\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\AA}{\mathfrak A}
\newcommand{\BB}{\mathfrak B}
\newcommand{\PP}{\mathfrak P}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\B}{\mathbb B}
\newcommand{\vol}{\mathrm{vol}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 10}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 33.} Sei $(X,\AA,\mu)$ ein $\sigma$-endlicher Ma\ss raum und $f\colon X\to[0,\infty]$ eine messbare
Funktion. Sei weiter $\lambda$ das Borel-Lebesguesche Ma\ss\ auf der Borel-Algebra $\BB$ von $\R$. Zeigen Sie,
dass der {\sl Subgraph von $f$}, d.i.\ die Teilmenge
\[
 G_f:=\{(x,t)\in X\times\R:\; 0\leq t\leq f(x)\}\sub X\times\R,
\]
in $\AA\otimes\BB\sub\PP(X\times\R)$ ist und bez"uglich des Produktma\ss es $\mu\otimes\lambda$ auf $\AA\otimes\BB$
gilt:
\[
 \int f\, d\mu = \mu\otimes\lambda(G_f).
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 34.} {\bf (a)} Sei $K$ ein Kreiskegel mit einer Grundscheibe vom Radius $r>0$ und H"ohe
$h>0$. Berechnen Sie mit Cavalieries Prinzip das Volumen von $K$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei $f\colon[a,b]\to[0,\infty)$ stetig ($-\infty<a<b<\infty$) und $K\sub[a,b]\times\R^2$ der Rotationsk"orper, der entsteht, wenn
man den Graphen von $f$ um die $x$-Achse rotiert,
\[
 K=\{(x,y,z)\in[a,b]\times\R^2:\; y^2+z^2\leq f(x)^2\}.
\]
Begr"unden Sie, warum $K\sub\R^3$ Borelsch ist und bzgl.\ des Borel-Lebesgueschen Ma\ss es $\lambda$ auf
$\R^3$ gilt:
\[
 \lambda(K)=\pi\int_a^bf(x)^2\, dx.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 35.} Zeigen Sie, dass f"ur das Volumen $V$ eines Torus' $T$ mit Radien $0<r<R$ gilt:
\[
 V=2\pi^2r^2R.
\]
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 36.} {\bf (a)} Sei $K\sub\R^3$ kompakt mit $\stackrel{\circ}{K}\ne\emptyset$. ($\stackrel{\circ}{K}$
bezeichnet hier das Innere von $K$.) Begr"unden Sie, dass $K$ Borelsch ist und f"ur das Lebesguesche Ma\ss\
$\lambda^3(K)=V$ gilt: $0<V<\infty$.
\vspace{-.7cm}

{\bf (b)} {\sl Der Schwerpunkt $S_K=(s_1,s_2,s_3)\in\R^3$ eines K"orpers} $K\sub\R^3$ (d.h.:\ $K$ ist kompakt mit $\stackrel{\circ}{K}\ne\emptyset$)
wird definiert durch ($\vol(K):=\lambda^3(K)$)
\[
 s_i:=\frac{1}{\vol(K)}\int_Kx_i\, dx\quad(i=1,2,3).
\]
Sei nun $S=S_{\B^3_+}=(s_1,s_2,s_3)\in\R^3$ der Schwerpunkt der oberen Halbkugel $\B^3_+=\{x\in\B^3:$ $x_3\geq 0\}$.
\begin{description}
 \item[(i)] Begr"unden Sie mit Hilfe der Transformationsformel f"ur lineare Diffeomorphismen, dass $s_1=s_2=0$ ist.
 \item[(ii)] Berechnen Sie mit Hilfe von Tonellis Satz $s_3$. 
\end{description}
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
