Kontraktion raumartiger Hyperflächen

entlang ihrer inversen mittleren Krümmung

DIPLOMARBEIT

vorgelegt von

Michael Holder

aus Mähringen

betreut von

Prof. Dr. G. Huisken

Tübingen, im Mai 1996

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit wird die Bewegung von kompakten, orientierbaren und in kosmologischen Raumzeiten immersierten Hyperflächen ohne Rand unter dem inversen mittleren Krümmungsfluß studiert. Wir zeigen, daß eine Lösung des zugehörigen, nichtlinearen parabolischen Systems partieller Differentialgleichungen so lange existiert, wie die Hyperfläche in einem glatten, kompakten Gebiet der kosmologischen Raumzeit enthalten bleibt.

INHALTSVERZEICHNIS 1

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2 2 Notation und Grundlagen 6 3 Kurzzeitexistenz 9 4 Evolutionsgleichungen 16 5 Schranken für H und die Gradientenfunktion 20 6 Schranke für |A|^{2} und C^{0,α} Schranke für ∇^{2}u 29 7 Schranke für |∇^{m}A|^{2} 32 8 Langzeitexistenz und Folgerungen 39 9 Beispiel 40 A Erste Variationsformel von H 46

1 Einleitung

Die Allgemeine Relativitätstheorie modelliert gewisse Aspekte des physikalischen Universums durch Raumzeiten. Raumzeiten sind zeitorientierte, zusammenhängende Lorentzmannigfaltigkeiten (oft 4-dimensional).

Für isolierte Systeme in der Allgemeinen Relativitätstheorie (z.B. ein Stern) steht das Modell der asymptotisch flachen Raumzeiten. Eine solche Raumzeit nähert sich, weit entfernt vom System, dem Minkowskiraum (spezielle Relativitätstheorie). Im Gegensatz hierzu sind die kosmologischen Raumzeiten Modelle, in denen man das ganze ”Universum“ im ”Großen“ betrachten will. Unter einer kosmologischen Raumzeit versteht man eine Raumzeit V, die eine globale Cauchyfläche enthält, d.h. man kann eine kosmologische Raumzeit wie folgt schreiben: V = Σ^{n} × I, wobei Σ^{n} eine Cauchyfläche und I ein Intervall ist. Eine Cauchyfläche ist eine raumartige Hyperfläche, die von keiner nicht raumartigen Kurve mehr als einmal geschnitten wird.

Wir betrachten hier in dieser Arbeit kosmologische Raumzeiten, die ausdrücklich eine Anfangs- bzw. Endsingularität zulassen. In der Physik wird die Anfangssingularität meist als ”big bang“ und die Endsingularität als ”big crunch“ bezeichnet. Des weiteren nehmen wir an, daß die zeitartige Konvergenzbedingung erfüllt ist, d.h. \overline{R}ic(X, X) ≥ 0 für alle zeitartigen Vektorfelder X.

Man versucht solche Mannigfaltigkeiten besser zu verstehen, indem man Blätterungen in ihnen findet. Gerhardt zeigte in [GC1], daß in einer kosmologischen Raumzeit, in der die zeitartige Konvergenzbedingung erfüllt ist, eine Blätterung mit Hyperflächen konstanter mittlerer Krümmung und mindestens eine Maximalfläche existieren. Hierzu benötigte er die Existenz einer Anfangssingularität und einer Endsingularität, die von Flächen beliebig großer bzw. kleiner mittlerer Krümmung umschlossen werden. Bartnik löste in [BR1] das korrespondierende Problem für asymptotisch flache Raumzeiten. Beide Arbeiten haben jedoch den Nachteil, daß die Existenzbeweise nicht konstruktiv sind, da sie auf topologischen Fixpunkttheoremen beruhen.

Diesen Mangel beseitigten Ecker und Huisken in [EH1], indem sie den zugehörigen mittleren Krümmungsfluß betrachteten. Sie erhielten raumartige Hyperflächen mit vorgeschriebener mittlerer Krümmung H in kosmologischen Raumzeiten, die die zeitartige Konvergenzbedingung erfüllen, als asymptotischen Grenzwert der geometrischen Evolutionsgleichung \frac{d}{ds}F = (H − H)ν. Das heißt, sie geben einen alternativen, konstruktiven Beweis für die Existenz von Maximalflächen und Flächen konstanter mittlerer Krümmung an. Auch sie mußten die Existenz von Barrieren annehmen, d.h. Flächen mit strikt größerer und strikt kleinerer mittleren Krümmung als H.

Der ”mittlere Krümmungsfluß“ hat also die Eigenschaft, Hyperflächen zu einer Maximalfläche hin zu deformieren. Wir wollen hier jedoch einen Fluß betrachten, der Hyperflächen von der Maximalfläche weg und zu der Anfangssingularität hin deformiert, den inversen mittleren Krümmungsfluß.

Sei also M_{0} eine glatte, orientierbare, kompakte, raumartige Hyperfläche in einer kosmologischen Raumzeit V. Wir nehmen an, daß M_{0} gegeben ist durch eine Immersion

F_{0} : M^{n} → V.

1.1 Definition. Inverser mittlerer Krümmungsfluß (IMK )

Eine Familie glatter Immersionen F_{s} = F (·, s) : M^{n} → V, s ∈ [0, Z) genügt dem inversen mittleren Krümmungsfluß, falls gilt:

\frac{d}{ds}F (p, s) = −(\frac{1}{H} ν)(p, s),

p ∈ M^{n}, s ≥ 0,  (IMK )

F (p, 0) = F_{0}(p).

Wobei ν(p, s) die zukunftsgerichtete Einheitsnormale auf M_{s} := F (·, s)(M^{n}) an der Stelle F (p, s) ist und H > 0 die mittlere Krümmung auf M_{s} ist.

Die Evolution von Hyperflächen entlang ihrer mittleren Krümmung wurde ausführlich im Falle eines Riemannschen Umgebungsraumes studiert. Huisken betrachtete in [H1,H2] den sogenannten inward flow oder auch kontrahierenden Fluß, \frac{d}{ds}F = −Hν, also einen Fluß der zur Singularität hin deformiert. Er konnte zeigen, daß konvexe Hyperflächen nach geeigneter Reskalierung gegen eine runde Sphäre konvergieren. Der outward flow oder expandierende Fluß wurde von Gerhardt [GC2] und Urbas [U1,U2] studiert. In unabhängig voneinander entstandenen Arbeiten konnten sie für kompakte, sternförmige C^{2,α}-Flächen im IR^{n+1} und für verschiedene, expandierende Flüsse exponentielle Konvergenz der reskalierten Flächen zu runden Sphären beweisen. Die Arbeit von Gerhardt beinhaltet den Fluß \frac{d}{ds}F = \frac{1}{H} ν, der mit dem hier verwendeten Fluß (IMK ) eng verwandt ist.

Unser Ziel ist es, ”Langzeitexistenz“ für den inversen mittleren Krümmungsfluß (IMK ) zu beweisen. Im folgenden Kapitel werden wir die Notation festgelegen und wichtige, grundlegende Gleichungen herleiten. In Kapitel 3 zeigen wir dann, daß zu einer vorgegebenen, glatten ”Startimmersion“ M_{0} mindestens für ein kurzes Zeitintervall eine eindeutige, glatte Lösung des nichtlinearen parabolischen Systems partieller Differentialgleichungen (IMK ) existiert (Theorem 3.6 bzw.

3.7). Hierzu schreibt man die Flächen M_{s}, für kleine Zeiten s, als Graph über M_{0} und transformiert so das gegebene System (IMK ) in eine ”äquivalente“ skalare, nichtlineare parabolische, partielle Differentialgleichung. Die Existenz einer Lösung für dieses Problem folgt aus Resultaten der nichtlinearen parabolischen Theorie [HA3].

In Kapitel 4 berechnen wir, ausgehend von der Evolution (IMK ), die Evolutionsgleichungen für die Metrik, das Volumenelement, die äußere Normale, die Höhenfunktion, die Gradientenfunktion, die zweite Fundamentalform und die mit ihr zusammenhängenden Größen.

Mit Hilfe dieser Evolutionsgleichungen berechnen wir dann zunächst eine untere a priori Schranke für die mittlere Krümmung (Satz 5.2). Weiter erhalten wir eine obere a priori Schranke für die Gradientenfunktion (Satz 5.3) und die mittlere Krümmung (Satz 5.4), indem wir ähnliche Methoden, wie Bartnik [BR1], beziehungsweise Ecker und Huisken [EH1] für die Gradientenfunktion, anwenden. Die obere a priori Schranke für die zweite Fundamentalform (Satz 6.2) erhalten wir durch eine analoge Vorgehensweise zu der von Gerhardt, im Fall eines Expandierenden Flusses im IR^{n+1} [GC2].

Aus den schon erhaltenen Schranken ergibt sich nun, mit einem Resultat von Krylov [KN: Kapitel 5], eine C^{0,α} Schranke für die zweiten Ableitungen der Höhenfunktion u (Satz 6.3), die uns dann schließlich, nach Standardergebnissen aus der Regularitätstheorie, die volle Regularität liefert.

Unter Annahme einer oberen Schranke an den Gradienten der mittleren Krümmung, können wir auf Satz 6.3 (also auf das Resultat von Krylov) verzichten und erhalten so in Kapitel 7, a priori Schranken für sämtliche Ableitungen der zweiten Fundamentalform und somit auch die volle Regularität.

Mit Hilfe der Schranken aus Kapitel 5 und 6 bzw. 7 und der Kurzzeitexistenz (Satz 3.7) können wir schließlich die ”Langzeitexistenz“ (Theorem 8.1) beweisen.

Im letzten Kapitel betrachten wir unseren Fluß in Robertson-Walker-Raumzeiten, ein besonderes Beispiel für kosmologische Raumzeiten. Im speziellen interessieren wir uns für die kosmologischen Friedmann Modelle, die für ein gutes Modell unseres Universums im ”Großen“ gehalten werden.

Mein Dank gilt an erster Stelle Herrn Professor Dr. Huisken, der mich die letzten beiden Jahre hervorragend betreut hat. Ferner sei Volker Christ für seine Diskussionsbereitschaft und die sehr gute Zusammenarbeit zu Beginn der Arbeit, wie auch meinen Eltern, die mich während meines Mathematikstudiums in jeder Hinsicht unterstützten, gedankt. Nicht zuletzt danke ich auch Alexander Polden, für die Hilfe mit den Silicons & Co, Ralf Rigger, für die ab und zu nötigen Problemdiskussionen und Marie-Louise Schimmel, für die an manchen Tagen unverzichtbare Versorgung mit Kaffee. Schließlich möchte ich mich noch ganz besonders bei meiner Frau Annette und bei meinem Sohn Jacob, für ihre endlose Geduld und die ständigen Aufmunterungen bedanken.

2 Notation und Grundlagen

Sei V eine (n+1)-dimensionale Raumzeit mit einer Lorentzmetrik \overline{g} = \{ \overline{g}_{αβ}\}, der Signatur (−, +, +, ..., +).Wir bezeichnen die zur Metrik gehörende Bilinearform mit ⟨·, ·⟩, den kanonischen Zusammenhang mit \overline{∇} und den Krümmungstensor mit \overline{R}m = \{ \overline{R}_{αβγδ} \}. Griechische Indizes laufen grundsätzlich von 0 bis n. Wie in [BR1] nehmen wir die Existenz einer globalen Zeitfunktion t ∈ C^{∞}(V), mit einem von Null verschiedenen, vergangenheitsorientierten, zeitartigen Vektorfeld \overline{∇}t, an. Die Referenzblätter S_{t} := {p ∈ V | t(p) = t} haben einen zukunftsorientierten Einheitsnormalenvektor

T = −ψ\overline{∇}t,

wobei die lapse Funktion ψ ∈ C^{∞}(V) definiert ist durch

ψ ^{−2} := −⟨\overline{∇}t, \overline{∇}t⟩.

Wir bezeichnen ein angepaßtes Orthonormalsystem auf S_{t} durch e_{0}, e_{1}, …, e_{n} so, daß e_{0} = T .

Sei M eine glatte, raumartige Hyperfläche in V, die eingebettet ist durch eine Abbildung

F : M^{n} → V.

Sei ν der zukunftsorientierte, zeitartige Einheitsnormalenvektor und wähle lokal ein angepasstes Orthonormalsystem τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{n} in V so, daß eingeschränkt auf M, τ_{0} = ν gilt. Wir bezeichnen mit g = {g_{ij}} und Rm = {R_{ijkl}} die induzierte Metrik, beziehungsweise den Riemannschen Krümmungstensor auf M. Lateinische Indizes laufen immer von 1 bis n. Desweiteren steht ∇ für die kovariante Ableitung und Δ für den Laplace-Beltrami Operator auf M bezüglich der Metrik g. Die zweite Fundamentalform A = {h_{ij}} auf M ist gegeben durch

h_{ij} := ⟨\overline{∇}_{τ_{i}} ν, τ_{j}⟩ = −⟨ν, \overline{∇}_{τ_{i}} τ_{j}⟩.

Gleichheit gilt weil \overline{∇}_{τ_{i}} ⟨ν, τ_{j}⟩ = 0 (da ⟨ν, τ_{j}⟩ = 0).

2.1 Bemerkungen.

(1) Wir werden des öfteren Rechnungen an einem Punkt p_{0} ∈ M durchführen. Wenn nun {x_{i}} ein Koordinatensystem von M ist und {y_{α}} ein Koordinatensystem von V ist, so können diese Koordinatensysteme so gewählt werden, daß Γ^{k}_{ij}(p_{0}) ≡ 0, \frac{∂}{∂x_{i}} g_{jk}(p_{0}) ≡ 0, \overline{Γ}^{γ}_{αβ}(p_{0}) ≡ 0 und \frac{∂}{∂y_{α}} \overline{g}_{αβ}(p_{0}) ≡ 0 (Normalkoordinaten) ist. Hierbei bezeichnen Γ^{k}_{ij} und \overline{Γ}^{γ}_{αβ} die Christoffelsymbole auf M beziehungsweise V. Man kann sogar \{y_{α}\} so wählen, daß \frac{∂F^{α}}{∂x_{i}} (p_{0}) = δ_{i}^{α} gilt. Wir können jedoch auch das Koordinatensystem {x_{i}} so wählen, daß h_{ij}(p_{0}) Diagonalform hat oder g_{ij}(p_{0}) = δ_{ij} gilt.

(2) Tensoridentitäten sind unabhängig vom Koordinatensystem. Wenn wir also durch Rechnung in einem speziellen Koordinatensystem eine Tensoridentität erhalten, so gilt diese in jedem Koordinatensystem.

Wie in [H1,EH1] summieren wir über zwei sich wiederholende Indizes:

H := h_{i}^{i} = h_{ij}g^{ij}  (lokal = h_{ii} (s.o.))
|A|^{2} := h_{ij}h^{ij} = h_{ij}h_{kl}g^{ik}g^{jl} (lokal = h_{ij}h_{ij} (s.o.))

Die Krümmung, die Ricci Krümmung Ric = {R_{ij}} und die skalare Krümmung R auf M sind durch die Gauß Gleichung gegeben:

R_{ijkl} = \overline{R}_{ijkl} − h_{ik}h_{jl} + h_{il}h_{jk},
Kontraktion ⇒ R_{ik} = \overline{R}_{ik} − Hh_{ik} + h_{il}h_{lk} + \overline{R}_{i0k0},
Kontraktion ⇒ R = \overline{R} − H^{2} + |A|^{2} + 2\overline{R}ic(ν, ν).

Die Codazzi Gleichung gibt uns:

∇_{k} h_{ij} − ∇_{j} h_{ik} = \overline{R}_{0ijk}.

Es gelten allgemein folgende Regeln für das Vertauschen von kovarianten Ableitungen:

∇_{i} ∇_{j} Y_{k} − ∇_{j} ∇_{i} Y_{k} = −R_{ijkl}Y_{l},
∇_{i} ∇_{j} T_{kl} − ∇_{j} ∇_{i} T_{kl} = R_{slij}T_{ks} + R_{skij}T_{sl}.

Da \overline{R}_{ijkl} = ⟨\overline{R}(τ_{k}, τ_{l})τ_{j}, τ_{i}⟩ und R_{00ik} = 0 (wegen Antisymmetrie) ist, erhalten wir noch die folgende Beziehung:

\overline{∇}_{l} \overline{R}_{0ijk} = ∇_{l} \overline{R}_{0ijk} − \overline{R}_{0i0k}h_{jl} − \overline{R}_{0ij0}h_{kl} − \overline{R}_{mijk}h_{ml}.

Aus diesen Gleichungen erhalten wir die folgenden fundamentalen Identitäten (siehe auch [SSY,CY,NS]).

2.2 Lemma.

Es gilt:

(i)Δh_{ij} = ∇_{i} ∇_{j} H + \overline{∇}_{j} \overline{R}_{0kik} + \overline{∇}_{k} \overline{R}_{0ijk} + H\overline{R}_{0ij0}
+h_{ij}(\overline{R}ic(ν, ν) + |A|^{2}) + h_{il}\overline{R}_{lkjk} + h_{lj}\overline{R}_{lkik}
+2h_{lk}\overline{R}_{lijk} − Hh_{ik}h_{kj},
(ii)Δ|A|^{2} = ∇_{i} ∇_{j} Hh_{ij} + \overline{∇}_{j} \overline{R}_{0kik}h_{ij} + \overline{∇}_{k} \overline{R}_{0ijk}h_{ij} + H\overline{R}_{0ij0}h_{ij}
+|A|^{2}(\overline{R}ic(ν, ν) + |A|^{2}) + h_{il}h_{ij}\overline{R}_{lkjk} + h_{lj}h_{ij}\overline{R}_{lkik}
+2h_{lk}h_{ij}\overline{R}_{lijk} − Hh_{ik}h_{kj}h_{ij}.

