\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\Mat}{\mathrm{Mat}}
\newcommand{\spur}{\mathrm{spur}}
\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 10}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgelichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 35.} Sei $n\in\N$, $I\sub\R$ ein offenes Intervall und $a_1,\ldots,a_n\colon I\to\R$ stetig differenzierbar.
Wir betrachten die {\sl lineare Differentialgleichung $n.$ Ordnung}
\begin{equation} \label{linear}
 x^{(n)}+a_1x^{(n-1)}+\cdots++a_{n-1}\dot x+a_nx=0
\end{equation}
auf $\R$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass der L"osungsraum $L_{(h)}:=\{x\in\CC^n(I,\R):$ $x$ l"ost (\ref{linear})\} ein $n$-dimensionaler 
Untervektorraum von $\CC^n(I,\R)$ ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Seien $x_1,\ldots,x_n\in L_{(h)}$. Dann bilden wir die sogenannte {\sl Wronski-Determinante von \linebreak
$(x_1,\ldots,x_n)$}
$W\colon I\to\R$ durch
\[
 W(t)=\det\left(\begin{array}{ccc} x_1 & \cdots & x_n \\ \vdots & & \vdots \\ x_1^{(n-1)} & \cdots & x_n^{(n-1)} \end{array} \right)(t).
\]
Zeigen Sie: Falls $W$ eine Nullstelle hat, so ist $W$ schon "uberall Null und es gilt: $(x_1,\ldots,x_n)$ ist Basis von $L_{(h)}$,
genau wenn $W\ne 0$ ist. 
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 36.} {\sl Die Differentialgleichung der (unged"ampften) erzwungenen Schwingung} ist gegeben durch 
\[
 \ddot x+\omega_0^2x=A\cos(\omega t)
\]
mit Konstanten $\omega_0,\omega,A\in \R_+$. Berechnen Sie die allgemeine L"osung im Nicht-Resonanzfall $\omega\ne\omega_0$.
(Hinweis: Wenn Sie die Rechnung mit der Variation der Konstanten vermeiden wollen, versuchen Sie eine spezielle L"osung
zu erraten (\glqq Ansatz\grqq).)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 37.} Sei $n\in\N$, $I\sub\R$ offen sowie $A\colon I\to\Mat_n\R$ stetig differenzierbar. Sei weiter $\Phi\colon I\to\Mat_n\R$
eine L"osung von $\dot\Phi=A\Phi$ auf $\Mat_n\R$. Zeigen Sie, dass dann die Funktion $\Delta\colon I\to\R$, $\Delta(t)=\det(\Phi(t))$,
die Differentialgleichung
\[
 \dot x=\spur(A)x
\]
l"ost. (Hinweis: Schreiben Sie $\Phi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)^T$ mit den Zeilen $\varphi_i\colon I\to\R^n$ ($i=1,\ldots,n$) und benutzen Sie die Produktregel
in der Leibnizformel f"ur $\det(\Phi)$ sowie $\dot\varphi_i=\sum_ja_{ij}\varphi_j$ ($i=1,\ldots,n$) aus $\dot\Phi=A\Phi$.) 
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 38.} {\sl Die Differentialgleichung f"ur die ged"ampfte Schwingung} wird f"ur Konstanten $\gamma,\omega\in\R_+$ gegeben durch
\begin{equation} \label{osc}
 \ddot x+\gamma\dot x+\omega^2 x=0
\end{equation}
(wobei $\gamma>0$ die D"ampfung beschreibt). Geben Sie eine Basis des L"osungsraumes im so genannten {\sl Kriechfall} an, wo $\Delta:=4\omega^2-\gamma^2<0$
ist. (Die F"alle $\Delta=0$ und $\Delta>0$ behandeln wir sp"ater.) (Hinweis: Schreiben Sie (\ref{osc}) als ein System $\dot z=Az$ mit $A\in\Mat_2\R$ und 
versuchen Sie $A$ zu  diagonalsieren. Machen Sie dann einen geeigneten linearen Koordintenwechsel $z=Sw$ mit $S\in\GL_2\R$. Oder machen Sie gleich
einen \glqq Ansatz\grqq\ $x(t)=e^{\lambda t}$ (mit $\lambda\in\R$).)
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
