\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\AAA}{\mathfrak A}
\newcommand{\BB}{\mathfrak B}
\newcommand{\PP}{\mathfrak P}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.20xx}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 05}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 17.}Sei $(X,\AAA,\mu)$ ein Ma\ss raum und $Y\in\AAA$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Wir definieren {\sl die Spuralgebra von $\AAA$ auf $Y$} durch
\[
 \BB:=\{A\cap Y\in\PP(Y):\; A\in\AAA\}.
\]
Zeigen Sie, dass $\BB$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ ist und $\BB\sub\AAA$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Nun defnieren wir $\nu\colon\BB\to[0,\infty]$ durch $\nu:=\mu|\BB$. Zeigen Sie, dass $\nu$ ein Ma\ss\
auf $(Y,\BB)$ ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (c)} Sei $f\colon X\to\bar\R$ $\AAA$-messbar. Zeigen Sie, dass dann auch $f|Y\colon Y\to\bar\R$ $\BB$-messbar
ist. Sei nun zus\"atzlich $f\geq 0$ und $\chi_Y\colon X\to\R$ die charakteristische Funktion von $Y$. Zeigen Sie dann:
\[
 \int f|Y\, d\nu = \int f\cdot\chi_Y\, d\mu.
\]
(Diese Zahl in $[0,\infty]$ wird mit $\int_Y f\, d\mu$ bezeichnet.) 
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 18.} Sei $(X,\AAA_1,\mu_1)$ ein Ma\ss raum, $\AAA_2\sub\AAA_1$ eine $\sigma$-Unteralgebra und es
sei $\mu_2:=\mu_1|\AAA_2$.
\vspace{-.7cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass auch $(X,\AAA_2,\mu_2)$ ein Ma\ss raum ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei $f\colon X\to[0,\infty]$ $\AAA_2$-messbar. Zeigen Sie, dass $f$ dann auch $\AAA_1$-messbar ist und es gilt:
\[
 \int f\, d\mu_1 = \int f\; d\mu_2.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 19.} Sei $f\colon\R\to\R$ monoton wachsend. Zeigen Sie, dass $f$ (Borel-) messbar ist.
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 20.} Sei $(X,\AAA,\mu)$ ein Ma\ss raum und $g\colon X\to[0,\infty]$ messbar.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass durch $\nu\colon\AAA\to[0,\infty]$,
\[
 \nu(A)=\int_A g\, d\mu
\]
(vgl.\ Aufgabe~17) ein Ma\ss\ auf $(X,\AAA)$ gegeben wird. (Dieses wird {\sl das mit $g$ gewichtete Ma\ss\ $\mu$}
genannt und manchmal (wegen Teil (b)) auch mit $d\nu=g\cdot d\mu$ bezeichnet.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei $f\colon X\to[0,\infty]$ messbar. Zeigen Sie:
\[
 \int f\, d\nu = \int f\cdot g\, d\mu.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
