Zur Modelltheorie der CA-Gruppen

Dissertation der Mathematischen Fakultät

der Eberhard-Karls-Universität Tübingen zur Erlangung des Grades eines Doktors

der Naturwissenschaften

vorgelegt von Andreas Ecker aus Ravensburg

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

I Allgemeines über CA-Gruppen 6

1 Grundlegende Eigenschaften 6 2 Beispiele und Konstruktionen 10 3 Normalteiler von CA-Gruppen 13 4 Endliche CA-Gruppen 17

II Existenziell abgeschlossene CA-Gruppen 22

5 Amalgamierungssätze für CA-Gruppen 22 6 CSA-Gruppen 36

III Lokal-endliche CA-Gruppen 40

7 Der nicht-auflösbare Fall 40 8 Lokal-endliche auflösbare CA-Gruppen 62 9 Charakterisierung von e.c. LEACA-Gruppen 78 10 Isomorphietypen von e.c. LEACA Gruppen 94

IV CA-Gruppen und Stabilität 103

11 Definierbare Ketten in Zentralisatoren 103 12 Unendlich erzeugte freie Gruppen 113 Symbolverzeichnis 119

Einleitung

Eine Gruppe wird CA-Gruppe genannt, wenn die Zentralisatoren aller Elemente ungleich 1 abelsch sind. Daß das eine sehr starke Eigenschaft ist, sieht man schon daran, daß nicht-abelsche CA-Gruppen zentrumsfrei sind. Beispiele für CA-Gruppen sind abelsche Gruppen, freie Gruppen sowie frei-auflösbare Gruppen (siehe [30]) und die linearen Gruppen PSL_{2}(2^{n}).

Endliche CA-Gruppen sind schon seit längerer Zeit vollständig klassifiziert. Den ersten Beitrag dazu lieferte L. Weisner [41]. Er zeigte, daß endliche CA-Gruppen metabelsch oder einfach sind. M. Suzuki [39] zeigte später, daß es keine einfachen endlichen CA-Gruppen von ungerader Ordnung geben kann. Das war ein wichtiger Schritt auf dem Weg zum Satz von Feit-Thompson über die Auflösbarkeit der endlichen Gruppen von ungerader Ordnung und damit auch im Hinblick auf die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. Schon zuvor wurde unabhängig von M. Suzuki und von G.E. Wall bewiesen, daß endliche nicht-abelsche einfache CA-Gruppen gerader Ordnung isomorph zu Gruppen der Form PSL_{2}(2^{n}) sind (siehe [5]).

In diesem Zusammenhang wurde auch die etwas größere aber doch ähnliche Klasse der CN-Gruppen (Zentralisatoren sind nilpotent) betrachtet (siehe [12], [40]). Auch bei der Untersuchung der Gruppen von endlichem Morley-Rang – dieses Programm orientiert sich stark an der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen – wurden CN-Gruppen von M. DeBonis und A. Nesin untersucht ([10], siehe auch [4]). Man erhält hier auch sehr ähnliche Resultate in der Klassifikation wie im endlichen Fall, falls die Gruppe Involutionen enthält.

Eine andere Motivation, sich mit CA-Gruppen zu beschäftigen, liegt darin begründet, daß auch freie Gruppen CA-Gruppen sind. Gerade über die Modelltheorie der freien Gruppen ist relativ wenig bekannt. So ist die von A. Tarski gestellte Frage noch immer offen, ob elementar-äquivalente freie Gruppen endlichen Ranges notwendigerweise isomorph sind. Ebenfalls ungeklärt ist, ob freie Gruppen stabil (im Sinne der Morley-Shelahschen Stabilitätstheorie) sind. Bekannt ist nach P.Gibone [17] nur, daß freie Gruppen nicht superstabil sind. Ein weiteres offenes Problem ist die Frage, ob freie Gruppen definierbar-einfach sind (B. Poizat).

Um sich diesen Problemen besser nähern zu können, kann man versuchen, diese oder entsprechende Fragen in der größeren Modellklasse der CA-Gruppen anzugehen. Innerhalb dieser Klasse sind mehr Konstruktionen möglich als in der Klasse der freien Gruppen. Man kann daher hoffen, dadurch Hinweise auf die Lösung der Probleme zu finden.

Ein Indiz dafür, daß gerade die CA-Eigenschaft für die Theorie der freien Gruppen von großer Bedeutung ist, ist ein von B. Baumslag [3] sowie A.M. Gaglione und D. Spellman [16] bewiesener Satz:

Sei G eine residuell freie Gruppe. Dann sind äquivalent:

(i) G ist voll residuell frei,
(ii) G ist CA-Gruppe,
(iii) G ist Modell der universellen Theorie der nicht-abelschen freien

Gruppen.

Die (universelle) Eigenschaft, eine CA-Gruppe zu sein, ist also modulo residuell freier Gruppen so stark wie die gesamte universelle Theorie der nicht-abelschen freien Gruppen.

Ein weiterer Aspekt in der modelltheoretischen Betrachtung von CA-Gruppen ist der folgende: Nach J. Baldwin sind stabile Gruppen M_{C}-Gruppen, das heißt, absteigende Ketten von Zentralisatoren sind endlich. Offensichtlich sind CA-Gruppen M_{C}-Gruppen. Bei CA-Gruppen benötigt man also andere Methoden, um über die Stabilität entscheiden zu können. Solche Methoden könnten auch Indizien für die Stabilität oder Nicht-Stabilität der freien Gruppen liefern.

In der vorliegenden Arbeit sollen Aspekte aus der Modelltheorie der CA-Gruppen behandelt werden. Ein Schwerpunkt wird dabei auf der der Untersuchung von existenziell abgeschlossenen Gruppen in gewissen Teilklassen von CA-Gruppen liegen. Existenziell abgeschlossene Modelle sind meist besonders homogen und daher leichter zu klassifizieren. Außerdem lassen sich, da wir immer induktive Klassen betrachten werden, alle Gruppen der Teilklasse in eine existenziell abgeschlossene einbetten. In den letzten beiden Kapiteln sollen noch einige stabilitätstheoretischen Fragen über CA-Gruppen angesprochen werden.

Der erste Teil der Arbeit behandelt grundsätzliche Eigenschaften von CA-Grup-pen. Beispiele und Konstruktionsmöglichkeiten für CA-Gruppen sollen helfen, einen Eindruck von der Klasse der CA-Gruppen bekommen zu können. In Kapitel 3 beschäftigen wir uns mit Abschätzungen über die Indizes von Zentralisatoren und deren Normalisatoren in einer CA-Gruppe. Daraus lassen sich Folgerungen über die Kardinalität von Normalteilern ziehen. In Kapitel 4 soll eine Darstellung der Klassifikation der endlichen CA-Gruppen gegeben werden. Dabei wurde versucht, soweit möglich mit elementaren Methoden auszukommen.

Im zweiten Teil der Arbeit beschäftigen wir uns mit existenziell abgeschlossenen CA-Gruppen. Das wichtigste Hilfsmittel zur Klassifizierung existenziell abgeschlossener Gruppen in bestimmten Gruppenklassen sind Amalgamierungssätze. Es zeigt sich jedoch bald, daß die Klasse der CA-Gruppen nicht die Amalgamierungs-Eigenschaft (kurz AP) hat, das heißt, es gibt keinen globalen Amalgamierungssatz. Wir geben dazu zwei explizite Beispiele an, in denen Amalgamierung nicht möglich ist. Das erste Beispiel zeigt außerdem, daß eine Amalgamierung freier Gruppen in der Klasse der CA-Gruppen im allgemeinen nicht zu erreichen ist. In Spezialfällen gibt es jedoch Amalgamierung. Dies ermöglicht es, zumindest gewisse Aussagen über die existenziell abgeschlossenen CA-Gruppen zu machen. In [32] (siehe auch [18]) wurde von A.G. Myasnikov und V.N. Remeslennikov die Klasse der CSA-Gruppen definiert. CSA-Gruppen sind CA-Gruppen, in denen der Normalisator eines Zentralisators genau dieser Zentralisator ist. Da die Struktur der Normalisatoren von Zentralisatoren (zumindest bei endlichen CA-Gruppen) sehr wichtig für die Struktur der gesamten Gruppe ist, und außerdem freie Gruppen CSA-Gruppen sind, kann man sagen, daß CSA-Gruppen in gewissem Sinn eine weitere Annäherung an freie Gruppen sind. Die Klasse der CSA-Gruppen kann wie oben gesehen nicht AP haben. Trotzdem sind in dieser Klasse außer speziellen Amalgamierungen auch bestimmte HNN-Konstruktionen möglich. Damit erhält man über die existenziell abgeschlossenen Modelle in dieser Klasse etwas genauere Aussagen als über die in der Klasse der CA-Gruppen.

Der Schwerpunkt der Arbeit ist der dritte Teil über lokal-endliche CA-Gruppen (kurz LECA-Gruppen). Diese Klasse hat den Vorteil, daß man bei ihrer Untersuchung die bekannten Ergebnisse der Klassifizierung der endlichen CA-Gruppen verwerten kann. Außerdem ist die Klasse induktiv. Allerdings ist lokale Endlichkeit keine Eigenschaft erster Stufe und daher ist die Klasse nicht elementar. Analog zum endlichen Fall machen wir eine Unterscheidung zwischen auflösbarem und nichtauflösbarem Fall. Es zeigt sich, daß nicht-auflösbare LECA-Gruppen isomorph zu einer Gruppe PSL_{2}(K) = SL_{2}(K) für einen lokal-endlichen Körper der Charakteristik 2 sind. Insbesondere gibt es nur eine nicht-auflösbare existenziell abgeschlossene LECA-Gruppe, nämlich die Gruppe PSL_{2}(𝔽̃_{2}) = SL_{2}(𝔽̃_{2}), wo 𝔽̃_{2} der algebraische Abschluß des Körpers mit 2 Elementen ist. P. Kissel zeigte in seiner Dissertation [25], daß die Klasse der Gruppen

{G ≅ SL_{2}K; K vollkommen mit char(K) = 2}

elementar ist. Wir geben darüber hinaus eine endliche Axiomatisierung dieser Klasse an.

Der auflösbare Fall ist dagegen etwas komplizierter. In Kapitel 8 zeigen wir, daß eine auflösbare existenziell abgeschlossene lokal-endliche CA-Gruppe isomorph zu

A ⋊ ⨁_{q∈π′} Z_{q^{∞}}

ist, wo π ≠ ∅ eine Primzahlmenge ist, π′ das Komplement von π in der Menge ℙ aller Primzahlen ist und A existenziell abgeschlossen in der Klasse der abelschen π-Gruppen (ohne Elemente unendlicher Ordnung) ist. Im abzählbaren Fall ist daher

A ≅ ⨁_{p∈π} Z_{p^{∞}}^{(ω)}.

Umgekehrt kann man fragen, ob jede lokal-endliche auflösbare CA-Gruppe (kurz LEACA-Gruppe), die eine solche Darstellung besitzt, eine existenziell abgeschlossene LECA-Gruppe ist. Falls π nicht die Menge aller Primzahlen ist, ist das nicht der Fall. Ausreichend ist aber, wie wir in Kapitel 9 zeigen, daß alle endlichen auflösbaren CA-Gruppe einer bestimmten Bauart (nämlich die vom Typ π) in eine solche Gruppe einbettbar sind. Dabei sagen wir, eine LEACA-Gruppe G sei vom Typ π, falls [G, G] eine π-Gruppe und G/[G, G] eine π′-Gruppe ist.

Die Frage, die sich nun noch stellt, ist, wie viele nicht isomorphe abzählbare existenziell abgeschlossene LEACA-Gruppen (diese sind genau die auflösbaren existenziell abgeschlossenen LECA-Gruppen) vom Typ π für festes π existieren. Es zeigt sich in Kapitel 10, daß für π ≠ ℙ jeweils 2^{ℵ_{0}} Isomorphietypen existieren. Man kann dabei jedoch zwei Phänomene unterscheiden: Falls π′ unendlich ist, gibt es 2^{ℵ_{0}} Typen über der leeren Menge, wovon jeder in einer existenziell abgeschlossenen LEACA-Gruppe realisiert werden kann. Falls π endlich ist, kann man dagegen bestimmte Untergruppen der Basisgruppe als Vektorräume betrachten. Da die Dimension dieser Vektorräume endlich oder unendlich sein kann, erhält man wieder 2^{ℵ_{0}} Isomorphietypen.

Im vierten und letzten Teil sollen noch einmal verschiedene modelltheoretische Aspekte von CA-Gruppen angesprochen werden. Ein Schwerpunkt liegt dabei auf der Frage nach der Stabilität von CA-Gruppen. In Kapitel 11 wollen wir uns dabei mit der Frage beschäftigen, welche Ketten von Untergruppen sich in einer maximalen abelschen Untergruppe mit Hilfe des Normalisators dieser Untergruppe definieren lassen. Kapitel 12 ist den freien Gruppen gewidmet. Wir stützen uns dabei auf eine Arbeit von B. Poizat [33]. Poizat gab dort mit Hilfe generischer Typen einen Beweis dafür, daß unendlich erzeugte freie Gruppen nicht superstabil sind. Wir versuchen, einige dieser Ideen weiterzuentwickeln. Außerdem geben wir einen Beweis dafür, daß frei-metabelsche Gruppen nicht stabil sind.

An dieser Stelle möchte ich mich ganz herzlich bei Herrn Prof. Dr. Felgner bedanken. Er hat mir das Thema für diese Arbeit gestellt und durch zahlreiche Diskussionen und Ratschläge ganz wesentlich zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen. Mein Dank gilt auch Frieder Haug, der mir mit vielen wertvollen Hinweisen immer wieder weiterhalf. Außerdem will ich mich bei Klaus Sperlich bedanken, der mich während der Anfertigung dieser Arbeit nicht nur durch fachliche Ratschläge unterstützt hat.

Teil I

Allgemeines über CA-Gruppen

1 Grundlegende Eigenschaften

In diesem Kapitel sollen einige elementare Eigenschaften von CA-Gruppen zusammengestellt werden. Wir beginnen mit der Definition von CA-Gruppen:

Definition 1.1. Sei G eine Gruppe. G heiße CA-Gruppe, falls für alle 1 ≠ g ∈ G der Zentralisator C_{G}(g) abelsch ist.

Bemerkung. G ist genau dann eine CA-Gruppe, wenn die Relation

g ∼ h ⇔ [g, h] = 1

transitiv auf G − {1} ist. Insbesondere ist diese Relation dann eine Äquivalenzrelation.

[ Sei G CA-Gruppe g, h, k ∈ G alle ungleich 1 und [g, h] = [h, k] = 1.

Dann sind g und k in C_{G}(h) und kommutieren daher. ]

Die CA-Eigenschaft wird daher in der Literatur auch CT (für ”commutation transitive“) genannt. Allerdings werden zum Teil auch Gruppen G so genannt, in denen die Kommutator-Relation auf G−Z(G) transitiv ist (also Zentralisatoren nicht-zentraler Elemente abelsch sind).

Man hat also eine Zerlegung von G − {1} in die Äquivalenzklassen der Kommutator-Relation. Diese sind gleichzeitig die Zentralisatoren von Nicht-Eins-Elementen und maximale abelsche Untergruppen.

Weitere direkte Konsequenzen haben wir in der folgenden Proposition zusammengefaßt:

Proposition 1.2. (i) Zwei verschiedene maximale abelsche Untergruppen einer CA-Gruppe haben trivialen Schnitt.

(ii) Sei {1} ≠ A ≤ B und B maximale abelsche Untergruppe der CA-Gruppe G. Dann ist N_{G}(A) ≤N_{G}(B).

(iii) Sei A ≠ {1} abelscher Normalteiler der CA-Gruppe G. Dann ist die maximale abelsche Untergruppe, die A enthält, ebenfalls normal in G.

(iv) CA-Gruppen sind entweder abelsch oder zentrumsfrei.

(v) Nilpotente Untergruppen von CA-Gruppen sind abelsch. Insbesondere sind Sylow-p-Untergruppen von endlichen CA-Gruppen abelsch.

Beweis. Zu (i): Seien A und B maximale abelsche Untergruppen der CA-Gruppe G und g ∈ A ∩ B. Dann ist A ∪ B ⊆C_{G}(g). Falls g ≠ 1 ist, folgt also, daß A und B Untergruppen der abelschen Gruppe C_{G}(g) sind, was wegen der Maximalität von A und B nur für A = B =C_{G}(g) sein kann.

Zu (ii): Sei g ∈N_{G}(A). Dann ist A ⊆ B ∩ B^{g}. Da B und B^{g} maximale abelsche Untergruppen sind, folgt daraus, daß B = B^{g} sein muß.

Zu (iii): Das folgt direkt aus (ii).

Zu (iv): Für 1 ≠ g ∈Z(G) ist C_{G}(g) = G. Also muß G abelsch sein, wenn Z(G) ≠ {1} ist.

Zu (v): Nilpotente Gruppen haben nicht-triviales Zentrum, also müssen nilpotente CA-Gruppen nach (iv) abelsch sein. Untergruppen von CA-Gruppen sind offensichtlich CA-Gruppen.

Die Fitting-Untergruppe einer CA-Gruppe läßt sich gut charakterisieren:

Satz 1.3. In einer CA-Gruppe G gibt es ein abelsches Radikal, nämlich den eindeutig definierten maximalen abelschen Normalteiler, in dem jeder abelsche Normalteiler enthalten ist. Dieser ist außerdem die Fitting-Untergruppe von G und parameterfrei definierbar über die Formel

ψ(x) ≏ ∀g : [x, x^{g}] = 1.

Beweis. Seien A und B nicht-triviale abelsche Normalteiler von G und 1 ≠ b ∈ B. Außerdem sei a ∈ A. Wir betrachten c := [a, b]. Es ist c = a^{−1}a^{b} = (b^{−1})^{a}b ∈ A ∩ B. Daher ist A ∪ B ⊆C_{G}(c). Wenn c ≠ 1 ist, dann ist also der Zentralisator von c in G nicht abelsch (denn a und b kommutieren nicht), ein Widerspruch. Folglich ist c = 1 und damit b ∈C_{G}(a). Es folgt A ∪ B ⊆C_{G}(a) und N :=C_{G}(a) ist nach 1.2(iii) normal in G. Also ist N der eindeutige maximale abelsche Normalteiler von G.

Setze nun M := {x ∈ G; ∀g ∈ G : [x, x^{g}] = 1}. N sei der maximale abelsche Normalteiler (der auch trivial sein kann). Es ist klar, daß N ⊆ M. Sei umgekehrt x ∈ M. Falls x = 1 ist, ist nichts zu zeigen. Sonst setze A :=C_{G}(x). Für g ∈ G ist dann x^{g} ∈ A ∩ A^{g} ≠ {1}. Daraus folgt (vergleiche 1.2(ii)) A = A^{g}. Das heißt, A ist normal in G (und abelsch) und liegt daher im maximalen abelschen Normalteiler.

Bemerkung. Wir werden im folgenden das abelsche Radikal von G auch als Fitting-Untergruppe F(G) bezeichnen. Eine weitere Charakterisierung des abelschen Radikals ist, daß F(G) in CA-Gruppen mit dem Hirsch-Plotkin-Radikal (maximaler lokal-nilpotenter Normalteiler, siehe [36], p. 343) übereinstimmt. ψ(x) entspricht außerdem der Definition der links-2-Engel-Elemente (vergleiche [36], p. 355).

Die folgende Proposition entspricht [36], 10.5.1(ii). Dort werden Eigenschaften fixpunktfreier Automorphismen behandelt. Man beachte, daß in einer CA-Gruppe G ein Element c ∈ G−F(G) fixpunktfrei auf F(G) wirkt.

Proposition 1.4. Sei G CA-Gruppe, A =F(G). Dann ist für c ∈ G − A der Ho-

momorphismus ϕ_{c} : \begin{matrix}A & ⟶ & A \\ a & ↦ & [c, a] = c^{−1}a^{−1}ca \end{matrix} injektiv.

Beweis. ϕ_{c} ist ein Homomorphismus, denn A ist abelsch und damit ist

ϕ_{c}(a · b) = c^{−1}(ab)^{−1}cab
= (a^{−1})^{c} · (b^{−1})^{c} · a · b
= (a^{−1})^{c} · a · (b^{−1})^{c} · b
= [c, a] · [c, b]  = ϕ_{c}(a) · ϕ_{c}(b).

Falls ϕ_{c}(a) = ϕ_{c}(b) ist, also c^{−1}a^{−1}ca = c^{−1}b^{−1}cb, dann folgt a^{−1}ca = b^{−1}cb, und damit ba^{−1}cab^{−1} = c. Das heißt aber, daß c im Zentralisator von ab^{−1} liegt. Da c nicht in A liegt, muß also ab^{−1} = 1 und damit a = b sein.

Falls A endlich ist, ist die Abbildung aus 1.4 also sogar bijektiv. Es reicht dafür sogar, daß c endliche Ordnung hat und A Torsionsgruppe ist, denn dann ist ⟨A∪{c}⟩ lokal-endlich. Bemerkung. Wie sich noch zeigen wird, hängt die Struktur von CA-Gruppen stark von den Normalisatoren von Zentralisatoren (beziehungsweise maximalen abelschen Untergruppen) ab. Es treten folgende Fälle auf (A sei maximale abelsche Untergruppe der CA-Gruppe G):

(1) N_{G}(A) = G:

Das heißt, A ist normal in G. Es folgt wegen der Maximalität von A, daß A =F(G) ist.

(2) N_{G}(A) = A:

A ist ”Frobeniuskomplement“ von G. Im endlichen Fall folgt, daß G metabelsch ist (siehe Kapitel 4). Bei unendlichen CA-Gruppen ist es möglich, daß alle maximalen abelschen Untergruppen diese Eigenschaft haben, zum Beispiel ist das bei freien Gruppen der Fall. Das führt zur Definition der CSA-Gruppen (siehe 6.1).

(3) A ≨N_{G}(A) ≨ G: Bei endlichen CA-Gruppen tritt diese Konstellation nur für die einfachen Gruppen PSL_{2}(2^{n}) (n > 1) auf. Alle maximalen abelschen Untergruppen haben dort diese Eigenschaft. Die existenziell abgeschlossenen CA-Gruppen haben diese Eigenschaft auch (siehe 5.6).

2 Beispiele und Konstruktionen

Es ist bekannt (wir werden später noch genauer darauf eingehen), daß endliche CA-Gruppen entweder Frobeniusgruppen oder Gruppen vom Typ PSL_{2}(2^{n}) sind. Die volle Klasse der CA-Gruppen läßt sich nicht so einfach klassifizieren. Diese Klasse enthält unter anderem:

1. Gruppen der Form ⟨K, +⟩ ⋊ ⟨K^{∗}, ·⟩, wo ⟨K, +, ·⟩ ein Körper ist.

2. Gruppen vom Typ PSL_{2}(K), wo K ein Körper der Charakteristik 2 ist.

3. Freie Gruppen.

4. Frei auflösbare Gruppen (siehe [30] und [9]).

5. 2-freie Gruppen, das heißt Gruppen, in denen von zwei Elementen erzeugte

Untergruppen frei sind. [ Sei G 2-frei und 1 ≠ g ∈ G, h, k ∈C_{G}(g). Da g und h kommutieren, ist die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe abelsch und damit zyklisch, da sie auch frei ist. Sei x ein erzeugendes Element dieser Untergruppe. Dann gibt es n ∈ ℤ mit x^{n} = g. Betrachtet man die von x und k erzeugte Untergruppe, so muß diese auch zyklisch sein, da [x^{n}, k] = 1 ist. Da h eine Potenz von x ist, folgt [h, k] = 1. ]

6. Voll residuell freie Gruppen (siehe [3] und [16]).

7. Freie Produkte von CA-Gruppen (siehe 5.5 für eine Verallgemeinerung). Wir wollen nun noch einige Möglichkeiten zur Konstruktion von CA-Gruppen geben. Zu diesem Zweck geben wir einen Satz an, der es leichter macht, zu sehen, wann eine Gruppe eine CA-Gruppe ist. Satz 2.1. Sei N Normalteiler von G und es gelte:

(i) N und G/N sind CA-Gruppen. (ii) Für 1 ≠ x ∈ N ist C_{G}(x) ⊆ N.

Dann ist G CA-Gruppe.

Beweis. Zu zeigen ist, daß für 1 ≠ g ∈ G der Zentralisator C_{G}(g) abelsch ist.

1. Fall: g ∈ N: Dann ist C_{G}(g) =C_{N}(g) abelsch, da N CA-Gruppe ist.

2. Fall: g ∈ G − N: Seien h, k ∈C_{G}(g). Da G/N CA-Gruppe ist, ist hk · N = kh · N, also hk = khn für ein n ∈ N. Außerdem sind sowohl hk = khn als auch kh im Zentralisator von g, und damit auch n. Das geht wegen (ii) aber nur für n = 1. Folglich kommutieren h und k und C_{G}(g) ist abelsch.

Definition 2.2. A sei eine Gruppe und H ≤Aut(A). Wir nennen H fixpunktfrei, falls ∀a ∈ A ∀h ∈ H : (a ≠ 1 ∧ h ≠ 1) → h(a) ≠ a.

Bemerkung. In der Literatur werden teilweise auch Automorphismengruppen mit der schwächeren Eigenschaft ∀a ∈ A ∃h ∈ H : a ≠ 1 → h(a) ≠ a als fixpunktfrei bezeichnet.

Korollar 2.3. Sei A eine abelsche Gruppe und H ≤Aut(A), so daß H fixpunktfrei und CA-Gruppe sei. Dann ist das semi-direkte Produkt von A mit H (unter der natürlichen Wirkung von H) eine CA-Gruppe.

Beweis. Die erste Bedingung aus Satz 2.1 ist natürlich erfüllt. Die zweite ist ebenfalls klar, da (für a ≠ 1) ein Element ⟨a, 1⟩ nur mit einem Element ⟨b, h⟩ vertauschen kann, wenn h(a) = 1 ist. Wegen der Fixpunktfreiheit von H folgt, daß h die Identität sein muß.

Bemerkung. Ein entsprechender Satz gilt auch für Erweiterungen beliebiger CA-Gruppen:

Sei G CA-Gruppe und H ≤Aut(G), so daß H CA-Gruppe sei und folgendes gelte:

∀h ∈ H ∀a, b ∈ G : (a ≠ 1 ∧ h ≠ 1) → h(a) ≠ b^{−1} · a · b.

Dann ist G ⋊ H CA-Gruppe.

Korollar 2.4. Sei A abelsch und H torsionsfreie CA-Gruppe. Dann ist das eingeschränkte Kranzprodukt G := A wr H eine CA-Gruppe.

Beweis. Nach Korollar 2.3 reicht es zu zeigen, daß H fixpunktfrei auf A^{(H)} wirkt.

Sei also h ∈ H − {1} und 1 ≠ a ∈ A^{(H)}. Wir schreiben a als a = (a_{g})_{g∈H} (dabei ist der Träger von a, nämlich {g ∈ H; a_{g} ≠ 1} endlich).

Wir wählen nun ein festes g, so daß a_{g} ≠ 1 ist. Wäre nun a ein Fixpunkt unter der Wirkung von h, dann wäre für n ∈ ω auch a_{gh^{n}} ≠ 1. Die Menge {a_{gh^{n}}; n ∈ ω} ist aber unendlich. Somit wäre auch der Träger von a unendlich, was beim eingeschränkten Kranzprodukt nicht sein kann.

Man sieht leicht, daß das Kranzprodukt einer abelschen Gruppe A mit einer zyklischen Gruppe C von Primzahlordnung keine CA-Gruppe ist, denn die “Diagonale” liefert Fixpunkte unter der Wirkung von C. Um doch wieder eine CA-Gruppe zu erhalten, muß die Diagonale herausfaktorisiert werden. Satz 2.5. Sei p eine Primzahl und A eine abelsche Gruppe, so daß A kein Element der Ordnung p besitzt. Außerdem sei C zyklische Gruppe der Ordnung p und c ein erzeugendes Element von C. Dann ist G := A wr C/D eine CA-Gruppe, wo D := {(a_{1}, …, a_{p}) ∈ A^{p}; a_{1} = … = a_{p}}. Beweis. G kann auch beschrieben werden als G := A^{p−1} ⋊ C mit der Wirkung

(a_{1}, 1, …, 1)^{c}  := (1, a_{1}, 1, …, 1)
(1, a_{2}, 1, …, 1)^{c} := (1, 1, a_{2}, 1, …, 1)
…
(1, …, 1, a_{p−2}, 1)^{c} := (1, …, 1, a_{p−2})
(1, …, 1, a_{p−1})^{c} := (a_{p−1}^{−1}, …, a_{p−1}^{−1})

beziehungsweise

(a_{1}, a_{2}, …, a_{p−1})^{c} := (a_{p−1}^{−1}, a_{1} · a_{p−1}^{−1}, …, a_{p−2} · a_{p−1}^{−1}).

Wäre nun (a_{1}, a_{2}, …, a_{p−1}) Fixpunkt unter der Wirkung eines Elementes aus C − {1}, dann auch unter der Wirkung von c, also:

(a_{1}, a_{2}, …, a_{p−1}) = (a_{p−1}^{−1}, a_{1} · a_{p−1}^{−1}, …, a_{p−2} · a_{p−1}^{−1}).

Die Multiplikation der einzelnen Komponenten beider Seiten ergibt

a_{1} · a_{2} · . . . · a_{p−1} = a_{1} · a_{2} . . . · a_{p−2} · a_{p−1}^{−p+1},

also a_{p−1}^{p} = 1. Da A keine Elemente der Ordnung p besitzt, folgt a_{p−1} = 1, also

(a_{1}, a_{2}, …, 1) = (1, a_{1}, …, a_{p−2}),

und damit a_{1} = a_{2} = … = a_{p−2} = 1. Mit 2.3 folgt die Behauptung.

Eine etwas detailliertere Untersuchung der Struktur endlicher auflösbarer CA-Gruppen werden wir später durchführen. Satz 9.5 kann als Verallgemeinerung von 2.5 verstanden werden. Außerdem ist 2.5 ein Spezialfall von 8.6.

3 Normalteiler von CA-Gruppen

Wir wollen nun Untersuchungen über den Normalteilerverband von CA-Gruppen anstellen. Dazu prüfen wir zunächst, wie groß maximale abelsche Untergruppen, beziehungsweise deren Index ist. Im folgenden sei G CA-Gruppe.

Proposition 3.1. Sei A maximale abelsche Untergruppe von G.

Dann ist |N_{G}(A)/A| ≤ |A|.

Beweis. Setze N :=N_{G}(A). Wähle 1 ≠ a ∈ A. Wir definieren eine Abbildung

ϕ_{a} : \begin{matrix}N/A & → & A \\ g · A & ↦ & a^{g}. \end{matrix}

Die Abbidung ist wohldefiniert, da A abelsch ist. Da N/A fixpunktfrei auf A wirkt, ist ϕ_{a} injektiv: Wenn a^{g} = a^{h}, dann a^{gh^{−1}} = a. Also ist gh^{−1} ∈C_{G}(a) = A und damit gA = hA. Damit ist die Behauptung gezeigt.

Bemerkung. Da 1 nicht im Bild der obigen Abbildung ist, gilt sogar |N_{G}(A)/A| ≤ |A−{1}|. Ist G endlich, so haben die nicht-trivialen Bahnen von A unter der Wirkung von N_{G}(A)/A alle die Mächtigkeit |N_{G}(A)/A|. Es folgt, daß

|A| ≡ 1 (mod |N_{G}(A)/A|)

ist.

Proposition 3.2. Sei A abelsche Untergruppe, so daß C_{G}(A) nicht normal in G ist. Dann ist |A| ≤ [G :N_{G}(A)].

Beweis. O.B.d.A. sei A maximale abelsche Untergruppe (sonst gilt für die maximale abelsche Untergruppe B, die A enthält, nach 1.2(ii) N_{G}(B) ≥N_{G}(A)).

Wähle g ∈ G−N_{G}(A). Setze h := g^{−1}. Wir zeigen zunächst, daß a^{g} ∉N_{G}(A) ist für alle 1 ≠ a ∈ A, oder daß a^{h} ∉N_{G}(A) ist für alle 1 ≠ a ∈ A.

Angenommen es existieren 1 ≠ a, b ∈ A mit a^{g}, b^{h} ∈N_{G}(A). Dann ist [a^{g}, b] ∈ A und [a^{g}, b] = ([a, b^{h}])^{g} ∈ A^{g}. Da g die maximale abelsche Untergruppe A nicht normalisiert, ist A ∩ A^{g} = {1}, weil G CA-Gruppe ist. a^{g} kommutiert also mit b. Das ist aber ein Widerspruch, da a^{g} in der maximalen abelschen Untergruppe A^{g} =C_{G}(a^{g}) liegt, aber b ∉ A^{g}, da b ∈ A und b ≠ 1.

Sei also (o.B.d.A.) a^{g} ∉N_{G}(A) für alle 1 ≠ a ∈ A. Es bleibt nun noch zu zeigen, daß für b ≠ c die Elemente b^{g} und c^{g} nicht in derselben Nebenklasse modulo N_{G}(A) liegen können. Angenommen b^{g}N_{G}(A) = c^{g}N_{G}(A), also (bc^{−1})^{g} ∈N_{G}(A). Dann ist nach Voraussetzung aber bc^{−1} = 1 und damit b = c.

Bemerkung. Für endliches G gilt ([27], Lemma 1.5): Sei A maximale abelsche Untergruppe von G. Dann ist [G :N_{G}(A)] ≡ 1 (mod |A|).

[ Wenn A normal in G ist, stimmt die Behauptung offensichtlich. Ansonsten ist a^{g} ∉N_{G}(A) für alle g ∈ G−N_{G}(A).

[ Wäre a^{g} ∈N_{G}(A), dann wäre A ⋊ ⟨{a^{g}}⟩ eine CA-Gruppe. (Beachte dabei, daß A und C_{G}(a^{g}) disjunkt sind.) Nach der Bemerkung zu 3.1 müßten |A| und |⟨{a^{g}}⟩| =o(a) dann aber teilerfremd sein, ein Widerspruch. ]

Läßt man nun A per Konjugation auf die Menge {A^{g}; g ∈ G} wirken, dann gibt es einen trivialen Orbit {A} und alle anderen Orbits haben Mächtigkeit |A|. (Denn aus A^{ga} = A^{gb} folgt, daß (ab^{−1})^{g^{−1}} = gab^{−1}g^{−1} ∈N_{G}(A) ist, was nur für a = b oder g ∈N_{G}(A) sein kann. Im zweiten Fall ist A^{ga} = A^{gb} = A^{g} = A.) ]

Beispiele. Wir überprüfen die Propositionen im endlichen Fall:

(i) G = A ⋊ B, A, B abelsch. Laut Bemerkung zu 3.1 gilt |A| ≡ 1 (mod |B|). Mit maximaler abelscher Untergruppe B und N_{G}(B) = B liefert die Bemerkung zu 3.2 genau dasselbe Resultat.

(ii) G =PSL_{2}(K), char(K) = 2, |K| = k = 2^{n} mit n > 1. Für maximale abelsche Untergruppen gilt nach 3.1 und 3.2: |N_{G}(A)/A| ≤ |A| ≤ [G :N_{G}(A)]. Nach den entsprechenden Bemerkungen gilt außerdem |A| ≡ 1 (mod |N_{G}(A)/A|) und [G :N_{G}(A)] ≡ 1 (mod |A|).

Ordnung von A |N_{G}(A)/A| |A| [G : N_{G}(A)]
k − 1  2  k − 1 \frac{k}{2}(k + 1) = (\frac{k}{2} + 1)(k − 1) + 1
k  k − 1  k  k + 1
k + 1  2  k + 1 \frac{k}{2}(k − 1) = (\frac{k}{2} − 1)(k + 1) + 1

Wir wollen nun auf die Frage nach den Normalteilern zurückgehen:

Proposition 3.3. Seien N und M nicht-triviale Normalteiler von G. Falls der Schnitt von N und M trivial ist, dann sind N und M abelsch und in F(G) enthalten.

Beweis. Sei N ∩ M = {1}. Dann ist der Aufspann von N und M das innere direkte Produkt von N und M, also N ⊆C_{G}(M) und M ⊆C_{G}(N). Folglich sind N und M abelsche Normalteiler und müssen daher in F(G) liegen.

Wir sehen insbesondere, daß in CA-Gruppen, in denen die Fitting-Untergruppe trivial ist, zwei nicht-triviale Normalteiler immer nicht-trivialen Schnitt haben. Was kann in diesem Fall über die Größe von |N ∩ M| gesagt werden?

Proposition 3.4. Seien N und M Normalteiler von G. Außerdem sei N nicht abelsch. Dann ist |M| ≤ |N ∩ M|^{2}.

Beweis. Wähle n ∈ N fest, so daß n nicht in F(G) liegt. Setze M_{n} := M∩C_{G}(n). Dann ist M_{n} trivial oder maximale abelsche Untergruppe von M. Falls M_{n} ≠ {1} ist, kann M_{n} nicht normal in M sein.

[ Sonst wäre M_{n} =F(M) charakteristisch in M und damit Normalteiler in G. M_{n} wäre also abelscher Normalteiler, der nicht Untergruppe von F(G) wäre, da n nicht in F(G) liegt, ein Widerspruch. ]

Damit gilt nach Proposition 3.2: |M_{n}| ≤ [M :N_{M}(M_{n})] ≤ [M : M_{n}]. Setze μ := [M : M_{n}]. Dann ist |M| = |M_{n}| · [M : M_{n}] ≤ μ · μ = μ^{2}.

Da [N, M] ⊆ N ∩ M ist, ist für m ∈ M der Kommutator [n, m] ∈ N ∩ M. Wenn [n, m_{1}] = [n, m_{2}] für m_{1}, m_{2} ∈ M, dann ist n^{m_{1}} = n^{m_{2}} und damit [n, m_{1}m_{2}^{−1}] = 1, also m_{1}m_{2}^{−1} ∈ M_{n}. Daher enthält N ∩ M mindestens μ = [M : M_{n}] Elemente.

Insgesamt haben wir also |M| ≤ μ^{2} ≤ |N ∩ M|^{2}.

Satz 3.5. (i) Sei G unendlich und N ein nicht-abelscher Normalteiler von G. Dann ist |N| = |G|.

(ii) Sei G unendlich und F(G) trivial. Dann hat jeder nicht-triviale Normalteiler von G die Mächtigkeit |G|.

