\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.2021}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 12}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 41.} Sei $\lambda$ das Borel-Lebesguesche Ma\ss\ auf $\R^n$ ($n\in\N$). 
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Seien $f,g\in\LL^1(\lambda)$. Zeigen Sie, dass $\varphi\colon\R^n\times\R^n\to\R$, $(x,t)\mapsto f(t)g(x-t)$, 
messbar und bzgl.\ $\lambda\otimes\lambda$ integrierbar ist und damit nach Fubinis Satz $f\ast g\colon\R^n\to\R$,
\[
 (f\ast g)(x)=\int f(t)g(x-t)\, d\lambda(t),
\]
$\lambda$-fast "uberall definiert ist. Wir setzen $(f\ast g)(x)=0$ f"ur die $x\in\R^n$, wo diese Vorschrift nicht definiert ist,
und nennen $f\ast g$ {\sl die Faltung von $f$ und $g$}. Begr"unden Sie, warum $f\ast g$ messbar ist und
\[
 \|f\ast g\|_1\leq\|f\|_1\cdot\|g\|_1
\]
gilt (und damit also $f\ast g\in\LL^1(\lambda)$ ist).
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass
\[
 \ast\colon L^1(\lambda)\times L^1(\lambda)\to L^1(\lambda),\; ([f],[g])\mapsto[f\ast g]
\]
wohldefiniert, $\R$-bilinear, assoziativ und kommutativ ist.
\vspace{-.2cm}

(Hinweis: Benutzen Sie Translationsinvarianz von $\lambda$ und Tonellis Satz.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

F"ur die folgenden drei Aufgaben benutzen wir folgenden Satz aus der Funktionalanalysis:
\vspace{-.2cm}

{\bf Satz} (von Stone-Weierstra\ss). Sei $(K,d)$ ein kompakter metrischer Raum und $(\CC(K,\R),\|\cdot\|_\infty)$
die Banach-Algebra der stetigen Funktionen auf $K$ (siehe auch Aufgabe~35.b, Analysis-II). Sei weiter $A\sub\CC(K,\R)$
eine Unteralgebra, so dass
\begin{itemize}
 \item f"ur jedes $x\in K$ ein $f\in A$ mit $f(x)\ne 0$ existiert und
 \item f"ur jedes Paar $(x,y)\in K\times K$ mit $x\ne y$ ein $g\in A$ existiert mit $g(x)\ne g(y)$.
\end{itemize}
Dann liegt $A$ dicht in $\CC(K,\R)$.
\medskip

{\bf Aufgabe 42.} Sei $K\sub\R^n$ kompakt und $f\colon K\to\R^m$ stetig ($m,n\in\N$). Zeigen Sie, dass es eine Folge
$(P_k)$ stetig differenzierbarer Funktionen $P_k\colon K\to\R^m$ ($k\in\N$) gibt, die gleichm"a\ss ig gegen $f$ konvergiert.
(Hinweis: Versuchen Sie es mit polynomialen Abbildungen.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 43.} Sei $F\colon\S^{n-1}\to\R^n$ ein stetiges Vektorfeld ($n\in\N$).
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} Zeigen Sie, dass es eine Folge $(Q_k)$ stetig differenzierbarer Vektorfelder auf $\S^{n-1}$ gibt, die gleichm"a\ss ig
gegen $F$ konvergiert.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} (Igelsatz) Sei nun $n$ ungerade. Zeigen Sie, dass $F$ eine Nullstelle hat.
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 44.} {\bf (a)} (Brouwers Fixpunktsatz) Sei $f\colon\B^n\to\B^n$ stetig ($n\in\N$).   Zeigen Sie, dass $f$ einen Fixpunkt hat.
(Hinweis: Approximieren Sie $f$ mit stetig differenzierbaren Abbildungen $g_k\colon\B^n\to\R^n$ und skalieren Sie geschickt
um, so dass $g_k(\B^n)\sub\B^n$ ist.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} (Retraktionssatz) Sei $n\in\N$. Zeigen Sie, dass es keine Retraktion $r\colon\B^n\to\S^{n-1}$ (also
$r$ stetig mit $r\circ i=\id$, wo $i\colon\S^{n-1}\hookrightarrow\B^n$ die Inklusion ist) gibt. (Hinweis: Bauen Sie aus einer
angenommenen Retraktion $r$ ein fixpunktfreies $f\colon\B^n\to\B^n$.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
