\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}}
\renewcommand{\arg}{\mathrm{arg}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 03}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgelichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 08.} (Lemma von Goursat f"ur Dreiecke). Sei $G\sub\C$ ein Gebiet und $\triangle\sub G$ ein (abgeschlossenes)
Dreieck in $G$. Zeigen Sie: Ist $f\colon G\to\C$ holomorph, so gilt: $\int_{\partial\triangle}f(z)\, dz=0$. (Hinweis: Gehen Sie so
vor wie in der Vorlesung f"ur Rechtecke.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 09.} {\bf (a)} Sei $G\sub\C$ ein sternf"ormiges Gebiet bzgl.\ eines Punktes $a\in G$ (d.h.: f"ur jedes $z\in G$ ist 
der geradlinige Weg $\gamma_z\colon[0,1]\to\C$, $t\mapsto(1-t)a+tz$, ganz in $G$. Sei weiter $f\colon G\to\C$ stetig und derart, 
dass f"ur alle Dreiecke $\triangle\sub G$ gilt: $\int_{\partial\triangle}f(z)\, dz=0$. Zeigen Sie, dass dann durch $F\colon G\to\C$,
\[
 F(z)=\int_{\gamma_z}f(\zeta)\; d\zeta,
\]
eine Stammfunktion von $f$ gegeben ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie nun (Cauchys Integralsatz f"ur sternf"ormige Gebiete): Ist $G\sub\C$ ein sternf"ormiges Gebiet und $f\colon G\to\C$ holomorph, so gilt f"ur jeden geschlossenen
Weg $\gamma$ in $G$: $\int_\gamma f(z)\, dz=0$.
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 10.} Sei $G=\C\setminus\R^-_0=\{z\in\C:$ $\Im(z)\ne 0$ oder $\Re(z)>0\}$ und $\gamma_z$ f"ur jedes $z\in G$ der 
geradlinige Weg von $1$ nach $z$ in $G$. Wir nennen dann $\log\colon G\to\C$,
\[
 \log(z)=\int_{\gamma_z}\frac{d\zeta}{\zeta},
\]
den {\sl Hauptzweig des Logarithmus}.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass $\log$ ein Zweig des Logarithmus ist, d.h.: F"ur alle $z\in G$ ist $\exp\circ\log(z)=z$.
\vspace{-.6cm}

{\bf (b)} F"ur jedes $z\in G$ sei $\arg(z)\in(-\pi,\pi)$ der Winkel in $(-\pi,\pi)$, so dass $z=|z|e^{i\arg(z)}$ ist. Zeigen Sie, dass f"ur alle $z\in G$
gilt:
\[
 \log(z)=\ln|z|+i\arg(z).
\]
(Hinweis: Ersetzen Sie in der Definition den Weg $\gamma_z$ durch den st"uckweise glatten Weg, der zun"achst geradlinig von $1$
nach $|z|$ l"auft und dann auf dem Kreisbogen vom Radius $r=|z|$ von $|z|$ zu $z$ (auf dem k"urzesten Weg) und benutzen Sie Aufgabe~2b.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (c)} Geben Sie zwei Zahlen $z_1,z_2$ in $G$ an, so dass auch $z_1z_2$ in $G$ ist und gilt:
\[
 \log(z_1z_2)\ne\log(z_1)+\log(z_2).
\]
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 11.} Wir definieren $\cos, \sin\colon\C\to\C$ durch
\[
 \cos(z):=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n},\qquad\sin(z):=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}
\]
und nennen diese Funktionen den {\sl komplexen Cosinus} und den {\sl komplexen Sinus}.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Begr"unden Sie, warum das wohldefiniert ist, d.h., warum die Reihen auf ganz $\C$ konvergieren.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass f"ur alle $z\in\C$ gilt:
\begin{eqnarray*}
 e^{iz} & = & \cos z +i\sin z, \\
 \cos z & = & \frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}), \\
 \sin z & = & \frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}), \\
 \cos^2 z+\sin^2 z& = & 1.
\end{eqnarray*}
\vspace{-.6cm}

{\bf (c)} Bestimmen Sie alle Nullstellen $D=\{z\in\C:$ $\cos z=0\}$ von $\cos$ und setzen Sie $\tan\colon\C\setminus D\to\C$,
$\tan z:=\sin z/\cos z$. zeigen Sie dann, dass $\cos$, $\sin$ und $\tan$ holomorph sind mit
\[
 \cos^\prime=-\sin,\quad\sin^\prime=\cos,\quad\tan^\prime=1+\tan^2.
\]
(Hinweis: Benutzen Sie, dass $e^z=1\Leftrightarrow z\in 2\pi i\Z$ und $\exp^\prime=\exp$ ist.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
