max_{K} |U − U^{ε_{i}}| ,

und so konvergiert δ_{i} → 0 für i → ∞. Setze

V_{i} := \{ \begin{matrix}max\{U^{ε_{i}}, v − 2δ_{i}\} & für x ∈ K \\ U^{ε_{i}} & für x ∉ K , \end{matrix}

Es ist V_{i} ∈ C_{loc}^{0,1}(Ω×ℝ), V_{i} ⩾ U^{ε_{i}}, {V_{i} ≠ U^{ε_{i}}} ⊂ K, insbesondere konvergiert V_{i} → V lokal gleichmäßig , V_{i} = U_{i} auf Ω \ {V > U} und

H^{n+1}({DV_{i} ≠ DV } ∩ {V > U}) → 0 .  (40)

Aus Bemerkung 3.7 und Lemma 3.2 erhalten wir

J_{U^{ε_{i}}}^{K}(U^{ε_{i}}) ⩽ J_{U^{ε_{i}}}^{K}(V_{i}) ,

was sich schreiben lässt als

∫_{K} |DU^{ε_{i}}| + (V_{i} − U^{ε_{i}})|DU^{ε_{i}}|^{− \frac{1}{k}} dx ⩽ ∫_{K} |DV_{i}| dx .

Da V_{i} → V und U^{ε_{i}} → U lokal gleichmäßig konvergieren, sowie wegen (26) und Bemerkung 3.24 ist

∫_{K} (V − U)|DU|^{− \frac{1}{k}} dx ⩽ lim inf_{ε_{i}→0} ∫_{K} (V_{i} − U^{ε_{i}})|DU^{ε_{i}}|^{− \frac{1}{k}} dx .

Die Konvergenz von |DU^{ε_{i}}| ⇀ |DU| schwach−∗ in L^{∞}(Ω×ℝ) sowie (40) ergeben zusammen mit der gleichmäßigen Lipschitzstetigkeit von V_{i}, V:

|∫_{K} |DV_{i}|−|DV | dx| ⩽ | ∫_{K\{V >U}} |DU^{ε_{i}}|−|DU| dx|+CH^{n+1}({DV_{i} ≠ DV }∩{V > U}) → 0 .

Zusammenfassend erhalten wir damit

∫_{K} |DU| + (V − U)|DU|^{− \frac{1}{k}} dx ⩽ ∫_{K} |DV | dx .

Dass die Mengen E_{t} das Funktional J_{u} auf Ω minimieren folgt nun aus einer ähnlichen Argumentation wie in Proposition 3.18. □

Bemerkung 3.26 (Eindeutigkeit) Da wir im Limes ε → 0 nicht zeigen können, dass die Funktion u auch eine Sublösung des Funktionals J_{u} ist, bleibt die Frage der Eindeutigkeit solch einer schwachen Lösung zunächst offen. Für den Fall k = 1, das heißt im Fall des mittleren Krümmungsflusses, haben Evans und Spruck jedoch in [ES91] gezeigt, dass u die eindeutige Lösung von (⋆) im Viskositätssinne ist. Dies Resultat impliziert aber nicht, dass u auch eine schwache Lösung des Funktionals J_{u} ist.

3.4 Regularität

Im folgenden Abschnitt soll die Regularität der Niveaumengen {u = t} des schwachen Flusses u untersucht werden.

Wie schon im vorhergehenden Abschnitt gezeigt, sind die Mengen {u > t} von beschränkter Variation für alle t ∈ [0, T]. Weiter werden wir zeigen können, dass für fast alle t

∂^{∗}E_{t} = {u = t}

H^{n}-fast überall. Mit Hilfe der Eigenschaften des approximierenden Flusses folgt, dass die Hyperflächen ∂^{∗}E_{t} für fast alle t eine verallgemeinerte, L^{k+1}(∂^{∗}E_{t})- integrable mittlere Krümmung besitzen. Für den Fall k > n − 1 erhalten wir daraus mit dem Regularitätstheorem von Allard C^{1,α}-Regularität H^{n}-fast überall.

Um die Konvergenz der Graphen N_{t}^{ε_{i}} zu den Zylindern N_{t} genauer studieren zu können, wollen wir die Flächen N_{t}^{ε_{i}} als integer n + 1-rektifizierbare Varifaltigkeiten auffassen. Dabei verstehen wir unter einer integer l-rektifizierbaren Varifaltigkeit ein Tupel V (X, θ). Dieses Tupel besteht aus X, einer H^{l}-messbaren und lrektifizierbaren Teilmenge des ℝ^{n+1}, und θ ∈ L_{loc}^{1}(ℝ^{n+1}, H^{l} L X) mit θ : ℝ^{n+1} → ℤ^{+} ∪ {0} und X = {θ > 0}, H^{l}-fast überall. Das zugeordnete Radonmaß

μ(X, θ) = H^{l} L θ

auf dem ℝ^{n+1} besitzt dann μ-fast überall einen l-dimensionalen Tangentialraum mit positiver, geradzahliger Multiplizität.

Für genauere Definitionen verweisen wir auf das Buch von L.Simon [Sim83]. Eine kürzere, sehr übersichtliche Einführung ist in [Ilm94], Kapitel 1 zu finden.

