\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\HH}{\mathcal H}
\renewcommand{\O}{\mathrm O}
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\newcommand{\Sym}{\mathrm{Sym}}
\newcommand{\1}{\mathbf 1}
\newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.20xx}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 15}}
}}
\vspace{1cm}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 53.} {\bf (a)} Sei
\[
 M=\{(x,y,z)\in\R^3:\; x^2-y^2-z^2=1\}
\]
{\sl das $2$-schalige Hyperboloid}. Zeigen Sie, dass $M$ eine $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\R^3$
ist.
\vspace{-.2cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie, dass der Kegel
\[
 K=\{(x,y,z)\in\R^3:\; x^2+y^2-z^2=0\}
\]
keine $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\R^3$ ist. (Hinweis: "Uberlegen Sie, warum eine $2$-dimensionale
Untermannigfaltigkeit von $\R^3$ lokal wegzusammenh"angend ist.)
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 54.} {\bf (a)} Wir betrachten f"ur jedes $n\in\N$ {\sl die orthogonale Gruppe}
\[
 \O(n)=\{A\in\Mat_n\R:\; A^TA=\1_n\}\sub\Mat_n\R=\R^{n^2}.
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (a)} Sei $F\colon\Mat_n\R\to\Sym_n\R$, $A\mapsto A^TA-\1$, wo $\Sym_n\R$ den Unterraum aller symmetrischen Matrizen in $\Mat_n\R$
bezeichnet. Begr"unden Sie, warum $F$ stetig differenzierbar ist und zeigen Sie dann, dass das Differential $DF_A\colon\Mat_n\R\to\Sym_n\R$
von $F$ in $A\in\Mat_n\R$ gegeben ist durch
\[
 DF_A(B)=A^TB+B^TA.
\]

{\bf L\"osung.}
 \medskip
 
 {\bf Aufgabe 55.} Seien $a,b,c\in\R_+$. Zeigen Sie, dass {\sl das Ellipsoid}
\[
 E=\{(x,y,z)\in\R^3:\; \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1\}
\]
ein Kompaktum mit glattem Rand in $\R^3$ ist und berechnen Sie das "au\ss ere Einheitsnormalenfeld $\nu\colon\partial E\to\R^3$ von $E$. 
 \smallskip

{\bf L\"osung.}  
 \medskip
  
{\bf Aufgabe 56.} Sei $K\sub\R^n$ ein Kompaktum mit glattem Rand in $\R^n$ und $\nu\colon\partial K\to\R^n$ ihr
"au\ss eres Einheitsnormalenfeld. F"ur eine stetig differenzierbare Funktion $f\colon K\to\R$, $f\in\CC^1(K)$, defniert man {\sl die
Normalenableitung von $f$ in $x\in\partial K$} durch
\[
 D_\nu f(x):=\langle\grad(f)(x),\nu(x)\rangle.
\]
Zeigen Sie:
\vspace{-.2cm}

{\bf (a)} ($1$.\ Greensche Formel) Ist $f\in\CC^1(K)$ und $g\in\CC^2(K)$, so gilt:
\[
 \int_K\langle\grad(f),\grad(g)\rangle + f\triangle g)\, d\lambda = \int_{\partial K}fD_\nu g\, d\HH^{n-1}
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (b)} ($2$.\ Greensche Formel) Sind $f,g\in\CC^2(K)$, so gilt:
\[
 \int_K(f\triangle g-g\triangle f)\, d\lambda = \int_{\partial K}(fD_\nu g-gD_\nu f)\, d\HH^{n-1}
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}

\end{document}
