Krümmungsabschätzungen für

degenerierte nichtlineare geometrische Evolutionsgleichungen

Dissertation

der Mathematischen Fakultät der Eberhard-Karls-Universität Tübingen zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften

vorgelegt von Sabine Dieter

Geb. Schöttle

aus Dusslingen

betreut von Prof. Dr. Gerhard Huisken

Juni 2002 Tag der mündlichen Qualifikation: 11. Juli 2002 Dekan: Prof. Dr. Wolfgang Knapp 1. Berichterstatter: Prof. Dr. Gerhard Huisken 2. Berichterstatter: Prof. Dr. Frank Loose

für Matthias und Tom

Mathematics is the subject in which we don’t know what we are talking about.

Bertrand Russell

Mein Dank gilt meinem Betreuer Prof. Dr. Gerhard Huisken und den Mitgliedern des Arbeitsbereiches Analysis. Insbesondere danke ich Felix Schulze für die vielen hilfreichen Diskussionen während der Entstehung dieser Arbeit. Außerdem möchte ich meinen Eltern für ihre großartige Unterstützung herzlich danken und meinem Schwiegervater für die zahlreichen Spaziergänge mit Tom. Last but not least gilt mein besonderer Dank meinem Mann Matthias Dieter. Deshalb ist diese Dissertation ihm und unserem Sohn Tom gewidmet.

Zusammenfassung

Wir betrachten in dieser Arbeit n-dimensionale, schwach konvexe Hyperflächen des IR^{n+1} (n ≥ 2), auf denen für ein 2 ≤ k ≤ n das (k − 1)-te elementarsymmetrische Polynom der Hauptkrümmungen positiv ist, und deren Evolution entlang ihrer Normalen mit dem Quotienten des k-ten durch das (k − 1)-te elementarsymmetrische Polynom als Geschwindigkeit. Diese Quotienten besitzen gute algebraische Eigenschaften und sind insbesondere homogen vom Grad 1. Obwohl es sich bei diesen Krümmungsflüssen um voll nichtlineare, degeneriert parabolische Gleichungen handelt, zeigen wir mit Hilfe eines neuen strikten Maximumprinzips für die Geschwindigkeit, dass dieses Anfangswertproblem wohlgestellt ist, und man zumindest für kurze Zeiten eine eindeutige glatte Lösung erhält.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 5 1 Notation und Grundlagen 10 2 Eigenschaften der elementarsymmetrischen

Polynome 12 3 Evolutionsgleichungen 18 4 A priori Abschätzungen für Q_{k}-Flüsse 25 5 Striktes Maximumprinzip für die Geschwindigkeit Q_{k} 33 6 Zylinder 36 7 Zylindersymmetrische Barrieren 41 8 Kurzzeitexistenz 51 9 Konvergenz zu einem Punkt 53 Literatur 56

Einleitung

Die vorliegende Arbeit ist im Bereich der geometrischen Evolutionsgleichungen angesiedelt. Dabei handelt es sich um ein Gebiet der Mathematik, in dem sich Methoden der Differentialgeometrie und der partiellen Differentialgleichungen verbinden und gegenseitig ergänzen. Der Grundgedanke einer geometrischen Evolutionsgleichung besteht darin, die zeitliche Entwicklung einer Fläche durch eine partielle Differentialgleichung zu beschreiben, wohingegen die Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung der Evolution durch geometrische Größen der Fläche zum jeweiligen Zeitpunkt bestimmt sind. Seit mehr als zwanzig Jahren ist dieser Zweig der Mathematik nun schon Gegenstand intensiver Forschung und es gibt mittlerweile eine Vielzahl von Ergebnissen, die wiederum verschiedenste Anwendungen in der Geometrie aber auch in anderen Gebieten haben. Ein sehr modernes Anwendungsgebiet ist beispielsweise das der Bildanalyse, in welchem man versucht, auftretende Probleme durch den Einsatz geometrischer Flüsse, wie zum Beispiel dem Fluss entlang Potenzen der Gauß-Krümmung, zu lösen. Im Wesentlichen handelt es sich dabei um die Glättung der Niveaulinien in Graustufenbildern, was zu einer Elimination des Rauschens ohne signifikanten Informationsverlust führen soll. Diese Methode wird unter anderem in [AGLM] ausführlich beschrieben.

In vielen Fällen wird eine Evolution von Hyperflächen des IR^{n+1} betrachtet, bei der die Fläche abhängig von einer bestimmten skalaren Krümmungsgröße in Richtung ihrer inneren Normalen bewegt wird. Von besonderem Interesse ist aufgrund seiner Analogie zur klassischen Wärmeleitungsgleichung der sogenannte mittlere Krümmungsfluss, bei dem als Geschwindigkeit die mittlere Krümmung der Fläche eingesetzt wird. Da dieser Fluss bereits von verschiedenen Autoren studiert wurde, ist das Wissen über Regularität, Langzeitexistenz und asymptotisches Verhalten in diesem Fall schon weit fortgeschritten. G. Huisken hat beispielsweise in [H84] gezeigt, dass in Dimension n ≥ 2 geschlossene, konvexe Flächen unter diesem Fluss nach geeigneter Reskalierung gegen eine runde Sphäre konvergieren. Entsprechende Resultate im 1-dimensionalen Fall, also für die Evolution konvexer Kurven stammen von M.E. Gage und R. Hamilton und für eingebettete Kurven von M. Grayson (siehe [GH] beziehungsweise [Gra]). Außerdem haben G. Huisken und K. Ecker in [EH1] und [EH2] Ergebnisse über Regularität und Langzeitexistenz beliebiger Flächen erhalten, die als Graph geschrieben werden können. Eine physikalische Bedeutung kommt dem mittleren Krümmungsfluss unter anderem bei der Beschreibung der Evolution von Phasengrenzen in bestimmten Metallschmelzen zu (siehe [AC]).

Ein weiterer Fluss, der bereits ausführlich untersucht wurde, ist der sogenannte Gauß-Fluss. Wie der Name bereits vermuten lässt, wird hierbei die Gauß-Krümmung der Fläche als Geschwindigkeit eingesetzt. Der Gauß-Fluss wurde zuerst 1974 von W.J. Firey in [Fir] als Modell für den Abtragungsprozess von Kieselsteinen an einem Strand eingeführt. Später haben beispielsweise K. Tso und B. Chow (siehe [Tso] beziehungsweise [Cho]) für geschlossene, konvexe Hyperflächen gezeigt, dass diese unter Flüssen entlang gewisser Potenzen der Gauß-Krümmung in endlicher Zeit zu einem Punkt kontrahieren. Eine ausführliche Untersuchung des Gauß-Flusses mit positiven Potenzen unter schwächeren Bedingungen findet man außerdem bei B. Andrews in [A3].

Der mittlere Krümmungsfluss und der Gauß-Fluss sind allerdings nur zwei Beispiele eines breiten Spektrums möglicher Geschwindigkeiten. In [A1] untersuchte B. Andrews auch eine allgemeinere Klasse von Geschwindigkeiten f, die gewisse strukturelle Voraussetzungen erfüllen müssen. All diesen isotropen Krümmungsflüssen ist jedoch die Tatsache gemeinsam, dass die Geschwindigkeit f sinnvoller Weise stets eine homogene, symmetrische Funktion in den Hauptkrümmungen der Fläche sein sollte. Eine Basis dieser symmetrischen Funktionen bilden die aus der Algebra wohlbekannten elementarsymmetrischen Polynome S_{k}. Sie treten ganz natürlich als Koeffizienten eines allgemeinen Polynoms n-ten Grades der Form

P (X) = (X − λ_{1}) · . . . · (X − λ_{n}) = X^{n} − S_{1} X^{n−1} + … + (−1)^{n} S_{n}

auf. Jedes S_{k} ist für 1 ≤ k ≤ n homogen vom Grad k und für λ ∈ IR^{n} definiert als

S_{k}(λ) = ∑_{1≤i_{1}<...<i_{k}≤n} λ_{i_{1}}λ_{i_{2}} · . . . · λ_{i_{k}} .

Wie man sieht, ist die mittlere Krümmung gerade das erste elementarsymmetrische Polynom und der Gauß-Fluss hat als Geschwindigkeit das n-te. Alle anderen dazwischen sind ebenfalls mögliche Kandidaten für entsprechende Krümmungsflüsse. Es stellt sich allerdings heraus, dass sich für Geschwindigkeiten, die homogen vom Grad 1 sind, besonders interessante Eigenschaften ergeben. Das ist ein Grund dafür, dass wir in dieser Arbeit als Geschwindigkeit Quotienten Q_{k} aufeinanderfolgender elementarsymmetrischer Polynome betrachten, die offensichtlich wieder homogen vom Grad 1 sind. Ganz konkret suchen wir eine Familie von Hyperflächen

F : M^{n} × [ 0, T ) → IR^{n+1} ,

die für ein 1 ≤ k ≤ n das folgende Anfangswertproblem löst:

(⋆_{k}) \{ \begin{matrix}\frac{∂}{∂t} F (p, t) & = & − Q_{k}(p, t) · ν(p, t) für alle p ∈ M^{n}, t ≥ 0 \\ F ( · , 0) & = & F_{0} . \end{matrix}

Dabei soll M^{n} eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand, F_{0} : M^{n} → IR^{n+1} eine Einbettung und ν die äußere Normale der Fläche M_{t} := F (M^{n}, t) sein. Außerdem ist die Geschwindigkeit definiert als

Q_{k}(λ) = \frac{S_{k}(λ)}{S_{k−1}(λ)} ,

wobei λ = (λ_{1}, …, λ_{n}) die Hauptkrümmungen der Fläche M_{t} sind und wir S_{0} :≡ 1 setzen. Für k = 1 beschreibt also das Problem (⋆_{k}) genau den mittleren Krümmungsfluss. Das Anfangswertproblem (⋆_{n}) entspricht jedoch nicht dem Gauß-Fluss, sondern dem sogenannten harmonischen mittleren Krümmungsfluss, der unter anderem von B. Andrews in [A1] untersucht wurde. Obwohl diese Q_{k}-Flüsse im Gegensatz zum mittleren Krümmungsfluss, der noch quasilinear ist, voll nichtlinear sind, haben sie trotz dieser schwierigeren Ausgangssituation gewisse Vorteile, die von den guten algebraischen Eigenschaften der S_{k} herrühren. Entscheidend ist vor allem die Tatsache, dass die Q_{k} unter bestimmten Voraussetzungen konkav in den Hauptkrümmungen sind. Das ist auch der ausschlaggebende Punkt bei G. Huisken und C. Sinestrari in [HS] im Beweis dafür, dass für Startflächen mit positiver mittlerer Krümmung die Reskalierungen einer Singularität unter dem mittleren Krümmungsfluss konvex werden. Außerdem scheint es so, als ob diese Quotienten von elementarsymmetrischen Polynomen das beste algebraische Verhalten aufweisen, wenn man die Evolution konvexer Hyperflächen in allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten betrachten will.

Es stellt sich nun natürlich die Frage, unter welchen Bedingungen man glatte Lösungen des Problems (⋆_{k}) erwarten kann. Offenbar muss man, um wenigstens für kurze Zeiten eine Lösung zu erhalten, zuerst sicherstellen, dass der Quotient Q_{k} überhaupt definiert ist. Dazu muss auf jeden Fall S_{k−1} ≠ 0 auf der Startfläche gelten. Es wird sich jedoch zeigen, dass die Quotienten nur dann die gewünschte Konkavität besitzen, wenn man λ ∈ Γ_{k−1} für die Hauptkrümmungen der Fläche M_{0} = F_{0}(M^{n}) fordert. Dabei sind die Mengen Γ_{l} wie folgt definiert:

Γ_{l} := {λ ∈ IR^{n} | S_{1}(λ) > 0, S_{2}(λ) > 0, …, S_{l}(λ) > 0} .

Fordert man zusätzlich, dass S_{k} ≥ 0 auf M_{0} gilt, ist das Problem (⋆_{k}) zumindest schwach parabolisch, das heißt es gilt

(∗) \frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} (p) ≥ 0 für alle 1 ≤ i ≤ n, p ∈ M^{n} .

Dass man allerdings für schwach parabolische Gleichungen nicht notwendigerweise glatte Lösungen erwarten kann, zeigt das Beispiel des Gauß-Flusses. Denn während der mittlere Krümmungsfluss wie bereits erwähnt eine starke Analogie zur Wärmeleitungsgleichung aufweist, kann man den Gauß-Fluss als geometrisches Äquivalent zur Gleichung für poröse Medien

u̇ = Δ ( |u|^{m−1} u)

interpretieren, deren Lösungen wie man weiß nicht glatt sein müssen. Für den Gauß-Fluss hat R. Hamilton zuerst gezeigt (siehe [Ha2]), dass zu schwach konvexen Anfangsdaten Lösungen existieren, die schwach konvex bleiben und nicht C^{∞} sind. Seither haben P. Daskalopoulos und R. Hamilton in mehreren Arbeiten (zum Beispiel [DH]) genau untersucht, wie sich flache Seiten der Startfläche unter der Evolution verhalten. Dabei betrachten sie stets den Fluss als Problem mit freien Randbedingungen für die Kurve, die das flache Teilstück berandet, und können unter geeigneten Voraussetzungen zeigen, dass diese Kurve unter der Evolution glatt bleibt, und es insbesondere eine positive Zeit dauert, bis die Flächen strikt konvex werden können. Es gilt also hier kein striktes Maximumprinzip für die Geschwindigkeit.

Nun aber zurück zu unseren Q_{k}-Flüssen. Wenn man auf der Startfläche M_{0} sogar λ ∈ Γ_{k} für alle Hauptkrümmungen fordert, verschwindet die Degeneriertheit des Problems, wie sie in (∗) auftritt. In diesem Fall gilt dann, dass Q_{k} monoton in den Hauptkrümmungen ist, das heißt dass

\frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} (p) > 0 für alle 1 ≤ i ≤ n, p ∈ M^{n}

gilt, und mit [HP], Theorem 3.1 erhält man sofort eine glatte Lösung zumindest für kurze Zeiten. Uns interessiert aber gerade der Fall, in dem wir nur die abgeschwächte Voraussetzung λ ∈ Γ_{k−1} und S_{k−1}(λ) ≥ 0 auf M_{0} fordern, und somit das Problem (⋆_{k}) für k ≥ 2 nur degeneriert elliptisch ist. Der Großteil der folgenden Arbeit wird sich deshalb damit beschäftigen, unter der zusätzlichen Annahme, dass M_{0} schwach konvex ist, die Kurzzeitexistenz des Problems (⋆_{k}) zu sichern. Die Hauptschwierigkeit liegt dabei darin, a priori zu zeigen, dass die Geschwindigkeit Q_{k} sofort, das heißt für alle t > 0, strikt positiv werden muss. Wenn man dieses strikte Maximumprinzip dann gezeigt hat, ist die Gleichung wie oben erwähnt für t > 0 gleichmäßig parabolisch. Die schwache Konvexität der Startfläche müssen wir fordern, da der Beweis dieser a priori Schranke auf einer zylindersymmetrischen Barrierenkonstruktion beruht, die sich sonst nicht durchführen läßt. Bevor wir die einzelnen Schritte dieser Arbeit gleich nochmal genauer auflisten, sei noch bemerkt, dass die Q_{k}-Flüsse aufgrund ihrer algebraischen Eigenschaften vielversprechende Kandidaten für die oben beschriebene Anwendung in der Bildanalyse sind.

Nachdem wir im ersten Kapitel die Notation und allgemeinen Grundlagen bereitgestellt haben, wollen wir im zweiten Kapitel die wichtigsten algebraischen Eigenschaften der elementarsymmetrischen Polynome und deren Quotienten aufführen. Im dritten Kapitel werden wir dann zunächst noch für beliebige Geschwindigkeiten f die Evolutionsgleichungen der wichtigsten geometrischen Größen berechnen. Wir werden anschließend zeigen, dass für alle f, die sich als Kehrwert einer konkaven Funktion in den Hauptradien schreiben lassen, strikt konvexe Flächen unter der Evolution strikt konvex bleiben. Im Anschluss daran werden wir im vierten Kapitel erste a priori Abschätzungen für die Q_{k}-Flüsse beweisen. Insbesondere werden wir eine obere Schranke an die totale Krümmung erhalten, die uns im weiteren Verlauf der Arbeit zusammen mit einer von den Anfangsdaten unabhängigen unteren Schranke an Q_{k} die Möglichkeit liefert, die Regularitätsergebnisse von N.V. Krylov anzuwenden, um die Existenz einer Lösung zumindest für kurze Zeiten zu erhalten. Im fünften Kapitel wollen wir für glatte Lösungen ein striktes Maximumprinzip für die Geschwindigkeit beweisen. Dieses beruht im Wesentlichen auf einem strikten Maximumprinzip für degeneriert elliptische Operatoren, wie es in der Stochastik bei der Konstruktion von Markov Prozessen benutzt wird. Dort liefert die aus der Funktionalanalysis stammende Hille-Yosida Theorie für Halbgruppen den Zusammenhang zwischen der Konstruktion von Markov Prozessen und der Lösbarkeit von Randwertproblemen degeneriert elliptischer Differentialoperatoren zweiter Ordnung.

Im sechsten Kapitel wollen wir schwach konvexe C^{2,α}-Hyperflächen des IR^{n+1} mit λ ∈ Γ_{k} für alle Hauptkrümmungen durch die Eigenschaft charakterisieren, dass es einen Radius R > 0 gibt, so dass man die Fläche in jedem Punkt von außen durch einen Zylinder der Form S_{R}^{k} × IR^{n−k} berühren kann. Mit Hilfe dieser Zylinder werden wir daraufhin im siebten Kapitel äußere zylindersymmetrische Barrieren konstruieren, die uns zusammen mit einer Harnack-Ungleichung von B. Andrews [A2] und einem Approximationsargument eine von den Anfangsdaten unabhängige untere Schranke an Q_{k} liefern. Damit erhalten wir für positive Zeiten die gewünschte strikte Parabolizität. Durch glatte Approximation einer schwach konvexen Startfläche durch eine Familie strikt konvexer Hyperflächen erhalten wir dann daraus und aus der |A|^{2}-Schranke des vierten Kapitels im achten Kapitel zumindest für kurze Zeiten eine eindeutige glatte Lösung des Problems (⋆_{k}). Im abschließenden neunten Kapitel zeigen wir, dass analog zum mittleren Krümmungsfluss und zum Gauß-Fluss, der Q_{k}-Fluss für strikt konvexe Anfangsflächen auf einem endlichen Zeitintervall [ 0, T) existiert und für t → T zu einem Punkt des IR^{n+1} kontrahiert.

1 Notation und Grundlagen

Sei M^{n} eine glatte Mannigfaltigkeit ohne Rand und F : M^{n} → IR^{n+1} eine glatte Immersion. Die induzierte Metrik bezeichnen wir mit g = {g_{ij}}, und in lokalen Koordinaten {x^{i}}_{1≤i≤n} bedeutet dies

g_{ij}(p) = ⟨\frac{∂F}{∂x^{i}} (p), \frac{∂F}{∂x^{j}} (p)⟩ , p ∈ M^{n},

wobei ⟨·, ·⟩ das gewöhnliche Skalarprodukt des IR^{n+1} ist. Mit ∇ beziehungsweise {Γ_{k}^{ij}} sei der zugeordnete Levi-Civita Zusammenhang und mit {R_{ijkl}} der Riemannsche Krümmungstensor bezeichnet. Falls ν(p) die Wahl eines lokalen Normalenvektorfeldes bezeichnet, ist die zweite Fundamentalform A = {h_{ij}} gegeben durch

h_{ij}(p) = ⟨\frac{∂ν}{∂x^{i}} (p), \frac{∂F}{∂x^{j}} (p)⟩ = −⟨ν(p), \frac{∂^{2}F}{∂x^{i}∂x^{j}} (p)⟩ , p ∈ M^{n} .