Wie im vorhergehenden Abschnitt sei ε_{i} → 0 eine Folge, für die u^{ε_{i}} → u gleichmäßig auf Ω und |Du^{ε_{i}}| ⇀ |Du| schwach−∗ in L^{∞}(Ω). Die den Flächen N_{t}^{ε_{i}} zugeordneten Radonmaße auf Ω×ℝ definieren wir als

μ_{t}^{ε_{i}} := H^{n+1} L N_{t}^{ε_{i}} .  (41)

Die nächste Proposition ist teilweise analog zum Beweis des Kompaktheitssatzes 7.1 für Brakke-Flüsse in [Ilm94].

Proposition 3.27 Es existiert eine Teilfolge {μ_{t}^{ε′_{i}}}_{0⩽t⩽T} und eine Familie {μ′_{t}}_{0⩽t⩽T} von Radonmaßen auf Ω×ℝ, sodass gilt:

i) Für alle 0 ⩽ t ⩽ T konvergiert

μ_{t}^{ε′_{i}} ⇀ μ′_{t} .  (42)

ii) Für fast alle t ∈ [0, T] existiert eine Teilfolge (ε′_{j})_{j⩾1} ⊂ (ε′_{i})_{i⩾1}, abhängig von

t, sodass

lim_{j→∞} V (μ_{t}^{ε′_{j}}) = V (μ′_{t})  (43)

im Sinne von Varifaltigkeiten. iii) Insbesondere ist für alle t ∈ B_{3} ⊂ [0, T] mit L^{1}([0, T]\B_{3}) = 0, μ_{t} das einer in-

teger n+1-rektifizierbaren Varifaltigkeit V (X_{t}, θ_{t}) zugeordnete Radonmaß. Die Varifaltigkeiten V (X_{t}, θ_{t}) besitzen eine verallgemeinerte mittlere Krümmung H′_{t}, und es gilt:

∫_{0}^{T}∫_{Ω×[0,1]} |H′_{t}|^{k+1} dμ′_{t} ⩽ lim inf_{ε′_{i}→0} ∫_{0}^{T}∫_{Ω×[0,1]} |H_{t}^{ε′_{i}}|^{k+1} dμ_{t}^{ε′_{i}} ⩽ C(|Ω|, |∂Ω|) . (44)

Der Beweis folgt nach dem nächsten Lemma.

Lemma 3.28 Sei {μ_{t}}_{0⩽t⩽T} eine Familie von Radonmaßen auf Ω×ℝ. Für jedes ϕ ∈ C_{c}^{1}(Ω×ℝ; ℝ^{+}) existiere eine stetige Funktion f_{ϕ}(t) auf [0,T], sodass μ_{t}(ϕ)−f_{ϕ}(t) monoton fallend ist. Dann gilt:

i) Für jedes t existieren der obere und untere Limes, und es gilt:

lim_{s↗t} μ_{s}(ϕ) ⩾ μ_{t}(ϕ) ⩾ lim_{s↘t} μ_{s}(ϕ) .

ii) Es existiert eine Menge B_{2} ⊂ [0, T] mit [0, T] \ B_{2} abzählbar, sodass μ_{t} stetig ist für alle t ∈ B_{2}.

Beweis: Punkt i) folgt direkt aus den Voraussetzungen. Für ii) sei Ψ eine abzählbare, dichte Teilmenge von C_{c}^{1}(Ω×ℝ, ℝ^{+}). Wegen i) existiert für jedes ψ_{i} ∈ Ψ eine Menge B_{ψ} ⊂ [0, T] mit [0, T] \ B_{ψ} abzählbar, sodass μ_{t}(ψ) stetig ist auf B_{ψ}. Setze B_{2} := ⋂_{ψ∈Ψ} B_{ψ}, damit ist μ_{t}(ψ) stetig auf B_{2} für alle ψ ∈ Ψ. Die Aussage folgt dann durch gleichmäßige Approximation. □

Beweis von Prop. 3.27: 1) Sei B_{1} eine abzählbare, dichte Teilmenge von [0, T]. Aufgrund der Massenschranke, Lemma 3.9, und des Kompaktheitssatzes für Radonmaße können wir eine Teilfolge (μ_{t}^{ε′_{i}})_{i⩾1} und ein Radonmaß μ′_{t} auf Ω×ℝ finden, so dass μ_{t}^{ε′_{i}} ⇀ μ′_{t} im Sinne von Radonmaßen. Indem wir sukzessive Teilfolgen auswählen und zu einer Diagonalfolge übergehen, können wir eine einzige Teilfolge, wieder bezeichnet mit {μ_{t}^{ε′_{i}}}_{i⩾1}, auswählen, sodass

μ_{t}^{ε′_{i}} ⇀ μ′_{t} für alle t ∈ B_{1} .

