\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.04.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 01}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgelichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 01.} Wir betrachten die {\sl Einheitskreislinie}
\[
 \S^1=\{z\in\C:\; |z|=1\}
\]
und $\C^*$ als Gruppe bzgl.\  der multiplikativen Struktur der komplexen Zahlen.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass f"ur alle $z\in\C^*$ das Inverse $z^{-1}\in\C^*$ durch $z^{-1}=\frac{\bar z}{|z|^2}$ gegeben ist
und dann, dass $\S^1\sub\C^*$ eine Untergruppe ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} F"ur jedes $n\in\N$ nennt man $\omega\in\S^1$ eine {\sl $n$. Einheitswurzel}, wenn gilt: $\omega^n=1$. 
Bestimmen Sie alle $n$. Einheitswurzeln in Polarform $\omega=e^{i\varphi}$ (mit $\varphi\in[0,2\pi)$) und zeigen Sie,
dass $U_n:=\{\omega\in\S^1:$ $\omega^n=1\}$ eine Untergruppe von $\S^1$ ist. Machen Sie eine Skizze dieser $n$. Einheitswurzeln. 
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 02.} {\bf (a)} (Abelsches Lemma) Sei $P=\sum_{n=0}^\infty a_nX^n$ eine formale komplexe Potenzreihe (d.i.:
$a_n\in\C$, f"ur alle $n\in\N_0$), die in einem $z_0\in\C^*$ konvergiere. Zeigen Sie, dass dann f"ur alle $z\in\C$ mit $|z|<|z_0|$
gilt: $P(z)=\sum_0^\infty a_nz^n$ konvergiert absolut. (Hinweis: Majorisieren Sie $\sum_0^\infty|a_nz^n|$ mit einer geometrischen
Reihe.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Den {\sl Konvergenzradius} $R_P\in[0,\infty]$ einer formalen Potenzreihe $P=\sum_{n=0}^\infty a_nX^n$ kann man so definieren:
\[
 R_P:=\sup\{r\in[0,\infty):\; \mbox{es gibt ein $z\in\C$ mit $|z|=r$, so dass $P(z)=\sum_na_nz^n$ konvergiert}\}
\]
$\in[0,\infty]$. Zeigen Sie:
\vspace{-.2cm}

{\bf (i)} F"ur alle $z\in\C$ mit $|z|<R_P$ konvergiert $P(z)$ absolut;
\vspace{-.2cm}

{\bf (ii)} f"ur alle $z\in\C$ mit $|z|>R_P$ divergiert $P(z)$.
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 03.} Wir betrachten die Einbettung $\tau\colon\R\to\R^3$, $x\mapsto(x,0,0)$. Zeigen Sie, dass es keine Multiplikation
$\ast$ auf $\R^3$ gibt, die $(\R^3,+,\ast)$ zu einem K"orper macht und mit der Vektorraumstruktur von $(\R^3,+,\cdot)$ vertr"aglich ist, d.h.:
$x\cdot v=\tau(x)\ast v$, f"ur alle $x\in\R$ und $v\in\R^3$. (Hinweis: Betrachten Sie f"ur jedes $v\in\R^3$ die $\R$-lineare Abbildung 
$L_v\colon\R^3\to\R^3$, $w\mapsto v\ast w$, und benutzen Sie, dass jedes reelle Polynom $3.$ Grades eine reelle Nullstelle besitzt.)
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 
\end{document}