Für den Fall, dass F (M^{n}) eine kompakte, orientierbare Hyperfläche beschreibt, wollen wir im Folgenden immer davon ausgehen, dass ν(p) die äußere Einheitsnormale ist. Somit ergibt sich A als symmetrische Bilinearform

A(p) : T_{p}M^{n} × T_{p}M^{n} → IR ,

und die selbstadjungierte Weingartenabbildung

W (p) : T_{p}M^{n} → T_{p}M^{n}

ist dann gegeben durch h_{j}^{i} = g^{ik}h_{kj}. Die Eigenwerte von W (p) = {h_{j}^{i}(p)}, also die Hauptkrümmungen von M^{n} im Punkt p, seien mit λ_{1}(p), ..., λ_{n}(p) bezeichnet.

Im Folgenden wird M^{n} meistens eine kompakte, schwach konvexe Fläche ohne Rand sein. Dabei bedeutet schwach konvex, dass λ_{i} ≥ 0 für alle i ∈ {1, ..., n} gilt, wohingegen strikt konvex bedeuten würde, dass λ_{i} > 0 für alle i ∈ {1, ..., n} ist. Die klassischen skalaren Invarianten der zweiten Fundamentalform sind homogene Polynome in den Hauptkrümmungen:

Die mittlere Krümmung ist

H := tr(W) = g^{ij}h_{ij} = λ_{1} + ... + λ_{n} ,

die Gauß-Krümmung

G := det(W) = det\{h_{j}^{i}\} = \frac{det\{h_{ij}\}}{det\{g_{ij}\}} = λ_{1} · ... · λ_{n} ,

die totale Krümmung

|A|^{2} := tr(W^{t}W) = h_{j}^{i}h_{i}^{j} = h^{ij}h_{ij} = g^{ik}g^{jl}h_{ij}h_{kl} = λ_{1}^{2} + ... + λ_{n}^{2} ,

und die skalare Krümmung

R := H^{2} − |A|^{2} .

Dabei ist stets die Norm eines beliebigen Tensors T = { T_{j_{1}···j_{s}}^{i_{1}···i_{r}} } definiert durch

|T |^{2} = g_{i_{1}k_{1}} ⋯ g_{i_{r}k_{r}} g^{j_{1}l_{1}} ⋯ g^{j_{s}l_{s}} T_{j_{1}···j_{s}}^{i_{1}···i_{r}} T_{l_{1}···l_{s}}^{k_{1}···k_{r}} .

Allgemein sind die gemischten mittleren Krümmungen S_{k} für 1 ≤ k ≤ n durch die elementarsymmetrischen Polynome der λ_{i} gegeben:

S_{k}(λ) := ∑_{1≤i_{1}<...<i_{k}≤n} λ_{i_{1}}λ_{i_{2}} · ... · λ_{i_{k}} ,

so dass S_{1} = H, S_{2} = \frac{1}{2}R und S_{n} = G ist.

Von besonderem Interesse werden im Folgenden die Quotienten

Q_{k} := \frac{S_{k}}{S_{k−1}} , 1 ≤ k ≤ n ,

dieser Größen sein. Dabei setzen wir S_{0} :≡ 1. Insbesondere ist Q_{1} = H die mittlere Krümmung und Q_{n} = (\frac{1}{λ_{1}} + ... + \frac{1}{λ_{n}})^{−1} die harmonische mittlere Krümmung.

Aus den Gaußgleichungen erhält man einen Zusammenhang zwischen der zweiten Fundamentalform und dem Riemannschen Krümmugstensor, nämlich

R_{ijkl} = h_{ik}h_{jl} − h_{il}h_{jk} .

Somit gilt für das Vertauschen zweiter kovarianter Ableitungen auf Vektorfeldern beziehungsweise Eins-Formen:

∇_{i}∇_{j}X^{k} − ∇_{j}∇_{i}X^{k} = R_{ijlm}g^{kl}X^{m} = (h_{il}h_{jm} − h_{im}h_{jl})g^{kl}X^{m}
∇_{i}∇_{j}ω_{k} − ∇_{j}∇_{i}ω_{k} = R_{ijkl}g^{lm}ω_{m} = (h_{ik}h_{jl} − h_{il}h_{jk})g^{lm}ω_{m}

Mit den Codazzi-Gleichungen ∇_{i}h_{kl} = ∇_{k}h_{il} = ∇_{l}h_{ik} ergeben sich daraus für die zweiten kovarianten Ableitungen von A folgende Vertauschungsrelationen:

Lemma 1.1 Für die zweiten kovarianten Ableitungen der zweiten Fundamentalform A gelten folgende Identitäten:

∇_{k}∇_{l}h_{ij} = ∇_{i}∇_{j}h_{kl} + h_{kl}h_{im}h_{j}^{m} − h_{km}h_{il}h_{j}^{m} + h_{kj}h_{im}h_{l}^{m} − h_{km}h_{ij}h_{l}^{m} .

Beweis: Es gilt

∇_{k}∇_{l}h_{ij} = ∇_{k}(∇_{i}h_{lj}) = ∇_{i}∇_{k}h_{lj} + R_{kilm}h_{j}^{m} + R_{kijm}h_{l}^{m}
= ∇_{i}∇_{j}h_{kl} + (h_{kl}h_{im} − h_{km}h_{il})h_{j}^{m} + (h_{kj}h_{im} − h_{km}h_{ij})h_{l}^{m} .
□

2 Eigenschaften der elementarsymmetrischen Polynome

Wir wollen in diesem Kapitel alle algebraischen Eigenschaften der elementarsymmetrischen Polynome und deren Quotienten aufstellen, die im Verlauf der restlichen Arbeit für uns von Bedeutung sein werden. Für jedes k ∈ {1, ..., n} seien die elementarsymmetrischen Polynome S_{k} und deren Quotienten Q_{k} wie in Kapitel 1 definiert als

S_{k}(λ) = ∑_{1≤i_{1}<...<i_{k}≤n} λ_{i_{1}}λ_{i_{2}} · . . . · λ_{i_{k}}  für λ = (λ_{1}, …, λ_{n}) ∈ IR^{n}

und

Q_{k}(λ) = \frac{S_{k}(λ)}{S_{k−1}(λ)} für λ ∈ Γ_{k−1}

mit S_{0} ≡ 1 und S_{k} ≡ 0 für k > n. Dabei definieren wir

Γ_{k} := {λ ∈ IR^{n} | S_{1}(λ) > 0, S_{2}(λ) > 0, …, S_{k}(λ) > 0} .

Die Mengen Γ_{k} sind also offene Kegel und erfüllen für alle k ∈ {1, ..., n − 1} die Relation Γ_{k+1} ⊂ Γ_{k}. Außerdem stimmt Γ_{n} mit dem positiven Kegel überein.

Weiter wollen wir mit S_{k;i}(λ) die Summe aller Terme von S_{k}(λ) bezeichnen, die den Faktor λ_{i} nicht enthalten. Damit ergeben sich dann folgende Identitäten (vergleiche [HS], Proposition 2.2).

Lemma 2.1 Für alle k ∈ {0, ..., n}, i ∈ {1, ..., n} und λ ∈ IR^{n} gilt

\frac{∂S_{k+1}}{∂λ_{i}} (λ) = S_{k;i}(λ) ,  (1)
S_{k+1}(λ) = S_{k+1;i}(λ) + λ_{i}S_{k;i}(λ) ,  (2)
∑_{i=1}^{n} S_{k;i}(λ) = (n − k)S_{k}(λ) ,  (3)
∑_{i=1}^{n} λ_{i}S_{k;i}(λ) = (k + 1)S_{k+1}(λ) ,  (4)
∑_{i=1}^{n} λ_{i}^{2}S_{k;i}(λ) = S_{1}(λ)S_{k+1}(λ) − (k + 2)S_{k+2}(λ) .  (5)

Beweis: Die Aussagen (1) und (2) folgen direkt aus der Definition. Eigenschaft (4) folgt dann aus (1) und der Tatsache, dass die Polynome S_{k} homogen vom Grad k sind. Summiert man Eigenschaft (2) über i = 1, ..., n, so erhält man mit (4) auch Eigenschaft (3). Außerdem gilt für alle λ ∈ IR^{n} mit (2), dass

S_{k+2}(λ) − S_{k+2;i}(λ) = λ_{i}S_{k+1;i}(λ) = λ_{i}S_{k+1}(λ) − λ_{i}^{2}S_{k;i}(λ) ,

und daraus folgt wieder durch Summation über i = 1, ..., n und mit (3), dass

(k + 2)S_{k+2}(λ) = ∑_{i=1}^{n} (λ_{i}S_{k+1}(λ) − λ_{i}^{2}S_{k;i}(λ)) ,

womit auch (5) bewiesen ist. □

Eine weitere wichtige Eigenschaft dieser Polynome ist die sogenannte Newton-Ungleichung (siehe zum Beispiel [HLP], Theorem 51).

Lemma 2.2 (Newton-Ungleichung) Für alle k ∈ {1, ..., n − 1} und λ ∈ IR^{n} gilt

(k + 1)(n − k + 1)S_{k−1}(λ)S_{k+1}(λ) ≤ k(n − k)S_{k}^{2}(λ) .

Wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn alle λ_{i} identisch sind.

Beweis: Dividiert man die Polynome S_{k} durch die Anzahl ihrer Summanden, so erhält man Polynome P_{k}. Das bedeutet also

S_{k} = ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) · P_{k} .

Die Aussage des Theorems ist dann äquivalent zu

P_{k−1}P_{k+1} ≤ P_{k}^{2} .

Diese Aussage beweist man mittels Induktion über n: Für n = 2 ist die Aussage klar. Nehmen wir also an, die Aussage sei für (n − 1) Zahlen λ_{1}, ..., λ_{n−1} bereits bewiesen, das heißt es gilt als Induktionsvoraussetzung

P_{k−1;n} P_{k+1;n} ≤ P_{k;n}^{2} für λ_{1}, ..., λ_{n−1} und k ∈ {1, ..., n − 2} .

Nach Lemma 2.1 gilt S_{k} = S_{k;n} + λ_{n}S_{k−1;n}, was äquivalent ist zu

P_{k} = \frac{n − k}{n} P_{k;n} + λ_{n} \frac{k}{n} P_{k−1;n} .

Damit gilt

n^{2}(P_{k−1}P_{k+1} − P_{k}^{2}) = n^{2}((\frac{n−k+1}{n} P_{k−1;n} + λ_{n} \frac{k−1}{n} P_{k−2;n})(\frac{n−k−1}{n} P_{k+1;n} + λ_{n} \frac{k+1}{n} P_{k;n})
−(\frac{n−k}{n} P_{k;n} + λ_{n} \frac{k}{n} P_{k−1;n})^{2})
= B_{1} + B_{2} λ_{n} + B_{3} λ_{n}^{2} ,

wobei B_{1} : = ((n − k)^{2} − 1)P_{k−1;n}P_{k+1;n} − (n − k)^{2}P_{k;n}^{2} ,
B_{2} : = (n − k + 1)(k + 1)P_{k−1;n}P_{k;n} + (n − k − 1)(k − 1)P_{k−2;n}P_{k+1;n}
−2k(n − k)P_{k;n}P_{k−1;n} ,
B_{3} : = (k^{2} − 1)P_{k−2;n}P_{k;n} − k^{2}P_{k−1;n}^{2} .

Die Induktionsvoraussetzung liefert B_{1} ≤ −P_{k;n}^{2} und P_{k−2;n}P_{k+1;n} ≤ P_{k;n}P_{k−1;n}. Somit ist B_{2} ≤ 2P_{k−1;n}P_{k;n} und B_{3} ≤ −P_{k−1;n}^{2} . Insgesamt gilt also

n^{2}(P_{k−1}P_{k+1} − P_{k}^{2}) ≤ −(P_{k;n} − λ_{n} P_{k−1;n})^{2} ≤ 0 ,

womit die Behauptung bewiesen ist. □

Aus der Newton-Ungleichung ergeben sich einige wichtige Folgerungen, die hier kurz vorgeführt seien.

Lemma 2.3 Sei λ ∈ Γ_{k} für ein k ∈ {1, ..., n}. Dann gilt S_{l;i}(λ) > 0 für alle l ∈ {1, ..., k − 1} und i ∈ {1, ..., n}.

Beweis: Die Aussage soll mittels Induktion über l bewiesen werden (vergleiche [HS], Lemma 2.4). Der Fall l = 0 ist dabei trivial. Für beliebiges l ∈ {1, ..., k − 1} gilt dann mit (2) aus Lemma 2.1 für alle i ∈ {1, ..., n} und λ ∈ Γ_{k}

λ_{i} S_{l;i}(λ) + S_{l+1;i}(λ) = S_{l+1}(λ) > 0 und λ_{i} S_{l−1;i}(λ) + S_{l;i}(λ) = S_{l}(λ) > 0 .

Nach Induktionsvoraussetzung ist aber S_{l−1;i}(λ) > 0 . Nehmen wir nun an, dass S_{l;i}(λ) ≤ 0 gilt. Dann ist

λ_{i} S_{l−1;i}(λ) = S_{l}(λ) − S_{l;i}(λ) > 0 , also λ_{i} > 0 .

Daraus folgt

S_{l+1;i}(λ) > −λ_{i} S_{l;i}(λ) ≥ 0 , beziehungsweise λ_{i} S_{l−1;i}(λ) > −S_{l;i}(λ) ≥ 0 ,

und somit

S_{l−1;i}(λ)S_{l+1;i}(λ) > S_{l;i}^{2}(λ) ,

was der Newton-Ungleichung widerspricht. Also muss doch S_{l;i}(λ) > 0 gelten. □

Besonders wichtig in vielen Anwendungen ist folgende Tatsache:

Lemma 2.4 Die Funktion Q_{k+1} ist konkav auf Γ_{k} für k ∈ {0, ..., n − 1} .

Beweis: (Vergleiche [Lie], Kapitel XV, 4.) Offensichtlich ist für alle k ∈ {0, ..., n−1} die Funktion Q_{k+1} homogen vom Grad 1. In diesem Fall ist die Aussage, dass Q_{k} konkav ist, das heißt, dass

Q_{k}(s x + (1 − s) y) ≥ s Q_{k}(x) + (1 − s) Q_{k}(y)

für alle s ∈ [ 0, 1 ] und x, y ∈ Γ_{k−1} gilt, äquivalent dazu, dass Q_{k} superadditiv ist, also

Q_{k}(x + y) ≥ Q_{k}(x) + Q_{k}(y)

für alle x, y ∈ Γ_{k−1} gilt. Dies soll mittels Induktion über k bewiesen werden. Für k = 0 ist die Aussage trivial. Sei also k > 0 beliebig. Dann gilt mit Lemma 2.1 (2) und (5)

(k + 1) Q_{k+1}(x) = ∑_{i=1}^{n} (x_{i} − x_{i}^{2} \frac{S_{k−1;i(x)}}{S_{k}(x)} ) = ∑_{i=1}^{n} (x_{i} − \frac{x_{i}^{2}}{Q_{k;i}(x) + x_{i}} ) .

Dabei ist Q_{k;i}(x) := \frac{S_{k;i}(x)}{S_{k−1;i}(x)} .

Man beachte, dass wegen Lemma 2.3 Q_{k;i}(x) + x_{i} = \frac{S_{k}(x)}{S_{k−1;i}(x)} > 0 für alle x ∈ Γ_{k} gilt. Für x, y ∈ Γ_{k} ist also

(k + 1) (Q_{k+1}(x + y) − Q_{k+1}(x) − Q_{k+1}(y))

= ∑_{i=1}^{n} (\frac{x_{i}^{2}}{Q_{k;i}(x) + x_{i}} + \frac{y_{i}^{2}}{Q_{k;i}(y) + y_{i}} − \frac{(x_{i} + y_{i})^{2}}{Q_{k;i}(x + y) + x_{i} + y_{i}} ) ,

und mit der Induktionsvoraussetzung, dass Q_{k;i} superadditiv ist, folgt

(k + 1) (Q_{k+1}(x + y) − Q_{k+1}(x) − Q_{k+1}(y))
≥ ∑_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{2}(Q_{k;i}(y) + y_{i})(Q_{k;i}(x) + Q_{k;i}(y) + x_{i} + y_{i})}{(Q_{k;i}(x) + x_{i})(Q_{k;i}(y) + y_{i})(Q_{k;i}(x) + Q_{k;i}(y) + x_{i} + y_{i})}

+ ∑_{i=1}^{n} \frac{y_{i}^{2}(Q_{k;i}(x) + x_{i})(Q_{k;i}(x) + Q_{k;i}(y) + x_{i} + y_{i})}{(Q_{k;i}(x) + x_{i})(Q_{k;i}(y) + y_{i})(Q_{k;i}(x) + Q_{k;i}(y) + x_{i} + y_{i})}

− ∑_{i=1}^{n} \frac{(x_{i} + y_{i})^{2}(Q_{k;i}(x) + x_{i})(Q_{k;i}(y) + y_{i})}{(Q_{k;i}(x) + x_{i})(Q_{k;i}(y) + y_{i})(Q_{k;i}(x) + Q_{k;i}(y) + x_{i} + y_{i})}

= ∑_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{2}Q_{k;i}^{2}(y) + y_{i}^{2}Q_{k;i}^{2}(x) − 2x_{i}y_{i}Q_{k;i}(x)Q_{k;i}(y)}{(Q_{k;i}(x) + x_{i})(Q_{k;i}(y) + y_{i})(Q_{k;i}(x) + Q_{k;i}(y) + x_{i} + y_{i})}

= ∑_{i=1}^{n} \frac{(x_{i}Q_{k;i}(y) − y_{i}Q_{k;i}(x))^{2}}{(Q_{k;i}(x) + x_{i})(Q_{k;i}(y) + y_{i})(Q_{k;i}(x) + Q_{k;i}(y) + x_{i} + y_{i})}
≥ 0 .

□

Die Größe \frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} ist für die Existenz von Lösungen der Krümmungsflüsse mit Geschwindigkeiten Q_{k} sehr entscheidend. Deshalb wollen wir sie im Folgenden näher untersuchen.

Lemma 2.5 Auf Γ_{k} gilt \frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} > 0 für alle i ∈ \{1, ..., n\} und k ∈ \{1, ..., n\}.

Auf Γ_{k−1} ∩ {λ ∈ IR^{n} | S_{k}(λ) = 0} gilt hingegen für k ∈ {2, ..., n}

\frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} = 0 für alle i mit λ_{i} > 0

und \frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} > 0 für alle i mit λ_{i} = 0 .

Beweis: Für k = 1 ist Q_{k} = Q_{1} = H und die Behauptung somit klar. Im Fall k ∈ {2, ..., n} gilt

\frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} = \frac{∂}{∂λ_{i}} (\frac{S_{k}(λ)}{S_{k−1}(λ)})
= \frac{1}{S_{k−1}^{2}(λ)}(S_{k−1;i}(λ)S_{k−1}(λ) − S_{k}(λ)S_{k−2;i}(λ))  mit Lemma 2.1 (1)
= \frac{1}{S_{k−1}^{2}(λ)}(S_{k−1;i}^{2}(λ) − S_{k;i}(λ)S_{k−2;i}(λ))  mit Lemma 2.1 (2)
≥ \frac{n}{k(n − k + 1)}(\frac{S_{k−1;i}(λ)}{S_{k−1}(λ)})^{2}  mit der Newton-Ungleichung.

Also ist \frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} ≥ 0 auf Γ_{k−1} , und wegen Lemma 2.3 ist \frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} > 0 auf Γ_{k}. Auf Γ_{k−1} ∩ {λ ∈ IR^{n} | S_{k}(λ) = 0} gilt offensichtlich außerdem

\frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} = 0  ⟺  S_{k−1;i}(λ) = 0 .

