\documentclass[12pt]{article}

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\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hier neue Befehle eintragen %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
 \hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Universit\"at T\"ubingen}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Fachbereich Mathematik}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{xx.xx}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WiSe 2020/21}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{xx.xx.20xx}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 16}}
}}
\vspace{1cm}
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\begin{center}{\Large\bf \"Ubungen zur  Integrations- und Ma\ss theorie
}\\[2ex]
\end{center}
\vspace*{1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
{\bf Aufgabe 57.} {\bf (a)} Sei $K\sub\R^n$ ($n\in\N$) ein Kompaktum mit glattem Rand und $\nu\colon\partial K\to\R^n$
ihr "au\ss eres Einheitsnormalenfeld. Zeigen Sie:
\[
 \lambda^n(K)=\frac{1}{n}\int_{\partial K}\langle x,\nu(x)\rangle\, d\HH^{n-1}(x).
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (b)} Zeigen Sie mit Hilfe von (a) erneut (vgl.\ Aufgabe~52.b) f"ur alle $n\in\N$:
\[
 \tau_{n-1}=n\omega_n.
\]
\smallskip

{\bf L\"osung.}
\medskip

{\bf Aufgabe 58.} {\bf (a)} Sei $G\sub\R^n$ ein Gebiet ($n\in\N$) und $X\colon G\to\R^n$ stetig differenzierbar. F"ur jedes
$x\in G$ und $\delta>0$ betrachten wir den Ball $B_\delta(x)=\{y\in\R^n:$ $\|y-x\|\leq\delta\}$, so fern er in $G$ liegt, und sein
"au\ss eres Einheitsnomalenfeld $\nu\colon\partial B_\delta(x)\to\R^n$. Zeigen Sie, dass f"ur alle $x\in G$ gilt:
\[
 \div(X)(x)=\lim_{\delta\to 0}\frac{1}{\omega_n\delta^n}\int_{\partial B_\delta(x)}\langle X,\nu\rangle\, d\HH^{n-1}.
\]
\vspace{-.4cm}

{\bf (b)} In der {\sl Elektrostatik} wird die in einem Gebiet $G\sub\R^3$ vorhandene {\sl Ladung} $Q$ durch eine
{\sl Ladungsdichte} $\rho\colon G\to\R$ beschrieben, d.h.: In jedem Kompaktum $K\sub G$ befindet sich die
Ladung $Q(K):=\int_K\rho\, d\lambda$. {\sl Das $1$.\ Maxwellsche Gesetz} (in seiner integrierten Form) besagt 
nun, dass sich aufgrund der Ladung $Q$ {\sl ein elektrisches Feld} $E\colon G\to\R^3$ einstellt, so dass f"ur jedes
Kompaktum mit glattem Rand $K\sub G$ gilt: {\sl Der Fluss von $E$ aus $K$ heraus}, d.i.\ {\sl das Flussintegral}
$\int_{\partial K}\langle E,\nu\rangle\, d\HH^{n-1}$, ist gleich der Ladung in $K$,
\[
 Q(K)=\int_{\partial K}\langle E,\nu\rangle\, d\HH^{n-1}
\]
({\sl Ladung als Quelle des elektrischen Feldes}). Zeigen Sie, dass dann (bei stetigem $\rho$ und stetig differenzierbarem
$E$) gilt:
\[
 \div(E)=\rho
\]
(so genannte differentielle Form des $1$.\ Maxwell-Gesetzes) und umgekehrt, dass aus der differentiellen Form
auch das $1$.\ Maxwell-Gesetz in seiner integrierten Form folgt.
\smallskip

{\bf L\"osung.}
 
\end{document}
