\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.20xx}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 13}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 45.} Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $s\in[0,\infty)$. F"ur jedes $\delta>0$ und jede Teilmenge
$A\sub X$ setzen wir
\begin{eqnarray*}
 \HH^s_\delta(A) & := & \inf\{\sum_{k\in\N}\diam(C_k)^s\in[0,\infty]:\; \mbox{$(C_k)_k$ ist eine "Uberdeckung von $A$} \\
  & & \mbox{mit $\diam(C_k)<\delta$, $\forall k\in\N$}\}.
\end{eqnarray*}
($\diam(C)=\sup\{d(x,y)\in[0,\infty):$ $x,y\in C\}\in[0,\infty]$ bezeichnet hier {\sl den Durchmesser von $\emptyset\ne C\sub X$},
$\diam(\emptyset)^s:=0\; \forall s\geq 0$.) Schlie\ss lich sei
\[
 \HH^s(A)=\sup_{\delta>0}\HH^s_\delta(A)\in[0,\infty].
 \]
 Zeigen Sie, dass $\HH^s$ ein "au\ss eres Ma\ss\ auf $X$ ist. (Man nennt $\HH^s$ (bis auf einen Faktor) {\sl das $s$-dimensionale
 "au\ss ere Hausdorff-Ma\ss\ auf $X$}.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 46.} Sei $X$ ein metrischer Raum. F"ur jede Teilmenge $A\sub X$ defniert man {\sl die Hausdorff-Dimension von $A$}
durch
\[
 \dim_\HH(A):=\inf\{s\in[0,\infty):\; \HH^s(A)=0\}\in[0,\infty].
\]
Zeigen Sie f"ur $0\leq s<t$:
\vspace{-.2cm}
 
{\bf (i)} $\HH^s(A)<\infty \Rightarrow \HH^t(A)=0$
\vspace{-.2cm}

{\bf (ii)} $\HH^t(A)>0 \Rightarrow \HH^s(A)=\infty$
\vspace{-.2cm}

Folgern Sie daraus, dass f"ur $A$ (mit unendlich-vielen Elementen) auch gilt:
\[
 \dim_\HH(A)=\sup\{s\in[0,\infty):\; \HH^s(A)=\infty\}.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 47.} Sei $C\sub\R$ die Cantormenge (siehe Aufgabe~11) und $s:=\ln 2/\ln 3$. Zeigen Sie mit folgender Anleitung, dass
$\dim_\HH(C)=s$ ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (i)} $\HH^s(C)\leq 1$
\vspace{-.2cm}

{\bf (ii)} Sei $\delta<\frac{1}{3}$ und $(J_i)_{i=1,\ldots,m}$ eine endliche "Uberdeckung von $C$ aus offenen Intervallen mit $\diam(J_i)<\delta$,
f"ur alle $i=1,\ldots,m$. Dann gilt
\[
 \frac{1}{2}\leq\sum_{i=1}^m\diam(J_i)^s
\]
\vspace{-.5cm}

{\bf (iii)} $\frac{1}{2}\leq\HH^s(C)$
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
 
 F"ur die folgende Aufgabe betrachten wir komplex-wertige, messbare Funktionen $f\colon\R^n\to\C$, d.h.: Urbilder von offenen Mengen sind
 (Borel-) messbar. $f$ hei\ss t dann {\sl integrierbar}, wenn
 \[
  \|f\|_1=\int_{\R^n}|f(x)|\, dx<\infty
 \]
 ist. In diesem Fall sind $\Re(f),\Im(f)\colon\R^n\to\R$ integrierbar und man setzt
 \[
  \int_{\R^n}f(x)\, dx:=\int_{\R^n}\Re(f)(x)\, dx +i\int_{\R^n}\Im(f)(x)\, dx.
 \]
 Wir schreiben $\LL^1(\R^n):=\{f\colon\R^n\to\C:$ $f$ integrabel$\}$.
 \smallskip
  
{\bf Aufgabe 48} Fourier-Transformation).  
{\bf (a)} Sei $f\in\LL^1(\R^n)$. Begr"unden Sie, dass f"ur jedes $\xi\in\R^n$, $\R^n\to\C$, $x\mapsto f(x)\exp(-i\langle \xi,x\rangle)$ (mit $\langle\cdot,\cdot\rangle$
dem kanonischen Skalarprodukt auf $\R^n$) integrierbar ist. Man setzt daher $\hat f\colon\R^n\to\C$,
\[
 \hat f(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\R^n}f(x)e^{-i\langle \xi,x\rangle}\, dx
\]
und nennt dies {\sl die Fourier-Transformierte von $f$}. Begr"unden Sie, dass $\hat f$ stetig und beschr"ankt ist mit
\[
 \|\hat f\|_\infty\leq\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\|f\|_1.
 \]
\vspace{-.4cm}

{\bf (b)} Seien $f,g\in\LL^1(\R^n)$. Zeigen Sie:
\[
 (f\ast g)\hat{}=(2\pi)^{n/2}\hat f\cdot\hat g.
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (c)} Seien $f,g\in\LL^1(\R^n)$. Zeigen Sie, dass $\hat fg$ und $f\hat g$ integrierbar sind und es gilt:
\[
 \int_{\R^n}\hat f(x)g(x)\, dx=\int_{\R^n}f(x)\hat g(x)\, dx.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