2 NOTATION UND GRUNDLAGEN 8 Beweis durch Nachrechnen:

Δh_{ij} = div(grad h_{ij}) = div(∇h_{ij}) = ∇_{k} (∇_{k} h_{ij})
= ∇_{k} (∇_{j} h_{ik}) + ∇_{k} \overline{R}_{0ijk} = ∇_{j} (∇_{k} h_{ik}) + h_{im}R_{mkjk}
+h_{mk}R_{mijk} + ∇_{k} \overline{R}_{0ijk}
= ∇_{j} (∇_{i} h_{kk}) + ∇_{j} \overline{R}_{0kik} + h_{im}R_{mkjk} + h_{mk}R_{mijk} + ∇_{k} \overline{R}_{0ijk}
= ∇_{i} (∇_{j} H) + R_{skji}h_{ks} + R_{skji}h_{sk} + ∇_{j} \overline{R}_{0kik} + h_{im}R_{mkjk}
+ h_{mk}R_{mijk} + ∇_{k} \overline{R}_{0ijk}
= ∇_{i} ∇_{j} H + \overline{∇}_{j} \overline{R}_{0kik} + \overline{∇}_{k} \overline{R}_{0ijk}
+h_{im}(\overline{R}_{mkjk} − h_{mj}h_{kk} + h_{mk}h_{kj})
+ h_{mk}(\overline{R}_{mijk} − h_{mj}h_{ik} + h_{mk}h_{ij})
+h_{ks}(\overline{R}_{skji} − h_{sj}h_{ki} + h_{si}h_{kj})
+ h_{sk}(\overline{R}_{skji} − h_{sj}h_{ki} + h_{si}h_{kj})
+\overline{R}_{0k0k}h_{ij} + \overline{R}_{0ki0}h_{kj} + \overline{R}_{mkik}h_{mj}
+ \overline{R}_{0i0k}h_{jk} + \overline{R}_{0ij0}h_{kk} + \overline{R}_{mijk}h_{mk}
= ∇_{i} ∇_{j} H + \overline{∇}_{j} \overline{R}_{0kik} + \overline{∇}_{k} \overline{R}_{0ijk} + h_{ij}(\overline{R}ic(ν, ν) + |A|^{2})
+H\overline{R}_{0ij0} + h_{il}\overline{R}_{lkjk} + h_{lj}\overline{R}_{lkik} + 2h_{lk}\overline{R}_{lijk} − Hh_{ik}h_{kj} + 0.

Beachte:

h_{ks}(\overline{R}_{skji} − h_{sj}h_{ki} + h_{si}h_{kj}) + h_{sk}(\overline{R}_{skji} − h_{sj}h_{ki} + h_{si}h_{kj}) = 0,
h_{mk}h_{mk}h_{ij} = h_{ij}|A|^{2}, \overline{R}_{0k0k} = \overline{R}ic(ν, ν).

Somit folgt (i).

Δ|A|^{2} = ∇_{k} ∇_{k} (h_{ij}h_{ij}) = ∇_{k} (∇_{k} h_{ij} ·h_{ij} + h_{ij} ·∇_{k} h_{ij})
= ∇_{k} 2(∇_{k} h_{ij} ·h_{ij}) = 2(∇_{k} ∇_{k} h_{ij} ·h_{ij} + 2(∇_{k} h_{ij} ·∇_{k} h_{ij})
⇒ \frac{1}{2}Δ|A|^{2} = Δh_{ij} ·h_{ij} + |∇A|^{2}

und mit (i) folgt (ii). □ Für die a priori Abschätzungen ist es wichtig die Höhenfuktion u durch

u(p) := t(F (p))

einzuführen und die Gradientenfunktion v, die den Winkel zwischen M und der Referenzfläche S_{t} mißt, durch

v := −⟨ν, T ⟩

einzuführen. Wie in [BR1,2.8] erhalten wir die Identität

Δu = div\overline{∇}t + ψ^{−1}vH.  (2.1)

Beweis:

∇u = ∇t = (\overline{∇}t)^{T} = \overline{∇}t + ⟨\overline{∇}t, ν⟩ν = \overline{∇}t + ψ^{−1}vν
⇒ Δu = div(∇u) = div\overline{∇}t + div(ψ^{−1}vν) = div\overline{∇}t + ψ^{−1}vH,

da: div ν = H ist. Beachte: ”a^{T}“ bezeichnet die Projektion des Vektors a auf den Tangentialraum von M, d.h. a^{T} := a + ⟨a, ν⟩ν. □

Des weiteren gilt noch folgende Ungleichung:

⟨τ_{α}, e_{β}⟩ ≤ v

für alle 0 ≤ α, β ≤ n. Somit können wir die Einschränkung jedes p -Tensors B ∈ T^{p}(V) auf M abschätzen durch

∥B|_{T M}∥_{∞} ≤ v^{p}∥B∥_{∞}.  (2.2)

Für einen Tensor B bezeichnen wir mit ∥B∥_{l,G} die C^{l}-Norm von B auf dem Gebiet G ⊂ V. Ab und zu benötigen wir noch die folgende, elementare Ungleichung für reelle Zahlen a, b:

ab ≤ \frac{ε}{2}a^{2} + \frac{1}{2ε}b^{2}.  (2.3)

2.3 Lemma. Erste Variationsformel für H.

Wir haben

Δv = v(|A^{2}| + \overline{R}ic(ν, ν)) − ⟨T, ∇H⟩ + T (H_{T}).  (2.4)

Wobei T (H_{T}) die Variation der mittleren Krümmung von M unter dem Deformationsvektorfeld T ist. Diese kann man auch in Termen des Killing Tensors L_{T}g(X , Y ) = ⟨∇_{X} T , Y ⟩ + ⟨∇_{Y} T , X ⟩ schreiben:

T (H_{T}) = \frac{1}{2}(\overline{∇}_{ν} L_{T}g)(e_{i}, e_{i}) − (\overline{∇}_{e_{i}} L_{T}g)(ν, e_{i}) − \frac{1}{2} H L_{T}g(ν, ν)
−L_{T}g(e_{i}, e_{j} )A(e_{i}, e_{j} ).  (2.5)

Beweis: Siehe Anhang oder [BR1,CB,FM].

3 Kurzzeitexistenz

Der erste Schritt zur Lösung des Problems (IMK ) ist der Nachweis der Existenz einer Lösung auf einem sehr kleinen Zeitintervall [0, δ]. Die Existenz einer Lösung für ”lange“ Zeiten erhält man dann aus Gradienten- und Krümmungsabschätzungen, indem man mit Hilfe der Kurzzeitexistenz zeigt, daß eine glatte Lösung auf einem Zeitintervall [0, T] , die dort eine Krümmungsschranke erfüllt, sich fortsetzen läßt zu einer glatten Lösung auf [0, T + δ) .

Da das nichtlineare System partieller Differentialgleichungen (IMK ) \underline{nicht} strikt parabolisch ist, müssen wir um die Kurzzeitexistenz zu zeigen, das Problem in ein äquivalentes Problem einer skalaren Funktion w : M^{n} × [0, δ] → IR transformieren, welches nach Resultaten der Theorie nichtlinearer parabolischer Evolutionsgleichungen [HA3] eine eindeutige Lösung für kurze Zeiten besitzt.

Der Existenzbeweis, den wir hier führen, lehnt sich eng an einen Beweis aus [EH2] oder auch [SA] an, wo er für den mittleren Krümmungsfluß von Hyperflächen ohne Rand, bzw. mit Neumann Randwerten im Euklidischen Raum, geführt wird.

Sei M_{0} = F_{0}(M^{n}) eine glatte Immersion von M^{n} in V mit zukunftsgerichteter Einheitsnormalen N_{0} und seien (x^{1}, ..., x^{n}) Koordinaten auf M^{n}. Zu gegebenem x_{0} = (x_{0}^{1}, ..., x_{0}^{n}) ∈ M^{n} gibt es dann eine Umgebung T_{x_{0}} ⊂ M^{n}, so daß in einer Umgebung U ⊂ V von W_{x_{0}} := F_{0}(T_{x_{0}}) ein glattes Vektorfeld ξ existiert, mit den Eigenschaften:

ξ|_{W_{x_{0}}} = N_{0} , ∥ξ∥ ≡ 1 .

Sei Φ der zu diesem Vektorfeld gehörende Fluß, Φ(x, s) := derjenige Punkt in V, den man erreicht, wenn man im Punkt F_{0}(x) startet und ein Stück der Länge |s| der Flußlinie durch F_{0}(x) entlangläuft, d.h.

Φ(x, s) = ∫_{0}^{s} Φ′(x, σ)dσ = ∫_{0}^{s} ξ(Φ(x, σ))dσ .

In einer Tubenumgebung U_{ε} := { Φ(x, s) : x ∈ M^{n} , |s| < ε } von M_{0} in V erhält man dann Koordinaten wie folgt: ^{1} Ist p = Φ(x, s) , so seien (x^{1}, ..., x^{n})(p) die Koordinaten von x ∈ M^{n} und x^{0}(p) := s (d.h. (x^{1}, ..., x^{n})(p) sind die Koordinaten des Fußpunktes der Flußlinie durch p auf M_{0} und x^{0}(p) die Länge der Flußlinie zwischen p und diesem Fußpunkt mit Vorzeichen). Ein Spezialfall der so konstruierten Koordinaten sind die Gaußkoordinaten (man fordert noch ∇_{ξ} ξ = 0). Bezüglich diesen Koordinaten hat man an jedem Punkt von U_{ε} eine Standardbasis {τ̄_{α}} = {ξ, τ̄_{1}, ..., τ̄_{n}} von T V mit Lorentzmetrik \overline{g}_{αβ} := ⟨τ̄_{α}, τ̄_{β}⟩ , (\overline{g}^{αβ}) = (\overline{g}_{αβ})^{−1} und Zusammenhang mit Christoffelsymbolen \overline{Γ}^{ρ}_{αβ} . Es wird sich zeigen, daß die Flächen M_{s} für kleine Zeiten s in diesen Koordinaten als Graphen einer Skalarfunktion w : M^{n} × [0, δ] ⟶ V geschrieben werden können, d.h. M_{s} = { p ∈ V : p = Φ(x, w(x, s)) , x ∈ M^{n} } . Im weiteren wird nicht mehr zwischen einem Punkt p ∈ V und seinem Koordinatenvektor x(p) unterschieden. Damit hat man zunächst:

1Man betrachtet also eine Immersion der Produktmannigfaltigkeit M^{n} × (−ε, ε) in V, die lokal gegeben ist durch (x, σ) → Φ(x, σ).

3.1 Lemma. Graphen in krummlinigen Koordinaten

Sei F : M^{n} → V, F (x_{1}, …, x_{n}) = (w(x_{1}, …, x_{n}), x_{1}, x_{2}, …, x_{n}). Dann gilt:

(i) Standardtangentialvektorfelder an F (M^{n}) sind X_{k}(x_{1}, …, x_{n}) = (D_{k}w, 0, …, 1, 0, …, 0)(x_{1}, …, x_{n}) ,

(ii) ein Einheitsnormalenfeld (zukunftsgerichtet) ist gegeben durch

ν̄(x)^{α} = \frac{1}{v̄} \overline{g}^{αβ}(Dw)_{β} mit (Dw)_{β} = −1 für β = 0, (Dw)_{β} = D_{i}w sonst, \overline{g}^{αβ} = \overline{g}^{αβ}(w(x), x) und v̄ := \sqrt{−\overline{g}^{ϱδ}(Dw)_{ϱ}(Dw)_{δ}} ;

(iii) ⟨ν̄, τ̄_{k}⟩(w(x), x) = v̄^{−1}D_{k}w(x) und ⟨ν̄, N⟩(w(x), x) = −v̄^{−1} ; (iv) die Fundamentalformen von F (M^{n}) sind gegeben durch

g_{ij}(x) = (\overline{g}_{ij} + \overline{g}_{i0}D_{j}w + \overline{g}_{0j}D_{i}w + D_{i}wD_{j}w)(x),

h_{ij}(x) = v̄^{−1}(D_{i}D_{j}w − \overline{Γ}^{k}_{αβ}X_{i}^{α}X_{j}^{β}D_{k}w + \overline{Γ}^{0}_{αβ}X_{k}^{α}X_{j}^{β})(x) .

Beweis:

(i) : Klar. (ii) : Rechne nach, daß für 1 ≤ k ≤ n gilt: ⟨X_{k}, ν̄⟩(w(x), x) = 0 und die

Gleichung für v̄ ergibt sich aus der Normierung. (iii) : Ebenfalls Nachrechnen. (iv) : g_{ij}(x) = ⟨X_{i}, X_{j}⟩(x) = \overline{g}_{αβ}X_{k}^{α}X_{j}^{β}.

Mit den Weingarten Gleichungen:

h_{ij} = ( − \frac{∂^{2}F^{α}}{∂x_{i}∂x_{j}} + Γ_{ij}^{k} \frac{∂F^{α}}{∂x_{k}} − \overline{Γ}_{ρσ}^{α} \frac{∂F^{ρ}}{∂x_{i}} \frac{∂F^{σ}}{∂x_{j}} )ν^{β}\overline{g}_{αβ}

erhalten wir durch Einsetzen von F (x) = (w(x), x) die Behauptung. □

Nehme an, wir hätten eine glatte Lösung w : M^{n} × [0, δ] → IR von

\frac{∂w}{∂s}(x, s) = (−v̄\frac{1}{H̃})(x, t) ∀(x, s) ∈ M^{n} × [0, δ],

w(·, 0) = 0,  (3.1)

wobei H̃ > 0 die mittlere Krümmung des Graphen von w ist und v̄ wie in Lemma 3.1 ist. Dann setzen wir

F̃ : M^{n} × [0, δ] → V, F̃(x, s) := (w(x, s), x),

und M̃_{s} := F̃(M^{n}, s) und wir erhalten eine glatte Immersion in V. Der so definierte Fluß (3.1) wird im weiteren als Graphenfluß (GF) bezeichnet. Wir werden nun zeigen, daß der Graphenfluß (GF) und der inverse mittlere Krümmungsfluß (IMK ) im folgenden Sinne äquivalent sind:

3.2 Satz. (GF) ist äquivalent zu (IMK)

Zu jeder Lösung von (3.1) existiert eine Lösung von (IMK ) und umgekehrt derart, daß sich die Lösungen nur um einen tangentialen Diffeomorphismus unterscheiden.

Dies bedeutet, daß die Flächen M_{s} und M̃_{s} als Teilmengen von V gleich sind für alle s ∈ [0, δ]. Jedoch ist die Bewegung eines Punktes x_{0} unter den beiden Flüssen unterschiedlich, d.h. es ist im allgemeinen F (x_{0}, s) ≠ F̃(x_{0}, s) für s > 0. Die Abbildung 1 veranschaulicht diesen Unterschied. Der Beweis ergibt sich direkt aus den beiden folgenden Lemmata. Hier jedoch zunächst:

3.3 Satz. Kurzzeitexistenz von (GF)

(3.1) besitzt auf einem kleinen Zeitintervall eine eindeutige Lösung

w ∈ C^{∞}(M^{n} × (0, δ]) ∩ C^{2+α,1+ \frac{α}{2}} (M^{n} × [0, δ]).

Beweis: Es ist zu zeigen, daß (3.1) ein nichtlineares parabolisches Problem im Sinne von

[figure: M_{0}; M_{t}; F (x_{0}, t); F (x_{0}, 0); F̃(x_{0}, t); φ(x_{0}, t) = x_{1}; x_{0}]

Abbildung 1: Unterschiedliche Bewegung von Punkten unter dem inversen mittleren Krümmungsfluß und dem Graphenfluß.

[HA3] ist, dann folgt mit [HA3] die Behauptung. Das Problem heißt parabolisch wenn für

\frac{∂w}{∂s} = −(\frac{1}{g^{ij}h_{ij}} v̄)
= −v̄^{2} \frac{1}{(g^{ij}D_{i}D_{j}w) + f(x, s, w, Dw)}
=: P (x, s, w, D_{k}w, D_{i}D_{j}w) =: P (x, s, w, r_{k}, z_{ij})

gilt, daß die Matrix

\frac{∂}{∂z_{ij}} P

positiv definit ist. Ausrechnen ergibt

\frac{∂}{∂z_{ij}} P = v̄^{2}g^{ij} \frac{1}{H̃^{2}} .

Dieser Ausdruck ist positiv definit, weil g^{ij} als erste Fundamentalform (Metrik) von M̃_{t} positiv definit ist.

3.4 Lemma. (GF) ⇝ (IMK)

Sei eine glatte Lösung von (3.1) gegeben. Dann gilt:

F : M^{n} × [0, δ] → V, F (x, s) := F̃(φ(x, s), s) löst (IMK ), wobei φ : M^{n} × [0, δ] → M^{n} eindeutig definiert ist durch das System gewöhnlicher Differentialgleichungen

\frac{d}{ds}φ(x, s) = −(D_{x}F̃)^{−1}·(\frac{∂}{∂s}F̃)^{T} (φ(x, s), s),
φ(x, 0) = x.  (3.2)

Hierbei bezeichnet ”a^{T}“ die Projektion des Vektors a auf den Tangentialraum von M̃_{s}, d.h. a^{T} := a + ⟨a, ν̃⟩ν̃. Beachte: es gilt nach Konstruktion, daß ν̄(x, s) = ν̃(φ(x, s), s) und H(x, s) = H̃(φ(x, s), s)!

Beweis: Für die Evolutionsgleichung gilt:

\begin{aligned}\frac{d}{ds}F (x, s) & = & \frac{d}{ds}F̃(φ(x, s), s) \\ & = & (D_{x}F̃(φ(x, s), s))· \frac{dφ}{ds}(x, s) + \frac{∂}{∂s}F̃(φ(x, s), s) \\ & =^{(3.2)} & −(\frac{∂}{∂s}F̃)^{T} (φ(x, s), s) + \frac{∂}{∂s}F̃(φ(x, s), s) \\ & = & −⟨\frac{∂}{∂s}F̃, ν̃⟩ν̃(φ(x, s), s) = −⟨(\frac{∂w}{∂s}, 0), ν̃⟩ν̃(φ(x, s), s) \\ & =^{(3.1)} & (\frac{1}{H̃} v̄(\overline{g}_{oα}ν̃^{α})ν̃)(φ(x, s), s) \\ & = & −\frac{1}{H̃} ν̃(φ(x, s), s) = −\frac{1}{H} ν(x, s). \end{aligned} □

3.5 Lemma. (IMK) ⇝ (GF)

Sei eine glatte Lösung von (IMK ) gegeben, die man als Graph über M_{0} schreiben kann, dann definieren wir

F̃(φ(x, s), s) := (w(φ(x, s), s), φ(x, s)) := F (x, s)

mit einem tangentialen Diffeomorphismus φ und einer skalaren Funktion w wie oben. Dann gilt:

w : M^{n} × [0, δ] → IR ist eine Lösung von (3.1).

Beweis: Ausgehend von der Evolutionsgleichung für F erhalten wir

\frac{d}{ds}F (x, s) = (\frac{d}{ds}w(φ(x, s), s), \frac{d}{ds}φ(x, s)).

3 KURZZEITEXISTENZ 15 Berechne nun

(\frac{dφ}{ds}(x, s))^{i} = (\frac{d}{ds}F (x, s))^{i} = ( − \frac{1}{H} ν)^{i}(x, s)
= ( − \frac{1}{H̃} ν̃)^{i}(φ(x, s), s)
= ( − \frac{1}{H̃} v̄^{−1}\overline{g}^{iβ}(Dw)_{β})(φ(x, s), s)

und genauso

\frac{dw}{ds}(φ(x, s), s) = (\frac{d}{ds}F (x, s))^{0} = ( − \frac{1}{H} ν)^{0}(x, s)
= ( − \frac{1}{H̃} ν̃)^{0}(φ(x, s), s)
= ( − \frac{1}{H̃} v̄^{−1}\overline{g}^{0β}(Dw)_{β})(φ(x, s), s).

Aber es gilt auch

\frac{dw}{ds}(φ(x, s), s) = D_{i}w(φ(x, s), s)(\frac{dφ}{ds}(x, s))^{i} + \frac{∂w}{∂s}(φ(x, s), s).