Da die Flächen N_{t}^{ε′_{i}} auf Ω×ℝ den H^{k}-Fluss glatt lösen, erhalten wir aus den Evolutionsgleichungen, Korollar 2.4 für ϕ ∈ C_{c}^{1}(Ω×ℝ), ϕ ⩾ 0:

\begin{aligned}\frac{∂}{∂t}(μ_{t}^{ε′_{i}}(ϕ)) & = − ∫ ⟨∇ϕ, ν⟩H^{k} dμ_{t}^{ε′_{i}} − ∫ ϕH^{k+1} dμ_{t}^{ε′_{i}} \\ & ⩽ C(|∇ϕ|) ∫_{\{ϕ>0\}} H^{k} dμ_{t}^{ε′_{i}} . \end{aligned}

Wir setzen

f_{ϕ}^{ε′_{i}}(t) := C(|∇ϕ|) ∫_{0}^{t}∫_{{ϕ>0}} H^{k} dμ_{τ}^{ε′_{i}} dτ .

Dann ist μ_{t}^{ε′_{i}}(ϕ) − f_{ϕ}^{ε′_{i}}(t) monoton fallend mit f_{ϕ}^{ε′_{i}}(0) = 0. Nach (28) sind die f_{ϕ}^{ε′_{i}}(t) gleichmäßig in C^{0, \frac{1}{k+1}} ([0, T]) beschränkt für alle i. Damit können wir eine Teilfolge auswählen, so dass

f_{ϕ}^{ε′_{i}} → f_{ϕ}

gleichmäßig auf [0, T]. Insbesondere ist μ′_{t}(ϕ)−f_{ϕ}(t) monoton fallend für alle t ∈ B_{1}.

2) Für t ∈ [0, T] \ B_{1} sei (μ_{t}^{ε′_{j}})_{j⩾0} eine konvergente Teilfolge von (μ_{t}^{ε′_{i}})_{i⩾0}, abhängig von t. Wir definieren das Radonmaß μ′_{t} durch

μ′_{t} := lim_{j→∞} μ_{t}^{ε′_{j}} .

Damit ist μ′_{t} definiert für alle t ∈ [0, T]. Indem wir für t ∈ [0, T] \ B_{1} Schritt 1) auf B_{1} ∪ {t} anwenden, erhalten wir, dass

μ′_{t}(ϕ) − f_{ϕ}(t)

monoton fallend ist auf [0, T] für alle ϕ ∈ C_{c}^{1}(Ω×ℝ; ℝ^{+}). Wegen Lemma 3.28 existiert damit eine Teilmenge B_{2} ⊂ [0, T], [0, T] \ B_{2} abzählbar, so dass μ′_{t} stetig ist für t ∈ B_{2}. Für diese t ist μ′_{t} eindeutig bestimmt, unabhängig von der Teilfolge (ε′_{j}), die für dieses t ausgewählt wurde. Folglich konvergiert die gesamte Folge

μ_{t}^{ε′_{i}} ⇀ μ′_{t} für t ∈ B_{2}.

Da [0, T] \ B_{2} abzählbar ist, können wir weitere Teilfolgen auswählen und diagonalisieren, um eine einzige Teilfolge zu erhalten, wieder bezeichnet mit (ε′_{i})_{i⩾1}, so dass lim_{i→∞} μ_{t}^{ε′_{i}} für alle t ∈ [0, T] existiert. Indem wir für t ∈ [0, T] \ B_{2} die alten Maße μ′_{t} durch diese neuen ersetzen, folgt:

μ_{t}^{ε′_{i}} ⇀ μ′_{t} für alle t ∈ [0, T] ,
μ′_{t}(ϕ) − f_{ϕ}(t) ist monoton fallend auf [0, T]

für ϕ ∈ C_{c}^{1}(Ω×ℝ; ℝ^{+}).

3) Nach Lemma 3.10 ist für K′ = Ω × [0, 1]

∫_{0}^{T} ∫_{K′} |H_{t}^{ε′_{i}}|^{k+1} dμ_{t}^{ε′_{i}} dt ⩽ C(|Ω|, |∂Ω|) .  (45)

Und so ist nach dem Lemma von Fatou

lim inf_{ε′_{i}→0} ∫_{K′} |H_{t}^{ε′_{i}}|^{k+1} dμ_{t}^{ε′_{i}} < ∞  (46)

für alle t ∈ B_{3} ⊂ [0, T], L^{1}([0, T] \ B_{3}) = 0. Indem wir die Flächen N_{t}^{ε′_{i}} als Varifaltigkeiten V_{t}^{i} := V (N_{t}^{ε′_{i}}, 1) auffassen, erhalten wir aus (46) mit Hilfe der Hölder-Ungleichung und der Massenschranke, dass für jedes t ∈ B_{3} eine Teilfolge (V_{t}^{j})_{j⩾1}, abhängig von t existiert, so dass die totale Variation auf dieser Teilfolge gleichmäßig beschränkt bleibt:

sup_{j⩾0}|δV_{t}^{j}| < ∞ .