(iii) Sei G unendlich und seien M, N nicht-abelsche Normalteiler von G. Dann ist |M ∩ N| = |G|.

Beweis. Zu (i): Wende Propsition 3.4 auf M = G an. Also ist |N| ≤ |G| ≤ |N|^{2} und damit, da G unendlich ist, |N| = |G|.

Zu (ii): Das folgt direkt aus (i), da G keine abelschen Normalteiler hat.

Zu (iii): Nach (i) ist |M| = |G| und nach 3.4 ist |N ∩ M|^{2} ≥ |M| ≥ |N ∩ M|, also |N ∩ M| = |M| = |G|.

Wir wollen noch kurz den endlichen Fall diskutieren: Sei G eine endliche CA-Gruppe und N nicht-abelscher Normalteiler von G. Mit Proposition 3.4 erhält man die (grobe) Abschätzung |G| ≤ |N|^{2}. Geht man den Beweis etwas genauer durch, so erhält man sogar |G| ≤ (|N| − 1)(|N| − 2). Auch das ist noch eine relativ schlechte Näherung.

Eine andere Herangehensweise ist die folgende. Wir unterscheiden zwei Fälle:

1. F(G) ≠ {1}: Man kann leicht zeigen (Proposition 4.7), daß für einen Normalteiler N ◁ G gilt, daß N ≤F(G) oder F(G) ≤ N ist. Da N nicht abelsch ist, gilt also F(G) ≤ N. Sei k := |F(G)| und n := N. Nach der Bemerkung zu 3.1 ist |G| ≤ k · (k − 1). Außerdem ist n ≥ 2k. Man erhält also

|G| ≤ \frac{n}{2} · (\frac{n}{2} − 1) = \frac{1}{4} · |N| · (|N| − 2).

Diese Abschätzung ist scharf.

2. F(G) = {1}: Wie wir später (Satz 4.8) sehen werden, ist in diesem Fall G einfach, also N = G. Für den Beweis von 4.8 verwenden wir aber tiefe Sätze von Frobenius und Thompson. Es stellt sich die Frage, ob man dieses Resultat nicht auch mit Hilfe elementarer kombinatorischer Methoden erhalten kann. Ansetzen könnte man folgendermaßen. Da F(G) = {1} ist, ist der Schnitt über alle nicht-trivialen Normalteiler von G wegen 3.3 nicht trivial. Es gibt also einen eindeutig bestimmten minimalen Normalteiler N. Dieser ist charakteristisch in G und einfach.

[ Sonst hätte N einen charakteristischen Normalteiler (nämlich F(N) oder den minimalen Normalteiler von N). ]

Geht man von einem minimalen Gegenbeispiel aus, so kann man zusätzlich annehmen, daß G/N Primzahlordnung hat.

4 Endliche CA-Gruppen

Die endlichen CA-Gruppen wurden durch L. Weissner [41] und M. Suzuki [39] klassifiziert. Wir wollen Teile dieser Klassifizierung hier darstellen. Die folgenden Sätze stammen weitgehend aus [41] und [39], wir verweisen auch auf die Bücher von D.J.S. Robinson [36] und W.R. Scott [37]. Das Ziel ist folgender wohlbekannter Satz:

Theorem 4.1. Eine endliche CA-Gruppe G ist von der Form

(i) G ˜=PSL_{2}(2^{n})

oder

(ii) G ist Frobeniusgruppe mit abelschem Frobeniuskern A und zyklischem Frobeniuskomplement B.

Dabei sind Frobeniusgruppen folgendermaßen definiert:

Definition 4.2. Eine Gruppe G heißt Frobeniusgruppe, falls es eine nicht-triviale echte Untergruppe H < G gibt, so daß ∀x ∈ G − H : H ∩ H^{x} = {1} gilt. H wird Frobeniuskomplement und N := G − ⋃_{x∈G}(H^{x} − {1}) wird Frobeniuskern von G genannt.

Wir werden hier keinen vollständigen Beweis dieses Theorems geben, sondern nur Teile beweisen, bei denen relativ elementare Methoden ausreichen. Wir verweisen in diesem Zusammenhang auch auf einen Artikel von P. Lescot [27], wo zum Beispiel ohne Charaktertheorie gearbeitet wird. Für die übrigen Resultate werden wir auf Literatur verweisen.

Das folgende Resultat aus [27] (Lemma 1.1) gilt allgemein für endliche Gruppen.

Proposition 4.3. Sei G eine endliche Gruppe, H eine Untergruppe von G, so daß C_{G}(x) ⊆ H für alle x ∈ H − {1}. Dann ist H eine Hall-Untergruppe von G.

Beweis. Sei q ein Teiler der Ordnung von H und Q eine q-Sylow-Gruppe von H. Dann ist Q in einer q-Sylow-Gruppe Q′ von G enthalten, deren Zentrum nach Voraussetzung in H enthalten sein muß. Es folgt, daß Q′ ⊆ H und damit Q = Q′.

Wir zitieren aus [37], 12.6.1:

Proposition 4.4. Sei G eine endliche Gruppe und N ◁ G, so daß C_{G}(x) ⊆ N für alle x ∈ N − {1}. Dann ist G Frobeniusgruppe und N Frobeniuskern von G.

Beweis. Sei π := {p ∈ ℙ; p teilt |N|}. Dann ist nach 4.3 N die (einzige) π-Hall-Untergruppe von G. Nach dem Satz von Schur-Zassenhaus besitzt N ein Komplement H in G. Wir behaupten nun, daß H ein Frobeniuskomplement zum Frobeniuskern N in G ist.

[ Dazu ist zu zeigen, daß gilt: ∀g ∈ G − H : H ∩ H^{g} = {1}. Sei also g ∈ G − H. Dann kann g geschrieben werden als g = ha mit h ∈ H und 1 ≠ a ∈ N. (Also ist H^{g} = H^{ha} = H^{a}.)

Angenommen x ∈ H ∩ H^{g} = H ∩ H^{a}, dann existiert k ∈ H mit x = a^{−1}ka ∈ H. Folglich ist auch [k, a] = k^{−1}a^{−1}ka ∈ H. Andererseits ist [k, a] ∈ N und damit [k, a] = 1, beziehungsweise k ∈C_{G}(a) ⊆ N. Das bedeutet aber wiederum, daß k = 1 und damit x = 1 ist, was zu zeigen war. ]

Damit ist alles gezeigt.

Eine besondere Bedeutung haben die 2-Sylow-Untergruppen.

Proposition 4.5. Sei G CA-Gruppe mit F(G) ≠ {1} und H sei Komplement zu F(G) in G. Besitzt H ein Element der Ordnung 2, dann ist H abelsch und die 2-Sylow-Untergruppe von H ist zyklisch.

Beweis. Sei g ein Element der Ordnung 2 in H. Dann ist a^{g} = a^{−1} für alle a ∈F(G).

[ Es ist (aa^{g})^{g} = a^{g}a = aa^{g}, also ist g ∈C_{G}(aa^{g}). Falls aa^{g} ≠ 1, ist aber
C_{G}(aa^{g}) =F(G), ein Widerspruch, da g ∈F(G) ∩ H = {1}. Folglich ist
aa^{g} = 1. ]

Sei nun h ∈ H. Dann ist a^{(h^{g})} = a^{g^{−1}hg} = ((a^{−1})^{h})^{−1} = a^{h}. Damit ist

h^{g}h^{−1} ∈ F(G) ∩ H = {1},

also [g, h] = 1. Folglich ist g zentral in H. Da H als Untergruppe einer CA-Gruppe selbst CA-Gruppe ist, folgt, daß H abelsch ist.

Sei nun h ∈ H mit Ordnung 2. Dann ist wie eben ∀a ∈F(G) : a^{h} = a^{−1}. Also ist a^{gh} = a und damit gh = 1, also h = g^{−1} = g. Es kann also höchstens ein Element der Ordnung 2 in H geben, was bedeutet, daß die (abelsche!) 2-Sylow-Gruppe von H zyklisch ist.

Mit etwas größerem Aufwand (wir benutzen einen Satz aus [36] 10.5.3, der dort als Vorbereitung für einen Satz von Burnside dient, den wir später noch verwenden werden) kann man für endliche CA-Gruppen sogar noch mehr zeigen:

Proposition 4.6. Sei G eine endliche CA-Gruppe mit F(G) ≠ {1}, H ein Komplement zu F(G) in G. Dann ist H abelsch.

Beweis. Angenommen, die Behauptung wäre falsch, G ein minimales Gegenbeispiel zur Aussage. Dann ist H Frobeniusgruppe mit einem Frobeniuskern B, der eine Untergruppe von H ist.

[ Sei C maximale abelsche Untergruppe von H, K :=N_{H}(C).

Falls C ≨ K ist, ist A · K ein Gegenbeispiel zur Aussage, also wegen der Minimalität von G gilt H = K. Setzt man B := C, dann ist nach 4.4 H Frobeniusgruppe mit Frobeniuskern B. Ist K = C, so ist C Frobeniuskomplement von H. Sei D eine nicht zu C konjugierte maximale abelsche Untergruppe von H. (Eine solche Untergruppe exisiert, da nach 4.3 C eine Hall-Untergruppe von H ist.)

Wir behaupten nun D ≨N_{H}(D).

[ Angenommen, die Behauptung wäre falsch.

Setze c := |C|, d := |D|, n := |H|.

Dann gilt für alle g ∈ H : D^{g} ⊆ H − ⋃_{x∈H}(C^{x} − 1).

Es ist |\{1\} ∪ ⋃_{g∈H}(D^{g} − 1)| = 1 + \frac{n}{d}(d − 1) = 1 + n − \frac{n}{d} und |H − ⋃_{x∈H}(C^{x} − 1)| = n − \frac{n}{c}(c − 1) = \frac{n}{c}. Zusammen erhalten wir 1 + n − \frac{n}{d} ≤ \frac{n}{c}, also n + 1 ≤ \frac{n}{c} + \frac{n}{d}, was wegen c, d ≥ 2 unmöglich ist. ]

Setze B := D, dann ist H Frobeniusgruppe mit Frobeniuskern B. ]

Mit [36] 10.5.3 folgt nun, daß B = {1} sein muß, da B Hall-Untergruppe von H ist. Das ist ein Widerspruch, also ist H doch abelsch.

Nach Burnside (Wir zitieren [36] 10.5.6 (ii)) gilt :

Sei H eine fixpunktfreie Automorphismengruppe einer endlichen abelschen Gruppe. Dann sind die Sylow-p-Gruppen von H zyklisch für p > 2 und zyklisch oder verallgemeinerte Quaternionen-Gruppen für p = 2.

Zusammen mit 4.6 folgt daraus, daß die Frobeniuskomplemente bei endlichen CA-Gruppen mit abelschen Normalteilern zyklisch sind.

Wir beweisen noch eine einfache Proposition. Eine Verallgemeinerung für Frobeniusgruppen findet sich in [37] 12.6.8.

Proposition 4.7. Sei G endliche CA-Gruppe mit abelschem Radikal A und N ◁ G. Dann ist A ≤ N oder N ≤ A:

Beweis. Sei n ∈ N −A. Dann ist für alle a ∈ A auch n^{−1}(a^{−1}na) = [n, a] ∈ N. Nach 1.4 ist die Abbildung a ↦ [n, a] bijektiv auf A, also A ≤ N.

Wir haben also die auflösbaren endlichen CA-Gruppen klassifiziert als Frobeniusgruppen mit abelschem Frobeniuskern und zyklischem Frobeniuskomplement.

Nun wollen wir uns nun den nicht-auflösbaren endlichen CA-Gruppen zuwenden. Bisher sind wir mit relativ elementaren Methoden ausgekommen. Für den folgenden Satz benötigen wir aber tiefere Ergebnisse:

Nach Frobenius (wir zitieren [36] 8.5.5) ist der Frobeniuskern einer endlichen Gruppe G ein Normalteiler von G (die Schwierigkeit liegt darin, zu zeigen, daß er eine Untergruppe ist).

Nach Thompson ([36] 10.5.1 (i)) ist der Frobeniuskern N einer endlichen Gruppe nilpotent und damit bei CA-Gruppen abelsch.

Wir zeigen ein Resultat aus [41] :

Satz 4.8. Sei G eine endliche CA-Gruppe mit F(G) = {1}. Dann ist G einfach.

Beweis. Angenommen, die Behauptung wäre falsch. G sei ein minimales Gegenbeispiel und N ◁ G. Dann ist F(N) = {1},da sonst F(N) charakteristisch in N und daher abelscher Normalteiler von G wäre. Da G ein minimales Gegenbeispiel ist, muß also N einfach sein.

Sei A eine maximale abelsche Untergruppe von N und B :=C_{G}(A). Außerdem sei K :=N_{N}(A).

Dann ist A ≠ K, denn sonst wäre N Frobeniusgruppe und hätte daher (benutze den Satz von Frobenius) einen Frobeniuskern. Dieser wäre normal in N und damit N nicht einfach, ein Widerspruch.

Sei k ∈ K − A. Dann ist k ∉ B und B^{k} = B. Also ist nach 1.4 die Abbildung

\begin{matrix}B & → & B \\ b & ↦ & [k, b] \end{matrix}

bijektiv. Für alle b ∈ B ist aber [k, b] ∈ N, also B ⊆ N und damit A = B.

Das läßt sich für jede maximale abelsche Untergruppe durchrechnen, man erhält also ∀x ∈ N − {1} : C_{G}(x) ⊆ N. Das bedeutet aber nach 4.4 , daß N Frobeniuskern und damit (wegen des Satzes von Thompson) abelsch ist, ein Widerspruch, da G doch einen abelschen Normalteiler hat.

Von Suzuki und Wall (siehe [5]) wurde gezeigt, daß die endlichen einfachen CA-Gruppen von gerader Ordnung isomorph zu Gruppen der Form PSL_{2}(2^{n}) sind.

Suzuki [39] bewies außerdem, daß es keine nicht-abelschen endlichen einfachen CA-Gruppen von ungerader Ordnung geben kann (was eine Vorarbeit zum allgemeineren Satz von Feit-Thompson war).

Damit haben wir zusammengetragen, was zum Beweis von 4.1 nötig ist.

Teil II

Existenziell abgeschlossene CA-Gruppen

5 Amalgamierungssätze für CA-Gruppen

In den folgenden Kapiteln wollen wir untersuchen, was sich über existenziell abgeschlossene Gruppen in bestimmten Klassen von CA-Gruppen sagen läßt. Für die modelltheoretischen Hintergründe verweisen wir auf [24].

Wir werden in der Sprache 1. Stufe L_{gp} der Gruppentheorie mit den außerlogischen Zeichen {·,^{−1}, 1} arbeiten.

Wir definieren:

Definition 5.1. Sei L eine abzählbare Sprache 1. Stufe, K eine Klasse von L-Strukturen. Eine Struktur M = ⟨M, ...⟩ ∈ K heißt existenziell abgeschlossen in K (kurz e.c.) genau dann, wenn jede existenzielle Formel mit Parametern aus M, die in einer Oberstruktur M ⊆ N mit N ∈ K erfüllt wird, bereits in M erfüllt wird.

Existenziell abgeschlossene Modelle sind, wie aus der Definition ersichtlich, besonders reichhaltig und daher oft auch sehr homogen, was eine Klassifizierung der e.c. Modelle einer Klasse K oft einfacher macht als die Klassifizierung aller Modelle aus K.

Zum Beispiel sind die e.c. Modelle in der Klasse aller Körper gerade die algebraisch abgeschlossenen Körper.

Definition 5.2. Eine Klasse K von L-Strukturen heißt induktiv, wenn die Vereinigung einer Kette von Elementen von K wieder in K liegt und eine L-Struktur, die zu einem Element aus K isomorph ist, selbst in K liegt.

Eine L-Theorie T heißt induktiv, wenn die durch T definierte Klasse der T - Modelle induktiv ist.

Bemerkung. Nach dem Satz von Chang-Łoś-Suszko [6, 28] ist eine elementare Theorie genau dann induktiv, wenn sie durch ∀∃-Sätze axiomatisierbar ist.

In induktiven Klassen ist die Existenz von e.c. Modellen gewährleistet, wie folgender Satz (siehe z.B. [24], Theorem 8.2.1) zeigt, den wir ohne Beweis zitieren:

Satz. Sei K eine nicht leere induktive Klasse von L-Modellen. Dann gibt es in K e.c. Modelle.

Stellt man zusätzlich noch Bedingungen über die Existenz bestimmter Modelle in K, so läßt sich auch etwas über die Existenz von e.c. Modellen in bestimmten Kardinalitäten sagen (siehe [24], Corollary 8.2.2).

Bei der Untersuchung von existenziell abgeschlossenen Gruppen in bestimmten Klassen sind Amalgamierungssätze von großer Bedeutung. Besonders angenehm in dieser Hinsicht ist, wenn eine Klasse die Amalgamierungs-Eigenschaft hat.

Definition 5.3. Eine Klasse K hat die Amalgamierungs-Eigenschaft (kurz AP für ”Amalgamation Property“), falls: Seien A, B, C ∈ K und e : A ↪ B, f : A ↪ C Einbettungen, dann gibt es D ∈ K und Einbettungen g : B ↪ D, h : C ↪ D, so daß g ∘ e = h ∘ f.

[figure: C; h; D; g; B; e; A; f]

Die allgemeine Untersuchung der existenziell abgeschlossenen CA-Gruppen ist dadurch erschwert, daß die Klasse der CA-Gruppen nicht die Amalgamierungs-Eigenschaft hat. Das soll an Beispielen belegt werden. Das erste Beispiel zeigt außerdem, daß eine Amalgamierung von freien Gruppen innerhalb der Klasse der CA-Gruppen im allgemeinen nicht möglich ist. Mit anderen Worten: Es gibt keine Unterklasse der CA-Gruppen, die die freien Gruppen enthält und AP besitzt. Beispiele. (i) Dieses Beispiel soll zeigen, daß eine Amalgamierung von freien

Gruppen in der Klasse der CA-Gruppen im allgemeinen nicht möglich ist. Das heißt, es gibt keine Unterklasse der CA-Gruppen, die die freien Gruppen enthält und AP besitzt. Sei A = ⟨{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}}⟩ eine freie Gruppe mit vier Erzeugenden und B := ⟨{b_{1}, b_{2}}⟩ und C := ⟨{c_{1}, c_{2}}⟩ freie Gruppen mit zwei Erzeugenden. Die Einbettungen e : A ↪ B und f : A ↪ C seien gegeben durch

\begin{aligned}e(a_{1}) & := & b_{1}, & f(a_{1}) & := & c_{1}, \\ e(a_{2}) & := & b_{2}^{−1}b_{1}b_{2}, & f(a_{2}) & := & c_{2}^{−1}c_{1}c_{2}, \\ e(a_{3}) & := & b_{2}^{−2}b_{1}b_{2}^{2}, & f(a_{3}) & := & c_{2}^{−2}c_{1}c_{2}^{2}, \\ e(a_{4}) & := & b_{2}^{−3}b_{1}b_{2}^{3}, & f(a_{4}) & := & c_{2}^{−4}c_{1}c_{2}^{4}. \end{aligned}

Sei D eine Gruppe und g : B ↪ D und h : C ↪ D Einbettungen, so daß g ∘ e = h ∘ f. Dann ist g(b_{2}) ≠ h(c_{2}), da

(h ∘ f(a_{3}))^{g(b_{2})} = (g ∘ e(a_{3}))^{g(b_{2})}
= g((e(a_{3}))^{b_{2}})
= g((b_{2}^{−2}b_{1}b_{2}^{2})^{b_{2}})
= g(b_{2}^{−3}b_{1}b_{2}^{3})
= g(e(a_{4}))
= h(f(a_{4}))
= h(c_{2}^{−4}c_{1}c_{2}^{4})
= h((c_{2}^{−2}c_{1}c_{2}^{2})^{c_{2}^{2}})
≠ h((c_{2}^{−2}c_{1}c_{2}^{2})^{c_{2}})  , da h injektiv ist,
= (h(c_{2}^{−2}c_{1}c_{2}^{2}))^{h(c_{2})}
= (h ∘ f(a_{3}))^{h(c_{2})}  ist.

Andererseits kommutieren sowohl g∘e(a_{1}) als auch g∘e(a_{2}) mit g(b_{2})h(c_{2}^{−1}) ≠ 1, denn es ist:

(g ∘ e(a_{1}))^{g(b_{2})h(c_{2}^{−1})} = (g(e(a_{1})^{b_{2}}))^{h(c_{2}^{−1})}
= (g(b_{2}^{−1}b_{1}b_{2}))^{h(c_{2}^{−1})}
= (g(e(a_{2})))^{h(c_{2}^{−1})}
= (h(f(a_{2})))^{h(c_{2}^{−1})}
= h((c_{2}^{−1}c_{1}c_{2})^{c_{2}^{−1}})
= h(c_{1})
= h ∘ f(a_{1})
= g ∘ e(a_{1})

und

(g ∘ e(a_{2}))^{g(b_{2})h(c_{2}^{−1})} = (g(e(a_{2})^{b_{2}}))^{h(c_{2}^{−1})}
= (g((b_{2}^{−1}b_{1}b_{2})^{b_{2}}))^{h(c_{2}^{−1})}
= (g((b_{2}^{−2}b_{1}b_{2})^{b_{2}^{2}}))^{h(c_{2}^{−1})}
= (g(e(a_{3})))^{h(c_{2}^{−1})}

\begin{matrix}= & (h(f(a_{3})))^{h(c_{2}^{−1})} \\ = & h((c_{2}^{−2}c_{1}c_{2}^{2})^{c_{2}^{−1}}) \\ = & h((c_{2}^{−1}c_{1}c_{2})) \\ = & h ∘ f(a_{2}) \\ = & g ∘ e(a_{2}) \end{matrix}

Die beiden Elemente g ∘e(a_{1}) und g ∘e(a_{2}) kommutieren aber nicht, da a_{1} und a_{2} nicht kommutieren und g ∘ e injektiv ist. Also ist D keine CA-Gruppe.

(ii) Sei G eine endliche auflösbare nicht-abelsche CA-Gruppe, G′ := [G, G], p ein Teiler von [G : G′], A das direkte Produkt einer zyklischen Gruppe der Ordnung p mit G′.

Wir nehmen an, K sei CA-Gruppe und gemeinsame Obergruppe von G und A. Nun enthalten aber G − G′ und A Elemente der Ordnung p. Sei g ∈ A mit o(g) = p, h ∈ G − G′ mit o(h) = p und 1 ≠ k ∈ G′ ⊆ A. Dann gilt [g, k] = 1 in A und [h, k] ≠ 1 in G, also [g, h] ≠ 1 in K. Andererseits ist k^{h} ∈ G′ ⊆C_{K}(A), also normalisiert h den Zentralisator C_{K}(A) =C_{K}(g). Sei nun H = ⟨{g, h}⟩. Dann ist C_{H}(g) = F(H), da C_{H}(g) wie eben gesehen von h normalisiert wird. Offensichtlich ist H eine endliche p-Gruppe, da F(H) und H/F(H) ≅ ⟨{h}⟩ beide endliche p-Gruppen sind.

[ Jedes Element x ∈F(H) ist ein Produkt von Konjugierten von g. Weil F(H) abelsch ist, muß also x^{p} = 1 sein. Deshalb ist F(H) eine p-Gruppe. ]

Das ist aber ein Widerspruch, da H als endliche p-Gruppe nilpotent ist, und damit als nilpotente CA-Gruppe abelsch sein müßte.

Im folgenden wollen wir bestimmte Spezialfälle untersuchen, in denen Amalgamierung möglich ist. Der folgende Satz zeigt, daß eine Amalgamierung wie in Beispiel (ii) möglich ist, wenn G/F(G) torsionsfrei ist.

Satz 5.4. Sei G CA-Gruppe mit A :=F(G), so daß G/A torsionsfreie CA-Gruppe sei. Außerdem seien U und B abelsche Gruppen und ϕ_{1} : U → A, ϕ_{2} : U → B Einbettungen. Dann gibt es eine CA-Gruppe H und Einbettungen ψ_{1} : G → H, ψ_{2} : B → H,so daß ψ_{1} ∘ ϕ_{1} = ψ_{2} ∘ ϕ_{2} ist.

[figure: B; ψ_{2}; H; ψ_{1}; G; ⊆; A; ϕ_{1}; U; ϕ_{2}]

H ist dabei definiert als H := (G ∗ B)/N, wobei N definiert ist durch:

N := ⟨ {(ab^{−1})^{h}; h ∈ G ∗ B, a ∈ A, b ∈ B und ∃u ∈ U : ϕ_{1}(u) = a, ϕ_{2}(u) = b}
∪ {([a, b^{g}])^{h}; a ∈ A, b ∈ B, g ∈ G, h ∈ G ∗ B}
∪ {([b, c^{g}])^{h}; b, c ∈ B, g ∈ G, h ∈ G ∗ B} ⟩.

Beweis. Wir wollen zunächst einige Vorbemerkungen machen, um zu erklären, welche Ideen dem Satz und seinem Beweis zugrunde liegen.

Wenn A = {1} ist, soll H ≅ B wr G sein, eine Gruppe, die wie in Korollar 2.4 gesehen eine CA-Gruppe ist.

Etwas allgemeiner ist der folgende Fall: Wenn A ein Komplement K in G hat und A ∩ B = {1} ist, dann soll H ≅ (A ⊕ B^{(K)}) ⋊ K sein, wo die Wirkung von K auf A die in G gegebene Wirkung sei, und die Untergruppe B^{(K)} ⋊ K ≅ B wr K sei.

Eine Schwierigkeit im Beweis wird sein, zu zeigen, daß sowohl G als auch B in H eingebettet werden können. Würde man voraussetzen, daß A ein Komplement K in G besitzt, könnte man dabei mit einer Abbildung G∗B → (A⊕B^{(K)})⋊K arbeiten. Im allgemeinen Fall geht das so nicht. Wir werden daher mit einer Abbildung M → A ⊕ B^{(G/A)} arbeiten, wo N ≤ M ≤ G ∗ B.

1. G und B sind in H einbettbar:

Die Einbettungen sind durch ψ_{1} : \begin{matrix}G & → & H \\ g & ↦ & g · N \end{matrix} und ψ_{2} : \begin{matrix}B & → & H \\ b & ↦ & b · N \end{matrix}

gegeben. Wir haben zu zeigen, daß diese beiden Abbildungen wirklich injektiv sind. Dazu zeigen wir zunächst, daß G ∩ N ⊆ A ist. Danach definieren wir M und die Abbildung τ und zeigen damit A ∩ N = {1} und B ∩ N = {1}.

(a) G ∩ N ⊆ A: Wir betrachten den kanonischen Homomorphismus θ : G ∗ B → G ⊕ B und untersuchen das Bild von N unter θ.

Die Kommutatoren der Form ([a, b^{g}])^{h} und [b, c^{g}])^{h} (mit a ∈ A, b, c ∈ B, g ∈ G und h ∈ G ∗ B) werden auf die 1 abgebildet. Ein Element x ∈ N wird deshalb durch θ auf ein Element (a_{1}^{g_{1}} · . . . · a_{n}^{g_{n}}, b_{1}^{−1} · . . . · b_{n}^{−1}) ∈ A ⊕ B ≤ G ⊕ B mit a_{i} = ϕ_{1}(u_{i}) und b_{i} = ϕ_{2}(u_{i}) für bestimmte u_{i} ∈ U (i = 1, …, n) abgebildet. Wenn x außerdem in G liegt, folgt daher (a_{1}^{g_{1}} · . . . · a_{n}^{g_{n}}, b_{1}^{−1} · . . . · b_{n}^{−1}) = (x, 1) und damit x ∈ A.

(b) Definition von M und τ: Wir betrachten nun M := θ^{−1}[A ⊕ B]. Wie wir eben gesehen haben, ist N ≤ M. Stellt man ein Element y ∈ M ≤ G ∗ B dar als y = g_{1}b_{1} … g_{n}b_{n} mit g_{i} ∈ G, b_{i} ∈ B (i = 1, …, n), dann folgt g_{1} · g_{2} · . . . · g_{n} ∈ A. Insbesondere ist

y = g_{1}b_{1} … g_{n}b_{n}
= (g_{1} … g_{n}) · (g_{2} … g_{n})^{−1}b_{1}(g_{2} … g_{n}) … g_{n}^{−1}b_{n−1}g_{n} · b_{n}
= ab_{1}^{h_{1}} … b_{n}^{h_{n}},

wo a := g_{1} · g_{2} · . . . · g_{n} ∈ A und h_{i} := g_{i+1} · . . . · g_{n} ∈ G. Die Darstellung ist sogar eindeutig, wenn man h_{i} ≠ h_{i+1} voraussetzt. Wir werden im folgenden diese (eindeutige) Darstellung eines Elements y ∈ M als y = ab_{1}^{h_{1}} … b_{n}^{h_{n}} mit a ∈ A, b_{i} ∈ B, h_{i} ∈ G (für i = 1, … n) und h_{i} ≠ h_{i+1} (für i = 1, …, n − 1) als Normalform von y bezeichnen. Wir betrachten nun die Abbildung

τ : M  → A ⊕ B^{(G/A)}
ab_{1}^{h_{1}} … b_{n}^{h_{n}} ↦ (a, (cḡ)_{ḡ∈G/A})
mit cḡ = ∏_{i∈Iḡ} b_{i}
und Iḡ = {i; 1 ≤ i ≤ n, h_{i} ∈ ḡ}.

Wir behaupten: τ ist ein Homomorphismus.

[ Seien x, y ∈ M mit den Normalformen x = ab_{1}^{h_{1}} · . . . · b_{n}^{h_{n}} und

y = αβ_{1}^{k_{1}} · . . . · β_{m}^{k_{m}} gegeben. Dann ist

\begin{aligned}x · y & = & a · b_{1}^{h_{1}} · . . . b_{n}^{h_{n}} · α · β_{1}^{k_{1}} · . . . · β_{m}^{k_{m}} \\ & = & a · α · b_{1}^{h_{1}α} · . . . · b_{n}^{h_{n}α} · β_{1}^{k_{1}} · . . . · β_{m}^{k_{m}}. \end{aligned}

Falls h_{n}α ≠ k_{1} ist, ist das die Normalform von x · y und man sieht leicht, daß τ(x · y) = τ(x) · τ(y) ist. Falls h_{n}α = k_{1} ist, ist die Normalform von x · y durch

a · α · b_{1}^{h_{1}α} · . . . · (b_{n}β_{1})^{k_{1}} · . . . · β_{m}^{k_{m}}

gegeben, da h_{n−1}α ≠ h_{n}α = k_{1} ≠ k_{2}. Die Homomorphieeigenschaft ist wieder leicht zu sehen. ]

Wir wollen nun untersuchen, wie N unter τ abgebildet wird. Die Kommutatoren werden auf die 1 abgebildet, da das Bild abelsch ist. Wir betrachten nun noch Elemente der Form (ab^{−1})^{h} mit ϕ_{1}(u) = a, ϕ_{2}(u) = b für ein u ∈ U und h ∈ G ∗ B. h läßt sich schreiben als h = g_{1}b_{1} · . . . · g_{n}b_{n} mit g_{i} ∈ G, b_{i} ∈ B (i = 1, … n). Sei g := g_{1}g_{2} … g_{n}. Dann ist

τ((ab^{−1})^{h})) = τ((ab^{−1})^{g})) = (a^{g}, (ck̄)_{k̄∈G/A})

mit

ck̄ = b^{−1} für k̄ = g · A
ck̄ = 1  sonst.

(c) A ∩ N = {1}: Wir nehmen nun an, x läge in A ∩ N. Dann ist τ(x) = (x, (1)_{ḡ∈G/A}). Andererseits ist τ(x) = τ((a_{1}b_{1}^{−1})^{g_{1}} · . . . · (a_{m}b_{m}^{−1})^{g_{m}})), wobei u_{i} ∈ U existieren, so daß ϕ_{1}(u_{i}) = a_{i} und ϕ_{2}(u_{i}) = b_{i} und g_{i} ∈ G (i = 1, …, m). Also gilt für Ik̄ := {i = 1, …, m; g_{i} ∈ k̄}, daß ∏_{i∈Ik̄} b_{i} = 1 ist und damit auch 1 = ∏_{i∈Ik̄} a_{i} = ∏_{i∈Ik̄} a_{i}^{k} (hier sei k ein Repräsentant aus k̄). Daraus folgt, daß x = ∏_{k̄∈G/A}(∏_{i∈Ik̄} a_{i}^{k}) = 1 ist. Es gilt also A ∩ N = {1}.

(d) B ∩ N = {1}: Sei nun x ∈ B ∩N. Dann ist τ(x) = (1, (cḡ)_{ḡ∈G/A}) mit cḡ = x für ḡ = 1·A und cḡ = 1 sonst. Andererseits ist wie eben τ(x) = τ((a_{1}b_{1}^{−1})^{g_{1}} · . . . · (a_{m}b_{m}^{−1})^{g_{m}})). Für k̄ ≠ 1·A ist also wieder ∏_{i∈Ik̄} b_{i} = 1 und damit auch ∏_{i∈Ik̄} a_{i} = 1. Sei o.B.d.A. I_{1·A} = {1, …, l}. Dann folgt, daß

τ(x) = τ(a_{1}b_{1}^{−1} · . . . · a_{l}b_{l}^{−1}) = (a_{1} · . . . · a_{l}, (cḡ)_{ḡ∈G/A})

ist mit cḡ = b_{1} · . . . · b_{l} für ḡ = 1 · A und ck̄ = 1 sonst. Nun ist 1 = a_{1} · . . . · a_{l} = ϕ_{1}(u_{1} · . . . · u_{l}). Da ϕ_{1} injektiv ist, folgt u_{1} · . . . · u_{k} = 1 und damit x = b_{1} · . . . · b_{l} = ϕ_{2}(u_{1} · . . . · u_{l}) = 1. Folglich ist auch B ∩ N = {1}.

2. Man kann sogar (A ⊕ B)/U′ in H einbetten (hier ist U ≅ U′ := {(ϕ_{1}(u), ϕ_{2}(u^{−1})); u ∈ U}):

Das geht über die Abbildung ψ_{3} : \begin{matrix}(A ⊕ B)/U′ & → & H \\ (a, b) · U′ & ↦ & ab · N \end{matrix} .

Die Abbildung ist wohldefiniert

[ Für (a, b) ∈ U′ existiert ein u ∈ U mit ϕ_{1}(u) = a und ϕ_{2}(u^{−1}) = b.
Also ist ab = ϕ_{1}(u)(ϕ_{2}(u))^{−1} ∈ N. ]

und ein Homomorhismus, denn:

ψ_{3}((a, b) · U′ · (α, β) · U′) = ψ_{3}((aα, bβ) · U′)
= aαbβ · N
= abα[α, b]β · N
= abαβ[α, b]^{β} · N
= abαβ · N
= ψ_{3}((a, b) · U′) · ψ_{3}((α, β) · U′).

Zu zeigen bleibt noch die Injektivität. Ist ψ_{3}((a, b) · U′) = ab · N = N, also ab ∈ N, dann ist (τ sei wieder die Abbildung aus 1.): τ(ab) = (a, (cḡ)_{ḡ∈G/A}) mit cḡ = b für ḡ = 1 · A und cḡ = 1 sonst. Da ab ∈ N ist, gilt andererseits τ(ab) = τ((a_{1}b_{1}^{−1})^{g_{1}} · . . . · (a_{m}b_{m}^{−1})^{g_{m}})). Für k̄ ∈ G/A ist außerdem ϕ_{2}^{−1}(∏_{i∈Ik̄} b_{i}^{−1}) = ϕ_{1}^{−1}(∏_{i∈Ik̄} a_{i}). Daraus folgt aber ϕ_{2}^{−1}(b^{−1}) = ϕ_{1}^{−1}(a) und damit (a, b) ∈ U′.

3. A′ := M/N = (⟨A ∪ ⋃_{g∈G} B^{g}⟩ · N)/N ist Normalteiler und abelsche Untergruppe von H: Daß M von G normalisiert wird, folgt direkt aus der Definition. Die Kommutativität wird durch die Relationen, die N definieren, erzwungen.

4. H/A′ ≅ G/A:

Definiere eine Abbildung σ_{1} : \begin{matrix}G/A & → & (G ∗ B)/M ≅ H/A′ \\ g · A & ↦ & g · M \end{matrix} .

Die Abbildung ist wohldefiniert, da G ≤ H und A ≤ M. Sie ist surjektiv, da ein Element h ∈ G ∗ B geschrieben werden kann als:

\begin{aligned}h & = & g_{1}b_{1}..g_{m}b_{m} \\ & = & (g_{1}..g_{m})(g_{2}..g_{m})^{−1}b_{1}(g_{2}..g_{m})(g_{3}..g_{m})^{−1}b_{2}(g_{3}..g_{m})...g_{m}^{−1}b_{m}^{−1}g_{m}b_{m}, \end{aligned}

ein Element aus (g_{1}..g_{m}) · M (vergleiche 1.).

Da M = θ^{−1}[A ⊕ B] ist und θ eingeschränkt auf G injektiv ist, folgt außerdem G ∩ M = A. Also ist die Abbildung auch injektiv.

5. Das Kranzprodukt (B/U′′ wr G/A) ist isomorph zu einer Faktorstruktur von H (dabei ist U′′ = ϕ_{2}(U) ≅ U): (Beachte: Im Spezialfall A = {1} ist H gerade isomorph zum Kranzprodukt B wr G.) Betrachte die Abbildung σ_{2} : G ∗ B → (B/U′′ wr G/A) definiert durch

g ↦ (1, g · A)
b ↦ ((cḡ)_{ḡ∈G/A}, A) mit cḡ = b · U′′ für ḡ = A
cḡ = U′′  sonst.

Wir behaupten, daß N im Kern dieser Abbildung liegt. Dazu reicht es zu zeigen, daß die Erzeugenden von N unter dieser Abbildung auf die 1 abgebildet werden. (Man beachte dabei, daß h^{−1}bh auf ein Element der Form ((cḡ)_{ḡ∈G/A}, A), mit cḡ = b · U′′ für h ∈ ḡ und cḡ = U′′ sonst, abgebildet wird.) Für ein Element der Form ab^{−1} mit ϕ_{1}^{−1}(a) = ϕ_{2}^{−1}(b) ∈ U ist die Behauptung klar. Für einen Kommutator der Form [a, b^{g}] (für a ∈ A, b ∈ B, g ∈ G) liegen σ_{2}(a^{−1}), σ_{2}((b^{g})^{−1}), σ_{2}(a) und σ_{2}(b^{g}) in der abelschen Basisgruppe des Kranzproduktes, also ist σ_{2}([a, b^{g}]) = 1. Ebenso wird [b, c^{g}] (für b, c ∈ B, g ∈ G) auf die 1 abgebildet.

