\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\LL}{\mathfrak L}
\newcommand{\NN}{\mathfrak N}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.20xx}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 07}}
}}
\vspace{1cm}
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\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 25.} Sei $I\sub\R$ ein offenes Intervall und $f\colon I\to\R$ zweimal differenzierbar. Zeigen Sie:
\vspace{-.7cm}

{\bf (a)} Ist $f^{\prime\prime}(x)\leq 0$, f"ur alle $x\in I$, so ist $f$ konkav.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Ist $f$ konkav, so ist $f^{\prime\prime}(x)\leq 0$, f"ur alle $x\in I$.
\vspace{-.2cm}

(Hinweis: Zu (a): Ist $x_1<x_2$ und $x=(1-\lambda)x_1 +\lambda x_2$ mit $\lambda\in(0,1)$, so wende man den Mittelwertsatz auf
$f|[x_1,x]$ und $f|[x,x_2]$ an. Zu (b): Sei $f^{\prime\prime}(x_0)>0$ (f"ur ein $x_0\in I$). Betrachten Sie dann die Hilfsfunktion
$I\to\R$, $x\mapsto f(x)-f^\prime(x_0)(x-x_0)$.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 26.} Wir betrachten die Funktion $f\colon[0,\infty)\to\R$, die durch
\[
 f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\sin x}{x} & \mbox{f"ur $x>0$} \\ 1 & \mbox{f"ur $x=0$}\end{array}\right. 
\]
gegeben ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Sei $g\colon[1,\infty)\to[0,\infty)$ uneigentlich Riemann-integrierbar und $h\colon[1,\infty)\to\R$ eine Funktion mit $|h|\leq g$
und so, dass $h|[1,a]$ f"ur alle $a\in(1,\infty)$ Riemann-integrierbar ist. Zeigen Sie, dass $h$ dann auch uneigentlich Riemann-integrierbar
ist. (Hinweis: Aufgabe~24 und der Satz von Lebesgue)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie nun mit Hilfe von Teil (a), dass $f$ uneigentlich Riemann-integrierbar ist. (Hinweis: Machen Sie, bevor Sie (a) anwenden,
noch eine partielle Integration.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (c)} Zeigen Sie schlie\ss lich, dass $f$ nicht Lebesgue-integrierbar ist. (Hinweis: Integrieren Sie $|f|$ jeweils von $k\pi$ bis
$(k+1)\pi$ (f"ur $k\in\N$) und sch"atzen Sie dann $\int|f|\, d\lambda$ nach unten durch die harmonische Reihe ab.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 27.} Sei  $X=\N$, $\alpha=(\alpha_n)_{n\in\N}$ eine reelle Folge nicht-negativer Zahlen und $\mu_\alpha\colon
\PP(\N)\to[0,\infty]$ das Ma\ss\ auf der vollen Potenzalgebra von $X$, welches $\mu_\alpha(\{n\})=\alpha_n$ (f"ur alle $n\in\N$)
erf"ullt (siehe Aufgabe~02).
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass jede Funktion $f\colon\N\to\R$ (also eine reelle Zahlenfolge $(x_n)$, wenn $x_n=f(n)$ notiert wird) messbar ist
und f"ur nicht negatives $f=(x_n)$ (also $x_n\geq 0$ f"ur alle $n\in\N$) gilt:
\[
 \int f\, d\mu_\alpha = \sum_{n=1}^\infty\alpha_nx_n.
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (b)} Sei nun $\alpha_n=\frac{1}{n^3}$, f"ur alle $n\in\N$. Zeigen Sie, dass $f=(x_n)$ mit $x_n=n$ zwar $\mu_\alpha$-integrierbar
ist, aber $f^2=(x_n^2)$ nicht $\mu_\alpha$-integrierbar ist. 
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 28.} Sei $(X,\mu)$ ein Ma\ss raum. Eine messbare Funktion $f\colon X\to\R$ hei\ss t {\sl wesentlich beschr"ankt},
wenn es ein $c>0$ gibt, so dass $\{x\in X:$ $|f(x)|>c\} =:\{|f|>c\}$ eine Nullmenge ist. Man setzt dann
\[
 \|f\|_\infty:=\inf\{c\geq 0:\; \mu(\{|f|>c\})=0\}\in[0,\infty).
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (a)} Sei $\LL^\infty(\mu)$ die Menge aller wesentlich beschr"ankten Funktionen auf $X$. Zeigen Sie, dass $\LL^\infty(\mu)$
eine Untervektorraum aller (messbaren) Funktionen auf $X$ ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei $\NN(\mu)$ der Unterraum aller messbaren Funktionen, die fast-"uberall gleich Null sind. Dann ist $\NN(\mu)\sub\LL^\infty(\mu)$
und man setzt $L^\infty(\mu):=\LL^\infty(\mu)/\NN(\mu)$. Zeigen Sie, dass $\|\cdot\|\colon L^\infty(\mu)\to[0,\infty)$, $[f]\mapsto\|f\|_\infty$
wohldefiniert und eine Norm auf $L^\infty(\mu)$ ist. (Hinweis: Zeigen Sie zun"achst, dass $\{|f|>\|f\|_\infty\}$ eine Nullmenge ist.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
