\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 08}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgelichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
Sei $G\sub\R^n$ ein Gebiet. Ein {\sl dynamisches System auf $G$} ist ein stetig differenzierbares $\varphi\colon\Omega\to G$,
$(t,x)\mapsto\varphi^t(x)$, wobei gilt:
\begin{description}
 \item [(a)] $\Omega\sub\R\times G$ ist offen mit $\{0\}\times G\sub\Omega$ und $I(x):=\{t\in\R:$ $(t,x)\in\Omega\}$ ist ein offenes Intervall;
 \item[(b)]
  \begin{itemize}
   \item[(i)] $\varphi^0(x)=x$ f"ur alle $x\in G$;
   \item[(ii)] Ist $(t,x)\in\Omega$, so ist f"ur $s\in \R$ das Paar $(t+s,x)\in\Omega$, genau wenn $(s, \varphi^t(x))\in\Omega$ ist, und es gilt dann:
 \[
  \varphi^s(\varphi^t(x))=\varphi^{s+t}(x).
 \]
  \end{itemize}
\end{description}
Man nennt dann f"ur jedes $x\in G$ die Kurve $\varphi(x)\colon I(x)\to G$, $t\mapsto \varphi^t(x)$, die {\sl Dynamik von $x$}.
\smallskip

{\bf Aufgabe 27.} Sei $\varphi\colon\Omega\to G$ ein dynamisches System auf  einem Gebiet $G\sub\R^n$. Man definiert das {\sl zugeh"orige
Vektorfeld} $f=f_\varphi\colon G\to\R^n$ auf $G$ durch
\[
 f(x)=\frac{d}{dt}|_{t=0}\varphi^t(x).
\]
Zeigen Sie: F"ur jedes $x_0\in G$ l"ost die Kurve $\varphi(x_0)\colon I(x_0)\to G$ das Anfangswertproblem
\[
 \dot x=f(x),\quad x(0)=x_0.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 28.} Sei $\varphi\colon\Omega\to G$ ein dynamisches System auf einem Gebiet $G\sub\R^n$. 
Ein Punkt $a\in G$ hei\ss t {\sl Gleichgewichtslage von $\varphi$}, wenn f"ur alle $t\in I(a)$ gilt: $\varphi^t(a)=a$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie: ist $f\colon G\to\R^n$ das zu $\varphi$ geh"orende Vektorfeld, so gilt: $a\in G$ ist genau dann Gleichgewichtslage von $\varphi$,
wenn $f(a)=0$ ist.  [Nachtrag: Benutzen Sie f"ur die R"uckrichtung, dass $\varphi$ $2$-mal stetig differenzierbar und damit $f$ lokal Lipschitz-stetig
ist sowie die Eindeutigkeit der L"osung des Anfangswertproblems dann nach Picard Lindel"of.]
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei nun $x_0\in G$ mit $I(x_0)=(t_-(x_0), t_+(x_0)$ und $t_+(x_0)=\infty$. Weiter sei $a\in G$ und es gelte
\[
 \lim_{t\to\infty}\varphi^t(x_0)=a.
\]
Zeigen Sie, dass $a$ eine Gleichgewichtslage von $\varphi$ sein muss.
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 29.} Wir betrachten das (nur) stetige Vektorfeld $f\colon\R\to\R$, $f(x)=\sqrt{|x|}$, auf $\R$. Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem
\[
 \dot x=f(x),\quad x(0)=0
\]
auf $\R$ verschiedene L"osungen $\alpha,\beta\colon\R\to\R$ hat.
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 30.} Bestimmen Sie mit der Methode der Trennung der Variablen alle maximalen L"osungskurven der gew"ohnlichen
Differentialgleichung
\[
 \dot x=x^2
\]
und skizzieren Sie das Phasendiagramm auf $\R$.   
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