Somit bekommen wir

\frac{∂w}{∂s}(φ(x, s), s) = −\frac{1}{H̃} v̄^{−1}( − \overline{g}^{0β}(Dw)_{β}(−1) − \overline{g}^{iβ}(Dw)_{β}D_{i}w)
= −\frac{1}{H̃} v̄^{−1}( − \overline{g}^{0β}(Dw)_{β}(Dw)_{0} − \overline{g}^{iβ}(Dw)_{β}(Dw)_{i})
= −\frac{1}{H̃} v̄^{−1}( − \overline{g}^{αβ}(Dw)_{α}(Dw)_{β})
=^{3.1(ii)} −(\frac{1}{H̃} v̄)(φ(x, s), s),

d.h. mit y := φ(x, s) und φ(x, 0) = x erfüllt w die Differentialgleichung

\begin{matrix}\frac{∂w}{∂s}(y, s) = −(\frac{1}{H̃} v̄)(y, s),  ∀(y, s) ∈ M^{n} × [0, δ], \\ w(·, 0) = 0. \end{matrix}  □

Der Satz 3.2 ergibt sich dann direkt aus Lemma 3.4 und Lemma 3.5 . Schließlich erhalten wir:

3.6 Theorem. Kurzzeitexistenz I

(IMK )besitzt auf einem kleinen Zeitintervall eine eindeutige Lösung

F ∈ C^{∞}(M^{n} × (0, δ], V) ∩ C^{2+α,1+ \frac{α}{2}} (M^{n} × [0, δ], V).

Diese Regularität ist optimal, falls F_{0}(M^{n}) ∈ C^{2,α}, wenn jedoch F_{0}(M^{n}) ∈ C^{∞} wie in Kapitel 1 vorausgesetzt, dann ist auch F ∈ C^{∞}(M^{n} × [0, δ], V).

Dazu äquivalent ist:

3.7 Theorem. Kurzzeitexistenz II

Sei M^{n} und V wie in Kapitel 1. Nehme an, daß M_{0} = F_{0}(M^{n}) eine glatte, kompakte, raumartige Hyperfläche mit positiver mittlerer Krümmung in V ist. Dann existiert eine eindeutige Familie M_{s} = F (·, s)(M^{n}) glatter, kompakter, raumartiger Hyperflächen, die das Anfangswertproblem (IMK ) auf einem Intervall s ∈ [0, s_{0}) löst.

Beweis: Die Existenz folgt direkt aus Satz 3.2 und Satz 3.3. Die Eindeutigkeit folgt mit Satz 3.3, denn: Sind F_{1} und F_{2} Lösungen von (IMK ) mit F_{1}(·, 0) = F_{2}(·, 0). Seien weiter φ_{1}, bzw. φ_{2} die eindeutig bestimmten tangentiellen Diffeomorphismen (wie oben), die F_{1}, bzw. F_{2} Lösungen w_{1}, bzw. w_{2} von (3.1) zuordnen. Dann ist, nach Satz 3.3, w_{1} = w_{2} und durch (3.2) wird ein eindeutiger tangentieller Diffeomorphismus φ bestimmt, der dieser Lösung des (GF) eine eindeutige Lösung des (IMK ) zuordnet. Somit ist φ_{1} = φ = φ_{2} und F_{1} = F_{2}, die Behauptung folgt. □

4 Evolutionsgleichungen

Ausgehend von der Evolutionsgleichung

\frac{d}{ds}F = −\frac{1}{H} ν,

werden wir die Evolutionsgleichungen für die Höhe, den Gradienten, die Krümmung und anderer wichtiger Größen auf M_{s} berechnen.

Wir gehen genau wie in [H1,EH1] vor und berechnen nun zuerst die Ableitungen der Metrik g, des Volumenelementes μ und der Einheitsnormalen ν auf M :

4.1 Lemma.

Wir haben folgende Gleichungen:

(i) \frac{d}{ds}g_{ij} = −2\frac{1}{H} h_{ij},

4 EVOLUTIONSGLEICHUNGEN 17

(ii) \frac{d}{ds}ν = ∇( − \frac{1}{H} ),
(iii) \frac{d}{ds}μ = H · ( − \frac{1}{H} )μ.

Beweis durch Nachrechnen lokal an einem Punkt, in Koordinaten:

\begin{aligned}(i) g_{ij} & = & ⟨\frac{∂F}{∂x_{i}} , \frac{∂F}{∂x_{j}} ⟩ ⇒ \\ \frac{d}{ds}g_{ij} & = & \frac{d}{ds}⟨\frac{∂F}{∂x_{i}} , \frac{∂F}{∂x_{j}} ⟩ = ⟨\frac{d}{ds} \frac{∂F}{∂x_{i}} , \frac{∂F}{∂x_{j}} ⟩ + ⟨\frac{∂F}{∂x_{i}} , \frac{d}{ds} \frac{∂F}{∂x_{j}} ⟩ \\ & = & 2⟨\frac{∂}{∂x_{i}} \frac{d}{ds}F, \frac{∂F}{∂x_{j}} ⟩ = 2( − \frac{1}{H} )⟨\frac{∂}{∂x_{i}} ν, \frac{∂F}{∂x_{j}} ⟩ = −2\frac{1}{H} h_{ij}, \\ (ii) \frac{d}{ds}ν & = & − \underbrace{⟨\frac{d}{ds}ν, ν⟩}_{= \frac{1}{2} \frac{d}{ds} ⟨ν,ν⟩=0} ν + ⟨\frac{d}{ds}ν, \frac{∂}{∂x_{i}} F ⟩\frac{∂}{∂x_{j}} F g^{ij} = ⟨\frac{d}{ds}ν, \frac{∂}{∂x_{i}} F ⟩\frac{∂}{∂x_{j}} F g^{ij} \\ & = & −⟨ν, \frac{d}{ds} \frac{∂}{∂x_{i}} F ⟩\frac{∂}{∂x_{j}} F g^{ij} = −⟨ν, \frac{∂}{∂x_{i}} ( − \frac{1}{H} )ν⟩\frac{∂}{∂x_{j}} F g^{ij} \\ & = & −⟨ν, ν⟩\frac{∂}{∂x_{i}} ( − \frac{1}{H} )\frac{∂}{∂x_{j}} F g^{ij} = ∇( − \frac{1}{H} ) = \frac{1}{H^{2}} ∇H, \\ (iii) \frac{d}{ds}μ & = & \frac{d}{ds}\sqrt{det(g_{ij})} = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{det(g_{ij})}}det(g_{ij})g_{ij} \frac{d}{ds}g_{ij} \\ & = & \frac{1}{2}\sqrt{det(g_{ij})}g_{ij}( − 2\frac{1}{H} )h_{ij} = −μg_{ij}h_{ij} \frac{1}{H} = −μ. \end{aligned} □

Für den Beweis des folgenden Lemmas benötigen wir noch folgende Gleichungen:

\frac{d}{ds}u = \frac{d}{ds}(t(F (p))) = ⟨\overline{∇}t, \frac{d}{ds}F ⟩ = −\frac{1}{H} ⟨\overline{∇}t, ν⟩ = −\frac{1}{H} ψ^{−1}v,  (4.1)
\frac{d}{ds}v = −\frac{d}{ds}(⟨T, ν⟩) = −⟨T, \frac{d}{ds}ν⟩ − ⟨\frac{d}{ds}T, ν⟩ = −⟨T, \frac{1}{H^{2}} ∇H⟩ − ⟨\overline{∇}_{\frac{d}{ds} F} T, ν⟩
= −⟨T, \frac{1}{H^{2}} ∇H⟩ + \frac{1}{H} ⟨\overline{∇}_{ν} T, ν⟩.  (4.2)

4.2 Lemma. Evolutionsgleichungen für die Höhen- und Gradi-

entenfunktion.

Es gilt:

(i) (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)u = −\frac{1}{H^{2}} div\overline{∇}t − \frac{2}{H} ψ^{−1}v,

4 EVOLUTIONSGLEICHUNGEN 18

(ii) (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)v = \frac{1}{H} ⟨\overline{∇}_{ν} T, ν⟩ − \frac{1}{H^{2}} T (H_{T}) − \frac{1}{H^{2}} v(|A^{2}| + \overline{R}ic(ν, ν)).

Beweis : Addition von (2.1) und (4.1) beziehungsweise Lemma 2.3 und (4.2). □

4.3 Lemma. Evolutionsgleichungen für die zweite Fundamen-

talform und Folgerungen.

Es gilt:

(i) (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)h_{ij} = −2\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} H∇_{j} H − 2\frac{1}{H} \overline{R}_{i00j} − 2\frac{1}{H^{2}} h_{kl}\overline{R}_{lijk}

−\frac{1}{H^{2}} h_{jl}\overline{R}_{lkik} − \frac{1}{H^{2}} h_{li}\overline{R}_{lkjk} − \frac{1}{H^{2}} \overline{∇}_{k} \overline{R}_{0ijk}

−\frac{1}{H^{2}} \overline{∇}_{j} \overline{R}_{0kik} − \frac{1}{H^{2}} h_{ij}(|A^{2}| + \overline{R}ic(ν, ν)),

(ii) (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)|A|^{2} = −4\frac{1}{H^{3}} h_{ij}∇_{i} H∇_{j} H − 4\frac{1}{H} h_{ij}\overline{R}_{i00j} − 2\frac{1}{H^{2}} |A|^{4}

−4\frac{1}{H^{2}} h_{ij}h_{kl}\overline{R}_{lijk} − 2\frac{1}{H^{2}} h_{ij}h_{jl}\overline{R}_{lkik}

−2\frac{1}{H^{2}} h_{li}h_{ij}\overline{R}_{lkjk} − 2\frac{1}{H^{2}} h_{ij}\overline{∇}_{k} \overline{R}_{0ijk}

−2\frac{1}{H^{2}} h_{ij}\overline{∇}_{j} \overline{R}_{0kik} − 2\frac{1}{H^{2}} |A|^{2}\overline{R}ic(ν, ν)

−2\frac{1}{H^{2}} |∇A|^{2} + 4\frac{1}{H} h_{ij}h_{jl}h_{li},

(iii)  (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)H = −2\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} H∇_{i} H + \frac{1}{H} (|A^{2}| + \overline{R}ic(ν, ν)).

Vorweg: Allgemein gilt (Gauß-Weingarten-Gleichungen):

h_{ij} = ( − \frac{∂^{2}F^{α}}{∂x_{i}∂x_{j}} + Γ^{k}_{ij} \frac{∂F^{α}}{∂x_{k}} − \overline{Γ}^{α}_{ρσ} \frac{∂F^{ρ}}{∂x_{i}} \frac{∂F^{σ}}{∂x_{j}} )ν^{β}\overline{g}_{αβ},

\frac{∂ν^{α}}{∂x_{j}} + \overline{Γ}^{α}_{ρσ} \frac{∂F^{ρ}}{∂x_{j}} ν^{σ} = h_{jl}g^{lm} \frac{∂F^{α}}{∂x_{m}} .

Beweis: Wir rechnen wieder lokal in einem Punkt und wählen lokal das Koordinatensystem so, daß die \overline{Γ}^{α}_{ρσ} ≡ 0 sind, d.h. \overline{R}_{i00j} = \frac{∂}{∂x_{0}} \overline{Γ}^{α}_{ij}g_{α0} − \frac{∂}{∂x_{i}} \overline{Γ}^{α}_{j0}g_{0α} + 0. Um (i) zu beweisen berechnen wir zuerst \frac{d}{ds}h_{ij}.

\frac{d}{ds}h_{ij} = \frac{d}{ds}\{( − \frac{∂^{2}F^{α}}{∂x_{i}∂x_{j}} + Γ^{k}_{ij} \frac{∂F^{α}}{∂x_{k}} − \overline{Γ}^{α}_{ρσ} \frac{∂F^{ρ}}{∂x_{i}} \frac{∂F^{σ}}{∂x_{j}} )ν^{β}\overline{g}_{αβ}\}
= −\frac{d}{ds}(\frac{∂^{2}F^{α}}{∂x_{i}∂x_{j}} ν^{β}\overline{g}_{αβ}) + \frac{d}{ds} \underbrace{(Γ^{k}_{ij} \frac{∂F^{α}}{∂x_{k}} ν^{β}\overline{g}_{αβ})}_{=0}

4 EVOLUTIONSGLEICHUNGEN 19

−\frac{d}{ds}(\overline{Γ}^{α}_{ρσ} \frac{∂F^{ρ}}{∂x_{i}} \frac{∂F^{σ}}{∂x_{j}} ν^{β}\overline{g}_{αβ})

= \underbrace{−⟨\frac{∂^{2}}{∂x_{i}∂x_{j}} \frac{d}{ds}F, ν⟩}_{(a)} \underbrace{−⟨\frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{j}} , \frac{d}{ds}ν⟩}_{(b)}

\underbrace{−\frac{d}{ds}\overline{Γ}^{α}_{ρσ} \frac{∂F^{ρ}}{∂x_{i}} \frac{∂F^{σ}}{∂x_{j}} ν^{β}\overline{g}_{αβ}}_{(c)} .

(a) = −⟨\frac{∂^{2}}{∂x_{i}∂x_{j}} ( − \frac{1}{H} ν), ν⟩
= −\frac{∂^{2}}{∂x_{i}∂x_{j}} ( − \frac{1}{H} )⟨ν, ν⟩ − ( − \frac{1}{H} )⟨\frac{∂}{∂x_{i}} (\frac{∂}{∂x_{j}} ν), ν⟩

−\frac{∂}{∂x_{j}} ( − \frac{1}{H} ) \underbrace{⟨\frac{∂}{∂x_{i}} ν, ν⟩}_{=0 Da ⟨ν,ν⟩=−1} −\frac{∂}{∂x_{i}} ( − \frac{1}{H} ) \underbrace{⟨\frac{∂}{∂x_{j}} ν, ν⟩}_{=0 Da ⟨ν,ν⟩=−1}

= \frac{∂^{2}}{∂x_{i}∂x_{j}} ( − \frac{1}{H} ) + \frac{1}{H} ⟨\frac{∂}{∂x_{i}} (h_{jl}g^{lm} \frac{∂F}{∂x_{m}} ), ν⟩ − \frac{1}{H} \frac{∂}{∂x_{i}} (\overline{Γ}^{α}_{ρσ} \frac{∂F^{ρ}}{∂x_{j}} ν^{σ}ν^{β}\overline{g}_{αβ})
= \underbrace{\frac{∂^{2}}{∂x_{i}∂x_{j}} ( − \frac{1}{H} )}_{∇_{i} ∇_{j} (− \frac{1}{H} )} +\frac{1}{H} \underbrace{⟨h_{jl}g^{lm} \frac{∂^{2}F}{∂x_{i}∂x_{m}} , ν⟩}_{=−h_{jl}h_{li}} − \underbrace{\frac{1}{H} \frac{∂}{∂x_{i}} \overline{Γ}^{α}_{ρσ} \frac{∂F^{ρ}}{∂x_{j}} ν^{σ}ν^{β}\overline{g}_{αβ}}_{= \frac{1}{H} \frac{∂}{∂x_{i}} \overline{Γ}^{α}_{j0}g_{0α} (α)} +0,
= ∇_{i} ∇_{j} ( − \frac{1}{H} ) − \frac{1}{H} h_{jl}h_{li} − \frac{1}{H} \frac{∂}{∂x_{i}} \overline{Γ}^{α}_{j0}g_{0α}.
(b) = 0 + h_{ij}ν^{β} \frac{∂F^{α}}{∂x_{m}} \overline{g}_{αβ}g^{lm} \frac{∂}{∂x_{l}} ( − \frac{1}{H} ) = 0,  da ⟨ν, τ_{m}⟩ = 0.
(c) = −\overline{∇}_{− \frac{1}{H} ν} (\overline{Γ}^{α}_{ρσ} \frac{∂F^{ρ}}{∂x_{i}} \frac{∂F^{σ}}{∂x_{j}} ν^{β}\overline{g}_{αβ}) = \frac{1}{H} \overline{∇}_{ν} (\overline{Γ}^{α}_{ρσ} \frac{∂F^{ρ}}{∂x_{i}} \frac{∂F^{σ}}{∂x_{j}} ν^{β}\overline{g}_{αβ})
= \frac{1}{H} \frac{∂}{∂y^{δ}} \overline{Γ}^{α}_{ρσ}ν^{δ} \frac{∂F^{ρ}}{∂x_{i}} \frac{∂F^{σ}}{∂x_{j}} ν^{β}\overline{g}_{αβ} = \frac{1}{H} \frac{∂}{∂x_{0}} \overline{Γ}^{α}_{ij}g_{α0} (β).

Somit ergibt sich insgesamt

(a) + (b) + (c) = ∇_{i} ∇_{j} ( − \frac{1}{H} ) − \frac{1}{H} (h_{il}h_{lj} + \underbrace{\overline{R}_{i00j}}_{(α)+(β)} ).

Hiermit und mit Lemma 2.2 folgt (i). Für den Beweis von (ii) berechnen wir zuerst \frac{d}{ds}|A|^{2}:

\frac{d}{ds}|A|^{2} = \frac{d}{ds}(h_{ij}h_{kl}g^{ik}g^{jl}) = 2h_{ij} \frac{d}{ds}h_{ij} + h_{ij}h_{kl} \frac{d}{ds}g^{ik}g^{jl} + h_{ij}h_{kl}g^{ik} \frac{d}{ds}g^{jl}

5 SCHRANKEN FÜR H UND DIE GRADIENTENFUNKTION 20

= 2h_{ij} \frac{d}{ds}h_{ij} + h_{ij}h_{kl}( − \frac{d}{ds}g_{rs}g^{ri}g^{sk})g^{jl} + h_{ij}h_{kl}( − \frac{d}{ds}g_{rs}g^{ri}g^{sk})g^{ik}
= 2h_{ij} \frac{d}{ds}h_{ij} + h_{ij}h_{kl}2\frac{1}{H} h_{rs}g^{ri}g^{sk}g^{jl} + h_{ij}h_{kl}2\frac{1}{H} h_{rs}g^{rj}g^{sl}g^{ik}
= 2h_{ij} \frac{d}{ds}h_{ij} + 4\frac{1}{H} h_{ij}h_{jl}h_{li}.

Dann ergibt sich zunächst

(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)|A|^{2} = 2h_{ij} \frac{d}{ds}h_{ij} + 4\frac{1}{H} h_{ij}h_{jl}h_{li} − 2h_{ij} \frac{1}{H^{2}} Δh_{ij}

−2\frac{1}{H^{2}} ∇_{k} h_{ij}∇_{k} h_{ij}

= 2h_{ij}(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)h_{ij} + 4\frac{1}{H} h_{ij}h_{jl}h_{li} − 2\frac{1}{H^{2}} |∇A|^{2}

und mit (i) folgt (ii).

