\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Arctan}{\mathrm{Arctan}}
\newcommand{\Log}{\mathrm{Log}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 05}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgleichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 15.} Sei $f\colon\C\to\C$ holomorph und nicht-konstant. Zeigen Sie, dass $f(\C)$ dicht in $\C$ liegt.
(Erinnerung: $D\sub\C$ hei\ss t {\sl dicht},, wenn f"ur jede offene Menge $U\sub\C$ mit $U\ne\emptyset$ gilt:
$D\cap U\ne\emptyset$. Hinweis: Benutzen Sie den Satz von Liouville.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 16.}  Sei $f\colon\C\to\C$ holomorph und es existiere $n\in\N_0$, $R>0$, $M>0$ so, dass f"ur alle $z\in\C$ mit $|z|>R$
gilt:
\[
 |f(z)|\leq M|z|^n.
\]
Zeigen Sie, dass $f$ eine Polynomfunktion vom Grad kleiner oder gleich $n$ ist. (Hinweis: Zeigen Sie mit Hilfe der
Cauchy-Ungleichungen, dass $f^{(n+1)}=0$ ist.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 F"ur eine formale (komplexe) Potenzreihe $P=\sum_0^\infty a_nX^n$ definiert man ihre {\sl formale Ableitung} durch
\[
 P^\prime:=\sum_{n=0}^\infty(n+1)a_{n+1}X^n.
 \]
 \vspace{-.7cm}  
 
 {\bf Aufgabe 17.} Sei $P$ eine formale Potenzreihe und $R_P\in[0,\infty]$ ihr Konvergenzradius. Zeigen Sie: $R_{P^\prime}
=R_P$.
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
 
 Wir nennen eine holomorphe Funktion $f\colon G\to\C$ ($G\sub\C$ ein Gebiet) einen {\sl Zweig des Arcus\-tangens}, wenn f"ur alle
$z\in G$ gilt: $\tan\circ f(z)=z$.
\vspace{-.1cm}  
  
{\bf Aufgabe 18.}  {\bf (a)} Sei $D=\C\setminus\{z\in\C$: $\exists t\in\R$: $|t|\geq 1$ und $z=it\}$ und $\Arctan\colon D\to\C$,
\[
 \Arctan(z)=\int_{\gamma_z}\frac{d\zeta}{1+\zeta^2},
\]
wo $\gamma_z$ der geradlinige Weg von $0$ nach $z$ ist. Zeigen Sie, dass $\Arctan$ ein Zweig des Arcustangens ist. (Wir nennen
ihn den {\sl Hauptzweig}.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei $D\sub\C$ wie unter (a), $G=\C\setminus\R^-_0$ und $\Log\colon G\to\C$ der Hauptweig des Logarithmus. Zeigen
Sie zun"achst, dass $g\colon\C\setminus\{-i\}\to\C$, $z\mapsto\frac{1+iz}{1-iz}$,  das Gebiet $D$ nach $G$ abbildet und dann f"ur alle $z\in D$:
\[
 \Arctan(z)=\frac{1}{2i}\Log(\frac{1+iz}{1-iz}).
\] 
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