6. Jedes Element a′ ∈ A′ hat eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Darstellung als a′ = a · b_{1}^{g_{1}} · . . . · b_{m}^{g_{m}} · N mit a ∈ A, b_{i} aus einem fest gewählten Repräsentantensystem S von B/U′′ und g_{i} aus einem fest gewählten Repräsentantensystem R von G/A (für i = 1, …, m) mit g_{i} ≠ g_{j} für i ≠ j: Wir gehen zunächst von der Normaldarstellung von Elementen aus M aus. Dann ist a′ = αβ_{1}^{γ_{1}} … β_{n}^{γ_{n}} · N mit α ∈ A und β_{i} ∈ B, γ_{i} ∈ G (i = 1, … n). Modulo N kommutieren β_{i}^{γ_{i}} und β_{j}^{γ_{j}} für i, j ≤ n. Außerdem kommutiert β_{i}^{g} modulo N mit a ∈ A für g ∈ G. Sei also g_{j} ∈ R mit γ_{i} ∈ g_{j} · N, dann ist β_{i}^{γ_{i}}·N = β_{i}^{g_{j}} ·N. Durch geeignetes Anordnen erhält man damit eine Darstellung a′ = α(b_{1}u_{1})^{g_{1}} … (b_{m}u_{m})^{g_{m}} · N mit b_{i} ∈ S, u_{i} ∈ U′′, g_{i} ∈ R für i = 1, …, m. Damit ist

a′ = α · (b_{1}u_{1})^{g_{1}} · . . . · (b_{m}u_{m})^{g_{m}} · N
= α · u_{1}^{g_{1}} · . . . · u_{m}^{g_{m}} · b_{1}^{g_{1}} · . . . · b_{m}^{g_{m}} · N
= α · v_{1}^{g_{1}} · . . . · v_{m}^{g_{m}} · b_{1}^{g_{1}} · . . . · b_{m}^{g_{m}} · N

mit v_{i} = ϕ_{1}(ϕ_{2}^{−1}(u_{i})) ∈ A für i = 1, …, m. Mit a := αv_{1}^{g_{1}} · . . . · v_{m}^{g_{m}} hat man also die gewünschte Darstellung. Die Eindeutigkeit der Darstellung sieht man folgendermaßen: Seien

\begin{aligned}a′ & = & a · b_{1}^{g_{1}} · . . . · b_{m}^{g_{m}} · N \\ & = & a_{1} · c_{1}^{h_{1}} · . . . · c_{n}^{h_{n}} · N \end{aligned}

Darstellungen mit a, a_{1} ∈ A, b_{i}, c_{j} ∈ S, g_{i}, h_{j} ∈ R (i = 1, …, m, j = 1, …, n) mit g_{i_{1}} ≠ g_{i_{2}}, h_{j_{1}} ≠ h_{j_{2}} für i_{1} ≠ i_{2}, j_{1} ≠ j_{2}. Also ist gibt es ein n ∈ N mit

a · b_{1}^{g_{1}} · . . . · b_{m}^{g_{m}} = a_{1} · c_{1}^{h_{1}} · . . . · c_{n}^{h_{n}} · n.

Betrachte nun

τ(a · b_{1}^{g_{1}} · . . . · b_{m}^{g_{m}}) = τ(a_{1} · c_{1}^{h_{1}} · . . . · c_{n}^{h_{n}}) · τ(n).

τ(n) ist von der Form (a_{2}, (d_{k})_{k̄∈G/A}), wo dk̄ ∈ U′′ für alle k̄ ∈ G/A. Es folgt

b_{1}^{g_{1}} · . . . · b_{m}^{g_{m}} · N = c_{1}^{h_{1}} · . . . · c_{n}^{h_{n}} · N

und damit, da A ∩ N = {1} auch a = a_{1}.

7. Für 1 ≠ a′ ∈ A′ ist C_{H}(a′) ⊆ A′: Sei g ∈ H −A′, a′ = a·b_{0}^{g_{0}} ·. . .·b_{m}^{g_{m}} ·N wie in 6. Würde a′ mit g kommutieren, also a′ = g^{−1}a′g = a^{g} ·b_{0}^{g_{0}g} ·. . .·b_{m}^{g_{m}g} ·N, dann folgt aus der Eindeutigkeit der Darstellung sofort a = a^{g}, also a = 1 wegen Lemma 1.4 (G ist CA-Gruppe). Wegen der Torsionsfreiheit von G/A ist für b_{0} ≠ 1 die Menge {b_{0}^{g_{0}g^{n}}; n ∈ ℤ} unendlich, andererseits muß die gesamte Menge in der Darstellung von a′ vorkommen, ein Widerspruch.

8. H ist CA-Gruppe:

Das folgt aus Satz 2.1 mit 7.

Eine generelle Verallgemeinerung des Satzes auch für nicht torsionsfreies G/A ist nicht möglich, da in B und G/A nicht Elemente derselben endlichen Ordnung vorkommen dürfen. Außerdem ist dann das Kranzprodukt B wr G/A keine CA-Gruppe. Satz 8.9 kann als Analogon zu 5.4 verstanden werden.

Der obige Amalgamierungssatz hilft auch nur weiter, wenn eine der beiden Gruppen abelsch ist. Bei einer allgemeineren Amalgamierung machen Elemente Probleme, die eine zu amalgamierende abelsche Untergruppe normalisieren. Diese Überlegungen führen zu dem Ergebnis, daß die Amalgamierung zweier Gruppen G und H mit gemeinsamer Untergruppe U im Normalfall nur möglich ist, wenn die Untergruppe von keinem Element außerhalb der Untergruppe normalisiert wird, sogar U ∩ U^{k} = {1} für alle k ∉ U. Wir werden Untergruppen mit dieser Eigenschaft auch malnormal nennen.

Wir werden im folgenden freie Produkte mit amalgamierten Untergruppen benutzen. Wir stützen uns dabei auf das Buch von W. Magnus, A. Karras, D. Solitar [29]. Das freie Produkt von G und H mit amalgamierter Untergruppe U bezeichnen wir mit G ∗ H|_{U}. Unter einer reduzierten Darstellung eines Elementes aus G ∗ H|_{U} verstehen wir die in [29] Theorem 4.4 (p.201) angegebene Darstellung g = u · g_{1} · . . . · g_{m}, wo u ∈ U und g_{i} aus einem Repräsentantensystem von [G : U] oder [H : U] sind. Außerdem sollen g_{i} und g_{i+1} nicht im selben Faktor liegen. Wir gehen im allgemeinen von einer beliebigen Wahl der Repräsentanten aus.

Unter der reduzierten Länge eines Elementes verstehen wir die Anzahl der Elemente der reduzierten Darstellung ohne den Anteil aus der amalgamierten Untergruppe U. Insbesondere hat ein Element u ∈ U die reduzierte Länge l(u) = 0.

Es gilt folgender Amalgamierungssatz:

Satz 5.5. Seien G und H CA-Gruppen und U eine gemeinsame Untergruppe, so daß U ∩ U^{k} = {1} für alle k ∈ G − U ist. Dann ist K := G ∗ H|_{U}, das freie Produkt von G und H mit amalgamierter Untergruppe U, eine CA-Gruppe.

Beweis. Seien a ≠ 1, b, c ∈ K, b, c ∈C_{K}(a). Zu zeigen ist [b, c] = 1. Die reduzierte Darstellung von b sei b = ub_{1}b_{2} … b_{m}.

Wir machen dazu eine Fallunterscheidung:

1. a ∈ U: Nach Voraussetzung ist b^{−1}ab = a, d.h. a = b_{m}^{−1} … b_{2}^{−1}b_{1}^{−1}u^{−1}aub_{1}b_{2} … b_{m}. Wäre b_{1} ∈ G − U, dann wäre nach Voraussetzung b_{1}^{−1}u^{−1}aub_{1} ∉ U. Daraus folgt aber, daß die reduzierte Länge des Wortes rechts 2m − 1 ≥ 1 sein muß, ein Widerspruch zu l(a) = 0.

[ Die Reduzierung erfolgt von rechts nach links. Da abwechselnd Komponenten aus G und H auftauchen, können keine gekürzt werden. ] Also ist b_{1} ∈ H

1. Fall: b_{1}^{−1}u^{−1}aub_{1} ∈ U. Dann ist a = b_{m}^{−1} … b_{2}^{−1}b_{1}^{−1}u^{−1}aub_{1}b_{2} … b_{m} mit b_{2} ∈ G und es folgt wie eben b_{2} = 1. Also ist b = ub_{1} mit u ∈ U und b = ub_{1} ∈C_{K}(a) ∩ H =C_{H}(a), also b ∈C_{H}(a).

2. Fall: b_{1}^{−1}u^{−1}aub_{1} ∉ U. Dann ist wegen b_{2} ∈ G die reduzierte Länge des rechten Wortes mindestens 1, ein Widerspruch.

Folglich ist b und ebenso c im nach Voraussetzung abelschen Zentralisator von a in H, d.h. [b, c] = 1.

2. a ∈ U^{k} für ein k ∈ K:

Dann ist a^{k^{−1}} ∈ U und b^{k^{−1}}, c^{k^{−1}} ∈C_{K}(a^{k^{−1}}). Nach 1. kommutieren b^{k^{−1}} und c^{k^{−1}} und damit auch [b, c] = 1.

3. a ∈ G − ⋃_{k∈K} U_{k} :

Nach Voraussetzung ist b^{−1}ab = a, d.h. a = b_{m}^{−1} … b_{2}^{−1}b_{1}^{−1}u^{−1}aub_{1}b_{2} … b_{m}.

1. Fall: b_{1} ∈ H−{1}. Dann hat die rechte Seite reduzierte Länge von 2m+1 > 1, ein Widerspruch.

2. Fall: b_{1} ∈ G. Dann ist ist b_{2} ∈ H. Es ist b_{1}^{−1}u^{−1}aub_{1} ∉ U, da sonst a ∈ U^{(ub_{1})^{−1}}, ein Widerspruch. Wäre nun b_{2} ≠ 1, dann ergäbe sich ein Widerspruch wie im ersten Fall. Also b = ub_{1} ∈ G.

Ebenso ist c ∈ G. Da G CA-Gruppe ist, kommutieren b und c.

4. a ∈ G^{k} − ⋃_{k′∈K} U_{k′} :

Nach 3. sind b, c ∈ G^{k} und kommutieren daher.

5. a ∈ H − ⋃_{k∈K} U_{k} :

Nach Voraussetzung ist b^{−1}ab = a, d.h. a = b_{m}^{−1} … b_{2}^{−1}b_{1}^{−1}u^{−1}aub_{1}b_{2} … b_{m} 1. Fall: b_{1} ∈ G − {1}. Da u^{−1}au nach Voraussetzung nicht in U liegen kann, hat die rechte Seite reduzierte Länge von 2m + 1 > 1. Weil a reduzierte Länge 1 hat, ist das ein Widerspruch.

2. Fall: b_{1} ∈ H. Dann ist b_{2} ∈ G. Wie in 3. (2. Fall) folgt b_{2} = 1 und damit b ∈ H.

Analog folgt c ∈ H. Da H CA-Gruppe ist, folgt die Behauptung.

6. a ∈ H^{k} − ⋃_{k′∈K} U_{k′} : Nach 5. sind b, c ∈ H^{k} und kommutieren daher.

7. ∀k ∈ K : a ∉ G^{k} ∪ H^{k} : Wir wollen zeigen, daß in diesem Fall der Zentralisator von a in K zyklisch ist. Sei 1 ≠ x ∈C_{K}(a) mit minimaler reduzierter Länge. Nach [29] Theorem 4.5 (p.209) gibt es dann g, w ∈ K, u, v ∈ U und ganze Zahlen m, n mit:

\begin{aligned}a & = & g^{−1}ug · w^{m} \\ x & = & g^{−1}vg · w^{n} \end{aligned}

wobei u^{g}, v^{g}, w paarweise kommutieren. Nach 2. kann das aber nur sein, wenn entweder u = v = 1 oder w in H^{g} liegt. Da im zweiten Fall a ∈ H^{g} wäre, was nach Voraussetzung ausgeschlossen ist, trifft das erste zu. Insbesondere muß a (aufgrund der minimalen Wahl von x) eine Potenz von x sein (sogar: n = ±1) .

[ Wenn ein Element w nicht im Konjugierten eines Faktors liegt, ist l(w) < l(w^{2}). ]

Wir nehmen nun an, C_{K}(a) wäre nicht zyklisch. Dann gäbe es y ∈C_{K}(a), so daß y nicht Potenz von x ist. Wieder kann man ein solches y mit minimaler reduzierter Länge wählen. Es folgt analog wie für x, daß a auch Potenz von y sein muß. O.B.d.A. ist a Potenz von x, y mit positiven Exponenten. Für a zyklisch reduziert sind auch x, y zyklisch reduziert. Folglich müssen die letzten l(x) Folgenglieder in der reduzierten Darstellung von a mit denen von x übereinstimmen. Ebenso müssen die letzten l(y) Folgenglieder von a mit denen von y übereinstimmen. Damit sind letzten l(x) Folgenglieder von x und y identisch. Sei λ := l(x), ν := l(y). Also ist x = ux_{1} … x_{λ} und y = vy_{1} … y_{ν} mit y_{ν−λ+i} = x_{i} (i = 1, …, λ). Damit ist

yx^{−1} = vy_{1} … y_{ν}x_{λ}^{−1} … x_{1}^{−1}u^{−1}
= vy_{1} … y_{ν−λ}x_{1} … x_{λ}x_{λ}^{−1} … x_{1}^{−1}u^{−1}
= vy_{1} … y_{ν−λ}u^{−1}.

Also ist l(xy^{−1}) < l(y), yx^{−1} ∈C_{K}(a) und [x, yx^{−1}] ≠ 1. Das ist ein Widerspruch zur minimalen Wahl von y. Folglich ist C_{K}(a) zyklisch.

Bemerkung. Die Punkte 3.,4.,5. und 6. im Beweis folgen auch aus [29] Theorem 4.5 (ii).

Wir wollen aus 5.5 nun noch einige Folgerungen für e.c. CA-Gruppen ziehen.

Satz 5.6. Sei G existenziell abgeschlossen in der Klasse der CA-Gruppen und A eine maximale abelsche Untergruppe von G. Dann gilt:

(i) A ≨N_{G}(A),

(ii) N_{G}(A) ≨ G (mit anderen Worten: F(G) = {1}),

(iii) A ist in A ∩ [G, G] einbettbar, insbesondere |A ∩ [G, G]| = |A|.

Beweis. Zu (i): Angenommen A =N_{G}(A), also ist A malnormal in G. Außerdem ist H := A wr ℤ nach 2.4 eine CA-Gruppe. Also ist nach 5.5 die Gruppe K = G ∗ H|_{A} eine CA-Gruppe. Sei a ∈ A − {1}. Dann gilt in K der folgende Satz: ∃x : [a, x] ≠ 1 ∧ [a, a^{x}] = 1. Da G e.c. in der Klasse der CA-Gruppen ist, muß dieser Satz auch in G gelten. Der Satz sagt aber gerade aus (da G CA-Gruppe ist), daß A ≨N_{G}(A) ist, ein Widerspruch.

Zu (ii): Sei a ∈ A − {1}. Der Satz ∃x : [a, a^{x}] ≠ 1 ist in der Obergruppe K := G ∗ ℤ von G erfüllbar. K ist wegen 5.5 eine CA-Gruppe, also muß der Satz auch in G gelten. Ein erfüllendes Element für x liegt aber nicht in N_{G}(A).

Zu (iii): Nach (i) gibt es ein x ∈N_{G}(A) − A. Die Abbildung

ϕ_{x} : \begin{matrix}A & → & A ∩ [G, G] \\ a & ↦ & [a, x] \end{matrix}

ist nach 1.4 injektiv.

6 CSA-Gruppen

Bei freien Gruppen ist der Normalisator einer maximalen abelschen Untergruppe gerade die Untergruppe selbst. Das ermöglicht zumindest eine Amalgamierung mit abelschen Untergruppen mit Hilfe von Satz 5.5. Eine solche Amalgamierung ist allgemeiner in der Klasse der CA-Gruppen möglich, in der die maximalen abelschen Untergruppen malnormal sind. Diese Gruppen werden CSA-Gruppen genannt. Die Definition stammt von A.G. Myasnikov und V.N. Remeslennikov [32].

Wir definieren die Theorie, mit der wir weiterarbeiten wollen:

T := { ∀a, b, c : a · a^{−1} = 1 ∧ (a · b) · c = a · (b · c)
∀a, b, c : (b ≠ 1 ∧ [a, b] = [b, c] = 1) → [a, c] = 1
∀a, b : [a, b^{−1}ab] = 1 → [a, b] = 1  }

Die Theorie T enthält also die Gruppenaxiome, die CA-Eigenschaft und die folgende Eigenschaft: Wenn b ∈N_{G}(C_{G}(a)) ist, dann ist b ∈C_{G}(a).

Definition 6.1. Wir nennen eine Gruppe G eine CSA-Gruppe, falls G ein Modell von T ist. Wenn G zusätzlich den Satz

∀a : a^{2} = 1 → a = 1

erfüllt (d.h. G besitzt keine Involutionen), dann heißt G CSA*-Gruppe.

Beispiele. (i) Freie Gruppen sind CSA*-Gruppen.

(ii) 2-freie Gruppen, das heißt Gruppen, in denen je zwei Elemente eine freie Gruppe erzeugen, sind ebenfalls CSA*-Gruppen.

[ Daß 2-freie Gruppen CA-Gruppen sind, haben wir in Kapitel 2 bereits gezeigt. Die Eigenschaft ∀a, b : [a, b^{−1}ab] = 1 → [a, b] = 1 folgt für eine 2-freie Gruppe G direkt, wenn man für a, b ∈ G das Erzeugnis dieser Elemente betrachtet. Es ist außerdem klar, daß G keine Elemente endlicher Ordnung enthalten kann. ]

(iii) ∃-freie Gruppen, das heißt Gruppen, die dieselbe universelle Theorie haben wie freie Gruppen (siehe zum Beispiel [35]), sind CSA*-Gruppen.

(iv) Voll residuell freie Gruppen sind CSA*-Gruppen.

[ Gaglione und Spellman [16] haben gezeigt, daß voll residuell freie Gruppen die universelle Theorie der freien Gruppen erfüllen. ] (v) Endliche CSA-Gruppen sind abelsch.

(iv) Untergruppen von CSA-Gruppen sind CSA-Gruppen.

Wir können nun Satz 5.5 für den Fall der CSA*-Gruppen verwenden. Wir bemerken dazu, daß eine etwas schwächere Version von 6.2 auch in [18] (Theorem 2, dort wird ein zusätzliche Forderung an die Einbettung von U in H gestellt) mit anderen Methoden bewiesen wurde.

Satz 6.2. Seien G und H CSA*-Gruppen und U eine gemeinsame Untergruppe, so daß U ∩ U^{g} = {1} für alle g ∈ G − U. Dann ist das freie Produkt von G und H mit amalgamierter Untergruppe U, K := G ∗ H|_{U}, eine CSA*-Gruppe.

Beweis. Nach 5.5 ist K CA-Gruppe. Klar ist, daß K keine Involutionen enthält.

Die Gruppe ist außerdem CSA: Seien a, b ∈ K, [a, b^{−1}ab] = 1 und b := ub_{1} … b_{m}. Z.z. [a, b] = 1. Wir machen eine Fallunterscheidung wie in 5.5.

1. a ∈ U:

Nach Voraussetzung ist b^{−1}ab ∈C_{K}(a). Wie im Beweis von 5.5, 1. gezeigt, ist also b^{−1}ab = vh ∈C_{H}(a) mit v ∈ U, h ∈ H. Es folgt, daß b = ub_{1} ∈ H ist:

[ Wäre b_{1} ∈ G, so b_{1}^{−1}u^{−1}aub_{1} ∈ G − U, also insbesondere nicht in H. Ist b_{2} ≠ 1, dann hat b^{−1}ab mindestens reduzierte Länge von 3, ein Widerspruch zu b^{−1}ab ∈ H Also ist b_{1} ∈ H. Wäre b_{2} ≠ 1, so folgt ein Widerspruch wie eben. ]

Da H CSA-Gruppe ist, folgt [a, b] = 1.

2. a ∈ U^{k} für ein k ∈ K:

Dann ist a^{k^{−1}} ∈ U und [(b^{k^{−1}})^{−1}a^{k^{−1}}b^{k^{−1}}, a^{k^{−1}}] = 1. Nach 1. kommutieren b^{k^{−1}} und a^{k^{−1}} und damit auch [a, b] = 1.

3. a ∈ G − ⋃_{k∈K} U_{k} :

Nach 5.5, 3. ist b^{−1}ab ∈C_{G}(a), also b_{m}^{−1} … b_{2}^{−1}b_{1}^{−1}u^{−1}aub_{1}b_{2} … b_{m} ∈ G. Da u^{−1}au ∈ G − U folgt analog wie in 1., daß b_{1} ∈ G und b_{2} = 1 ist.

Also ist b ∈ G und da G CSA-Gruppe ist, folgt [a, b] = 1.

4. a ∈ G^{k} − ⋃_{k′∈K} U_{k′} :

Nach 3. sind a, b ∈ G^{k} und kommutieren daher.

5. a ∈ H − ⋃_{k∈K} U_{k} :

Analog zu 1. und 3. folgt, daß b ∈ H und damit [a, b] = 1.

6. a ∈ H^{k} − ⋃_{k′∈K} U_{k′} : Nach 5. sind b, c ∈ H^{k} und kommutieren daher.

7. ∀k ∈ K : a ∉ G^{k} ∪ H^{k} : Es bleibt also der Fall, daß a in keinem Konjugierten von G oder H liegt. Sei C :=C_{K}(a). Wir wissen aus dem Beweis von 5.5, daß C eine zyklische Gruppe von unendlicher Ordnung ist (schon a hat unendliche Ordnung, da es nicht im Konjugierten eines Faktors liegt, siehe [29], Corollary 4.4.5). Da K CA-Gruppe ist und C maximale abelsche Untergruppe und C ∩ C^{b} ≠ 1, folgt C = C^{b}. Es gibt aber nur einen nicht-trivialen Automorphismus von C, nämlich den, der ein Element auf sein Inverses abbildet. In jedem Fall wirkt also b^{2} trivial auf C und damit b^{2} ∈ C. Da es in K keine Involutionen gibt, folgt b^{2} ≠ 1. Dann ist b ∈C_{K}(b^{2}) = C (da b^{2} ≠ 1), also [a, b] = 1.

Bemerkung. Aus Satz 6.2 folgt insbesondere, daß freie Produkte von CSA*-Gruppen wieder CSA*-Gruppen sind. Für CSA-Gruppen gilt entsprechendes nicht, wie das folgende Beispiel zeigt:

Seien A, B ≅ C_{2} zyklische Gruppen der Ordnung 2. Dann sind A und B CSA-Gruppen, aber das freie Produkt A ∗ B ist isomorph zu ℤ ⋊ C_{2}, was zwar eine CA-Gruppe, aber keine CSA-Gruppe ist.

Insbesondere bekommt man Amalgamierung für eine maximale abelsche Untergruppe U. Als direktes Korollar bekommen wir:

Korollar 6.3. : Seien G und H CSA*-Gruppen und U eine gemeinsame abelsche Untergruppe. Dann ist das freie Produkt K von G und H mit amalgamierter Untergruppe U und kommutierenden Untergruppen C_{G}(U) und C_{H}(U) eine CSA*-Gruppe.

Beweis. Die Idee dazu ist, zunächst C_{G}(U) und C_{H}(U) abelsch mit gemeinsamer Untergruppe U zu einer abelschen Gruppe A zu amalgamieren, dann zunächst G und A nach obigem Satz mit gemeinsamer Untergruppe C_{G}(U) zu amalgamieren. Mit obigem Satz kann dieses Amalgam dann wieder mit H und gemeinsamer Untergruppe C_{H}(U) amalgamiert werden. Das Ergebnis ist dann K.

Wie bemerkt wurden in [18] mit anderen Methoden ähnliche Resultate bewiesen. Außerdem wurde dort gezeigt, daß in der Klasse der CSA*-Gruppen bestimmte HNN-Konstruktionen möglich sind.

Wir zitieren ohne Beweis Theorem 1 aus [18]. Dabei sei mal_{G}(A) der malnormale Abschluß von A in G, nämlich die kleinste malnormale Untergruppe von G, die A enthält.

Satz ([18]). Sei G^{∗} eine HNN-Erweiterung einer CSA*-Gruppe G mit asoziierten Untergruppen A und B, so daß A =mal_{G}(A), B ⊴mal_{G}(B) und A ∩ g^{−1}mal_{G}(B)g = {1} für alle g ∈ G. Dann ist G^{∗} eine CSA*-Gruppe.

Wir wollen daraus Folgerungen für e.c. CSA*-Gruppen ziehen:

Satz 6.4. Sei G eine existenziell abgeschlossene CSA*-Gruppe. Dann gilt:

(i) G ist teilbar.

(ii) Je zwei maximale abelsche Untergruppen von G sind zueinander konjugiert.

Beweis. Zu (i): Sei g ∈ G, A :=C_{G}(g) und B eine teilbare abelsche Gruppe ohne Involutionen, so daß A ≤ B. Nach 6.2 ist K := G ∗ B|_{A} eine CSA*-Gruppe, in der für alle n ∈ ℕ − {0} gilt: ∃x : x^{n} = g. Daher müssen diese Sätze auch in G gelten, das heißt G ist teilbar.

Zu (ii): Seien A und B zwei maximale abelsche Untergruppen von G. Wir nehmen an, A und B wären nicht konjugiert in G. Sei außerdem B′ ≅ B. Dann ist K := G∗(A⊕B′)|_{A} nach 6.2 eine CSA*-Gruppe. Offensichtlich sind auch C_{K}(A) =C_{K}(B′) und C_{K}(B) nicht konjugiert in K. Deshalb ist die HNN-Erweiterung K^{∗} mit assoziierten Untergruppen B und B′ nach dem oben zitierten Satz eine CSA*-Gruppe (beachte: mal_{K}(B) = B und mal_{K}(B′) =C_{K}(B′)). Sei nun 1 ≠ a ∈ A, 1 ≠ b ∈ B. In K^{∗} gilt der Satz ∃x : [a^{x}, b] = 1. Da G e.c. ist, muß der Satz auch in G gelten. Das bedeutet aber, daß A und B in G konjugiert sind, ein Widerspruch.

Teil III

Lokal-endliche CA-Gruppen

7 Der nicht-auflösbare Fall

Wir wollen unsere Untersuchungen mit einer weiteren Klasse von CA-Gruppen fortführen, nämlich der Klasse der lokal-endlichen CA-Gruppen. Die existenziell abgeschlossenen Gruppen lassen sich hier verhältnismäßig gut bestimmen, da wir die Klassifikation der endlichen CA-Gruppen benutzen können. Außerdem treten gewisse Phänomene nicht auf, die bei unendlichen CA-Gruppen auftreten können. Die Klasse ist also überschaubarer.

Bezeichnung. \underline{L}okal-\underline{e}ndliche \underline{C}\underline{A}-Gruppen werden wir im folgenden LECA-Gruppen nennen, \underline{l}okal-\underline{e}ndliche \underline{a}uflösbare \underline{C}\underline{A}-Gruppen (also auflösbare LECA-Gruppen) werden wir als LEACA-Gruppen bezeichnen.

Proposition 7.1. Sei G eine LEACA-Gruppe. Dann ist G metabelsch.

Beweis. Für a, b, c, d ∈ G ist ⟨{a, b, c, d}⟩ endlich und auflösbar, also metabelsch. Daher ist [[a, b], [c, d]] = 1. Folglich ist auch G metabelsch.

Nicht-metabelsche LECA-Gruppen sind also nicht auflösbar. Endliche nichtauflösbare CA-Gruppen (siehe Kapitel 4) sind isomorph zu Gruppen der Bauart PSL_{2}(K) =SL_{2}(K), wo K ein endlicher Körper der Charakteristik 2 ist. Daher wollen wir die Klasse der Gruppen, die zu SL_{2}(K) für einen Körper K der Charakteristik 2 isomorph sind, näher betrachten.

Beachte. Wir werden im folgenden in Körpern der Charakteristik 2 rechnen und müssen daher nicht zwischen “+” und “-” unterscheiden. Außerdem folgt dort aus x^{2} = y^{2} bereits, daß x = y ist.

Der Vollständigkeit halber zeigen wir noch den folgenden bekannten Satz.

Proposition 7.2. Die Gruppen SL_{2}(K) sind für Körper K der Charakterisik 2 CA-Gruppen.

Beweis. Wir zeigen, daß SL_{2}(K), wo K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik 2 ist, eine CA-Gruppe ist. (Das reicht, weil man andere Gruppen SL_{2}(K′) mit char(K′) = 2 in eine solche einbetten kann.)

Da die Matrizen dort triagonalisierbar sind, reicht es zu zeigen, daß der Zentralisator eines Elementes g := ( \begin{matrix}a & b \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) ≠ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) abelsch ist.

Zunächst folgt aus

(\begin{matrix}a & b \\ 0 & a^{−1} \end{matrix}) · (\begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix}) = (\begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix}) · (\begin{matrix}a & b \\ 0 & a^{−1} \end{matrix})

daß

ar + bt = ar  (1)
as + bu = br + a^{−1}s  (2)
a^{−1}t = at  (3)
a^{−1}u = bt + a^{−1}u.  (4)

Aus (1) und (3) folgt bt = 0 = (a + a^{−1})t. Da g ≠ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ), folgt b ≠ 0 oder a ≠ 1. Letzteres bedeutet aber a ≠ a^{−1}. Daher folgt t = 0 und damit, weil die Determinante von ( \begin{matrix}r & s \\ 0 & u \end{matrix} ) gleich 1 sein muß, u = r^{−1}. Es bleibt also die Gleichung aus (2): as + br^{−1} = br + a^{−1}s, beziehungsweise s(a + a^{−1}) = b(r + r^{−1}). Wir machen eine Fallunterscheidung:

• b = 0:

Da in diesem Fall nach Voraussetzung a + a^{−1} ≠ 0 ist, folgt s = 0. Der Zentralisator von g ist also die Diagonaluntergruppe und diese ist abelsch.

• b ≠ 0:

Ist s = 0, dann r + r^{−1} = 0 und damit ( \begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Sonst ist s ≠ 0, also b^{−1}(a + a^{−1}) = s^{−1}(r + r^{−1}). Das heißt, der Zentralisator von g besteht gerade aus der Eins und den Elementen ( \begin{matrix}r & s \\ 0 & r^{−1} \end{matrix} ), wo s^{−1}(r +r^{−1}) = b^{−1}(a+a^{−1}). Damit folgt, daß die Elemente im Zentralisator kommutieren. (Zwei Elemente ( \begin{matrix}r & s \\ 0 & r^{−1} \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}x & y \\ 0 & x^{−1} \end{matrix} ) kommutieren genau dann, wenn eines der beiden Elemente die Identität ist oder s = y = 0 oder s^{−1}(r + r^{−1}) = y^{−1}(x + x^{−1}) ist.)

Peter Kissel zeigte in seiner Dissertation [25], daß die Klasse

K := {G; G ≅ SL_{2}(K); char(K) = 2, K vollkommen}

elementar ist. Wir definieren dazu:

Definition 7.3. Ein Polynom f ∈ K[x] heißt separabel, wenn jeder irreduzible Faktor von f nur einfache Wurzeln hat. Ein Körper K heißt vollkommen, falls jedes Polynom aus K[τ] separabel ist.

Bemerkung. Ein Körper K der Charakteristik p ≠ 0 ist genau dann vollkommen, wenn die Abbildung x ↦ x^{p} surjektiv auf K ist. Insbesondere sind lokal-endliche Körper vollkommen.

Wir wollen zeigen, daß die Klasse K auch induktiv (siehe Definition 5.2) ist. Wir geben dafür zwei Beweise. Im ersten Beweis werden wir direkt zeigen, daß die Vereinigung von Elementen aus K wieder in K liegt. Im zweiten Beweis wird gezeigt, daß K durch ∀∃-Sätze axiomatisierbar ist und daher (vergleiche die Bemerkung zu 5.2) induktiv ist. Vorbemerkung. Wir wollen kurz einige Anmerkungen zur Struktur von SL_{2}(K) mit char(K) = 2 machen: Die Untergruppe A := \{( \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} ); a ∈ K\} ist eine 2-Sylow-Gruppe und maximale abelsche Untergruppe (vergleiche den Beweis zu 7.2). Außerdem ist B := \{( \begin{matrix}k & 0 \\ 0 & k^{−1} \end{matrix} ); k ∈ K^{∗}\} eine zyklische Hall-Untergruppe und maximale abelsche Untergruppe (das ist aus dem Beweis zu 7.2 ersichtlich). A⋊B ist isomorph zu ⟨K, +⟩ ⋊ ⟨K^{∗}, ·⟩.

Wir fassen weitere bekannte Eigenschaften in der folgenden Proposition zusammen:

Proposition 7.4. Sei G =SL_{2}(K) mit char(K) = 2 und K vollkommen.

(i) Ein Element ( \begin{matrix}u & v \\ x & y \end{matrix} ) ∈ G ist genau dann eine Involution, wenn u = y ist.

(ii) Je zwei Involutionen in G sind zueinander konjugiert.

(iii) Seien x und y zwei nicht-kommutierende Involutionen in G. Dann läßt sich jedes g ∈ G darstellen als g = a · b · c · d, wo a, c ∈C_{G}(x) und b, d ∈C_{G}(y) sind.

Beweis. Zu (i): Zunächst gilt in G generell uy + vx = 1, d.h. uy + 1 = vx. Es gilt also

\begin{aligned}(\begin{matrix}u & v \\ x & y \end{matrix}) · (\begin{matrix}u & v \\ x & y \end{matrix}) & = & (\begin{matrix}u^{2} + vx & uv + vy \\ xu + yx & xv + y^{2} \end{matrix}) \\ & = & (\begin{matrix}u^{2} + uy + 1 & v(u + y) \\ x(u + y) & 1 + uy + y^{2} \end{matrix}) \end{aligned}

Es ist also ( \begin{matrix}u & v \\ x & y \end{matrix} )^{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) genau dann, wenn die folgenden Gleichungen erfüllt werden:

u(u + y) = 0
v(u + y) = 0
x(u + y) = 0
y(u + y) = 0

Das ist genau dann der Fall, wenn u + y = 0 (also u = y) ist. (Aus u ≠ y folgt u = v = x = y = 0, ein Widerspruch.)

Zu (ii): Es reicht zu zeigen, daß jede Involution zu ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) konjugiert ist. Diese Konjugierten lassen sich darstellen als:

(\begin{matrix}d & b \\ c & a \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix}cd + 1 & d^{2} \\ c^{2} & cd + 1 \end{matrix})

(Dabei ist ad + bc = 1.)

Sei also ( \begin{matrix}u & v \\ x & u \end{matrix} ) eine Involution. Da K vollkommen ist, gibt es c, d ∈ K, so daß x = c^{2} und v = d^{2}. Mit u^{2} + vx = 1 folgt dann u^{2} = 1 + c^{2}d^{2} = (1 + cd)^{2}, und damit u = 1 + cd.

Zu (iii): Wir können o.B.d.A. annehmen, daß x = ( \begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} ) und y = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ist.

[ Wir haben in (ii) gezeigt, daß wir x durch Konjugation auf ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) bringen können. Es ist nun noch folgendes zu zeigen: Sei z eine Involution, die nicht mit ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) kommutiert. Dann gibt es ein g aus dem Normalisator der Untergruppe \{( \begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} ); k ∈ K\}, so daß z^{g} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ist. Es ist

(\begin{matrix}r^{−1} & s \\ 0 & r \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}r & s \\ 0 & r^{−1} \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 + rs & s^{2} \\ r^{2} & 1 + rs \end{matrix})

Da r ≠ 0 ist, erreicht man so jede Involution, die nicht von der Form ( \begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ist. (Hier geht wieder ein, daß K vollkommen ist.) ]

Wir haben also noch zu zeigen, daß sich jedes Element z darstellen läßt als

z = (\begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 0 \\ β & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & γ \\ 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 0 \\ δ & 1 \end{matrix})
= (\begin{matrix}1 + αβ + γδ + αβγδ + αδ & γ + αβγ + α \\ β + βγδ + δ & βγ + 1 \end{matrix})
= (\begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix})

Wir müssen also folgendes zeigen: Wenn r, s, t, u mit der Nebenbedingung ru+st = 1 vorgegeben sind, können α, β, γ, δ geeignet gewählt werden.

Wir machen dazu eine Fallunterscheidung:

• t ≠ 0: Dann läßt sich die Nebenbedingung umformen zu s = (ru + 1)t^{−1}. Setze α := (r + 1)t^{−1}, β := t, γ := (u + 1)t^{−1} und δ := 0. Dann ist

1 + αβ + γδ + αβγδ + αδ = 1 + (r + 1) = r
γ + αβγ + α  = (u + 1)t^{−1} + (r + 1)(u + 1)t^{−1} + (r + 1)t^{−1}
= (ru + 1)t^{−1} = s
β + βγδ + δ  = t
βγ + 1  = (u + 1) + 1 = u

• s ≠ 0: Dann läßt sich die Nebenbedingung umformen zu t = (ru + 1)s^{−1}. Setze α := 0, β := (u + 1)s^{−1}, γ := s und δ := (r + 1)s^{−1}. Dann ist

1 + αβ + γδ + αβγδ + αδ = 1 + (r + 1) = r
γ + αβγ + α  = s
β + βγδ + δ  = (u + 1)s^{−1} + (u + 1)(r + 1)s^{−1} + (r + 1)s^{−1}
= (ru + 1)s^{−1} = t
βγ + 1  = (u + 1) + 1 = u

• s = t = 0: Die Nebenbedingung lautet nun ru = 1 oder u = r^{−1}. Setze α := 1 + r, β := 1, γ := r^{−1} + 1 und δ := r. Dann ist

1 + αβ + γδ + αβγδ + αδ = 1 + (1 + r) + (1 + r) + (1 + r)^{2} + (r + r^{2})
= r
γ + αβγ + α  = (r^{−1} + 1) + (r + r^{−1}) + (1 + r) = 0 = s
β + βγδ + δ  = 1 + (1 + r) + r = 0 = t
βγ + 1  = (r^{−1} + 1) + 1 = r^{−1} = u

Damit ist die Behauptung gezeigt.