(iii) ist eine direkte Konsequenz aus Lemma 2.3, kann aber auch durch Spurbildung, aus (i) erhalten werden. □

5 Schranken für die mittlere Krümmung und den Gradienten

In diesem Kapitel werden wir zuerst, mit Hilfe des folgenden Lemmas, eine a priori Abschätzung nach unten für die Mittlere Krümmung H erhalten. Im weiteren erhalten wir, durch ein ähnliches Vorgehen wie in [BR1,EH1], eine obere a priori Schranke für die Gradientenfunktion v und schließlich, unter Anwendung ähnlicher Methoden wie bei der Gradientenschranke, eine obere a priori Schranke für H.

5.1 Lemma. Minimum Lemma.

Sei g eine glatte Funktion mit g = g(t, y); t ∈ IR, y ∈ IR^{k}. Sei

f(t) = inf {g(t, y) : y ∈ Y },

wobei Y eine kompakte Menge ist. Dann ist f(t) Lipschitz und

\frac{∂}{∂t}f(t) ≥ inf \{\frac{∂}{∂t}g(t, y) : y ∈ Y (t)\},

mit Y (t) = {y : g(t, y) = f(t)}.

Beweis: [z.B.: HA2] Wähle eine Zeitfolge t_{j} monoton fallend gegen t (t_{j} ↘ t), mit

lim_{t_{j}↘t} \frac{f(t_{j}) − f(t)}{t_{j} − t} = lim inf_{h↘0} \frac{f(t + h) − f(t)}{h}.  (5.1)

Wähle y_{j} ∈ Y mit f(t_{j}) = g(t_{j}, y_{j}). Das ist möglich weil Y kompakt ist und somit das Minimum angenommen wird. Ebenfalls wegen der Kompaktheit von Y, existiert eine Teilfolge y_{j′} mit y_{j′} → y. Stetigkeit von f(t) liefert uns f(t) = g(t, y) und somit ist y ∈ Y (t). Da g(t, y_{j}) ≥ g(t, y) (min ≤ beliebiger Funktionswert), folgt

f(t_{j}) − f(t) ≥ g(t_{j}, y_{j}) − g(t, y_{j}).  (5.2)

Mit Hilfe des Mittelwertsatzes erhalten wir die Existenz eines T_{j} ∈ [t_{j}, t], mit der Eigenschaft

\frac{g(t_{j}, y_{j}) − g(t, y_{j})}{t_{j} − t} = \frac{∂}{∂t}g(T_{j}, y_{j}).  (5.3)

Weil T_{j} → t folgt

\frac{∂}{∂t}g(T_{j}, y_{j}) → \frac{∂}{∂t}g(T, y) ≥ inf \{\frac{∂}{∂t}g(t, y) : y ∈ Y (t)\}.  (5.4)

Außerdem gilt ganz allgemein für Lipschitzfunktionen, daß

\frac{∂}{∂t}f(t) ≥ C ist, wenn lim inf_{h↘0} \frac{f(t + h) − f(t)}{h} ≥ C.  (5.5)

Nun teilen wir (5.2) durch t_{j} − t ≥ 0 und erhalten mit Hilfe von (5.1),(5.3),(5.4) und (5.5) die Behauptung. □

Sei im Folgenden M_{s} eine glatte Lösung von (IMK) auf dem Intervall 0 ≤ s < s_{0}, so daß M_{s} in einer glatten und kompakten Teilmenge G ⊂ V, für alle 0 ≤ s < s_{0}, enthalten ist.

5.2 Satz. Untere Schranke für H.

Behauptung: Falls H ≥ H_{0} > 0 auf M_{0}, dann haben wir für die mittlere Krümmung auf M_{s} folgende a priori Abschätzung:

H ≥ e^{s \frac{1}{n}} H_{0}.

Hierzu genügt es zu zeigen, daß die Funktion f(s) := min \{He^{−s \frac{1}{n}} (p, s) : p ∈ M^{n}\} wächst, d.h.

\frac{d}{ds}f ≥ 0.

Beweis: Definiere Y (s) := \{p : He^{−s \frac{1}{n}} (p, s) = f(s)\} und benutze Lemma 5.1:

\frac{d}{ds}f(s) ≥ min \{\frac{d}{ds}(He^{−s \frac{1}{n}})(p, s)|p ∈ Y (s)\} = min \{(e^{−s \frac{1}{n}} (\frac{1}{H^{2}} ΔH − \frac{2}{H^{3}} ∇_{i} H∇_{i} H +\frac{1}{H} (|A|^{2} + \overline{R}ic(ν, ν) − \frac{1}{n}H^{2})))(p, s)|p ∈ Y (s)\} ≥ min \{(e^{−s \frac{1}{n}} (0 − 0 + \frac{1}{n}H + 0 − \frac{1}{n}H))\} = 0. □

Bemerkung: Da H > 0 erhält man direkt aus Lemma 4.1 (\frac{d}{ds}u < 0) für die Höhenfunktion u deren Beschränktheit: u ≤ u_{0}(= sup_{M_{0}}u).

5.3 Satz. Gradientenschranke

Die Gradientenfunktion erfüllt folgende a priori Abschätzung auf M_{s}:

v(p, s) ≤ (1 + sup_{M_{0}} v) sup_{(q,r)∈M^{n}×[0,s_{0}]} exp (λ[u(q, r) − u(p, s)])·exp(K̂s),

wobei

λ = λ(n, ∥L_{T}g∥_{1,G}, ∥T ∥_{1,G}, ∥ψ^{−1}∥_{1,G}, ∥\overline{R}iem∥_{0,G}),
K̂ = 2\frac{2n}{4n + 1} + \frac{1}{2}λ.

Beweis: Wir betrachten die Funktion ve^{λu−K̂s} und gehen vor wie in [B 1, Theorem 3.1]. Seien λ, K̂ > 0 Konstanten, die wir später wählen und definiere

C_{λ} := (1 + sup_{M_{0}} v) sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} e^{λu}.

Angenommen ve^{λu−K̂s}erreicht zum ersten Mal C_{λ} im Punkt (p_{1}, s_{1}) ∈ M^{n}×(0, s_{0}]. Dann gilt an diesem Punkt (Maximum)

0 ≤ (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)ve^{λu−K̂s},  (5.6)
0 = ∇(ve^{λu−K̂s}).  (5.7)

Aus (5.7) folgt

∇v · e^{λu−K̂s} = −λ∇u · ve^{λu−K̂s}
⇔ ∇v = −λv∇u.  (5.8)

Wenn wir nun (5.6) ausrechnen und durch e^{λu−K̂s} dividieren erhalten wir

0 ≤ λv(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)u + (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)v − λ\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} u∇_{i} v
+λ∇_{i} u \underbrace{(∇_{i} v + λv∇_{i} u)}_{=0 mit (5.8)} −K̂v.  (5.9)

Einsetzen von (5.8) in (5.9) ergibt uns:

0 ≤ λv(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)u + (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)v + \frac{1}{H^{2}} λ^{2}|∇u|^{2}v − K̂v. (5.10)

Als nächstes schätzen wir die beiden ersten Terme nach oben ab. Aus Lemma 4.2 (i) wissen wir, daß (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)u = −\frac{1}{H^{2}} div\overline{∇}t − \frac{2}{H} ψ^{−1}v und da

−div\overline{∇}t = div(T ψ^{−1}) = ⟨τ_{i}, ∇_{i} T ⟩ψ^{−1} + ⟨τ_{i}, ∇_{i} ψ^{−1}T ⟩
= ⟨τ_{i}, ∇_{T} τ_{i}⟩ψ^{−1} + ∇_{i} ψ^{−1}⟨τ_{i}, T ⟩ ≤ \frac{1}{2} \underbrace{∇_{T} \underbrace{⟨τ_{i}, τ_{i}⟩}_{=1}}_{=0} ψ^{−1} + ∇_{i} ψ^{−1}v

≤ C̃_{0}(∥ψ^{−1}∥_{1,G})v^{2},

folgt

(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)u ≤ |(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)u| ≤ \frac{1}{H^{2}} C̃_{0}v^{2} + \frac{2}{H} ψ^{−1}v
≤ \frac{1}{H^{2}} C̃_{1}(C̃_{0})v^{2} + \frac{1}{2}.  (5.11)

Anmerkung: Wir verwenden hierbei, daß ∇_{i} ψ^{−1} ≤ |∇ψ^{−1}| ≤ C̃_{1}(∥ψ^{−1}∥_{1,G})v. Lemma 4.2 (ii) gibt uns

(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)v = \frac{1}{H} ⟨\overline{∇}_{ν} T, ν⟩ − \frac{1}{H^{2}} T (H_{T}) − \frac{1}{H^{2}} v(|A^{2}| + \overline{R}ic(ν, ν)). (5.12)

Mit Hilfe von

⟨\overline{∇}_{ν} T, ν⟩ ≤ C̃′_{2}(∥T ∥_{1,G})  (5.13)

und (Lemma 2.3)

T (H_{T}) = \frac{1}{2}(∇_{ν} L_{T}g)(τ_{i}, τ_{i}) − (∇_{τ_{i}} L_{T}g)(ν, τ_{i}) − \frac{1}{2}HL_{T}g(ν, ν)
−L_{T}g(τ_{i}, τ_{j} )A(τ_{i}, τ_{j} ),
⇒ |T (H_{T})| ≤ C̃′_{3}(∥L_{T}g∥_{1,G}) + C̃′_{3}(∥L_{T}g∥_{0,G})(1 + |A|v^{2} + H)
≤ C̃_{3}(∥L_{T}g∥_{1,G})(1 + |A|v^{2} + H),  (5.14)

ergibt sich ((5.13) und (5.14) in (5.12))

(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)v ≤ −\frac{1}{H^{2}} v|A|^{2} + \frac{1}{H^{2}} C̃_{4}(∥L_{T}g∥_{1,G}, ∥T ∥_{1,G}, n)(1 + |A|v^{2})
−\frac{1}{H^{2}} v\overline{R}ic(ν, ν).  (5.15)

Unter Verwendung von (2.3) erhalten wir folgende Ungleichung:

C̃_{4}(1 + |A|v^{2}) = C̃_{4} + v(C̃_{4}v|A|) ≤ C̃_{4} + v(\frac{C̃_{4}^{2}}{4ε_{1}} v^{2} + ε_{1}|A|^{2})
≤ C̃_{5}(C̃_{4}, ε_{1}^{−1})v^{3} + ε_{1}v|A|^{2}.  (5.16)

Wir setzen nun (5.16) in (5.15) ein und nützen aus, daß \overline{R}ic(ν, ν) ≥ 0 ist. Wir erhalten somit

(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)v ≤ −(1 − ε_{1})\frac{1}{H^{2}} v|A|^{2} + \frac{1}{H^{2}} C̃_{5}v^{3}.  (5.17)

Seien {λ_{i}|1 ≤ i ≤ n} die Menge der Eigenwerte von A mit λ_{1} = max_{i} |λ_{i}|, dann gilt

|A|^{2} ≥ (1 + \frac{1}{n})λ_{1}^{2} − H^{2}.  (5.18)

Beweis von (5.18):

|A|^{2} = λ_{1}^{2} + ∑_{i=2}^{n} λ_{i}^{2} ≥ λ_{1}^{2} + \frac{1}{n − 1}( ∑_{i=2}^{n} λ_{i})^{2} = λ_{1}^{2} + \frac{1}{n − 1}(λ_{1} − H)^{2}
= λ_{1}^{2} + \frac{1}{n − 1}λ_{1}^{2} + \frac{1}{n − 1}H^{2} − \frac{2}{n − 1}λ_{1}H
= λ_{1}^{2}(1 + \frac{1}{n}) + \frac{1}{(n − 1)n}λ_{1}^{2} − \frac{2}{n − 1}λ_{1}H + \frac{1}{n − 1}H^{2}.

Aus (2.3) (mit ε = \frac{1}{n}) folgt \frac{2}{n−1}λ_{1}H ≤ \frac{1}{(n−1)n}λ_{1}^{2} + \frac{n}{n−1}H^{2}. Das ergibt:

\begin{aligned}|A|^{2} & ≥ & (1 + \frac{1}{n})λ_{1}^{2} + (\frac{1}{(n − 1)n} − \frac{1}{(n − 1)n})λ_{1}^{2} − (\frac{n}{(n − 1)n} − \frac{1}{(n − 1)n})H^{2} \\ & = & (1 + \frac{1}{n})λ_{1}^{2} − H^{2}. \end{aligned} □

Es gilt des weiteren :

|∇v|^{2} ≤ C̃_{6}(C̃_{2}, ε_{2}^{−1})v^{4} + (1 + ε_{2})v^{2}λ_{1}^{2}.  (5.19)

5 SCHRANKEN FÜR H UND DIE GRADIENTENFUNKTION 25 Beweis von (5.19):

|∇v|^{2} = \overline{∇}_{i} v\overline{∇}_{i} v = −\overline{∇}_{i} v⟨\overline{∇}_{i} T, ν⟩ − \overline{∇}_{i} v⟨T, \overline{∇}_{i} ν⟩
= −\overline{∇}_{i} v⟨\overline{∇}_{i} T, ν⟩ − ⟨T, τ_{l}⟩h_{il}\overline{∇}_{i} v ≤ |∇v|v^{2}∥T ∥_{1,G} + ∑_{i=1}^{n} |λ_{i}|⟨T, τ_{i}⟩|\overline{∇}_{i} v|
≤ |∇v|v^{2}∥T ∥_{1,G} + |λ_{1}|v·1·|∇v| ≤ |∇v|(C̃_{2}(∥T ∥_{1,G})v^{2} + v|λ_{1}|).

Dividieren der Ungleichung durch |∇v| und anschließendes Quadrieren führt zu folgendem Ergebnis:

\begin{aligned}|∇v|^{2} & ≤ & (C̃_{2}v^{2} + v|λ_{1}|)^{2} = ˜(C_{2})^{2}v^{4} + C̃_{2}v^{3}|λ_{1}| + v^{2}|λ_{1}|^{2} \\ & ≤ & ˜(C_{2})^{2}v^{4} + \frac{1}{4ε_{2}} ˜(C_{2})^{2}v^{4} + ε_{2}v^{2}λ_{1}^{2} + v^{2}|λ_{1}|^{2} \\ & = & C̃_{6}(C̃_{2}, ε_{2}^{−1})v^{4} + (1 + ε_{2})v^{2}λ_{1}^{2}. \end{aligned} □

Wir multiplizieren (5.18) mit v^{2}, benutzen (5.19) und erhalten

v^{2}|A|^{2} ≥ λ_{1}^{2}v^{2}(1 + \frac{1}{n}) − v^{2}H^{2}
≥ \frac{1}{1 + ε_{2}} (1 + \frac{1}{n})|∇v|^{2} − C̃_{6}v^{4} \frac{1}{1 + ε_{2}} − H^{2}v^{2}.

Und mit ε_{2} = \frac{2n}{(2n+1)n} folgt:

v^{2}|A|^{2} ≥ (1 + \frac{1}{2n})|∇v|^{2} − C̃_{7}(C̃_{6}, ε_{2})v^{4} − H^{2}v^{2}.

Mit Hilfe von (5.8) ergibt das:

v^{2}|A|^{2} ≥ (1 + \frac{1}{2n})λ^{2}v^{2}|∇u|^{2} − C̃_{7}v^{4} − H^{2}v^{2}.  (5.20)

Durch v dividieren und Umformen führt zu

(1 + \frac{1}{4n})λ^{2}v|∇u|^{2} ≤ −\frac{1}{4n}λ^{2}v|∇u|^{2} + v|A|^{2} + C̃_{7}v^{3} + H^{2}v.  (5.21)

Wähle ε_{1} so, daß (1 − ε_{1})(1 + \frac{1}{4n}) = 1 ⇒ ε_{1} = \frac{1}{4n+1}. Multipliziere (5.21) mit (1 − ε_{1}), dann haben wir

λ^{2}v|∇u|^{2} ≤ − \underbrace{(1 − ε_{1})\frac{1}{4n}}_{=ε_{1}} λ^{2}v|∇u|^{2} + (1 − ε_{1})v|A|^{2}
+(1 − ε_{1})C̃_{7}v^{3} + (1 − ε_{1})H^{2}v.  (5.22)

Einsetzen von (5.11), (5.17) und (5.22) in (5.10) führt uns zu der Ungleichung:

0 ≤ λ\frac{1}{H^{2}} C̃_{1}v^{3} − (1 − ε_{1})\frac{1}{H^{2}} v|A|^{2} + \frac{1}{H^{2}} C̃_{5}v^{3} + (1 − ε_{1})\frac{1}{H^{2}} v|A|^{2}

+\frac{1}{H^{2}} (1 − ε_{1})C̃_{7}v^{3} + (1 − ε_{1})\frac{1}{H^{2}} H^{2}v

−\frac{1}{H^{2}} ε_{1}λ^{2}v|∇u|^{2} − K̂v + \frac{1}{2}λv.

Wir multiplizieren diese Ungleichung mit \frac{4n+1}{2n}, fassen zusammen und haben somit

0 ≤ \frac{1}{H^{2}} C̃_{8}v^{3}(λ + 1) + 2\frac{1}{H^{2}} H^{2}v − \frac{1}{H^{2}} \frac{1}{2n}λ^{2}v|∇u|^{2} − \frac{4n + 1}{2n}K̂v + \frac{4n + 1}{4n}λv,

wobei C̃_{8} = C̃_{8}(C̃_{1}, C̃_{5}, C̃_{7}, n). Diese Ungleichung multiplizieren wir mit H^{2} und wählen K̂ = 2\frac{2n}{4n+1} + \frac{1}{2}λ. Dann erhalten wir

0 ≤ C̃_{8}v^{3}(λ + 1) − \frac{1}{2n}λ^{2}v|∇u|^{2} + \underbrace{2H^{2}v + H^{2} \frac{4n + 1}{4n}λv − H^{2} \frac{4n + 1}{2n}K̂v}_{≤0}

≤ C̃_{8}v^{3}(λ + 1) − \frac{1}{2n}λ^{2}v|∇u|^{2}.

Dies ist äquivalent zu

\frac{1}{2n}λ^{2}v|∇u|^{2} ≤ C̃_{8}v^{3}(λ + 1)

und da |∇u|^{2} = ψ^{−2}(v^{2} − 1) erhalten wir schließlich

\frac{1}{2n}λ^{2}ψ^{−2}(v^{2} − 1) ≤ C̃_{8}v^{2}(λ + 1).