Zusammen mit der Massenschranke folgt dann aus dem Kompaktheitssatz von Allard für integer n + 1-rektifizierbare Varifaltigkeiten, vergleiche [Ilm94], die Existenz einer Teilfolge (V_{t}^{j′}) mit

V_{t}^{j′} → V′_{t}  (47)

im Sinne von Varifaltigkeiten auf K′. Ferner ist V′_{t} wieder integer n+1-rektifizierbar. Zusätzlich konvergieren nach diesem Satz auch die den Varifaltigkeiten zugeordneten Radonmaße auf K′, und so ist μ_{V′_{t}} = μ′_{t}. Wegen (47) und der Unterhalbstetigkeit der totalen ersten Variation ist

|δV′_{t}| ≪ μ′_{t} ,

und so besitzt V′_{t} nach dem Differentiationssatz für Radonmaße eine verallgemeinerte mittlere Krümmung H′_{t}. Da aber (47) auch aussagt , dass

∫ ⟨φ, H_{t}^{ε′_{j}}⟩ dμ_{t}^{ε′_{j}} → ∫ ⟨φ, H′_{t}⟩ dμ′_{t}

für φ ∈ C^{0}(K′; ℝ^{n+2}), folgt mit [Hut86] aus der Konvexität von |x|^{k+1}:

∫_{K′} |H′_{t}|^{k+1} dμ′_{t} ⩽ lim inf_{ε′_{i}→0} ∫_{K′} |H_{t}^{ε′_{i}}|^{k+1} dμ_{t}^{ε′_{i}} .

Wieder mit dem Lemma von Fatou sieht man mit Hilfe von (45):

∫_{0}^{T}∫_{Ω×[0,1]} |H′_{t}|^{k+1} dμ′_{t}dt ⩽ lim inf_{ε′_{i}→0} ∫_{0}^{T}∫_{Ω×[0,1]} |H_{t}^{ε′_{i}}|^{k+1} dμ_{t}^{ε′_{i}}dt ⩽ C(|Ω|, |∂Ω|) .

□

Wir wollen nun eine Verbindung herstellen zwischen der Familie von Radonmaßen {μ′_{t}}_{0⩽t⩽T} und der Familie von Reduzierten Rändern {∂^{∗}E′_{t}}_{0⩽t⩽T}. Dazu bilden die folgenden beiden Lemmata den ersten Schritt.

Lemma 3.29 Sei (μ′_{t})_{0⩽t⩽T} die in Proposition 3.27 konstruierte Familie von Radonmaßen. Es ist

supp(μ′_{t}) ⊂ {U = t}

für alle t ∈ [0, T].

Beweis: Sei t ∈ [0, T] und x ∉ {U = t}. O.B.d.A sei U(x) > t. Dann existiert δ > 0, sodass B_{δ}(x) ⋐ {U > t}. Inbesondere existiert η > 0 mit U|_{B_{δ}(x)} ⩾ t + η. Da U^{ε_{i}} → U lokal gleichmäßig konvergiert, existiert N_{0} ∈ ℕ mit U^{ε_{i}} |_{B_{δ}(x)} ⩾ t + \frac{η}{2} für alle i ⩾ N_{0}. Es ist N_{t}^{ε_{i}} ∩ B_{δ}(x) = ∅ für alle i ⩾ N_{0} und damit

μ_{t}^{ε_{i}}(B_{δ}(x)) = 0 .

Daraus folgt direkt, dass x ∉ supp(μ′_{t}). □

Lemma 3.30 Sei U ⊂ ℝ^{n+1}, U offen und beschränkt, f ∈ C^{0,1}(\overline{U}). Für F_{t} := {f > t} und F_{t}^{+} := {f(x) = t} ist dann ∂^{∗}F_{t} ⊂ F_{t}^{+} und für fast alle t auch

H^{n}(F_{t}^{+} \ ∂^{∗}F_{t}) = 0 .

Beweis: Sei ∥f∥_{∞} ⩽ T. Da C^{0,1}(\overline{U}) ⊂ BV (U) erhalten wir aus der Koflächenformel für BV -Funktionen, vergleiche [EG92]:

∥Df∥(U) = ∫_{−T}^{T} H^{n}(∂^{∗}F_{t}) dt .  (48)

Da f ∈ C^{0,1}(\overline{U}) ⊂ H^{1,∞}(U) ist, gilt

∥Df∥(U) = ∫_{U} |Df| dx < ∞ .

Die Koflächenformel für Lipschitzfunktionen sagt aber andererseits, dass

∫_{U} |Df| dx = ∫_{−T}^{T} H^{n}(F_{t}^{+}) dt .  (49)

Da allgemein für Caccioppoli-Mengen gilt, dass ∂^{∗}F_{t} ⊂ ∂F_{t}, ist auch ∂^{∗}F_{t} ⊂ F_{t}^{+}. Damit ergibt (48) und (49):

∫_{−T}^{T} H^{n}(F_{t}^{+} \ ∂^{∗}F_{t}) dt = 0 ,

womit die Behauptung bewiesen wäre. □

Nun ist es möglich zu zeigen:

Lemma 3.31 Für alle t ∈ B_{4} ⊂ B_{3}, mit L^{1}([0, T] \ B_{4}) = 0 können wir die Varifaltigkeiten V′_{t} schreiben als

V′_{t} = V (∂^{∗}E′_{t}, θ_{t}) = V ({U = t}, θ_{t}) ,

wobei θ_{t} ⩾ 1 H^{n+1}-fast überall auf {U = t}.

Beweis: Nach Lemma 3.30 ist für fast alle t ∈ B_{3}

H^{n+1}({U = t} \ ∂^{∗}E′_{t}) = 0 .

