\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
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\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}}
\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\pot}{\mathrm{pot}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 04}}
}}
\vspace{1cm}
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\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgleichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 12.} {\bf (a)} Sei $G\sub\C$ ein Gebiet und $f\colon G\to\C$ holomorph. Zeigen Sie dass $u:=\Re(f)\colon G\to\R$
und $v:=\Im(f)\colon G\to\R$ harmonisch sind. ($v$ hei\ss t dann {\sl konjugiert harmonisch zu $u$}.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei nun $G\sub\C$ sogar sternf"ormiges Gebiet und $u\colon G\to\R$ harmonisch, $\triangle u=0$. Zeigen Sie, dass
es ein holomorphes $f\colon G\to\C$ gibt mit $\Re(f)=u.$ (Hinweis: Betrachten Sie $g\colon G\to\C$, $g=\partial_xu-i\partial_yu$.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 13.} {\bf (a)} Sei $\gamma\colon[0,1]\to\C^*$ ein (stetiger) Weg. Zeigen Sie, dass es ein stetiges $\varphi\colon[0,1]\to\R$
gibt, so dass f"ur alle $t\in[0,1]$ gilt:
\[
 \gamma(t)=|\gamma(t)|e^{i\varphi(t)}.
\]
(Hinweis: Sei $D_1:=\C\setminus\R^-_0$ und $D_2=\C\setminus\R^+_0$. Man zerlege $[0,1]$ so in endlich viele Teilintervalle $[t_{j-1},t_j]$
($j=1,\ldots,m$; $t_0=0$, $t_m=1$), dass $\gamma([t_{j-1},t_j])$ in $D_1$ oder in $D_2$ liegt. Dann benutze man f"ur $\varphi|[t_{j-1},t_j]$
einen Zweig des Logarithmus $\log_1\colon D_1\to\C$ bzw.\ $\log_2\colon D_2\to\C$.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Seien $\varphi,\psi\colon[0,1]\to\R$ wie in (a) zwei solche {\sl Lifts}. Zeigen Sie, dass es ein $k\in\Z$ gibt, so dass f"ur alle
$t\in[0,1]$ gilt:
\[
 \psi(t)=\varphi(t)+2\pi k.
\]
(Hinweis: Eine stetige Funktion $k\colon[0,1]\to\Z\sub\R$ muss konstant sein.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (c)} Sei $\gamma\colon[0,1]\to\C^*$ nun ein {\sl geschlossener} Weg. Man definiert {\sl die Umlaufzahl $n(\gamma)\in\Z$ (bzgl.\ $0$)}
nach Wahl eines Lifts wie unter (a) durch $n(\gamma):=\frac{1}{2\pi}(\varphi(1)-\varphi(0))$. Begr"unden Sie, warum $n(\gamma)$
tats"achlich ganzzahlig ist und warum sie wohldefiniert ist (d.h.: nicht von der Wahl des Lifts abh"angt.) Zeigen Sie dann f"ur den Fall,
dass $\gamma$ sogar stetig differenzierbar ist:
\[
 n(\gamma)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{dz}{z}.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 14.} Sei $G\sub\C^*$ ein Gebiet und $\log\colon G\to\C$ ein Zweig des Logarithmus auf $G$. Sei weiter $a\in\C$. Man definiert
{\sl den zu $\log$ geh"orenden Zweig der $a$. Potenz auf $G$} durch $\pot_a\colon G\to\C$,
\[
 \pot_a(z)=\exp(a\cdot\log(z))=:z^{a}.
\]
\vspace{-.6cm}

{\bf (a)} Berechnen Sie alle m"oglichen Werte von $i^{i}$, $2^{-i}$ und $(-1)^{\sqrt i}$. (Hinweis: "Uberlegen Sie zun"achst, dass sich zwei Zweige des Logarithmus nur durch eine konstante Funktion $2\pi i\cdot k$, mit $k\in\Z$, unterscheiden k"onnen (vgl.\ auch Aufgabe-13-b).)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei $n\in\N$. Man nennt eine stetige Funktion $f\colon G\to\C$ {\sl einen Zweig der $n$. Wurzel auf $G$}, wenn f"ur alle $z\in G$ gilt:
$f(z)^n=z$. Zeigen Sie, dass es f"ur einen solchen Zweig eine $n$. Einheitswurzel $\omega\in\C^*$ (siehe Aufgabe-01) gibt, so dass f"ur alle
$z\in G$ gilt:
\[
 f(z)=\omega\exp(\frac{1}{n}\log(z)).
\]
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip

\end{document}