Also ist \frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} = 0 für alle i ∈ \{1, ..., n\} mit λ_{i} ≠ 0 , weil S_{k−1}(λ) > 0 gelten muss, und umgekehrt ist \frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} > 0 für alle i ∈ \{1, ..., n\} mit λ_{i} = 0 . □

Eine Größe, die im Folgenden häufig auftreten wird, ist \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} h_{l}^{i}h_{j}^{l}, beziehungsweise

in geeigneten Koordinaten ∑_{i=1}^{n} \frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} λ_{i}^{2} . Für diesen Ausdruck gilt:

Lemma 2.6 Für alle k ∈ {1, ..., n} und λ ∈ IR^{n} gilt

∑_{i=1}^{n} \frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} λ_{i}^{2} ≥ \frac{k}{n − k + 1} Q_{k}^{2}(λ) .

Elementarsymmetrische Polynome 17 Beweis: Wie in Lemma 2.5 ist

\frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} = \frac{1}{S_{k−1}^{2}(λ)}(S_{k−1;i}(λ)S_{k−1}(λ) − S_{k}(λ)S_{k−2;i}(λ)) .

Also gilt mit Lemma 2.1 (5) und der Newton-Ungleichung

∑_{i=1}^{n} \frac{∂Q_{k}(λ)}{∂λ_{i}} λ_{i}^{2} = \frac{1}{S_{k−1}^{2}(λ)} (k S_{k}^{2}(λ) − (k + 1) S_{k−1}(λ)S_{k+1}(λ))
≥ \frac{1}{S_{k−1}^{2}(λ)} (k S_{k}^{2}(λ) − \frac{k (n−k)}{n−k+1} S_{k}^{2}(λ))
= \frac{k}{n−k+1} Q_{k}^{2}(λ) .
□

Bemerkung 2.7 Für k = 1, also Q_{1} = H bedeutet dies gerade |A|^{2} ≥ \frac{1}{n} H^{2} .

3 Evolutionsgleichungen

In diesem Kapitel wollen wir allgemeine Krümmungsflüsse betrachten, das heißt Evolutionen von Hyperflächen, deren Geschwindigkeit durch eine homogene symmetrische Funktion f der Hauptkrümmungen gegeben ist. Wir werden für diese Flüsse die Evolutionsgleichungen der auftretenden geometrischen Größen berechnen und zeigen, dass nach Wahl geeigneter Voraussetzungen strikt konvexe Startflächen unter der Evolution strikt konvex bleiben. Es handelt sich bei den Resultaten diesen Kapitels um keine neuen Ergebnisse, da bereits andere Autoren derartige Krümmungsflüsse untersucht haben. Stellvertretend seien an dieser Stelle B. Andrews und C. Gerhardt genannt (siehe zum Beispiel [A1] und [Ger]). Eine gute Zusammenfassung einer Reihe bekannter Ergebnisse findet man außerdem in [HP].

Im Folgenden sei nun M^{n} immer eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand und

F_{0} : M^{n} → IR^{n+1}

eine glatte Immersion. Dabei sei M_{0} = F_{0}(M^{n}) orientierbar, so dass ein globales Normalenvektorfeld ν wählbar ist. Dieses soll in dieser Arbeit stets das äußere Normalenfeld sein. Desweiteren sei die glatte Einparameter-Familie von Hyperflächen

F : M^{n} × [ 0, T ) → IR^{n+1}

mit T > 0 eine Lösung des Anfangswertproblems

(⋆_{f}) \{ \begin{matrix}\frac{∂}{∂t}F (p, t) & = & −f(p, t) · ν(p, t) für alle p ∈ M^{n}, t ≥ 0 \\ F (·, 0) & = & F_{0} . \end{matrix}

Die Geschwindigkeit f sei dabei eine glatte, symmetrische und homogene Funktion der Hauptkrümmungen λ_{1}, ..., λ_{n}. Aufgrund der Symmetrie von f können wir äquivalent dazu f als eine Funktion f̃ der Weingartenabbildung W oder als eine Funktion f̂ der zweiten Fundamentalform A auffassen:

f(λ_{1}, …, λ_{n}) = f̃(W) = f̃(h_{j}^{i}) = f̂(A) = f̂(h_{ij}) .

Die Vorzeichen in (⋆_{f}) sind so gewählt, dass die mittlere Krümmung einer konvexen Fläche immer positiv ist und sich die Flächen in Richtung ihrer inneren Einheitsnormalen bewegen. Aus der Evolutionsgleichung (⋆_{f}) für die Flächen M_{t} := F (M^{n}, t) ergeben sich nun Evolutionsgleichungen für deren geometrische Größen.

Lemma 3.1 Es gelten folgende Evolutionsgleichungen für geometrische Größen der Flächen M_{t}, d.h. für Lösungen der Gleichung (⋆_{f}):

1) \frac{∂}{∂t} g_{ij} = −2fh_{ij}

2) \frac{∂}{∂t} g^{ij} = 2fh^{ij}

3) \frac{∂}{∂t} ν = ∇f

4) \frac{∂}{∂t} h_{ij} = ∇_{i}∇_{j}f − h_{ik}h_{j}^{k}f

5) \frac{∂}{∂t} h_{j}^{i} = ∇^{i}∇_{j}f + h^{ik}h_{kj}f

6) \frac{∂}{∂t} f = \frac{∂f}{∂h_{j}^{i}} ∇^{i}∇_{j}f + \frac{∂f}{∂h_{j}^{i}} h^{ik}h_{kj}f

7) \frac{∂}{∂t} H = Δf + |A|^{2}f

Beweis: Siehe beispielsweise [A1], Kapitel 3. □

Wir werden jetzt die Vertauschungsrelationen aus Lemma 1.1 benutzen, um die Evolutionsgleichungen für die Krümmung in parabolische Systeme auf der Hyperfläche umzuwandeln. Dazu definieren wir für jede Geschwindigkeit f den zugehörigen (meist nichtlinearen) Operator □_{f} durch

□_{f}u := \frac{∂f̃}{∂h_{j}^{i}} ∇^{i}∇_{j}u = \frac{∂f̂}{∂h_{lj}} g_{li}∇^{i}∇_{j}u = \frac{∂f̂}{∂h_{ij}} ∇_{i}∇_{j}u .

Offensichtlich ist für den mittleren Krümmungsfluss □_{H} = Δ der Laplace-Beltrami-Operator, und allgemein gilt, dass □_{f} genau dann ein elliptischer Operator ist, wenn

\frac{∂f̂}{∂h_{ij}} (p) ξ^{i}ξ^{j} > 0 für alle 0 ≠ ξ ∈ IR^{n} , p ∈ M^{n} .

Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass

\frac{∂f}{∂λ_{i}} (p) > 0 für alle 1 ≤ i ≤ n , p ∈ M^{n} .

Im Fall f = Q_{k} für ein k ∈ \{1, ..., n\} schreiben wir □_{k} = \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} ∇^{i}∇_{j}, insbesondere also □_{H} = □_{1} = Δ.

Korollar 3.2 Sei f homogen vom Grad 1. Auf den Lösungen M_{t} = F (M^{n}, t) des Problems (⋆_{f}) gilt dann

a) für die zweite Fundamentalform

\frac{∂}{∂t} h_{ij} = □_{f}h_{ij} + \frac{∂^{2}f}{∂h_{q}^{p}∂h_{l}^{k}} ∇_{i}h_{q}^{p}∇_{j}h_{l}^{k} + \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} h_{m}^{k}h_{l}^{m} · h_{ij} − 2 h_{ik}h_{j}^{k} f .

b) für die Weingarten-Abbildung

\frac{∂}{∂t} h_{j}^{i} = □_{f}h_{j}^{i} + \frac{∂^{2}f}{∂h_{q}^{p}∂h_{l}^{k}} ∇^{i}h_{q}^{p}∇_{j}h_{l}^{k} + \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} h_{m}^{k}h_{l}^{m} · h_{j}^{i} .

c) für die mittlere Krümmung

\frac{∂}{∂t} H = □_{f}H + \frac{∂^{2}f}{∂h_{q}^{p}∂h_{l}^{k}} ∇^{i}h_{q}^{p}∇_{i}h_{l}^{k} + \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} h_{m}^{k}h_{l}^{m} · H .

d) für ein symmetrisches Polynom K in den Hauptkrümmungen, das homogen vom Grad α ist

\frac{∂}{∂t} K = □_{f}K−\frac{∂f}{∂h_{j}^{i}} \frac{∂^{2}K}{∂h_{q}^{p}∂h_{l}^{k}} ∇^{i}h_{q}^{p}∇_{j}h_{l}^{k}+\frac{∂K}{∂h_{j}^{i}} \frac{∂^{2}f}{∂h_{q}^{p}∂h_{l}^{k}} ∇^{i}h_{q}^{p}∇_{j}h_{l}^{k}+α \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} h_{m}^{k}h_{l}^{m}·K .

Beweis: Wegen ∇_{i}f = \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} ∇_{i}h_{l}^{k} gilt auch

∇_{i}∇_{j}f = \frac{∂^{2}f}{∂h_{q}^{p}∂h_{l}^{k}} ∇_{i}h_{q}^{p}∇_{j}h_{l}^{k} + \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} ∇_{i}∇_{j}h_{l}^{k} .

Für die zweite Fundamentalform gilt also mit Lemma 3.1, 4) und Lemma 1.1

\frac{∂}{∂t} h_{ij} = ∇_{i}∇_{j}f − h_{ik}h_{j}^{k} · f = \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} ∇_{i}∇_{j}h_{l}^{k} + \frac{∂^{2}f}{∂h_{q}^{p}∂h_{l}^{k}} ∇_{i}h_{q}^{p}∇_{j}h_{l}^{k} − h_{ik}h_{j}^{k} · f
= \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} \{∇^{k}∇_{l}h_{ij} + h_{m}^{k}h_{il}h_{j}^{m} − h_{l}^{k}h_{im}h_{j}^{m} + h_{m}^{k}h_{ij}h_{l}^{m} − h_{j}^{k}h_{im}h_{l}^{m}\}

+\frac{∂^{2}f}{∂h_{q}^{p}∂h_{l}^{k}} ∇_{i}h_{q}^{p}∇_{j}h_{l}^{k} − h_{ik}h_{j}^{k} · f

= □_{f}h_{ij} + \frac{∂^{2}f}{∂h_{q}^{p}∂h_{l}^{k}} ∇_{i}h_{q}^{p}∇_{j}h_{l}^{k} − 2h_{im}h_{j}^{m} · f + \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} h_{m}^{k}h_{l}^{m} · h_{ij} .

Daraus folgt wie in Lemma 3.1 mit h_{j}^{i} = g^{ik}h_{kj} die Behauptung b) und mit H = g^{ij}h_{ij} die Behauptung c).

d) folgt sofort aus \frac{∂K}{∂h_{l}^{k}} h_{l}^{k} = α · K und ∇_{j}K = \frac{∂K}{∂h_{l}^{k}} ∇_{j}h_{l}^{k}, beziehungsweise

∇^{i}∇_{j}K = \frac{∂^{2}K}{∂h_{q}^{p}∂h_{l}^{k}} ∇^{i}h_{q}^{p}∇_{j}h_{l}^{k} + \frac{∂K}{∂h_{l}^{k}} ∇^{i}∇_{j}h_{l}^{k} .

□

Für die weiteren Rechnungen wird es sich als hilfreich erweisen, statt der Weingartenabbildung deren inverse Abbildung, beziehungsweise symmetrische Polynome in den Eigenwerten dieser Abbildung zu betrachten. Falls M^{n} also strikt konvex ist (das heißt falls alle Hauptkrümmungen positiv sind), ist

W^{−1}(p) = {b_{j}^{i}} : T_{p}M^{n} → T_{p}M^{n}

wohldefiniert, und es gilt

b_{l}^{i} h_{j}^{l} = δ_{j}^{i} .

Die Eigenwerte von W^{−1}(p) seien mit κ_{1}(p), ..., κ_{n}(p) bezeichnet. Sie werden auch Hauptradien der Fläche genannt, und es gilt offensichtlich

κ_{i}(p) = \frac{1}{λ_{i}(p)} für alle i ∈ \{1, ..., n\} .

Für die b_{j}^{i} gilt folgende Evolutionsgleichung.

Lemma 3.3 Es gilt für alle i, j ∈ {1, ..., n}

\frac{∂}{∂t} b_{j}^{i} = □_{f} b_{j}^{i} − b_{p}^{i}b_{j}^{q} \frac{∂^{2}f}{∂h_{l}^{k}∂h_{n}^{m}} ∇^{p}h_{l}^{k}∇_{q}h_{n}^{m} − 2 b_{m}^{i}b_{p}^{n}b_{j}^{q} \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} ∇^{k}h_{q}^{p}∇_{l}h_{n}^{m} − \frac{∂f}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p}h_{q}^{m} · b_{j}^{i} .

Beweis: Aus b_{l}^{i} h_{j}^{l} = δ_{j}^{i} folgt \frac{∂}{∂t} b_{j}^{i} = −b_{p}^{i} b_{j}^{q} \frac{∂}{∂t} h_{q}^{p} , beziehungsweise ∇_{k} b_{j}^{i} = −b_{p}^{i} b_{j}^{q}∇_{k} h_{q}^{p} und somit

∇^{k}∇_{l} b_{j}^{i} = 2 b_{m}^{i} b_{j}^{q} b_{p}^{n} ∇^{k}h_{q}^{p}∇_{l}h_{n}^{m} − b_{p}^{i} b_{j}^{q}∇^{k}∇_{l} h_{q}^{p} .

Mit Korollar 3.2 b) folgt dann die Behauptung. □

Genauso wie man symmetrische Polynome in den Hauptkrümmungen betrachtet, kann man nun für konvexe Flächen die entsprechenden Polynome in den Hauptradien untersuchen. Wir definieren dazu

H̃ := tr(W^{−1}) = κ_{1} + ... + κ_{n} ,

beziehungsweise allgemein für k ∈ {1, ..., n}

S̃_{k} = S_{k}(κ) := ∑_{1≤i_{1}<...<i_{k}≤n} κ_{i_{1}}κ_{i_{2}} · ... · κ_{i_{k}} ,

und

Q̃_{k} = Q_{k}(κ) := \frac{S_{k}(κ)}{S_{k−1}(κ)} .

Für H̃ gilt dann folgende Evolutionsgleichung.

Lemma 3.4 Es gilt

\frac{∂}{∂t} H̃ = □_{f} H̃ − b_{p}^{i}b_{i}^{q} \frac{∂^{2}f}{∂h_{l}^{k}∂h_{n}^{m}} ∇^{p}h_{l}^{k}∇_{q}h_{n}^{m} − 2 b_{m}^{i}b_{p}^{n}b_{i}^{q} \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} ∇^{k}h_{q}^{p}∇_{l}h_{n}^{m} − \frac{∂f}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p}h_{q}^{m} · H̃ .

Beweis: Die Behauptung folgt direkt aus Lemma 3.3 mit H̃ = b_{i}^{i} = δ_{j}^{i} b_{i}^{j}. □

Wie wir gleich sehen werden, vereinfachen sich die Evolutionsgleichungen für b_{j}^{i} und H̃, wenn man annimmt, dass f(λ) = \frac{1}{g(κ)} für eine Funktion g in den Hauptradien gilt. Dabei wollen wir im Folgenden die Funktionen f und g jeweils als Funktionen von λ beziehungsweise h_{j}^{i} und κ beziehungsweise b_{j}^{i} auffassen, ohne dies in der Notation zu unterscheiden.

Lemma 3.5 Sei f(h_{j}^{i}) = \frac{1}{g(b_{j}^{i})} . Dann gilt

\frac{∂^{2}f}{∂h_{j}^{i}∂h_{q}^{p}} = \frac{2}{f} \frac{∂f}{∂h_{j}^{i}} \frac{∂f}{∂h_{q}^{p}} − \frac{1}{g^{2}} \frac{∂^{2}g}{∂b_{n}^{m}∂b_{l}^{k}} b^{mq} b_{np} b^{jk} b_{il} − \frac{1}{g^{2}} \frac{∂g}{∂b_{l}^{k}} (b^{jq} b_{p}^{k} b_{il} + b^{jk} b_{l}^{q} b_{ip})
= \frac{2}{f} \frac{∂f}{∂h_{j}^{i}} \frac{∂f}{∂h_{q}^{p}} − \frac{1}{g^{2}} \frac{∂^{2}g}{∂b_{n}^{m}∂b_{l}^{k}} b^{mq} b_{np} b^{jk} b_{il} − \frac{∂f}{∂h^{ip}} b^{jq} − \frac{∂f}{∂h_{jq}} b_{ip} .

Beweis: Aus h_{j}^{k} b_{l}^{j} = δ_{l}^{k} folgt \frac{∂}{∂h_{j}^{i}} b_{l}^{k} = − b^{jk} b_{il}. Also ist

\frac{∂f}{∂h_{j}^{i}} = − \frac{1}{g^{2}} \frac{∂g}{∂h_{j}^{i}} = − \frac{1}{g^{2}} \frac{∂g}{∂b_{l}^{k}} \frac{∂}{∂h_{j}^{i}} b_{l}^{k} = \frac{1}{g^{2}} \frac{∂g}{∂b_{l}^{k}} b^{jk}b_{il} .

Daraus folgt dann

\frac{∂^{2}f}{∂h_{j}^{i}∂h_{q}^{p}} = − \frac{2}{g^{3}} \frac{∂g}{∂h_{q}^{p}} \frac{∂g}{∂b_{l}^{k}} b^{jk}b_{il} + \frac{1}{g^{2}} \frac{∂^{2}g}{∂b_{n}^{m}∂b_{l}^{k}} (\frac{∂}{∂h_{q}^{p}} b_{n}^{m})b^{jk}b_{il} + \frac{1}{g^{2}} \frac{∂g}{∂b_{l}^{k}} \frac{∂}{∂h_{q}^{p}} (b^{jk}b_{il}) .

Mit

\frac{∂}{∂h_{q}^{p}} b^{jk} = \frac{∂}{∂h_{q}^{p}} (g^{jl} b_{l}^{k}) = − g^{jl} b_{p}^{k} b_{l}^{q} = − b^{jq} b_{p}^{k}

und analog

\frac{∂}{∂h_{q}^{p}} b_{il} = \frac{∂}{∂h_{q}^{p}} (g_{ik} b_{l}^{k}) = − g_{ik} b_{p}^{k} b_{l}^{q} = − b_{ip} b_{l}^{q}

folgt daraus die Behauptung. □

Nimmt man nun zusätzlich an, dass g(κ) eine konkave Funktion ist, so gilt:

Lemma 3.6 Falls g konkav auf Γ_{n} und f > 0 ist, gilt für strikt konvexe Flächen M_{t}

\frac{∂}{∂t} b_{j}^{i} ≤ □_{f} b_{j}^{i} − \frac{∂f}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} · b_{j}^{i}  (6)
und \frac{∂}{∂t} H̃ ≤ □_{f} H̃ − \frac{∂f}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} · H̃ .  (7)

Beweis: Mit Lemma 3.5 gilt

\frac{∂}{∂t} b_{j}^{i} = □_{f} b_{j}^{i} − b_{p}^{i} b_{j}^{q}(\frac{2}{f} \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} \frac{∂f}{∂h_{n}^{m}} − \frac{1}{g^{2}} \frac{∂^{2}g}{∂b_{s}^{r}∂b_{w}^{v}} b^{lr} b_{ks} b^{nv} b_{mw} − \frac{∂f}{∂h^{km}} b^{ln}

− \frac{∂f}{∂h_{ln}} b_{km})∇^{p}h_{l}^{k}∇_{q}h_{n}^{m} − 2 b_{m}^{i} b_{p}^{n} b_{j}^{q} \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} ∇^{k}h_{q}^{p}∇_{l}h_{n}^{m} − \frac{∂f}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} · b_{j}^{i} .

