\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 09}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgleichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 31.} Sei $n\in\N$, $G\sub\R^n$ ein Gebiet und $f\colon G\to\R^n$ ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld
auf $G$. Sei ferner f"ur jedes $y\in G$ mit $\alpha_y\colon I(y)\to G$ die maximale L"osung des Anfangswertproblems
\[
 \dot x=f(x),\quad x(0)=y
\]
auf $G$ notiert. Sei nun $y_0\in G$ und $t\in I(y_0)$ sowie $y_1=\alpha_{y_0}(t)$. Zeigen Sie, dass $s\in I(y_1)$ ist,
genau wenn $t+s\in I(y_0)$ ist und dann gilt:
\[
 \alpha_{y_1}(s)=\alpha_{y_0}(s+t).
\]

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 32.} F"ur $\omega>0$ bezeichnet man das Anfangswertproblem
\[
 \ddot x+\omega^2 x=0,\quad x(0)=x_0,\; \dot x(0)=y_0
\]
als \glqq harmonischen Oszillaor\grqq. Bestimmen Sie den Phasenraum $G$ f"ur das Problem und dann das zugeh"orige
maximale dynamische System $\varphi\colon\Omega\to G$ (Hinweis: Machen Sie einen \glqq Ansatz\grqq\ f"ur $x$ als
Linearkombination der L"osungen $t\mapsto\cos(\omega x)$ und $t\mapsto\sin(\omega x)$.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 33.} Sei $f\colon G\to\R^n$ ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld auf einem Gebiet $G\sub\R^n$. Zu $x_0\in G$
sein $\alpha\colon I\to G$ die maximale L"osungskurve zum Anfangswertproblem $\dot x=f(x)$, $x(0)=x_0$ auf $G$. Es existiere nun ein 
$T\in I$ mit $T>0$, so dass $\alpha(T)=x_0$ ist. (Wenn $T>0$ die kleinste positive reelle Zahl mit dieser Eigenschaft ist,
nennen wir {\sl $x_0$ einen periodischen Punkt der Periode $T$}.) Zeigen Sie, dass in diesem Fall $I=\R$ ist und f"ur alle $t\in\R$ gilt:
\[
 \alpha(t+T)=\alpha(t).
\]

 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 34.} Sei $G\sub\R^n$ ein Gebiet und $\varphi\colon\Omega\to G$, $(t,x)\mapsto\varphi^t(x)$, ein dynamisches
System auf $G$ sowie $f\colon G\to\R^n$ sein zugeh"origes Vektorfeld. Eine stetig differenzierbare Funktion $H\colon G\to\R$
hei\ss t {\sl ein $1.$ Integral f"ur $\varphi$}, wenn f"ur alle $(t,x)\in\Omega$ gilt: $H(\varphi^t(x))=H(x)$. Zeigen Sie, dass $H$ genau 
dann ein $1.$ Integral ist, wenn {\sl die Ableitung $X_fH\colon G\to\R$ von $H$ in Richtung $f$}, d.i.
\[
 X_fH(x):=\sum_{j=1}^nf_j(x)\frac{\partial H}{\partial x_j}(x),
\]
verschwindet, $X_fH=0$. 
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