Nach Definition von C_{λ} ist aber v(p_{1}, s_{1}) ≥ 2 und wir erhalten aus obiger Ungleichung einen Widerspruch für ein entsprechend großes λ. Wenn wir nun u durch −u ersetzen erhalten wir zunächst:

0 ≤ (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)ve^{−λu−K̂s},  (5.23)
0 = ∇ve^{−λu−K̂s}.  (5.24)

Aus (5.24) folgt

∇v = λv∇u.  (5.25)

Wenn wir nun (5.23) ausrechnen und durch e^{−λu−K̂s} dividieren erhalten wir

0 ≤ −λv(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)u + (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)v + λ\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} u∇_{i} v
−λ∇_{i} u \underbrace{(∇_{i} v − λv∇_{i} u)}_{=0 mit (5.25)} −K̂v.  (5.26)

Einsetzen von (5.24) in (5.26) gibt uns:

0 ≤ −λv(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)u + (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)v + \frac{1}{H^{2}} λ^{2}|∇u|^{2}v − K̂v. (5.27)

Da −(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)u ≤ |(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)u|, erhält man genau wie bei +u einen Widerspruch für λ groß genug. Somit folgt die Behauptung. □

5.4 Satz. Obere Schranke für H.

Für die mittlere Krümmung H erhalten wir folgende a priori Abschätzung auf M_{s}:

H ≤ C̃_{9},

hierbei ist

C̃_{9} = max \{ sup_{M_{0}} Hv^{q}, sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} (\frac{1}{H} C̃_{10}v^{4+ε_{1}})\}

mit C̃_{10} = C̃_{10}(n, ε_{1}^{−1}, ∥L_{T}g∥_{1,G}, ∥T ∥_{1,G}) und ε_{1} wie in der Gradientenschranke.

Beweis: Hierzu betrachten wir die Funktion Hv^{q} in ihrem Maximum, wobei q eine positive Konstante ist, die wir später wählen. Angenommen Hv^{q} erreicht zum ersten mal C̃_{9} +δ (Maximum), für δ > 0 beliebig, im Punkt (p_{1}, s_{1}) ∈ M^{n} ×(0, s_{0}], dann gilt in diesem Punkt:

∇(Hv^{q}) = 0,  (5.28)
(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)Hv^{q} ≥ 0.  (5.29)

Aus (5.28) folgt

−v^{q}∇_{i} H = qv^{q−1}H∇_{i} v
⇔ ∇_{i} H = −q \frac{H}{v} ∇_{i} v.  (5.30)

5 SCHRANKEN FÜR H UND DIE GRADIENTENFUNKTION 28 (5.29) führt zu

0 ≤ \frac{d}{ds}H·v^{q} + \frac{d}{ds}v·qv^{q−1}H − \frac{1}{H^{2}} ∇_{i} (v^{q}∇_{i} H + qv^{q−1}H∇_{i} v)
= (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)H·v^{q} + (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)v·qHv^{q−1}

−\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} v∇_{i} v·q(q − 1)v^{q−2}H − 2\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} H∇_{i} v·qv^{q−1}

= \frac{1}{H} (|A|^{2} + \overline{R}ic(ν, ν))v^{q} − \frac{1}{H^{2}} v(|A|^{2} + \overline{R}ic(ν, ν))qv^{q−1}H

−2\frac{1}{H^{3}} v^{q}|∇H|^{2} + \frac{1}{H} ⟨∇_{ν} T, ν⟩qv^{q−1}H − \frac{1}{H^{2}} T (H_{T})qv^{q−1}H

−\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} v∇_{i} v·q(q − 1)v^{q−2}H − 2\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} H∇_{i} v·qv^{q−1}

=^{(5.30)} \frac{1}{H} ⟨∇_{ν} T, ν⟩qv^{q−1}H − \frac{1}{H^{2}} T (H_{T})qv^{q−1}H

−\frac{1}{H} (q − 1)(|A|^{2} + \overline{R}ic(ν, ν))v^{q} − 2\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} v∇_{i} v·q^{2}H^{2}v^{q−2}

−\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} v∇_{i} v·q(q − 1)v^{q−2}H + 2\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} v∇_{i} v·q^{2}Hv^{q−2}.

Mit der Hilfe der Ungleichungen (5.13) und (5.14) erhalten wir dann

0 ≤ \frac{1}{H^{2}} Hv^{q−1}qC̃_{4}(1 + |A|v^{2}) − \frac{1}{H} (q − 1)(|A|^{2} + \overline{R}ic(ν, ν))v^{q}

+(2q^{2} − 2q^{2} − q(q − 1))\frac{1}{H} |∇v|^{2}v^{q−2}.

Setze C̃_{4}(q) = C̃_{4}·q und wir erhalten, wie in (5.16) des Satzes 5.4

0 ≤ C̃_{5}(C̃_{4}(q), ε_{1}^{−1})v^{3} \frac{1}{H} v^{q−1} + \frac{1}{H} v^{q−1}ε_{1}v|A|^{2}

−\frac{1}{H} (q − 1)(|A|^{2} + \overline{R}ic(ν, ν))v^{q} − q(q − 1)\frac{1}{H} |∇v|^{2}v^{q−2}.

Setze nun q := 2 + ε_{1}, fasse zusammen und benutze v ≥ 1 und \overline{R}ic(ν, ν) ≥ 0. Dann ergibt sich

0 ≤ \frac{1}{H} C̃_{5}v^{4+ε_{1}} − \frac{1}{H} |A|^{2}v^{2+ε_{1}}.

Da |A|^{2} ≥ \frac{1}{n}H^{2} erhalten wir schließlich im Punkt (p_{1}, s_{1}):

\frac{1}{H} H^{2}v^{2+ε_{1}} ≤ \frac{1}{H} nC̃_{5}v^{2+ε_{1}}v^{2}
⇔^{C̃_{10}=nC̃_{5}} Hv^{q} ≤ \frac{1}{H} C̃_{10}v^{q+2}
⇔ C̃_{9} + δ ≤ \frac{1}{H} C̃_{10}v^{q+2} ≤ C̃_{9}

6 SCHRANKE FÜR |A|^{2} UND C^{0,α} SCHRANKE FÜR ∇^{2}u 29

und wir erhalten einen Widerspruch. Somit ist Hv^{q} ≤ C̃_{9} und weil H ≤ Hv^{q} ist (v ≥ 1), folgt die Behauptung. □

6 Schranke für die totale Krümmung und C^{2,α} Schranke für die Höhenfunktion u

Mit Hilfe der schon erhaltenen a priori Schranken für die mittlere Krümmung und die Gradientenfunktion, erhalten wir hier nun eine obere a priori Schranken für die totale Krümmung und schließlich die C^{0,α} Schranke für die zweite Ableitung der Höhenfunktion u.

Auch in diesem Kapitel sei M_{s} eine glatte Lösung von (IMK ) auf dem Intervall 0 ≤ s < s_{0} so, daß M_{s} in einer glatten und kompakten Teilmenge G ⊂ V, für alle 0 ≤ s < s_{0}, enthalten ist.

6.1 Bemerkung

Direkt aus Lemma 4.3 (ii) erhalten wir folgende Abschätzung auf M_{s}

(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)|A|^{2} ≤ −4\frac{1}{H^{3}} h_{ij}∇_{i} H∇_{j} H − 2\frac{1}{H^{2}} |∇A|^{2} − 2\frac{1}{H^{2}} |A|^{4}
+4\frac{1}{H^{2}} Hh_{ij}h_{jl}h_{li} + \frac{1}{H^{2}} C_{0}(1 + |A|^{2}),  (6.1)

wobei C_{0} = C_{0}( sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} v, n, ∥\overline{R}iem∥_{1,G}).

Es gelingt uns jedoch nicht direkt aus dieser Abschätzung eine obere a priori Schranke für die totale Krümmung herzuleiten. Die Schranke für die totale Krümmung erhalten wir ähnlich wie in [GC2], wo sie für Riemannsche Hyperflächen im IR^{n} erarbeitet wird.

6.2 Satz. Obere Schranke für h_{ij}

Für |A| gilt auf M_{s} folgende a priori Abschätzung:

|A| ≤ C̄_{0},

wobei

C̄_{0} = max \{ sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} (2C̄_{1}n + 4H\sqrt{n} + 1), sup_{M_{0}} |A|\},

mit C̄_{1} = C̄_{1}(H_{0}^{−1}, ∥\overline{R}iem∥_{1,G}) und H_{0} wie in Satz 5.2.

Anmerkung: Für h_{ij} reicht eine Schranke nach oben da H strikt positiv ist.

Beweis: Betrachte hierzu Funktionen der Art

w := \frac{h_{ij}η^{i}η^{j}}{g_{ij}η^{i}η^{j}} .

Angenommen w erreicht zum ersten mal C̄_{0} + δ (Maximum), für δ > 0 beliebig, im Punkt (p_{1}, s_{1}) ∈ M^{n} × (0, s_{0}]. Dann gilt in diesem Punkt

(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)w ≥ 0,  (6.2)
∇w = 0.  (6.3)

Wir wählen nun das Koordinatensystem in einer räumlichen Umgebung H ⊂ M_{s_{1}} von (p_{1}, s_{1}) (s_{1} festgehalten) o.B.d.A. so, daß dort η = (0, 0, …, 1) und g_{ni} = δ_{ni} gilt (wobei δ_{ni} = Kroneckerdelta) und gleichzeitig im Punkt (p_{1}, s_{1}) \frac{d}{ds}η^{i} = 0 und ∇_{j} η^{i} = 0 gilt. Wir haben dann im Punkt (p_{1}, s_{1}):

\frac{d}{ds}(\frac{h_{ij}η^{i}η^{j}}{g_{ij}η^{i}η^{j}} ) = \frac{(\frac{d}{ds}h_{ij}η^{i}η^{j})(g_{ij}η^{i}η^{j}) − (h_{ij}η^{i}η^{j})(\frac{d}{ds}g_{ij}η^{i}η^{j})}{(g_{ij}η^{i}η^{j})^{2}}  (6.4)

und

Δ(\frac{h_{ij}η^{i}η^{j}}{g_{ij}η^{i}η^{j}} ) = ∇_{k} (\frac{(∇_{k} h_{ij}η^{i}η^{j} + 2h_{ij}∇_{k} η^{i}η^{j})(g_{ij}η^{i}η^{j})}{(g_{ij}η^{i}η^{j})^{2}}

−\frac{(h_{ij}η^{i}η^{j})(∇_{k} g_{ij}η^{i}η^{j} + 2g_{ij}∇_{k} η^{i}η^{j})}{(g_{ij}η^{i}η^{j})^{2}})

= \frac{(Δh_{ij} ·η^{i}η^{j})(g_{ij}η^{i}η^{j}) + (2h_{ij}η^{i}Δη^{j})(g_{ij}η^{i}η^{j})}{(g_{ij}η^{i}η^{j})^{2}}

−\frac{(2g_{ij}η^{i}Δη^{j})(h_{ij}η^{i}η^{j}) + 0}{(g_{ij}η^{i}η^{j})^{2}} + 0

= Δh_{nn}.  (6.5)

Beachte, daß sich die Δη_{i} Terme gerade wegheben. Nun setzen wir Lemma 4.1 (i) und Lemma 4.3 (i) in (6.4) ein, dann ergibt sich aus (6.2):

0 ≤ \frac{1}{H^{2}} Δh_{nn} − 2\frac{1}{H^{3}} ∇_{n} H∇_{n} H − \frac{1}{H} \overline{R}_{n00n} − \frac{1}{H^{2}} h_{nn}(|A|^{2} + \overline{R}ic(ν, ν))

−2\frac{1}{H^{2}} h_{kl}\overline{R}_{lnnk} − \frac{1}{H^{2}} h_{nl}\overline{R}_{lknk} − \frac{1}{H^{2}} h_{ln}\overline{R}_{lknk}

−\frac{1}{H^{2}} \overline{∇}_{k} \overline{R}_{0nnk} − \frac{1}{H^{2}} \overline{∇}_{n} \overline{R}_{0knk} − 2\frac{1}{H} h_{nn}h_{nn} − \frac{1}{H^{2}} Δh_{nn}

≤ −\frac{1}{H^{2}} h_{nn}|A|^{2} + 2\frac{1}{H^{2}} Hh_{nn}^{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{H^{2}} h_{nn}^{2}

+C̄_{1}( sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} H^{−1}, ∥\overline{R}iem∥_{1,G})

≤ \frac{1}{H^{2}} h_{nn}(2Hh_{nn} − h_{nn}^{2} + \frac{1}{2}h_{nn}) + C̄_{1}
≤ \frac{1}{H^{2}} h_{nn}(2H^{2} + \frac{1}{2}h_{nn}^{2} − h_{nn}^{2} + \frac{1}{2}h_{nn}) + C̄_{1}
≤ −\frac{1}{2}h_{nn}^{2} + C̄_{1}· \frac{H^{2}}{h_{nn}} + 2H^{2} + \frac{1}{2}h_{nn}
≤ −\frac{1}{2}h_{nn}^{2} + C̄_{1}·H\sqrt{n} + 2H^{2} + \frac{1}{2}h_{nn}
⇔ h_{nn} ≤ 2C̄_{1}n + 4H\sqrt{n} + 1.

Da im Punkt (p_{1}, s_{1}) h_{nn} = C̄_{0} + δ gilt, folgt: C̄_{0} + δ ≤ C̄_{1}n + 4H\sqrt{n} + \frac{\sqrt{n}}{4H} ≤ C̄_{0} und wir erhalten einen Wiederspruch. Somit ist w ≤ C̄_{0} und wir erhalten:

|A| ≤ C̄_{0}. □

Bemerkung: Eine sorgfältige allgemeine Darstellung dieses Maximumsprinzip für Tensoren findet man z.B. bei Hamilton [HA1].

Es ist wohlbekannt, daß man aus den schon hergeleiteten Schranken an v, H und h_{ij} (wie in den Arbeiten von Gerhardt [GC: Theorem 4.2] und Urbas [U1: (3.55)]) folgende a priori Abschätzung für ∇^{2}u in C^{0,α}(G) erhält.

6.3 Satz

Die zweiten Ableitungen von u sind gleichmässig Beschränkt in C^{0,α}(G), wobei die Abschätzung nur von ∥u_{0}∥_{2,α}, n und der Elliptizitätskonstante von (IMK ) abhängt.

Hierbei ist u_{0} = u(·, 0), also u auf M_{0} und ∥ · ∥_{2,α} die C^{2,α}-Norm.

Für den Beweis verweisen wir auf [KN; Kapitel 5].

Mit Satz 6.3 und Standardergebnissen aus der Regularitätstheorie erhalten wir die volle Regularität von u und können nun sofort die Langzeitexistenz (Theorem 8.1) beweisen.

7 SCHRANKE FÜR |∇^{M}A|^{2} 32

7 Schranke für die höheren Ableitungen der totalen Krümmung

Bevor wir zum Resultat der Langzeitexistenz kommen, leiten wir hier in diesem Kapitel noch a priori Schranken für die höheren Ableitungen der zweiten Fundamentalform her, für den Fall, daß wir bereits eine obere a priori Schranke für die erste Ableitung der mittleren Krümmung kennen. Hierzu benutzen wir die bereits erhaltenen a priori Schranken aus Kapitel 5 und Satz 6.2. Dies bedeutet, daß wir die volle Regularität zeigen, ohne auf Krylov [KN] zurückzugreifen, nur unter der Annahme einer oberen a priori Schranke an |∇H|^{2}. Diese Schranken an die höheren Ableitungen der zweiten Fundamentalform erhalten wir, ähnlich wie in [H4], durch einen Induktionsbeweis.

Auch in diesem Kapitel sei M_{s} eine glatte Lösung von (IMK ) auf dem Intervall 0 ≤ s < s_{0} so, daß M_{s} in einer glatten und kompakten Teilmenge G ⊂ V, für alle 0 ≤ s < s_{0}, enthalten ist.

Bevor wir Abschätzungen für (\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)|∇^{m}A|^{2} im allgemeinen herleiten, betrachten wir zunächst den Fall m=1 etwas genauer.

7.1 Lemma.

Auf M_{s} gilt:

(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)|∇A|^{2} ≤ −\frac{1}{H^{2}} (2 − ε)|∇^{2}A|^{2} + C_{1}(1 + |∇A|^{2}),

wobei

C_{1} = C_{1}(n, sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} v, ∥\overline{R}iem∥_{2,G}, sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} A, H_{0}^{−1}, sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} H, sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} ∇H).

mit H_{0} wie in Satz 5.2.

Vorweg:

\frac{d}{ds}g^{ij} = −\frac{d}{ds}g_{rs}g^{ri}g^{sj},
Γ^{i}_{jk} = \frac{1}{2}g^{il}(∇_{j} g_{kl} + ∇_{k} g_{jl} − ∇_{l} g_{jk})
(lokal) ⇒ \frac{d}{ds}Γ^{i}_{jk} = \frac{1}{2} \frac{d}{ds}g^{il}(∇_{j} g_{kl} + ∇_{k} g_{jl} − ∇_{l} g_{jk})

+\frac{1}{2}g^{il}(∇_{j} \frac{d}{ds}g_{kl} + ∇_{k} \frac{d}{ds}g_{jl} − ∇_{l} \frac{d}{ds}g_{jk})

= −\frac{1}{2}g^{ri} \frac{d}{ds}g_{rs} \underbrace{g^{sl}(∇_{j} g_{kl} + ∇_{k} g_{jl} − ∇_{l} g_{jk})}_{=Γ^{i}_{jk}=0(lokal)}

−2\frac{1}{2}g^{il}(∇_{j} (\frac{1}{H} h_{kl}) + ∇_{k} (\frac{1}{H} h_{jl}) − ∇_{l} (\frac{1}{H} h_{jk}))

= −g^{il}(∇_{j} (\frac{1}{H} h_{kl}) + ∇_{k} (\frac{1}{H} h_{jl}) − ∇_{l} (\frac{1}{H} h_{jk})).

Hierzu beachte, daß lokal in Koordinaten, ∇_{i} g_{kl} = \frac{∂}{∂x_{i}} g_{kl} ist und somit ∇_{i} mit \frac{d}{ds} vertauscht.

