\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Res}{\mathrm{Res}}
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 07}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgelichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 23.} {\bf (a)} Sei $G\sub\C$ ein Gebiet, $f,g\colon G\to\C$ holomorph und $a\in G$ die einzige Nullstelle von $g$.
Weiter sei $g^\prime(a)\ne 0$. Zeigen Sie, dass f"ur $h\colon G\setminus\{a\}\to\C$, $h(z)=f(z)/g(z)$, gilt�
\[
 \Res_a(h)=\frac{f(a)}{g^\prime(a)}.
\]
\vspace{-.6cm}

{\bf (b)} Bestimmen Sie alle isolierten Singularit"aten von $f$ und $g$ und dort ihre Residuen:
\[
 f(z)=\frac{1}{z(z-\pi)^2},\qquad g(z)=\frac{1}{z(e^z-1)}.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 24.} Zeigen Sie:
\[
 \int_{-\infty}^\infty\frac{x^2\, dx}{1+x^4}=\frac{\pi}{\sqrt 2},\qquad \int_0^\pi\frac{dx}{a+\cos x}=\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}\quad (\mbox{f"ur $a>1$)}.
\]
(Hinweis  f"ur das zweite Integral: Versuchen Sie dieses Integral als ein komplexes Wegeintegral "uber die Einheitskreislinie
zu beschreiben.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 25} (Null- und Polstellenz"ahler). {\bf (a)} Sei $f$ eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet $G\sub\C$ und $a\in G$
eine Nullstelle von $f$ der Ordnung $k\in\N$. Zeigen Sie, dass $g$, mit $g(z)=f^\prime(z)/f(z)$, eine holomorphe Funktion auf $G$
mit einer isolierten Singularit"at in $a$ ist und es gilt: $\Res_a(g)=k$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei $f$ nun holomorph  auf einem Gebiet $G\sub\C$ mit einem Pol der Ordnung $k\in\N$ in einem Punkt $a\in G$. Zeigen Sie,
dass $g$, mit $g=f^\prime/f$, holomorph mit isolierter Singularit"at in $a$ ist und es gilt: $\Res_a(g)=-k$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (c)} Eine holomorphe Funktion $f$ auf einem Gebiet $G\sub\C$ hei\ss t {\sl meromorph}, wenn sie h"ochstens isolierte Singularit"aten hat 
und diese nicht wesentlich sind. Sei nun $K\sub G$ Kompaktum mit glattem Rand, $f$ sei meromorph auf $G$ und keine der
isolierten Singularit"aten und Nullstellen von $f$ liege auf $\partial K$. Mit $N_0\in\N$ bezeichnen wir dann die Gesamtzahl der Nullstellen von
$f$ innerhalb von $K$, gewichtet jeweils mit ihren Vielfachheiten, $N_0=\sum_{a\in f^{-1}(0)}\ord_a(f)$. "Ahnlich sein $N_\infty\in\N$ die Gesamtzahl
der Polstellen von $f$ innerhalb von $K$, gewichtet mit ihren Vielfachheiten, $N_\infty=\sum_{a\in f^{-1}(\infty)}\ord_a(f)$. Zeigen Sie, dass
dann gilt:
\[
  \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial K}\frac{f^\prime(z)\, dz}{f(z)}=N_0-N_\infty.
\]
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 26} (Satz von Rouch\'e). Sei $G\sub\C$ ein Gebiet und es seien $f,g\colon G\to\C$ holomorph. Weiter sei $K\sub G$ ein
Kompaktum mit glattem Rand und $N(f),N(g)\in\N$ bezeichne die Anzahl der Nullstellen von $f$ bzw. $g$ in $K$ (gez"ahlt mit Vielfachheiten).
Schlie\ss lich gelte f"ur alle $z\in\partial K$:
\[
 |g(z)-f(z)|<|f(z)|.
\]
Zeigen Sie, dass dann gilt: $N(f)=N(g)$. (Hinweis: Betrachten Sie die {\sl Homotopie} $(h_t)_{t\in[0,1]}$ mit $h_t=f+t(g-f)$ und untersuchen Sie 
$N(h_t)$ in Abh"angigkeit von $t$.)    
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
