\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
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\newcommand{\PP}{\mathfrak P}
\newcommand{\LL}{\mathfrak L}

\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.20xx}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 03}}
}}
\vspace{1cm}
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\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 09.} Sei $\lambda^*$ das \"au\ss ere Lebesgue-Ma\ss\ auf $\R$ und $M\sub\R$ eine $\lambda^*$-messbare
Teilmenge (d.i.: {\sl eine Lebesgue-Menge}). Sei weiter $\varepsilon>0$ beliebig.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass es eine offene Menge $U\sub\R$ gibt mit $U\supseteq M$ und $\lambda*(U\setminus M)<\varepsilon$.
(Hinweis: Betrachte zun\"achst den Fall $\lambda^*(M)<\infty$ und im Fall $\lambda^*(M)=\infty$ dann die Durchschnitte
$M_n=M\cap[-n,n] $ ($n\in\N$). Denken Sie auch immer an den \glqq$2^{-n}\varepsilon$-Trick\grqq.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass es eine abgeschlossene Teilmenge $A\sub\R$ mit $A\sub M$ und $\lambda^*(M\setminus A)<\varepsilon$
gibt. (Hinweis: Betrachte $M^c$ und Teil (a).)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 10.} Sei $\lambda^*$ das \"au\ss ere Lebesgue-Ma\ss\ auf $\R$ und $\lambda$ seine Einschr\"ankung auf die 
Borelsche $\sigma$-Algebra $\BB\sub\PP(\R)$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie: F\"ur jede Teilmenge $A\sub\R$ gibt es eine Borelsche Teilmenge $B\sub\R$ mit $B\supseteq A$ und $\lambda (B)=\lambda^*(A)$.
(Hinweis: W\"ahlen Sie eine Minimalfolge $((Q_{nk})_{k\in\N})_{n\in\N}$ von Quader\"uberdeckungen f\"ur das \"au\ss ere 
Ma\ss\ $\lambda^*(A)$.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei nun $\LL\sub\PP(\R)$ {\sl die Lebesguesche $\sigma$-Algebra} der $\lambda^*$-messbaren Teilmengen von $\R$ und
$\hat\BB$ die $\lambda^*$-Vervollst\"andigung von $\BB$ (siehe Aufgabe~07). Zeigen Sie: $\LL=\hat\BB$. (Hinweis: Suche
f\"ur $M\in\LL$ mit Aufgabe~09 eine Borelmenge $B\sub M$ mit $\lambda^*(M\setminus B)=0$.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 11.} {\sl Die Cantormenge} $C\sub[0,1]$ wird so konstruiert: Im ersten Schritt nimmt man aus $C_0:=[0,1]$
das (offene) mittlere Drittel heraus, $C_1:=C_0\setminus(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$. Im zweiten Schritt nimmt aus den verbleibenden
Intervallen $[0,\frac{1}{3}]$ und $[\frac{2}{3},1]$ wiederum das jeweils mittlere Drittel heraus, $C_2:=[0,\frac{1}{9}]\cup
[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3},\frac{7}{9}]\cup[\frac{8}{9},1]$. Bei jedem weiteren Schritt nimmt man aus den verbleibenden Intervallen jeweils das
mittlere Drittel heraus und erh\"alt so im $n$-ten Schritt $C_n\sub[0,1]$. Schlie\ss lich setzt man $C:=\bigcap_{n\in\N}C_n$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass $C$ kompakt (und damit eine Borelmenge) mit $\lambda(C)=0$ (und $\lambda$, wie immer, dem Borel-Lebesgueschen
Ma\ss) ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass $C$ gleichm\"achtig zu $[0,1]$ ist. (Hinweis: Betrachte die Darstellung der Zahlen in $C$ im {\sl tern\"aren System}).
\vspace{-.2cm}

{\bf (c)} Zeigen Sie, das die Lebesguesche $\sigma$-Algebra $\LL\sub\PP(\R)$ gleichm\"achtig zu $\PP(\R)$ ist.

 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
 {\bf Aufgabe 12.} Sei $\lambda^*$ das \"au\ss ere Lebesgue-Ma\ss\ auf $\R^n$ ($n\in\N$).
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass $\lambda^*$ translationsinvariant ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei $\LL\sub\PP(\R)$ die Lebesguesche $\sigma$-Algebra der $\lambda^*$-messbaren Teilmengen in $\R^n$. Zeigen Sie, dass
das Beispiel einer Teilmenge $A\sub[0,1]^n$ aus der Vorlesung, das nicht Borelsch ist, auch nicht in $\LL$ liegt.
\vspace{-.2cm}

{\bf (c)} Zeigen Sie, dass $\lambda^*$ nicht $\sigma$-additiv sein kann.   
 \smallskip

{\bf L\"osung.} 

\end{document}