Proposition 7.5. Seien K_{1} und K_{2} vollkommene Körper der Charakteristik 2. Sei ϕ : SL_{2}(K_{1}) ⟶ SL_{2}(K_{2}) eine Einbettung. Dann existiert ein g ∈SL_{2}(K_{2}) und eine Einbettung ψ : K_{1} ⟶ K_{2}, so daß ϕ_{g} ∘ ϕ die kanonische Einbettung von SL_{2}(K_{1}) in SL_{2}(K_{2}) unter ψ ist (ϕ_{g}(x) := g^{−1}xg).

Beweis. Setze G :=SL_{2}(K_{2}). Wähle g_{1} ∈ G, so daß g_{1}^{−1} · ϕ(( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) · g_{1} = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) =: a. (Das ist nach 7.4 (ii) möglich.)

Wähle nun g_{2} ∈N_{G}(C_{G}(a)), so daß g_{2}^{−1} · g_{1}^{−1} · ϕ(( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} )) · g_{1} · g_{2} = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ist. (Das

geht wie im Beweis von 7.4 (iii).) Setze g := g_{1} · g_{2}.

Wir zeigen, daß g^{−1} · ϕ(( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) · g = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ist.

[ Zunächst ist klar, daß das Bild von ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) von der Form ( \begin{matrix}1 & l \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ist, da es nach Voraussetzung im Zentralisator von a liegt. Um zu sehen, daß l = 1 sein muß, beachte man, daß in SL_{2}(K_{1}) gilt:

( (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) )^{3} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Für das Bild gilt also in SL_{2}(K_{2}):

( (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & l \\ 0 & 1 \end{matrix}) )^{3} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Ausrechnen ergibt:

\begin{aligned}( (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & l \\ 0 & 1 \end{matrix}) )^{3} & = & (\begin{matrix}1 & l \\ 1 & l + 1 \end{matrix})^{3} \\ & = & (\begin{matrix}l^{2} + l + 1 & l^{3} + l \\ l^{2} + 1 & l^{3} + l^{2} + 1 \end{matrix}) . \end{aligned}

Das ist nur dann die Identität, wenn l^{2} + 1 = 0 ⇔ l = 1. ]

Für x ∈ K_{1}^{∗} ist nun g^{−1} · ϕ(( \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x^{−1} \end{matrix} )) · g = ( \begin{matrix}y & 0 \\ 0 & y^{−1} \end{matrix} ) mit y ∈ K_{2}^{∗}.

[ Ein Element ( \begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix} ) ist genau dann in N_{G}(C_{G}(a)), wenn t = 0 ist, denn es ist

(\begin{matrix}u & s \\ t & r \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix}) = (\begin{matrix}ru + tu + st & u^{2} \\ t^{2} & ru + tu + st \end{matrix}) .

Der Zentralisator von a ist aber gerade

C_{G}(a) = \{ (\begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix}); k ∈ K_{2}\}.

Analog ist ( \begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix} ) genau dann in N_{G}(C_{G}(( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ))), wenn s = 0 ist.

Da b := ( \begin{matrix}x & 0 \\ 0 & x^{−1} \end{matrix} ) sowohl den Zentralisator in SL_{2}(K_{1}) von ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) als auch den von ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) normalisiert, muß auch (ϕ_{g} ∘ϕ)(b) die Zentralisatoren der Bilder normalisieren (vergleiche 1.2 (ii)), und damit eine Diagonalmatrix sein. ] Setze ϕ_{1} := ϕ_{g} ∘ ϕ. Die Abbildung

\begin{matrix}ψ : K_{1} & ⟶ & K_{2} \\ k & ↦ & l, & wo ϕ_{1}(( \begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}1 & l \\ 0 & 1 \end{matrix} ) \end{matrix}

ist ein Körpermonomorphismus von K_{1} in K_{2}.

[ Da

ϕ_{1}( (\begin{matrix}1 & k_{1} + k_{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}) ) = ϕ_{1}( (\begin{matrix}1 & k_{1} \\ 0 & 1 \end{matrix}) ) · ϕ_{1}( (\begin{matrix}1 & k_{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}) )
= (\begin{matrix}1 & ψ(k_{1}) \\ 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & ψ(k_{2}) \\ 0 & 1 \end{matrix})
= (\begin{matrix}1 & ψ(k_{1}) + ψ(k_{2}) \\ 0 & 1 \end{matrix})

ist, ist ψ(k_{1} + k_{2}) = ψ(k_{1}) + ψ(k_{2}).

Zu zeigen ist noch ψ(k_{1} · k_{2}) = ψ(k_{1}) · ψ(k_{2}).

Zunächst ist für κ ∈ K_{1} und ϕ_{1}(( \begin{matrix}κ^{−1} & 0 \\ 0 & κ \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}λ^{−1} & 0 \\ 0 & λ \end{matrix} ) :

ϕ_{1}( (\begin{matrix}1 & κ^{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}) ) = ϕ_{1}( (\begin{matrix}κ & 0 \\ 0 & κ^{−1} \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}κ^{−1} & 0 \\ 0 & κ \end{matrix}) )
= (\begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ^{−1} \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}λ^{−1} & 0 \\ 0 & λ \end{matrix})
= (\begin{matrix}1 & λ^{2} \\ 0 & 1 \end{matrix})

Also ist λ^{2} = ψ(κ^{2}).

Seien nun k_{1}, k_{2} ∈ K_{1} gegeben. Dann existiert κ_{1} ∈ K_{1} mit κ_{1}^{2} = k_{1}, da K_{1} vollkommen ist. Sei außerdem

ϕ_{1}( (\begin{matrix}κ_{1}^{−1} & 0 \\ 0 & κ_{1} \end{matrix}) ) = (\begin{matrix}λ_{1}^{−1} & 0 \\ 0 & λ_{1} \end{matrix}) .

Also ist wie oben gesehen λ_{1}^{2} = ψ(κ_{1}^{2}) = ψ(k_{1}). Es folgt

\begin{aligned}ϕ_{1}( (\begin{matrix}1 & k_{1} · k_{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}) ) & = & ϕ_{1}( (\begin{matrix}κ_{1} & 0 \\ 0 & κ_{1}^{−1} \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & k_{2} \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}κ_{1}^{−1} & 0 \\ 0 & κ_{1} \end{matrix}) ) \\ & = & (\begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{1}^{−1} \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & ψ(k_{2}) \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}λ_{1}^{−1} & 0 \\ 0 & λ_{1} \end{matrix}) \end{aligned}

\begin{matrix}= & (\begin{matrix}1 & λ_{1}^{2} · ψ(k_{2}) \\ 0 & 1 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix}1 & ψ(k_{1}) · ψ(k_{2}) \\ 0 & 1 \end{matrix}) , \end{matrix}

und die Behauptung ist gezeigt. ]

Ganz analog ist ϕ_{1}(( \begin{matrix}1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ ψ(k) & 1 \end{matrix} ). Da nach 7.4 (iii) die Gruppe SL_{2}(K_{1}) durch Elemente der Form ( \begin{matrix}1 & k_{1} \\ 0 & 1 \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}1 & 0 \\ k_{2} & 1 \end{matrix} ) erzeugt wird, folgt daß

ϕ_{1}( (\begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix}) ) = (\begin{matrix}ψ(r) & ψ(s) \\ ψ(t) & ψ(u) \end{matrix})

ist.

Satz 7.6. Die Klasse K := {G; G ≅ SL_{2}(K), char(K) = 2, K vollkommen} ist induktiv.

Beweis. Sei L eine Kette in K. Wir können o.B.d.A. annehmen, daß L = {G_{α}; α ∈ λ} wohlgeordnet ist mit G_{α} ⊆ G_{β} für α ≤ β. (Sonst wähle mittels Auswahlaxiom eine wohlgeordnete konfinale Teilmenge von L.) Zu zeigen ist, daß ⋃ L = ⋃_{α∈λ} G_{α} in K liegt.

Für jedes α ∈ λ gibt es nach Voraussetzung einen vollkommenen Körper K_{α} der Charakteristik 2 sowie einen Isomorphismus ϕ_{α} : G_{α} →SL_{2}(K_{α}).

Wir wollen nun induktiv für β ∈ λ Isomorphismen τ_{β} : G_{β} →SL_{2}(K_{β}) und für α < β ∈ λ Einbettungen ψ_{αβ} : K_{α} → K_{β} definieren, so daß für α < β ∈ λ die Abbildung τ_{β} ∘ τ_{α}^{−1} :SL_{2}(K_{α}) →SL_{2}(K_{β}) die kanonische Einbettung unter ψ_{αβ} ist.

[figure: .; .; .; SL_{2}(K_{α}); SL_{2}(K_{α+1}); .; .; .; .; .; .; G_{α}; ⊆; G_{α+1}; ⊆; .; .; .; G_{λ}; τ_{α}; τ_{α+1}]
β = 0 : Setze τ_{0} := ϕ_{0} und ψ_{00} := Id_{K_{0}}, die Identität auf K_{0}.

β = α + 1 : Die Abbildung ϕ_{β} ∘ τ_{α}^{−1} ist eine Einbettung der Gruppe SL_{2}(K_{α})

in SL_{2}(K_{β}).

Nach 7.5 gibt es ein g ∈SL_{2}(K_{β}) und eine Einbettung ψ_{αβ} : K_{α} → K_{β}, so daß

ϕ_{g} ∘ ϕ_{β} ∘ τ_{α}^{−1} die kanonische Einbettung unter ψ_{αβ} ist.

Setze nun τ_{β} := ϕ_{g} ∘ ϕ_{β} und für γ < α: ψ_{γβ} := ψ_{αβ} ∘ ψ_{γα}, sowie ψ_{ββ} := Id_{K_{β}}. Dann ist für γ ≤ α die Abbildung

τ_{β} ∘ τ_{γ}^{−1} = (τ_{β} ∘ τ_{α}^{−1}) ∘ (τ_{α} ∘ τ_{γ}^{−1})

die kanonische Einbettung unter ψ_{γβ} = ψ_{αβ} ∘ ψ_{γα}.

β Limeszahl: Sei K′_{β} der induktive Limes der Körper K_{α} für α < β unter den Einbettungen ψ_{αγ}. Sei dabei ψ′_{αβ} die Einbettung von K_{α} in K′_{β}, und θ′_{αβ} die dadurch induzierte Einbettung von SL_{2}(K_{α}) in SL_{2}(K′_{β}). Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus τ′_{β} von ⋃_{α∈β} G_{α} auf SL_{2}(K′_{β}) definiert durch

\begin{aligned}τ′_{β} : & ⋃_{α∈β} G_{α} & → & SL_{2}(K′_{β}) \\ & g & ↦ & θ′_{αβ}(τ_{α}(g)) & für g ∈ G_{α} \end{aligned}

(Für g ∈ G_{α} ist τ′_{β}(g) gleich dem Bild von τ_{α}(g) unter der Einbettung von SL_{2}(K_{α}) in den induktiven Limes SL_{2}(K′_{β}).) Die Abbildung ist wohldefiniert, da für α < γ < β gilt: θ′_{αβ} = θ′_{γβ} ∘ τ_{γ} ∘ τ_{α}^{−1}. Nun ist ⋃_{α∈β} G_{α} ⊆ G_{β} und ϕ_{β} ∘ τ′_{β}^{−1} ist eine Einbettung von SL_{2}(K′_{β}) in SL_{2}(K_{β}). Wir gehen wie im Nachfolgerschritt vor und wählen ein g ∈SL_{2}(K_{β}) und eine Einbettung ψ′_{ββ} : K′_{β} → K_{β}, so daß ϕ_{g} ∘ ϕ_{β} ∘ τ′_{β}^{−1} die kanonische Einbettung unter ψ′_{ββ} ist. Setze nun τ_{β} := ϕ_{g} ∘ ϕ_{β} und für γ < β: ψ_{γβ} := ψ′_{ββ} ∘ ψ′_{γβ}, sowie ψ_{ββ} := Id_{K_{β}}.

Sei nun K_{δ} der induktive Limes der Körper K_{α} für α < δ unter den Einbettungen ψ_{αγ} (für α, γ ≤ δ). Dann gibt es wie im Limesschritt einen natürlichen Isomorphismus τ′_{β} von ⋃_{α∈δ} G_{α} auf SL_{2}(K_{δ}). Offensichtlich ist K_{δ} vollkommen.

Folglich ist ⋃ L ∈ K.

Theorem 7.7. Eine nicht auflösbare abzählbare e.c. LECA-Gruppe ist isomorph zu SL_{2}(𝔽̃_{2}), wo 𝔽̃_{2} der algebraische Abschluß von 𝔽_{2}, dem Körper mit 2 Elementen, ist.

Beweis. Sei G eine nicht auflösbare abzählbare e.c. LECA-Gruppe. Dann liegt jede endliche Untergruppe von G in einer nicht auflösbaren endlichen Untergruppe von G. Es folgt, daß G die Union einer Kette von endlichen Gruppen G_{n} ist, wo für n ∈ ω ein endlicher Körper K_{n} der Charakteristik 2 existiert, so daß G_{n} isomorph zu SL_{2}(K_{n}) ist. Aus 7.6 folgt nun, daß die Gruppe G isomorph zu SL_{2}(K) ist, wo K der induktive Limes der Körper K_{n} ist. K muß lokal-endlich sein, d.h. es darf keine Elemente in K geben, die unendliche multiplikative Ordnung haben, denn ⟨K^{∗}, ·⟩ ≅ \{( \begin{matrix}k & 0 \\ 0 & k^{−1} \end{matrix} ); k ∈ K^{∗}\} ⊆SL_{2}(K). Daher kann es keine über 𝔽_{2} transzendenten Elemente geben. Es folgt also, daß K ein Unterkörper von 𝔽̃_{2} ist. Wir müssen nun noch zeigen, daß K algebraisch abgeschlossen ist. Dazu übersetzen wir einen existenziellen Satz der “Körpersprache”

Φ ≏ ∃x : λ_{n}x^{n} + λ_{n−1}x^{n−1} + … + λ_{0} = 0

in die “Gruppensprache”.

Sei κ_{i}^{2} := λ_{i} für i = 1, …, n (d.h. κ_{i} soll die eindeutig (wegen char(K) = 2) existierende (wegen K vollkommen) Quadrat-Wurzel von λ_{i} sein).

Außerdem sei a := ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) und

c_{i}(u) := \{ \begin{matrix}(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , & falls λ_{i} = 0 oder λ_{0} = 0, \\ (\begin{matrix}κ_{i} & 0 \\ 0 & κ_{i}^{−1} \end{matrix}) u^{−i} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) u^{i} (\begin{matrix}κ_{i}^{−1} & 0 \\ 0 & κ_{i} \end{matrix}) , & sonst. \end{matrix}

Dann wird der obige Satz übersetzt zu:

Ψ ≏ ∃u : (u^{−1}au · a = a · u^{−1}au) ∧ c_{n}(u) · . . . · c_{0}(u) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Wir zeigen nun: K ⊨ Φ ⟺ SL_{2}(K) ⊨ Ψ.

[ Sei zunächst λ_{0} ≠ 0.

⇒: Sei k erfüllendes Element für Ψ. Da K volkommmen ist, existiert ein ν ∈ K mit ν^{2} = k. Setze u := ( \begin{matrix}ν^{−1} & 0 \\ 0 & ν \end{matrix} ). Dann erfüllt u den Satz Ψ.

⇐: Sei u := ( \begin{matrix}ν^{−1} & μ \\ 0 & ν \end{matrix} ) erfüllendes Element für Ψ. Dann erfüllt k := ν^{2}

den Satz Φ. Sei nun λ_{0} = 0: Dann ist Φ erfüllt, denn x = 0 ist erfüllendes Element. Ψ ist ebenfalls wahr, denn es wird von u = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) erfüllt. ]

Da der übersetzte Satz Ψ in der Oberstruktur SL_{2}(K̃) (K̃ der algebraische Abschluß von K) bei beliebiger Wahl der λ_{i} mit n ≥ 1 und λ_{n} ≠ 0 gilt, muß er auch in SL_{2}(K) gelten, was bedeutet, daß (wegen der Rückübersetzung zu Φ) K algebraisch abgeschlossen sein muß.

Korollar 7.8. Eine überabzählbare LECA-Gruppe ist metabelsch.

Beweis. Es folgt induktiv, daß jede nicht auflösbare LECA-Gruppe in K liegt.

[ Wähle sonst ein Gegenbeispiel G minimaler Kardinalität. G ist dann die Vereinigung von nicht auflösbaren LECA-Gruppen kleinerer Kardinalität. Diese liegen alle in K. Also, da K induktiv ist, auch G ∈ K, ein Widerspruch zur Annahme. ]

Also ist eine nicht auflösbare LECA-Gruppe isomorph zu einer Gruppe SL_{2}(K). K muß dabei aber lokal-endlich sein und ist deswegen abzählbar. Daher muß eine überabzählbare LECA-Gruppe auflösbar und damit wegen Proposition 7.1 metabelsch sein.

Wir wollen nun noch zeigen, daß die Klasse K sogar endlich axiomatisierbar ist. Dazu geben wir eine endliche Liste von Axiomen an. Wir benutzen dabei die folgenden Abkürzungen:

x^{2}  :≏ x · x
x^{y}  :≏ y^{−1} · x · y
[x, y]  :≏ x^{−1} · y^{−1} · x · y
x ∈ C(y)  :≏ [x, y] = 1
x ∈ I  :≏ x^{2} = 1 ∧ x ≠ 1
x_{1}, …, x_{n} ∈ A :≏ ⋀_{i=1}^{n} x_{i} ∈ A (A steht hier für C(y), N(y) oder I).
x ∈ N(y)  :≏ [y, y^{x}] = 1
x ∈ N(y) ∩ N(z) :≏ x ∈ N(y) ∧ x ∈ N(z)

Bemerkung. Hier steht “x ∈ N(y)” für “x ∈N_{G}(C_{G}(y))”. Da G CA-Gruppe ist, wird das durch den Satz “[y, y^{x}] = 1” ausgedrückt. Sei y ≠ 1, dann ist nämlich y^{x} ∈C_{G}(y)∩(C_{G}(y))^{x}. Da C_{G}(y) und (C_{G}(y))^{x} maximale abelsche Untergruppen sind, deren Schnitt nicht trivial ist, sind sie identisch.

I. ∀x∀y∀z : (x · y) · z = x · (y · z) ∧ x · 1 = 1 · x = x ∧ x · x^{−1} = 1 (Die Gruppen-Axiome.)

II. ∀x∀y∀z : ([x, y] = [y, z] = 1 ∧ y ≠ 1) → [x, z] = 1 (Die CA-Eigenschaft.)

III. ∀x∀y∃z : x, y ∈ I → x^{z} = y (Je zwei Involutionen sind zueinander konjugiert.)

IV. ∃x∃y : x, y ∈ I ∧ [x, y] ≠ 1 (Es gibt zwei nicht-kommutierende Involutionen.)

V. ∀a∀b : (a ∈ I ∧ [a, b] = 1) → b^{2} = 1 (Der Zentralisator einer Involution besteht nur aus Involutionen und der Eins.)

VI. ∀x∀y∃z : (x, y ∈ I ∧ [x, y] = 1) → x^{z^{2}} = y (Seien x und y kommutierende Involutionen, dann sind x und y durch ein Quadrat konjugiert.)

VII. ∀x∀y∀z∃a∃b∃c∃d :

(x, y ∈ I ∧ [x, y] ≠ 1) → (a, c ∈ C(x) ∧ b, d ∈ C(y) ∧ z = a · b · c · d) (Jedes z läßt sich darstellen als Produkt aus den Zentralisatoren zweier Involutionen, die nicht kommutieren.)

VIII. ∀x∀y∀z : y, z ∈ N(x) → [y, z] ∈ C(x) (Für alle x ist N_{G}(C_{G}(x))/C_{G}(x) abelsch.)

IX. ∀x_{1}∀x_{2} ∀y_{1}∀y_{2} ∃z_{1}∃z_{2} :

(⋀_{i=1}^{2}(x_{i}, y_{i} ∈ I ∧ [x_{i}, y_{i}] ≠ 1) ∧ [x_{1}, x_{2}] = [y_{1}, y_{2}] = 1)

→ (x_{1}^{z_{1}} = x_{2} ∧ y_{1}^{z_{2}} = y_{2} ∧ z_{2} ∈ N(x_{1}) ∧ z_{1} ∈ N(y_{1}))

(N_{G}(C_{G}(x_{1}))∩N_{G}(C_{G}(y_{1})) wirkt für zwei nicht-kommutierende Involutionen x_{1} und y_{1} transitiv auf die Elemente ≠ 1 aus beiden Zentralisatoren.)

X. ∀a∀x∃b : (a, x ∈ I ∧ [a, x] ≠ 1) → (b ∈ C(x) ∧ (ab)^{3} = 1) (Für zwei nicht-kommutierende Involutionen a und x gibt es ein Element b aus dem Zentralisator von x, so daß ab Ordnung 3 hat.)

XI. ∀a∀b ∀x_{1}∀x_{2}∀x_{3}∀x_{4} ∀y_{1}∀y_{2}∀y_{3}∀y_{4} ∀g_{2}∀g_{3} ∀h_{2}∀h_{3} : (a, b ∈ I ∧ [a, b] ≠ 1 ∧ (ab)^{3} = 1 ∧ x_{1}, x_{3}, y_{1}, y_{3} ∈ C(a) ∧ x_{2}, x_{4}, y_{2}, y_{4} ∈ C(b) ∧ g_{2}, g_{3}, h_{2}, h_{3} ∈ N(a) ∩ N(b) ∧ (x_{2} = 1 ∨ x_{2} = b^{g_{2}}) ∧ (x_{3} = 1 ∨ x_{3} = a^{g_{3}}) ∧ (y_{2} = 1 ∨ y_{2} = b^{h_{2}}) ∧ (y_{3} = 1 ∨ y_{3} = a^{h_{3}})) ⟶ (x_{1} · x_{2} · x_{3} · x_{4} = y_{1} · y_{2} · y_{3} · y_{4} ⟷ Φ_{1} ∧ Φ_{2} ∧ Φ_{3} ∧ Φ_{4} ∧ Φ_{5} ∧ Φ_{6} ∧ Φ_{7}) mit

\begin{aligned}Φ_{1} & :≏ & (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) ↔ (y_{2} ≠ 1 ∧ y_{3} ≠ 1) \\ Φ_{2} & :≏ & (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) → x_{3}^{g_{2}^{−1}} = y_{3}^{h_{2}^{−1}} \\ Φ_{3} & :≏ & (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) → x_{2} · x_{4}^{g_{2}g_{3}^{−1}} · x_{4} = y_{2} · y_{4}^{h_{2}h_{3}^{−1}} · y_{4} \\ Φ_{4} & :≏ & (x_{2} = 1 ∨ x_{3} = 1) → x_{2} · x_{4} = y_{2} · y_{4} \end{aligned}

Φ_{5} :≏ (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) → x_{3} · x_{1}^{g_{2}^{−1}g_{3}} · x_{1} = y_{3} · y_{1}^{h_{2}^{−1}h_{3}} · y_{1}
Φ_{6} :≏ (x_{2} = 1 ∨ x_{3} = 1) → x_{1} · x_{3} = y_{1} · y_{3}
Φ_{7} :≏ (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1 ∧ x_{3}^{g_{2}^{−1}} = a)
→ x_{1}^{g_{2}^{−1}} · aba · x_{4}^{g_{3}^{−1}} · aba = y_{1}^{h_{2}^{−1}} · aba · y_{4}^{h_{3}^{−1}} · aba

(Mit diesem Satz soll für eine eindeutige Matrizendarstellung gesorgt werden.) Theorem 7.9. Die Klasse K wird durch die obigen Sätze axiomatisiert. Beweis. Es ist zunächst zu zeigen, daß jede Gruppe aus K die obigen Axiome erfüllt.

I . Hier ist nichts zu zeigen. II . wurde in 7.2 gezeigt. III . wurde 7.4 (ii) bewiesen. IV . Als Beispiel: ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ). V . Der Zentralisator von ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) besteht gerade aus den Elementen ( \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} ) (a ∈ K). Das sind für a ≠ 0 alles Involutionen. VI . Hier wird wieder benötigt, daß der Körper vollkommen ist. Nach III. reicht es zu zeigen, daß ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix} ) durch ein Quadrat konjugiert sind. Mit b^{2} = a ist

(\begin{matrix}b & 0 \\ 0 & b^{−1} \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}b^{−1} & 0 \\ 0 & b \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

b wiederum ist als Quadrat darstellbar, da der Körper K vollkommen ist. VII . Das wurde in 7.4 (iii) bewiesen. VIII . Der Normalisator des Zentralisators einer Involution ist isomorph zu (K, +) ⋊ (K^{∗}, ·). Das folgt daraus, daß alle Involutionen konjugiert sind und

\begin{aligned}N_{G}( (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ) & = & \{ (\begin{matrix}a & b \\ 0 & a^{−1} \end{matrix}); a ∈ K^{∗}, b ∈ K\} \\ & = & \{ (\begin{matrix}1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix}); b ∈ K\} ⋊ \{ (\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a^{−1} \end{matrix}); a ∈ K^{∗}\} \end{aligned}

ist. Für die übrigen maximalen abelschen Untergruppen A ist N_{G}(A) ≅ A⋊C_{2}.

IX . Wie im Beweis von 7.4 (iii) seien o.B.d.A.

x_{i} = (\begin{matrix}1 & k_{i} \\ 0 & 1 \end{matrix}) und y_{i} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ l_{i} & 1 \end{matrix}) (i = 1, 2, k_{i}, l_{i} ≠ 0).

Sei k_{1}·a^{2} = k_{2} und l_{1}·b^{2} = l_{2} (solche a und b existieren in K, da K vollkommen ist). Dann erfüllen

z_{1} := (\begin{matrix}a^{−1} & 0 \\ 0 & a \end{matrix}) und z_{2} := (\begin{matrix}b & 0 \\ 0 & b^{−1} \end{matrix})

das Gewünschte.

X . Analog wie in VII. können wir annehmen, daß

a = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) und x = (\begin{matrix}1 & 0 \\ l & 1 \end{matrix}) .

b = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) erfüllt dann das Gewünschte.

XI . Wie eben können wir annehmen, daß

a = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) und b = (\begin{matrix}1 & 0 \\ l & 1 \end{matrix}) .

Aus der Bedingung (ab)^{3} = 1 folgt wie im Beweis von 7.5, daß l = 1. Seien also

\begin{aligned}& x_{1} = (\begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix}) , x_{2} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ β & 1 \end{matrix}) , x_{3} = (\begin{matrix}1 & γ \\ 0 & 1 \end{matrix}) , x_{4} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ δ & 1 \end{matrix}) \\ und & y_{1} = (\begin{matrix}1 & ρ \\ 0 & 1 \end{matrix}) , y_{2} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ σ & 1 \end{matrix}) , y_{3} = (\begin{matrix}1 & τ \\ 0 & 1 \end{matrix}) , y_{4} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ υ & 1 \end{matrix}) . \end{aligned}

Die g_{i} und h_{i} sind dann Diagonalmatrizen, da sie sowohl in N_{G}(C_{G}(a)) als auch in N_{G}(C_{G}(b)) liegen. Es folgt

g_{2} = (\begin{matrix}κ_{2} & 0 \\ 0 & κ_{2}^{−1} \end{matrix}) , g_{3} = (\begin{matrix}κ_{3}^{−1} & 0 \\ 0 & κ_{3} \end{matrix}) , h_{2} = (\begin{matrix}λ_{2} & 0 \\ 0 & λ_{2}^{−1} \end{matrix}) , h_{3} = (\begin{matrix}λ_{3}^{−1} & 0 \\ 0 & λ_{3} \end{matrix}) ,

mit

κ_{2}^{2} = β, falls β ≠ 0,  κ_{3}^{2} = γ, falls γ ≠ 0,
λ_{2}^{2} = σ, falls σ ≠ 0,  λ_{3}^{2} = τ, falls τ ≠ 0.

Sei nun x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}, dann folgt (siehe den Beweis von 7.4 (iii)), daß folgende Gleichungen gelten:

1 + αβ + γδ + αβγδ + αδ = 1 + ρσ + τυ + ρστυ + ρυ  (5)
γ + αβγ + α = τ + ρστ + ρ  (6)
β + βγδ + δ = σ + στυ + υ  (7)
βγ + 1 = στ + 1  (8)

Diese Gleichungen haben wir im Satz versucht zu kodieren:

Φ_{1} ≏ (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) ↔ (y_{2} ≠ 1 ∧ y_{3} ≠ 1)

sagt: β ≠ 0 ∧ γ ≠ 0 ↔ σ ≠ 0 ∧ τ ≠ 0, beziehungsweise βγ = 0 ↔ στ = 0, also ein Spezialfall von (8).

Φ_{2} ≏ (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) → x_{3}^{g_{2}^{−1}} = y_{3}^{h_{2}^{−1}} beschreibt die Aussage: Wenn β und γ ≠ 0 sind (also auch σ, τ ≠ 0), dann soll

(\begin{matrix}κ_{2} & 0 \\ 0 & κ_{2}^{−1} \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & γ \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}κ_{2}^{−1} & 0 \\ 0 & κ_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix}λ_{2} & 0 \\ 0 & λ_{2}^{−1} \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & τ \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}λ_{2}^{−1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix})

sein. Das heißt aber nichts anderes als βγ = κ_{2}^{2}γ = λ_{2}^{2}τ = στ, und damit werden die übrigen Fälle von (8) abgedeckt.

Φ_{3} ≏ (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) → x_{2} · x_{4}^{g_{2}g_{3}^{−1}} · x_{4} = y_{2} · y_{4}^{h_{2}h_{3}^{−1}} · y_{4} beschreibt (7) für den Fall, daß β, γ ≠ 0. Das sieht man analog.

Φ_{4} ≏ (x_{2} = 1 ∨ x_{3} = 1) → x_{2} · x_{4} = y_{2} · y_{4} behandelt (7) für den Fall βγ = 0.

Φ_{5} ≏ (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) → x_{3} · x_{1}^{g_{2}^{−1}g_{3}} · x_{1} = y_{3} · y_{1}^{h_{2}^{−1}h_{3}} · y_{1} kodiert (6) für den Fall βγ ≠ 0.

Φ_{6} ≏ (x_{2} = 1 ∨ x_{3} = 1) → x_{1} · x_{3} = y_{1} · y_{3} beschreibt (6) für den Fall βγ = 0.

Φ_{7} ≏ (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1 ∧ x_{3}^{g_{2}^{−1}} = a)

→ x_{1}^{g_{2}^{−1}} · aba · x_{4}^{g_{3}^{−1}} · aba = y_{1}^{h_{2}^{−1}} · aba · y_{4}^{h_{3}^{−1}} · aba soll nun (5) für den Fall kodieren, daß βγ+1 = 0. Wir bemerken zunächst,

daß aba = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ist.

Es ist

x_{1}^{g_{2}^{−1}} · aba · x_{4}^{g_{3}^{−1}} · aba = (\begin{matrix}1 & κ_{2}^{2}α \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ κ_{3}^{2}δ & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix}1 & αβ \\ 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & γδ \\ 0 & 1 \end{matrix})

= (\begin{matrix}1 & αβ + γδ \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Genauso kann man ausrechnen, daß

y_{1}^{h_{2}^{−1}} · aba · y_{4}^{h_{3}^{−1}} · aba = (\begin{matrix}1 & ρσ + τυ \\ 0 & 1 \end{matrix}) ist.

Insgesamt erhält man also αβ + γδ = ρσ + τυ, was genau (5) mit der Nebenbedingung βγ = 1 entspricht (wegen (8), das durch Φ_{1} und Φ_{2} beschrieben wurde, ist dann auch στ = 1).

Hat man umgekehrt die kodierten Gleichungen gegeben, und sei

x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = (\begin{matrix}r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{matrix}) und y_{1}y_{2}y_{3}y_{4} = (\begin{matrix}s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{matrix}) .

Dann folgt aus Φ_{1} und Φ_{2}, daß r_{22} = s_{22} ist, aus Φ_{3} und Φ_{4} folgt r_{21} = s_{21} und aus Φ_{5} und Φ_{6} folgt r_{12} = s_{12}. Die Einträge r_{11} und s_{11} sind dann, falls r_{22} = s_{22} ≠ 0, schon festgelegt durch die Bedingung, daß die Determinante 1 ist. Falls r_{22} = s_{22} = 0, liefert Φ_{7}, daß r_{11} = s_{11} ist.

In der Umkehrung ist nun noch zu zeigen, daß jede Gruppe G, die unsere Axiome erfüllt, isomorph zu einer Gruppe PSL_{2}(K) ist mit char(K) = 2 und K vollkommen.

G enthält nach IV. eine Involution a. Wir wollen diese mit ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) identifizieren. Sei C :=C_{G}(a) und N :=N_{G}(C). Wir können nun auf C folgende Operationen

definieren:

x + y := x · y
x ∗ y := z, mit z := \{ \begin{matrix}1, & falls x = 1 \\ y^{g}, & falls x = a^{g} für ein g ∈ N. \end{matrix}

Die Operation “∗” ist für alle x, y ∈ C definiert, denn nach III. sind alle Involutionen konjugiert, und nach V. liegen in C nur Involutionen und die Eins. Wenn x = a^{g} für x ∈ C, dann folgt wegen der CA-Eigenschaft II. bereits g ∈ N. Sie ist wohldefiniert, da für x = a^{g} = a^{h} das Element gh^{−1} im Zentralisator von x ist und damit wegen der CA-Eigenschaft ( II.) auch mit y kommutiert (d.h. y^{g} = y^{h}).

Setze 0_{C} := 1 Wir wollen nun zeigen, daß (C, +, ∗, 0_{C}, a) ein Körper der Charakteristik 2 ist.

Additive Gruppe: Die Addition ist wegen II. kommutativ. 0_{C} ist das additive Neutralelement.

Multiplikative Assoziativität: x = 1 oder y = 1: Dann ist x ∗ y = 1 und damit (x ∗ y) ∗ z = 1. Außerdem ist y ∗ z = 1 oder x = 1, also in jedem Fall x ∗ (y ∗ z) = 1.

x ≠ 1 und y ≠ 1: Dann ist (x ∗ y) ∗ z = z^{h}, wo x = a^{g} und y^{g} = a^{h} und x ∗ (y ∗ z) = (z^{k})^{g}, wo x = a^{g} und y = a^{k}. Es reicht nun zu zeigen, daß a^{h} = a^{kg} ist: (a^{k})^{g} = y^{g} = a^{h}.

Multiplikatives Neutralelement a: Für y ≠ 1 ist a ∗ y = y und y ∗ a = a^{g}, wo y = a^{g}.

Multiplikatives Inverses: Für y ≠ 1 = 0_{C} ist das multiplikative Inverse y^{−1} gegeben durch a^{g^{−1}}, wo a^{g} = y, denn y ∗ y^{−1} = (y^{−1})^{g} = a^{g^{−1}g} = a und y^{−1} ∗ y = y^{g^{−1}} = a^{gg^{−1}} = a.

Kommutativität: Seien x, y ≠ 1: Für x = a^{g} und y = a^{h} ist x ∗ y = a^{gh} und y ∗ x = a^{hg}. Nach VIII. ist a^{gh} = a^{hg}. Falls x = 1 oder y = 1 ist, folgt offensichtlich x ∗ y = y ∗ x = 1.

Distributivgesetze: Sei x ≠ 0_{C}, x = a^{g}.

Dann ist x ∗ (y + z) = (y + z)^{g} = (y · z)^{g} = y^{g} · z^{g} = x ∗ y + x ∗ z.

Wir erhalten also einen Isomorphismus ϕ von (C, +, ∗, 0_{C}, a) auf einen Körper (K, +, ·, 0, 1). K hat offensichtlich Charakteristik 2 und ist vollkommen. (Wegen VI. gibt es für eine Involution y ∈ C ein z ∈ N mit a^{z^{2}} = y. Also ist y = a^{z} ∗ a^{z}.)

Sei nun x eine nicht mit a kommutierende Involution (nach IV. existiert eine solche). Nach X. wählen wir b ∈C_{G}(x) mit (ab)^{3} = 1. Sei M :=N_{G}(C)∩N_{G}(C_{G}(b)). Da (ab)^{3} = 1 ist a^{aba} = b und b^{aba} = a. Setze z := aba. (Dann ist z^{2} = 1 und C_{G}(b)) = C^{z}.)

Wir wollen nun einen Homomorphismus f von G nach SL_{2}(K) definieren:

Wir setzen: f(x) := \begin{cases}(\begin{matrix}1 & ϕ(x) \\ 0 & 1 \end{matrix}) & für x ∈ C, \\ (\begin{matrix}1 & 0 \\ ϕ(x^{z}) & 1 \end{matrix}) & für x ∈ C^{z}. \end{cases}

Alle übrigen Elemente lassen sich nach VII. als Produkte von Elementen x_{1}, x_{2}, x_{3} und x_{4} mit x_{1}, x_{3} ∈ C und x_{2}, x_{4} ∈ C^{z} schreiben. (Der Zentralisator von b = a^{z} ist natürlich gerade C^{z}.)

Wir definieren also:

Sei x ∈ G, x = x_{1} · x_{2} · x_{3} · x_{4} mit x_{1}, x_{2}^{z}, x_{3}, x_{4}^{z} ∈ C, dann

f(x) := (\begin{matrix}1 & ϕ(x_{1}) \\ 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 0 \\ ϕ(x_{2}^{z}) & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & ϕ(x_{3}) \\ 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 0 \\ ϕ(x_{4}^{z}) & 1 \end{matrix}) .

Axiom XI. gewährleistet nun, daß diese Definition wohldefiniert ist.

[ Sei x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} = y_{1}y_{2}y_{3}y_{4} mit x_{1}, x_{2}^{z}, x_{3}, x_{4}^{z}, y_{1}, y_{2}^{z}, y_{3}, y_{4}^{z} ∈ C. Dann folgt nach Φ_{1}, daß (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) ↔ (y_{2} ≠ 1 ∧ y_{3} ≠ 1), und nach Φ_{2}, daß (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) → x_{3}^{g_{2}^{−1}} = y_{3}^{h_{2}^{−1}} ist. Daraus folgt, daß x_{2}^{z} ∗ x_{3} = y_{2}^{z} ∗ y_{3} ist, und damit

ϕ(x_{2}^{z}) · ϕ(x_{3}) = ϕ(x_{2}^{z} ∗ x_{3}) = ϕ(y_{2}^{z} ∗ y_{3}) = ϕ(y_{2}^{z}) · ϕ(y_{3}).

