\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\diag}{\mathrm{diag}}
\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\Mat}{\mathrm{Mat}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 12}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgelichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 43.} Sei $\exp\colon\Mat_n\C\to\GL_n\C$ die (komplexe Matrizen-) Exponentialfunktion.
\vspace{.2cm}

{\bf (a)} Geben Sie zwei Matrizen $A,B\in\Mat_2\C$ an, so dass
\[
 \exp(A+B)\ne\exp(A)\exp(B)
\]
und begr"unden Sie dies.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie: Ist $\lambda\in\C$ ein Eigenwert von $A$, so ist $e^\lambda\in\C$ ein Eigenwert
von $\exp(A)$.

{\bf (c)} Begr"unden Sie, warum $\exp\colon\Mat_n\C\to\GL_n\C$ stetig differenzierbar ist
und es gilt:
\[
 D\exp_0=\id_{\Mat_n\C}.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 44.} Die Bewegung eines Pendels (mit starrer Stange) unter dem Einfluss der Erdanziehung geschieht
(nach Normierung einer Konstanten) durch L"osung der folgenden Differentialgleichung des \glqq mathematischen Pendels\grqq\
auf $\R$:
\[
 \ddot x+\sin x=0.
\]
($x$ beschreibt hier das Bogenma\ss\ des Winkels der Auslenkung.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Geben Sie ein $1.$ Integral $H$ auf dem  Phasenraum $\R^2$ der Gleichung an (vgl.\ Aufgabe-41).
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Diskutieren Sie nun die Niveaulinien $\{H=c\}$ ($c\in\R$) und die Bahnen, die auf ihnen liegen, qualitativ.
Machen Sie eine Skizze des Phasendiagramms.
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 45.} Seien $\omega,\omega_0,\gamma\in\R_+$. Wir betrachten die Differentialgleichung der \glqq
erzwungenen Schwingung\grqq\ auf $\R$ (vgl.\ Aufgabe-36)
\[
 \ddot x+\gamma\dot x +\omega_0^2 x=\cos(\omega t).
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (a)} Sei $x\colon\R\to\R$ eine L"osung. Zeigen Sie, dass sich $x(t)$ f"ur gro\ss e $t$ immer mehr der erzwungenen Schwingung
\[
 y(t)=A\cos(\omega t-\alpha)
 \]
(mit geeigneter {\sl Amplitude} $A$ und {\sl Phasenverschiebung $\alpha$) ann"ahert. (Hinweis: L"osen Sie die komplexe Gleichung mit rechter
Seite $\exp(i\omega t)$ und gehen Sie dann zum Realteil "uber.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Bestimmen Sie die allgemeine L"osung im unged"ampften Fall ($\gamma=0$) nun auch im Falle der Resonanz ($\omega=\omega_0$).
(Hinweis: Ansatz: $x(t)=A\cdot t\exp(i\omega t)$.)
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 46.} Sei $\exp\colon\Mat_n\R\to\GL_n\R$, $A\mapsto e^A$, die reelle (Matrizen-) Exponentialfunktion und sei
\[
 \GL_n^+\R=\{S\in\GL_n\R:\; \det S>0\}.
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass $\exp(A)\in\GL_n^+\R$ ist, f"ur alle $A\in\Mat_n\R$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b} Zeigen Sie, dass $S=\diag(-1,-4))\in\GL_n^+\R$ nicht im Bild von $\exp$ liegt.   
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
