Donnerstag, 23.05.2019: Intersection theory of toric and toroidal b-divisors on toric and toroidal embeddings
Dr. Ana María Botero (Universität Regensburg)
We define toric and toroidal b-divisors on toric and
toroidal embeddings, respectively, and an integrability notion of such
divisors.
We show that under suitable positivity assumptions toric and toroidal
b-divisors are integrable. In the toric case, their
degree is given as the volume of a convex set and more generally, in
the toroidal case, their degree is given as an integral with respect
to a Monge-Ampére measure, which is a weak limit of discrete
Monge-Ampére measures whose weights are given via tropical
intersection theory on the balanced Euclidean polyhedral complex
attached to a toroidal embedding. Finally, if time permits, we discuss
some applications of this theory in the context of Arakelov geometry
of mixed Shimura varieties of non-compact type.
| Uhrzeit: |
14:15 |
| Ort: |
N 15 |
| Gruppe: |
Oberseminar Algebraische Geometrie |
| Einladender: |
Batyrev, Hausen, Th. Markwig |
Freitag, 24.05.2019: Time integration for the dynamical low-rank approximation of matrices and tensors
Hanna Walach
Die Niedrigrangapproximation zeitabhängiger, hochdimensionaler Matrizen und Tensoren, die explizit oder implizit als unbekannte Lösung einer Matrix- oder Tensordifferentialgleichung gegeben sind, ist Gegenstand der Betrachtung. Wir verfolgen zunächst das Konzept der dynamischen Niedrgrangapproximation und stellen eine Differentialgleichung für die Approximationsmatrix oder den Approximationstensor mit Niedrigrangstruktur auf, die auf einer Orthogonalprojektion der Zeitableitung beruht. Die daraus resultierende Differentialgleichung soll dann unter Verwendung der Niedrigrangfaktorisierung der Matrix oder des Tensors gelöst werden.
Im Matrixfall liegt hier die Singulärwertzerlegung als Niedrigrangformat zu Grunde. Hat die Approximationsmatrix kleine Singulärwerte, so erfordern klassische numerische Verfahren zur Lösung dieser Differentialgleichung eine Schrittweitenbeschränkung. Demgegenüber steht der Projektorsplitting-Integrator. Er ist robust gegenüber kleinen Singulärwerten und liefert im expliziten Fall sogar die exakte Lösung. Wir stellen dieses numerische Verfahren und seine Fehlerschranke vor und gehen auf die Beweisidee der Fehleranalyse ein, die die Unabhängigkeit der Methode von kleinen Singulärwerten zeigt.
Weiterhin erhöhen wir die Ordnung und betrachten den Tensorfall, wobei wir Tensoren im Tucker-Format als Niedrigrangrepräsentation wählen. Wir verfolgen den Ansatz der dynamischen Niedrigrangapproximation und stellen eine Integrationsmethode für die Zeitentwicklung von Tucker-Tensoren vor. Der Tucker-Integrator ist charakterisiert durch eine verschachtelte Anwendung des Matrixintegrators und überträgt so den Projektorsplitting-Integrator für Matrizen in modifizierter Form auf Tensoren höherer Ordnung. Auch dieses numerische Verfahren ist exakt, wenn der zu approximierende Tensor explizit gegeben ist und diese Eigenschaft ist grundlegend für die Fehleranalyse, die aufzeigt, dass der Tucker-Integrator robust ist, wenn kleine Singulärwerte in Matrizisierungen des Approximationstensors auftreten.
| Uhrzeit: |
10:15 |
| Ort: |
B9N22 |
| Gruppe: |
Promotionsvortrag |