Daher stimmt (siehe voriger Beweis zu XI.) bei den Bildmatrizen der untere rechte Eintrag überein. Ebenso läßt sich das für den unteren linken und den oberen rechten Eintrag ausrechnen.

Für den oberen linken Eintrag sind zwei Fälle zu unterscheiden: Ist der untere rechte Eintrag ≠ 1, dann folgt die Übereinstimmung daraus, daß die Determinante =1 sein muß. Ansonsten wird die Gleichheit durch Φ_{7} erzwungen. ]

Die Surjektivität von f ist klar, denn SL_{2}(K) wird durch

\{( \begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} ); k ∈ K\} ∪ \{( \begin{matrix}1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix} ); k ∈ K\}

erzeugt.

Die Injektivität wird durch XI. erzwungen.

[ Angenommen f(x) = f(y), x = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}, y = y_{1}y_{2}y_{3}y_{4}. Dann ist (vergleiche den Beweis zu XI.) ϕ(x_{2}^{z}) · ϕ(x_{3}) = ϕ(y_{2}^{z}) · ϕ(y_{3}) und damit ϕ(x_{2}^{z} ∗ x_{3}) = ϕ(y_{2}^{z} ∗ y_{3}). Wegen der Injektivität von ϕ folgt daraus x_{2}^{z} ∗ x_{3} = y_{2}^{z} ∗ y_{3}. Daraus folgt aber wiederum (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) ↔ (y_{2} ≠ 1 ∧ y_{3} ≠ 1) und (x_{2} ≠ 1 ∧ x_{3} ≠ 1) → x_{3}^{g_{2}^{−1}} = y_{3}^{h_{2}^{−1}}, also Φ_{1} ∧ Φ_{2}. Analog sieht man, daß die weiteren Teilformeln Φ_{3}, Φ_{4}, Φ_{5}, Φ_{6}, Φ_{7} von x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4} erfüllt werden. Nach XI. folgt deshalb x = y. ]

Es ist nun noch zu zeigen, daß die Abbildung homomorph ist. Wir zeigen zunächst z ∈N_{G}(M) (M =N_{G}(C)∩N_{G}(C^{z}) wie oben):

[ Sei g ∈ M und x := g^{z}. Dann ist a^{x} = x^{−1}ax = (g^{−1})^{z}ag^{z} = (aba)g^{−1}(aba)a(aba)g(aba). Da ababa · b = 1 = b^{2}, also ababa = b, ist a^{x} = zg^{−1}bgz. Nun ist g^{−1}bg ∈ C^{z}, also a^{x} ∈ C und damit x ∈ N. Ebenso folgt b^{x} ∈ C^{z}, also x ∈N_{G}(C^{z}). Zusammen also g^{z} = x ∈ M. ]

Da M keine Involutionen enthalten kann und der Zentralisator von z nur aus Involutionen besteht ( V.), wirkt z nicht trivial, sondern über Inversenbildung auf M (vgl. Hilfssatz 4.5). Also ∀g ∈ M : g^{z} = g^{−1}.

1. Behauptung: Für alle x ∈ G gilt f(x^{z}) = f(x)^{f(z)}.

[ Wir machen eine Fallunterscheidung.

1. Sei x = x_{1}x_{2}^{z}x_{3} mit x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ C. Dann ist f(x^{z}) = f(x)^{f(z)}. Es ist nämlich

f(x^{z}) = f(x_{1}^{z}x_{2}x_{3}^{z})
= (\begin{matrix}1 & 0 \\ ϕ(x_{1}) & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & ϕ(x_{2}) \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ ϕ(x_{3}) & 1 \end{matrix})
= (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & ϕ(x_{1}) \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ ϕ(x_{2}) & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & ϕ(x_{3}) \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})
= f(x_{1}x_{2}^{z}x_{3})^{f(z)}
= f(x)^{f(z)}

2. Sei x = x_{1}x_{2}^{z}x_{3} mit x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ C. Dann ist f(x^{z}) = f(x)^{f(z)}. Das sieht man ganz analog.

3. Es bleibt nun die Frage, ob die Behauptung auch für die Elemente gilt, die nicht als Produkt von drei Elementen wie in 1. und 2. darstellbar sind. Man kann nun ausrechnen, daß das in SL_{2}(K) genau die Elemente ( \begin{matrix}r^{−1} & 0 \\ 0 & r \end{matrix} ), r ≠ 0, 1 sind.

[ Ein Element ( \begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix} ) läßt sich folgendermaßen darstellen als

(\begin{matrix}r & s \\ t & u \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 0 \\ β & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & γ \\ 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}1 & 0 \\ δ & 1 \end{matrix}) :

Für t ≠ 0 mit β := t, α := (r + 1)t^{−1}, γ := (u + 1)t^{−1} und δ := 0, sowie für s ≠ 0 mit γ := s, δ := (r + 1)s^{−1}, β := (u + 1)s^{−1} und α := 0. ]

Also bleibt die Behauptung für die Elemente x mit f(x) = ( \begin{matrix}r^{−1} & 0 \\ 0 & r \end{matrix} ), r ≠ 0, 1 zu zeigen. Wir wollen zeigen, daß das gerade die Elemente aus M sind.

Sei g ∈ M, so daß f(a^{g}) = ( \begin{matrix}1 & r \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Setze y := a^{g^{−1}}a · a^{z} · a^{g}a · (a^{g^{−1}})^{z}.

Dann ist

\begin{aligned}f(y) & = & (\begin{matrix}1 & 1 + r^{−1} \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & r + 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 0 \\ r^{−1} & 1 \end{matrix}) \\ & = & (\begin{matrix}r^{−1} & 0 \\ 0 & r \end{matrix}) . \end{aligned}

Es ist (az)^{3} = (aaba)^{3} = (ba)^{3} = 1. Es gilt außerdem aza = zaz, und da zgz = z^{−1}gz = g^{−1} auch

gzg = z = g^{−1}zg^{−1}. (†)

Dann folgt:

y^{−1}ay = (a^{g^{−1}z}aa^{g}a^{z}aa^{g^{−1}})a(a^{g^{−1}}aa^{z}a^{g}aa^{g^{−1}z})
= a^{g^{−1}z}aa^{g}a^{z} · (aa^{g^{−1}}aa^{g^{−1}}a) · a^{z}a^{g}aa^{g^{−1}z}
= a^{g^{−1}z}aa^{g}a^{z} · a · a^{z}a^{g}aa^{g^{−1}z}  (C abelsch)
= za^{g^{−1}}zaa^{g} · zazazaz · a^{g}aza^{g^{−1}}z
= za^{g^{−1}}zaa^{g} · (zazaza) · za^{g}aza^{g^{−1}}z
= za^{g^{−1}}zaa^{g} · za^{g}aza^{g^{−1}}z  ((za)^{3} = 1)
= za^{g^{−1}}z(a^{g}a)z(aa^{g})za^{g^{−1}}z  (C abelsch)
= zga(g^{−1}zg^{−1})agazag^{−1}a(gzg)ag^{−1}z
= zga · z · agazag^{−1}a · z · ag^{−1}z  (†)
= zg(aza)g(aza)g^{−1}(aza)g^{−1}z
= zg(zaz)g(zaz)g^{−1}(zaz)g^{−1}z  (aza = zaz)
= (zgz)a(zgz)a(zg^{−1}z)a(zg^{−1}z)
= g^{−1}ag^{−1}agag  (g^{z} = g^{−1})
= g^{−1}g^{−1}agg  (C abelsch)
= g^{−2}ag^{2}

Analog zeigt man y^{−1}by = g^{−2}bg^{2}. Wir haben also gezeigt, daß y ∈ M. Für y ∈ M gilt aber wie wir oben gesehen haben, daß y^{z} = y^{−1} und damit f(y^{z}) = f(y)^{f(z)}.

Damit sind alle Fälle gezeigt. ]

2. Behauptung: ∀x ∈ G, ∀c ∈ C : f(x)f(c^{z}) = f(xc^{z}).

[ f(x) ist definiert als f(x) = f(x_{1})f(x_{2}^{z})f(x_{3})f(x_{4}^{z}) mit x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ∈ C und x = x_{1}x_{2}^{z}x_{3}x_{4}^{z}. Also ist xc^{z} = x_{1}x_{2}^{z}x_{3}(x_{4}c)^{z} und damit

f(xc^{z}) = f(x_{1})f(x_{2}^{z})f(x_{3})f((x_{4}c)^{z})
= f(x_{1})f(x_{2}^{z})f(x_{3})f(x_{4}^{z})f(c^{z})
= f(x)f(c^{z})

und damit ist die Behauptung gezeigt. ]

3. Behauptung: ∀x ∈ G, ∀c ∈ C : f(x)f(c) = f(xc).

[ Sei y = x^{z} mit der Darstellung y = y_{1}y_{2}^{z}y_{3}y_{4}^{z}. Dann ist

f(x)f(c) = f(y^{z})f(c)
= f(y)^{f(z)}f(c)
= (f(y_{1})f(y_{2}^{z})f(y_{3})f(y_{4}^{z}))^{f(z)}f(c)
= f(y_{1})^{f(z)}f(y_{2}^{z})^{f(z)}f(y_{3})^{f(z)}f(y_{4}^{z})^{f(z)}f(c)
= f(y_{1}^{z})f(y_{2})f(y_{3}^{z})f(y_{4})f(c)
= f(y_{1}^{z})f(y_{2})f(y_{3}^{z})f(y_{4}c)
= (f(y_{1})f(y_{2}^{z})f(y_{3})f((y_{4}c)^{z}))^{f(z)}
= (f((xc)^{z}))^{f(z)}
= f(xc),

was die Behauptung zeigt. ]

Aus der 2. und 3. Behauptung folgt die Homomorphie: Seien x, y ∈ G gegeben, und y = y_{1}y_{2}^{z}y_{3}y_{4}^{z} mit y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4} ∈ C. Dann ist

f(x) · f(y) = f(x)f(y_{1})f(y_{2}^{z})f(y_{3})f(y_{4}^{z})
= f(xy_{1})f(y_{2}^{z})f(y_{3})f(y_{4}^{z})  (2. Beh.)
= f(xy_{1}y_{2}^{z})f(y_{3})f(y_{4}^{z})  (1. Beh.)
= f(xy_{1}y_{2}^{z}y_{3})f(y_{4}^{z})  (2. Beh.)
= f(xy_{1}y_{2}^{z}y_{3}y_{4}^{z})  (1. Beh.)
= f(xy).

Damit ist gezeigt, daß G isomorph zu einer Gruppe PSL_{2}(K) (mit char(K) = 2 und K vollkommen) ist.

8 Lokal-endliche auflösbare CA-Gruppen

In der Klasse der lokal-endlichen CA-Gruppen wollen wir jetzt noch die auflösbaren betrachten (also die LEACA-Gruppen). Es geht uns wieder darum, die existenziell abgeschlossenen Gruppen in dieser Klasse zu bestimmen.

Die endlichen auflösbaren CA-Gruppen sind, wie bereits gesehen (Theorem 4.1), Frobeniusgruppen und metabelsch. Abzählbare LEACA-Gruppen lassen sich also als Unionen von Ketten solcher Gruppen darstellen.

Nach 7.1 sind LEACA-Gruppen metabelsch. Wir können noch mehr über die Struktur von LEACA-Gruppen sagen (ℙ sei die Menge aller Primzahlen):

Proposition 8.1. Sei G nicht-abelsche LEACA-Gruppe und A := [G, G]. Dann liegt jedes Element aus G − A in einem lokal-zyklischen Komplement Z zu A in G.

Außerdem sind π := {p ∈ ℙ; A besitzt ein Element der Ordnung p} und Ω := {p ∈ ℙ; Z besitzt ein Element der Ordnung p} disjunkt.

Beweis. Sei x ∈ G − A und H eine endliche nicht-abelsche Untergruppe von G, die x enthält. Dann ist H = B ⋊ C, wo B = [H, H] ⊆ A und C eine zyklische Gruppe ist (siehe Kapitel 4), die x enthält. Z sei nun die maximale abelsche Untergruppe von G, die C enthält.

Es soll nun gezeigt werden, daß Z ein Komplement zu A in G ist. Sei also y ∈ G. Betrachtet man die Gruppe K := ⟨H ∪ {y}⟩, so ist die maximale abelsche Untergruppe L von K, die C enthält, Komplement zu [K, K] in K. Die Untergruppe L ist aber auch Untergruppe von Z. Außerdem ist [K, K] ⊆ A, und damit y ∈ A · Z. Z ist lokal-zyklisch, da endliche Untergruppen von Z zyklisch sind. Die Disjunktheit der beiden Primzahlmengen folgt aus der in Kapitel 4 beschriebenen Struktur der endlichen CA-Gruppen (vgl. Beweis zu 4.4).

Die Proposition führt uns zu der folgenden Definition.

Definition 8.2. Sei G eine LEACA-Gruppe. Wir sagen G ist vom Typ π, wenn die Kommutatoruntergruppe G′ = [G, G] nur Elemente enthält, deren Ordnungen π-Zahlen sind, und G/G′ nur Elemente enthält, deren Ordnungen π′-Zahlen sind (π′ = ℙ − π).

Nach Proposition 8.1 gibt es zu jeder LEACA-Gruppe G (mindestens) eine Primzahlmenge π, so daß G vom Typ π ist.

Wir wollen nun den Satz formulieren, der das Ziel dieses Kapitels ist:

Theorem 8.3. Sei G eine auflösbare e.c. lokal-endliche CA-Gruppe. Dann existiert eine Primzahlmenge π, so daß: G = A ⋊ Z mit:

1. A ist maximale abelsche Untergruppe von G.

2. A ist e.c. in der Klasse der abelschen lokal-endlichen π-Gruppen.

3. Z ≅ ⨁_{q∈π‘} Z_{q^{∞}}.

Korollar 8.4. (i) Eine abzählbare e.c. LEACA-Gruppe G hat die folgende Form:

G = ⨁_{p∈π} Z_{p^{∞}}^{(ω)} ⋊ ⨁_{q∈π′} Z_{q^{∞}}.

(ii) Sei G eine überabzählbare e.c. LEACA-Gruppe, κ := |G|. Dann hat G die folgende Form (π ≠ ∅ eine Primzahlmenge, ℵ_{0} ≤ λ_{p} ≤ κ Kardinalzahlen für p ∈ π):

G = ⨁_{p∈π} Z_{p^{∞}}^{(λ_{p})} ⋊ ⨁_{q∈π‘} Z_{q^{∞}}.

Den Beweis des Theorems müssen wir noch verschieben, da noch einige Vorarbeiten zu leisten sind.

Das wichtigste Hilfsmittel zur Charakterisierung von e.c. Gruppen sind Amalgamierungssätze, wie schon in Kapitel 5 gesehen (wir verweisen auch auf [26] und [21]). Auch hier brauchen wir Amalgamierungssätze.

Sei nun G eine e.c. LEACA-Gruppe. Wir wissen, daß G = A ⋊ Z ist, wo A abelsche π-Gruppe und Z lokal-zyklische π′-Gruppe ist. Wir wollen zunächst die Basisgruppe, d.h. die Kommutator-Untergruppe betrachten. Es ist zu zeigen , daß A e.c. in der Klasse der lokal-endlichen abelschen π-Gruppen ist (wie in 5.1 definiert). Um das zu zeigen, wollen wir beweisen, daß eine gewisse Form der Amalgamierung möglich ist, nämlich:

Sei U ≤ A und U ≤ V, wo V eine abelsche (lokal-endliche) π-Gruppe sei. Dann existiert eine LEACA-Gruppe H = B ⋊ Z′ mit G ≤ H und A, V ≤ B.

Dabei wird Z′ = Z sein. H und B werden wir in Schritten konstruieren. Das Problem dabei ist, die Wirkung der Faktorgruppe zu kontrollieren. Dazu wollen wir zunächst die Wirkung eines Elementes von Primzahlordnung definieren.

Wir werden also von folgender Voraussetzung ausgehen:

Sei G = A ⋊ Z eine LEACA-Gruppe vom Typ π, V eine abelsche lokal-endliche π-Gruppe und U gemeinsame Untergruppe von A und V.

Der erste (einfache) Schritt der Konstruktion ist die Amalgamierung von V und A.

Proposition 8.5. Seien die Voraussetzungen wie oben. N := {⟨u, u^{−1}⟩; u ∈ U}. Dann ist D := (A ⊕ V)/N eine abelsche π-Gruppe, in die A und V so eingebettet werden können, daß U jeweils gleich abgebildet wird.

Beweis. Die kanonischen Einbettungen

\begin{matrix}A & → & (A ⊕ V)/N \\ a & ↦ & (a, 1) · N \end{matrix}

und

\begin{matrix}V & → & (A ⊕ V)/N \\ v & ↦ & (1, v) · N \end{matrix}

bilden U jeweils gleich ab, da (u, 1) ∈ (1, u) · N für u ∈ U.

Wir beschreiben nun zuerst die Wirkung eines Elementes von Primzahlordnung:

Proposition 8.6. Sei D eine abelsche π-Gruppe mit A ≤ D, und z ∈ Z mit Ordnung o(z) = p, wo p eine Primzahl aus π′ sei. Dann gibt es eine CA-Gruppe H, in die sowohl D als auch A⋊⟨{z}⟩ (hier ist A⋊⟨{z}⟩ ≤ G) eingebettet werden können, so daß A jeweils gleich abgebildet wird.

Beweis. Die Idee ist, wie in Satz 2.5 eine CA-Gruppe zu konstruieren. Andererseits muß natürlich auch die schon bestehende Wirkung von z auf A berücksichtigt werden. Das führt uns zur folgenden Definition.

Als Basisgruppe betrachten wir D^{p}/K mit:

\begin{matrix}K := ⟨ & \{(b, b, ..., b); b ∈ D\} ∪ \\ \{(a^{z}, a^{−1}, 1, ..., 1), (1, a^{z}, a^{−1}, 1, ..., 1), …, (1, ..., 1, a^{z}, a^{−1}); a ∈ A\}⟩. \end{matrix}

Die Wirkung von z darauf wird beschrieben über:

z^{−1} · ((b_{1}, ..., b_{p}) · K) · z := (b_{p}, b_{1}, ..., b_{p−1}) · K

Es reicht nach 2.3 zu zeigen, daß die Wirkung wohldefiniert ist und es außer der 1 keine Fixpunkte unter dieser Wirkung gibt.

Die Wohldefiniertheit folgt, weil für k = (k_{1}, ..., k_{p}) ∈ K auch (k_{p}, k_{1}, ..., k_{p−1}) ∈ K ist.

[ Die Wirkung (b_{1}, ..., b_{p}) ↦ (b_{p}, b_{1}, ..., b_{p−1}) ist Automorphismus von D^{p}. Zu zeigen ist, daß K darunter invariant bleibt. Es reicht dafür, die erzeugenden Elemente zu betrachten. Daher ist nur noch zu zeigen, daß für a ∈ A auch (a^{−1}, 1, ..., 1, a^{z}) ∈ K ist. Setze b := a^{−1} und y := z^{−1}. Dann ist (b^{y})^{z} = a^{−1}. Damit ist

\begin{matrix}(a^{−1}, 1, ..., 1, a^{z}) & = \\ ((b^{y})^{z} & , (b^{−1})^{y}, 1, ..., 1) · . . . · (1, ..., 1, (b^{y^{p−1}})^{z}, (b^{−1})^{y^{p−1}}) \end{matrix}

dargestellt als Produkt von Elementen aus K (y^{p−1} = z). ]

Wir wollen nun noch zeigen, daß es keine Fixpunkte unter der Wirkung gibt, d.h. wenn (b_{p}, b_{1}, ..., b_{p−1}) ∈ (b_{1}, ..., b_{p}) · K ist, folgt schon (b_{1}, ..., b_{p}) ∈ K.

Angenommen (b_{1}, ..., b_{p}) = (b_{p}, b_{1}, ..., b_{p−1})(k_{1}, ..., k_{p}) mit (k_{1}, ..., k_{p}) ∈ K. Dann erhält man:

b_{1} = b_{p}k_{1}
b_{2} = b_{1}k_{2}
b_{3} = b_{2}k_{3} = b_{1}k_{2}k_{3}
…
b_{p} = b_{p−1}k_{p} = … = b_{1}k_{2}k_{3} · . . . · k_{p}

Aus der ersten und der letzten Gleichung folgt k_{1} · k_{2} · k_{3} · . . . · k_{p} = 1. Bezeichne im folgenden

L := ⟨{(a^{z}, a^{−1}, 1, ..., 1), (1, a^{z}, a^{−1}, 1, ..., 1), …, (1, ..., 1, a^{z}, a^{−1}); a ∈ A}⟩.

Wie oben gezeigt, ist auch (a^{−1}, 1, ..., 1, a^{z}) ∈ L.

Wir zeigen, daß außerdem {(b, b, ..., b); b ∈ A} ⊆ L.

[ Sei a ∈ A, dann ist

\begin{matrix}(a^{z}a^{−1}, a^{z}a^{−1}, ..., a^{z}a^{−1}) & = \\ (a^{z}, a^{−1}, 1, ..., & 1) · . . . · (1, ..., 1, a^{z}, a^{−1}) · (a^{−1}, 1, ..., 1, a^{z}) ∈ L. \end{matrix}

Nach 1.4 ist die Abbildung a ↦ a^{z}a^{−1} injektiv. Aus der lokalen Endlichkeit von A folgt auch die Surjektivität der Abbildung. (Sei b ∈ A, dann ist die Abbildung auf ⟨{b, z}⟩ ∩ A bijektiv, also ist b im Bild. ) ]

Nun zeigen wir, daß (k_{1}, ..., k_{p}) ∈ L ist.

[ Wir wissen, daß

(k_{1}, ..., k_{p}) ∈ K = {(b, b, ..., b); b ∈ D} · L,

also (k_{1}, ..., k_{p}) = (b, b, ..., b) · (l_{1}, ..., l_{p}) mit (l_{1}, ..., l_{p}) ∈ L.

Mit 1 = k_{1} · k_{2} · k_{3} · . . . · k_{p} = b^{p} · l_{1} · . . . · l_{p} hat man also b^{p} ∈ A. Da D keine Elemente der Ordnung p hat, hat auch D/A keine Elemente der Ordnung p, also ist b ∈ A. Folglich ist wie oben gesehen (b, b, ..., b) ∈ L und damit auch (k_{1}, ..., k_{p}) = (b, b, ..., b) · (l_{1}, ..., l_{p}) ∈ L. ]

Nun können wir

(k_{1}, ..., k_{p}) = (a_{1}^{z}, a_{1}^{−1}a_{2}^{z}, a_{2}^{−1}a_{3}^{z}, ..., a_{p−2}^{−1}a_{p−1}^{z}, a_{p−1}^{−1})

schreiben. Also ist

b_{1} = b_{1}
b_{2} = b_{1}k_{2}  = b_{1}a_{1}^{−1}a_{2}^{z}
b_{3} = b_{1}k_{2}k_{3}  = b_{1}a_{1}^{−1}a_{2}^{z}a_{2}^{−1}a_{3}^{z}
…  …
b_{p} = b_{1}k_{2}k_{3} · . . . · k_{p} = b_{1}a_{1}^{−1}a_{2}^{z}a_{2}^{−1}a_{3}^{z} · . . . · a_{p−1}^{z}a_{p−1}^{−1}

mit der Nebenbedingung, daß

1 = k_{1}k_{2}k_{3}...k_{p}
= a_{1}^{z}a_{1}^{−1}a_{2}^{z}a_{2}^{−1}a_{3}^{z}...a_{p−1}^{z}a_{p−1}^{−1}
= (a_{1} · . . . · a_{p−1})^{z}(a_{1} · . . . · a_{p−1})^{−1}

ist. Daraus folgt aber mit 1.4 a_{1} · . . . · a_{p−1} = 1. Wir wollen jetzt zeigen, daß auch (b_{1}, ..., b_{p}) ∈ K ist. Dazu zeigen wir, daß (b_{1}^{−1}a_{1}^{z}, ..., b_{1}^{−1}a_{1}^{z})(b_{1}, ..., b_{p}) ∈ L ist, also von der Form:

(l_{1}^{z}, l_{1}^{−1}l_{2}^{z}, l_{2}^{−1}l_{3}^{z}, ..., l_{p−2}^{−1}l_{p−1}^{z}, l_{p−1}^{−1}) für bestimmte l_{1}, ..., l_{p−1} ∈ A. Dafür ist zu zeigen, daß sich folgende Gleichungen simultan lösen lassen:

l_{1}^{z} = a_{1}^{z} (1)
l_{1}^{−1}l_{2}^{z}  = a_{1}^{z}a_{1}^{−1}a_{2}^{z}
= a_{1}^{−1}(a_{1}a_{2})^{z}  (2)
l_{2}^{−1}l_{3}^{z}  = a_{1}^{z}a_{1}^{−1}a_{2}^{z}a_{2}^{−1}a_{3}^{z}
= (a_{1}a_{2})^{−1}(a_{1}a_{2}a_{3})^{z}  (3)
…
l_{p−2}^{−1}l_{p−1}^{z} = a_{1}^{z}a_{1}^{−1}a_{2}^{z}a_{2}^{−1}a_{3}^{z} · . . . · a_{p−1}^{z}
= (a_{1}a_{2} · . . . · a_{p−2})^{−1}(a_{1}a_{2} · . . . · a_{p−1})^{z} = a_{p−1}  (p − 1)
l_{p−1}^{−1}  = a_{1}^{z}a_{1}^{−1}a_{2}^{z}a_{2}^{−1}a_{3}^{z} · . . . · a_{p−1}^{z}a_{p−1}^{−1}
= (a_{1} · . . . · a_{p−1})^{z}(a_{1} · . . . · a_{p−1})^{−1} = 1  (p)

(wegen (a_{1} · . . . · a_{p−1}) = 1, siehe oben)

Man erhält also:

l_{1} = a_{1}  aus (1),
l_{2} = a_{1}a_{2}  aus (1) und (2),
l_{3} = a_{1}a_{2}a_{3}  aus (1), (2), (3),
…
l_{p−1} = a_{1}a_{2} · . . . · a_{p−1} = 1  aus (1), …, (p − 1).

Die letzte Gleichung stimmt also mit der Gleichung überein, die wir aus (p) erhalten.

Wir haben also gezeigt, daß H := (D^{p}/K) ⋊ ⟨{z}⟩ CA-Gruppe ist. Die Einbettungen bekommt man nun durch:

\begin{matrix}A ⋊ ⟨\{z\}⟩ & → & H \\ (a, z^{n}) & ↦ & ((a, 1, ..., 1) · K, z^{n}) \end{matrix}

[ Die Abbildung definiert einen Homomorphismus, da für a, b ∈ A:

\begin{matrix}((a, 1, ..., 1) · K, z^{n}) · ((b, 1, ..., 1) · K, z^{m}) & = \\ ( & (b, 1, ..., 1, a, 1, ..., 1) · K, z^{n+m}), \end{matrix}

wo a an der (m + 1)-ten Stelle steht und das ist

= ((a^{z^{m}}b, 1, ..., 1) · K, z^{n+m}), da (a^{z^{m}}, 1, ..., 1, a^{−1}, 1, ..., 1) ∈ K.

Sie ist injektiv, da aus ((a, 1, ..., 1) · K, z^{n}) = 1 folgt, daß z^{n} = 1 und (a, 1, ..., 1) ∈ L (L wie oben).

Ist also (a, 1, ..., 1) = (a_{1}^{z}, a_{1}^{−1}a_{2}^{z}, a_{2}^{−1}a_{3}^{z}, ..., a_{p−2}^{−1}a_{p−1}^{z}, a_{p−1}^{−1}), so folgt sukzessive a_{p−1} = a_{p−2} = ... = a_{1} = 1 = a. ]

und durch

\begin{matrix}D & → & H \\ d & ↦ & ((d, 1, ..., 1) · K, 1) \end{matrix}

[ Die Abbildung ist offensichtlich ein Homomorphismus. Sie ist außerdem injektiv, was wie eben folgt. ]

Die Bilder von A sind offensichtlich gleich.

Wir wollen 8.6 noch verallgemeinern:

Proposition 8.7. Sei D eine abelsche π-Gruppe mit A ≤ D, und z ∈ Z mit Ordnung o(z) = p · n, wo p eine Primzahl aus π′ sei und n eine nicht durch p teilbare π′-Zahl. Außerdem seien A ⋊ ⟨{z^{p}}⟩ ≤ D ⋊ ⟨{z^{p}}⟩ CA-Gruppen. Dann gibt es eine CA-Gruppe H, in die sowohl D ⋊⟨{z^{p}}⟩ als auch A⋊⟨{z}⟩ (hier ist A⋊⟨{z}⟩ ≤ G) eingebettet werden können, so daß A jeweils gleich abgebildet wird.

Beweis. Wir setzen y := z^{p} und x := z^{n}. Da p und n teilerfremd sind, gibt es außerdem r, s ∈ ℕ mit 1 = rn + sp. Als Basisgruppe betrachten wir D^{p}/K mit:

\begin{matrix}K := ⟨ & \{(b, b, ..., b); b ∈ D\} ∪ \\ \{(a^{x}, a^{−1}, 1, ..., 1), (1, a^{x}, a^{−1}, 1, ..., 1), …, (1, ..., 1, a^{x}, a^{−1}); a ∈ A\}⟩. \end{matrix}

Um die Wirkung von z zu beschreiben, definieren wir die folgenden beiden Funktionen auf D^{p}:

\begin{aligned}f_{1}((b_{1}, ..., b_{p})) & := & (b_{p}, b_{1}, ..., b_{p−1}), \\ f_{2}((b_{1}, ..., b_{p})) & := & (b_{1}^{y}, ..., b_{p−1}^{y}, b_{p}^{y}). \end{aligned}

Offensichtlich sind f_{1} und f_{2} Automorphismen von D^{p} und es gilt f_{1} ∘ f_{2} = f_{2} ∘ f_{1}. Außerdem sind f_{1}^{p} und f_{2}^{n} die Identität auf D^{p}.

Wir definieren nun:

z^{−1} · ((b_{1}, ..., b_{p}) · K) · z := f_{1}^{r} ∘ f_{2}^{s}((b_{1}, ..., b_{p})) · K

Zunächst ist zu zeigen, daß z^{pn} trivial wirkt: Es ist

z^{−pn} · ((b_{1}, ..., b_{p}) · K) · z^{pn} = (f_{1}^{r} ∘ f_{2}^{s})^{pn}((b_{1}, ..., b_{p})) · K

und (f_{1}^{r} ∘f_{2}^{s})^{pn} = (f_{1}^{rpn} ∘f_{2}^{spn}). Das ist aber die Identität. Man beachte außerdem, daß

x^{−1} · ((b_{1}, ..., b_{p}) · K) · x = (f_{1}^{r} ∘ f_{2}^{s})^{n}((b_{1}, ..., b_{p})) · K
= f_{1}((b_{1}, ..., b_{p})) · K
= (b_{p}, b_{1}, ..., b_{p−1}) · K

und

y^{−1} · ((b_{1}, ..., b_{p}) · K) · y = (f_{1}^{r} ∘ f_{2}^{s})^{p}((b_{1}, ..., b_{p})) · K
= f_{2}((b_{1}, ..., b_{p})) · K
= (b_{1}^{y}, ..., b_{p−1}^{y}, b_{p}^{y}) · K

ist, denn (f_{1}^{r} ∘ f_{2}^{s})^{n} = f_{1}^{rn} ∘ f_{2}^{sn} = f_{1}^{rn}. Da 1 = rn + sp ist, ist rn ≡ 1 (mod p), und damit f_{1}^{rn} = f_{1}. Analog folgt (f_{1}^{r} ∘ f_{2}^{s})^{p} = f_{2}.

Wir zeigen nun, daß die Wirkung von z wohldefiniert ist. Dazu reicht es zu zeigen, daß die Wirkungen von x und y wohldefiniert sind, da z = x^{r} · y^{s} ist.

Die Wohldefiniertheit der Wirkung von x folgt analog wie die Wohldefiniertheit im Beweis von 8.6. Für die Wohldefiniertheit der Wirkung von y ist zu zeigen, daß K unter f_{2} auf K abgebildet wird. Offensichtlich ist aber f_{2}((b_{1}, ..., b_{p})) für ein erzeugendes Element (b_{1}, ..., b_{p}) von K wieder ein erzeugendes Element von K.

Nun ist noch zu zeigen, daß für alle k <o(z) das Element z^{k} fixpunktfrei auf der Basisgruppe wirkt. Es reicht dazu zu zeigen, daß die Wirkungen von y^{k} = (z^{p})^{k} (k <o(y)) und x fixpunktfrei sind.

[ Angenommen z^{k} ≠ 1 habe einen Fixpunkt a.

p teilt k: Also k = p · l. Folglich hat y^{l} = z^{k} ≠ 1 den Fixpunkt a.

p teilt k nicht: Dann ist z^{n·k} = x^{k} ≠ 1. x^{k} ≠ 1 hat dann den Fixpunkt a, also hat auch x den Fixpunkt a, da x Primzahlordnung hat.

Also hat y^{l} ≠ 1 (für ein l ∈ ℕ) oder x den Fixpunkt a. ]

Daß die Wirkung von x keinen Fixpunkt haben kann, folgt wie im Beweis von 8.6. Es bleibt noch zu zeigen, daß die Wirkung von y^{l} ≠ 1 keine Fixpunkte hat. Setze w := y^{l} ≠ 1. Wir nehmen an, (b_{1}, ..., b_{p}) · K wäre Fixpunkt unter der Wirkung von w, also

(b_{1}, ..., b_{p}) · K = (b_{1}, ..., b_{p})^{w} · K = (b_{1}^{w}, ..., b_{p}^{w}) · K.

Daraus folgt

(b_{1}^{−1}b_{1}^{w}, ..., b_{p}^{−1}b_{p}^{w}) = (k_{1}, ..., k_{p}) ∈ K. (‡)

Analog zu 1.4 ist die Abbildung

\begin{aligned}ϕ_{w} : & D & → & D \\ & b & ↦ & b^{−1}w^{−1}bw \end{aligned}

injektiv.

Da für b ∈ D das Erzeugnis von b und x endlich ist und ϕ_{w} eingeschränkt auf ⟨{b, w}⟩ ∩ D eine injektive Abbildung ist, ist sie dort auch surjektiv. Daraus folgt, daß ϕ_{w} bijektiv ist. Außerdem ist ϕ_{w} Homomorphismus, da D abelsch ist.

Nach (‡) ist (ϕ_{w}(b_{1}), ..., ϕ_{w}(b_{p})) = (k_{1}, ..., k_{p}). Es reicht nun zu zeigen, daß für (k_{1}, ..., k_{p}) ∈ K auch (ϕ_{w}(k_{1}), ..., ϕ_{w}(k_{p})) ∈ K ist.

[ Die so definierte Abbildung ist dann nämlich ein Isomorphismus auf K.

Insbesondere sind Urbilder von Elementen von K wieder in K. ] In der Basis von K dargestellt ist

(k_{1}, ..., k_{p}) = (ba_{1}^{z}, ba_{1}^{−1}a_{2}^{z}, ..., ba_{p−2}^{−1}a_{p−1}^{z}, ba_{p−1}^{−1}),

also

(ϕ_{w}(k_{1}), ..., ϕ_{w}(k_{p}))
= (ϕ_{w}(b)ϕ_{w}(a_{1}^{z}), ϕ_{w}(b)ϕ_{w}(a_{1}^{−1})ϕ_{w}(a_{2}^{z}), ..., ϕ_{w}(b)ϕ_{w}(a_{p−1}^{−1}))
= (ϕ_{w}(b)ϕ_{w}(a_{1})^{z}, ϕ_{w}(b)ϕ_{w}(a_{1})^{−1}ϕ_{w}(a_{2})^{z}, ..., ϕ_{w}(b)ϕ_{w}(a_{p−1})^{−1}).

[ Es ist

ϕ_{w}(a_{1}^{z}) = z^{−1}a_{1}^{−1}zw^{−1}z^{−1}a_{1}zw
= z^{−1}a_{1}^{−1}w^{−1}zz^{−1}a_{1}wz
= z^{−1}a_{1}^{−1}w^{−1}a_{1}wz = ϕ_{w}(a_{1})^{z},

da w und z kommutieren. ]

Außerdem ist ϕ_{w}(a) ∈ A für a ∈ A. Damit sieht man, daß (ϕ_{w}(k_{1}), ..., ϕ_{w}(k_{p})) ∈ K ist.

Wir haben also gezeigt, daß H := (D^{p}/K) ⋊ ⟨{z}⟩ eine CA-Gruppe ist. Die Einbettungen bekommt man nun durch:

\begin{matrix}A ⋊ ⟨\{z\}⟩ & → & H \\ (a, z^{k}) & ↦ & ((a, 1, ..., 1) · K, z^{k}) \end{matrix}

[ Die Abbildung definiert einen Homomorphismus, da für a, b ∈ A und l = un + vp (u < p, v < n):

\begin{matrix}((a, 1, ..., 1) · K, z^{k}) · ((b, 1, ..., 1) · K, z^{l}) & = \\ ( & (b, 1, ..., 1, a^{y^{v}}, 1, ..., 1) · K, z^{k+l}), \end{matrix}

wo a^{y^{v}} an der (u + 1)-ten Stelle steht und das ist

= (((a^{y^{v}})^{x^{u}}b, 1, ..., 1) · K, z^{k+l})
= ((a^{z^{l}}b, 1, ..., 1) · K, z^{k+l}),
da ((a^{y^{v}})^{x^{u}}, 1, ..., 1, (a^{y^{v}})^{−1}, 1, ..., 1) ∈ K.

Sie ist injektiv, da aus ((a, 1, ..., 1) · K, z^{k}) = 1 folgt, daß z^{k} = 1 und (a, 1, ..., 1) ∈ K.

Ist also (a, 1, ..., 1) = (a_{1}^{z}, a_{1}^{−1}a_{2}^{z}, a_{2}^{−1}a_{3}^{z}, ..., a_{p−2}^{−1}a_{p−1}^{z}, a_{p−1}^{−1}), so folgt sukzessive a_{p−1} = a_{p−2} = ... = a_{1} = 1 = a. ] und durch

\begin{matrix}D ⋊ ⟨\{z^{p}\}⟩ & → & H \\ (d, y^{k}) & ↦ & ((d, 1, ..., 1) · K, y^{k}) \end{matrix}

[ Die Abbildung ist offensichtlich ein Homomorphismus. Sie ist außerdem injektiv, was wie eben folgt. ]

Die Bilder von A ⋊ ⟨{y}⟩ sind offensichtlich gleich.