Wir wählen solch ein t. Wegen Lemma 3.12 und Theorem 3.13 konvergiert E_{t}^{ε_{i}} → E′_{t} in L_{loc}^{1}(Ω × ℝ). Aufgrund der Unterhalbstetigkeit des BV -Maßes unter L_{loc}^{1}- Konvergenz folgt im Limes

H^{n+1} L ∂^{∗}E′_{t} ⩽ μ′_{t} ,  (50)

im Sinne von Radonmaßen. Folglich ist supp(H^{n+1} L ∂^{∗}E′_{t}) ⊂ supp(μ′_{t}). Nach Lemma 3.29 ist suppμ′_{t} ⊂ {U = t}. Allgemein ist für Caccioppoli-Mengen ∂^{∗}F ⊂ supp(H^{n+1} L ∂^{∗}F). Da aber H^{n+1}({U = t} \ ∂^{∗}E′_{t}) = 0, ist somit

supp(μ′_{t}) = {U = t} H^{n+1} − fast überall .

Nach (50) ist

\frac{|∂^{∗}E′_{t} ∩ B_{ρ}(x)|}{ω_{n+1}ρ^{n+1}} ⩽ \frac{μ′_{t}(B_{ρ}(x))}{ω_{n+1}ρ^{n+1}}

für alle B_{ρ}(x) ⊂ Ω×ℝ, ω_{n+1} = Vol(B_{1}^{n+1}(0)). Da die n + 1-dimensionale Dichte Θ_{∂^{∗}E′_{t}}^{n+1}(x) = 1 ist für alle x ∈ ∂^{∗}E′_{t}, ist damit auch

Θ_{μ′_{t}}^{n+1}(x) ⩾ 1

für alle x ∈ ∂^{∗}E′_{t}, soweit die Dichte existiert. Da Θ_{μ′_{t}}^{n+1}(x) = θ_{t}(x) μ′_{t}-fast überall, ist das Lemma bewiesen. □

Die Eigenschaft, dass die Mengen E_{t}^{ε} minimierend von außen sind, liefert nun eine obere Dichteschranke für die Maße μ_{t}.

Lemma 3.32 (Dichteschranke) Sei B_{ρ}(x) ⋐ Ω×ℝ. Dann ist

\frac{μ′_{t}(\overline{B}_{ρ}(x))}{ω_{n+1}ρ^{n+1}} ⩽ (n + 2)\frac{ω_{n+2}}{ω_{n+1}}

für alle t ∈ [0, T].

Beweis: Sei t ∈ [0, T] und μ_{t}^{ε′_{i}} ⇀ μ′_{t}. Dann ist

μ′_{t}(B_{ρ}(x)) ⩽ lim inf_{i→∞} μ_{t}^{ε′_{i}}(B_{ρ}(x)) .  (51)

Da μ_{t}^{ε′_{i}}(B_{ρ}(x)) = |∂^{∗}E_{t}^{ε_{i}} ∩ B_{ρ}(x)| und die E_{t}^{ε_{i}} nach Lemma 3.8 minimierend von außen sind, folgt durch Vergleich mit E_{t}^{ε_{i}} ∪ B_{ρ}(x):

μ_{t}^{ε′_{i}}(B_{ρ}(x)) ⩽ (n + 2)ω_{n+2}ρ^{n+1} .

Aus (51) folgt damit für ρ′ = ρ + ε:

μ′_{t}(\overline{B}_{ρ}(x)) ⩽ μ′_{t}(B_{ρ′}(x)) ⩽ (n + 2)ω_{n+2}(ρ′)^{n+1}

und im Limes ε → 0 die Behauptung. □

Da die Eigenschaft

|DU^{ε_{i}}| ⇀ |DU|

heuristisch garantiert, dass sich für fast alle t im Limes die Flächen N_{t}^{ε_{i}} → N_{t} nicht ”übereinanderlegen”oder ”übereinanderfalten”, können wir zeigen, dass

θ_{t} = 1 H^{n+1} − fast überall auf ∂^{∗}E′_{t}

für fast alle t.

Lemma 3.33 Für fast alle t ∈ B_{4} ist θ_{t} = 1, H^{n}-fast überall auf {U = t}, beziehungsweise ∂^{∗}E′_{t}.

Beweis: Sei K′ = Ω × [0, 1] und für U^{ε_{i}} → U:

T_{j}^{+} := sup_{K′} U^{ε_{i}} , T_{j}^{−} := inf_{K′} U^{ε_{i}} .

Nach (36) gilt für ϕ ∈ C_{c}^{0}(K′):

∫ ϕ|DU^{ε_{i}}| dx → ∫ ϕ|DU| dx .  (52)

Mit Proposition 3.27 sieht man aber auch, dass

lim_{i→∞} ∫ ϕ|DU^{ε′_{i}}| dx = lim_{i→∞} ∫_{T_{i}^{−}}^{T_{i}^{+}} μ_{t}^{ε′_{i}}(ϕ) dt = ∫_{0}^{T} μ′_{t}(ϕ) dt .  (53)

Aus (52) und (53) folgt dann mit ϕ_{i} ↗ χ_{K′}:

∫_{0}^{T} μ′_{t}(K′) dt = ∫_{K′} |DU| dx = ∫_{0}^{T} |∂^{∗}E′_{t} ∩ K′| dt .