Da g konkav ist, gilt

b_{p}^{i}b_{j}^{q} \frac{∂^{2}g}{∂b_{s}^{r}∂b_{w}^{v}} (b^{lr} b_{ks} ∇^{p}h_{l}^{k})(b^{nv} b_{mw}∇_{q}h_{n}^{m}) ≤ 0 ,

und somit

\frac{∂}{∂t} b_{j}^{i} ≤ □_{f} b_{j}^{i} − \frac{2}{f} b_{p}^{i} b_{j}^{q} ∇^{p}f ∇_{q}f + b_{p}^{i} b_{j}^{q} b^{ln} g_{rm} \frac{∂f}{∂h_{r}^{k}} ∇^{p}h_{l}^{k}∇_{q}h_{n}^{m}

+b_{p}^{i} b_{j}^{q} b_{km} g^{sn} \frac{∂f}{∂h_{l}^{s}} ∇^{p}h_{l}^{k}∇_{q}h_{n}^{m} − 2 b_{m}^{i} b_{j}^{q} b_{p}^{n} \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} ∇^{k}h_{q}^{p}∇_{l}h_{n}^{m} − \frac{∂f}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} · b_{j}^{i} .

Mit den Codazzi-Gleichungen folgt dann

\frac{∂}{∂t} b_{j}^{i} ≤ □_{f} b_{j}^{i} − \frac{2}{f} b_{p}^{i} b_{j}^{q} ∇^{p}f ∇_{q}f + b_{p}^{i} b_{j}^{q} b_{n}^{l} \frac{∂f}{∂h_{m}^{k}} ∇^{k}h_{l}^{p}∇_{m}h_{q}^{n}

+b_{p}^{i} b_{j}^{q} b_{m}^{k} \frac{∂f}{∂h_{l}^{n}} ∇_{l}h_{k}^{p}∇^{n}h_{q}^{m} − 2 b_{m}^{i} b_{j}^{q} b_{p}^{n} \frac{∂f}{∂h_{l}^{k}} ∇^{k}h_{q}^{p}∇_{l}h_{n}^{m} − \frac{∂f}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} · b_{j}^{i} ,

und wegen

− \frac{2}{f} b_{p}^{i} b_{j}^{q} ∇^{p}f ∇_{q}f ≤ 0

folgt der erste Teil der Behauptung. Der zweite Teil ist wieder eine Folgerung aus H̃ = δ_{j}^{i} b_{i}^{j}. □

Der Ertrag dieser Vorarbeit ist folgendes Theorem:

Theorem 3.7 Falls sich die Geschwindigkeit f auf Γ_{n} als Inverses einer konkaven Funktion g schreiben lässt, g(b_{j}^{i}) = \frac{1}{f(h_{j}^{i})} , so bleiben die Lösungsflächen M_{t} des Pro-

blems (⋆_{f}) strikt konvex, wenn die Anfangsfläche strikt konvex war, solange \frac{∂f}{∂λ_{i}} > 0 für 1 ≤ i ≤ n und f > 0 gilt.

Beweis: Mit dem schwachen Maximumprinzip für strikt parabolische partielle Differentialgleichungen (siehe zum Beispiel [PW], Kapitel 3) folgt aus Lemma 3.6 und wegen H̃ > 0 auf M_{0}, dass H̃ für t > 0 kein positives Maximum haben kann. Es gilt somit

(⋆) max_{M_{t}} H̃ ≤ max_{M_{0}} H̃ .

Angenommen, es würde nun λ_{i} = 0 zu einem ersten Zeitpunkt t > 0 und für ein i ∈ \{1, ..., n\} gelten, so müßte wegen H̃ = ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{λ_{i}} dort H̃ → ∞ gelten, was im Widerspruch zu (⋆) steht. Also gilt λ_{i} > 0 für alle i ∈ {1, ..., n} auf M_{t}. □

A priori Abschätzungen für Q_{k}-Flüsse 25

4 A priori Abschätzungen für Q_{k}-Flüsse

In diesem Kapitel wollen wir als Geschwindigkeit f die Quotienten Q_{k} betrachten für k ∈ {1, ..., n} und einige direkte Konsequenzen aus den Evolutionsgleichungen des letzten Kapitels ziehen. Wir betrachten also im Folgenden für 1 ≤ k ≤ n Lösungen des Problems

(⋆_{k}) \{ \begin{matrix}\frac{∂}{∂t}F (p, t) & = & − Q_{k}(p, t) · ν(p, t) für alle p ∈ M^{n}, t ≥ 0 \\ F ( · , 0) & = & F_{0} , \end{matrix}

wobei M_{0} = F_{0}(M^{n}) eine glatte, orientierbare, geschlossene Hyperfläche des IR^{n+1} ist und ν wieder das äußere Normalenvektorfeld bezeichnet. Falls wir nun λ ∈ Γ_{k} für die Hauptkrümmungen λ = (λ_{1}, ..., λ_{n}) von M_{0} fordern, ist die Gleichung wegen Lemma 2.5 gleichmäßig parabolisch und wir erhalten zumindest für kurze Zeiten eine eindeutige glatte Lösung (siehe zum Beispiel [HP]). Da wir uns allerdings in dieser Arbeit gerade mit den Anfangsflächen M_{0} beschäftigen wollen, auf denen obige Gleichung nur schwach parabolisch, und somit die Kurzzeitexistenz noch nicht gesichert ist, gelte auf M_{0} nur λ ∈ Γ_{k−1} und S_{k}(λ) ≥ 0 . Auf derartigen Startflächen gilt offenbar Q_{k} ≥ 0 und für die Flächen M_{t} gilt dann:

Satz 4.1 Falls F : M^{n} × [ 0, T ) → IR^{n+1} eine Lösung von (⋆_{k}) ist, gilt

Q_{k}(p, t) ≥ min_{t=0} Q_{k} · (1 − c(k) (min_{t=0} Q_{k})^{2} t)^{− \frac{1}{2}}

mit c(k) = \frac{2 k}{n−k+1} , und es gilt somit T ≤ \frac{1}{c(k)} · (min_{t=0} Q_{k})^{−2} . Falls insbesondere Q_{k} > 0 auf M_{0} gilt, ist T < ∞.

Beweis: Da S_{k−1}(λ) > 0 auf M_{0} gilt, ist nach Lemma 2.5 \frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} ≥ 0 für alle i ∈ {1, ..., n}, also

\frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} λ_{i}^{2} ≥ 0 .

Aus der Evolutionsgleichung für Q_{k} (siehe Lemma 3.1, 6) mit f = Q_{k})

\frac{∂}{∂t} Q_{k} = \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} ∇^{i}∇_{j}Q_{k} + \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} h^{il} h_{lj} · Q_{k}

und dem schwachen Maximumprinzip für parabolische Gleichungen folgt daraus sofort Q_{k} ≥ 0 für alle t ∈ [ 0, T ) . Es sei bemerkt, dass das schwache Maximumprinzip (im Gegensatz zur strikten Version) auch für schwach parabolische Gleichungen gilt. Mit Lemma 2.6 gilt dann aber weiter

\frac{∂}{∂t} Q_{k} ≥ □_{k} Q_{k} + \frac{k}{n − k + 1} Q_{k}^{3} .

Sei nun φ die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

\frac{∂}{∂t} φ = \frac{k}{n − k + 1} φ^{3} , φ(0) = min_{t=0} Q_{k} ,

also

φ(t) = φ(0) · (1 − c(k) φ(0)^{2} t)^{− \frac{1}{2}} .

Betrachtet man φ als Funktion auf M^{n} × [ 0, T ) , so erhält man

\frac{∂}{∂t} (Q_{k} − φ) ≥ □_{k} (Q_{k} − φ) + \frac{k}{n − k + 1} (Q_{k}^{3} − φ^{3}) ,

so dass das Maximumprinzip jetzt Q_{k} ≥ φ für alle t ∈ [ 0, T ) liefert. Da aber φ ⟶ ∞ gilt für t ⟶ \frac{1}{c(k)} · (min_{t=0} Q_{k})^{−2} , folgt die Behauptung. □

Bemerkung 4.2 Falls M_{0} eine Sphäre ist, entspricht die Funktion φ(t) genau der Geschwindigkeit Q_{k}, und die Schranke T ≤ \frac{1}{c(k)} · (min_{t=0} Q_{k})^{−2} ist scharf. In diesem Fall liefert (⋆_{k}) nämlich für den Radius der Sphären M_{t} = S_{R(t)}^{n} die gewöhnliche Differentialgleichung

\frac{d}{d t} R(t) = − \frac{n − k + 1}{k} R(t)^{−1} ,

und somit ist

R(t) = (R(0)^{2} − 2 \frac{n − k + 1}{k} t)^{\frac{1}{2}} .

Das heißt es gilt R(t) = 0 für t = \frac{R(0)^{2} k}{2 (n−k+1)} und andererseits ist

\frac{1}{c(k)} · (min_{t=0} Q_{k})^{−2} = \frac{n − k + 1}{2 k} · (\frac{k R(0)}{n − k + 1})^{2} = \frac{R(0)^{2} k}{2 (n − k + 1)} .

Bemerkung 4.3 Da wir auf der Startfläche M_{0} nur S_{k} ≥ 0 voraussetzen, kann eventuell min_{t=0} Q_{k} = 0 gelten, und Satz 4.1 liefert somit nur Q_{k} ≥ 0 auf allen M_{t}. Wie wir in Kapitel 8 sehen werden, benötigen wir für die Kurzzeitexistenz des Q_{k}-Flusses mit obigen Voraussetzungen allerdings Q_{k} > 0 auf allen M_{t} für t > 0. Um dies in Theorem 7.6 zu erreichen, werden wir dort noch fordern müssen, dass die Startfläche zusätzlich schwach konvex ist.

Für die mittlere Krümmung H gilt eine zu Satz 4.1 analoge Abschätzung nach oben:

Satz 4.4 Falls F : M^{n} × [ 0, T ) → IR^{n+1} eine Lösung von (⋆_{k}) ist für k ≥ 2, gilt

H(p, t) ≤ max_{t=0} H · (1 − c̃(k) (max_{t=0} H)^{2} t)^{− \frac{1}{2}}

solange für die Hauptkrümmungen λ = (λ_{1}, ..., λ_{n}) von M_{t} noch λ ∈ Γ_{k−1} gilt. Dabei ist

c̃(k) = 2 · max_{λ∈Γ_{k−1}} \{\frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} \}_{1≤i≤n} .

Beweis: Nach Korollar 3.2 gilt für H

\frac{∂}{∂t} H = □_{k}H + \frac{∂^{2}Q_{k}}{∂h_{q}^{p}∂h_{j}^{i}} ∇^{l}h_{q}^{p}∇_{l}h_{j}^{i} + \frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} · H ,

beziehungsweise

\frac{∂}{∂t} H ≤ □_{k}H + \frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} · H ,

weil Q_{k} nach Lemma 2.4 konkav ist, solange λ ∈ Γ_{k−1} gilt. Da aber Q_{k} homogen vom Grad 1 ist, ist \frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} homogen vom Grad 0, also insbesondere beschränkt.

Sei nun c_{k} := max_{Γ_{k−1}} \{\frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} \}, dann ist \frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} λ_{i}^{2} ≤ c_{k} · |A|^{2} .

Es gilt aber S_{2}(λ) ≥ 0 , da λ ∈ Γ_{k−1} und Q_{k} ≥ 0 nach dem letzten Satz gilt. Das bedeutet wegen S_{2} = \frac{1}{2}(H^{2} − |A|^{2}) auch |A|^{2} ≤ H^{2} und somit

\frac{∂}{∂t} H ≤ □_{k}H + c_{k} · H^{3} .

Nun folgt wie im Beweis des letzten Satzes durch Vergleich mit der Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

\frac{∂}{∂t} φ̃ = c_{k} · φ̃^{3} , φ̃(0) = max_{t=0} H

die Behauptung aus dem Maximumprinzip. □

Bemerkung 4.5 Die Newton-Ungleichung liefert für λ ∈ Γ_{k−1}

Q_{k}(λ) ≤ \frac{n − k + 1}{k · n} H .

Folglich liefert der letzte Satz zusätzlich eine Abschätzung für die Geschwindigkeit Q_{k} nach oben, beziehungsweise zusammen mit Satz 4.1 auch H ≥ 0, solange noch λ ∈ Γ_{k−1} gilt. Es folgt außerdem, dass H auf dem Intervall [ 0, T) mit T = \frac{1}{c̃(k)} (max_{t=0} H)^{−2} beschränkt bleibt. Da die Startfläche kompakt ist, gilt aber max_{t=0} H > 0 und somit T < ∞.

Wie oben erwähnt, gilt für k ≥ 2 wegen Q_{k} ≥ 0 immer |A|^{2} ≤ H^{2} und der Satz liefert somit auch eine a priori Schranke an |A|^{2} nach oben. Dies wird später für die Kurzzeitexistenz des Flusses eine entscheidende Rolle spielen (siehe Kapitel 8).

Satz 4.6 Für alle 2 ≤ k ≤ n existiert ein 0 < C < ∞, so dass für Lösungen F : M^{n} × [ 0, T ) → IR^{n+1} von (⋆_{k})

|A|^{2} ≤ C

auf einem Intervall [ 0, T) gilt, wobei C und T nur von max_{M_{0}} H abhängen.

Mit Hilfe der Newton-Ungleichung kann man wie in Bemerkung 4.5 immer Q_{k} durch H nach oben abschätzen, solange H > 0 gilt. Falls zusätzlich Q_{k} > 0 auf M_{0} ist, erhält man auch die umgekehrte Richtung:

Satz 4.7 Falls F : M^{n} × [ 0, T ) → IR^{n+1} eine Lösung von (⋆_{k}) ist, und Q_{k} > 0 auf M_{0} gilt, so ist

H(p, t) ≤ ( max_{t=0} \frac{H}{Q_{k}} ) · Q_{k}(p, t) .

Beweis: Für den Quotienten \frac{H}{Q_{k}} folgt mit Lemma 3.1, 6) und Korollar 3.2 c) die Evolutionsgleichung

\frac{∂}{∂t} (\frac{H}{Q_{k}} ) = □_{k}(\frac{H}{Q_{k}} ) + \frac{2}{Q_{k}} \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} ∇^{i}(\frac{H}{Q_{k}} )∇_{j} Q_{k} + \frac{1}{Q_{k}} \frac{∂^{2}Q_{k}}{∂h_{q}^{p}∂h_{j}^{i}} ∇^{l}h_{q}^{p}∇_{l}h_{j}^{i} .

Zusammen mit der Konkavität von Q_{k} gilt dann

\frac{∂}{∂t} (\frac{H}{Q_{k}} ) ≤ □_{k}(\frac{H}{Q_{k}} ) + \frac{2}{Q_{k}} \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} ∇^{i}(\frac{H}{Q_{k}} )∇_{j} Q_{k} .

Die Behauptung ist schließlich eine Folge des Maximumprinzips. □

Bemerkung 4.8 Für k = 1 handelt es sich bei dem Problem (⋆_{k}) um den bekannten mittleren Krümmungsfluss, der von G. Huisken in [H84] untersucht wurde. Da in diesem Fall

\frac{∂^{2}f}{∂h_{j}^{i}∂h_{q}^{p}} = \frac{∂^{2}H}{∂h_{j}^{i}∂h_{q}^{p}} = 0

gilt, vereinfachen sich damit einige der Evolutionsgleichungen des letzten Kapitels. Man kann dann beispielsweise leicht beweisen, dass schwach konvexe Anfangsflächen unter der Evolution sofort strikt konvex werden. Dazu betrachtet man nacheinander die Quotienten Q_{k} von H bis Q_{n}. Da □_{1} = Δ gleichmäßig elliptisch ist, erhält man mit dem strikten Maximumprinzip für parabolische Gleichungen zunächst aus Korollar 3.2 c), dass H sofort strikt positiv wird. Für jedes t > 0 ist also Q_{2} wohldefiniert und nichtnegativ. Somit ist wegen Lemma 2.4 Q_{2} konkav in h_{j}^{i} und mit Korollar 3.2 d) und dem strikten Maximumprinzip folgt für K = Q_{2}, dass auch Q_{2} sofort strikt positiv wird, womit Q_{3} wiederum wohldefiniert ist. Diese Argumentation kann nun iterativ fortgesetzt werden bis zu Q_{n} > 0 auf M^{n} × (0, T). Es sei noch bemerkt, dass jeweils die Alternativen Q_{k} ≡ 0 auf ganz M_{t} unmöglich sind, da die Flächen kompakt sind, und somit strikt konvexe Punkte existieren müssen.

Für den Fall k ≥ 2 ist es deutlich schwieriger, das entsprechende Resultat zu beweisen. Um hier überhaupt zu zeigen, dass schwach konvexe Startflächen unter der Evolution schwach konvex bleiben, muss man M_{0} zunächst durch strikt konvexe Flächen approximieren. Deshalb wollen wir uns an dieser Stelle der Evolution strikt konvexer Anfangsflächen widmen.

Falls nämlich M_{0} bereits strikt konvex ist, kann man die im letzten Kapitel eingeführte Größe H̃ näher untersuchen, was wir im Folgenden tun wollen. Wie wir bereits gesehen haben, vereinfacht sich die Evolutionsgleichung für H̃ deutlich, wenn man die Geschwindigkeit f als Inverses einer konkaven Funktion g in den Hauptradien schreiben kann. Für die Geschwindigkeit Q_{k} ist dies möglich, denn:

Lemma 4.9 Es gilt für alle λ ∈ Γ_{n} und κ_{i} = \frac{1}{λ_{i}} für i ∈ \{1, ..., n\}

Q_{k} = \frac{S_{k}(λ)}{S_{k−1}(λ)} = \frac{S_{n−k}(κ)}{S_{n−k+1}(κ)} = (Q̃_{n−k+1})^{−1} .

Beweis: Es ist

Q_{k} = \frac{S_{k}(λ)}{S_{k−1}(λ)} = ( ∑_{1≤i_{1}<...<i_{k}≤n} \frac{1}{κ_{i_{1}}} · ... · \frac{1}{κ_{i_{k}}} )( ∑_{1≤i_{1}<...<i_{k−1}≤n} \frac{1}{κ_{i_{1}}} · ... · \frac{1}{κ_{i_{k−1}}} )^{−1}

= (\frac{S̃_{n−k}}{S̃_{n}} )(\frac{S̃_{n−k+1}}{S̃_{n}} )^{−1} = (Q̃_{n−k+1})^{−1} .
□

Für H̃ gilt dann folgende Abschätzung.

Satz 4.10 Falls M_{0} strikt konvex und F : M^{n} × [ 0, T ) → IR^{n+1} eine Lösung von (⋆_{k}) ist, gilt

H̃(p, t) ≤ (( max_{t=0} H̃)^{2} − ĉ(k) t)^{\frac{1}{2}}  (8)

mit ĉ(k) = 2 \frac{n^{2} (n−k+1)}{k} . Insbesondere ist T ≤ \frac{max_{t=0} H̃}{ĉ(k)} .

Beweis: Nach dem letzten Lemma ist Q_{k} = (Q̃_{n−k+1})^{−1} auf konvexen Flächen und somit ist wegen Lemma 2.4 Lemma 3.6 anwendbar. Für die Evolution von H̃ gilt also

\frac{∂}{∂t} H̃ ≤ □_{k} H̃ − \frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} · H̃ .

Wie im Beweis von Satz 4.1 folgt

\frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} ≥ \frac{k}{n − k + 1} Q_{k}^{2} .

Durch mehrfache Anwendung der Newton-Ungleichung erhält man weiter Q_{k} ≥ \frac{n (n−k+1)}{k} Q_{n}. Da aber wegen Lemma 4.9 Q_{n} = H̃^{−1} gilt, folgt

\frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} ≥ \frac{n^{2} (n − k + 1)}{k} H̃^{−2}

und somit

\frac{∂}{∂t} H̃ ≤ □_{k} H̃ − \frac{n^{2} (n − k + 1)}{k} H̃^{−1} .

Wie in den Beweisen von Satz 4.1 und 4.4 folgt jetzt die Behauptung durch Vergleich mit der Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

\frac{∂}{∂t} φ̂ = − \frac{n^{2} (n − k + 1)}{k} · φ̂^{−1} , φ̂(0) = max_{t=0} H̃

aus dem Maximumprinzip. □

Bemerkung 4.11 Die Abschätzung (8) ist scharf, denn falls M_{0} eine Sphäre ist, beschreibt φ̂ genau die Größe H̃.