Wir beschreiben nun die Wirkung von höheren Primzahlpotenzen:

Proposition 8.8. Sei D eine abelsche π-Gruppe mit A ≤ D, und z ∈ Z mit Ordnung o(z) = p^{2} · m, wo m eine π′-Zahl ≥ 1 und p eine Primzahl aus π′ sei, so daß A⋊⟨{z^{p}}⟩ ≤ D⋊⟨{z^{p}}⟩ CA-Gruppen seien. Dann gibt es eine CA-Gruppe H, in die sowohl D ⋊ ⟨{z^{p}}⟩ als auch A ⋊ ⟨{z}⟩ eingebetttet werden können, so daß A jeweils gleich abgebildet wird.

Beweis. Setze B := D^{p}/K mit K := ⟨{(a^{z}, a^{−1}, 1, ..., 1), (1, a^{z}, a^{−1}, 1, ..., 1), …, (1, ..., 1, a^{z}, a^{−1}); a ∈ A}⟩.

Definiere darauf die Wirkung von z (y := z^{p}):

((b, 1, ..., 1) · K)^{z} := (1, b, 1, ..., 1) · K
((1, b, 1, ..., 1) · K)^{z} := (1, 1, b, 1, ..., 1) · K
…
((1, ..., 1, b, 1) · K)^{z} := (1, ..., 1, b) · K
((1, ..., 1, b) · K)^{z} := (b^{y}, 1, ..., 1) · K

Zu zeigen ist zunächst die Wohldefiniertheit dieser Wirkung: Da die beschriebene Wirkung ein Automorphismus auf D^{p} ist, reicht es dabei zu zeigen, daß K unter diesem Automorphismus invariant bleibt.

Es ist

\begin{matrix}((a^{−1})^{y}, 1, ..., 1, a^{z}) & = \\ (( & a^{−1})^{z^{p}}, a^{z^{p−1}}, 1, ..., 1) · . . . · (1, ..., 1, (a^{−1})^{z^{2}}, a^{z}) ∈ K, \end{matrix}

also bleibt K invariant.

Wir zeigen die Fixpunktfreiheit der Wirkung. Genauer gesagt ist zu zeigen, daß für n ≥ 1 die Wirkung von z^{n} fixpunktfrei ist, wenn n nicht Vielfaches der Ordnung von z ist. Dazu reicht es wiederum, zu zeigen, daß y^{n} fixpunktfrei wirkt für n ≥ 1, wenn n nicht durch die Ordnung von y teilbar ist.

[ Angenommen z^{n} ≠ 1 hätte einen Fixpunkt a.

p teilt n: Dann ist n = p · k, also z^{n} = y^{k} und y^{k} hat den Fixpunkt a. p teilt n nicht: Dann ist a auch Fixpunkt von (z^{n})^{p} = y^{n}. Da p^{2} die

Ordnung von z teilt, ist y^{n} = (z^{n})^{p} = z^{np} ≠ 1.

Also gibt es in jedem Fall ein k, so daß y^{k} ≠ 1 einen Fixpunkt hat. ]

Man sieht leicht, daß

((b_{1}, …, b_{p}) · K)^{y^{n}} = (b_{1}^{y^{n}}, …, b_{p}^{y^{n}}) · K ist.

Setze x := y^{n}. Angenommen (b_{1}, ..., b_{p}) · K wäre Fixpunkt unter der Wirkung von x, also

(b_{1}^{x}, …, b_{p}^{x}) = (b_{1}, ..., b_{p}) · (k_{1}, ..., k_{p}) ∈ (b_{1}, …, b_{p}) · K.

Unser Ziel wird es sein, zu zeigen, daß (b_{1}, ..., b_{p}) ∈ K ist.

Nach Voraussetzung gibt es nun a_{1}, ..., a_{p−1} mit

(k_{1}, ..., k_{p}) = (a_{1}^{z}, a_{1}^{−1}a_{2}^{z}, ..., a_{p−1}^{−1}),

also

(b_{1}^{x}, b_{2}^{x}, …, b_{p}^{x}) = (b_{1}a_{1}^{z}, b_{2}a_{1}^{−1}a_{2}^{z}, …, b_{p}a_{p−1}^{−1}).

Daraus erhält man die Gleichungen ( I):

b_{1}^{x}b_{1}^{−1}  = a_{1}^{z}  ( I.1)
b_{2}^{x}b_{2}^{−1}  = a_{1}^{−1}a_{2}^{z}  ( I.2)
…
b_{p−1}^{x}b_{p−1}^{−1} = a_{p−2}^{−1}a_{p−1}^{z} ( I.p − 1)
b_{p}^{x}b_{p}^{−1}  = a_{p−1}^{−1}  ( I.p)

Man beachte, daß aus diesen Gleichungen bereits folgt, daß die b_{i} in A liegen müssen. Außerdem erhält man Gleichungen für die a_{i}:

a_{1}  = (b_{1}^{x}b_{1}^{−1})^{z^{−1}}  aus ( I.1)
a_{2}  = (b_{1}^{x}b_{1}^{−1})^{z^{−2}} · (b_{2}^{x}b_{2}^{−1})^{z^{−1}}  aus ( I.1) und ( I.2)
…
a_{p−1}  = (b_{1}^{x}b_{1}^{−1})^{z^{−(p−1)}} · . . . · (b_{p−1}^{x}b_{p−1}^{−1})^{z^{−1}} aus ( I.1), …, ( I.p − 1)
a_{p−1}^{−1} = b_{p}^{x}b_{p}^{−1}  aus ( I.p)

Es folgt also

1 = a_{p−1} · a_{p−1}^{−1}
= (b_{1}^{x}b_{1}^{−1})^{z^{−(p−1)}} · (b_{2}^{x}b_{2}^{−1})^{z^{−(p−2)}} · . . . · (b_{p−1}^{x}b_{p−1}^{−1})^{z^{−1}} · b_{p}^{x}b_{p}^{−1}
= (b_{1}^{z^{−(p−1)}}b_{2}^{z^{−(p−2)}} … b_{p−1}^{z^{−1}}b_{p})^{x}(b_{1}^{z^{−(p−1)}}b_{2}^{z^{−(p−2)}} · . . . · b_{p−1}^{z^{−1}}b_{p})^{−1},

und damit nach 1.4, da x fixpunktfrei auf D wirkt,

b_{1}^{z^{−(p−1)}} · b_{2}^{z^{−(p−2)}} · . . . · b_{p−1}^{z^{−1}} · b_{p} = 1. (†)

Um zu zeigen, daß (b_{1}, ..., b_{p}) ∈ K ist, ist zu zeigen, daß sich die Gleichungen ( II)

b_{1} = c_{1}^{z}  ( II.1)
b_{2} = c_{1}^{−1}c_{2}^{z}  ( II.2)
…
b_{p−1} = c_{p−2}^{−1}c_{p−1}^{z} ( II.p − 1)
b_{p} = c_{p−1}^{−1}  ( II.p)

mit der Nebenbedingung, daß die c_{i} in A liegen sollen, simultan lösen lassen. Aus den Gleichungen ( II) ergibt sich:

c_{1}  = b_{1}^{z^{−1}}  aus ( II.1)
c_{2}  = (c_{1}b_{2})^{z^{−1}} = b_{1}^{z^{−2}}b_{2}^{z^{−1}}  aus ( II.1) und ( II.2)
…
c_{p−1}  = b_{1}^{z^{−(p−1)}}b_{2}^{z^{−(p−2)}} … b_{p−1}^{z^{−1}} aus ( II.1) bis ( II.p − 1)
c_{p−1}^{−1} = b_{p}  aus ( II.p)

Wir haben also zwei Gleichungen für c_{p−1} und müssen nachprüfen, ob sie übereinstimmen.

Zu zeigen ist also

1 = b_{1}^{z^{−(p−1)}}b_{2}^{z^{−(p−2)}} … b_{p−1}^{z^{−1}} · b_{p}.

Daß diese Gleichung erfüllt ist, haben wir aber bereits gesehen (†).

Wir haben also gezeigt, daß die definierte Wirkung von z auf B keine Fixpunkte außer der 1 hat. Was noch zu erklären ist, ist wie die Einbettungen aussehen:

Es ist: H := B ⋊ ⟨{z}⟩.

Die erste Einbettung ist:

\begin{matrix}D ⋊ ⟨\{z^{p}\}⟩ & → & H \\ (b, z^{pn}) & ↦ & ((b, 1, …, 1) · K, z^{pn}) \end{matrix}

[ Es ist nachzuweisen, daß die Abbildung ein Homomorphismus ist. Mit y = z^{p} ist

(b_{1}, z^{pn_{1}}) · (b_{2}, z^{pn_{2}}) = (b_{1}, y^{n_{1}}) · (b_{1}, y^{n_{2}}) = (b_{1}^{y^{n_{1}}}b_{2}, y^{n_{1}+n_{2}}).

Ebenso ist

\begin{matrix}((b_{1}, 1, ..., 1) · K, z^{pn_{1}}) · ((b_{2}, 1, ..., 1)· & K, z^{pn_{2}}) \\ = & ((b_{1}^{y^{n_{1}}}b_{2}, 1, ..., 1) · K, y^{n_{1}+n_{2}}). \end{matrix}

Die Abbildung ist injektiv: Falls (b, z^{pn}) auf ((1, ..., 1)·K, 1) abgebildet wird, folgt sofort z^{pn} = 1 und (b, 1, ..., 1) ∈ K. Aus (b, 1, ..., 1) ∈ K folgt aber nach Definition von K, daß

(b, 1, ..., 1) = (a_{1}^{z}, a_{1}^{−1}a_{2}^{z}, ..., a_{p−1}^{−1})

für bestimmte a_{i} ∈ A (i = 1, …, p − 1) ist. Es folgt a_{p−1} = 1 und daraus a_{p−2} = 1, …, a_{1} = 1. Daraus wiederum folgt, daß b = 1 ist. ]

Die zweite Einbettung ist gegeben durch:

\begin{matrix}A ⋊ ⟨\{z\}⟩ & → & H \\ (a, z) & ↦ & ((a, 1, …, 1) · K, z) \end{matrix}

[ Wieder ist zu zeigen, daß die Abbildung ein Homomorphismus ist. Sei n_{2} = rp + s mit s < p. Dann ist

(a_{1}, z^{n_{1}}) · (a_{2}, z^{n_{2}}) = (a_{1}^{z^{n_{2}}}a_{2}, z^{n_{1}+n_{2}})

und

\begin{matrix}((a_{1}, 1, ..., 1) · K, z^{n_{1}}) · ((a_{2}, 1, ..., & 1) · K, z^{n_{2}}) \\ = (( & a_{2}, 1, ..., 1, a_{1}^{z^{rp}}, 1, ..., 1) · K, z^{n_{1}+n_{2}}), \end{matrix}

wobei a_{1}^{z^{rp}} an der (s + 1)-ten Stelle steht.

Sei nun b := a_{1}^{z^{rp}}. Dann ist

\begin{matrix}(b^{z^{s}}, 1, ..., 1 & , b^{−1}, 1, ..., 1) \\ = & (b^{z^{s}}, (b^{−1})^{z^{s−1}}, 1, ..., 1) · . . . · (1, ..., 1, b^{z}, b^{−1}, 1, ..., 1) ∈ K, \end{matrix}

also

\begin{matrix}(a_{2}, 1, ..., 1, a_{1}^{z^{rp}}, & 1, ..., 1) · K \\ = & (a_{2}, 1, ..., 1, b, 1, ..., 1) · K \\ = & (a_{2}, 1, ..., 1, b, 1, ..., 1) · (b^{z^{s}}, 1, ..., 1, b^{−1}, 1, ..., 1) · K \\ = & (b^{z^{s}}a_{2}, 1, ..., 1) · K \\ = & ((a_{1}^{z^{rp}})^{z^{s}}a_{2}, 1, ..., 1) · K \\ = & (a_{1}^{z^{n_{2}}}a_{2}, 1, ..., 1) · K. \end{matrix}

Daß die Abbildung injektiv ist, sieht man wie bei der ersten Einbettung. ]

Die Idee für einen Beweis des Amalgamierungssatzes ist nun, die Wirkung der Faktorgruppe in Primzahlschritten zu definieren. Wir wollen dabei ausnützen, daß nur dafür zu sorgen ist, daß Elemente von Primzahlordnung fixpunktfrei wirken. Da Z lokal-zyklisch ist, gibt es außerdem nur genau eine Untergruppe der Ordnung p in Z.

Wir werden im folgenden nicht streng unterscheiden zwischen einer Untergruppe und einer eingebetteten Gruppe. Mit anderen Worten: Wenn A in eine andere Gruppe einbettbar ist, so betrachten wir A als Untergruppe, indem wir das Bild einer fest gewählten Einbettung mit A identifizieren.

Satz 8.9. Sei U ≤ A und U ≤ V, wo V eine abelsche endliche π-Gruppe sei. Dann existiert eine CA-Gruppe H = B′ ⋊ Z′ mit G ≤ H, A, V ≤ B′ und Z′ ≅ Z.

Beweis. Zunächst definieren wir D wie in 8.5 (Amalgamiere A und V abelsch mit gemeinsamer Untergruppe U).

Sei nun {q_{n}; n ∈ ω} eine Aufzählung aller Primzahlen aus π′, wobei jede Primzahl unendlich oft aufgezählt werden soll. (Falls π′ = ∅ ist nichts weiter zu zeigen.)

Definiere rekursiv B_{n}, Z_{n} mit Z_{−1} := {1}, B_{−1} := D.

n = 0: Falls Z kein Element der Ordnung q_{0} hat, setze B_{0} = D, Z_{0} = {1}. Sonst wähle ein solches Element z ∈ Z und gehe mit D vor wie in 8.6. B_{0} sei die Basisgruppe, die man so erhält, Z_{0} der Aufspann des gewählten Elements z.

n → n + 1: 1. Fall: Für alle m ≤ n ist q_{m} ≠ q_{n+1}.

Falls Z kein Element der Ordnung q_{n+1} hat, setze B_{n+1} := B_{n}, Z_{n+1} := Z_{n}. Sonst wähle ein Element z_{n+1} der Ordnung |Z_{n}| · q_{n+1} in Z und gehe mit B_{n}, A und dem gewählten Element z_{n+1} vor wie in 8.7. B_{n+1} sei die Basisgruppe, die man so erhält, und Z_{n+1} := ⟨Z_{n} ∪ {z_{n+1}}⟩.

2. Fall: Es gibt ein m < n + 1 mit q_{m} = q_{n+1}.

Sei q_{n+1} das k-te Vorkommen der Primzahl p.

Falls Z kein Element der Ordnung p^{k} hat, ist wieder nichts zu tun.

Sonst hat, da Z lokal-zyklisch ist, das Element z_{n}, das vorher gewählt wurde, eine p-te Wurzel z_{n+1}. Gehe nun mit z_{n+1}, B_{n}, A vor wie in 8.8. B_{n+1} sei die Basisgruppe, die man so erhält, Z_{n+1} := ⟨Z_{n} ∪ {z_{n+1}}⟩.

Setze nun B′ := ⋃_{n∈ω} B_{n} und Z′ := ⋃_{n∈ω} Z_{n} (Hier ist die Vereinigung als induktiver Limes bezüglich der genannten Einbettungen zu verstehen). Dann ist das Gewünschte erfüllt.

Korollar 8.10. Sei U ≤ A und U ≤ V, wo V eine abelsche endliche π-Gruppe sei. Dann existiert eine CA-Gruppe H = B′ ⋊ Z′ mit G ≤ H, A, V ≤ B′ und Z′ ≅ ⨁_{q∈π′} Z_{q^{∞}}.

Beweis. Es reicht folgendes zu zeigen: Sei B ⋊ Z eine LEACA-Gruppe, so daß die q-Sylow-Gruppe von Z zyklisch der Ordnung q^{n} sei. Dann ist B ⋊Z in eine LEACA-Gruppe B′ ⋊ Z′ einbettbar, so daß die q-Sylow-Gruppe von Z′ zyklisch der Ordnung q^{n+1} ist.

Es ist klar, daß sich Z in eine Gruppe Z′ einbetten läßt, so daß für p ≠ q die p-Sylow-Gruppen von Z die p-Sylow-Gruppen von Z′ sind, und die q-Sylow-Gruppe von Z′ zyklisch der Ordnung q^{n+1} ist. Der Einfachheit halber betrachten wir Z als Untergruppe von Z′, das heißt, wenn Z ≅ C_{q^{n}} ⊕ Y, dann Z′ ≅ C_{q^{n+1}} ⊕ Y.

n = 0: Wähle ein Element z der Ordnung q in Z′. Bette dann wie in 8.6 die Gruppe B in B^{p}/K ⋊ ⟨{z}⟩ ein. (Hier ist K = {(b, …, b); b ∈ B}.) Für y ∈ Z läßt sich nun (vergleiche den Beweis zu 8.7) eine Wirkung auf B^{p}/K erklären durch:

y^{−1} · ((b_{1}, …, b_{p}) · K) · y := (b_{1}^{y}, …, b_{p}^{y}) · K.

Wohldefiniertheit und Fixpunktfreiheit dieser Wirkung folgen wie im Beweis von 8.7. Offensichtlich vertauscht die Wirkung mit der von z. Mit B′ := B^{p}/K und Z′ := Z ⊕ ⟨{z}⟩ ist also das Gewünschte erfüllt.

n > 0: Wähle ein ein Element z der Ordnung q^{n+1} in Z′. Sei außerdem y := z^{p} ∈ Z. Verwende 8.8, um B ⋊ ⟨{y}⟩ in B^{p} ⋊ ⟨{z}⟩ einzubetten. (K ist in diesem Fall = {1}.) Für ein Element w ∈ Z läßt sich nun eine Wirkung auf B^{p} erklären:

w^{−1} · (b_{1}, …, b_{p}) · w := (b_{1}^{w}, …, b_{p}^{w}).

Diese Wirkung verträgt sich mit der durch z definierten (insbesondere wirkt y = z^{p} gerade so). Die Fixpunktfreiheit der Wirkung ist offensichtlich.

Man kann nun Z′ sukzessive vergrößern und erhält so das gewünschte Resultat.

Wir kommen nun zum Beweis unseres Hauptsatzes:

Beweis von Satz 8.3. Wir zeigen zunächst, daß A existenziell abgeschlossen in der Klasse der lokal-endlichen abelschen π-Gruppen ist: Sei

∃x_{1}, ..., x_{n} : Φ(x_{1}, ..., x_{n}, a_{1}, ..., a_{m})

ein Satz, der in einer Oberstruktur D von A (d.h. einer lokal-endlichen abelschen π-Gruppe, die A enthält) gilt (mit a_{1}, ..., a_{m} Namen für Elemente aus A). Dann gibt es y_{1}, ..., y_{n} ∈ D, so daß D ⊨ Φ(y_{1}, ..., y_{n}, a_{1}, ..., a_{m}) gilt. Nach Satz 8.9 gibt es eine Oberstruktur H von G in der Klasse der LEACA-Gruppen, die D in der Basisgruppe enthält. Sei nun 1 ≠ a ∈ A. Dann gilt:

H ⊨ ∃x_{1}, ..., x_{n} : (⋀_{i=1}^{n}[x_{i}, a] = 1) ∧ Φ(x_{1}, ..., x_{n}, a_{1}, ..., a_{m}).

Da G existenziell abgeschlossen ist, erfüllt auch G diese Aussage. Da die erfüllenden Elemente und die Namen für Elemente alle aus A stammen, folgt

A ⊨ ∃x_{1}, ..., x_{n} : Φ(x_{1}, ..., x_{n}, a_{1}, ..., a_{m}).

Also ist A e.c. in der Klasse der lokal-endlichen abelschen π-Gruppen.

Daß Z die gewünschte Form hat, folgt direkt aus 8.10, denn der Satz

∃x : x^{k} = 1 ∧ ⋀_{i<k} x^{i} ≠ 1

ist für jede π′-Zahl k in einer Oberstruktur erfüllbar, also auch in G selbst.

Wir haben nun gezeigt, wie die Struktur einer e.c. LEACA-Gruppe ist. Noch ist allerdings nicht klar, wieviel Isomorphie-Typen abzählbarer e.c. LEACA-Gruppen es gibt. Darauf wollen wir in den folgenden Kapiteln eingehen.

Man beachte, daß es auch abelsche e.c. LEACA-Gruppen gibt, nämlich für π = ℙ (ℙ die Menge aller Primzahlen, π′ ist dann die leere Menge). Dort gibt es unter den abzählbaren bis auf Isomorphie nur eine.

9 Charakterisierung von e.c. LEACA-Gruppen

Wir haben im letzten Kapitel gesehen, daß eine e.c. LEACA-Gruppe von der Form A ⋊ Z ist, wobei eine Primzahlmenge π existiert, so daß A e.c. in der Klasse der lokal-endlichen abelschen π-Gruppen ist und Z teilbare lokal-zyklische π′-Gruppe ist. Im abzählbaren Fall ist also

G ≅ (⨁_{p∈π} Z_{p^{∞}}^{(ω)}) ⋊ (⨁_{q∈π′} Z_{q^{∞}}).

Umgekehrt ist aber nicht jede CA-Gruppe, die eine solche Darstellung besitzt eine e.c. LEACA-Gruppe. Das soll in diesem Kapitel gezeigt werden. Außerdem wollen wir Kriterien angeben, wann eine solche Gruppe e.c. ist.

Um weitere Resultate zu bekommen, wollen wir die Wirkung der Faktorgruppe auf die Basisgruppe noch genauer untersuchen. Welche möglichen (fixpunktfreien!) Wirkungen treten auf? Um diese Untersuchung zu erleichtern, werden wir mit Gruppenringen arbeiten. Wir definieren (vergleiche [36], p.207):

Definition 9.1. Sei G eine Gruppe und R ein Ring mit 1. Dann ist der Gruppenring RG definiert als Menge der formalen Summen ∑_{x∈G} r_{x}x mit r_{x} ∈ R und r_{x} ≠ 0 nur für endlich viele x ∈ G. Die Addition auf RG ist definiert durch

(∑_{x∈G} r_{x}x) + (∑_{x∈G} r′_{x}x) := ∑_{x∈G}(r_{x} + r′_{x})x,

und die Multiplikation durch

(∑_{x∈G} r_{x}x) · (∑_{x∈G} r′_{x}x) := ∑_{x∈G}(∑_{yz=x} r_{y}r′_{z})x.

Es ist leicht zu sehen, daß RG ein Ring mit Einselement ist.

Wir beschreiben nun die Situation, wie wir Gruppenringe verwenden werden: Sei G = A ⋊ Z eine LEACA-Gruppe, A abelsch und Z lokal-zyklisch. Dann kann A als Modul über dem Gruppenring ℤZ betrachtet werden. Wir wollen genauer ausführen, wie das geht. “·” sei die Gruppenmultiplikation auf G. Wir schreiben zunächst die Gruppenmultiplikation auf A additiv, also

a + b := a · b für a, b ∈ A.

Die Skalarmultiplikation ist dann wie folgt definiert:

(∑_{z∈Z} r_{z}z) ∗ a := ∏_{z∈Z}(a^{z})^{r_{z}} für ∑_{z∈Z} r_{z}z ∈ ℤZ und a ∈ A.

Für a ∈ A und z ∈ Z ist a^{z} dabei definiert als a^{z} = z^{−1} · a · z, und für r ∈ ℕ sei

a^{r} := \underbrace{a · . . . · a}_{r−mal}.

Beachte. Wir haben für die Skalarmultiplikation ein neues Zeichen “∗” eingeführt, da z · a (die Gruppenmultiplikation) und z ∗ a verschiedene Bedeutung haben.

Wie man sieht, macht die Definition der Skalarmultiplikation Sinn für Gruppenringe RZ, wenn A als R-Modul betrachtet werden kann. Das geht, wenn A eine p-Gruppe ist, insbesondere für R = ℤ_{p}, den Ring der p-adischen Zahlen. Es wird sich im folgenden zeigen, daß dieser Ring geeigneter ist als der Ring der ganzen Zahlen, um die möglichen Wirkungen zu beschreiben.

ℤ_{p} sei also der Ring der ganzen p-adischen Zahlen, ℚ_{p} der Körper der p-adischen Zahlen. Als Literatur über p-adische Zahlen verweisen wir auf Kapitel 6 von J. Neukirch in [11] und das Buch von K. Hensel [23].

Wie eben bemerkt ist jede abelsche p-Gruppe (so auch Z_{p^{∞}}) in natürlicher Weise ein ℤ_{p}-Modul.

Für unsere Untersuchungen werden wir besonders den Spezialfall zu betrachten haben, daß Z endlich zyklisch ist. Sei z ein erzeugendes Element von Z und k die Ordnung von z. Dann ist ℤ_{p}Z isomorph zu einem Faktorring des Polynomrings ℤ_{p}[x]:

ℤ_{p}Z ≅ ℤ_{p}[x]/(x^{k} − 1).

Daher wollen wir zunächst einige Eigenschaften von ℤ_{p}[x] untersuchen. Wir zitieren das Henselsche Lemma (siehe [11], p.141):

Henselsches Lemma. Besitzt ein Polynom f(x) ∈ ℤ_{p}[x] modulo p eine Zerlegung

f(x) ≡ g_{0}(x) · h_{0}(x) (mod p)

mit Polynomen g_{0}, h_{0} ∈ ℤ_{p}[x], die modulo p teilerfremd sind, und von denen g_{0} normiert ist, so gibt es über ℤ_{p} eine Zerlegung

f(x) = g(x) · h(x)

mit Polynomen g, h ∈ ℤ_{p}[x], derart daß g normiert ist und

g(x) ≡ g_{0}(x) (mod p), h(x) ≡ h_{0}(x) (mod p).

Wählen wir für f(x) das k-te Kreisteilungspolynom, so zeigt das obige Lemma, daß f(x) genau dann reduzibel über 𝔽_{p} ist, wenn es reduzibel über ℤ_{p} ist, und diese Zerlegungen kompatibel sind.

Wir benötigen noch eine Proposition. Sie ist ein Spezialfall eines Satzes aus [23] (p. 63).

Proposition 9.2. Seien g, h ∈ ℤ_{p}[x] teilerfremde Polynome, so daß g und h auch modulo p teilerfremd seien. Dann gibt es u, v ∈ ℤ_{p}[x], so daß ug + vh = 1 gilt.

Beweis. Zunächst ist klar, daß wir Polynome u′, v′ über dem Körper der p-adischen Zahlen ℚ_{p} finden können, so daß u′g + v′h = 1 gilt.

[ Denn ℚ_{p}[x] ist ein Hauptidealring, und daher müssen nach einem Satz von Gauß (vergleiche zum Beispiel [31], p. 158, 4.3.6) u′ und v′ auch über ℚ_{p}[x] teilerfremd sein. ]

Diese Polynome können so gewählt werden, daß der Grad von v′ (beziehungsweise u′) kleiner ist als der von g (beziehungsweise h).

Sei nun l die kleinste natürliche Zahl, so daß u := p^{l}u′ und v := p^{l}v′ in ℤ_{p}[x] liegen. Dann ist ug + vh = p^{l} über ℤ_{p}.

Wir betrachten diese Gleichung nun modulo p:

Wäre l > 0, so wäre ug + vh ≡ 0 (mod p). Das kann aber nicht sein: Es kann nicht sowohl u ≡ 0 (mod p) als auch v ≡ 0 (mod p) sein, da das ein Widerspruch zur Wahl von l wäre. Andererseits ist der Grad von v (bzw. u) kleiner als der von g (bzw. h). Daher müssten g und h einen gemeinsamen Teiler haben. g und h sind aber teilerfremd modulo p.

Also ist l = 0, was die Behauptung zeigt.

Wir wollen diese Proposition folgendermaßen anwenden:

Proposition 9.3. Sei f(x) = g_{1}(x) · . . . · g_{n}(x) die Zerlegung des k-ten Kreisteilungspolynom in seine irreduziblen Faktoren über ℤ_{p}. Setze h_{i}(x) := ∏_{j≠i} g_{j}(x) für i = 1, …, n (h_{1}(x) = 1 für n = 1). Dann gibt es Polynome u_{i}(x) ∈ ℤ_{p}[x] (i = 1, …, n), so daß u_{1}(x)h_{1}(x) + … + u_{n}(x)h_{n}(x) = 1.

Beweis. Wir beweisen über Induktion nach m, daß es für m ≤ n Polynome v_{1}^{(m)}, …, v_{m}^{(m)} ∈ ℤ_{p}[x] gibt, so daß

v_{1}^{(m)}h_{1} + … + v_{m}^{(m)}h_{m} = ∏_{j=m+1}^{n} g_{j}

ist.

m = 1: Setze v_{1}^{(1)} := 1

m ↦ m + 1: ∏_{j=1}^{m} g_{j} und g_{m+1} sind teilerfremd über ℤ_{p} und 𝔽_{p}, also existieren nach 9.2 s_{1}, s_{2} ∈ ℤ_{p}[x], so daß s_{1} · g_{m+1} + s_{2} · ∏_{j=1}^{m} g_{j} = 1.

Multipliziert man diese Gleichung mit ∏_{j=m+2}^{n} g_{j} und ersetzt man ∏_{j=m+1}^{n} g_{j} durch v_{1}^{(m)} · h_{1} + … + v_{m}^{(m)} · h_{m}, so erhält man:

∏_{j=m+2}^{n} g_{j} = s_{1} · g_{m+1} · ∏_{j=m+2}^{n} g_{j} + s_{2} · ∏_{j=1}^{m} g_{j} · ∏_{j=m+2}^{n} g_{j}
= s_{1} · ∏_{j=m+1}^{n} g_{j} + s_{2} · h_{m+1}
= s_{1} · v_{1}^{(m)} · h_{1} + … + s_{1} · v_{m}^{(m)} · h_{m} + s_{2} · h_{m+1}

Setze also v_{i}^{(m+1)} := s_{1} · v_{i}^{(m)} für i ≤ m und v_{m+1}^{(m+1)} := s_{2}.

Damit sind unsere Vorbereitungen abgeschlossen und wir können uns wieder unserem Problem zuwenden.

Wir zeigen, daß fixpunktfreie Wirkungen der Ordnung k mit Hilfe des k-ten Kreisteilungspolynoms beschrieben werden können.

Proposition 9.4. Sei A ⋊ Z CA-Gruppe, wo A eine abelsche p-Gruppe sei, k eine nicht durch p teilbare Zahl und Z zyklisch der Ordnung k. Außerdem sei a ∈ A und z ein erzeugendes Element von Z. Dann gibt es einen Teiler g des k-ten Kreisteilungspolynoms f über ℤ_{p}, so daß g(z) ∗ a = 0 ist.

Beweis. Es reicht zu zeigen, daß für das k-te Kreisteilungspolynom f gilt, daß f(z) ∗ a = 0 ist. Es ist (z^{k} − 1) ∗ a = 0, da k die Ordnung von z ist. Außerdem ist f(x) ein Teiler von x^{k} − 1, also gibt es ein Polynom H(x) ∈ ℤ_{p}[x], so daß x^{k} − 1 = f(x) · H(x) ist.

Es reicht nun zu zeigen, daß H(z) injektiv auf A wirkt: Sei H(x) = H_{1}(x) · . . . · H_{n}(x) die Zerlegung von h in seine irreduziblen Faktoren über ℤ.

Es gilt H_{i}(z) ∗ c ≠ 0 für alle 0 ≠ c ∈ A:

[ Alle irreduziblen Teiler von H sind Teiler eines l-ten Kreisteilungspolynoms für einen echten Teiler l von k. Also ist H_{i}(x) ein Teiler des l-ten Kreisteilungspolynoms für ein l < k. Wäre H_{i}(z) ∗ c = 0, dann auch (z^{l} − 1) ∗ c = 0, das heißt c wäre Fixpunkt unter der Wirkung von z^{l}. Das kann aber nicht sein, da z^{l} ≠ 1 fixpunktfrei wirkt. ] Induktiv folgt für c ≠ 0:

H_{n}(z) ∗ c  ≠ 0,
(H_{n−1}(z) · H_{n}(z)) ∗ c  ≠ 0, da H_{n}(z) ∗ c ≠ 0,
…,
H(z) ∗ c = (H_{1}(z) · . . . · H_{n}(z)) ∗ c ≠ 0,

was zu zeigen war.

Für Wirkungen auf Elemente von Primzahlordnung kann man auch mit dem Körper 𝔽_{p} arbeiten. Sei z ∈ Z, a ∈ A mit o(a) = p: Definiere A_{p} := {a ∈ A; p ∗ a = 0}. A_{p} ist also ein 𝔽_{p}-Vektorraum. Anstatt mit dem Gruppenring ℤ_{p}Z können wir hier also mit 𝔽_{p}Z arbeiten. Die Dimension der Wirkung von z auf a (kurz dim_{z}(a)) sei die kleinste Zahl n, so daß a, a^{z}, …, a^{z^{n}} linear abhängig sind (über 𝔽_{p}). Es gibt also λ_{i} ∈ 𝔽_{p} für i = 0, …, n − 1 mit

a^{z^{n}} + λ_{n−1} ∗ a^{z^{n−1}} + … + λ_{1} ∗ a^{z} + λ_{0} ∗ a = 0.

Das Polynom x^{n} + λ_{n−1} · x^{n−1} + … + λ_{1} · x + λ_{0} heiße Minimalpolynom m_{a}(z) von z bezüglich a. Die obige Analyse zeigt, daß m_{a}(z) ein Teiler des k-ten Kreisteilungspolynoms über 𝔽_{p} sein muß.

Es gilt auch eine Umkehrung zur Proposition. Der folgende Satz ist eine Verallgemeinerung von Satz 2.5. Wir werden im folgenden die zyklische Gruppe ℤ/(k · ℤ) mit C_{k} bezeichnen.

Satz 9.5. Sei f(x) = x^{n} + λ_{n−1} · x^{n−1} + … + λ_{1} · x + λ_{0} ein Teiler des k-ten Kreisteilungspolynoms über ℤ_{p} und A eine abelsche p-Gruppe. Dann ist die Gruppe A^{(n)} ⋊ C_{k} mit der Wirkung (z erzeugendes Element von C_{k})

z ∗ (a, 0, …, 0)  := (0, a, 0, …, 0)
z^{2} ∗ (a, 0, …, 0) = z ∗ (0, a, 0, …, 0) := (0, 0, a, 0, …, 0)
…
z^{n} ∗ (a, 0, …, 0) = z ∗ (0, …, 0, a)  := (−λ_{0} · a, −λ_{1} · a, …, −λ_{n−1} · a)
= (z^{n} − f(z)) ∗ (a, 0, …, 0)

eine CA-Gruppe.

Beweis. Die Wirkung von z wird beschrieben über die Abbildung

\begin{aligned}φ : & A^{n} & → & A^{n} \\ & (a_{1}, …, a_{n}) & ↦ & (0, a_{1}, …, a_{n−1}) + (−λ_{0}a_{n}, …, −λ_{n−1}a_{n}). \end{aligned}

Diese Abbildung ist offensichtlich ein Endomorphismus von A^{n}. Sie ist außerdem injektiv

[ Angenommen φ((a_{1}, …, a_{n})) = (0, …, 0), dann folgt a_{n} = 0, da λ_{0} invertierbar in ℤ_{p} ist. Also ist

(0, …, 0) = φ((a_{1}, …, a_{n})) = (0, a_{1}, …, a_{n−1})

und damit (a_{1}, …, a_{n}) = (0, …, 0). ]

und surjektiv.

[ Sei (b_{1}, …, b_{n}) ∈ A^{n} gegeben. Wir wollen zeigen, daß (b_{1}, …, b_{n}) im Bild von φ liegt. Dazu ist zu zeigen, daß das Gleichungssystem

−λ_{0}a_{n}  = b_{1}
a_{1} − λ_{1}a_{n}  = b_{2}
…
a_{n−1} − λ_{n−1}a_{n} = b_{n}

lösbar ist. Da λ_{0} invertierbar ist, erhält man sofort

a_{n}  = −λ_{0}^{−1}b_{1}
a_{1}  = b_{2} + λ_{1}a_{n} = b_{2} − λ_{1}λ_{0}^{−1}b_{1}
…
a_{n−1} = b_{n} + λ_{n−1}a_{n} = b_{n} − λ_{n−1}λ_{0}^{−1}b_{1}.

Damit ist die Behauptung gezeigt. ]

φ wurde so definiert, daß φ^{n}(a, 0, …, 0) = (φ^{n} − f(φ))(a, 0, …, 0) ist. Es folgt daher direkt, daß f(φ)(a, 0, …, 0) = (0, …, 0) ist. Es folgt

\begin{aligned}φ^{k}(a, 0, …, 0) & = & ((φ^{k} − id) + id)(a, 0, …, 0) \\ & = & (φ^{k} − id)(a, 0, …, 0) + (a, 0, …, 0). \end{aligned}

Da f(x) ein Teiler von x^{k} − 1 ist, ist (φ^{k} − id)(a, 0, …, 0) = (0, …, 0). Analog ist für l ∈ ω

φ^{k}(φ^{l}(a, 0, …, 0)) = φ^{l}(φ^{k}(a, 0, …, 0)) = φ^{l}(a, 0, …, 0),

also φ^{k}(0, a, 0, …, 0) = (0, a, 0, …, 0) und so weiter. Wir haben also gezeigt, daß die Ordnung der Wirkung k ist.

Wir zeigen nun die Fixpunktfreiheit der Wirkung:

Angenommen z^{l} ∗ (a_{0}, …, a_{n−1}) = (a_{0}, …, a_{n−1}) für (a_{0}, …, a_{n−1}) ∈ A^{(n)} und ein l < k. Dann ist also

(z^{l} − 1) ∗ (a_{0}, …, a_{n−1}) = (0, …, 0) und f(z) ∗ (a_{0}, …, a_{n−1}) = (0, …, 0).

Die Polynome f(x) und x^{l} − 1 sind teilerfremd in ℤ_{p}[x] und modulo p. Es gibt also nach 9.2 Polynome u(x), v(x) ∈ ℤ_{p}[x] mit u(x)f(x) + v(x)(x^{l} − 1) = 1. Es folgt

\begin{aligned}(a_{0}, …, a_{n−1}) & = & (u(z)f(z) + v(z) · (z^{l} − 1)) ∗ (a_{0}, …, a_{n−1}) \\ & = & (0, …, 0), \end{aligned}

also gibt es keine Fixpunkte außer der 0.