Beweis: Berechne zuerst \frac{d}{ds}|∇A|^{2}:

\frac{d}{ds}|∇A|^{2} = \frac{d}{ds}(∇_{i} h_{kl}∇_{j} h_{mn}g^{ij}g^{km}g^{ln})
= \frac{d}{ds}((\frac{∂}{∂x_{i}} h_{kl} − Γ^{r}_{ik}h_{rl} − Γ^{r}_{il}h_{kr})

·(\frac{∂}{∂x_{j}} h_{mn} − Γ^{r}_{jm}h_{rn} − Γ^{r}_{jn}h_{mr})g^{ij}g^{km}g^{ln})

= (\frac{∂}{∂x_{i}} \frac{d}{ds}h_{kl} − \frac{d}{ds}Γ^{r}_{ik}h_{rl} − \frac{d}{ds}Γ^{r}_{il}h_{kr})

·(\frac{∂}{∂x_{j}} h_{mn} − Γ^{r}_{jm}h_{rn} − Γ^{r}_{jn}h_{mr})g^{ij}g^{km}g^{ln}

+(\frac{∂}{∂x_{i}} h_{kl} − Γ^{r}_{ik}h_{rl} − Γ^{r}_{il}h_{kr})

·(\frac{∂}{∂x_{j}} \frac{d}{ds}h_{mn} − \frac{d}{ds}Γ^{r}_{jm}h_{rn} − \frac{d}{ds}Γ^{r}_{jn}h_{mr})g^{ij}g^{km}g^{ln}

+∇_{i} h_{kl}∇_{j} h_{mn} \frac{d}{ds}g^{ij}g^{km}g^{ln} + ∇_{i} h_{kl}∇_{j} h_{mn}g^{ij} \frac{d}{ds}g^{km}g^{ln}

+∇_{i} h_{kl}∇_{j} h_{mn}g^{ij}g^{km} \frac{d}{ds}g^{ln} + 0.  (7.1)

Die Null steht für Produkte, die ein Γ^{i}_{jk} enthalten, denn wir können das Koordinatensystem lokal so wählen, daß diese identisch Null sind. Wenn wir

∇_{i} h_{kl}∇_{j} h_{mn} \frac{d}{ds}g^{ij}g^{km}g^{ln} = −∇_{i} h_{kl}∇_{j} h_{mn}g^{is} \frac{d}{ds}g_{rs}g^{rj}g^{km}g^{ln}
= −∇_{i} h_{kl}∇_{j} h_{mn}g^{is}(−2\frac{1}{H} h_{rs})g^{rj}g^{km}g^{ln}
= 2\frac{1}{H} ∇_{i} h_{kl}∇_{j} h_{mn}g^{is}h_{rs}g^{rj}g^{km}g^{ln}
= C̆_{1}( sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} A, sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} H^{−1})|∇A|^{2}

7 SCHRANKE FÜR |∇^{M}A|^{2} 34 in (7.1) einsetzen, erhalten wir

\frac{d}{ds}|∇A|^{2} = 2∇_{i} \frac{d}{ds}h_{kl}∇_{j} h_{mn}g^{ij}g^{km}g^{ln} + 3C̆_{1}|∇A|^{2}

−2∇_{i} h_{kl}(\frac{d}{ds}Γ^{r}_{jm}h_{rn} + \frac{d}{ds}Γ^{r}_{jn}h_{mr})g^{ij}g^{km}g^{ln}

= 2∇_{i} h_{kl}h_{rn}g^{rz}(∇_{j} (\frac{1}{H} h_{mz}) + ∇_{m} (\frac{1}{H} h_{jz}) − ∇_{z} (\frac{1}{H} h_{jm}))g^{ij}g^{km}g^{ln}

+2∇_{i} h_{kl}h_{rm}g^{rz}(∇_{j} (\frac{1}{H} h_{nz}) + ∇_{n} (\frac{1}{H} h_{jz}) − ∇_{z} (\frac{1}{H} h_{jn}))g^{ij}g^{km}g^{ln}

+2⟨∇_{i} \frac{d}{ds}h_{kl}, ∇_{i} h_{kl}⟩ + 3C̆_{1}|∇A|^{2}.  (7.2)

Mit Lemma 4.3 (i) ergibt sich:

2⟨∇_{i} \frac{d}{ds}h_{kl}, ∇_{i} h_{kl}⟩ = 2\frac{1}{H^{2}} ⟨∇_{i} Δh_{kl}, ∇_{i} h_{kl}⟩

+( − 4\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} (∇_{k} H∇_{l} H) − 4\frac{1}{H} ∇_{i} \overline{R}_{k00l} − 2\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} h_{kl}(|A^{2}| + \overline{R}ic(ν, ν))

−2\frac{1}{H^{2}} h_{ij}(∇_{i} |A^{2}| + ∇_{i} \overline{R}ic(ν, ν)) − 4\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} h_{uv}\overline{R}_{vklu} − 4\frac{1}{H^{2}} h_{uv}∇_{i} \overline{R}_{vklu}

−2\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} h_{vk}\overline{R}_{vulu} − 2\frac{1}{H^{2}} h_{vk}∇_{i} \overline{R}_{vulu} − 2\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} h_{lv}\overline{R}_{vuku}

−2\frac{1}{H^{2}} h_{lv}∇_{i} \overline{R}_{vuku} − 2\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} \overline{∇}_{u} \overline{R}_{0klu} − 2\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} \overline{∇}_{l} \overline{R}_{0uku} − 4\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} HΔh_{kl}

+12\frac{1}{H^{4}} ∇_{i} H∇_{k} H∇_{l} H + 4\frac{1}{H^{2}} ∇_{i} H\overline{R}_{k00l} + 8\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} Hh_{uv}\overline{R}_{vklu}

+4\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} Hh_{vk}\overline{R}_{vulu} + 4\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} Hh_{lv}\overline{R}_{vuku} + 4\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} H\overline{∇}_{u} \overline{R}_{0klu}

+4\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} H\overline{∇}_{l} \overline{R}_{0uku} + 4\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} Hh_{kl}(|A^{2}| + \overline{R}ic(ν, ν)))∇_{j} h_{mn}g^{ij}g^{km}g^{ln}.

(7.3)

Außerdem erhalten wir noch

\frac{1}{H^{2}} Δ|∇A|^{2} = 2\frac{1}{H^{2}} ⟨Δ∇_{i} h_{kl}, ∇_{i} h_{kl}⟩ + \frac{1}{H^{2}} ⟨∇_{v} ∇_{i} h_{kl}, ∇_{v} ∇_{i} h_{kl}⟩
=^{(α)} 2\frac{1}{H^{2}} ⟨∇_{i} Δh_{kl}, ∇_{i} h_{kl}⟩ + 2\frac{1}{H^{2}} |∇^{2}A|^{2} + c_{1}(∥\overline{R}iem∥_{0,G})|∇A|^{2}
+c_{2}(∥\overline{R}iem∥_{0,G})|A|^{2},  (7.4)
∇_{i} \overline{∇}_{u} \overline{R}_{0klu} = \overline{∇}_{i} \overline{∇}_{u} \overline{R}_{0klu} + \overline{∇}_{u} \overline{R}_{0k0u}h_{li} + \overline{∇}_{u} \overline{R}_{0kl0}h_{ui} + \overline{∇}_{0} \overline{R}_{0klu}h_{ui}

+\overline{∇}_{u} \overline{R}_{mklu}h_{mi} + \underbrace{\overline{∇}_{u} \overline{R}_{00lu}h_{ki}}_{=0}

= \overline{∇}_{i} \overline{∇}_{u} \overline{R}_{0klu} + c_{3}(∥\overline{R}iem∥_{1,G}, |A|^{2}),  (7.5)

∇_{i} \overline{R}_{vulu} = \overline{∇}_{i} \overline{R}_{vulu} + c_{4}(∥\overline{R}iem∥_{0,G}, |A|^{2}),  (7.6)

−4\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} HΔh_{kl}∇_{i} h_{kl} ≤ \frac{1}{H^{2}} \frac{ε}{2}|∇^{2}A|^{2} + \frac{8}{ε} \frac{1}{H^{4}} |∇H|^{2}|∇A|^{2},  (7.7)

−8\frac{1}{H^{3}} ∇_{i} ∇_{k} H∇_{l} H∇_{i} h_{kl} ≤ \frac{1}{H^{2}} \frac{ε}{2}|∇^{2}A|^{2} + \frac{32}{ε} \frac{1}{H^{4}} |∇H|^{2}|∇A|^{2}, (7.8)

wobei (α) mit der Regel für das Vertauschen von kovarianten Ableitungen und den Gauß Gleichungen folgt. Setze (7.3) in (7.2) ein und mit (7.4)-(7.8) folgt die Behauptung. □

Um das folgende Lemma beweisen zu können, führen wir eine vereinfachte Schreibweise ein. Wie in [HA1] und [H1] schreiben wir S ∗ T für jede Linearkombination von Tensoren, die durch eine Kontraktion von S und T durch g entsteht. Die m-te kovariante Ableitung eines Tensors T werden wir mit ∇^{m} bezeichnen. Mit dieser Notation wird die zeitliche Ableitung der Christoffelsymbole (siehe Vorweg in 7.1), mit der Evolutionsgleichung für g, zu

\frac{d}{ds}Γ^{i}_{jk} = −g^{il}(∇_{j} (\frac{1}{H} h_{kl}) + ∇_{k} (\frac{1}{H} h_{jl}) − ∇_{l} (\frac{1}{H} h_{jk})) = A ∗ ∇A.

Nun können wir wie in [HA1,§13] vorgehen und erhalten

7.2 Lemma.

Auf M_{s} gilt:

(\frac{d}{ds} − \frac{1}{H^{2}} Δ)|∇^{m}A|^{2} ≤ −\frac{1}{H^{2}} (2 − ε)|∇^{m+1}A|^{2} + C_{m}(1 + |∇^{m}A|^{2}),

wobei

C_{m} = C_{m}(n, sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} v, ∥\overline{R}iem∥_{m+1,G}, ∑_{i=0}^{m−1} sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} ∇^{i}A, H_{0}^{−1}, sup_{M^{n}×[0,s_{0}]} ∇H).

mit H_{0} wie in Satz 5.2.

Beweis: Berechnen wir zuerst \frac{d}{ds}|∇^{m}A|^{2}. Wir rechnen wieder in lokoalen Koordinaten, in denen Γ^{i}_{jk} = 0 gilt.

\frac{d}{ds}|∇^{m}A|^{2} = \frac{d}{ds}⟨∇^{m}h_{kl}, ∇^{m}h_{kl}⟩
= \frac{d}{ds}(∇_{i_{1}i_{2}...i_{m}}h_{kl}∇_{j_{1}j_{2}...j_{m}}h_{pq}g^{i_{1}j_{1}}g^{i_{2}j_{2}} … g^{i_{m}j_{m}}g^{kp}g^{lq})

= 2(∇_{i_{1}i_{2}...i_{m}} \frac{d}{ds}h_{kl}∇_{j_{1}j_{2}...j_{m}}h_{pq}g^{i_{1}j_{1}}g^{i_{2}j_{2}} … g^{i_{m}j_{m}}g^{kp}g^{lq}

+∇_{i_{1}i_{2}...i_{m}}h_{kl}∇_{j_{1}j_{2}...j_{m}}h_{pq} \frac{d}{ds}g^{i_{1}j_{1}}g^{i_{2}j_{2}} … g^{i_{m}j_{m}}g^{kp}g^{lq} + ⋯

⋯ + ∇_{i_{1}i_{2}...i_{m}}h_{kl}∇_{j_{1}j_{2}...j_{m}}h_{pq}g^{i_{1}j_{1}}g^{i_{2}j_{2}} … g^{i_{m}j_{m}}g^{kp}g^{lq}

+( ∑_{d=1}^{m−1} \frac{d}{ds}Γ^{r}_{i_{d}k}h_{rl})∇_{j_{1}j_{2}...j_{m}}h_{pq}g^{i_{1}j_{1}}g^{i_{2}j_{2}} … g^{i_{m}j_{m}}g^{kp}g^{lq})

= 2⟨∇^{m} \frac{d}{ds}h_{kl}, ∇^{m}h_{kl}⟩ + ∇A ∗ ∇^{m}A ∗ ∇^{m}A
+ ∑_{i+j+k=m} ∇^{i}A ∗ ∇^{j}A ∗ ∇^{k}A ∗ ∇^{m}A.  (7.9)

Berechnen wir nun den ersten Term mit Hilfe von Lemma 4.3 (i):

⟨∇^{m} \frac{d}{ds}h_{kl}, ∇^{m}h_{kl}⟩ ≤ ⟨∇^{m}(\frac{1}{H^{2}} Δh_{kl} + 2\frac{1}{H^{3}} |∇H|^{2} + 2\frac{1}{H} \overline{R}iem

+c̃_{1} \frac{1}{H^{2}} A ∗ \overline{R}iem + \frac{1}{H^{2}} \overline{∇}\overline{R}iem + \frac{1}{H^{2}} A ∗ A ∗ A, ∇^{m}h_{kl}⟩

≤ 2⟨\frac{1}{H^{2}} ∇^{m}Δh_{kl}, ∇^{m}h_{kl}⟩ − 4⟨\frac{1}{H^{3}} ∇H∇^{m−1}Δh_{kl}, ∇^{m}h_{kl}⟩

+c̃_{2}(H) ∑_{i+j=m−2} ∇^{i+2}A ∗ ∇^{j+2}A ∗ ∇^{m}A + 4\frac{1}{H^{3}} ∇^{m+1}H∇H ∗ ∇^{m}A

+c̃_{3}(H)(∇^{m}A ∗ ∇A ∗ ∇A ∗ ∇^{m}A + ∑_{i+j+k=m−1} ∇^{i}A ∗ ∇^{j+1}A ∗ ∇^{k+1}A∇^{m}A

+ ∑_{i+j=m} ∇^{i}A ∗ ∇^{j}\overline{R}iem ∗ ∇^{m}A + ∑_{i+j+k=m} ∇^{i}A ∗ ∇^{j}\overline{R}iem ∗ ∇^{k}A ∗ ∇^{m}A

+ ∑_{i+j=m} ∇^{i}A ∗ ∇^{j}\overline{∇}\overline{R}iem ∗ ∇^{m}A

+ ∑_{i+j+k+l=m} ∇^{i}A ∗ ∇^{j}A ∗ ∇^{k}A ∗ ∇^{l}A ∗ ∇^{m}A).  (7.10)

Es fehlen uns noch

Δ|∇^{m}A|^{2} = ∇_{i}∇_{i}⟨∇^{m}h_{kl}, ∇^{m}h_{kl}⟩
= 2⟨Δ∇^{m}h_{kl}, ∇^{m}h_{kl}⟩ + 2⟨∇_{i}∇^{m}h_{kl}, ∇_{i}∇^{m}h_{kl}⟩
= 2⟨Δ∇^{m}h_{kl}, ∇^{m}h_{kl}⟩ + 2|∇^{m+1}A|^{2}  (7.11)

und

∇^{m}Δh_{kl} = Δ∇^{m}h_{kl} + ∑_{i=0}^{m} ∇^{i}(Riem ∗ A)
= Δ∇^{m}h_{kl} + ∑_{i=0}^{m} ∇^{i}(\overline{R}iem ∗ A) + ∑_{i=0}^{m} ∇^{i}(A ∗ A ∗ A). (7.12)

In der Gleichung (7.12) haben wir einen Term, in dem ∇^{w}\overline{R}iem auftaucht; diesen wollen wir nun in die Form

\overline{∇}^{w}\overline{R}iem + c̄_{w}(∥\overline{R}iem∥_{w−1,G}, ∑_{j<w} |∇^{j}A|^{2})  (7.13)

bringen. Hierbei ist

c̄_{w} = ∑_{j,k<w} \overline{∇}^{j}\overline{R}iem ∗ ∇^{k}A ∗ ⨀_{|α|≤w−2}^{w−1} A,

mit

⨀_{|α|≤w−2}^{w−1} A := \{ \begin{matrix}1 : & w = 0, 1 \\ ∑_{|α|≤w−2} ∇^{i_{1}}A ∗ ∇^{i_{2}} ∗ … ∗ ∇^{i_{s}}A : & w ≥ 2 \end{matrix}

|α| := ∑_{l=1}^{s} i_{l}, s ≤ w − 1.

Beweis von (7.13): Durch Induktion nach w. Induktionsanfang: w = 0 ist klar, w = 1 ist die Gleichung (7.6). Nun berechnen wir noch mit Hilfe von (7.6) den Fall w = 2:

∇∇\overline{R}iem = ∇(\overline{∇}\overline{R}iem + \overline{R}iem ∗ A)
= ∇\overline{∇}\overline{R}iem + ∇\overline{R}iem ∗ A + \overline{R}iem ∗ ∇A
= \overline{∇}\overline{∇}\overline{R}iem + \overline{∇}\overline{R}iem ∗ A + (\overline{∇}\overline{R}iem + \overline{R}iem ∗ A) ∗ A
+\overline{R}iem ∗ ∇A
= \overline{∇}\overline{∇}\overline{R}iem + ∑_{j,k<2} \overline{∇}^{j}\overline{R}iem ∗ ∇^{k}A ∗ ⨀_{|α|≤0}^{1} A.

Induktionsschritt: Sei Behauptung richtig für w, zeige Behauptung ist richtig für w + 1:

∇^{w+1}\overline{R}iem = ∇∇^{w}\overline{R}iem =_{α} ∇(\overline{∇}^{w}\overline{R}iem + ∑_{j,k<w} \overline{∇}^{j}\overline{R}iem ∗ ∇^{k}A ∗ ⨀_{|α|≤w−2}^{w−1} A)

= ∇\overline{∇}^{w}\overline{R}iem + ∇ ∑_{j,k<w} \overline{∇}^{j}\overline{R}iem ∗ ∇^{k}A ∗ ⨀_{|α|≤w−2}^{w−1} A

= \overline{∇}^{w+1}\overline{R}iem + \overline{∇}^{w}Riem ∗ A + ∑_{j,k<w} ∇\overline{∇}^{j}\overline{R}iem ∗ ∇^{k}A ∗ ⨀_{|α|≤w−2}^{w−1} A

+ ∑_{j,k<w} \overline{∇}^{j}\overline{R}iem ∗ ∇∇^{k}A ∗ ⨀_{|α|≤w−2}^{w−1} A

+ ∑_{j,k<w} \overline{∇}^{j}\overline{R}iem ∗ ∇^{k}A ∗ ∇ ⨀_{|α|≤w−2}^{w−1} A

= \overline{∇}^{w+1}\overline{R}iem + \overline{∇}^{w}Riem ∗ A + ∑_{j,k<w} \overline{∇}^{j+1}\overline{R}iem ∗ ∇^{k}A ∗ ⨀_{|α|≤w−2}^{w−1} A

+ ∑_{j,k<w}(\overline{∇}^{j}\overline{R}iem ∗ A) ∗ ∇^{k}A ∗ ⨀_{|α|≤w−2}^{w−1} A

+ ∑_{j,k<w} \overline{∇}^{j}\overline{R}iem ∗ ∇^{k+1}A ∗ ⨀_{|α|≤w−2}^{w−1} A

+ ∑_{j,k<w} \overline{∇}^{j}\overline{R}iem ∗ ∇^{k}A ∗ ⨀_{|α|≤w−1}^{w−1} A

= \overline{∇}^{w+1}\overline{R}iem + ∑_{j,k<w+1} \overline{∇}^{j}\overline{R}iem ∗ ∇^{k}A ∗ ⨀_{|α|≤w−1}^{w} A.
□

Anmerkung: Hieraus erhält man, durch analoges Vorgehen,

∇^{q}\overline{∇}\overline{R}iem ≤ \overline{∇}^{q+1}\overline{R}iem + ĉ_{q}(∥\overline{R}iem∥_{q,G}, ∑_{j<q} |∇^{j}A|^{2}).  (7.14)

Um den Beweis des Lemmas zu vollenden, benötigen wir noch Abschätzungen für die Terme in (7.10) die (m+1)-te Ableitungen von A enthalten:

−4⟨\frac{1}{H^{3}} ∇H∇^{m−1}Δh_{kl}, ∇^{m}h_{kl}⟩ ≤ \frac{1}{H^{2}} \frac{ε}{2}|∇^{m+1}A|^{2} + \frac{8}{ε} \frac{1}{H^{4}} |∇H|^{2}|∇^{m}A|^{2}, (7.15)
4\frac{1}{H^{3}} ∇^{m+1}H∇H ∗ ∇^{m}A ≤ \frac{1}{H^{2}} \frac{ε}{2}|∇^{m+1}A|^{2} + \frac{8}{ε} \frac{1}{H^{4}} |∇H|^{2}|∇^{m}A|^{2}. (7.16)

Bilde nun die Differenz von (7.9) und (7.11), berücksichtige (7.10), (7.12) - (7.16) und die Behauptung des Satzes folgt. □

7.3 Theorem. Obere Schranke für |∇^{m}A|^{2}

Sei M_{s} eine glatte Lösung von (IMK) auf dem Intervall 0 ≤ s < s_{0}, so daß M_{s} in einer glatten und kompakten Teilmenge G ⊂ V, für alle 0 ≤ s < s_{0}, enthalten ist. Dann erfüllt |∇^{m}A|^{2} auf M_{s} die folgende a priori Abschätzung. Für alle m ≥ 0 gibt es ein K_{m} so, daß

|∇^{m}A|^{2} ≤ K_{m},

wobei K_{m} = K_{m}(C_{m}, C_{m−1}, max_{M_{0}} |∇^{m}A|^{2}) und C_{m}, C_{m−1} wie in Lemma 7.2.

