\documentclass[12pt]{article}

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\parindent0pt
\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\disjointcup}{\stackrel{.}{\cup}}
\newcommand{\Mat}{\mathrm{Mat}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 06}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgleichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Ein topologischer Raum $X$ hei\ss t 
\vspace{-.6cm}

\begin{itemize}
 \item {\sl zusammenh"angend}, wenn gilt: Sind $U,V\sub X$ offen mit $X=U\cup V$ und $U\cap V=\emptyset$,
 so muss $U=\emptyset$ oder $V=\emptyset$ sein;
 \item {\sl wegzusammenh"angend}, wenn gilt: F"ur alle $x_0,x_1\in X$ gibt es einen Weg $\alpha\colon I\to X$
 (d.h.: $\alpha$ ist stetig, wo $I=[0,1]$ das Einheitsintervall mit der von $\R$ induzierten Topologie ist) mit $\alpha(0)=x_0$
 und $\alpha(1)=x_1$.
\end{itemize}

{\bf Aufgabe 19.} {\bf (a)} Sei $X$ ein zusammenh"angender Raum. Zeigen Sie: Ist $A\sub X$ nicht-leer, abgeschlossen und offen, so ist $A=X$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie: $I=[0,1]$ ist zusammenh"angend. (Hinweis: Ist $I=U\disjointcup V$ und o.E.\ $0\in U$, so betrachte
\[
 b:=\sup\{x\in I:\; [0,x]\sub U\}.)
\]
\vspace{-.6cm}

{\bf (c)} Zeigen Sie: Ist $X$ wegzusammenh"angend, so ist $X$ auch zusammenh"angend. 
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 20.} Beweisen Sie folgende Variante des Identit"atssatzes: Sei $G\sub\C$ ein Gebiet und $f\colon G\to\C$
holomorph. Sei weiter $a\in G$, so dass f"ur alle $n\in\N$ gilt: $f^{(n)}(a)=0$. Dann ist $f$ konstant. (Hinweis: Betrachten Sie
die Teilmenge $A:=\{z\in G$: $f^{(n)}(z)=0,$ $\forall n\in\N\}$ und zeigen Sie, dass diese nicht-leer, abgeschlossen und offen
ist.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 21.} Sei $G\sub\C$ ein Gebiet und $F\colon[a,b]\times G\to\C$, $(t,z)\mapsto F(t,z)$, stetig. Zudem sei
$F_t\colon G\to\C$, $F_t(z):=F(t,z)$, f"ur jedes $t\in[a,b]$ reell-differenzierbar, und $D_2F\colon[a,b]\times G\to\Mat_2(\R)$,
$D_2F(t,z)=DF_t(z)$, sei stetig. Zeigen Sie, dass dann $H\colon G\to\C$,
\[
 H(z)=\int_a^bF(t,z)\, dt,
\]
wohldefiniert und reell-differenzierbar  ist mit
\[
 DH(z)=\int_a^bDF_t(z)\, dt,\qquad\forall z\in G.
\] 
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 22.} Sei $I\sub\R$ ein offenes Intervall und $f\colon I\to\R$ unendlich-oft differenzierbar. Zeigen Sie:  $f$ ist
genau dann reell-analytisch, wenn es ein Gebiet $G\sub\C$ mit $I\sub G$ und einer komplex-analytischen Funktion
$\hat f\colon G\to\C$ gibt mit $\hat f|I=f$.  
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