Sei nun G = A ⋊ Z eine LEACA-Gruppe.

Zerlegt man das k-te Kreiteilungspolynom f(x) = g_{1}(x) · . . . · g_{n}(x) in seine irreduziblen Faktoren über ℤ_{p}, so kann man in der Gruppe A die Elemente bezeichnen, bezüglich denen ein fest gewähltes Element z der Ordnung k gemäß dem Polynom g_{i}(x) wirkt.

Wir setzen also für i = 1, …, n:

A_{i} = A_{i}(z) := {a ∈ A; g_{i}(z) ∗ a = 0}.

Wir behaupten nun: A = A_{1} ⊕ … ⊕ A_{n}.

Satz 9.6. Sei A ⋊ C_{k} lokal-endliche CA-Gruppe, A abelsche p-Gruppe und z ein erzeugendes Element von C_{k}. f(x) = g_{1}(x) · . . . · g_{n}(x) sei die Zerlegung des k-ten Kreisteilungspolynom in seine irreduziblen Faktoren über ℤ_{p}. Setze für i = 1, …, n: A_{i} := {a ∈ A; g_{i}(z) ∗ a = 0}.

Dann gilt: Die Untergruppen A_{i} (i ≤ n) sind invariant unter der Wirkung von C_{k} und es gilt A = A_{1} ⊕ … ⊕ A_{n}.

Beweis. 1. Invarianz:

Sei a ∈ A_{i}, also g_{i}(z) ∗ a = 0, dann ist

g_{i}(z) ∗ (z ∗ a) = z ∗ (g_{i}(z) ∗ a) = 0.
Also ist z ∗ a ∈ A_{i}.
Für a_{1}, a_{2} ∈ A_{i} ist
g_{i}(z) ∗ (a_{1} + a_{2}) = g_{i}(z) ∗ a_{1} + g_{i}(z) ∗ a_{2} = 0,
also ist a_{1} + a_{2} ∈ A_{i}.

2. Disjunktheit:

Angenommen a ∈ A_{i} ∩ ⟨⋃_{j≠i} A_{j}⟩. Mit 9.3 ist

\begin{aligned}a & = & 1 ∗ a & = & (u_{1}(z)h_{1}(z) + … + u_{n}(z)h_{n}(z)) ∗ a \\ & & & = & u_{1}(z)h_{1}(z) ∗ a + … + u_{n}(z)h_{n}(z) ∗ a. \end{aligned}

Da a ∈ A_{i} ist h_{j}(z)∗a = 0 für j ≠ i. Also ist a = u_{i}(z)h_{i}(z)∗a. Andererseits ist a ∈ ⟨⋃_{j≠i} A_{j}⟩, d.h. es gibt a_{j} ∈ A_{j} für j ≤ n mit a_{i} = 0, so daß a = a_{1}+…+a_{n}. Damit ist

a = u_{i}(z)h_{i}(z) ∗ a = u_{i}(z)h_{i}(z) ∗ a_{1} + … + u_{i}(z)h_{i}(z) ∗ a_{n} = 0,

da für alle j ≤ n gilt, daß u_{i}(z)h_{i}(z) ∗ a_{j} = 0 ist.

3. A ist Erzeugnis der A_{i}: Sei a ∈ A. Nach 9.3 haben wir

a = 1 ∗ a = (u_{1}(z)h_{1}(z) + … + u_{n}(z)h_{n}(z)) ∗ a
= u_{1}(z)h_{1}(z) ∗ a + … + u_{n}(z)h_{n}(z) ∗ a
= h_{1}(z) ∗ (u_{1}(z) ∗ a) + … + h_{n}(z) ∗ (u_{n}(z) ∗ a)

und h_{i}(z) ∗ (u_{i}(z) ∗ a) ∈ A_{i}.

Um eine weitere Zerlegung in direkte Summanden zu erhalten, zitieren wir einen wohlbekannten Satz:

Sei M ein Modul über dem Hauptidealring R. X ≤ M sei ein teilbarer Untermodul. Dann ist X direkter Summand in M.

[ Für Moduln über Hauptidealringen ist Injektivität und Teilbarkeit äquivalent. Injektive Untermoduln sind direkte Summanden.]

Wir können das nun auf die A_{i} aus 9.6 anwenden. Die A_{i} sind Moduln über dem Ring R_{i} := ℤ_{p}[x]/I_{i} (wo I_{i} das von g_{i} erzeugte Ideal sei). Die Wirkung von x auf A_{i} entspricht dabei der von z. Beachte: R_{i} ist isomorph zum Ring ℤ_{p} adjungiert mit einer k-ten Einheitswurzel. Die R_{i} sind daher alle isomorph. R_{i} ist ein Hauptidealring, sogar: Die Ideale in R_{i} sind von der Form (p^{l}) für ein l ∈ ℕ.

[ Sei I ein Ideal in R_{i}. Wähle l minimal, so daß (p^{l}) ⊆ I ist. (Hierbei ist l = ∞ zugelassen. Das Ideal (p^{∞}) := ⋂_{l∈ω}(p^{l}) sei dabei das Nullideal.) Wir nehmen nun an, I ≠ (p^{l}). Sei also f̄ ∈ I − (p^{l}). Sei f ein Urbild von f̄ unter dem kanonischen Epimorphismus ψ : ℤ_{p}[x] → ℤ_{p}[x]/I_{i}. Dabei sei f so gewählt, daß der Grad von f kleiner als der von g_{i} sei. Dann kann man f = p^{k} · h schreiben, wo h nicht durch p teilbar ist. Da f̄ ∉ (p^{l}) ist, ist k < l. Außerdem sind g_{i} und h sowohl über ℤ_{p} als auch über 𝔽_{p} teilerfremd. Also existieren nach 9.2 Polynome u, v ∈ ℤ_{p}[x] mit ug_{i} +vh = 1. Insbesondere ist p^{k} = ψ(p^{k}) = ψ(p^{k} ·ug_{i} +vf) = ψ(vf) ∈ I. Also ist (p^{k}) ⊆ I, ein Widerspruch zur Minimalität von l. ]

Beachte. Obwohl die Ringe R_{i} alle isomorph sind, werden wir die Schreibweise R_{i} beibehalten, da dadurch klar ist, wie der Ring auf A_{i} wirkt.

Proposition 9.7. Seien die Voraussetzungen wie in 9.6 und X ≤ A_{i} teilbar. Dann ist X direkter Summand im R_{i}-Modul A_{i}.

Beweis. Wie eben gesehen, ist R_{i} ein Hauptidealring, und wie oben bemerkt, sind teilbare Untermoduln über Hauptidealringen direkte Summanden.

Im folgenden betrachten wir A_{i} immer auch als R_{i}-Modul.

Es ist hier zu beachten, daß die A_{i} (für i = 1, …, n) genau dann als R_{i}-Modul teilbar sind, wenn sie als Gruppe teilbar sind, da alle Elemente, die nicht Vielfache von p sind, in R_{i} invertierbar sind

Wir suchen weiter nach direkten Summanden, fordern aber nur so etwas wie “maximale Teilbarkeit” im R_{i}-Modul. Der Beweis folgt im wesentlichen dem für teilbare Untermoduln (vgl. zum Beispiel [15], Theorem 21.2).

Proposition 9.8. Die Voraussetzungen seien wie in 9.6 und A = A_{1}⊕…⊕A_{n}. Außerdem sei p^{m} der Exponent von A_{i} und C_{p^{m}}^{(s)} ≅ X ≤ A_{i}, so daß X ein Untermodul von A_{i} sei. Dann ist X direkter Summand (als R_{i}-Modul).

Beweis. Sei Y maximal R_{i}-invariant mit X ∩ Y = {0}. Angenommen, es gäbe z ∈ A_{i} − (X + Y). Wegen der Maximalität von Y ist X ∩ ⟨Y ∪ {z}⟩_{R_{i}} ≠ {0}. Es ist also I := {r ∈ R_{i}; rz ∈ X + Y } ein nicht-triviales Ideal in R_{i}.

I wird daher von p^{k} für ein k ∈ ℕ erzeugt. Folglich gibt es x ∈ X, y ∈ Y mit x = y + p^{k}z.

Wir wollen zunächst zeigen, daß x durch p^{k} teilbar ist, das heißt, daß es ein x_{1} ∈ X gibt mit p^{k}x_{1} = x.

Sei p^{l} die Ordnung von z. Dann ist l ≤ m und p^{m−k}x = p^{m−k}y + p^{m}z = p^{m−k}y und wegen X ∩ Y = {0} : p^{m−k}x = 0. Ist p^{t} die Ordnung von x, so ist x nach Voraussetzung durch p^{m−t} teilbar. Da m − k ≥ t, ist x auch durch p^{m−(m−k)} = p^{k} teilbar.

Wir können also p^{k}x_{1} = y + p^{k}z, beziehungsweise y = p^{k}(x_{1} − z) schreiben. Betrachte nun Y′ := ⟨Y ∪ {x_{1} − z}⟩_{R_{i}}.

Dann ist X ∩ Y′ = {0}.

[ Sei nämlich x_{2} ∈ X, y_{2} ∈ Y und r ∈ R_{i} mit x_{2} = y_{2} + r(x_{1} − z). Dann ist rz ∈ X + Y, also r ∈ I. Daher gibt es ein s ∈ R_{i}, so daß r(x_{1} − z) = sp^{k}(x_{1} − z) = sy ∈ Y ist. Also ist x_{2} = y_{2} + sy ∈ Y, woraus folgt, daß x_{2} = 0 ist. ]

Wir haben einen Widerspruch, da Y ⫋ Y′, aber Y maximal gewählt war.

Beachte. Im Beweis kann Y so gewählt werden, daß Y eine bestimmte zu A disjunkte invariante Untergruppe enthält.

Definition 9.9. Sei M ein R-Modul. Wir nennen M (direkt) unzerlegbar, wenn es keine echten Untermoduln A, B ≤ M gibt mit M = A ⊕ B.

Proposition 9.10. Die Voraussetzungen seien wieder wie in 9.6, R_{i} wie oben definiert. Außerdem sei A_{i} endlich. Dann läßt sich A_{i} in eine direkte Summe unzerlegbarer R_{i}-Moduln zerlegen.

Beweis. Sei a ein Element maximaler Ordnung in A_{i} und U der Aufspann von a als R_{i}-Modul (also U = {r ∗ a; r ∈ R_{i}}).

Dann ist U unzerlegbar: Wäre U = X_{1} ⊕ X_{2}, so wären J_{i} := {r ∈ R_{i}; r ∗ a ∈ X_{i}} für i = 1, 2 disjunkte Ideale in R_{i}, was aufgrund der Struktur von R_{i} nicht möglich ist. Außerdem ist U von der Form wie X in 9.8. (Sei m der Grad von g_{i}, dann ist U als Gruppe isomorph zu ⟨{a}⟩ ⊕ … ⊕ ⟨{a^{z^{m−1}}}⟩.) Also ist U direkter Summand. Sei also A_{i} = U ⊕ Y, dann läßt sich analog aus Y ein direkter Summand abspalten. Induktiv erhält man die gewünschte Zerlegung.

Im Beweis des Hauptsatzes (Theorem 9.12) werden wir eine Zerlegung wie in 9.10 zu einer entsprechenden Zerlegung in einer Obergruppe fortsetzen müssen. Dazu benötigen wir die folgende Proposition.

Proposition 9.11. Seien A ⋊ C_{k} ≤ B ⋊ C_{k} endliche CA-Gruppen, wo A ≤ B ≅ C_{p^{m}}^{(s)} abelsche p-Gruppen seien. z sei erzeugendes Element von C_{k} und wirke gemäß des irreduziblen Teilers g_{i} des k-ten Kreisteilungspolynoms auf B. Sei A = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{l} eine Zerlegung von A in nicht-triviale unzerlegbare R_{i}-Moduln. Dann gibt es unzerlegbare R_{i}-Moduln V_{1}, …, V_{l} und einen R_{i}-Modul V mit U_{j} ≤ V_{j} (für j = 1, …, l) und B = V_{1} ⊕ … ⊕ V_{l} ⊕ V.

Beweis. Für j ∈ {1, …, l} sei v_{j} ∈ B so, daß v_{j} die Ordnung p^{m} habe und U_{j} ⊆ ⟨{v_{j}}⟩_{R_{i}}. (Solches v_{j} existiert, denn für ein Element x maximaler Ordnung in U_{j} wird U_{j} von x erzeugt. v_{j} ist dann eine geeignete Wurzel von x.)

Setze nun V_{j} := ⟨{v_{j}}⟩_{R_{i}}. Wir behaupten nun: ⟨V_{j}; j = 1, …, l⟩ = V_{1} ⊕ … ⊕ V_{l}.

[ Angenommen z_{1} + … + z_{l} = 0 mit z_{j} ∈ V_{j} für j = 1, …, l. Wähle k minimal, so daß p^{k}z_{j} ∈ U_{j} für alle j = 1, …, l. Dann folgt p^{k}z_{j} = 0, da A = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{l}. Angenommen, es existiert j ∈ {1, …, l} mit z_{j} ≠ 0. Da z_{j} im Aufspann von v_{j} ist, gibt es ein Polynom h(x) ∈ ℤ_{p}[x] von kleinerem Grad als g_{i} mit z_{j} = h(z)∗v_{j}. Da p^{k} ∗z_{j} = 0 ist, teilt p^{m−k} das Polynom h(x), also ist h(x) = p^{m−k} ·h′(x) für ein Polynom h′(x) ∈ ℤ_{p}[x]. Es ist aber p^{m−1}v_{j} ∈ U_{j} und damit auch

p^{k−1}z_{j} = p^{k−1}p^{m−k} · h′(z) ∗ v_{j} = h′(z) ∗ p^{m−1}v_{j} ∈ U_{j}.

Wir erhalten so also einen Widerspruch, falls z_{j} ≠ 0. ]

Es folgt mit 9.8, daß V_{1}⊕…⊕V_{l} direkter Summand ist, also B = V_{1}⊕…⊕V_{l}⊕V.

Wir haben nun eine klare Zerlegung endlicher auflösbarer CA-Gruppen, die endliche Erweiterungen abelscher Gruppen sind:

Die Basisgruppe A läßt sich in ihre p-Sylow-Gruppen A_{p} und diese wiederum in Blöcke A_{1}, …, A_{n} zerlegen. Diese Blöcke lassen sich weiter in direkte Summanden zerlegen, da invariante Untergruppen, die in A_{i} maximal teilbar sind, direkte Summanden in A_{i} sind.

Wir können so die e.c. LEACA-Gruppen charakterisieren. Wir wissen bereits, daß eine e.c. LEACA-Gruppe isomorph zu einer Gruppe der Form

⨁_{p∈π} Z_{p^{∞}}^{(κ_{p})} ⋊ ⨁_{q∈π′} Z_{q^{∞}}

für eine Primzahlmenge π und unendliche Kardinalzahlen κ_{p} für p ∈ π ist. Die Frage ist, welche Gruppen dieser Bauart e.c. sind.

Theorem 9.12. Für eine lokal-endliche CA-Gruppe G = A ⋊ Z mit

A ≅ ⨁_{p∈π} Z_{p^{∞}}^{(κ_{p})} und Z ≅ ⨁_{q∈π′} Z_{q^{∞}}

ist äquivalent:

(i) G ist existenziell abgeschlossen in der Klasse der LEACA-Gruppen.

(ii) Jede endliche auflösbare CA-Gruppe vom Typ π ist in G einbettbar.

(iii) Für alle p ∈ π, l ∈ ω und jede π′-Zahl k kann die Gruppe (C_{p}^{ϕ(k)})^{(l)} ⋊ C_{k} in G eingebettet werden, wo die Wirkung von C_{k} auf einen Block C_{p}^{ϕ(k)} gemäß des k-ten Kreisteilungspolynoms ist.

(iv) Für alle p ∈ π und für jede π′-Zahl k kann man die p-Untergruppe A_{p} von A folgendermaßen zerlegen: Sei f(x) = g_{1}(x) · . . . · g_{n}(x) die Zerlegung des k-ten Kreisteilungspolynom in seine irreduziblen Faktoren über ℤ_{p}. Sei außerdem z ein Element der Ordnung k in Z und A_{i} := {a ∈ A_{p}; g_{i}(z) ∗ a = 0}. Dann gilt für jedes i = 1, …, n : A_{i} enthält unendlich viele Elemente der Ordnung p.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Sei G e.c. LEACA-Gruppe und V ⋊ W eine endliche auflösbare CA-Gruppe vom Typ π. W sei dabei zyklisch der Ordnung k und w ein erzeugendes Element von W. Zerlege die p-Sylow-Gruppe P von V gemäß Satz 9.6 in P = P_{1} ⊕ … ⊕ P_{n} und die P_{i} wiederum in zyklische R_{i}-Moduln wie in 9.10. Also P = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{l}. Sei außerdem p^{m} der Exponent von P. Dann läßt sich P ⋊W in die Gruppe (C_{p^{m}}^{l})^{ϕ(p^{m})} ⋊C_{k} einbetten. Diese Gruppe ist aber, wie aus dem Amalgamierungssatz 8.10 und den Beweisen der dabei verwendeten Propositionen 8.6, 8.7 und 8.8 ersichtlich, in eine Obergruppe H von G einbettbar. Die Gruppentafel von V ⋊W kann durch einen existenziellen Satz beschrieben werden, der folglich in H erfüllt wird. Also muß er auch in G erfüllt werden, was bedeutet, daß V ⋊ W in G einbettbar ist.

(ii) ⇒ (iii): Für alle l ∈ ω ist (C_{p}^{ϕ(k)})^{(l)} ⋊ C_{k} eine endliche CA-Gruppe vom Typ π und daher nach (ii) in G einbettbar.

(iii) ⇒ (iv): U ⋊ C_{k} = (C_{p}^{ϕ(k)})^{(l)} ⋊ C_{k} ist zerlegbar in (U_{1} ⊕ … ⊕ U_{n}) ⋊ C_{k} mit U_{i} := \{a ∈ U; g_{i}(z) ∗ a = 0\}. Die U_{i} haben jeweils p^{\frac{ϕ(k)}{n} ·l} − 1 Elemente der Ordnung p und sind Untergruppen der A_{i}. Da l beliebig groß gewählt werden kann, folgt die Behauptung.

(iv) ⇒ (i): Sei ∃x̄ ψ(ḡ, x̄) ein existenzieller Satz mit Parametern ḡ aus G, der in einer Obergruppe H ≥ G erfüllt wird. K sie die endliche Untergruppe von H, die von ḡ und den erfüllenden Elementen für x̄ erzeugt wird. Setze außerdem U := G ∩ K.

[figure: 1; U; G; K; H]

Sei C :=F(U) das abelsche Radikal von U und Y ein Komplement von C in U. O.B.d.A. sei Y ≤ Z. (Falls Y ≠ {1} ist, sei Z_{1} :=C_{G}(Y). Dann ist Z_{1} Komplement zu A in G und zu Z konjugiert.) Außerdem sei C′ :=F(K) (und damit C′ =C_{K}(C)), A′ :=F(H), Z′ :=C_{H}(Z) und Y′ := K ∩ Z′. Dann ist U = C ⋊ Y, G = A ⋊ Z und H = A′ ⋊ Z′. Wir können außerdem o.B.d.A. annehmen, daß Y′ ein Komplement zu C′ in K ist (dann ist K = C′ ⋊ Y′).

[ Falls Y′ kein Komplement ist, folgt Y′ = Y = {1}. Sei Y_{1} ein Komplement zu C′ in K und Z_{1} :=C_{H}(Y_{1}). Dann ist Z_{1} durch ein Element a aus F(H) mit Z′ konjugiert. Die Konjugation läßt also insbesondere U fest und der Satz ∃x̄ ψ(ḡ, x̄) gilt auch in K^{a}. ]

Sei also Y ≤ Z ≤ Z′ und Y ≤ Y′. Es ist klar, daß Z′ = Z sein muß, da Z als lokal-zyklische π-Gruppe maximal ist. Daher ist auch Y′ = Y.

[figure: 1; C; A; C′; A′]

[figure: 1; Y; Z; =; =; Y′; Z′]

Sei k die Ordnung von Y. Sei p ∈ π gegeben und V die p-Untergruppe von C, W diejenige von C′. Dann gibt es nach 9.6 eine Zerlegung V = V_{1} ⊕ … ⊕ V_{n} und W = W_{1} ⊕ … ⊕ W_{n} mit V_{i} ≤ W_{i} und V_{i} < A_{i} für i = 1, …, n. Wir zeigen zunächst, daß die A_{i} teilbar sind: Sei also a ∈ A_{i}. Wir wissen, daß A teilbar ist. Sei c ∈ A mit p · c = a. Dann ist c ∈ A_{p}. Betrachte wieder die Darstellung u_{1}(x)h_{1}(x)+…+u_{n}(x)h_{n}(x) = 1 aus 9.3. Dann ist u_{i}(z)h_{i}(z)∗c ∈ A_{i} und es gilt

p · (u_{i}(z)h_{i}(z)) ∗ c = u_{i}(z)h_{i}(z) ∗ (p ∗ c) = u_{i}(z)h_{i}(z) ∗ a = a,

also ist u_{i}(z)h_{i}(z) ∗ c die gesuchte Wurzel. Sei nun i ∈ {1, …, n} fest. Wir müssen eine zu W_{i} isomorphe Untergruppe in A_{i} finden, wobei dieser Isomorphismus V_{i} festlassen muß. Wir nehmen o.B.d.A. an, daß W_{i} ≅ C_{p^{m}}^{(s)}, für m, s ∈ ω: Mit Hilfe des Amalgamierungssatzes 8.10 können wir nämlich H in eine teilbare Gruppe einbetten. Wir haben mit 9.10 eine Zerlegung V_{i} = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{l} in unzerlegbare R_{i}- Moduln. Nach 9.11 gibt es unzerlegbare R_{i}-Moduln U′_{1}, …, U′_{l} und einen R_{i}- Modul U′ mit U_{j} ≤ U′_{j} (für j = 1, …, l) und W_{i} = U′_{1} ⊕ … ⊕ U′_{l} ⊕ U′. Seien u_{j} erzeugende der U′_{j} (j = 1, …, l) als R_{i}-Moduln. Außerdem seien v_{j} = p^{n_{j}}u_{j}, wo n_{j} minimal sei, so daß v_{j} ∈ U_{j} ist und w_{j} ∈ A_{i} mit v_{j} = p^{n_{j}}w_{j}. Die Abbildung u_{j} ↦ w_{j} liefert nun einen R_{i}-Isomorphismus U′_{1} ⊕ … ⊕ U′_{l} → ⟨{w_{1}}⟩ ⊕ … ⊕ ⟨{w_{l}}⟩. Wegen (iv) gibt es unendlich viele Elemente der Ordnung p in A_{i}. Insbesondere gibt es einen R_{i}-Untermodul vom Exponent p in A_{i}, der zu ⟨{w_{1}}⟩ ⊕ … ⊕ ⟨{w_{l}}⟩ disjunkt ist und Mächtigkeit ≥ |U′| hat. Dieser ist wiederum in einen endlichen Untermodul X vom Exponent p^{|U′|} in A_{i} einbettbar, der auch zu ⟨{w_{1}}⟩ ⊕ … ⊕ ⟨{w_{l}}⟩ disjunkt ist. Offensichtlich ist U′ isomorph zu einem Untermodul U dieses Moduls.

[ Beachte dabei, daß für einen R-Modul M und a ∈ M gilt:

R · a ≅ R/Ann(a),

wo Ann(a) := {r ∈ R; r · a = 0}, (der Annullator von A), ein Ideal von R ist. R_{i} besitzt nur die Ideale (p^{l}). Daher liefert eine direkte Zerlegung der Moduln U′ und X in zyklische (unzerlegbare) Untermoduln das Gewünschte. ]

Sei also U ein zu U′ isomorpher und zu ⟨{w_{1}}⟩ ⊕ … ⊕ ⟨{w_{l}}⟩ disjunkter Untermodul von A_{i}, dann erhält man so eine Einbettung

U′_{1} ⊕ … ⊕ U′_{l} ⊕ U′ → ⟨{w_{1}}⟩ ⊕ … ⊕ ⟨{w_{l}}⟩ ⊕ U ↪ A_{i}

Diese Abbildung läßt V_{i} fest. Dasselbe läßt sich nun für alle i = 1, …, n durchführen und analog für alle Primzahlen p ∈ π. Insgesamt erhält man dann eine Einbettung von K in G. Das bedeutet, daß der Satz ∃x̄ ψ(ḡ, x̄) auch in G erfüllt wird. Daher ist G existenziell abgeschlossen.

Bemerkung. Die Zerlegung der Basisgruppe nach 9.6 liefert auch eine neue Beweisidee für die Amalgamierungssätze 8.9 und 8.10, oder auch einer leicht verschärften Version:

Sei G = A ⋊ Z LEACA-Gruppe und V ⋊ W endliche auflösbare CA-Gruppe, so daß W ≤ Z und U := A ∩ V. Dann existiert eine LEACA-Gruppe H = A′ ⋊ Z′, in die G und V ⋊ W eingebettet werden können, so daß U ⋊ W unter den Einbettungen gleich abgebildet wird.

Die Beweisidee ist nun wie folgt: Wir wählen ein erzeugendes Element w ∈ W und zerlegen V nach 9.6 in V = V_{1} ⊕ … ⊕ V_{n}, und analog A = A_{1} ⊕ … ⊕ A_{n}, sowie U = U_{1}⊕…⊕U_{n}. Nun muß man nur noch A_{i} mit V_{i} als R_{i}-Moduln mit gemeinsamem Untermodul U_{i} amalgamieren. Dabei kann man 9.11 benutzen.

Wir können eine weitere Charakterisierung der e.c. LEACA-Gruppen angeben.

Korollar 9.13. Sei G eine LEACA-Gruppe. Dann ist äquivalent:

(i) G ist eine e.c. LEACA-Gruppe.

(ii) G ist teilbar und es gibt ein π ⊆ ℙ, so daß jede endliche auflösbare CA-Gruppe vom Typ π in G einbettbar ist.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Die Teilbarkeit folgt aus Theorem 8.3. Daß jede endliche auflösbare CA-Gruppe vom Typ π einbettbar ist, folgt wie im Beweis von 9.12 (i) ⇒ (ii).

(ii) ⇒ (i): Sei A := [G, G]. Dann existiert nach 8.1 eine lokal-zyklische Untergruppe Z ≤ G, so daß G = A ⋊ Z ist. Es ist klar, daß G vom Typ π sein muß. Für jedes p ∈ π muß es unendlich viele Elemente der Ordnung p in A geben, da für jede π′-Zahl k die Gruppe (C_{p})^{ϕ(k)} ⋊ C_{k} in G einbettbar ist. Da G und damit auch A teilbar ist, folgt A ≅ ⨁_{p∈π} Z_{p^{∞}}^{(κ_{p})}. Man sieht ebenfalls, daß Z ≅ ⨁_{q∈π′} Z_{q^{∞}} sein muß. Der Rest folgt mit 9.12.

Wir haben nun die Struktur von existenziell abgeschlossenen LEACA-Gruppen sehr genau bestimmt und haben eine klare Charakterisierung dieser Gruppen. Die Frage, die sich noch stellt, ist, wieviele nicht-isomorphe e.c. LEACA-Gruppen vom Typ π für festes π existieren.

10 Isomorphietypen von e.c. LEACA Gruppen

Ziel dieses Kapitels ist es zu bestimmen, wieviele nicht-isomorphe abzählbare e.c. LEACA-Gruppen vom Typ π es gibt. Für π = ℙ gibt es nur einen Isomorphietyp, nämlich den einer e.c. lokal-endlichen abelschen Gruppe.

Für eine LEACA-Gruppe G = A⋊Z wurde die Zerlegung der p-Untergruppe von A nach 9.6 bisher nur für endliches Z gemacht. Was geschieht für unendliches Z, also insbesondere bei den e.c. Gruppen? Eine Untersuchung soll uns Klarheit über die Isomorphietypen von abzählbaren e.c. LEACA-Gruppen vom Typ π geben. Mit Satz 9.6 bekommen wir eine Zerlegung der p-Untergruppe mit Hilfe der irreduziblen Teiler des k-ten Kreisteilungspolynoms. Es wird schnell klar, daß wenn k_{1} ein Teiler von k_{2} ist, die Zerlegung nach dem k_{2}-ten Kreisteilungspolynom eine Verfeinerung der Zerlegung nach dem k_{1}-ten Kreisteilungspolynom ist. Diese schrittweise Verfeinerung der Zerlegung liefert einen Baum. Wir interessieren uns insbesondere dafür, wie dieser Baum bei e.c. LEACA-Gruppen aussieht.

Der Baum, den man erhält, läßt sich auch mit irreduziblen Teilern von Kreisteilungspolynomen beschreiben. Diese Darstellung ist günstiger, da man nicht von einer bestimmten e.c. LEACA-Gruppe ausgehen muß.

Wir konstruieren also für p ∈ π einen Baum B. Dabei sei {q_{n}; n ∈ ω} eine Aufzählung der Primzahlen aus π′, in der jede Primzahl unendlich oft vorkomme. Setze außerdem k_{0} = 1 und k_{n} := ∏_{i<n} q_{i} für n > 1.

Die n-te Schicht S_{n} des Baumes soll aus den normierten irreduziblen Teilern des k_{n}-ten Kreisteilungspolynoms über ℤ_{p} (beziehungsweise ℚ_{p}) bestehen.

Wir setzen g ≤ h, wenn g ∈ S_{n}, h ∈ S_{m} mit n ≤ m ist, und h(x) das Polynom g(x^{\frac{km}{kn}}) teilt.

Proposition 10.1. B ist ein Baum.

Beweis. Wir zeigen zunächst, daß B partiell geordnet ist.

Reflexivität: Das ist offensichtlich.

Antisymmetrie: Sei g ≤ h und h ≤ g, g ∈ S_{n}, h ∈ S_{m}. Dann ist nach Definition der Ordnung n = m. Das heißt, g(x) teilt h(x) und h(x) teilt g(x). Da g und h irreduzibel und normiert sind, folgt g = h.

Transitivität: Sei g_{1} ≤ g_{2} und g_{2} ≤ g_{3} und g_{i} ∈ S_{n_{i}} für i = 1, 2, 3. Setze außerdem r_{1} := \frac{k_{n_{2}}}{k_{n_{1}}} und r_{2} := \frac{k_{n_{3}}}{k_{n_{2}}} , sowie s := \frac{k_{n_{3}}}{k_{n_{1}}} . Dann ist nach Voraussetzung g_{2}(x) ein Teiler von g_{1}(x^{r_{1}}) und g_{3}(x) ein Teiler von g_{2}(x^{r_{2}}). Also gibt es Polynome h_{1}, h_{2} ∈ ℤ_{p}[x] mit

g_{1}(x^{r_{1}}) = g_{2}(x) · h_{1}(x) und g_{2}(x^{r_{2}}) = g_{3}(x) · h_{2}(x).

Es folgt

g_{1}(x^{s}) = g_{1}((x^{r_{2}})^{r_{1}}) = g_{2}(x^{r_{2}}) · h_{1}(x^{r_{2}}) = g_{3}(x) · h_{2}(x) · h_{1}(x^{r_{2}}).

Also ist g_{3}(x) ein Teiler von g_{1}(x^{s}) und damit g_{1} ≤ g_{3}.

Wir wollen nun noch zeigen, daß ein Element h ∈ S_{m} in jeder Schicht S_{n} mit n < m genau einen Vorgänger besitzt.

Es gibt ein g ∈ S_{n} mit g ≤ h: Sei K der Zerfällungskörper von h über ℚ_{p} und a ∈ K Nullstelle von h. Dann ist die multiplikative Ordnung von a gleich k_{m}. Setze r := \frac{k_{m}}{k_{n}}. Das Element b := a^{r} hat daher multiplikative Ordnung k_{n} und ist damit Nullstelle des k_{n}- ten Kreisteilungspolynoms. Es gibt also g ∈ S_{n} mit g(b) = 0. Das heißt, a ist Nullstelle von g(x^{r}). Da a auch Nullstelle von h ist, folgt aus der Irreduzibilität von h, daß h(x) ein Teiler von g(x^{r}) sein muß.

Seien g_{1}, g_{2} ∈ S_{n} mit g_{1}, g_{2} ≤ h. Dann ist g_{1} = g_{2}: Sei K wieder der Zerfällungskörper von h über ℚ_{p} und a ∈ K Nullstelle von h. Setze wieder r := \frac{k_{m}}{k_{n}}. Da h(x) ein Teiler von g_{1}(x^{r}) und g_{2}(x^{r}) ist, ist a Nullstelle von g_{1}(x^{r}) und g_{2}(x^{r}). Das Element b := a^{r} ist daher Nullstelle von g_{1}(x) und g_{2}(x). Da g_{1} und g_{2} irreduzibel und normiert sind, folgt g_{1} = g_{2}.

Wir haben also bewiesen, daß die Menge der Elemente unterhalb eines Elements h wohlgeordnet ist. Die Schicht S_{0} besteht nur aus dem Polynom x − 1. Dieses ist das minimale Element des Baumes.

Wir stellen wieder die Beziehung zu der Zerlegung der p-Untergruppe der Basisgruppe einer e.c. LEACA-Gruppe her:

Sei g ≤ h und G eine e.c. LEACA-Gruppe vom Typ π. A_{p} sei die p-Untergruppe von [G, G]. Außerdem sei z ein Element der Ordnung k_{m} in G und r := \frac{k_{m}}{k_{n}}. Dann folgt aus h(z)∗a = 0, daß g(z^{r})∗a = 0. Mit anderen Worten: Hat man eine Zerlegung der Basisgruppe nach 9.6 gemäß dem k_{n}-ten (A_{p} = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{r}) und dem k_{m}-ten Kreisteilungspolynom (A_{p} = V_{1} ⊕ … ⊕ V_{s}), dann ist der durch h und z bestimmte Block V_{j} eine Untergruppe des durch g und z^{r} bestimmten Blocks U_{i}.

Bemerkung. Seien n ≤ m, g ein irreduzibler Teiler des k_{n}-ten und h ein irreduzibler Teiler des k_{m}-ten Kreisteilungspolynoms. Außerdem sei r := \frac{k_{m}}{k_{n}}.

Dann gilt:

\begin{aligned}g ≤ h & ⇔ & ∀z ∈ ℚ̃_{p} : h(z) = 0 → g(z^{r}) = 0 \\ & ⇔ & ∃z ∈ ℚ̃_{p} : h(z) = 0 ∧ g(z^{r}) = 0. \end{aligned}

[ Wenn z Nullstelle von h(x) ist und h(x) Teiler von g(x^{r}) ist, ist z natürlich auch Nullstelle von g(x^{r}).

Ist umgekehrt z gleichzeitig Nullstelle von h(x) und g(x^{r}), so folgt aus der Irreduzibilität von h, daß h das normierte Polynom von kleinstem Grad ist, so daß z eine Nullstelle dieses Polynoms ist. Daraus folgt aber, daß h(x) ein Teiler von g(x^{r}) sein muß. ]

Diese Tatsache führt uns zu einer weiteren äquivalenten Formulierung der Ordnung des Baumes:

Sei E = E(π′) := {z ∈ ℚ̃_{p}; Es gibt eine π′-Zahl k mit z^{k} = 1} die Menge der π′-Einheitswurzeln. Als multiplikative Gruppe ist E(π′) isomorph zu ⨁_{q∈π′} Z_{q^{∞}}. Auf E läßt sich nun wie folgt eine Äquivalenzrelation R erklären: Für z_{1}, z_{2} ∈ E sei

z_{1} ∼ z_{2} ⇔ Es gibt eine π′-Zahl k und einen irreduziblen Teiler g

des k-ten Kreisteilungspolynoms mit g(z_{1}) = g(z_{2}) = 0.

Die Äquivalenzklassen dieser Relation sind offensichtlich bijektiv auf die Menge der irreduziblen Teiler von k-ten Kreisteilungspolynomen für π′-Zahlen k abbildbar. Eine Ordnung auf E/R läßt sich nun erklären durch:

[z_{1}] ≤ [z_{2}] ⇔ z_{1} hat Ordnung r, z_{2} hat Ordnung s,
r teilt s und z_{2}^{\frac{s}{r}} ∈ [z_{1}].

Die Ordnung des Baumes ist eine Einschränkung dieser Ordnung auf die Teilmenge

{[z]; Die Ordnung von z ist k_{n} für ein n ∈ ℕ}.

Wir führen diesen Aspekt noch etwas weiter. Sei K der Abschluß von ℚ_{p} unter den π′-Einheitswurzeln, also K = ℚ_{p}(E). Wir betrachten E als Untergruppe der multiplikativen Gruppe des Körpers K. Wir definieren A :=Aut(E). Wir wollen außerdem die Untergruppe von A betrachten, die durch Körperautomorphismen erzeugt wird. Genauer gesagt betrachten wir zunächst die Menge der Körperautomorpismen von K, die ℚ_{p} fest lassen, also die Galoisgruppe G(K : ℚ_{p}). Wir definieren nun U := {ϕ ↿_{E}; ϕ ∈ G(K : ℚ_{p})} als Untergruppe von A. Die Äquivalenzklassen der Relation R sind dann gerade die Orbits von E unter U. Die Struktur von A läßt sich nun verhältnismäßig leicht bestimmen. Da E ≅ ⨁_{q∈π′} Z_{q^{∞}} und Aut(Z_{q^{∞}}) = ℤ_{q}^{∗} (also die Einheiten-Gruppe der ganzen q-adischen Zahlen), folgt

A ≅ ∏_{q∈π′} ℤ_{q}^{∗}.

(Hier sei ∏ das volle kartesische Produkt.) Insbesondere ist A abelsch. Man bekommt nun einen Homomorphismus

\begin{aligned}f : & A/U & → & Aut(B) \\ & ϕ · U & ↦ & ϕ′ : [z] ↦ [ϕ(z)]. \end{aligned}

[ Wir definieren zunächst eine Abbildung

\begin{aligned}f_{1} : & A & → & Aut(B) \\ & ϕ & ↦ & ϕ′ : [z] ↦ [ϕ(z)]. \end{aligned}

Zu zeigen ist, daß ϕ′ wohldefiniert ist. Sei also z_{2} ∈ [z_{1}]. Dann existiert ein ψ ∈ U, so daß ψ(z_{1}) = z_{2} ist. Also ist

ϕ(z_{2}) = ϕ ∘ ψ(z_{1}) = ψ ∘ ϕ(z_{1}) ∈ [ϕ(z_{1})].