Korollar 4.12 Für glatte Lösungen des Anfangswertproblems (⋆_{k}) sind alle Flächen M_{t} strikt konvex, falls dies bereits für M_{0} gilt, und es existiert ein δ(M_{0}) > 0, so dass λ_{i}(p, t) > δ für alle i ∈ {1, ..., n} und (p, t) ∈ M^{n} × [ 0, T) ist.

Beweis: Der erste Teil der Aussage folgt analog zu Theorem 3.7. Abschätzung (8) liefert wegen H̃ = ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{λ_{i}} auch den zweiten Teil der Behauptung. □

Um nun schließlich zu zeigen, dass auch schwache Konvexität unter der Evolution erhalten bleibt, brauchen wir noch folgende Aussage über das Existenzintervall von Lösungen.

Satz 4.13 Sei [ 0, T) das maximale Existenzintervall für eine Lösung von (⋆_{k}), wobei λ ∈ Γ_{k} für die Hauptkrümmungen λ = (λ_{1}, ..., λ_{n}) von M_{0} gelte. Dann ist T < ∞ und für t → T wird max_{M_{t}} |A|^{2} unbeschränkt.

Beweis: Da die Startfläche M_{0} kompakt ist, kann man eine Kugel B_{R} vom Radius R > 0 finden, so dass M_{0} ganz im Inneren von B_{R} liegt. Läßt man nun ∂B_{R} und M_{0} gleichzeitig fließen, so muss aufgrund des Maximumprinzips während der ganzen Evolution die Fläche M_{t} in der entsprechenden Kugel B_{R(t)} enthalten sein. Für R(t) gilt nach Bemerkung 4.2

R(t) = 0 für t = \frac{R(0)^{2} k}{2 (n − k + 1)} ,

folglich ist T < ∞. Um den zweiten Teil der Aussage zu beweisen, wollen wir zeigen, dass unter der Annahme max_{M_{t}} |A|^{2} < C für ein C > 0, die Flächen M_{t} zu einer glatten Grenzfläche M_{T} konvergieren mit λ ∈ Γ_{k} auf ganz M_{T}. Dann könnte man aber wegen Lemma 2.5 das Resultat aus [HP], Theorem 3.1 auf M_{T} anwenden, um die Lösung auf spätere Zeitpunkte auszuweiten, was der Maximalität von T widersprechen würde. Sei also max_{M_{t}} |A|^{2} < C für 0 ≤ t < T. Nach Bemerkung 4.5 ist Q_{k} ≤ \frac{n−k+1}{k n} H, und außerdem gilt H ≤ \sqrt{n} |A|. Somit ist

|F (p, t_{1}) − F (p, t_{2})| ≤ ∫_{t_{1}}^{t_{2}} |Q_{k}(p, τ)|dτ ≤ \frac{n−k+1}{k n} \sqrt{n} C^{\frac{1}{2}} |t_{2} − t_{1}| ,

und folglich konvergiert F (·, t) für t → T zu einem stetigen Grenzwert F (·, T) . Um zu zeigen, dass F (·, T) eine Fläche M_{T} darstellt, benutzen wir ein Lemma von R. Hamilton. Dieses besagt, dass für eine zeitabhängige Metrik g_{ij} auf einer kompakten Mannigfaltigkeit M mit

∫_{0}^{T} max_{M} |\frac{∂}{∂t} g_{ij}| dt ≤ C̃ < ∞

die Metriken g_{ij}(t) für alle Zeiten t ∈ [ 0, T) äquivalent sind und für t → T gleichmäßig gegen einen positiv definiten metrischen Tensor g_{ij}(T) konvergieren, der stetig und ebenfalls äquivalent ist. In unserem Fall ist mit Lemma 3.1

|\frac{∂}{∂t} g_{ij}|^{2} = g^{ip}g^{jq}(\frac{∂}{∂t} g_{ij})(\frac{∂}{∂t} g_{pq}) = 4 Q_{k}^{2} |A|^{2} ≤ 4 n (\frac{n − k + 1}{k n})^{2} C^{2} ,

und wir können somit das Lemma 14.2 aus [Ha1] anwenden. Die Tatsache, dass auch auf M_{T} wieder λ ∈ Γ_{k} gelten muss, folgt dann aus Satz 4.1.

Es bleibt also nur noch zu zeigen, dass M_{T} glatt ist. Dabei ist zu bemerken, dass die Schranke an |A|^{2} gleichmäßige C^{2}-Schranken an F impliziert. Da aber Q_{k} konkav in h_{j}^{i} ist, und die Evolutionsgleichung wegen Q_{k} > 0 und Lemma 2.5 gleichmäßig parabolisch ist, kann man die Abschätzungen von Krylov [Kry], Theorem 2, Kapitel 5.5 anwenden und erhält aus den gleichmäßigen C^{2}-Schranken gleichmäßige innere C^{2,α}-Schranken in Raum und Zeit. Zur Definition der parabolischen Höldernormen siehe zum Beispiel [Lie]. Für C^{2,α}-Abschätzungen, die nicht nur im Inneren, sondern auch in einer Umgebung einer Anfangsfläche gelten, kann man anhand der Resultate von Krylov [Kry] nachprüfen, dass diese nur von der Schranke an |A| und der C^{2,α}- Norm der Anfangsfläche abhängen. Die höheren C^{l}-Schranken erhält man mittels der inneren Schauderabschätzungen für parabolische Gleichungen, siehe [Lie]. □

Satz 4.14 Für glatte Lösungen des Anfangswertproblems (⋆_{k}) sind alle Flächen M_{t} schwach konvex, falls dies für M_{0} gilt.

Beweis: Für k = 1, das heißt den mittleren Krümmungsfluss ist die Behauptung klar (siehe Bemerkung 4.8). Um die Behauptung für k ≥ 2 zu zeigen, approximieren wir wie bereits oben erwähnt die schwach konvexe Anfangsfläche M_{0} glatt durch eine Familie strikt konvexer Flächen M_{0}^{ε}. Diese bekommt man beispielsweise mit Hilfe des mittleren Krümmungsflusses. Von jeder der Flächen M_{0}^{ε} kann man nun aufgrund der strikten Konvexität den Q_{k}-Fluss starten (wieder mit [HP], Theorem 3.1) und erhält wegen Korollar 4.12 strikt konvexe Lösungen M_{t}^{ε} für t ∈ [ 0, T_{ε}). Wegen Satz 4.6 erhält man für die Flächen M_{t}^{ε} gleichmäßige |A|^{2}-Schranken und mit Satz 4.13 erhält man dann eine gleichmäßige untere Schranke an T_{ε}. Da wieder die gleichmäßige |A|^{2}-Schranke für die Flächen M_{t}^{ε} eine gleichmäßige C^{2}-Schranke für die Lösungen F_{ε} impliziert, liefert das Theorem von Arzela-Ascoli eine gleichmäßig konvergente Teilfolge F_{ε_{i}}, die für ε_{i} → 0 in C^{1} gegen F konvergiert. Als gleichmäßiger Limes konvexer Lösungen müssen die Flächen M_{t} schwach konvex sein.

Falls die Lösungen M_{t} eindeutig sind, ist die Behauptung damit gezeigt. Um diese Eindeutigkeit zu zeigen, wollen wir an dieser Stelle eine Definition von Viskositätslösungen aus [A3] angeben. Eine Familie von konvexen Gebieten {Ω_{t}}_{0<t<T} heißt dabei Viskositätslösung von (⋆_{k}), falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

i) Für jede glatte, strikt konvexe Hyperfläche N_{0}, die in Ω_{t_{0}} für ein t_{0} ∈ (0, T) enthalten ist, sind die eindeutigen glatten Hyperflächen N_{t}, die man als Lösung von (⋆_{k}) mit Startfläche N_{0} erhält, für alle t ∈ [ 0, T − t_{0}) in Ω_{t_{0}+t} enthalten, solange sie existieren. ii) Für jede glatte, strikt konvexe Hyperfläche N_{0}, die Ω_{t_{0}} für ein t_{0} ∈ (0, T) umschließt, umschließen die eindeutigen glatten Flächen N_{t} für alle t ∈ [ 0, T − t_{0}) die Mengen Ω_{t_{0}+t}.

Mit diesem sehr schwachen Begriff einer Lösung erhält man wie in [A3], Theorem 15 für schwach konvexe Anfangsflächen aus der |A|^{2}-Schranke zumindest für kurze Zeiten eine eindeutige Viskositätslösung, die für t → 0 im Hausdorffabstand gegen M_{0} konvergiert. Da glatte Lösungen insbesondere Viskositätslösungen sind, ist die Behauptung somit bewiesen. □

5 Striktes Maximumprinzip für die Geschwindigkeit Q_{k}

Wir wollen jetzt als Startfläche M_{0} für das Problem (⋆_{k}) aus Kapitel 4 eine glatte, geschlossene, schwach konvexe Hyperfläche des IR^{n+1} betrachten, auf der S_{k−1} > 0 gilt. Insbesondere gilt auf M_{0} dann S_{l} > 0 für alle 1 ≤ l ≤ k − 1.

Da auf diesen Flächen nach Lemma 2.5 zwar \frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} ≥ 0 gilt für alle i ∈ \{1, ..., n\}, aber eben nicht notwendigerweise \frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} > 0 , hat der Operator □_{k} eventuell Nulleigenwerte, das heißt er ist nur degeneriert elliptisch. Aus diesem Grund kann man kein striktes parabolisches Maximumprinzip für die Evolution der Geschwindigkeit Q_{k} benutzen, um zu zeigen, dass Q_{k}(p, t) > 0 für alle p ∈ M^{n} und t > 0 gilt. Setzt man allerdings voraus, dass man bereits (zumindest für kurze Zeiten) eine glatte Lösung von (⋆_{k}) hat, so kann man mit Hilfe eines Maximumprinzips für degeneriert elliptische Operatoren zeigen, dass Q_{k} unter der Evolution dennoch sofort strikt positiv werden muss. Der wichtigste Schritt dazu ist folgendes Lemma.

Lemma 5.1 Sei M^{n} eine glatte, geschlossene, schwach konvexe Hyperfläche des IR^{n+1} mit S_{k−1} > 0 auf ganz M^{n} für ein 1 ≤ k ≤ n. Dann existiert zu jedem p ∈ M^{n} mit Q_{k}(p) = 0 eine regulär parametrisierte Kurve γ : [ 0, 1 ] → M^{n} und ein Punkt q ∈ M^{n} mit Q_{k}(q) > 0, so dass γ die Punkte p und q verbindet und \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} in Richtung von γ nicht verschwindet. Das heißt γ̇ lässt sich für t ∈ [ 0, 1 ] darstellen als γ̇(t) = w(t) mit w^{j} = \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} v^{i} für ein glattes Vektorfeld v entlang der Kurve γ.

Beweis: Für k = 1 ist \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} = \frac{∂H}{∂h_{j}^{i}} = δ_{i}^{j} und somit die Behauptung klar. Sei also k > 1 und p ∈ M^{n} mit Q_{k}(p) = 0. Wegen S_{k−1}(p) > 0 gelte in p ohne Beschränkung der Allgemeinheit für die Hauptkrümmungen

λ_{1}, …, λ_{k−1} > 0 und λ_{k} = … = λ_{n} = 0 .

Wegen Lemma 2.5 gilt dann

\frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} (p) = 0 für i ∈ \{1, …, k − 1\} und \frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} (p) > 0 für i ∈ \{k, …, n\} .

Aufgrund der Stetigkeit der Hauptkrümmungen existiert eine Umgebung U_{p} ⊂ M^{n} von p, so dass auf ganz U_{p} gilt λ_{1}, ..., λ_{k−1} > 0 und \frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} > 0 für i ∈ \{k, ..., n\}. (Wir meinen dabei nicht, dass h_{j}^{i} in der ganzen Umgebung diagonal ist.)

Wähle jetzt in p eine Orthonormalbasis {e_{i}(p)}_{1≤i≤n} von T_{p}M^{n}, so dass in dieser Basis h_{j}^{i} diagonal ist, das heißt die Richtungen e_{i}(p) sind die Hauptkrümmungsrichtungen zu den Eigenwerten λ_{i}. Insbesondere gilt

ker A(p) = ⟨e_{k}, ..., e_{n}⟩ ,

wobei ⟨e_{k}, ..., e_{n}⟩ den Aufspann der Basisvektoren e_{k}, ..., e_{n} bezeichnet. Setze nun {e_{i}} glatt auf U_{p} fort, so dass in jedem Punkt q ∈ U_{p} gilt, dass {e_{i}(q)}_{1≤i≤n} eine Basis von T_{q}M^{n} ist. Durch glatte Operationen kann man dann die Vektorfelder e_{i} zu Basisvektorfeldern ẽ_{i} umwandeln, so dass für i ∈ {1, ..., k − 1} und q ∈ U_{p} gilt

ẽ_{i}(q) ⊥ ⟨ẽ_{k}(q), ..., ẽ_{n}(q)⟩ =: D(q) .

Falls U_{p} klein genug ist, ist D somit eine glatte (n−k+1)−dimensionale Distribution auf U_{p} und es gilt

(⋆)  \{ \begin{matrix}ker A(q) ⊆ D(q) & für alle q ∈ U_{p} \\ A(q)(ẽ_{i}(q), ẽ_{j}(q)) > 0 & für alle i, j ∈ \{1, ..., k − 1\} . \end{matrix}

Gäbe es nun in einem Punkt eine Nulleigenrichtung von \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} in D, so könnte diese

wegen Lemma 2.5 keine Nulleigenrichtung von h_{j}^{i} sein. Dann existierten aber dort wegen (⋆) mindestens k positive Hauptkrümmungen und in diesem Fall würde wegen S_{k} > 0 an dieser Stelle wieder mit Lemma 2.5 folgen, dass \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} positiv definit ist.

Also kann \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} in Richtungen von D nicht verschwinden.

Kurven mit γ̇ ∈ D wollen wir D−Kurven nennen und Γ_{p}(D) ⊆ U_{p} die Menge aller Punkte q ∈ U_{p}, die mit p durch eine D−Kurve verbunden werden können. Falls es einen Punkt q ∈ Γ_{p}(D) gibt mit Q_{k}(q) > 0, ist die Behauptung des Lemmas gezeigt. Nehmen wir also an, dies sei nicht der Fall und es gelte Q_{k}(q) = 0 für alle q ∈ Γ_{p}(D). Wegen (⋆) muss dann

D(q) = ker A(q) für alle q ∈ Γ_{p}(D)

gelten und die Distribution D ist somit involutiv auf Γ_{p}(D). Nach Theorem 5.3 aus [HK] existieren deshalb Koordinaten w : U_{p} → IR^{n}, w(p) = 0 mit D = ⟨\frac{∂}{∂w^{k}} , ..., \frac{∂}{∂w^{n}} ⟩ auf {w^{i} = 0}_{i∈{1,...,k−1}}, das heißt N := Γ_{p}(D) ist eine (n − k + 1)−dimensionale Untermannigfaltigkeit von M^{n} mit Q_{k}|_{N} ≡ 0. Aufgrund der Stetigkeit von Q_{k} müsste Q_{k} = 0 auch auf dem Rand von N in M^{n} gelten und man könnte dasselbe Argument wie oben an einem möglichen Randpunkt von N wiederholen. Auf diese Weise erhält man eine (n − k + 1)−dimensionale Untermannigfaltigkeit N^{n−k+1} von M^{n} ohne Rand mit Q_{k}|_{N} ≡ 0.

Wegen ker A(p) = T_{p}N ⊂ T_{p}M^{n} für alle p ∈ N gilt

A(p)(X, Y) = 0 für alle X ∈ T_{p}N, Y ∈ T_{p}M^{n}

und somit aufgrund der Definition der zweiten Fundamentalform von M^{n} ⊂ IR^{n+1}

Dν(p) · X = 0 für alle X ∈ T_{p}N ,

wobei Dν(p) die Weingartenabbildung im Punkt p ist. Das bedeutet aber, dass ν im IR^{n+1} parallel ist entlang Kurven in N. Sei nun p ∈ N fest und E := T_{p}M^{n}, dann muss N ⊆ E gelten, weil M^{n} schwach konvex ist und somit auf einer Seite von E liegen muss. Also gilt T_{q}M^{n} = E für alle q ∈ N. Seien jetzt p_{1}, p_{2} ∈ N und γ die Verbindungsgerade im IR^{n+1} von p_{1} nach p_{2}, also insbesondere γ ⊂ E. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei der Abstand von p_{1} und p_{2} kleiner als der Injektivitätsradius von M^{n}. Da M^{n} schwach konvex ist, und somit eine konvexe Menge berandet, muss γ innerhalb dieser Menge verlaufen, beziehungsweise wegen obiger Argumentation über E sogar in M^{n} selber. Angenommen, es existiert dann ein Punkt p_{0} auf γ mit p_{0} ∈ M^{n} \ N, so existiert ein Punkt q_{0} ∈ N, der minimalen Abstand zu p_{0} hat, und die minimale Geodäte σ von q_{0} nach p_{0} steht senkrecht auf N, das heißt σ̇(0) ⊥ T_{q_{0}}N. Da aber ker A(q_{0}) = T_{q_{0}}N gilt, ergibt sich ein Widerspruch zu p_{0} ∈ M^{n} ∩ E. Demzufolge gilt γ ⊂ N und N ist folglich total geodätisch im IR^{n+1}, das heißt es gilt N ≃ IR^{n−k+1}, da N keinen Rand hat. Dies kann aber wiederum nicht sein, weil N eine Untermannigfaltigkeit der kompakten Mannigfaltigkeit M^{n} ist. Also ist die Behauptung gezeigt. □

Es gilt folgendes striktes Maximumprinzip für die Geschwindigkeit Q_{k}.

Theorem 5.2 Sei M_{0} eine glatte, geschlossene, schwach konvexe Hyperfläche des IR^{n+1} mit S_{k−1} > 0 auf ganz M_{0} für ein 1 ≤ k ≤ n und F : M^{n} × [ 0, T ) → IR^{n+1} eine glatte Lösung von (⋆_{k}) für ein T > 0. Dann gilt Q_{k}(p, t) > 0 für alle p ∈ M^{n} und t ∈ [ 0, T).

Beweis: Die Geschwindigkeit Q_{k} erfüllt (siehe Lemma 3.1) die Evolutionsgleichung

\frac{∂}{∂t} Q_{k} = □_{k} Q_{k} + \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} h^{il}h_{lj} · Q_{k} .

Da M_{0} eine kompakte, schwach konvexe Hyperfläche ist, muss es mindestens einen Punkt p ∈ M_{0} geben, an dem alle Hauptkrümmungen positiv sind, das heißt an dem Q_{k}(p) > 0 gilt. Das obige Lemma besagt, dass man jeden Punkt q ∈ M^{n} mit Q_{k}(q, 0) = 0 mit einem Punkt q̃ ∈ M^{n} mit Q_{k}(q̃, 0) > 0 durch eine Kurve γ ⊂ M^{n} verbinden kann, entlang der □_{k} nicht degeneriert ist. Das strikte Maximumprinzip für degeneriert elliptische Operatoren (siehe [Alt] und [Bon] oder für eine ausführliche Erklärung [Tai]) liefert dann die Behauptung. □

6 Zylinder

In diesem Kapitel wollen wir zeigen, dass jede schwach konvexe C^{2,α}-Hyperfläche des IR^{n+1}, auf der S_{k} > 0 für ein 1 ≤ k ≤ n gilt, vollständig durch die Eigenschaft charakterisiert ist, dass man sie in jedem Punkt durch einen Zylinder der Form S_{R}^{k} × IR^{n−k} von außen berühren kann. Wir werden diese Zylinder dann im nächsten Kapitel benutzen, um zylindersymmetrische Barrieren für den Fluss zu konstruieren, die uns im Anschluss ein striktes Maximumprinzip für Q_{k} liefern, das im Gegensatz zu Theorem 5.2 nicht von der Existenz einer glatten Lösung abhängt.

