\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\Mat}{\mathrm{Mat}}
\newcommand{\GL}{\mathrm{GL}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 13}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgelichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 47.} Zeigen Sie, dass $\exp\colon\Mat_2\C\to\GL_2\C$ surjektiv ist.
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 48.} Sei $G\sub\R^n$ ein Gebiet, $f\colon G\to\R^n$ zweimal stetig differenzierbar, $y\colon I\to G$ eine
L"osung von $\dot x=f(x)$ auf $G$ sowie $A\colon I\to\Mat_n\R$, $A(t)=Df(y(t))$. Zeigen Sie: Zu jeder L"osung $\xi\colon I\to\R^n$ der in $y$
linearisierten Gleichung $\dot\xi=A(t)\xi$ auf $\R^n$ gibt es eine Variation von L"osungen $(x_\eps)$ von $y$, so dass $\xi$
das Variationsvektorfeld von $(x_\eps)$ ist.
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 49.} Sei $r\in[1,\infty]$, $f$ ein $\CC^r$-Vektorfeld auf einem Gebiet $G\sub\R^n$ und sei $x\colon I\to\R$ 
eine L"osung von $\dot x=f(x)$. Zeigen Sie, dass $x$ eine $\CC^{r+1}$-Abbildung ist.
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 50.} {\bf (a)} Wir betrachten noch einmal (vgl.\ Aufgabe-40) die Differentialgleichung f"ur die ged"ampfte
Schwingung ($\gamma,\omega\in\R_+$)
\[
 \ddot x+\gamma\dot x+\omega^2 x=0
\]
auf $\R$. Zeigen Sie, dass die Gleichgewichtslage $(x_0.y_0)=(0,0)$ ein
Attraktor des Systems ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass die Gleichgewichtslage $(x_0,y_0)=(0,0)$ des \glqq mathematischen Pendels\grqq (vgl.\
Aufgabe-44)
\[
 \ddot x+\sin x=0
\]
stabil, aber kein Attraktor ist.
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