Beweis: Durch Induktion, ähnlich wie in [H4].

Induktionsanfang: m = 0 ist klar, da |A|^{2} beschränkt ist (siehe Satz 6.2).

Induktionsschritt: Sei die Behauptung richtig für m. Zeige, daß die Behauptung richtig ist für m + 1. Betrachte hierzu die Funktion f := |∇^{m+1}A|^{2} + N|∇^{m}A|^{2}, mit N ≥ 2C_{m+1} (C_{m+1} wie in Lemma 7.2). Dann gilt mit Lemma 7.2

\frac{d}{ds}f ≤ Δf + (C_{m+1} − N)|∇^{m+1}A|^{2} + C_{m}|∇^{m}A|^{2} + C_{m}
≤ Δf − C_{m+1}f + C_{m} + (C_{m} + C_{m+1})|∇^{m}A|^{2}.

Somit ist f und somit auch |∇^{m+1}A|^{2} gleichmäßig beschränkt durch eine Konstante K_{m+1}, die von C_{m}, C_{m+1} und max_{M_{0}} |∇^{m+1}A|^{2} abhängt. □

8 Langzeitexistenz und Folgerungen

In diesem Kapitel erhalten wir nun, mit dem Resultat über die Kurzzeitexistenz glatter Lösungen und den Schranken aus den Kapiteln 5 und 6 bzw. 7, die Existenz von Lösungen von (IMK ) ”für lange Zeiten“:

8.1 Theorem.

Seien M^{n}, V wie in Kapitel 1 und nehme an, daß M_{0} = F_{0}(M^{n}) eine glatte, kompakte, raumartige Hyperfläche in V ist. Sei M_{s} = F (·, s)(M^{n}) eine Familie glatter, kompakter, raumartiger Hyperflächen, die das Anfangswertproblem (IMK) auf einem Intervall s ∈ [0, s_{0}) lösen. Bleibt M_{s} in einer glatten und kompakten Region von V wenn s → s_{0}, so kann die Lösung über s_{0} hinaus fortgesetzt werden.

Beweis: Nach Voraussetzung bleibt M_{s} in einer glatten und kompakten Region von V und u ist gleichmäßig beschränkt. Deshalb folgern wir aus den a priori Schranken der Kapitel 5 und 6 bzw. 7, daß M_{s} gegen eine glatte Fläche M_{s_{0}} konvergiert wenn s → s_{0}. Somit kann die Lösung M_{s}, mit dem Resultat über die Kurzzeitexistenz (Thm. 3.7), über s_{0} hinaus fortgesetzt werden.

Hieraus folgt nun sofort, daß die Blätterung alle Zeitschnitte Σ^{n} × {τ} in der Vergangenheit von M_{0} erreicht, die noch ganz im glatten Bereich von V liegen:

8.2 Korollar.

Sei [b, t_{0}], b < t_{0} ein Zeitintervall, d.h. b ist in der Vergangenheit von t_{0}, mit Σ^{n} × [b, t_{0}] glatt und Σ^{n} × {t_{0}} ∩ D_{−}(M_{0}) ≠ ∅. Wenn weiter M_{s}, s ∈ [0, S), eine maximale Lösung von (IMK ) ist, so existiert für jedes τ ∈ [b, t_{0}] ein s_{τ} ∈ [0, S) mit Σ^{n} × {τ} ∩ M_{s_{τ}} ≠ ∅.

Hierbei bezeichnet D_{−}(M_{0}) den Einflußbereich (past domain of dependence) von M_{0} in Richtung Anfangssingularität. Das sind alle Punkte p ∈ V, für die gilt, jede nicht raumartige, zukunftsgerichtete und nicht erweiterbare Kurve durch p schneidet M_{0}.

8.3 Korollar.

Falls der “inverse mittlere Krümmungsfluß” (IMK ) für alle Zeiten existiert, so geht Vol(M_{s}) gegen Null für s → ∞ und die Blätterung läuft bis in die Anfangssingularität.

Beweis von 8.2 und 8.3: Das Volumen nimmt exponentiell ab, weil aus Lemma 4.1 (iii) folgt, daß \frac{d}{ds} ∫ dμ = − ∫ dμ. □

Wir haben somit einen alternativen Beweis für ein Resultat von Hawking und Penrose, das besagt, daß eine kosmologischen Raumzeit, in der die zeitartige Konvergenzbedingung erfüllt ist und in der eine raumartige Hyperfläche mit strikt positiver mittlerer Krümmung existiert, eine Anfangssingularität besitzt [HE].

Bemerkung: Man kommt hier im Gegensatz zu bisherigen Ergebnissen (z.B. [GC1,EH1]) \underline{ohne} Bariereflächen aus.

9 Beispiel

Im letzten Kapitel werden wir noch die Robertson-Walker-Raumzeiten, als ein einfaches Beispiel für kosmologische Raumzeiten betrachten. Wie in [ON: Kap.12] definieren wir

9.1 Definition. Robertson-Walker-Raumzeit

Sei S eine zusammenhängende, 3-dimensionale, Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Krümmung k = 1, 0 oder −1. Sei f > 0 eine glatte Funktion auf einem offenen Intervall I ⊂ IR_{1}^{1}, wobei IR_{1}^{1} der eindimensionale Minkowski Raum ist. Dann heißt das warped product

M(k, f) := I ×_{f} S

Robertson-Walker-Raumzeit.

Explizit heißt das, M(k, f) ist die Mannigfaltigkeit I × S mit dem Linienelement −dt^{2} + f^{2}(t)dσ^{2}, dabei ist dσ^{2} das Linienelement auf S (geliftet auf I × S). Die Metrik auf M(k, f) ist also gegeben durch

g_{αβ} := \{ \begin{matrix}−1 : & α = β = 0 \\ 0 : & α = 0, β ≠ 0 \\ 0 : & α ≠ 0, β = 0 \\ f(t)g̃_{ij} : & α = i, β = j \end{matrix}

und g̃_{ij} ist die Metrik auf S (geliftet auf I ×S). Wie bisher (jetzt ist n = 3) laufen griechische Indizes von 0 bis 3 und lateinische von 1 bis 3. Die Mannigfaltigkeit ist zeitorientiert, wenn man fordert, daß U = ∂_{t} zukunftsgerichtet ist. Wir sagen, das Intervall I ist maximal, wenn wir f nicht zu einer glatten, positiven Funktion auf einem strikt größeren Intervall fortsetzen können.

Standardmäßig wählt man für S die einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten: IH^{3}, IR^{3} und S^{3}. Die Analysis des Zusammenhangs und der Krümmung der Robertson-Walker-Raumzeit folgt aus allgemeinen Resultaten über warped products, z.B. [ON: Kap.7].

9.2 Definitionen.

Für die weiteren Rechnungen brauchen wir die folgenden Definitionen für allgemeine Produktmannigfaltigkeiten I × M:

(i) T_{(s,p)}(M) := T_{(s,p)}(s × M)

(ii) Die Projektion auf M ist gegeben durch π : I × M → M, mit π(s, p) = p. Die zu π gehörige Abbildung zwischen den Tangentialräumen bezeichnen wir dann mit dπ : T_{(s,p)}(I × M) → T_{(s,p)}(M).

(iii) Für einen Vektor x ∈ T_{p}(M) bezeichnen wir mit dem Lift von x auf (s, p) ∈ I × M den eindeutigen Vektor x̃ ∈ T_{(s,p)}(M), mit der Eigenschaft, daß dπ(x̃) = x ist.

(iv) Für ein Vektorfeld X auf M bezeichnen wir mit dem Lift von X auf I × M das Vektorfeld X̃, das an jedem Punkt (s, p) ∈ I × M den Wert des Liftes des Vektors X(p) auf (s, p) (≅ X̃(p)) annimmt. Die Menge aller solcher Lifts von Vektorfeldern X̃ bezeichnen wir mit L(M).

Sei also L(S) die Menge aller Lifts, von Vektorfeldern auf S, auf M(k, f). Dann haben wir als Korollar zu den Ergebnissen aus [ON: Kap.7](7.35, 7.43):

9.3 Korollar.

Wenn X, Y ∈ L(S) in M(k, f), dann gilt

(1) D_{U}U = 0,

(2) D_{U}X = D_{X}U = (\frac{f′}{f} )X,

(3) norD_{X}Y = A(X, Y) = ⟨X, Y ⟩(\frac{f′}{f} )U,

(4) Ric(U, U) = −3\frac{f′′}{f} ,

(5) Ric(U, X) = 0,

(6) Ric(X, Y) = (2(\frac{f′}{f} )^{2} + 2\frac{k}{f^{2}} + \frac{f′′}{f} )⟨X, Y ⟩,

wobei nor die orthogonale Projektion in U-Richtung ist, sie ist gegeben durch norW = −⟨W, U⟩U.

9.4 Konkrete Beispiele.

Sei nun V := S ×_{f} I und ist M_{0} gegeben durch die Immersion F_{0} : M^{n} → V, wobei F_{0}(M^{n}) = S ×_{f} t(0), dann ist f(t(0)) eindeutig festgelegt. In dem Fall, daß M^{n} := S_{R}^{3} und V := S_{1}^{3} ×_{f} I erhalten wir f(t(0))^{2} = R. Betrachten wir nun unseren Fluß:

\frac{d}{ds}F (s) = −(\frac{1}{H} ν)(s),

s ≥ 0,

F (0) = F_{0}.

Wobei ν(s) die zukunftsgerichtete Einheitsnormale auf M_{s} = F (s)(M^{n}) und H die mittlere Krümmung auf M_{s} ist. Beachte hierbei, daß wir F (s) mit t(s) auf eindeutige Weise identifizieren können. Wir haben somit die folgende Evolutionsgleichung für t:

\frac{d}{ds}t(s) = −\frac{1}{H} (t(s)), s ≥ 0.

Nach Korollar 9.3 ergibt dies

\frac{d}{ds}t(s) = −\frac{f(t)}{nf′(t)}.

Da wir in dieser Arbeit von strikt positiver, mittlerer Krümmung und der zeitartigen Konvergenzbedingung (\overline{R}ic(ν, ν) ≥ 0) ausgehen, muß die Funktion f der Robertson-Walker-Raumzeit folgenden Bedingungen genügen:

(i) f > 0, per Definition
(ii) f′(t) > 0,
(iii) f′′(t) ≤ 0 ∀t

Betrachten wir zunächst zwei einfache Beispiele: (A) f(t) = a + b·t, t ∈ (−\frac{a}{b}, ∞); (B) f(t) = \sqrt{a − b·t^{2}}, t ∈ (−\sqrt{\frac{a}{b}}, \sqrt{\frac{a}{b}}). Mit positiven Konstanten a und b. Im Fall (A) führt uns das zu der gewöhnliche Differentialgleichung

\frac{d}{ds}t(s) = −\frac{a + b·t}{nb} = −\frac{a}{nb} − \frac{t}{n}.

Somit erhalten wir t(s) = −\frac{a}{b} + (t(0) + \frac{a}{b})e^{− \frac{s}{n}}. Der Wert t(s) = −\frac{a}{b} wird angenommen für s → ∞. Im Fall (B) ergibt sich die Gewöhnlichen Differentialgleichung

\frac{d}{ds}t(s) = −\frac{\sqrt{a − b·t^{2}}}{n\frac{−2bt}{2\sqrt{a−b·t^{2}}}} = \frac{a − b·t^{2}}{nbt} = \frac{a}{nbt} − \frac{t}{n}.

Es muß hier gelten, daß t ∈ (−\sqrt{\frac{a}{b}}, 0), wegen Bedingung (ii). Wir erhalten schließ-

lich t(s) = −\sqrt{\frac{a}{b} + ( − \frac{a}{b} + t(0)^{2})e^{− \frac{2s}{n}}} und der Wert t(s) = −\sqrt{\frac{a}{b}} wird angenommen für s → ∞. Als letztes Beispiel betrachten wir

(C) Kosmologische Friedmann-Modelle [HE,ON].

Ein kosmologisches Friedmann Modell ist eine Robertson-Walker-Raumzeit, so daß die ”galaktische Flüssigkeit“ ein ”Staub“ ist und H = nf′/f positiv ist für ein t_{0}. Ein ”Staub“ ist eine ”perfekte Flüssigkeit“ mit Druck ϕ = 0 und Energiedichte ρ > 0. Im ”Großen“ sollte dies ein gutes Modell für unser Universum sein. In einer Robertson-Walker-Raumzeit M(k, f) mit nichtkonstantem f sind äquivalent: Ein ”Staub“ zu sein ist äquivalent dazu, daß die Friedmann-Gleichung f^{′2} + k = A/f, mit A = 8πM/3, erfüllt ist oder, daß ρf^{3} =M gilt (siehe [ON: Kap.12]); M ist hierbei eine positive Konstante die von der Masse abhängt. Somit lauten die Skalierungsfunktionen, wenn wir den big bang zum Zeitpunkt t_{∗} = 0 setzen, in den drei Fällen:

(1) k = 0 : f(t) = Ct^{\frac{2}{3}} , mit 4C^{3} = 9A;

(2) k = 1 : t = \frac{1}{2}A(θ − sin θ), f = \frac{1}{2}A(1 − cos θ) θ ∈ (0, 2π);
(3) k = −1 : t = \frac{1}{2}A(sinh η − η), f = \frac{1}{2}A(cosh η − 1) η > 0.

Im Fall (1) ergibt sich somit die folgende gewöhnliche Differentialgleichung:

\frac{d}{ds}t(s) = −\frac{3}{2n}t.

Somit erhalten wir t(s) = t(0)e^{− \frac{3}{2n} s} und der Wert t_{∗} = 0 wird angenommen für s → ∞.

Da wir in den Fällen (2) und (3) nur eine Parameterlösung kennen, werden wir die Parameterfunktion θ(s) (bzw. η(s)) durch das Lösen der folgenden gewöhnlichen Differentialgleichung bestimmen.

\frac{d}{ds}θ(t(s)) = \frac{dθ}{dt} \frac{dt}{ds} = −\frac{dθ}{dt} \frac{f}{n\frac{df}{dt}} = −\frac{dθ}{dt} \frac{f}{n\frac{df}{dθ} \frac{dθ}{dt}} = −\frac{f}{n\frac{df}{dθ}}  (9.1)

Wir erhalten also im Fall (2) die gewöhnliche Differentialgleichung

\frac{d}{ds}θ(t(s)) = −\frac{1 − cos θ}{n sin θ},

mit der (bis auf den Anfangswert θ_{0}) eindeutigen Lösung θ(s) = arcsin(exp[(−s+ n ln[sin(θ_{0}/2)^{2}])/2n]) und der Wert t(s) = 0 wird angenommen für s → ∞. Für den Fall (3) erhalten wir dann, mit θ = η in (9.1), die gewöhnliche Differentialgleichung

\frac{d}{ds}η(t(s)) = −\frac{cosh η − 1}{n sinh η}.

Somit erhalten wir η(s) = arcsinh(exp[(−s+n ln[sinh(η_{0}/2)^{2}])/2n]) und der Wert t(s) = 0 wird angenommen für s → ∞.

Anmerkungen: (I) Die Anfangswerte θ_{0} (bzw. η_{0}) sind bei bekanntem t(0) eindeutig gegeben durch t(θ_{0}) = t(0) (bzw. t(η_{0}) = t(0)) und der Forderung f′ > 0. (II) Die Fälle (2) und (3) haben in der Nähe der Singularität das gleiche qualitative Verhalten wie (1) (siehe z.B.[HE]).

Für die Friedmannuniversen kann man mit Hilfe der Hubblekonstante H_{0} = f′_{0}/f_{0} (=1/n H(0)) und der derzeitigen Energiedichte ρ_{0}, sofern man diese kennt, das entsprechende Alter berechnen. Falls wir das Alter unseres Universums wissen, können wir bestimmen, in welchem Fall von Friedmannuniversum wir uns befinden. Mit den derzeitigen Vermutungen über ρ_{0}, H_{0} und dem Alter unseres Universums ist man der Auffassung, daß der Fall k = −1 das realistischste Friedmann-Modell für unser Universum ist. Die Energiedichte müßte ungefähr um den Faktor 2 (bzw. 4) größer sein, um im Fall k = 0 (bzw. k = 1) ein Alter in der selben Größenordnung wie im Fall k = −1 zu erhalten [ON].