Da jedoch μ′_{t}(K′) ⩾ |∂^{∗}E′_{t} ∩ K′| für alle t ∈ [0, T], ist μ′_{t}(K′) = |∂^{∗}E′_{t} ∩ K′| für fast alle t ∈ [0, T]. Damit ist nach Lemma 3.31 θ_{t} = 1 H^{n+1}-fast überall auf ∂^{∗}E′_{t} für solche t. □

Bemerkung 3.34 Indem man ausnützt, dass die Mengen E_{t}^{ε_{i}} minimierend von außen sind, ist es mit einem Vergleichsargument möglich, auch ohne (36) zu zeigen, dass θ_{t} = 1 H^{n+1}-fast überall auf {U = t} für fast alle t ∈ B_{4}. Da dies impliziert, dass

μ′_{t}(ϕ) = ∫_{∂^{∗}E′_{t}} ϕ dH^{n+1}

für alle ϕ ∈ C_{c}^{0}(Ω×ℝ) und fast alle t ∈ [0, T], können wir mit Hilfe der Konvergenz von {μ_{t}^{ε′_{i}}}_{0⩽t⩽T} ⇀ {μ′_{t}}_{0⩽t⩽T} folgern, dass

|DU^{ε_{i}}| ⇀ |DU|

im Sinne von Radonmaßen auf Ω×ℝ. Da |DU^{ε_{i}}|, |DU| ⩽ C für alle i, sieht man mit der Kompaktheit in schwach− ∗ L^{∞}(Ω×ℝ), dass

|DU^{ε_{i}}| ⇀ |DU| schwach − ∗ in L^{∞}(Ω×ℝ),

womit auch die Ergebnisse von Lemma 3.22, Proposition 3.23 und Theorem 3.25 folgen würden.

Zusammen mit dem Regularitätstheorem von Allard erhalten wir als ein abschließendes Resultat dieses Abschnitts:

Theorem 3.35 (Regularität) Sei Ω ⊂ ℝ^{n+1} offen und beschränkt mit ∂Ω glatt und H(∂Ω) > δ_{0} > 0. Sei u : Ω → ℝ^{+}, mit u = 0 auf ∂Ω und sup u = T, die in diesem Kapitel konstruierte Superlösung zu (⋆). Es sei Γ_{t} := {u = t}. Dann existiert eine Menge B ⊂ [0, T] mit L^{1}([0, T] \ B) = 0, so dass für alle t ∈ B gilt:

i)

Γ_{t} = ∂^{∗}{u > t} H^{n} − fast überall .  (54)

ii) Die Varifaltigkeiten V_{t} := V (Γ_{t}, 1) besitzen eine verallgemeinerte mittlere

Krümmung

H_{t} ∈ L_{loc}^{k+1}(Γ_{t}; ℝ^{n+1})  (55)

und es ist

∫_{0}^{T}∫_{Ω} |H_{t}|^{k+1} dμ_{t} dt ⩽ H^{n}(∂Ω) .  (56)

iii) Für k > n − 1 sind die Flächen Γ_{t} bis auf eine abgeschlossene Menge A_{t} ⊂ Γ_{t} mit H^{n}(A_{t}) = 0 lokal in C^{1,1− \frac{k+1}{n}} .

Beweis: (i) Wegen Γ_{t} × ℝ = {U = t} folgt diese Aussage direkt aus Lemma 3.31.

(ii) Aus (i), Lemma 3.33, Lemma 3.31 und Proposition 3.27 sehen wir, dass die Varifaltigkeit V′_{t} := V (Γ_{t} × ℝ, 1) für fast alle t eine verallgemeinerte mittlere Krümmung H′_{t} mit

∫_{Ω×[0,1]} |H′_{t}|^{k+1}dμ′_{t} < ∞

besitzt. Aufgrund der Translationssymmetrie ist dann

H′_{t}(x′) = H_{t}(x)  (57)

mit x′ = (x, z) ∈ Ω×ℝ, H^{n+1}−fast überall auf Γ_{t} ×ℝ und H_{t}(x) : Γ_{t} → ℝ^{n+1}. Damit hat die Varifaltigkeit V_{t} := V (Γ_{t}, 1) die verallgemeinerte mittlere Krümmung H_{t}(x), und es ist

∫_{Ω×[0,1]} |H_{t}|^{k+1}dμ_{t} < ∞ .

Dies zeigt (55). Analog wie in Lemma 3.10 können wir zeigen, dass für K′ := Ω × [−l, l] mit T_{j}^{+} := sup_{K′} U^{ε_{i}} und T_{j}^{−} := inf_{K′} U^{ε_{i}} gilt

∫_{T_{j}^{−}}^{T_{j}^{+}} ∫_{Ω×[−l,l]} |H_{t}^{ε′_{i}}|^{k+1} dμ_{t}^{ε′_{i}}dt ⩽ 2l H^{n}(∂Ω) + 2H^{n+1}(Ω) .