Theorem 6.1 Sei F : M^{n} → IR^{n+1} für ein 0 < α ≤ 1 eine C^{2,α}-Immersion einer geschlossenen Hyperfläche im Euklidischen Raum, n ≥ 2. Dann ist M genau dann schwach konvex mit S_{k} > 0 auf ganz M für ein 1 ≤ k ≤ n, wenn es ein R > 0 gibt, so dass zu jedem Punkt p ∈ M ein Zylinder Z_{p} ≃ S_{R}^{k} × IR^{n−k} existiert, der M umschließt und in p von außen berührt. Dabei ist S_{R}^{k} eine k-dimensionale Sphäre vom Radius R und M = F (M^{n}) ⊆ IR^{n+1}.

Beweis: Sei M schwach konvex mit S_{k} > 0 und p ∈ M beliebig. Wegen S_{k} > 0 existieren in p mindestens k positive Hauptkrümmungen λ_{1}, ..., λ_{k} > 0. Wir wählen dann ein Koordinatensystem (x_{1}, ..., x_{n+1}) des IR^{n+1}, so dass p der Ursprung und x_{n+1}(p) = 0 ist. Da M schwach konvex ist, muss die Fläche ganz auf einer Seite von T_{p}M liegen, deshalb gelte ohne Beschränkung der Allgemeinheit T_{p}M = {x_{n+1} = 0} und M liege unterhalb von T_{p}M. Außerdem seien die x_{i} genau die Hauptkrümmungsrichtungen in p und

E := ⟨x_{k+1}, ..., x_{n}⟩ = {x ∈ IR^{n+1} | x_{1}, ..., x_{k} = 0, x_{n+1} = 0} .

Offensichtlich ist der Kern der zweiten Fundamentalform im Punkt p in E enthalten.

Da M schwach konvex ist, gilt x_{n+1}(q) ≤ 0 für alle q ∈ M. Für q ∈ M \ E muß allerdings x_{n+1}(q) < 0 gelten, da sonst aufgrund der Konvexität von M die Verbindungsstrecke von p nach q in E liegen müßte, was wegen ker A(p) ⊆ E nicht sein kann. Also gilt

x_{n+1}(q) = 0 für ein q ∈ M ⟺ q ∈ E .  (9)

Behauptung:

Für alle q ∈ M ∩ E gilt ker A(q) ⊆ E .  (10)

Angenommen, diese Behauptung sei bereits bewiesen, dann gilt

A(q)(w, w) > 0 für alle q ∈ M ∩ E und w ∈ T_{q}M ∩ E^{⊥} .  (11)

Definiere jetzt für alle q ∈ M die (k + 1)-dimensionalen Ebenen

E(q) := {q + ∑_{i=1}^{k} μ^{i} e_{i} + μ e_{n+1} | μ^{i}, μ ∈ IR}

und die Mengen D(q) := E(q) ∩ M. Dann ist M = ⋃_{q∈E} D(q) . Da M kompakt ist, existiert ein kompaktes K ⊆ IR^{n+1}, so dass

M = ⋃_{q∈E∩K} D(q) .

Außerdem existiert für alle q ∈ E ∩ K wegen (11) ein R(q) > 0 und ein y(q) ∈ E(q) mit y_{i}(q) = 0 für alle 1 ≤ i ≤ k, so dass

D(q) ⊆ B̄_{R(q)}^{k}(y(q)) ⊆ E(q) und D(q) ∩ B̄_{R(q)}^{k}(y(q)) = {q} .

Da M beziehungsweise K kompakt sind, existiert nun ein R_{max} > 0 und ein z_{max} < 0, so dass für alle q ∈ E ∩ K gilt

D(q) ⊆ B̄_{R_{max}}^{k}(y(q)) und D(q) ∩ B̄_{R_{max}}^{k}(y(q)) = {q}

mit y_{i}(q) = 0 für alle 1 ≤ i ≤ k und y_{n+1}(q) = z_{max}.

Z̃ := ⋃_{q∈E∩K} ∂ B_{R_{max}}^{k}(y(q))

ist nun ein Teilstück des gesuchten Zylinders Z mit Z ≃ S_{R_{max}}^{k} × IR^{n−k}. Wieder aufgrund der Kompaktheit von M kann man den Radius R dieser Zylinder auch unabhängig vom Berührpunkt p ∈ M wählen.

Um den Beweis der einen Richtung des Theorems zu beenden, muss jetzt noch die Behauptung (10) gezeigt werden. Sei dazu q ∈ M ∩E und v ∈ T_{q}M ∩E^{⊥} mit |v| = 1, v ∈ ker A(q). Betrachte dann für ein festes δ > 0 die eindeutige Geodäte γ : (−δ, δ) → M mit γ(0) = q und γ̇(0) = v. Für alle ε ∈ [ 0, δ) sei außerdem die Gerade g_{ε} : (−∞, ∞) → IR^{n+1} im IR^{n+1} gegeben durch g_{ε}(0) = p und g_{ε}(t_{ε}) = γ(ε) für ein t_{ε} > 0.

Lemma 6.2 Es existiert ein c = c(M) > 0, so dass für alle ε ∈ [ 0, δ) gilt

x_{n+1}(γ(ε)) ≥ − c · ε^{2+α} .

Beweis: Da M konvex ist und g_{0} ⊆ E, kann man M in einer Umgebung U ⊂ M von g_{0}|_{[0,t_{0}]} als Graph über der Ebene {x ∈ IR^{n+1} | x_{n+1} = 0} ≃ IR^{n} schreiben . Sei also M ∩ U = graph u für ein u ∈ C^{2,α}(IR^{n}), das heißt für alle y ∈ U gilt y = (x, u(x)) = (x, x_{n+1}) mit x ∈ IR^{n}. In q =: (x_{0}, 0) gilt dann wegen v ∈ ker A(q)

u(x_{0}) = 0 , ∇u(x_{0}) = 0 und ⟨D^{2}u(x_{0}) v, v⟩ = 0.  (12)

Für alle ε ∈ [ 0, δ) sei x_{ε} ∈ IR^{n} gegeben durch γ(ε) = (x_{ε}, u(x_{ε})). Eine Taylor-Entwicklung von u um x_{0} ergibt dann

u(x_{ε}) = u(x_{0}) + ⟨∇u(x_{0}), x_{ε} − x_{0}⟩ + \frac{1}{2} ⟨D^{2}u(x_{θ})(x_{ε} − x_{0}), (x_{ε} − x_{0})⟩ ,

wobei x_{θ} = x_{0} + θ(x_{ε} − x_{0}) für ein 0 < θ ≤ 1 ist. Wegen (12) ist also

u(x_{ε}) = \frac{1}{2} ⟨D^{2}u(x_{θ})(x_{ε} − x_{0}), (x_{ε} − x_{0})⟩ .

Da aber u(x_{ε}) ≤ 0, gilt wieder mit (12)

u(x_{ε}) = − \frac{1}{2} |⟨D^{2}u(x_{θ})(x_{ε} − x_{0}), (x_{ε} − x_{0})⟩|
= − \frac{1}{2} |⟨D^{2}u(x_{θ})(x_{ε} − x_{0}), (x_{ε} − x_{0})⟩ − ⟨D^{2}u(x_{0})(x_{ε} − x_{0}), (x_{ε} − x_{0})⟩|
≥ − \frac{1}{2} | D^{2}u(x_{θ}) − D^{2}u(x_{0}) | · | x_{ε} − x_{0} |^{2} .

Weil aber u ∈ C^{2,α}(IR^{n}) ist, gibt es ein c_{α} > 0, so dass

| D^{2}u(x_{θ}) − D^{2}u(x_{0}) | ≤ c_{α}| x_{θ} − x_{0} |^{α} .

Damit gilt

u(x_{ε}) ≥ − \frac{1}{2} c_{α}| x_{θ} − x_{0} |^{α} | x_{ε} − x_{0} |^{2}
= − \frac{1}{2} c_{α} θ^{α} | x_{ε} − x_{0} |^{α} | x_{ε} − x_{0} |^{2}
≥ − \frac{1}{2} c_{α} | x_{ε} − x_{0} |^{2+α} .

Weil nun M nichtnegative Schnittkrümmungen hat, ist | x_{ε} −x_{0} | ≤ d_{M}(γ(ε), q) = ε und mit c := \frac{1}{2} c_{α} folgt x_{n+1}(γ(ε)) = u(x_{ε}) ≥ −c·ε^{2+α}, womit das Lemma bewiesen ist.

Lemma 6.3 Für alle t ∈ [ 0, t_{ε}] gilt mit d_{ε} = | p − γ(ε) |

x_{n+1}(g_{ε}(t)) ≥ − c · \frac{t}{d_{ε}} · ε^{2+α} .

Beweis: Nach Strahlensatz gilt

\frac{− x_{n+1}(γ(ε))}{| p − γ(ε) |} = \frac{− x_{n+1}(g_{ε}(t))}{t} .

Dabei soll ohne Beschränkung der Allgemeinheit g_{ε} nach Bogenlänge parametrisiert sein. Zusammen mit dem letzten Lemma gilt also

x_{n+1}(g_{ε}(t)) = \frac{t}{d_{ε}} x_{n+1}(γ(ε)) ≥ − c · \frac{t}{d_{ε}} · ε^{2+α} ,

was zu zeigen war.

Eine Taylor-Entwicklung wie im Beweis von Lemma 6.2 von u um x = 0 ergibt für ein 0 < θ ≤ 1:

u(t · x_{ε}) = u(0) + ⟨∇u(0), t x_{ε}⟩ + \frac{1}{2} ⟨D^{2}u(θ t x_{ε}) t x_{ε}, t x_{ε}⟩
= \frac{1}{2} ⟨D^{2}u(θ t x_{ε}) t x_{ε}, t x_{ε}⟩,

da wie oben u(0) = 0 und ∇u(0) = 0 ist. Außerdem gilt wegen u ∈ C^{2,α}(IR^{n})

|D^{2}u(θ t x_{ε}) − D^{2}u(0)| ≤ c_{α}| θ t x_{ε}|^{α}

und somit

u(t · x_{ε}) ≤ \frac{1}{2} c_{α} | θ t x_{ε}|^{α} | t x_{ε}|^{2} + \frac{1}{2} ⟨D^{2}u(0) t x_{ε}, t x_{ε}⟩
≤ \frac{1}{2} ⟨D^{2}u(0) t x_{ε}, t x_{ε}⟩ + O(| t x_{ε}|^{2+α}) .

Weil aber M kompakt ist, existiert ein D > 0, so dass | x_{ε} | ≤ D gilt. Dann ist wegen

h_{ij} = \frac{−D_{i}D_{j}u}{\sqrt{1 + | Du |^{2}}}

u(t · x_{ε}) = \frac{1}{2} ⟨D^{2}u(0) t x_{ε}, t x_{ε}⟩ + O(t^{2+α}) = − \frac{1}{2} A(p)(t x_{ε}, t x_{ε}) + O(t^{2+α})
= − \frac{1}{2} t^{2} A(p)(x_{ε}, x_{ε}) + O(t^{2+α}) .

Es gilt x_{ε} = x_{0} + ε′ · v für ein ε′ ≤ ε und v = ∑_{i=1}^{k} v^{i}e_{i}, wobei {e_{i}}_{1≤i≤n+1} die Einheitsvektoren im IR^{n+1} sind. Für kleine ε kann man dabei ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass ε′ ≥ \frac{ε}{2} gilt. Damit ist wegen |v| = 1

A(p)(x_{ε}, x_{ε}) = \underbrace{A(p)(x_{0}, x_{0})}_{=0} + \underbrace{2 ε′A(p)(x_{0}, v)}_{≥0, da M konvex} + (ε′)^{2} A(p)(v, v)

≥ (ε′)^{2} ∑_{i,j=1}^{k} v^{i}v^{j} A(p)(e_{i}, e_{j})

= (ε′)^{2} ∑_{i,j=1}^{k} v^{i}v^{j} h_{ij}
≥ \frac{ε^{2}}{4} min_{1≤i≤k}\{λ_{i}\} .

Mit κ := min_{1≤i≤k}{λ_{i}}(p) > 0 folgt somit für kleine t > 0

x_{n+1}(g_{ε}(t)) ≤ u(t · x_{ε}) ≤ − \frac{1}{8} t^{2}ε^{2}κ + O(t^{2+α}) .

Mit Lemma 6.3 ist dann

− c \frac{t}{d_{ε}} ε^{2+α} ≤ − \frac{1}{8} t^{2}ε^{2}κ + O(t^{2+α})

beziehungsweise

t d_{ε} κ ≤ 8 c ε^{α} + O(t^{2+α}) .

Für t = ε^{\frac{α}{2}} und kleine ε > 0 ist also d_{ε} κ ≤ 16 c ε^{\frac{α}{2}} . Wegen | p − q | = |x_{0}| > 0 existiert außerdem ein d > 0 mit d_{ε} ≥ d. Also gilt

d κ ≤ 16 c ε^{\frac{α}{2}} ,

was für beliebig kleine ε > 0 nicht sein kann, da d, κ und c positive Konstanten sind. Demzufolge muß doch v ∈ E gelten. Damit ist die Behauptung und somit die eine Richtung des Theorems gezeigt.

Es bleibt also nur noch die umgekehrte Richtung zu zeigen. Da in jedem Punkt von M der Tangentialraum von M und der Tangentialraum des dort berührenden Zylinders identisch sein müssen, folgt aus der Existenz der Zylinder sofort die schwache Konvexität von M, da diese äquivalent zu der Bedingung ist, dass die Fläche immer ganz auf einer Seite ihres jeden Tangentialraumes liegt. Die Eigenschaft S_{k} > 0 für M folgt dann, da in jedem Punkt offensichtlich mindestens k Hauptkrümmungen positiv sein müssen. □

7 Zylindersymmetrische Barrieren

In diesem Kapitel wollen wir zunächst ganz allgemein schwach konvexe Hyperflächen und deren Evolution unter den Q_{k}-Flüssen untersuchen, die eine zylinderförmige Symmetrie haben. Anschließend wollen wir unter Zuhilfenahme von Theorem 6.1 zylindersymmetrische Barrieren konstruieren, die uns dann eine untere Schranke an die Geschwindigkeit Q_{k} liefern, die nicht von den Anfangsdaten Q_{k}|_{t=0} abhängt. Diese Schranke sichert uns im Folgenden die gleichmäßige Elliptizität des Operators □_{k} für positive Zeiten und ist somit, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, der Schlüssel zur Kurzzeitexistenz.

Wir wollen nun also für l ∈ {1, ..., n} Einbettungen der Form F : S^{l}×IR^{n−l} → IR^{n+1} mit

F (z, x) = (u(|x|) z, x) ∈ IR^{l+1} × IR^{n−l} ≃ IR^{n+1}  (13)

für eine konkave Funktion u : IR_{0}^{+} → IR betrachten, die monoton fallend in |x| ist.

Beispiel 7.1

a) Für u(|x|) = R = konst. erhält man einen Zylinder.

b) Mit u(|x|) = \sqrt{R^{2} − |x|^{2}} für festes R > 0 erhält man eine Sphäre vom Radius R.

Die Grundidee der folgenden Barrierenkonstruktion für schwach konvexe Anfangsflächen mit S_{k−1} > 0 besteht darin, die Charakterisierung dieser Flächen durch die Existenz berührender Zylinder auszunutzen, wie wir sie im letzten Kapitel beschrieben haben. Um aus Einbettungen der Form (13) tatsächlich Barrieren zu konstruieren, müssen wir zuerst für derartige Flächen die geometrischen Größen in Abhängigkeit der Radiusfunktion u bestimmen, die in der Evolutionsgleichung (⋆_{k}) auftreten. Insbesondere müssen wir Ausdrücke für die Geschwindigkeit Q_{k} und die äußere Normale finden.

Für Flächen, die wie in (13) gegeben sind, ergibt sich als Metrik (vergleiche [A3], Kapitel 12)

g_{ij} = \{ \begin{matrix}u^{2} ḡ_{ij} & für i, j ∈ \{1, ..., l\} \\ δ_{ij} + \frac{x_{i} x_{j}}{|x|^{2}} (u′)^{2} & für i, j ∈ \{l + 1, ..., n\} \\ 0 & sonst , \end{matrix}

wobei ḡ_{ij} die Metrik auf S^{l} bezeichnet, und für die Weingartenabbildung gilt

h_{j}^{i} = \{ \begin{matrix}c δ_{j}^{i} & für i, j ∈ \{1, ..., l\} \\ a x^{i}x_{j} − b δ_{j}^{i} & für i, j ∈ \{l + 1, ..., n\} \\ 0 & sonst \end{matrix}

mit

a = \frac{1}{|x|^{2} β} ( \frac{u′}{|x|} − \frac{u′′}{β^{2}} ) , b = \frac{u′}{|x| β} , c = \frac{1}{u β} und β = (1 + (u′)^{2})^{\frac{1}{2}} .

Eine Wahl der Normalen an die Fläche ist ν = \frac{1}{β} (z, − \frac{u′}{|x|} x) .

Um daraus die elementarsymmetrischen Polynome S_{k}(h_{j}^{i}) der Weingartenabbildung zu berechnen, wollen wir das charakteristische Polynom P_{ch}(t) von W = {h_{j}^{i}} betrachten. Es gilt

P_{ch}(t) = det (W − t Id_{IR^{n}}) = det (h_{j}^{i} − t δ_{j}^{i}) .

Offensichtlich besitzt die Abbildung W eine Blockstruktur und somit ist

P_{ch}(t) = det ((c − t) Id_{IR^{l}}) · det ({a x^{i}x_{j} − (b + t) δ_{j}^{i}}_{i,j∈{l+1,...,n}}) .

Für den ersten Faktor gilt

det ((c − t) Id_{IR^{l}}) = (c − t)^{l}

und für den zweiten Faktor

det ({a x^{i}x_{j} − (b + t) δ_{j}^{i}}) = (−1)^{n−l} (b + t)^{n−l−1}(b + t − a |x|^{2}) .

Damit ergibt sich für das charakteristische Polynom

P_{ch}(t) = (−1)^{n−l}(b + t − a |x|^{2})(c − t)^{l}(b + t)^{n−l−1}
= (−1)^{n−l}(b + t − a |x|^{2}) ∑_{j=0}^{l} ( \begin{matrix}l \\ j \end{matrix} )c^{l−j}(−1)^{j} t^{j} ∑_{i=0}^{n−l−1} ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i \end{matrix} )b^{n−l−1−i} t^{i} .

Wegen

(b + t − a |x|^{2}) ∑_{i=0}^{n−l−1} ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i \end{matrix} )b^{n−l−1−i} t^{i}

= (b − a |x|^{2}) ∑_{i=0}^{n−l−1} ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i \end{matrix} )b^{n−l−1−i} t^{i} + ∑_{i=1}^{n−l} ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i−1 \end{matrix} )b^{n−l−i} t^{i}
= (b − a |x|^{2}) b^{n−l−1} + t^{n−l}

+ ∑_{i=1}^{n−l−1} (( \begin{matrix}n−l−1 \\ i \end{matrix} )(b − a |x|^{2}) b^{n−l−1−i} + ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i−1 \end{matrix} )b^{n−l−i}) t^{i}

= (b − a |x|^{2}) b^{n−l−1} + t^{n−l}

+ ∑_{i=1}^{n−l−1} ((( \begin{matrix}n−l−1 \\ i \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i−1 \end{matrix} ))b^{n−l−i} − ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i \end{matrix} )a |x|^{2}b^{n−l−1−i}) t^{i}

= ∑_{i=0}^{n−l} (( \begin{matrix}n−l \\ i \end{matrix} ) b^{n−l−i} − ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i \end{matrix} )a |x|^{2}b^{n−l−1−i}) t^{i} ,

wobei ( \begin{matrix}p \\ q \end{matrix} ) = 0 für p < q gilt, ist dann

P_{ch}(t) = (−1)^{n−l} ∑_{j=0}^{l} ∑_{i=0}^{n−l} ( \begin{matrix}l \\ j \end{matrix} )(−1)^{j}c^{l−j}(( \begin{matrix}n−l \\ i \end{matrix} )b^{n−l−i} − ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i \end{matrix} )a |x|^{2}b^{n−l−1−i}) t^{i+j}
=: ∑_{p=0}^{n} α_{p} t^{p} .