A Beweis der ersten Variationsformel von H

Hier ist nun ein ausführlicher Beweis von Lemma 2.2, der sich eng an den Beweis in [B1] anlehnt. Es ist zu zeigen:

Δv = v(|A^{2}| + \overline{R}ic(ν, ν)) − ⟨T, ∇H⟩ + T (H_{T}).  (A.1)

Wobei T (H_{T}) die Variation der mittleren Krümmung von M unter dem Deformationsvektorfeld T ist. Diese kann man auch in Termen des Killing Tensors L_{T}g (L_{T}g(X , Y ) = ⟨\overline{∇}_{X} T , Y ⟩ + ⟨\overline{∇}_{Y} T , X ⟩) schreiben:

T (H_{T}) = \frac{1}{2}(\overline{∇}_{ν} L_{T}g)(e_{i}, e_{i}) − (\overline{∇}_{e_{i}} L_{T}g)(ν, e_{i}) − \frac{1}{2} H L_{T}g(ν, ν)
−L_{T}g(e_{i}, e_{j} )A(e_{i}, e_{j} ).  (A.2)

Beweis: Wir rechnen an einem festen Punkt p ∈ M, wo wir das orthonormale n-Bein {e_{i}} auf M so wählen, daß ∇_{e_{i}} e_{i}(p) = 0 ist. Sei X ein transversales Vektorfeld, mit dem zugehörigen Fluß ϕ_{s} : V → V, s ≤ ε, dann erweitern wir das n-Bein {e_{i}} durch e_{i}(s) := ϕ_{s}(e_{i}). Wir erhalten somit ein tangentielles n-Bein an M_{s} := ϕ_{s}(M), mit Metrik g_{ij}(s) := ⟨e_{i}(s), e_{j}(s)⟩. Und es gilt per Definition g_{ij}(0) = δ_{ij} und L_{X}e_{i} = [X, e_{i}] = 0. Sei N(s) die zukunftsgerichtete Einheitsnormale zu M_{s}, dann ist die zweite Fundamentalform gegeben durch h_{ij}(s) = ⟨e_{i}, \overline{∇}_{ei} N⟩(s). Für einen Vektor X ist die tangentiale bzw. normale Projektion wie bisher gegeben durch X^{T} := ⟨X, e_{i}⟩e_{i} bzw. X^{N} := −⟨X, N⟩N und es gilt X = X^{T} + X^{N}. Direkte Rechnung im Punkt p ergibt:

Δ⟨X, N⟩ = e_{i}e_{i}⟨X, N⟩ = e_{i}⟨\overline{∇}_{e_{i}} X, N⟩ + e_{i}⟨X, \overline{∇}_{e_{i}} N⟩
=^{A} ⟨\overline{∇}_{e_{i}} \overline{∇}_{X} e_{i}, N⟩ + ⟨\overline{∇}_{e_{i}} X, \overline{∇}_{e_{i}} N⟩ + e_{i}⟨X, h_{ij}g^{jk}e_{k}⟩
=^{B} ⟨\overline{∇}_{X} \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, N⟩ + ⟨\overline{R}(e_{i}, X)e_{i}, N⟩ + ⟨\overline{∇}_{X} e_{i}, \overline{∇}_{e_{i}} N⟩ + ⟨\overline{∇}_{e_{i}} X, e_{j}⟩h_{ij}
+⟨X, \overline{∇}_{e_{i}} e_{j}⟩h_{ij} + ⟨X, e_{j}⟩e_{i}(h_{ij})
=^{C} −⟨\overline{R}(e_{i}, X)N, e_{i}⟩ + X⟨\overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, N⟩ + 2⟨\overline{∇}_{e_{i}} X, e_{j}⟩h_{ij} + ⟨X, \overline{∇}_{e_{i}} e_{j}⟩h_{ij}
+⟨X, e_{j}⟩(e_{j}(H) + ⟨\overline{R}(e_{i}, e_{j})N, e_{i}⟩)
=^{D} −\overline{R}ic(X, N) + X⟨\overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, N⟩ − X(g^{ij})h_{ij} + ⟨X, \overline{∇}_{e_{i}} e_{j}⟩h_{ij}
+X^{T} (H) + \overline{R}ic(X^{T} , N)
=^{E} ⟨X, N⟩(\overline{R}ic(N, N) + |A|^{2}) + ⟨X, ∇H⟩ − X(H_{X}).

Nebenrechnung A:

(a) [X, e_{i}] = 0 ⇒ \overline{∇}_{e_{i}} X = \overline{∇}_{X} e_{i},
(b) \overline{∇}_{e_{i}} N = h_{ij}g^{jk}e_{k}.

Nebenrechnung B:

⟨\overline{∇}_{e_{i}} \overline{∇}_{X} e_{i}, N⟩ = ⟨\overline{∇}_{X} \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, N⟩ + ⟨\overline{R}(e_{i}, X)e_{i}, N⟩.

A ERSTE VARIATIONSFORMEL VON H 47 Nebenrechnung C:

(a) ⟨\overline{∇}_{X} \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, N⟩ = X⟨ \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, N⟩ − ⟨\overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, \overline{∇}_{X} N⟩

= X⟨ \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, N⟩ − ⟨HN + ∇_{e_{i}} e_{i}, \overline{∇}_{X} N⟩

= X⟨ \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, N⟩ − H · \frac{1}{2}X⟨N, N⟩ = X⟨ \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, N⟩,

(b) ⟨\overline{∇}_{X} e_{i}, \overline{∇}_{e_{i}} N⟩ = ⟨\overline{∇}_{X} e_{i}, e_{j}⟩h_{ij},
(c) e_{i}(h_{ij}) = ⟨e_{i}, \overline{∇}_{e_{i}} \overline{∇}_{e_{j}} N⟩ + ⟨\overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, \overline{∇}_{e_{j}} N⟩

= ⟨\overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, \overline{∇}_{e_{j}} N⟩ + ⟨e_{i}, \overline{∇}_{e_{j}} \overline{∇}_{e_{i}} N⟩ + ⟨\overline{R}(e_{i}, e_{j})N, e_{i}⟩

= \underbrace{⟨\overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, e_{j}⟩}_{=|∇_{e_{i}} e_{i}|=0} h_{ij} + ⟨\overline{R}(e_{i}, e_{j})N, e_{i}⟩ + \overline{∇}_{e_{j}} ⟨e_{i}, \overline{∇}_{e_{i}} N⟩ + \underbrace{⟨\overline{∇}_{e_{j}} e_{i}, \overline{∇}_{e_{i}} N⟩}_{=|∇_{e_{j}} e_{i}|h_{ij}=0}

= e_{j}(H) + ⟨\overline{R}(e_{i}, e_{j})N, e_{i}⟩.

Nebenrechnung D:

(a) 2⟨\overline{∇}_{e_{i}} X, e_{j}⟩h_{ij} = 2\frac{1}{2}X⟨e_{i}, e_{j}⟩h_{ij} = X(g_{ij})h_{ij} = −X(g^{ij})h_{ij},
(b) −⟨\overline{R}(e_{i}, X)N, e_{i}⟩ = −\overline{R}ic(X, N),
(c) X^{T} = ⟨X, e_{j}⟩e_{j} ⇒ ⟨X, e_{j}⟩e_{j}(H) = X^{T} (H),
(d) ⟨X, e_{j}⟩⟨\overline{R}(e_{i}, e_{j})N, e_{i}⟩ = ⟨X, e_{j}⟩⟨\overline{R}(N, e_{i})e_{i}, e_{j}⟩ = ⟨\overline{R}(N, e_{i})e_{i}, ⟨X, e_{j}⟩e_{j}⟩
= ⟨\overline{R}(N, e_{i})e_{i}, X^{T} ⟩ = ⟨\overline{R}(e_{i}, X^{T})N, e_{i}⟩ = \overline{R}ic(X^{T} , N).

Nebenrechnung E:

(a) ⟨X, \overline{∇}_{e_{i}} e_{j}⟩h_{ij} = ⟨X, h_{ij}N + ∇_{e_{i}} e_{j}⟩h_{ij} = ⟨X, N⟩|A|^{2},
(b) \overline{R}ic(X^{T} , N) − \overline{R}ic(X, N) = −\overline{R}ic(X^{N}, N) = −\overline{R}ic(−⟨X, N⟩N, N)
= ⟨X, N⟩\overline{R}ic(N, N),
(c) X^{T} (H) = ⟨X, e_{j}(H)e_{j}⟩ = ⟨X, ∇H⟩,
(d) X(H_{X}) = X⟨e_{i}, ∇_{e_{i}} N⟩ + X(g^{ij})h_{ij} = −X⟨∇_{e_{i}} e_{i}, N⟩ + X(g^{ij})h_{ij}.

Setze X := T und es folgt (A.1). Für den Beweis von (A.2) berechnen wir am Punkt p:

X(H_{X})(p) = −h_{ij} · X⟨e_{i}, e_{j}⟩ + X⟨e_{i}, \overline{∇}_{e_{i}} N⟩

=^{I} −h_{ij}L_{X}g(e_{i}, e_{j}) + ⟨\overline{∇}_{X} e_{i}, \overline{∇}_{e_{i}} N⟩ + ⟨e_{i}, \overline{∇}_{X} \overline{∇}_{e_{i}} N⟩
=^{II} −h_{ij}L_{X}g(e_{i}, e_{j}) + e_{i}(⟨\overline{∇}_{X} e_{i}, N⟩ + ⟨e_{i}, \overline{∇}_{X} N⟩) + ⟨\overline{R}(X, e_{i})N, e_{i}⟩
−⟨\overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, \overline{∇}_{X} N⟩ − e_{i}⟨\overline{∇}_{X} e_{i}, N⟩ + ⟨\overline{∇}_{X} e_{i}, \overline{∇}_{X} \overline{∇}_{e_{i}} N⟩
=^{III} −h_{ij}L_{X}g(e_{i}, e_{j}) + ⟨\overline{∇}_{N} \overline{∇}_{e_{i}} X, e_{i}⟩ − ⟨\overline{∇}_{e_{i}} \overline{∇}_{N} X, e_{i}⟩ − ⟨\overline{∇}_{\overline{∇}_{N} e_{i}} X, e_{i}⟩
+⟨\overline{∇}_{\overline{∇}_{e_{i}} N} X, e_{i}⟩ − e_{i}⟨\overline{∇}_{e_{i}} X, N⟩ + ⟨\overline{∇}_{e_{i}} X, \overline{∇}_{e_{i}} N⟩
=^{IV}  \frac{1}{2}N(L_{X}g(e_{i}, e_{i})) − L_{X}g(\overline{∇}_{N} e_{i}, e_{i}) − e_{i}(L_{X}g(N, e_{i})) + ⟨\overline{∇}_{N} X, \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}⟩

=^{V}  \frac{1}{2}\overline{∇}_{N} L_{X}g(e_{i}, e_{i}) − \overline{∇}_{e_{i}} L_{X}g(N, e_{i}) − L_{X}g(\overline{∇}_{e_{i}} N, e_{i}) − L_{X}g(N, \overline{∇}_{e_{i}} e_{i})

+\frac{1}{2}HL_{X}g(N, N)

=^{V I}  \frac{1}{2}\overline{∇}_{N} L_{X}g(e_{i}, e_{i}) − \overline{∇}_{e_{i}} L_{X}g(N, e_{i}) − L_{X}g_{ij}h_{ij} − \frac{1}{2}HL_{X}g(N, N).

Nebenrechnung I:

(a) L_{X}g(e_{i}, e_{j}) := ⟨\overline{∇}_{e_{i}} X, e_{j}⟩ + ⟨e_{i}, \overline{∇}_{e_{j}} X⟩,
(b) \overline{∇}_{X} e_{i} − \overline{∇}_{e_{i}} X = [X, e_{i}] = 0.

Nebenrechnung II: Einfügen von e_{i}⟨\overline{∇}_{X} e_{i}, N⟩ − e_{i}⟨\overline{∇}_{X} e_{i}, N⟩ und

⟨e_{i}, \overline{∇}_{X} \overline{∇}_{e_{i}} N⟩ = ⟨e_{i}, \overline{∇}_{e_{i}} \overline{∇}_{X} N⟩ + ⟨\overline{R}(X, e_{i})N, e_{i}⟩
= e_{i}⟨e_{i}, \overline{∇}_{X} N⟩ − ⟨\overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, \overline{∇}_{X} N⟩ + ⟨\overline{R}(X, e_{i})N, e_{i}⟩.

Nebenrechnung III: Beachte [N, e_{i}] := \overline{∇}_{N} e_{i} − \overline{∇}_{e_{i}} N.

(a) ⟨\overline{∇}_{X} e_{i}, N⟩ = −⟨e_{i}, \overline{∇}_{X} N⟩ ⇒ e_{i}(⟨\overline{∇}_{X} e_{i}, N⟩ + ⟨e_{i}, \overline{∇}_{X} N⟩) = 0,
(b) \overline{∇}_{e_{i}} e_{i} = h_{ii}N + ∇_{e_{i}} e_{i}
⇒ −⟨\overline{∇}_{e_{i}} e_{i}, \overline{∇}_{X} N⟩ = −h_{ii}⟨N, \overline{∇}_{X} N⟩ − ⟨∇_{e_{i}} e_{i}, \overline{∇}_{X} N⟩

= −h_{ii} \frac{1}{2}\overline{∇}_{X} ⟨N, N⟩ − 0 = 0,

(c) \overline{R}(X, Y)Z := \overline{∇}_{X} \overline{∇}_{Y} Z − \overline{∇}_{Y} \overline{∇}_{X} Z − \overline{∇}_{[X,Y]} Z
⇒ ⟨\overline{R}(X, e_{i})N, e_{i}⟩ = ⟨\overline{R}(N, e_{i})X, e_{i}⟩

= ⟨\overline{∇}_{N} \overline{∇}_{e_{i}} X − \overline{∇}_{e_{i}} \overline{∇}_{N} X − \overline{∇}_{[N,e_{i}]} X, e_{i}⟩.

Nebenrechnung IV:

(a) −h_{ij}L_{X}g(e_{i}, e_{j}) = −⟨\overline{∇}_{e_{i}} X, \overline{∇}_{e_{i}} N⟩ − ⟨e_{i}, \overline{∇}_{e_{j}} X⟩h_{ij},
(b) ⟨\overline{∇}_{N} \overline{∇}_{e_{i}} X, e_{i}⟩ = \frac{1}{2}N(L_{X}g(e_{i}, e_{i})) − ⟨\overline{∇}_{e_{i}} X, \overline{∇}_{N} e_{i}⟩,
(c) −⟨\overline{∇}_{e_{i}} \overline{∇}_{N} X, e_{i}⟩ − e_{i}⟨\overline{∇}_{e_{i}} X, N⟩ = −e_{i}(L_{X}g(N, e_{i})) + ⟨\overline{∇}_{N} X, \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}⟩,
(d) −⟨\overline{∇}_{\overline{∇}_{N} e_{i}} X, e_{i}⟩ = −L_{X}g(\overline{∇}_{N} e_{i}, e_{i}) + ⟨\overline{∇}_{N} e_{i}, \overline{∇}_{e_{i}} X⟩,
(e) ⟨\overline{∇}_{\overline{∇}_{e_{i}} N} X, e_{i}⟩ = ⟨\overline{∇}_{h_{ij}e_{j}} X, e_{i}⟩ = h_{ij}⟨\overline{∇}_{e_{j}} X, e_{i}⟩.

Nebenrechnung V:

(a) \frac{1}{2}N(L_{X}g(e_{i}, e_{i})) = \frac{1}{2}\overline{∇}_{N} (L_{X})g(e_{i}, e_{i}) + \frac{1}{2}2L_{X}g(\overline{∇}_{N} e_{i}, e_{i}),
(b) ⟨\overline{∇}_{N} X, \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}⟩ = H⟨\overline{∇}_{N} X, N⟩ = \frac{1}{2}HL_{X}g(N, N),
(c) −e_{i}(L_{X}g(N, e_{i})) = −\overline{∇}_{e_{i}} L_{X}g(N, e_{i}) − L_{X}g(\overline{∇}_{e_{i}} N, e_{i}) − L_{X}g(N, \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}).

A ERSTE VARIATIONSFORMEL VON H 49 Nebenrechnung VI:

(a) −L_{X}g(\overline{∇}_{e_{i}} N, e_{i}) = −L_{X}g(h_{ij}e_{j}, e_{i}),
(b) −L_{X}g(N, \overline{∇}_{e_{i}} e_{i}) = −HL_{X}g(N, N).

Setze X := T und (A.2) folgt. □

Literatur

[BR1] R. Bartnik, Existence of maximal surfaces in asymptotically flat spacetimes, Communications on Mathematical Physics 94, S.155-175 (1984)

[BR2] R. Bartnik, Remarks on cosmological spacetimes and constant mean curvature surfaces, Communications on Mathematical Physics 117, S.615-624 (1988)

[CB] Y. Choquet-Bruhat, Maximal submanifolds and submanifolds with constant mean extrinsic curvature of a Lorentzian manifold, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Serie IV, Volume 3, S.361-376 (1976)

[CY] S.-Y. Cheng, S.-T. Yau, Maximal space-like hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski spaces, Annals of Mathematics 104, S.407-419 (1976)

[EH1] K. Ecker, G. Huisken, Parabolic methods for the construction of spacelike slices of prescribed mean curvature in cosmological spacetimes, Communications on Mathematical Physics 35, S.595-613 (1991)

[EH2] K. Ecker, G. Huisken, Interior estimates for hypersurfaces moving by mean curvature, Inventiones mathematicae 105, S.547-569 (1991)

[FM] A. Fischer, J. Marsden, Topics in the dynamics of General Relativity, in isolated gravitating systems in General Relativity, Italian Physics Society, S.322-395 (1979)

[GC1] C. Gerhardt, H-surfaces in Lorentzian manifolds, Communications on Mathematical Physics 89, S.523-553 (1983)

[GC2] C. Gerhardt, Flow of nonconvex hypersurfaces into spheres, Journal of Differential Geometry 32, S.299-314 (1990)

[H1] G. Huisken, Flow by mean curvature of convex surfaces into spheres, Journal of Differential Geometry 10, S.237-266 (1984)

[H2] G. Huisken, Contracting convex hypersurfaces in Riemannian manifolds by their mean curvature, Inventiones mathematicae 84, S.463-480 (1986)

[H3] G. Huisken, Deforming hypersurfaces of the sphere by their mean curvature, Mathematische Zeitschrift 195, S.205-219 (1987)

[H4] G. Huisken, The volume preserving mean curvature flow, Journal für Reine und Angewandte Mathematik, 382, S.35-48 (1987)

[HA1] R.S. Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature, Journal of Differential Geometry 17, S.255-306 (1982)

[HA2] R.S. Hamilton, Four-manifolds with positive curvature operator, Journal of Differential Geometry 24, S.153-179 (1986)

[HA3] R.S. Hamilton, Lecture notes, Hawaii (1989)

[HE] S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, The large scale structure of space-time, Cambridge Monographs On Mathematical Physics, Cambridge University Press (1973)

[KN] N.V. Krylov, Nonlinear elliptic and parabolic equations of the second order, D. Reidel Publishing Company (1987)

[LU] O.A. Ladyshenzkaya, V.A. Solonnikov, N.N. Ural’ceva, Linear and quasilinear equations of parabolic type, Translations of Mathematical Monographs, Band 23, American Mathematical Society, Rhode Island (1968)

[NS] S. Nishikawa, On maximal space-like hypersurfaces in a Lorentzian manifold, Nagoya Mathematical Journal 95, S.117-124 (1984)

[ON] B. O’Neill, Semi-Riemannian goemetry with applications to relativity, Pure and Applied Mathematics, Academic Press, (1983)

[SA] A. Stahl, Über den mittleren Krümmungsfluß mit Neumannrandwerten auf glatten Hyperflächen, Dissertation an der Eberhard-Karls-Universität Tübingen (1994)

[SSY] R. Schoen, L. Simon, S.-T. Yau, Curvature estimates for minimal hypersurfaces, Acta Mathematica 134, S.275-288 (1975)

[U1] J.I.E. Urbas, An expansion of convex hypersurfaces, Journal of Differential Geometry 33, S.91-125 (1991)

[U2] J.I.E. Urbas, On the expansion of starshaped hypersurfaces by symmetric functions of their principal curvatures, Mathematische Zeitschrift 205, S.355-372 (1990)