Damit folgt aus der Unterhalbstetigkeit von ∫ |H_{t}^{ε′_{i}}|^{k+1} dμ_{t}^{ε′_{i}} im Limes ε′_{i} → 0

∫_{0}^{T}∫_{K′} |H′_{t}|^{k+1} dμ′_{t} dt ⩽ 2l H^{n}(∂Ω) + 2H^{n+1}(Ω) .

Mit (57) folgt dann (56) aus l → ∞.

(iii) Da wir V_{t} für fast alle t bis auf H^{n}-Maß null mit ∂^{∗}E_{t} identifizieren können, existiert nach dem Struktursatz für Caccioppoli-Mengen, vergleiche [Sim83], für alle x ∈ ∂^{∗}E_{t} die Dichte Θ_{V_{t}}^{n}(x) mit

Θ_{V_{t}}^{n}(x) = 1 .  (58)

Nach (56) ist für alle t ∈ B

∫_{Ω} |H_{t}|^{k+1} dμ_{t} < ∞ .

Damit ist das Regularitätstheorem von Allard, siehe [Sim83], anwendbar, und wir erhalten, dass wir Γ_{t} in einer Umgebung eines Punktes x, der (58) erfüllt, als Graph einer C^{1,1− \frac{k+1}{n}} -Funktion über dem Tangentialraum in x schreiben können. □

Als eine weitere Konsequenz aus dem Variationsprinzip für J_{u} lässt sich zeigen:

Proposition 3.36 Für t_{1}, t_{2} ∈ [0, T], t_{1} < t_{2} ist

|∂^{∗}E_{t_{2}}| + ∫_{t_{1}}^{t_{2}}∫_{Ω} |H_{t}|^{k+1} dμ_{t} dt ⩽ |∂^{∗}E_{t_{1}}| .  (59)

Beweis: Seien t^{−}, t^{+} ∈ B, t^{−} < t^{+}. Dann ist für l > 0

F_{i} := E_{t^{+}}^{ε′_{i}} ∪ (E_{t^{−}}^{ε′_{i}} ∩ (Ω × [−l, l])

eine äußere Vergleichsmenge zu E_{t^{+}}^{ε′_{i}}. Da E_{t^{+}}^{ε′_{i}} das Funktional J_{U^{ε′_{i}}} von außen minimiert, erhalten wir mit K := Ω × [−l − 1, l + 1]:

\begin{aligned}|∂^{∗}F_{i} ∩ K| & ⩾ ∫_{(E_{t^{−}}^{ε′_{i}}\E_{t^{+}}^{ε′_{i}})∩(Ω×[−l,l])} |DU^{ε′_{i}}|^{− \frac{1}{k}} dx + |∂^{∗}E_{t^{+}}^{ε′_{i}} ∩ K| \\ & = ∫_{t^{−}}^{t^{+}}∫_{Ω×[−l,l]} |H_{t}^{ε′_{i}}|^{k+1}dμ_{t}^{ε′_{i}} dt + |∂^{∗}E_{t^{+}}^{ε′_{i}} ∩ K| . \end{aligned}

Da mit K′ := Ω × [−l, l]

|∂^{∗}F_{i} ∩ K| − |∂^{∗}E_{t^{+}}^{ε′_{i}} ∩ K| ⩽ |∂^{∗}E_{t^{−}}^{ε′_{i}} ∩ K′| − |∂^{∗}E_{t^{+}}^{ε′_{i}} ∩ K′| + 2H^{n+1}(Ω)

gilt, folgt im Limes ε′_{i} → 0 :

μ′_{t^{+}}(K′) + ∫_{t^{−}}^{t^{+}}∫_{K′} |H′_{t}|^{k+1}dμ′_{t} dt ⩽ μ′_{t^{−}}(K′) + 2H^{n+1}(Ω) .

Indem wir durch 2l teilen, folgt daraus, dass

|∂^{∗}E_{t^{+}}| + ∫_{t^{−}}^{t^{+}}∫_{Ω} |H_{t}|^{k+1}dμ_{t} dt ⩽ |∂^{∗}E_{t^{−}}| + \frac{1}{l}H^{n+1}(Ω) .

Aus l → ∞ ergibt sich (59) für t^{−}, t^{+}. Für beliebige t_{1}, t_{2} ∈ [0, T], t_{1} < t_{2} wählen wir Folgen (t_{j}^{+}), (t_{j}^{−}) ⊂ B mit t_{j}^{−} ↘ t_{1} und t_{j}^{+} ↗ t_{2}. Da die Mengen E_{τ} für alle τ ∈ [0, T] minimierend von außen sind, ist

|∂^{∗}E_{t_{2}}| ⩽ |∂^{∗}E_{t_{j}^{+}}| und |∂^{∗}E_{t_{j}^{−}}| ⩽ |∂^{∗}E_{t_{1}}| .

Die Gleichung (59) folgt dann aus j → ∞. □

Für den glatten H^{k}-Fluß im ersten Kapitel konnten wir zeigen, dass das Minimum der mittleren Krümmung H_{min}(t) := min_{M_{t}} H monoton steigend ist. Damit ist insbesondere H_{min}(t) ⩾ δ_{0} > 0 für alle t.