Da die elementarsymmetrischen Polynome S_{k}(W) durch die Koeffizienten α_{p} des charakteristischen Polynoms gegeben sind, ergibt sich

S_{k}(W) = (−1)^{n−k}α_{n−k}
= (−1)^{n−k}(−1)^{n−l} ∑_{i+j=n−k_{{i∈\{0,...,n−l\} \atop j∈\{0,...,l\}}}} ( \begin{matrix}l \\ j \end{matrix} )(−1)^{j}c^{l−j}(( \begin{matrix}n−l \\ i \end{matrix} )b^{n−l−i} − ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i \end{matrix} )a |x|^{2}b^{n−l−1−i}).

Aus der Definition für a und b ergibt sich a|x|^{2} = b − \frac{u′′}{β^{3}} und somit schließlich

S_{k}(W) = ∑_{i+j=n−k_{{i∈\{0,...,n−l\} \atop j∈\{0,...,l\}}}}( \begin{matrix}l \\ j \end{matrix} )c^{l−j}(−1)^{n−l+i} b^{n−l−i−1}(( \begin{matrix}n−l \\ i \end{matrix} )b − ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i \end{matrix} )(b − \frac{u′′}{β^{3}} ))

= ∑_{i+j=n−k_{{i∈\{0,...,n−l\} \atop j∈\{0,...,l\}}}}( \begin{matrix}l \\ j \end{matrix} )c^{l−j}(−1)^{n−l+i} b^{n−l−i−1}(( \begin{matrix}n−l−1 \\ i−1 \end{matrix} ) b + ( \begin{matrix}n−l−1 \\ i \end{matrix} )\frac{u′′}{β^{3}} ). (14)

Für die Gauß-Krümmung G gilt dann zum Beispiel (siehe [A3], Kapitel 12)

G = S_{n}(W) = c^{l} (−1)^{n−l} b^{n−l−1} \frac{u′′}{β^{3}} = (−1)^{n−l} \frac{u′′ (u′)^{n−l−1}}{|x|^{n−l−1} u^{l} (1 + (u′)^{2})^{\frac{n+2}{2}}} .

Wir wollen nun versuchen, das Problem (⋆_{k}) für diese Flächen in eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Funktion u umzuformulieren . Da für die Startflächen der Evolution wieder S_{k−1} > 0 gelten soll, sei im Folgenden l = k − 1 für k ∈ {2, ..., n}. Damit ist

S_{k}(W) = ∑_{i+j=n−k_{{i∈\{0,...,n−k+1\} \atop j∈\{0,...,k−1\}}}}( \begin{matrix}k−1 \\ j \end{matrix} )c^{k−j−1}(−1)^{n−k+i+1} b^{n−k−i}(( \begin{matrix}n−k \\ i−1 \end{matrix} ) b + ( \begin{matrix}n−k \\ i \end{matrix} )\frac{u′′}{β^{3}} )

= ∑_{i+j=n−k_{{i∈\{0,...,n−k+1\} \atop j∈\{0,...,k−1\}}}}( \begin{matrix}k−1 \\ j \end{matrix} )c^{k−j−1}(−1)^{j+1} b^{j}(( \begin{matrix}n−k \\ j+1 \end{matrix} ) b + ( \begin{matrix}n−k \\ j \end{matrix} )\frac{u′′}{β^{3}} )

=  ∑_{j=0}^{n−k} ( \begin{matrix}k−1 \\ j \end{matrix} )c^{k−j−1}(−1)^{j+1} b^{j}(( \begin{matrix}n−k \\ j+1 \end{matrix} ) b + ( \begin{matrix}n−k \\ j \end{matrix} )\frac{u′′}{β^{3}} )

= \frac{1}{β^{k+2} |x|^{n+1} u^{k−1}} ∑_{j=0}^{n−k} ( \begin{matrix}k−1 \\ j \end{matrix} )(−1)^{j+1} u^{j} (u′)^{j} |x|^{n−j}(( \begin{matrix}n−k \\ j+1 \end{matrix} ) u′β^{2}

+( \begin{matrix}n−k \\ j \end{matrix} )u′′ |x|)

=: \frac{1}{β^{k+2} |x|^{n+1} u^{k−1}} ∑_{j=0}^{n−k} A_{j}

und

S_{k−1}(W) = ∑_{i+j=n−k+1_{{i∈\{0,...,n−k+1\} \atop j∈\{0,...,k−1\}}}}( \begin{matrix}k−1 \\ j \end{matrix} )c^{k−j−1}(−1)^{n−k+i+1} b^{n−k−i}(( \begin{matrix}n−k \\ i−1 \end{matrix} ) b + ( \begin{matrix}n−k \\ i \end{matrix} )\frac{u′′}{β^{3}} )

= ∑_{i+j=n−k+1_{{i∈\{0,...,n−k+1\} \atop j∈\{0,...,k−1\}}}}( \begin{matrix}k−1 \\ j \end{matrix} )c^{k−j−1}(−1)^{j} b^{j−1}(( \begin{matrix}n−k \\ j \end{matrix} ) b + ( \begin{matrix}n−k \\ j−1 \end{matrix} )\frac{u′′}{β^{3}} )

= \frac{1}{β^{k+1} |x|^{n+1} u^{k−1}} ∑_{j=0}^{n−k+1} ( \begin{matrix}k−1 \\ j \end{matrix} )(−1)^{j} u^{j} (u′)^{j−1} |x|^{n−j+1}(( \begin{matrix}n−k \\ j \end{matrix} ) u′β^{2}

+( \begin{matrix}n−k \\ j−1 \end{matrix} )u′′ |x|)

=: \frac{1}{β^{k+1} |x|^{n+1} u^{k−1}} ∑_{j=0}^{n−k+1} B_{j} .

Dabei ist zu bemerken, dass man die Doppelsummen über i und j für l = k − 1 in einfache Summen umwandeln kann, da die enthaltene Abhängigkeit von i und j dadurch aufgehoben wird, dass die zusätzlich auftretenden Summanden aufgrund der entsprechenden Binomialkoeffizienten verschwinden.

Wir haben nun die notwendige Vorarbeit geleistet, um das Problem (⋆_{k}) in Abhängigkeit der Radiusfunktion u anzugeben. Um allerdings zylindersymmetrische Lösungen von (⋆_{k}) zu betrachten, muß die Funktion u zusätzlich von der Zeit abhängen, das heißt u : IR_{0}^{+} × [ 0, T) → IR , (r, t) ↦ u(r, t).

Dann bezeichne u′ beziehungsweise u′′ die Ableitung nach der ersten Variablen, also u′ = \frac{∂u}{∂r}, u′′ = \frac{∂^{2}u}{∂r^{2}} und u̇ entsprechend die Ableitung nach der Zeit, das heißt u̇ = \frac{∂u}{∂t} . Damit gilt:

Lemma 7.2 Die Funktion F : S^{k−1}×IR^{n−k+1}×[ 0, T) mit F (z, x, t) = (u(|x|, t) z, x) ist genau dann eine Lösung von (⋆_{k}), wenn für u : IR_{0}^{+} × [ 0, T) → IR gilt

u̇ = −Q_{k} · β = −Q_{k} \sqrt{1 + (u′)^{2}} .

Dabei soll für jedes t ∈ [ 0, T) die Funktion u(·, t) : IR_{0}^{+} → IR konkav und monoton fallend sein.

Beweis: Mit der Normalen ν = \frac{1}{β} (z, − \frac{u′}{|x|} x) und \frac{∂F}{∂t} = (u̇ z, 0) folgt ⟨\frac{∂F}{∂t} , ν⟩ = \frac{1}{β} u̇, beziehungsweise u̇ = β ⟨\frac{∂F}{∂t} , ν⟩, woraus die Behauptung folgt. □

Korollar 7.3 Jede Funktion u(r, t) mit u̇ ≥ −Q_{k} \sqrt{1 + (u′)^{2}} hat einen zylindersymmetrischen Graphen, der bei entsprechenden Anfangsdaten eine äußere Barriere für eine Lösung von (⋆_{k}) ist.

Wir wollen jetzt eine solche äußere Barriere explizit angeben. Es sei bemerkt, dass diese Konstruktion zu einer entsprechenden Konstruktion in [A3], Kapitel 12 verwandt ist.

Lemma 7.4 Seien R_{0} > 0, u_{0} > 0 und α > 1 gegeben. Dann existiert ein t_{1} > 0, so dass für die Funktion u : [ 0, R_{0} ] × [ 0, t_{1} ] → IR mit

u(r, t) = u_{0} − exp(−u_{0} t^{−α}) cosh ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})  (15)

folgende Eigenschaften gelten:

i) u(r, 0) := lim_{t→0} u(r, t) = u_{0} für alle r ∈ [ 0, R_{0} ] .

ii) u(r, t) > 0 für alle r ∈ [ 0, R_{0} ] und t ∈ [ 0, t_{1} ] .

iii) u̇(r, t) < 0, u′(r, t) < 0 und u′′(r, t) < 0 für alle r ∈ [ 0, R_{0} ] und t ∈ (0, t_{1}] .

Beweis: Es gilt

exp(−u_{0} t^{−α}) cosh ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})

= \frac{1}{2} exp(−u_{0} t^{−α})( exp ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}) + exp ( − \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}))
= \frac{1}{2} exp ( − u_{0} t^{−α}(1 − \frac{r}{2R_{0}} )) + \frac{1}{2} exp ( − u_{0} t^{−α}(1 + \frac{r}{2R_{0}} )) .  (16)

Wegen \frac{r}{2R_{0}} ≤ \frac{1}{2} folgt daraus

lim_{t→0} ( exp(−u_{0} t^{−α}) cosh ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})) = 0 ,

also Behauptung i). Außerdem gibt es zu festem u_{0} > 0 ein t_{1} > 0, so dass auch ii) gilt für r ∈ [ 0, R_{0} ] und t ∈ [ 0, t_{1} ]. Weiter gilt für die Ableitungen von u:

u̇(r, t) = − u_{0} α t^{−α−1} exp(−u_{0} t^{−α})( cosh (\frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}) − \frac{r}{2R_{0}} sinh (\frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})) (17)
u′(r, t) = − \frac{u_{0}}{2R_{0}} t^{−α} exp(−u_{0} t^{−α}) sinh ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})  (18)
u′′(r, t) = − (\frac{u_{0}}{2R_{0}} )^{2} t^{−2 α} exp(−u_{0} t^{−α}) cosh ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}) .  (19)

Mit cosh ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}) ≥ sinh ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}) und \frac{r}{2R_{0}} ≤ \frac{1}{2} folgt also iii) für r ∈ [ 0, R_{0} ] und t ∈ (0, t_{1}]. □

Satz 7.5 Zu gegebenen Konstanten R_{0} > 0, u_{0} > 0 und α > 1 existiert ein t_{0} > 0, so dass die Funktion u : [ 0, R_{0} ] × [ 0, t_{0} ] → IR mit (15) zusätzlich zu den Eigenschaften i) - iii) des letzten Lemmas folgende Ungleichung erfüllt:

u̇ ≥ −Q_{k} \sqrt{1 + (u′)^{2}} .  (20)

Beweis: Zu zeigen, dass u die Ungleichung (20) erfüllt, ist offensichtlich äquivalent dazu, dass

S_{k} \sqrt{1 + (u′)^{2}} + u̇ S_{k−1} ≥ 0

gilt. Mit β = \sqrt{1 + (u′)^{2}} und obigen Überlegungen ist

S_{k} β + u̇ S_{k−1} = \frac{1}{β^{k+1} |x|^{n+1} u^{k−1}} ( ∑_{j=0}^{n−k} A_{j} + u̇ ∑_{j=0}^{n−k+1} B_{j}) .

Um zu zeigen, dass dieser Ausdruck nichtnegativ ist, betrachten wir für j ∈ \{0, ..., n − k\} die Summen \frac{1}{2} A_{j} + u̇ B_{j+1} . Es gilt

\frac{1}{2} A_{j} + u̇ B_{j+1} = \frac{1}{2} (−1)^{j} u^{j} (u′)^{j} |x|^{n−j}\{ − ( \begin{matrix}k−1 \\ j \end{matrix} )(( \begin{matrix}n−k \\ j+1 \end{matrix} )u′β^{2} + ( \begin{matrix}n−k \\ j \end{matrix} )u′′|x|)

− 2 u u̇( \begin{matrix}k−1 \\ j+1 \end{matrix} )(( \begin{matrix}n−k \\ j+1 \end{matrix} )u′β^{2} + ( \begin{matrix}n−k \\ j \end{matrix} )u′′|x|)\}

= \frac{1}{2}( \begin{matrix}k−1 \\ j \end{matrix} )(−u′)^{j} u^{j} |x|^{n−j}\{ − u′β^{2}( \begin{matrix}n−k \\ j+1 \end{matrix} )(1 + 2 u u̇ \frac{k−j−1}{j+1})

− u′′ |x|( \begin{matrix}n−k \\ j \end{matrix} )(1 + 2 u u̇ \frac{k−j−1}{j+1})\}

= \frac{1}{2 (j+1)}( \begin{matrix}k−1 \\ j \end{matrix} )(−u′)^{j} u^{j} |x|^{n−j}( − u′β^{2}( \begin{matrix}n−k \\ j+1 \end{matrix} ) − u′′|x|( \begin{matrix}n−k \\ j \end{matrix} ))

·(1 + j + 2 (k − j − 1) u u̇) .

Aufgrund der Eigenschaften ii) und iii) gilt folglich \frac{1}{2} A_{j} + u̇ B_{j+1} ≥ 0 genau dann, wenn

(1 + j + 2 (k − j − 1) u u̇) ≥ 0

ist. Für j ≥ k ist ( \begin{matrix}k−1 \\ j \end{matrix} ) = 0 und somit \frac{1}{2} A_{j} + u̇ B_{j+1} = 0 . Sei also j ≤ k − 1.

Mit u ≤ u_{0} und (17) ergibt sich dann

1 + j + 2 (k − j − 1) u u̇ ≥ 1 + j − 2 (k − j − 1) u_{0}^{2} α t^{−α−1} exp(−u_{0} t^{−α})
·( cosh (\frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}) − \frac{r}{2R_{0}} sinh (\frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}))
≥ 1 − 2 (k − 1) u_{0}^{2} α t^{−α−1} exp(−u_{0} t^{−α}) cosh (\frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}) .

Wegen

lim_{t→0} t^{−α−1} exp(−u_{0} t^{−α}) cosh (\frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})

= lim_{t→0} \frac{1}{2} t^{−α−1}\{ exp ( − u_{0} t^{−α}(1 − \frac{r}{2 R_{0}} )) + exp ( − u_{0} t^{−α}(1 − \frac{r}{2 R_{0}} ))\} = 0

folgt, dass es ein t_{2} > 0 gibt, so dass \frac{1}{2} A_{j} +u̇ B_{j+1} ≥ 0 gilt für r ∈ [ 0, R_{0} ], t ∈ [ 0, t_{2} ] und j ∈ {0, ..., n − k}.

Weiter gilt

\frac{1}{2} A_{0} + u̇ B_{0} = − \frac{1}{2} |x|^{n}((n − k) u′β^{2} + u′′ |x| ) + u̇ |x|^{n+1}β^{2}
= − \frac{1}{2} (n − k) β^{2} |x|^{n} u′ + \frac{1}{2} |x|^{n+1} (−u′′ + 2 u̇ β^{2} )

und

−u′′ + 2 u̇ β^{2} = (\frac{u_{0}}{2R_{0}} )^{2} t^{−2 α} exp(−u_{0} t^{−α}) cosh ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})
−2 u_{0} α t^{−α−1}\{1 + (\frac{u_{0}}{2R_{0}} )^{2} t^{−2 α} exp(−2 u_{0} t^{−α}) sinh^{2} ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})\}
· exp(−u_{0} t^{−α})\{ cosh (\frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}) − \frac{r}{2R_{0}} sinh (\frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})\}
≥ (\frac{u_{0}}{2R_{0}} )^{2} t^{−2 α} exp(−u_{0} t^{−α}) cosh ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})
· (1 − \frac{8 α R_{0}^{2}}{u_{0}} t^{α−1}\{1 + (\frac{u_{0}}{2R_{0}} )^{2} t^{−2 α} exp(−2 u_{0} t^{−α}) sinh^{2} ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})\}) .

Außerdem ist

exp(−2 u_{0} t^{−α}) sinh^{2} ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}) = \frac{1}{4} exp(−2 u_{0} t^{−α})
·( exp ( \frac{u_{0}}{R_{0}} r t^{−α}) − 2 + exp ( − \frac{u_{0}}{R_{0}} r t^{−α}))

≤ \frac{1}{4} exp ( − u_{0} t^{−α}(2 − \frac{r}{R_{0}} )) + \frac{1}{4} exp ( − u_{0} t^{−α}(2 − \frac{r}{R_{0}} ))
≤ \frac{1}{4} exp ( − u_{0} t^{−α}) + \frac{1}{4} exp ( − 2 u_{0} t^{−α})
≤ \frac{1}{2} exp ( − u_{0} t^{−α})

und somit folgt

lim_{t→0} (1 + (\frac{u_{0}}{2R_{0}} )^{2} t^{−2 α} exp(−2 u_{0} t^{−α}) sinh^{2} ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α}))

≤ lim_{t→0} (1 + \frac{1}{2} (\frac{u_{0}}{2R_{0}} )^{2} t^{−2 α} exp(−u_{0} t^{−α})) = 1 .

Es existiert also ein t_{3} > 0, so dass

(1 + (\frac{u_{0}}{2R_{0}} )^{2} t^{−2 α} exp(−2 u_{0} t^{−α}) sinh^{2} ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})) ≤ 2

gilt. Wegen α > 1 gibt es dann ein t_{4} > 0, so dass 1 − \frac{16 α R_{0}^{2}}{u_{0}} t^{α−1} ≥ 0 gilt für alle t ≤ min {t_{3}, t_{4}}.

Folglich ist für t ≤ min {t_{1}, t_{3}, t_{4}} und r ∈ [ 0, R_{0} ] zusammen mit Behauptung iii) des letzten Lemmas

\frac{1}{2} A_{0} + u̇ B_{0} ≥ 0 .

Insgesamt haben wir somit gezeigt, dass für t ≤ t_{0} := min {t_{1}, ..., t_{4}} und r ∈ [ 0, R_{0} ]

S_{k} β + u̇ S_{k−1} ≥ 0

gilt, womit der Satz bewiesen ist. □

Mit Hilfe der äußeren zylindersymmetrischen Barrieren erhält man nun das strikte Maximumprinzip für die Geschwindigkeit Q_{k}. Es handelt sich dabei im Gegensatz zu Theorem 5.2 um eine a priori Abschätzung, und diese hängt wie bereits oben erwähnt im Vergleich zu Satz 4.1 nur von M_{0} selber und nicht von Q_{k}|_{M_{0}} ab.

Theorem 7.6 Sei F_{0} : M^{n} → IR^{n+1} eine glatte Einbettung und M_{0} eine geschlossene, schwach konvexe Hyperfläche mit S_{k−1} > 0 auf ganz M_{0}. Außerdem sei F : M^{n} × [ 0, T ) → IR^{n+1} eine Lösung von (⋆_{k}). Dann existiert ein t_{0} > 0, ein u_{0} > 0 und ein α > 1, so dass

Q_{k}(p, t) ≥ \frac{1}{2 t} exp (− u_{0} t^{−α})

für alle p ∈ M^{n} und t ∈ [ 0, t_{0} ] gilt. Insbesondere gilt Q_{k}(p, t) > 0 für alle p ∈ M^{n} und t ∈ (0, T).

