\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
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 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.20xx}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 08}}
}}
\vspace{1cm}
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\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 29.} Sei $X$ ein Ma\ss raum.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Sei $f\in\LL^1(X)$ und $g\in\LL^\infty(X)$ (vgl.\ Aufgabe~28). Zeigen Sie, dass dann $f\cdot g\in\LL^1(X)$ ist
und die H\"olderungleichung auch f"ur die F"alle $p=1$ und $q=\infty$ gilt:
\[
 \|f\cdot g\|_1\leq\|f\|_1\cdot\|g\|_\infty.
\]
\vspace{-.7cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass auch $(L^\infty(X),\|\cdot\|_\infty)$ (vgl.\ Aufgabe~28) vollst\"andig ist. (Hinweis: Vergleichen
Sie auch die \glqq Pfingstaufgabe\grqq\ (Aufgabe~32) aus Analysis-II.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 30.} Sei $(X,\mu)$ ein Ma\ss raum und $1\leq p<q\leq\infty$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Sei $p<r<q$ und $\lambda\in(0,1)$ durch die Bedingung $\frac{1}{r}=(1-\lambda)\frac{1}{q}+\lambda\frac{1}{p}$
gegeben. Zeigen Sie: Ist $f\in\LL^p(X)\cap\LL^q(X)$, so ist $f\in\LL^r(X)$ und es gilt:
\[
 \|f\|_r\leq\|f\|_p^\lambda\cdot\|f\|_q^{1-\lambda}.
\]
(Hinweis: Wenden Sie H\"olders Ungleichung auf geeignete Potenzen von $|f|$ an.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei nun $\mu(X)<\infty$ und $f\in\LL^q(X)$. Zeigen Sie, dass dann $f\in\LL^p(X)$ ist, f"ur alle $1\leq p\leq q$, und es gilt:
\[
 \|f\|_p\leq\mu(X)^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\cdot\|f\|_q.
\]
(Hinweis: Die konstante Funktion $1$ ist jetzt in $\LL^r$, f"ur alle $r\in[1,\infty]$.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
\end{document}
