\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.20xx}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 14}}
}}
\vspace{1cm}
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\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 49.} {\bf (a)} Sei $f\colon[a,b]\to\R_+$, $y=f(x)$, stetig differenzierbar und $M\sub\R^3$ der Rotatiosk"orper,
der entsteht, wenn man den Graphen von $f$ um die $x$-Achse rotieren l"asst,
\[
 M=\{(x,y,z)\in\R^3:\; y^2+z^2=f(x)^2\}.
\]
Begr"unden Sie, dass $M\sub\R^3$ Borelsch und ihr Fl"acheninhalt gegeben ist durch
\[
 \HH^2(M)=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f^\prime(x)^2}\, dx.
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (b)} Sei $K\sub\R^3$ ein Kreiskegel mit einem Grundfl"achenradius $r>0$ und einer Mantellinienl"ange $s>0$.
Zeigen Sie dass der Oberfl"acheninhalt von $K$ (ohne Grundfl"ache) gegeben ist durch
\[
 \HH^2(K)=\pi rs.
\]

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 50.}  {\bf (a)} Sei $G\sub\R^n$ eine Gebiet ($n\in\N$) und $f\colon G\to\R$ stetig differenzierbar.
Sei weiter $B\sub G$ Borelsch und $\Gamma\sub\R^n\times\R$ der Graph von $f|B$,
\[
 \Gamma=\{(x,y)\in B\times\R:\; y=f(x)\}.
\]
Begr"unden Sie, warum auch $\Gamma\sub\R^{n+1}$ Borelsch ist und f"ur seinen $n$-dimensionalen Fl"acheninhalt
gilt:
\[
 \HH^n(\Gamma)=\int_B\sqrt{1+\|\grad(f)(x)\|^2}\, dx.
\]
(Hinweis: F"ur Matrizen $A,B\in\Mat(n,s)$ (mit $1\leq s\leq n$) gilt:
\[
 \det(A^T\cdot B)=\sum_{i_1<\cdots<i_s}\det(A_{i_1\ldots i_s})\det(B_{i_1\ldots i_s}),
\]
wo $A_{i_1\ldots i_s}$ die $s\times s$-Matrix ist, die aus den Zeilen $i_1,\ldots,i_s$ von $A$ besteht.)
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Sei $M\sub\R^3$ {\sl das hyperbolische Paraboloid},
\[
 M=\{(x,y,z)\in\R^3:\; z=x^2-y^2\},
\]
und $R>0$. Berechnen Sie den Fl"acheninhalt von $M\cap(B^2_R(0)\times\R)$, wo $B^2_R(0)\sub\R^2$ die Kreisscheibe
vom Radius $R$ mit Mittelpunkt $0$ in $\R^2$ bezeichnet.
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 51.} {\bf (a)} Sei $n\in\N$ und $\psi\colon\S^{n-1}\setminus\{N\}\to\R^{n-1}$ ($N=(0,\ldots,0,1)\in\S^{n-1}$ {\sl der Nordpol})
die so genannte {\sl stereographische Projektion}, d.h.: Die Gerade, die durch $N$ und $x\in\S^{n-1}\setminus\{N\}$
geht, schneidet die Hyperebne $E=\{x\in\R^n:$ $x_n=-1\}$ im Punkt $(\psi(x),-1)$. Begr"unden Sie, dass $\psi$ bijektiv 
und $\varphi:=\psi^{-1}\colon\R^{n-1}\to\S^{n-1}\setminus\{N\}\sub\R^n$ eine regul"are Parametrisierung ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} (Zwiebelsatz) Sei $f\colon\R^n\to[0,\infty]$ messbar und $S^{n-1}(r)=\{x\in\R^n:$ $\|x\|=r\}$ f"ur $r>0$. Zeigen
Sie, dass dann gilt:
\[
 \int_{\R^n}f(x)\, dx = \int_{\R_+}(\int_{S^{n-1}(r)}f(x)\, d\HH^{n-1}(x))\, dr.
\]
(Hinweis: Zeigen Sie, dass mit (dem Inversen) der stereographischen Projektion $\varphi\colon\R^{n-1}\to\S^{n-1}\setminus\{N\}$
die Abbildung $\Phi\colon\R_+\times\R^{n-1}\to\R^n$, $(r,x)\mapsto r\varphi(x)$, ein Diffeomorphismus auf sein Bild ist, und verwenden
Sie, dann Transformations- und Fl"achenformel sowie Tonelli.)
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 52.} {\bf (a)} Wir wissen schon, dass das Volumen der Kugel $B^3(r)\sub\R^3$ gerade $V(r)=\frac{4}{3}\pi r^3$ 
und der Oberfl"acheninhalt von $S^2(r)\sub\R^3$ gerade $A(r)=4\pi r^2$ ist ($r\in\R_+$). K"onnen Sie mit Hilfe von Aufgabe~51
erkl"aren, dass nicht zuf"allig gilt:
\[
 A(r)=V^\prime(r) 
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (b)} Sei $\omega_n=\lambda(\B^n)$ und $\tau_{n-1}=\HH^{n-1}(\S^{n-1})$ (f"ur $n\in\N$). Zeigen Sie:
\[
 \tau_{n-1}=n\omega_n.
\]   
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
