\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\AA}{\mathfrak A}
\newcommand{\BB}{\mathfrak B}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.12.2020}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 06}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 21.} Seien $(X,\AA)$ und $(Y,\BB)$ Messr"aume und $\Phi\colon X\to Y$ messbar. Sei weiter $\mu$
ein Ma\ss\ auf $(X,\AA)$. Dann definieren wir $\nu\colon\BB\to[0,\infty]$ durch $\nu(B)=\mu(\Phi^{-1}(B))$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass $\nu$ ein Ma\ss\ auf $(Y,\BB)$ ist. (Wir nennen $\nu$ {\sl das Bildma\ss\ von $\mu$
unter $\Phi$} und notieren es so: $\nu=:\Phi_*\mu$.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei nun $g\colon Y\to[0,\infty]$ messbar. Zeigen Sie, dass dann auch $f:=g\circ\Phi\colon X\to[0,\infty]$ messbar
ist und f"ur alle $B\in\BB$ gilt (vgl.\ Aufgabe~17):
\[
 \int_Bg\, d\nu = \int_{\Phi^{-1}(B)}f\, d\mu.
 \]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 22.} Sei $(X,\AA,\mu)$ ein Ma\ss raum und $\hat\AA$ die bzgl.\ $\mu$ vervollst"andigte $\sigma$-Algebra
von $\AA$ (siehe Aufgabe~07).
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Sei $g\colon X\to\overline\R$ $\AA$-messbar und $f\colon X\to\overline\R$ eine Funktion mit $f=g$ $\mu$-fast-"uberall.
Zeigen Sie, dass $f$ dann $\hat\AA$-messbar ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei nun $f\colon X\to\overline\R$ $\hat\AA$-messbar. Zeigen Sie, dass es dann $\AA$-messbare Funktionen
$g_1,g_2\colon X\to\overline\R$ gibt mit $g_1=g_2$ $\mu$-fast-\"uberall und $g_1\leq f\leq g_2$. (Hinweis: Zeigen Sie
das zun\"achst f"ur $\hat\AA$-messbare Treppenfunktionen.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 23.} Sei $X$ ein Ma\ss raum, $I\sub\R$ ein offenes Intervall und $f\colon X\times I\to\R$ eine Funktion,
so dass folgendes gilt:
\vspace{-.4cm}

\begin{enumerate}
 \item[(i)] F\"ur jedes $s\in I$ ist die Funktion $f(\cdot,s)\colon X\to\R$, $x\mapsto f(x,s)$, integrierbar;
 \item[(ii)] f"ur jedes $y\in X$ ist die Funktion $f(y,\cdot)\colon I\to\R$, $t\mapsto f(y,t)$, differenzierbar.
\end{enumerate}
\vspace{-.3cm}

Zudem existiere eine integrierbare Funktion $g\colon X\to[0,\infty]$, so dass f"ur alle $x\in X$ und $t\in I$ gilt:
$|\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)|\leq g(x)$. Zeigen Sie: Dann ist
\vspace{-.4cm}

\begin{enumerate}
 \item[(a)] die Funktion $\frac{\partial f}{\partial t}(\cdot,t)\colon X\to\R$, $x\mapsto\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)$,
 f"ur jedes $t\in I$ integrierbar (also insbesondere messbar),
 \item[(b)] die Funktion $h\colon I\to\R$, $t\mapsto\int f(\cdot,t)\, d\mu$, differenzierbar,
\end{enumerate}
\vspace{-.3cm}

und es gilt f"ur alle $t\in I$:
\[
 \frac{d}{dt}\int f(\cdot,t)\, d\mu = \int\frac{\partial f}{\partial t}(\cdot,t)\, d\mu.
\]
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 24.} Sei $f\colon[0,\infty)\to\R$ eine Funktion, so dass f"ur alle $n\in\N$ die Einschr"ankung
$f|[0,n]$ Riemann-integrierbar ist. 
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass $f$ Lebesgue-messbar ist. (Hinweis: Bitte verwenden Sie die 
(unbewiesene) Bemerkung aus der Vorlesung, dass (f"ur alle $n\in\N$) $f|[0,n]$ Lebesgue-messbar ist.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie nun: Ist $f\geq 0$, so ist $f$ genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn das uneigentliche Riemann-Integral
$\int_0^\infty f(x)\, dx=\lim_{n\to\infty}\int_0^nf(x)\, dx$ existiert und dann gilt:
\[
 \int_{[0,\infty)}f\; d\lambda = \int_0^\infty f(x)\, dx.
\] 
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
