\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mathbb R}
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\newcommand{\im}{\mathrm{im}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SoSe 2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 14}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen\\[.2cm] 
zur Einf"uhrung in die Funktionentheorie und die Gew"ohnlichen Differentialgelichungen /
Mathematik f"ur Physiker IV
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 50.} {\bf (a)} Wir betrachten noch einmal (vgl.\ Aufgabe-40) die Differentialgleichung f"ur die ged"ampfte
Schwingung ($\gamma,\omega\in\R_+$)
\[
 \ddot x+\gamma\dot x+\omega^2 x=0
\]
auf $\R$. Zeigen Sie, dass die Gleichgewichtslage $(x_0.y_0)=(0,0)$ ein
Attraktor des Systems ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass die Gleichgewichtslage $(x_0,y_0)=(0,0)$ des \glqq mathematischen Pendels\grqq (vgl.\
Aufgabe-44)
\[
 \ddot x+\sin x=0
\]
stabil, aber kein Attraktor ist.
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 51.} Sei $\varphi\colon\Omega\to G$, $(t,x)\mapsto\varphi^t(x)$, ein dynamisches System auf einem
Gebiet $G\sub\R^n$. Wir setzen f"ur jedes $t\in\R$
\[
 G_t:=\{x\in G:\; t\in I(x)\}\sub G.
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass $G_t\sub G$ offen ist, f"ur alle $t\in\R$, und, dass f"ur die Abbildung
\[
 \varphi^t\colon G_t\to G,\quad x\mapsto\varphi^t(x),
\]
gilt: $\im(\varphi^t)=G_{-t}$ und $\varphi^t\colon G_t\to G_{-t}$ ist ein Diffeomorphismus.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass $\varphi^0=\id_G$ ist und f"ur alle $s,t\in\R$ (dort, wo beide Seiten der Gleichung definiert sind)
gilt:
\[
 \varphi^s\circ\varphi^t=\varphi^{s+t}.
\]
(Man nennt die Familie von Diffeomorphismen $(\varphi^t)_{t\in\R}$ den {\sl zu $\varphi$ geh"orenden
Fluss auf $G$}.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 52.} Berechnen Sie die charakteristischen Exponenten der Gleichgewichtslage $p=(0,0)\in\R^2$
beim
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} harmonischen Oszillator $\ddot x+\omega^2x=0$ ($\omega>0$);
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} bei der ged"ampften (harmonischen) Schwingung $\ddot x+\gamma\dot x+\omega^2 x=0$ ($\omega>0$, $\gamma>0$);
\vspace{-.2cm}

{\bf (c)} beim mathematischen Pendel $\ddot x+\sin x=0$;
\vspace{-.2cm}

{\bf (d)} und bei der (oberen) Gleichgewichtslage $q=(\pi,0)\in\R^2$ des mathematischen Pendels.
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  

\end{document}