Beweis: Um die Aussage zu beweisen, approximieren wir wie im Beweis von Satz 4.14 die Fläche M_{0} glatt durch eine Familie von strikt konvexen Hyperflächen M_{0}^{ε}. Diese Familie erhält man beispielsweise mit Hilfe des mittleren Krümmungsflusses. Da wegen Lemma 2.5 auf den Flächen M_{0}^{ε} dann \frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} > 0 für alle i ∈ \{1, ..., n\} gilt, ist dort □_{k} strikt elliptisch und man erhält mit [HP], Theorem 3.1 für jedes ε > 0 zumindest für kurze Zeiten T_{ε} eine glatte Lösung

F^{ε} : M_{ε}^{n} × [ 0, T_{ε}) → IR^{n+1} , M_{t}^{ε} = F^{ε}(M_{ε}^{n}, t)

von (⋆_{k}) mit Anfangsdaten M_{0}^{ε}. Es sei bemerkt, dass man wieder wie im Beweis von Satz 4.14 wegen Satz 4.6 gleichmäßige |A|^{2}-Schranken und damit wegen Satz 4.13 eine gleichmäßige untere Schranke an T_{ε} erhält.

Wegen Korollar 4.12 sind alle M_{t}^{ε} strikt konvex, und es gilt auf diesen Flächen insbesondere S_{k−1} > 0. Folglich kann man wegen Theorem 6.1 die Flächen M_{t}^{ε} in jedem Punkt durch Zylinder der Form S_{R}^{k−1} × IR^{n−k+1} von außen berühren. Da alle M_{t}^{ε} kompakt sind, kann man dabei für festes ε_{0}, t_{0} > 0 und ε ≤ ε_{0}, t ≤ t_{0} einen festen Radius R = u_{0} > 0 für alle Punkte p ∈ M_{t}^{ε} gleichzeitig wählen. Außerdem gibt es ein R_{0} > 0, so dass alle M_{t}^{ε} in einer Kugel vom Radius R_{0} enthalten sind.

Sei nun ε > 0 fest. Zu jedem p ∈ M_{0}^{ε} kann man jetzt die Flächen M_{t}^{ε} lokal als Graph über einer zu T_{p}M_{ε}^{n} parallelen affinen Ebene E schreiben, so dass der Abstand von p zu E genau u_{0} beträgt. Die Symmetrieachsen des Zylinders, der M_{0}^{ε} in p berührt, liegen also in E. Wegen Korollar 7.3 und Satz 7.5 existiert zu festem α > 1 ein t_{0} > 0, so dass der zylindersymmetrische Graph zur Radiusfunktion

u : [ 0, R_{0} ] × [ 0, t_{0} ] → IR mit u(r, t) = u_{0} − exp(−u_{0} t^{−α}) cosh ( \frac{u_{0}}{2R_{0}} r t^{−α})

eine äußere Barriere an die Flächen M_{t}^{ε} ist. Dann gilt also

|F^{ε}(p, t) − F^{ε}(p, 0)| ≥ |u(0, 0) − u(0, t)| = exp(−u_{0} t^{−α}) .  (21)

Um nun aus dieser Abschätzung eine Schranke für die Geschwindigkeit zu erhalten, braucht man noch eine Harnack-Ungleichung für Lösungen von (⋆_{k}): Nach Theorem 5.21, (2) aus [A2] gilt für p_{1}, p_{2} ∈ M_{ε}^{n} und t_{2} > t_{1} > 0

\frac{Q_{k}(p_{2}, t_{2})}{Q_{k}(p_{1}, t_{1})} ≥ (\frac{t_{1}}{t_{2}} )^{\frac{1}{2}} exp ( − \frac{c d^{2}}{4 (t_{2} − t_{1})}) ,  (22)

wobei d der Abstand von p_{1} zu p_{2} bezüglich der Metrik zur Zeit t_{1} ist, und \frac{H}{Q_{k}} ≤ c auf den Flächen M_{t}^{ε} gelten muss. Da die Fläche M_{0}^{ε} strikt konvex ist, existiert wegen Satz 4.7 ein c_{ε} > 0, so dass 50 Zylindersymmetrische Barrieren tatsächlich \frac{H}{Q_{k}} ≤ c_{ε} auf M_{t}^{ε} gilt. Aus (22) folgt also mit p_{1} = p_{2}

∫_{0}^{t} Q_{k}(p, τ) dτ ≤ ∫_{0}^{t} Q_{k}(p, t) (\frac{t}{τ} )^{\frac{1}{2}} dτ
= Q_{k}(p, t) · t^{\frac{1}{2}} ∫_{0}^{t} τ^{− \frac{1}{2}} dτ
= 2 Q_{k}(p, t) · t .

Damit gilt zusammen mit (21)

exp(−u_{0} t^{−α}) ≤ |F^{ε}(p, t) − F^{ε}(p, 0)| = | ∫_{0}^{t} \frac{d}{dτ} F^{ε}(p, τ) dτ|
≤ ∫_{0}^{t} |Q_{k}(p, τ)| dτ = ∫_{0}^{t} Q_{k}(p, τ) dτ
≤ 2 Q_{k}(p, t) · t ,

was äquivalent ist zu

Q_{k}(p, t) ≥ \frac{1}{2 t} exp (− u_{0} t^{−α}) .

Da diese Abschätzung unabhängig von ε ist, kann man nun den Grenzübergang ε → 0 betrachten und erhält somit die gewünschte Behauptung. □

8 Kurzzeitexistenz

Wir wollen in diesem Kapitel zeigen, dass das Problem (⋆_{k}) zumindest für kurze Zeiten eine eindeutige glatte Lösung besitzt, falls die Startfläche M_{0} geschlossen und schwach konvex ist mit S_{k−1} > 0 . Dazu sei bemerkt, dass allgemein die Bedingung

\frac{∂f}{∂λ_{i}} (p) > 0 für alle i ∈ \{1, …, n\} und p ∈ M_{0}

für das Problem (⋆_{f}) eine glatte Lösung zumindest für kurze Zeiten sichert; siehe dazu [HP], Theorem 3.1. In diesem Fall ist die Gleichung für F nämlich bis auf die Invarianz unter tangentialen Diffeomorphismen gleichmäßig parabolisch. Im Fall f = Q_{k} gilt nach Lemma 2.5 auf Γ_{k−1} nur

\frac{∂Q_{k}}{∂λ_{i}} (p) ≥ 0 für alle i ∈ \{1, …, n\} und p ∈ M_{0} ,

das heißt das Problem (⋆_{k}) ist hier tatsächlich auch abgesehen von der Invarianz unter tangentialen Diffeomorphismen nur schwach parabolisch, außer es gilt bereits S_{k} > 0 auf M_{0}. Insbesondere erhält man beispielsweise für strikt konvexe Anfangsflächen sofort Kurzzeitexistenz. Für schwach konvexe Startflächen mit S_{k−1} > 0 erhält man die Existenz einer Lösung erst aus der unteren Schranke an Q_{k} (siehe Theorem 7.6), da diese wegen Lemma 2.5 sicherstellt, dass die Evolutionsgleichung (⋆_{k}) für t > 0 gleichmäßig parabolisch ist.

Theorem 8.1 (Kurzzeitexistenz) Sei n ≥ 2 und F_{0} : M^{n} → IR^{n+1} eine glatte, geschlossene, schwach konvexe Hyperfläche und es gelte S_{k−1} > 0 auf ganz M_{0}. Dann existiert ein T > 0, so dass das Problem (⋆_{k}) eine eindeutige glatte Lösung F : M^{n} × (0, T) → IR^{n+1} besitzt, die für t → 0 und ein 0 < α < 1 in C^{1,α} gegen F_{0} konvergiert.

Beweis: Für k = 1 handelt es sich bei dem Problem (⋆_{k}) um den mittleren Krümmungsfluss, und die Kurzzeitexistenz folgt direkt mit [HP], Theorem 3.1. Um für k ≥ 2 eine Lösung zu konstruieren, die für t → 0 gegen M_{0} konvergiert, betrachten wir wie im Beweis von Theorem 7.6 eine Familie von glatten, strikt konvexen Hyperflächen M_{0}^{ε}, die für ε → 0 die Fläche M_{0} glatt approximieren. Für jedes ε > 0 erhält man dann mit [HP], Theorem 3.1 eine glatte Lösung M_{t}^{ε} von (⋆_{k}) mit Anfangsdaten M_{0}^{ε}. Weiter existiert wie im Beweis von Theorem 7.6 eine in ε gleichmäßige |A|^{2}−Schranke für die Flächen M_{t}^{ε} und ein gleichmäßiges Existenzintervall für die Lösungen. Insbesondere hat man also eine gleichmäßige C^{2}−Schranke für die Familie F_{ε}. Außerdem liefert Theorem 7.6 eine von ε unabhängige untere Schranke an die Geschwindigkeit. Da die Evolutionsgleichung damit gleichmäßig parabolisch, und die Geschwindigkeit Q_{k} wegen Lemma 2.4 konkav in h_{j}^{i} ist, kann man wieder die Abschätzungen von Krylov [Kry], Theorem 2, Kapitel 5.5 anwenden und bekommt wie im Beweis von Satz 4.13 aus den gleichmäßigen C^{2}−Schranken gleichmäßige C^{∞}-Schranken an die Familie F_{ε}. Mit dem Theorem von Arzela-Ascoli bekommt man nun eine Teilfolge ε_{i} mit ε_{i} → 0, so dass die Folge {M_{t}^{ε_{i}}} in C^{∞} gegen eine Familie von glatten Hyperflächen {M_{t}} konvergiert, die die gleichen Abschätzungen erfüllen. Insbesondere löst die Familie {M_{t}} das Problem (⋆_{k}) auf (0, T) und die Flächen M_{t} konvergieren für t → 0 aufgrund der gleichmäßigen |A|^{2}−Schranke in C^{1,α} gegen die Startfläche M_{0}. Die Eindeutigkeit der Lösung folgt analog zu [A3], Theorem 14 und 15 (siehe dazu die Bemerkung zur Eindeutigkeit im Beweis von Theorem 14). □

Bemerkung 8.2 Für die Barrierenkonstruktion des letzten Kapitels und somit die Kurzzeitexistenz ist offenbar nur die Tatsache von Bedeutung, dass man die Startfläche in jedem Punkt von außen durch einen Zylinder der entsprechenden Form berühren kann. Da man diese Eigenschaft in Theorem 6.1 nicht nur für glatte, sondern bereits für C^{2,α}-Flächen erhält, kann man den Q_{k}-Fluss insbesondere auch mit einer schwach konvexen C^{2,α}-Fläche starten, auf der S_{k−1} > 0 gilt.

Bemerkung 8.3 Falls man für die Startfläche M_{0} nur fordert, dass dort λ ∈ Γ_{k−1} und S_{k}(λ) ≥ 0 für die Hauptkrümmungen λ = (λ_{1}, ..., λ_{n}) gilt, kann man keine glatten Lösungen des Problems (⋆_{k}) mehr erwarten, da im Beweis der Geschwindigkeitsschranke die schwache Konvexität der Startfläche für die Barrierenkonstruktion entscheidend ist. Man erhält aber trotzdem aus der |A|^{2}-Schranke zumindest für kurze Zeiten noch eine Viskositätslösung im Sinne von [IL], welche aufgrund der |A|^{2}-Schranke sogar eine C^{1,1}-Lösung ist.

9 Konvergenz zu einem Punkt

In diesem Kapitel werden wir uns mit der Langzeitexistenz der Q_{k}-Flüsse beschäftigen und zeigen, dass jede Lösung des Anfangswertproblems (⋆_{k}) mit einer glatten, strikt konvexen Startfläche in endlicher Zeit gegen einen Punkt konvergiert. Für den Gauß-Fluss beispielsweise wurde das entsprechende Resultat von K. Tso (siehe [Tso], Theorem 4.2) bewiesen. Bevor wir zum Haupttheorem kommen, wollen wir zeigen, dass es eine glatte Lösung von (⋆_{k}) gibt, solange die Flächen M_{t} noch eine Kugel vom Radius δ > 0 umschließen. Dazu benötigen wir allerdings noch eine Evolutionsgleichung für die Größe ⟨F, ν⟩.

Lemma 9.1 Es gilt für Lösungen F : M^{n} × [ 0, T) → IR^{n+1} des Problems (⋆_{k})

\frac{∂}{∂t} ⟨F, ν⟩ = □_{k} ⟨F, ν⟩ − 2 Q_{k} + \frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m} ⟨F, ν⟩ .

Beweis: Mit Lemma 3.1 erhält man

\frac{∂}{∂t} ⟨F, ν⟩ = − Q_{k} ⟨ν, ν⟩ + ⟨F, \frac{∂ν}{∂t} ⟩ = − Q_{k} + ⟨F, ∇Q_{k}⟩ ,

und in einem adaptierten orthonormalen n-Bein ist

□_{k} ⟨F, ν⟩ = \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} ∇^{i}∇_{j}⟨F, ν⟩ = \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} ∇^{i}(h_{j}^{l} ⟨F, e_{l}⟩)
= \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} (∇^{i}h_{j}^{l} ⟨F, e_{l}⟩ + h_{j}^{i} − h_{l}^{i} h_{j}^{l} ⟨F, ν⟩)
= \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} ∇^{l}h_{j}^{i} ⟨F, e_{l}⟩ + Q_{k} − \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} h_{l}^{i} h_{j}^{l} ⟨F, ν⟩
= ⟨F, ∇Q_{k}⟩ + Q_{k} − \frac{∂Q_{k}}{∂h_{j}^{i}} h_{l}^{i} h_{j}^{l} ⟨F, ν⟩ ,

wobei man im vorletzten Schritt die Codazzi-Gleichungen benutzt hat. Die Behauptung folgt dann direkt. □

Lemma 9.2 Sei F : M^{n} × [ 0, T) → IR^{n+1} eine Lösung von (⋆_{k}) für k ∈ {2, ..., n} und M_{0} eine glatte, geschlossene, schwach konvexe Fläche mit S_{k−1} > 0. Außerdem bezeichne V_{t} das von M_{t} im IR^{n+1} berandete Volumen und es gelte für ein δ > 0 und ein x_{0} ∈ IR^{n+1}, dass B_{δ}(x_{0}) ⊂ V_{t} für alle t ∈ [ 0, T). Dann existiert ein 0 < C < ∞, so dass

Q_{k}(p, t) ≤ C(δ, k, n) für alle (p, t) ∈ M^{n} × [ 0, T) .

Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte x_{0} = 0. Da wegen Satz 4.14 alle M_{t} schwach konvex sind, und somit immer ganz auf einer Seite eines Tangentialraumes liegen, gibt es wegen B_{δ}(x_{0}) ⊂ V_{t} ein α(δ) > 0, so dass

⟨F, ν⟩ − α ≥ \frac{α}{2} > 0 für alle (p, t) ∈ M^{n} × [ 0, T)

gilt. Sei also

v := \frac{Q_{k}}{⟨F, ν⟩ − α} .

Dann gilt mit den Evolutionsgleichungen für ⟨F, ν⟩ und Q_{k} (Lemma 9.1 und 3.1)

\frac{∂}{∂t} v = □_{k} v+2 \frac{1}{(⟨F, ν⟩ − α)} \frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} ∇^{p}v∇_{q}⟨F, ν⟩+ \frac{Q_{k}}{(⟨F, ν⟩ − α)^{2}} (2 Q_{k}−α \frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} h_{m}^{p} h_{q}^{m})

beziehungsweise mit c(k) wie in Satz 4.1

\frac{∂}{∂t} v ≤ □_{k} v + 2 \frac{v}{Q_{k}} \frac{∂Q_{k}}{∂h_{q}^{p}} ∇^{p}v∇_{q}⟨F, ν⟩ + v^{2} (2 − α c(k) Q_{k}) .

Angenommen, v nehme nun in (p_{0}, t_{0}) zum ersten Mal ein Maximum C > 0 an, dann gilt dort

α c(k) Q_{k}(p_{0}, t_{0}) ≤ 2 und Q_{k}(p_{0}, t_{0}) = C (⟨F, ν⟩ − α) ≥ C · \frac{α}{2} ,

also

C · \frac{α}{2} · c(k) ≤ 2 ,

was einen Widerspruch ergibt, falls C > \frac{4}{α c(k)} ist. □

Korollar 9.3 Für glatte, geschlossene, schwach konvexe Anfangsflächen M_{0} mit S_{k−1} > 0 existiert eine glatte Lösung von (⋆_{k}) für k ∈ {2, ..., n} mindestens solange, wie M_{t} ein nichtverschwindendes Volumen berandet.

Beweis: Da M_{0} eingebettet ist, gibt es ein t_{0} > 0, so dass die Flächen M_{t} für t ∈ [0, t_{0}] ein nichtverschwindendes Volumen beranden und dort ist aufgrund der Kompaktheit auch |A|^{2} beschränkt. Wegen Theorem 7.6 ist aber für t ≥ t_{0} auch Q_{k} > 0 und somit existiert wegen Satz 4.7 ein C > 0, so dass H ≤ C · Q_{k} gilt. Weiterhin ist wie im Beweis von Satz 4.4 wegen Q_{k} > 0 auch |A| ≤ H und die Behauptung folgt aus dem vorangehenden Lemma und Satz 4.13. □

Als abschließendes Ergebnis ergibt sich nun für konvexe Startflächen:

Theorem 9.4 Sei n ≥ 2 und M_{0} eine glatte, geschlossene, strikt konvexe Fläche. Dann hat das Anfangswertproblem (⋆_{k}) eine glatte Lösung auf einem endlichen Zeitintervall 0 ≤ t < T und die Flächen M_{t} konvergieren für t → T gegen einen Punkt im IR^{n+1}.

Beweis: Für k = 1 erhält man wieder den mittleren Krümmungsfluss, und das Ergebnis wurde von G. Huisken in [H84] gezeigt. Sei also k ≥ 2. Aufgrund des letzten Korollars kann der Fluss solange fortgesetzt werden, wie die Flächen M_{t} ein nichtverschwindendes Volumen beranden, das heißt für t → T muss für das Hausdorffmaß H^{n}(V_{t}) → 0 gelten, wobei wieder V_{t} das von M_{t} berandete Volumen ist. Nehmen wir nun an, es existieren zwei verschiedene Punkte x, y ∈ IR^{n+1} mit x, y ∈ V_{t} für alle t ∈ [ 0, T) . Dann schneidet jede 2-dimensionale Ebene E durch x und y die Flächen M_{t} in einer regulären Kurve γ_{t}(E). Sei E_{t} = E ∩ V_{t}. Wegen H^{n}(V_{t}) → 0 für t → T muss dann ein E existieren mit H^{2}(E_{t}) → 0 , was bedeuten würde, dass es Punkte auf γ_{t}(E) mit beliebig kleiner Krümmung gibt. Das kann aber wegen Korollar 4.12 nicht sein. □

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Lebenslauf

Sabine Dieter geb. Schöttle

verheiratet mit Matthias Joachim Dieter, ein Sohn

30.07.1973  geboren in Tübingen
1979 - 1983  Grundschule in Nehren
1983 - 1992  Quenstedt-Gymnasium in Mössingen
05/92  Abitur
WS 1992/93 - SS 1997 Studium der Mathematik an der Eberhard-Karls-

Universität Tübingen

07/97  Diplom in Mathematik
08/1997 - 11/1998  Doktorandin an der Universität Tübingen
12/1998 - 03/1999  Allianz Lebensversicherungs-AG Stuttgart

seit 04/1999 wissenschaftliche Angestellte an der Universität Tübingen (seit 04/2002 im Rahmen des SFB 382)

09/1999 - 10/1999  Princeton University, Princeton NJ, USA

SS 2000 - WS 2000/2001 Lehramtsstudium der Mathematik und Physik an der Universität Tübingen

05/2002  Erstes Staatsexamen in Mathematik und Physik