\documentclass[12pt]{article}

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\textwidth17cm

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.20xx}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 02}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgelichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 04.} Sei $G\sub\C$ ein Gebiet und $f\colon G\to\C$ reell-differenzierbar in $a\in G$. Begr"unden
Sie, warum auch $\bar f\colon G\to\C$, $z\mapsto\overline{f(z)}$, in $a$ reell-differenzierbar ist und zeigen Sie:
\[
 \frac{\partial\bar f}{\partial z}(a)=\overline{\frac{\partial f}{\partial\bar z}(a)},\quad\frac{\partial\bar f}{\partial\bar z}(a)=\overline{
 \frac{\partial f}{\partial z}(a)}.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 05.} Seien $D,G\sub\C$ Gebiete, $f\colon D\to G\sub\C$ in $a\in D$ reell-differenzierbar und $g\colon G\to\C$
in $b=f(a)$ reell-differenzierbar. Begr"unden Sie, warum $g\circ f\colon D\to\C$ in $a$ rell-differenzierbar ist und zeigen Sie:
\begin{eqnarray*}
 \frac{\partial(g\circ f)}{\partial z}(a) & = & \frac{\partial g}{\partial w}(b)\frac{\partial f}{\partial z}(a)+\frac{\partial g}{\partial\bar w}(b)
 \frac{\partial\bar f}{\partial z}(a), \\
 \frac{\partial(g\circ f)}{\partial\bar z}(a) & = & \frac{\partial g}{\partial w}(b)\frac{\partial f}{\partial\bar z}(a)+\frac{\partial g}{\partial\bar w}(b)
 \frac{\partial\bar f}{\partial\bar z}(a).
\end{eqnarray*}
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 06.} {\bf (a)} Stellen Sie eine Produktregel f"ur reell-differenzierbare Funktionen $f,g\colon G\to\C$ ($G\sub\C$ ein
Gebiet) im Wirtinger-Kalk"ul auf und begr"unden Sie sie.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Berechnen Sie die Wirtinger-Ableitungen der folgenden reell-differenzierbaren Funktionen $f_j\colon\C\to\C$ ($j=1,..,4$) und bestimmen Sie,
wo diese komplex-differenzierbar sind:
\[
 f_1(z)=\bar z,\quad f_2(z)=|z|^2,\quad f_3(z)=\Re(z),\quad f_4(z)=2z^2\bar z-z\bar z^2.
\]
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 07.}  {\bf (a)} Integrieren Sie $f\colon\C\to\C$, $z\mapsto z^2$, "uber den Weg $\gamma\colon[0,2\pi]\to\C$, $\gamma(t)=1+e^{it}$.
\vspace{-.6cm}

{\bf (b)} Parametrisieren Sie die geradlinige Verbindungsstrecke von $-1\in\C$ nach $1\in\C$ mit einem Weg $\gamma_1$ und betrachten Sie mit 
$\gamma_2\colon[0,\pi]\to\C$, $t\mapsto e^{i(\pi-t)}$ einen weiteren Weg von $-1$ nach $1$. Integrieren Sie nun die stetige Funktion $g\colon\C\to\C$, 
$g(z)=|z|$, "uber die Wege $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (c)} Zeigen Sie, dass $h\colon\C\to\C$, $h(z)=\Re(z)$, keine Stammfunktion hat.
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
