\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
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\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}
\newcommand{\spur}{\mathrm{spur}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 11}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgelichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 39.} {\bf (a)} Berechnen Sie ein L"osungs-Fundamentalsystem f"ur $\dot x=Ax$ auf $\R^2$ mit
\[
 A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 1 & -2 \end{array}\right).
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (b)} Wie lautet die allgemeine L"osung der linearen Differentialgleichung $\dot x=Bx$ auf $\R^2$ mit
\[
 B=\left( \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 1 & 2 \end{array}\right)?
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 40.} Berechnen Sie eine Basis f"ur den L"osungsraum der Differentialgleichung f"ur die ged"ampfte Schwingung
(vgl.\ Aufgabe-38)
\[
 \ddot x+\gamma\dot x+\omega^2x=0
\]
 (mit $\gamma,\omega\in\R_+$) auf $\R$ nun auch in den folgenden F"allen f"ur die Diskrininante $\Delta=4\omega^2-\gamma^2$:
 \vspace{-.2cm}
 
 {\bf (a)} $\Delta>0$ (Schwingungsfall)
 \vspace{-.2cm}
 
 {\bf (b)} $\Delta=0$ (aperiodischer Grenzfall)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 41.} Ein {\sl Newton-System} auf einem Intervall $I\sub\R$ ist gegeben durch
\begin{equation} \label{osc}
 m\ddot x=f(x)
\end{equation}
mit $m>0$ (der Masse eines Teilchens) und $f\colon I\to\R$ stetig differenzierbar (dem Kraftfeld, in dem sich
das Teilchen bewegt).
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Ist $V\colon I\to\R$ stetig differenzierbar mit $V^\prime=-f$ (ein so genanntes {\sl Potential f"ur $f$}), so zeigen
Sie, dass durch $H\colon I\times\R\to\R$,
\[
 H(x,y)=\frac{1}{2}my^2+V(x),
\]
ein $1.$ Integral f"ur (\ref{osc}) gegeben ist (vgl.\ Aufgabe-34).
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Im Falle des harmonischen Oszillators (vgl.\ Aufgabe-32) ist $f(x)=-kx$ (mit $k>0$). W"ahlen Sie ein Potential f"ur $f$
und beschreiben Sie dann die Niveaulinien f"ur das zugeh"orige $1.$ Integral $H$. Wie sieht die Dynamik des Systems auf den
Niveaulinien $\{H=c\}$ (f"ur $c\in\R$) aus? Beschreiben Sie qualitativ.
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 42.} Sei $\exp\colon\Mat_n\C\to\GL_n\C$, $A\mapsto e^A$, die komplexe Matrizen-Exponentialfunktion.  
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Berechnen Sie $e^{A_i}$ ($i=1,2$) f"ur
\[
 A_1=\left(\begin{array}{cc} 0 & 3 \\ 1 & -2\end{array}\right),\quad A_2=\left(\begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 1 & 2\end{array}\right).
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie f"ur alle $A\in\Mat_n\C$:
\[
 \det e^A=e^{\spur A},
\]
(Hinweis: Erinnern Sie sich, dass die Spalten von $\Phi(t)=e^{tA}$ L"osungs-Fundamentalsystem
von $\dot z=Az$ sind und Aufgabe-37.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
