\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\BB}{\mathfrak B}
\newcommand{\LL}{\mathfrak L}
\newcommand{\PP}{\mathfrak P}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 09}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 31.} Sei $\LL^1$ die Lebesgue-Algebra auf $\R$ und $\LL^2$ die Lebesgue-Algebra auf $\R^2$.
Zeigen Sie:
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} $\LL^1\otimes\LL^1\sub\LL^2$;
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} $\LL^1\otimes\LL^1\ne\LL^2$. (Hinweis: Verwenden Sie ein $C\in\PP(\R)\setminus\LL^1$.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 32.} Sei $\BB\sub\PP(\R)$ die Borelsche $\sigma$-Algebra auf $\R$ und $\lambda$ das Borel-Lebesguesche
Ma\ss\ auf $\BB$. Sei weiter $\mu\colon\PP(\R)\to[0,\infty]$ das Z"ahlma\ss\ auf $\R$. Zeigen Sie, dass
\vspace{-.2cm}

{\bf (i)} die Diagonale $\triangle=\{(x,y)\in\R^2:\; x=y\}$ in $\BB\otimes\PP(\R)$ liegt;
\vspace{-.2cm}

{\bf (ii)} f"ur jedes $x\in \R$ der Schnitt $\triangle_x\in\PP(\R)$ und f"ur jedes $y\in\R$ der Schnitt $\triangle_y\in\BB$
liegt;
\vspace{-.2cm}

{\bf (iii)} die Funktionen $s\colon\R\to[0,\infty]$, $s(x)=\mu(\triangle_x)$, und $t\colon\R\to[0,\infty]$, $t(y)=\lambda(\triangle_y)$,
messbar sind;
\vspace{-.2cm}

{\bf (iv)} aber gilt:
\[
 \int s\, d\lambda \ne \int t\, d\mu.
\]
Wieso widerspricht das nicht dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz f"ur Produktma\ss e?
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
