\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 11}}
}}
\vspace{1cm}
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\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 37.} Wir betrachten die Kugelkoordinaten $\Phi\colon G\to\R^3$ mit $G=(0,1)\times(0,\pi)\times(0,2\pi)$
und
\[
 \Phi(r,\theta,\varphi)=(r\sin\theta\cos\varphi,r\sin\theta\sin\varphi,r\cos\theta).
\]
Wir benutzen von Aufgabe~44.b aus Analysis~II, dass $\Phi$ injektiv ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Berechnen Sie die Jacobische $J_\Phi\colon G\to[0,\infty)$, argumentieren Sie m"oglichst sauber mit dem Umkehrsatz,
dass $D=\Phi(G)$ ein Gebiet ist, bestimmen Sie $D$ und begr"unden Sie, warum $\Phi\colon G\to D$ ein Diffeomorphismus 
ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Begr"unden Sie, warum $\B^3\setminus D$ eine Borelsche Nullmenge ist. (Hint: Z.B.\ mit der Transformationsformel
oder auch mit Cavalieri wie in der Musterl"osung-10 von Aufgabe~35.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (c)} Zeigen Sie nun (erneut) mit Hilfe dieser Kugelkoordinaten, dass f"ur das Volumen $V$ der Einheitskugel $\B^3=\{
x\in\R^3:$ $ \|x\|\leq 1\}$ gilt:
\[
 V=\frac{4}{3}\pi.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 38.} Wir betrachten nun die Polarkoordinaten $\phi\colon G\to\R^2$ mit $G=(0,\infty)\times(0,2\pi)$ und
\[
 \Phi(r,\varphi)=(r\cos\varphi,r\sin\varphi).
\]
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Berechnen Sie die Jacobische $J_\Phi$ von $\Phi$, das Bild $D\sub\R^2$ von $\Phi$ und begr"unden
Sie, warum $\Phi\colon G\to D$ ein Diffeomorphismus ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Berechnen Sie mit Hilfe von Polarkoordinaten die Integrale
\[
 \int_{\B^2}e^{\sqrt{x^2+y^2}}\, dxdy,\quad\int_{\R^2}e^{-x^2-y^2}\, dxdy,
\]
und zeigen Sie mit Hilfe des 2.\ Integrals (erneut):
\[
 \int_\R e^{-x^2}\, dx=\sqrt\pi.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 39.} {\bf (a)} Sei $\lambda$ das Borel-Lebesguesche Ma\ss\ auf $\R^n$ ($n\in\N$), $Q\sub\R^n$ ein 
(achsenparalleler) Quader und sei $\eps >0$. Zeigen Sie, dass es ein $r\in\N$ und (achsenparallele) W"urfel 
$W_1,\ldots,W_r\sub\R^n$ gibt mit $Q\sub W_1\cup\cdots\cup W_r$ und
\[
 \sum_{j=1}^r\lambda(W_j)<\lambda(Q)+\eps.
\]
(Hinweis: Pr"ufen Sie das zun"achst f"ur Quader mit rationalen Eckpunkten und approximieren Sie dann
$Q$ mit solchen von au\ss en.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie nun, dass man das "au\ss ere Lebesgue-Ma\ss\ $\lambda^*$ auf $\R^n$ auch mit W"urfel"uberdeckungen
an Stelle von Quader"uberdeckungen definieren k"onnte, d.h.: f"ur alle $A\sub\R^n$ ist
\[
 \lambda^*(A)=\inf\{\sum_{j\in\N}\lambda(W_j)\in[0,\infty]:\; \mbox{$(W_j)_{j\in\N}$ ist eine W"urfel"uberdeckung von $A$}\}.
\]
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 40.} {\bf (a)} Sei $N\sub\R^n$ eine Nullmenge (bzgl.\ des "au\ss eren Lebesgue-Ma\ss es auf $\R^n$) und
$\eps>0$. Zeigen Sie, dass es eine Kugel"uberdeckung $(B_k)_{k\in\N}$ von $N$ gibt mit $\sum_{k\in\N}\lambda(B_k)
<\eps$.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass man das "au\ss ere Lebesgue-Ma\ss\ auf $\R^n$ auch mit Kugel"uberdeckungen bekommt: F"ur
alle $A\sub\R^n$ ist
\[
 \lambda^*(A)=\inf\{\sum_{j\in\N}\lambda(B_j)\in[0,\infty]:\; \mbox{$(B_j)_{j\in\N}$ ist eine Kugel"uberdeckung von $A$}\}. 
\]
(Hinweis: Benutzen Sie das (noch unbewiesene) Lemma aus der Vorlesung, dass man einen Quader $Q$ zu einem 
gegebenen $\eps>0$ so mit einer Kugel"uberdeckung $(B_k)_{k\in\N}$ von $Q$ versehen kann, dass $\sum_k\lambda(B_k)<\lambda(Q)+\eps$ 
ist.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
