\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\PP}{\mathfrak P}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.20xx}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 04}}
}}
\vspace{1cm}
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\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 13.} {\bf (a)} Sei $\lambda$ das Borel-Lebesguesche Ma\ss\ auf $\R$ und $\varepsilon>0$. Geben
Sie eine {\sl offene} Teilmenge $U\sub\R$ an mit $U\supset\Q$ und $\lambda(U)<\varepsilon$ und begr\"unden Sie
das. (Hint: Benutzen Sie eine Abz\"ahlung von $\Q$.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei  $n\in\N$, $\lambda$ das Borel-Lebesguesche Ma\ss\ auf $\R^n$ und $\varepsilon>0$. Sei weiter $H\sub\R^n$
die Hyperebene $H=\{(x_1,\ldots, x_n)\in\R^n:$ $x_n=0\}$. Geben Sie eine {\sl offene} Quader\"uberdeckung $(Q_k)_{k\in\N}$
von $H$ an mit $\sum_k\lambda(Q_k)<\varepsilon$ und begr\"unden Sie.
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 14.} Wir betrachten die {\sl Elementarmatrizen}
\[
 u(b)=\left(\begin{array}{cc} 1& b \\ 0 & 1\end{array}\right),\quad v(b)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ b & 1 \end{array}\right),
\]
f\"ur jedes $b\in\R$, und setzen $M=\{u(b)\in\SL_2\R:$ $b\in\R\} \cup \{v(b)\in\SL_2\R:$ $b\in\R\}\sub\SL_2\R$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass $\SL_2\R$ von $M$ erzeugt wird. (Hint: Elementare Zeilenoperationen)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass mit $s=\left(\begin{array}{cc} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2}^{-1}\end{array}\right)\in\SL_2\R$ und jedem
$b\in\R$ gilt: 
 \[u(b)=s\cdot u(b)\cdot s^{-1}\cdot u(-b).
\]

{\bf (c)} Zeigen Sie nun, dass $\SL_2\R$ gleich seiner Kommutatoruntergruppe ist.
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 15.} Sei $\LL\sub\PP(\R^n)$ die Lebesgue-Algebra auf $\R^n$ und $\lambda\colon\LL\to[0,\infty]$ das Lebesguesche
Ma\ss\ auf ihr (vgl.\ Aufgabe~10).
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie die Transformationsformel f\"ur Isomorphismen $T\colon\R^n\to\R^n$ auch f\"ur alle $A\in\LL$ gilt: $TA\in\LL$
und $\lambda(TA)=|\det T|\lambda(A)$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie nun, dass die Transformationsformel f\"ur alle $A\in\LL$ sogar f\"ur alle linearen Abbildungen $T\colon\R^n\to\R^n$
gilt (wobei \glqq$0\cdot\infty:=0$\grqq\ gesetzt wird).
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 16.} Seien $\SL_n\R\sub\GL_n\R$ die {\sl spezielle lineare Gruppe} und $\SO_n\R\sub\GL_n\R$ die {\sl spezielle
orthogonale Gruppe}.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass $\SL_n\R$ und $\SO_n\R$ Untergruppen von $\GL_n\R$ sind.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass $\SO_2\R$ genau aus den {\sl Drehmatrizen}
\[
 u(\theta)=\left(\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right)
\]
mit $\theta\in[0,2\pi]$ besteht. (Hint: In den Spalten einer speziellen orthogonalen Matrix steht eine positiv orientierte
Orthonormalbasis.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (c)} Sei $S\in\SO_3\R\setminus\{\1\}$. Zeigen Sie, dass es einen $1$-dimensionalen Unterraum $L\sub\R^3$ gibt mit
$Sx=x$, f\"ur alle $x\in L$ (eine so genannte {\sl Fixgerade}), und dass $S$ das senkrechte Komplement $E=L^\perp$ von $L$ in
sich abbildet und dort eine Drehung um einen Winkel $\theta\in(0,2\pi)$ (bzgl.\ einer gew\"ahlten Orientierung von $E$) ist.
(Hint: Zeigen Sie, dass $\lambda=1$ ein Eigenwert von $S$ ist.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