Eine entsprechende untere Schranke an die mittlere Krümmung für den schwachen Fluß können wir für den Fall k > n − 1 zeigen. Dafür ist noch zu klären, was wir hierbei unter einer unteren Schranke an die mittlere Krümmung verstehen, da für Varifaltigkeiten nur der mittlere Krümmungsvektor definiert ist. Nach einem Resultat von Brakke, [Bra78] §5.8, ist für eine integer n-rektifizierbare Varifaltigkeit V mit lokal beschränkter totaler Variation

H(x)∥ν(x) μ_{V} − fast überall.

Damit können wir eine untere Schranke an H definieren als

⟨−H(x), ν(x)⟩ ⩾ η_{0} > 0 ,

μ_{V} -fast überall.

Proposition 3.37 Sei k > n − 1. Dann ist für ein η_{0} > 0

⟨−H_{t}(x), ν_{t}(x)⟩ ⩾ η_{0} > 0 ,

für alle t ∈ B H^{n}-fast überall auf Γ_{t}.

Beweis: Sei t ∈ B und x ∈ ∂^{∗}E_{t}. Dann ist nach Theorem 3.35 Γ_{t} in einer Umgebung U ⊂ ℝ^{n+1} von x eine C^{1,1− \frac{n}{k+1}} -Hyperfläche. Indem wir, falls notwendig, U etwas verkleinern, können wir das äußere Normalenvektorfeld an Γ_{t} ∩ U zu einem stetigen Vektorfeld X auf U fortsetzen mit X|_{Γ_{t}} = ν_{t}. Sei X_{ε} ∈ C^{1}(U; ℝ^{n+1}) eine differenzierbare Approximation von X mit |X − X_{ε}| ⩽ ε auf U.

Sei φ ∈ C_{c}^{1}(U), φ ⩾ 0. Wir betrachten die Familie von Abbildungen

G_{τ} : U → U : x ↦ x + τφX_{ε}

für τ ∈ [0, δ]. Für hinreichend kleines δ sind alle Abbildungen G_{τ} Diffeomorphismen. Wir definieren die Mengen

F_{τ} := (E_{t} \ U) ∪ (G_{τ}(E_{t} ∩ U)) .

Dann ist für hinreichend kleines ε E_{t} ⊂ F_{τ}, sowie (F_{τ} \ E_{t}) ⋐ U für alle τ ∈ [0, δ]. Wegen |Du|^{− \frac{1}{k}} ⩾ η_{0} > 0 erhalten wir aus Theorem 3.25:

\begin{aligned}|∂^{∗}F_{τ} ∩ U| & ⩾ ∫_{F_{τ} \E_{t}} |Du|^{− \frac{1}{k}} dx + |∂^{∗}E_{t} ∩ U| \\ & ⩾ η_{0} Vol(F_{τ} \ E_{t}) + |∂^{∗}E_{t} ∩ U| . \end{aligned}

Da die Funktionen |∂^{∗}F_{τ} ∩ U| und Vol(F_{τ} \ E_{t}) differenzierbar in τ sind, sieht man, dass

\frac{d}{dτ} |_{τ=0} |∂^{∗}F_{τ} ∩ U| ⩾ η_{0} \frac{d}{dτ} |_{τ=0} Vol(F_{τ} \ E_{t}) .

Regularität 65 Mit dem Transformationssatz erhalten wir

Vol(F_{τ} ∩ U) = ∫_{U∩E_{t}} | det(DG_{τ})| dx .

Aus DG_{τ} = Id_{ℝ^{n+1}} + τD(φX_{ε}) folgt nun

det(DG_{τ}) = 1 + τ tr(D(φX_{ε})) + O(τ^{2}).

Es ergibt sich mit dem Divergenzsatz, dass

\frac{d}{dτ} |_{τ=0} Vol(F_{τ} \ E_{t}) = \frac{d}{dτ} |_{τ=0} Vol(F_{τ} ∩ U) = ∫_{E_{t}∩U} tr(D(φX_{ε})) dx
= ∫_{E_{t}∩U} div(φX_{ε}) dx = ∫_{Γ_{t}} φ⟨X_{ε}, ν⟩ dμ_{t} ,

da φ = 0 auf ∂U. Nach der ersten Variationsformel für rektifizierbare Varifaltigkeiten, siehe [Sim83], folgt für den anderen Term:

\frac{d}{dτ} |_{τ=0} |∂^{∗}F_{τ} ∩ U| = ∫_{Γ_{t}} div_{Γ_{t}}(φX_{ε}) dμ_{t} = − ∫_{Γ_{t}} φ⟨X_{ε}, H_{t}⟩ dμ_{t} .

Insgesamt sehen wir, dass

∫_{Γ_{t}} φ⟨X_{ε}, −H_{t}⟩ dμ_{t} ⩾ η_{0} ∫_{Γ_{t}} φ⟨X_{ε}, ν⟩ dμ_{t} .

Dies liefert im Limes ε → 0:

∫_{Γ_{t}} φ⟨−H_{t}, ν_{t}⟩ dμ_{t} ⩾ η_{0} ∫_{Γ_{t}} φ dμ_{t} ,

für alle φ ∈ C_{c}^{1}(U), φ ⩾ 0, womit die Behauptung bewiesen ist. □

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