ϕ′ ist ein Automorphismus des Baumes, da ϕ Gruppenautomorphismus ist. Offensichtlich liegt U im Kern von f_{1}. ]

Da A transitiv auf den Mengen der primitiven k-ten Einheitswurzeln ist, muß auch Aut(B) transitiv auf den einzelnen Schichten sein. Mit anderen Worten: Wir haben die folgende Proposition bewiesen:

Proposition 10.2. B ist homogen, d.h. je zwei Elemente einer Schicht sind durch einen Isomorphismus des Baumes aufeinander abbildbar.

Lemma 10.3. Der Baum B hat endlich viele Zweige, wenn π′ endlich ist, und 2^{ℵ_{0}} Zweige, wenn π′ unendlich ist.

Beweis. Um eine Übersicht der Zweige von B zu bekommen, ist es am einfachsten, die Breite der Schichten zu untersuchen. Wie eben gesehen ist B homogen.

Die Breite der n-ten Schicht des Baumes ist die Anzahl der irreduziblen Teiler des k_{n}-ten Kreisteilungspolynoms über ℤ_{p} beziehungsweise 𝔽_{p}. Diese Anzahl läßt sich über den Grad eines solchen irreduziblen Teilers berechnen: Sei l_{n} die kleinste positive natürliche Zahl, so daß k_{n} ein Teiler von p^{l_{n}}−1 ist, dann hat jeder irreduzible Teiler des k_{n}-ten Kreisteilungspolynoms den Grad l_{n}.

[ Der Körper K der Ordnung p^{l_{n}} ist der kleinste Körper, der ein Element der multiplikativen Ordnung k_{n} besitzt. Deshalb ist K der Zerfällungskörper des k_{n}-ten Kreisteilungspolynoms. Der Grad der Körpererweiterung [K : 𝔽_{p}] ist aber l_{n}. Es folgt, daß ein irreduzibler Teiler g des k_{n}-ten Kreisteilungspolynoms vom Grad l_{n} sein muß, da K der Zerfällungskörper von g ist. ]

Sei nun ϕ die Eulersche Funktion, dann ist also die Anzahl der irreduziblen Teiler a_{n} := \frac{ϕ(k_{n})}{l_{n}}.

Sei nun k_{n+1} = q · k_{n}. Wir wollen untersuchen, in welchen Fällen a_{n+1} > a_{n} ist. Klar ist, daß l_{n} ≤ l_{n+1} ist.

Außerdem ist l_{n} ein Teiler von l_{n+1}.

[ Sei l_{n+1} = rl_{n} + s mit s < l_{n}. Dann ist p^{l_{n}} ≡ p^{l_{n+1}} ≡ 1 (mod k_{n}) und damit folgt aus p^{l_{n+1}} = p^{rl_{n}+s} = p^{rl_{n}}p^{s} ≡ 1 (mod k_{n}), daß p^{s} ≡ 1 (mod k_{n}). Es folgt s = 0, da l_{n} minimal gewählt war. ]

Wir machen eine Fallunterscheidung:

1. Fall: q teilt k_{n}. Dann ist ϕ(k_{n+1}) = q · ϕ(k_{n}). Außerdem ist l_{n+1} Teiler von q · l_{n}.

[ Nach Voraussetzung ist p^{l_{n}} = 1 + xk_{n} für ein x ∈ ℕ. Es folgt

p^{q·l_{n}} = (1 + xk_{n})^{q} = ∑_{i=0}^{q} \binom{q}{i}x^{i}k_{n}^{i}.

Für i = 1, …, q − 1 ist q ein Teiler von \binom{q}{i}, also k_{n+1} ein Teiler von \binom{q}{i}x^{i}k_{n}^{i}. Außerdem ist q ein Teiler von k_{n}, also teilt k_{n+1} auch

x^{q}k_{n}^{q}. Damit folgt p^{ql_{n}} ≡ 1 (mod k_{n+1}). ]

Unterfall 1.a: l_{n+1} = l_{n} k_{n+1} ist also schon Teiler von p^{l_{n}} − 1.

Es ist a_{n+1} > a_{n}.

Unterfall 1.b: l_{n+1} = q · l_{n} a_{n+1} = \frac{ϕ(k_{n+1})}{l_{n+1}} = \frac{q·ϕ(k_{n})}{ql_{n}} = \frac{ϕ(k_{n})}{l_{n}} = a_{n}.

2. Fall: q teilt k_{n} nicht. Dann ist ϕ(k_{n+1}) = (q − 1) · ϕ(k_{n}).

Unterfall 2.a: l_{n} gerade und q > 2.

k_{n+1} = q · k_{n} teilt p^{\frac{(q−1)ln}{2}} − 1, denn (p^{\frac{ln}{2}} )^{q−1} ≡ 1 (mod q). Folglich ist

l_{n+1} Teiler von \frac{(q−1)l_{n}}{2} .
a_{n+1} = \frac{ϕ(k_{n+1})}{l_{n+1}} ≥ _{\frac{(q−1)·ϕ(k_{n})}{\frac{(q−1)ln}{2}}} = \frac{2·ϕ(k_{n})}{l_{n}} > a_{n}.

Unterfall 2.b: l_{n} ungerade oder q = 2.

Aus a_{n+1} = a_{n} folgt l_{n+1} = (q − 1) · l_{n}, also ist l_{n+1} für q > 2 gerade.

Ansonsten ist a_{n+1} > a_{n}.

Sei nun π′ endlich. Dann trifft für ausreichend großes n nur noch der 1. Fall ein. Wir wollen zeigen, daß der Unterfall 1.a nur endlich oft auftreten kann.

Sei l kleinste positive natürliche Zahl, so daß ∏_{q∈π′} q und falls p ≠ 2 auch 4 Teiler von p^{l} − 1 sind. Außerdem sei k die größte π′-Zahl, die Teiler von p^{l} − 1 ist. m sei die kleinste Zahl, so daß k ein Teiler von k_{m} ist.

Wir behaupten: Für n ≥ m tritt nur noch der Unterfall 1.b ein. (Also ist a_{n} = a_{m} für n ≥ m.)

Wir zeigen: Sei r größte π′-Zahl, die p^{s} − 1 teilt, und Vielfaches von ∏_{q∈π′} q. Falls 2 ∈ π′ ist, soll r außerdem durch 4 teilbar sein. Sei q ∈ π′. Dann ist q · r die größte π′-Zahl, die p^{q·s} − 1 teilt. Außerdem ist q · s die kleinste Zahl t, so daß q · r ein Teiler von p^{t} − 1 ist.

[ Sei x ∈ ℕ, so daß p^{s} = 1 + xr. Es folgt:

p^{qs} = (1 + xr)^{q} = ∑_{i=0}^{q} \binom{q}{i}x^{i}r^{i},

beziehungsweise

p^{qs} − 1 = ∑_{i=1}^{q} \binom{q}{i}x^{i}r^{i}.

Es folgt direkt: qr teilt qxr, r^{2}, …, r^{i}, …, also auch ∑_{i=1}^{q} \binom{q}{i}x^{i}r^{i}. Das heißt, qr teilt p^{qs} − 1. Sei nun t minimal, so daß qr Teiler von p^{t} − 1 ist. Dann ist nach Voraussetzung s < t. Außerdem ist s ein Teiler von t und t ein Teiler von qs. Das ist nur für t = qs möglich.

Wir nehmen nun an, es sei q′ ∈ π′, so daß q′qr ein Teiler von p^{qs} − 1 ist. Sei q > 2: Dann ist q′qr Teiler von \frac{q(q−1)}{2}r^{2} und von r^{i} für i > 2. Ist q = 2, so ist nach Voraussetzung 4 ein Teiler von r und es folgt ebenso, daß q′qr Teiler von r^{i} für i ≥ 2 ist. Also muß q′qr auch Teiler von qxr sein, was bedeutet, daß q′ Teiler von x ist. Das ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung, denn dann wäre q′r ein Teiler von p^{s} − 1. ] Es folgt induktiv, daß l_{n+1} = q · l_{n} für n ≥ m ist. Damit ist a_{n} = a_{m} für n ≥ m.

Für π′ unendlich tritt der 2. Fall unendlich oft ein. Es reicht außerdem diesen Fall für q > 2 zu betrachten. Wenn im Unterfall 2.b a_{n+1} = a_{n} und q > 2 ist, dann ist l_{m} für m > n gerade, das heißt im 2. Fall ist für genügend großes n immer a_{n+1} > a_{n}.

Satz 10.4. Wenn π′ unendlich ist, gibt es 2^{ℵ_{0}} nicht-isomorphe abzählbare existenziell abgeschlossene LEACA-Gruppen vom Typ π.

Beweis. Sei p ∈ π und B der oben konstruierte Baum. C sei ein Teilbaum von B ohne Sackgassen und mit der Eigenschaft, daß für alle a, b, c ∈ B gilt: Wenn a ≤ b ≤ c und a, c ∈ C, dann b ∈ C. Dann läßt sich ein partieller modell-theoretischer Typ p^{C}(x) wie folgt erklären: Sei n ∈ ω und g_{i_{1}}, …, g_{i_{m}} diejenigen irreduziblen Teiler des k_{n}-ten Kreisteilungspolynoms, die in C liegen. Seien g(x), h_{l}(x) ∈ ℤ[x], so daß g(x) ≡ ∏_{j=1}^{m} g_{i_{j}}(x) (mod p) und h_{l}(x) ≡ ∏_{j≠l} g_{i_{j}}(x) (mod p) für l = 1, …, m.

Sei

ϕ_{n}^{C}(x) :≏ x^{p} = 1 ∧ ∃y : y^{k_{n}} = 1 ∧ g(y) ∗ x = 1 ∧ ⋀_{j=1}^{m} h_{j}(y) ∗ x ≠ 1.

Dabei sei für g(y) = y^{m} +a_{m−1}y^{m−1} +…+a_{0} der Ausdruck g(y)∗x eine Abkürzung für

(y^{m})^{−1} · x · y^{m} · ((y^{m−1})^{−1} · x · y^{m−1})^{a_{m−1}} · . . . · y^{a_{0}}.

Wir setzen:

p^{C}(x) := {ϕ_{n}^{C}(x); n ∈ ω}.

Wir haben zu zeigen, daß p^{C}(x) konsistent ist. Sei n < m. Dann folgt aus ϕ_{m}^{C}(x) schon ϕ_{n}^{C}(x).

[ Sei G LEACA-Gruppe und a ∈ G mit G ⊨ ϕ_{m}^{C}(a). Sei z ein erfüllendes Element von ϕ_{m}^{C}(a). Dann gilt G ⊨ ϕ_{n}^{C}(a), da z^{k_{m}/k_{n}} ein erfüllendes Element für y ist, weil C ein Teilbaum ist. ]

Die Formel ϕ_{n}^{C}(x) wird aber in jeder e.c. LEACA-Gruppe realisiert.

[ Sei z ∈ Z mit Ordnung k_{n} und A_{p} = A_{1} ⊕ … ⊕ A_{l} die Zerlegung der p-Sylow-Gruppe gemäß 9.6. Wähle a_{i} ∈ A_{i} mit Ordnung p und setze a := a_{i_{1}} + … + a_{i_{m}}. Dann gilt G ⊨ ϕ_{n}^{C}(a), da z eingesetzt für y den Satz erfüllt. ]

Seien nun C_{1} und C_{2} Teilbäume, so daß ein n ∈ ω existiert mit |C_{1}∩S_{n}| ≠ |C_{2}∩S_{n}|. Dann können auch p^{C_{1}}(x) und p^{C_{2}}(x) nicht von demselben Element realisiert werden.

[ Angenommen, G = A ⋊ Z sei e.c. LEACA-Gruppe vom Typ π und a ∈ G realisiere p^{C_{1}}(x) und p^{C_{2}}(x). Dann gibt es z_{i} ∈ Z, so daß z_{i} erfüllendes Element für ϕ_{n}^{C_{i}}[a] ist (i = 1, 2). Da z_{1} und z_{2} die gleiche Ordnung haben, gibt es einen Gruppen-Automorphismus von Z, der z_{1} auf z_{2} abbildet. Der dadurch induzierte Baum-Automorphismus von B müßte dann aber C_{1} ∩ S_{n} auf C_{2} ∩ S_{n} abbilden, ein Widerspruch. ]

Sei nun σ := {n ∈ ω; a_{n} < a_{n+1}}, wo a_{n} als Breite der Schichten definiert sei wie in Lemma 10.3. Für τ ⊆ σ definieren wir einen Teilbaum C_{τ} rekursiv wie folgt: Sei die m-te Schicht des Baumes konstruiert für m ≤ n. Falls n ∈ τ ist, dann soll die n + 1-te Schicht aus allen Elementen bestehen, die in B Nachfolger eines Elementes der n-ten Schicht des bisher konstruierten Teilbaumes sind. Falls n ∉ τ wähle für jedes Element aus der n-ten Schicht genau einen Nachfolger.

Offensichtlich gibt es für zwei dieser Teilbäume immer ein n ∈ ω, so daß n-te Schicht unterschiedlich breit ist. Da π′ unendlich ist, ist nach dem Beweis der vorigen Proposition σ unendlich. Es folgt, daß es 2^{ℵ_{0}} unterschiedliche Typen (über der leeren Menge) in einer e.c. LEACA-Gruppe vom Typ π gibt.

Für jeden dieser Typen gibt es eine abzählbare e.c. LEACA-Gruppe vom Typ π, in der dieser Typ realisiert wird. Jede solche Gruppe kann natürlich nur abzählbar viele Typen realisieren.

Wenn π′ endlich ist, kann man ebenfalls zeigen, daß es 2^{ℵ_{0}} nicht-isomorphe abzählbare e.c. LEACA-Gruppen vom Typ π gibt. Dazu müssen wir so etwas wie eine Dimension einführen.

Sei G = A ⋊ Z eine LEACA-Gruppe vom Typ π. (z_{n})_{n∈ω} sei eine Folge von Elementen aus Z, so daß z_{n} die Ordnung k_{n} habe und für n < m sei zm^{\frac{km}{kn}} = z_{n}. Da der oben konstruierte Baum B nur endlich viele Zweige hat, kann man die p-Untergruppe A_{p} von A folgendermaßen zerlegen: Sei Z_{i} := (g_{n}^{(i)})_{n∈ω} ein Zweig in B. Setze A^{(i)} := {a ∈ A_{p}; ∀n ∈ ω : g_{n}^{(i)}(z_{n}) ∗ a = 0}. Man erhält so eine Zerlegung

A_{p} = A^{(1)} ⊕ … ⊕ A^{(m)}.

Man kann nun fragen, wie “groß” diese Blöcke als ℤ_{p}[Z]-Moduln sind.

Um diese Frage ein bißchen zu erleichtern, betrachten wir nur U_{i} := {a ∈ A^{(i)}; p· a = 0}. Sei K = 𝔽_{p}(E) der Körper, den man erhält, wenn man 𝔽_{p} für alle π′-Zahlen k unter den k-ten Kreisteilungspolynomen abschließt, das heißt für alle π′-Zahlen k die k-ten Wurzeln adjungiert. Wir behaupten: U_{i} ist ein K-Vektorraum.

[ Klar ist, daß U_{i} ein Modul über dem Gruppenring R := 𝔽_{p}Z ist. Wir definieren das Ideal

I_{i} := {r ∈ R; ∀u ∈ U_{i} : r ∗ u = 0}

in R. I_{i} ist sogar ein maximales Ideal in R:

Sei s ∈ R − I_{i}. Da Z lokal-zyklisch ist, kann man n ∈ ω, z ∈ Z und λ_{l} für l ≤ n finden, so daß s = λ_{n}z^{n} + … + λ_{1}z + λ_{0} ist. z kann dabei sogar so gewählt werden, daß z = z_{m} für ein m ∈ ω ist. Sei f(x) das Polynom vom kleinsten Grad in 𝔽_{p}[x], so daß f(z)∗u = 0 für alle u ∈ U_{i}. Nach Voraussetzung ist f irreduzibel und damit teilerfremd zu λ_{n}x^{n} + … + λ_{1}x + λ_{0}. Daher existieren Polynome u, v ∈ 𝔽_{p}[x], so daß 1 = u(x)f(x) + v(x)(λ_{n}x^{n} + … + λ_{1}x + λ_{0}). Es folgt, daß 1 im von I_{i} und s erzeugten Ideal liegt.

Damit ist F_{i} := R/I_{i} ein Körper und U_{i} in natürlicher Weise ein F_{i}- Vektorraum. Außerdem ist F_{i} isomorph zum oben beschriebenen Körper K. ]

Die Dimension von U_{i} über K kann auch bei e.c. LEACA-Gruppen endlich oder unendlich sein, wie man leicht am Klassifikationssatz 9.12 erkennt. Es folgt:

Theorem 10.5. Sei π ≠ ∅ eine Primzahlmenge, die nicht alle Primzahlen enthält. Dann gibt es 2^{ℵ_{0}} nicht isomorphe abzählbare e.c. LEACA-Gruppen vom Typ π.

Beweis. Für unendliches π′ wurde die Behauptung in 10.4 bewiesen.

Sei nun π′ endlich. Dann ist π unendlich. Für jedes p ∈ π bekommt man wie eben gezeigt eine Zerlegung der p-Untergruppe in endlich viele direkte Summanden. Jedem dieser Summanden kann man eine Dimension zuordnen, die endlich oder abzählbar sein kann. Es existiert nun für jedes σ ⊆ π eine e.c. LEACA-Gruppe G_{σ} vom Typ π, so daß für p ∈ σ die Dimension jedes direkten Summanden in der Zerlegung gleich 1 ist und für p ∈ π − σ die Dimension jedes direkten Summanden in der Zerlegung gleich ω ist. Diese 2^{ℵ_{0}} Gruppen sind offensichtlich paarweise nicht isomorph.

Teil IV

CA-Gruppen und Stabilität

11 Definierbare Ketten in Zentralisatoren

Wir wollen im folgenden noch versuchen, Aussagen über die Stabilität bestimmter CA-Gruppen zu machen. In diesem Kapitel soll es dabei hauptsächlich um metabelsche CA-Gruppen gehen und um die Frage, welche Untergruppen in einem Zentralisator C_{G}(g) mit Hilfe des Normalisators N_{G}(C_{G}(g)) definierbar sind.

Bei der Untersuchung der Stabilität von Gruppen (in modell-theoretischem Sinn) spielen Kettenbedingungen eine wichtige Rolle. Will man wissen, ob eine Gruppe G stabil, superstabil oder gar ω-stabil ist, so wird man zuerst prüfen, ob G bestimmte Kettenbedingungen erfüllt. Wir zitieren diese hier (siehe beispielsweise [2], Definition III.5.1 oder [34], p. 21 ff):

Definition 11.1. Sei ⟨G, ·, 1⟩ eine Gruppe.

(i) G erfüllt die ω-stabile Kettenbedingung, wenn es keine unendliche absteigende Kette von definierbaren Untergruppen in G gibt.

(ii) G erfüllt die superstabile Kettenbedingung, wenn es keine unendliche absteigende Kette (U_{n})_{n∈ω} von definierbaren Untergruppen in G gibt, so daß U_{n+1} unendlichen Index in U_{n} hat für alle n ∈ ω.

(iii) G erfüllt die stabile Kettenbedingung, wenn es keine unendliche absteigende Kette von uniform definierbaren Untergruppen in G gibt.

(iv) G erfüllt die volle stabile Kettenbedingung, wenn es keine Formel Φ(x, ȳ) gibt, so daß es in

Γ := { ⋂_{i=1}^{n} U_{i}; n ∈ ℕ, U_{i} ≤ G, U_{i} = {a ∈ G; Φ[a, b̄]}

für ein bestimmtes Tupel b̄ aus G}

eine unendliche absteigende Kette gibt.

Es gelten dabei die folgenden Aussagen:

Satz. Sei ⟨G, ·, 1⟩ eine Gruppe.

(i) Wenn G ω-stabil ist, dann erfüllt G die ω-stabile Kettenbedingung.

(ii) Wenn G superstabil ist, dann erfüllt G die superstabile Kettenbedingung.

(iii) Wenn G stabil ist, dann erfüllt G die stabile Kettenbedingung und die volle stabile Kettenbedingung.

Die Teile (i) und (ii) stammen aus einem Artikel von Baldwin und Saxl [1]. Daß eine stabile Gruppe die stabile Kettenbedingung erfüllt, folgt direkt aus der Charakterisierung stabiler Theorien von S. Shelah [38]. Die volle stabile Kettenbedingung für stabile Gruppen wurde von U. Felgner in [13] gezeigt.

Wir haben in den vorangegangenen Kapiteln lokal-endliche CA-Gruppen genauer untersucht und können nun Aussagen über die Stabilität solcher Gruppen machen. Wir unterscheiden hier vier Klassen von e.c. LECA-Gruppen:

(i) Der nicht-auflösbare Fall: Die nicht-auflösbare e.c. LECA-Gruppe PSL_{2}(𝔽̃_{2}) ist bekanntlich ω-stabil und sogar von endlichem Morley-Rang.

(ii) E.c. LEACA-Gruppen vom Typ π mit π′ = ∅: Eine e.c. LEACA-Gruppe G vom Typ π ist dann eine e.c. lokal-endliche abelsche Gruppe. G ist als teilbare abelsche Gruppe ω-stabil. Es gibt nur eine abzählbare e.c. LEACA-Gruppe vom Typ π.

(iii) E.c. LEACA-Gruppen vom Typ π mit π′ ≠ ∅ endlich: Wenn π′ endlich ist, läßt sich mit derselben Methode keine unendlich absteigende Kette definieren. Daß es trotzdem 2^{ℵ_{0}} verschiedene Isomorphietypen im abzählbaren Fall gibt, haben wir in 10.5 mit Hilfe der Dimension der Untergruppen vom Exponent p über dem Körper 𝔽_{p}(E) gezeigt. Diese Dimension ist allerdings wohl nicht definierbar. Es gibt hier ein kleinstes und ein größtes abzählbares Modell. Hier ist die Frage, ob die Gruppen ω-stabil sind.

(iv) E.c. LEACA-Gruppen vom Typ π mit π′ unendlich: Wir haben in 10.4 gezeigt, daß es in einer e.c. LEACA-Gruppe vom Typ π mit |π′| = ℵ_{0} schon über der leeren Menge 2^{ℵ_{0}} Typen gibt. Insbesondere sind diese Gruppen nicht ω-stabil. Die korrespondierende Kette von Untergruppen erhält man durch die Zerlegung der p-Untergruppe wie in 9.6. In dieser Kette der Index einer Untergruppe in ihrem Vorgänger unendlich, also ist die Gruppe auch nicht superstabil. Die Untergruppen sind allerdings nicht uniform definierbar. Daher stellt sich die Frage, ob eine solche Gruppe stabil ist.

Bei der Untersuchung der LECA-Gruppen haben wir immer wieder mit Körpern gearbeitet. In Theorem 7.9 haben wir bewiesen, daß jede Gruppe G, die die angegebenen Axiome erfüllt, isomorph zu SL_{2}(K) für einen Körper K der Charakteristik 2 ist. Dabei haben wir einen Körper in G interpretiert. Diese Methode läßt sich verallgemeinern. Wir benutzen dazu den Begriff eines Fastkörpers.

Definition 11.2. Eine Struktur F = ⟨F, +, ·, 0, 1⟩ heißt Fastkörper, falls

(i) ⟨F, +, 0⟩ ist eine Gruppe,

(ii) ⟨F^{∗}, ·, 1⟩ (F^{∗} := F − {0}) ist eine Gruppe,

(iii) für alle x ∈ F gilt 0 · x = 0 und

(iv) für alle x, y, z ∈ F gilt x · (y + z) = x · y + x · z.

Wir erhalten folgende Proposition:

Proposition 11.3. (i) Sei F = ⟨F, +, ·, 0, 1⟩ ein Fastkörper, wo ⟨F^{∗}, ·, 1⟩ eine CA-Gruppe sei. Dann ist ⟨F, +, 0⟩ ⋊ ⟨F^{∗}, ·, 1⟩ eine CA-Gruppe.

(ii) Sei G eine CA-Gruppe und A ein abelscher Normalteiler von G, so daß Z := G/A transitiv auf A − {1} wirke. Dann ist in G ein Fastkörper interpretierbar.

(iii) Sei G eine CA-Gruppe und A das abelsche Radikal von G und Z Komplement zu A in G. Außerdem sei Z transitiv auf A − {1} und A enthalte kein Element der Ordnung 2. Dann ist in G ein Körper interpretierbar.

Beweis. Zu (i): Aufgrund eines Satzes von B.H. Neumann und H. Zassenhaus (siehe [14]) ist die additive Gruppe eines Fastkörpers kommutativ. ⟨F − {0}, ·, 1⟩ wirkt als fixpunktfreie Automorphismen-Gruppe auf ⟨F, +, 0⟩. Mit 2.3 folgt die Behauptung.

Zu (ii): Wir gehen analog vor wie im Beweis von 7.9. Wir wählen 1 ≠ a ∈ A und definieren damit auf A die Operationen

x + y := x · y
x ∗ y := z, mit z := \{ \begin{matrix}1, & falls x = 1 \\ y^{g}, & falls x = a^{g} für ein g ∈ G. \end{matrix}

Setze außerdem 0_{A} := 1 und 1_{A} := a. Es ist also zu zeigen, daß (A, +, ∗, 0_{A}, 1_{A}) ein Fastkörper ist. Der Beweis dafür ist ganz analog wie im Beweis von 7.9. Man beachte dabei, daß dort für den Beweis der Kommutativität der Multiplikation (und damit auch für die rechtsseitige Distributivität) das Axiom VIII benutzt wurde. Entsprechendes haben wir hier nicht zur Verfügung.

Zu (iii): Sei wie eben 1 ≠ a ∈ A. Da Z transitiv wirkt, gibt es insbesondere ein z ∈ G mit a^{z} = −a ≠ a. Es folgt a^{z^{2}} = a und damit z^{2} = 1. Nach 4.5 ist damit Z abelsch und daher der im Beweis von (ii) interpretierte Fastkörper ein Körper.

Bemerkung. 11.3 (iii) zeigt, daß die in (i) verwendete Eigenschaft, daß die multiplikative Gruppe des Fastkörpers eine CA-Gruppe ist, in den meisten Fällen (außer char(F) = 2) dazu führt, daß F ein Körper ist.

Wir können also auch fragen, welche Körper in einer CA-Gruppe interpretierbar sind, um Aussagen über die Stabilität machen zu können. Die Methode der Proposition ist aber nur dann anwendbar, wenn es ein a mit Primzahl-Ordnung aus der Basisgruppe gibt, so daß {a^{z}; z ∈ Z} ∪ {1} eine Untergruppe ist.

Daher sind die Körper, mit denen wir in Kapitel 9 die Struktur von e.c. LEACA-Gruppen untersucht haben, im allgemeinen nicht in diesen Gruppen interpretierbar. Wir wollen noch kurz darauf eingehen,in welchen Fällen es möglich ist, auf diese Weise einen Körper in einer e.c. LEACA-Gruppe zu interpretieren. Sei also G = A ⋊ Z e.c. LEACA-Gruppe vom Typ π und p ∈ π. E sei die Untergruppe der Elemente von π′-Ordnung in ⟨𝔽̃_{p}^{∗}, ·, 1⟩. Damit der Körper 𝔽_{p}(E) in G auf obige Weise interpretierbar ist, muß ⟨E, ·, 1⟩ genau die multiplikative Gruppe des Körpers 𝔽_{p}(E) sein. Daraus lassen sich Folgerungen ziehen.

Proposition 11.4. Sei G = A ⋊ Z e.c. LEACA-Gruppe vom Typ π und p ∈ π. Außerdem sei der Körper 𝔽_{p}(E) wie in Proposition 11.3(ii) in G interpretierbar. Dann gilt:

(i) p ist das kleinste Element von π.

(ii) Wenn |π| > 1 ist, dann muß π schon unendlich sein.

(iii) π′ ist unendlich oder 𝔽_{p}(E) = 𝔽_{2}.

Beweis. Wir beginnen mit Vorbereitungen. Für k ∈ ℕ mit p ∤ k sei

m_{k} := min{n ∈ ℕ; k ist Teiler von p^{n} − 1}.

Sei nun q ∈ π − {p}. Dann ist m_{q} keine π′-Zahl.

[ Angenommen, k := m_{q} wäre π′-Zahl. Dann gibt es ein l ∈ ℕ, so daß k ein Teiler von m := m_{k^{l}} ist (vergleiche dazu den Beweis von 10.3). Der Körper mit p^{k} Elementen ist also ein Unterkörper des Körpers mit p^{m} Elementen. Dieser wiederum ist ein Unterkörper von 𝔽_{p}(E), denn nach Voraussetzung enthält E ein Element der Ordnung k^{l} (k^{l} ist π′-Zahl). Der Körper mit p^{k} Elementen enthält aber ein Element der multiplikativen Ordnung q. Wir haben einen Widerspruch, weil q keine π′-Zahl ist. ]

Wir zeigen nun: Zu (i): Sei q := min π. Wir nehmen an, q ≠ p. Dann ist m_{q} > 1, da sonst schon

𝔽_{p} ein Element mit multiplikativer Ordnung q besäße. Da 1 < m_{q} ≤ q − 1 < q keine π′-Zahl ist, gibt es ein q_{1} ∈ π mit q_{1} | m_{q}. Das ist ein Widerspruch zur Minimalität von q.

Zu (ii): Sei q ∈ π mit q ≠ p und n ein Vielfaches von m_{q}. Dann darf der Körper mit p^{n} Elementen kein Unterkörper von 𝔽_{p}(E) sein. Nach einem Satz von Zsigmondy [42] gibt es aber für n eine Primzahl q_{1} mit m_{q_{1}} = n. Nach Voraussetzung muß q_{1} in π liegen.

Zu (iii): Falls π′ = ∅ ist, ist 𝔽_{p}(E) = 𝔽_{2}. Sei nun q ∈ π′. Dann ist für n ∈ ℕ und k := q^{n} ·m_{q} der Körper mit p^{k} Elementen

ein Unterkörper von 𝔽_{p}(E).

[ Für l ∈ ℕ ist m_{q^{l}} ein Teiler von q^{l} · m_{q}. Nach 10.3 ist außerdem m_{q^{l}} < m_{q^{l+1}} für fast alle l. Also gibt es ein l mit m_{q^{l}} = q^{n} · m_{q}. ]

Mit dem Satz von Zsigmondy folgt, daß es eine Primzahl q_{1} mit m_{q_{1}} = k gibt. Diese muß eine π′-Zahl sein.

Bemerkung. Beipiele für π, wo eine Interpretation generell möglich ist, sind:

• |π| = 1: Der interpretierte Körper ist gerade der algebraische Abschluß von 𝔽_{p}, wo π = {p}.

• p eine Primzahl und π′ := {q ∈ ℙ; p ∤ m_{q}}: Zu zeigen ist, daß für eine π′- Zahl k der Zerfällungskörper des k-ten Kreisteilungspolynoms nur Elemente besitzt, deren Ordnungen π′-Zahlen sind. Mit anderen Worten: p^{m_{k}} − 1 muß eine π′-Zahl sein. Sei also q ein Primteiler von p^{m_{k}} − 1. Dann ist m_{q} ein Teiler von m_{k}. Andererseits kann m_{k} nicht durch p teilbar sein. Es folgt, daß p ∈ π′ ist.

In diesen Fällen muß aber ein passendes a nicht notwendig existieren, so daß {a^{z}; z ∈ Z} ∪ {1} eine Untergruppe ist.

[ Ein Beispiel für eine e.c. LEACA-Gruppe, in der ein solches a nicht existiert, kann man mit Hilfe von Korollar 8.10 konstruieren, wenn man G := {1} und V := ⨁_{p∈π} Z_{p^{∞}} setzt. ]

Insbsondere gibt es dann für den Satz

∃a ∀x ∀y ∃z : a ≠ 1 ∧ a^{p} = 1 ∧ a^{x} · a^{y} = a^{z}

e.c. LEACA-Gruppen vom Typ π, die diesen Satz erfüllen und solche, die ihn nicht erfüllen. Das heißt, es gibt nicht elementar äquivalente e.c. LEACA-Gruppen vom Typ π. (Beachte dabei, daß aus Theorem 9.12 folgt, daß für beliebiges π zwei e.c. LEACA-Gruppen vom Typ π dieselbe existenzielle Theorie haben.)

In [22] untersuchte F. Haug die Erhaltung von ω-Stabilität bzw. Superstabilität bei endlichen Erweiterungen abelscher Gruppen. Als Korollar zu Theorem A aus [22] können wir formulieren:

Satz 11.5. Sei G eine CA-Gruppe, A das abelsche Radikal von G, und G/A endlich. Dann ist G genau dann ω-stabil (superstabil), wenn A ω-stabil (superstabil) ist.

Beweis. Folgendes ist ein Spezialfall des in [22] Bewiesenen: Sei A ω-stabil (superstabil) und für jede Primzahl p, die |G/A| teilt, sei die p-Sylow-Gruppe von A trivial. Dann ist G ω-stabil (superstabil).

Aus der Tatsache, daß G CA-Gruppe ist, folgt aber, daß das abelsche Radikal A kein Element der Ordnung p besitzen kann, so daß p Teiler von |G/A| ist.

Hier stellt sich die Frage, ob man solche oder ähnliche Ergebnisse auch für LEACA-Gruppen, wo π′ endlich ist, erhalten kann.

In [20] (siehe auch [19]) betrachteten C. Grünenwald und F. Haug unstabile Wirkungen bei auflösbaren Gruppen. Die Idee dabei ist, daß bei bestimmten Klassen von auflösbaren Gruppen Wirkungen unendlicher Ordnung auftauchen, über die sich eine unendlich absteigende Kette uniform definierbarer Untergruppen bauen läßt. Sei g ∈ G − A von unendlicher Ordnung. g − 1 beschreibe die Wirkung, die a ∈ A auf g^{−1}aga^{−1} abbildet. Diese Wirkung ist bei CA-Gruppen injektiv. In [20] wird gezeigt, daß in einigen Fällen schon ⋂_{n∈ω}(g^{2^{n}} − 1)A = {1} ist.

Wir zitieren Theorem B aus [20]:

Sei G eine stabile endlich-erzeugte auflösbare Gruppe. Dann besitzt G einen abelschen Normalteiler A, so daß [G : A] endlich ist (G ist “abelian-by-finite”).

Insbesondere sind endlich erzeugte frei auflösbare Gruppen nicht stabil.

Die Ergebnisse aus Kapitel 8 in [19] zeigen außerdem, daß das Kranzprodukt einer abelschen Gruppe mit einer torsionsfreien CA-Gruppe (das nach 2.4 wieder CA ist) nicht stabil sein kann.

Allgemein kann man fragen: Sei G = A ⋊ Z CA-Gruppe und f ∈ ℤ[x]. Sei U_{f} := {f(g) ∗ A; g ∈ G}. Kann man in

{⋂_{i=1}^{n} U_{i}; n ∈ ω, U_{i} ∈ U_{f} für i = 1, …, n}

unendlich absteigende Ketten finden?

Wir untersuchen das für Torsionsgruppen Z und betrachten dabei auch Untergruppen vom Typ {a ∈ A; f(g) ∗ a = 0} für g ∈ G.

Proposition 11.6. Sei G = A ⋊ Z CA-Gruppe, A abelsch, Z Torsionsgruppe und f ∈ ℤ[x].

(i) Sei g ∈ G. Dann ist {a ∈ A; f(g) ∗ a = 0} = A oder {a ∈ A; f(g) ∗ a = 0} hat endlichen Exponent.

(ii) Sei A teilbar. Dann ist U_{f} ⊆ {A, {1}}.

Beweis. Zu (i): Sei q die Ordnung von g und h das q-te Kreisteilungspolynom (über ℤ[x]). Wir teilen f mit Rest durch h über ℤ[x]. Das geht, da 1 der Leitkoeffizient von h ist. Wir erhalten also f(x) = s(x) · h(x) + r(x) mit r(x), s(x) ∈ ℤ[x]. Für a ∈ A ist dann

f(g) ∗ a = (s(g) · h(g)) ∗ a + r(g) ∗ a = r(g) ∗ a.

Falls r = 0 ist, ist {a ∈ A; f(g) ∗ a = 0} = A. Ansonsten ist der Grad von r kleiner als der von h, und h irreduzibel über ℚ[x]. Also sind r und h teilerfremd über ℚ[x]. Es gibt also u(x), v(x) ∈ ℚ[x] mit

u(x) · r(x) + v(x) · h(x) = 1.

Dann gibt es ein n ∈ ℤ mit u_{1}(x) := n · u(x), v_{1}(x) := n · v(x) ∈ ℤ[x]. Damit folgt für a ∈ A:

n ∗ a = (u_{1}(g) · r(g)) ∗ a + (v_{1}(g) · h(g)) ∗ a = (u_{1}(g) · r(g)) ∗ a.

Für a ∈ {b ∈ A; f(g) ∗ b = 0} ist daher n ∗ b = 0, das heißt {b ∈ A; f(g) ∗ b = 0} hat Exponent ≤ n.

Zu (ii): Sei g ∈ G. Dann ist nach dem Beweis von (i) f(g) ∗ A = {0} oder es existiert ein n ∈ ℤ mit

n ∗ A = r(g) ∗ (u_{1}(g) ∗ A) = f(g) ∗ (u_{1}(g) ∗ A) ⊆ f(g) ∗ A.

Andererseits ist A teilbar, also A = n ∗ A und damit A = f(g) ∗ A.

Wir haben bisher vor allem Wirkungen endlicher Ordnung auf Torsionsgruppen betrachtet. Wir wollen nun noch ein wenig darauf eingehen, was man in den anderen Fällen sagen kann. Wir interessieren uns dabei besonders auch für die folgende Situation: Sei G eine CA-Gruppe, A ≠ {1} das abelsche Radikal von G, a ∈ A und z ∈ G − A. Was läßt sich über die Untergruppe ⟨{a, z}⟩ sagen?

(a) Wirkungen endlicher Ordnung auf torsionsfreien Gruppen: Hier kann man eine ähnliche Analyse mit Hilfe von Kreisteilungspolynomen anwenden wie bei endlichen Wirkungen auf Torsionsgruppen. Die Kreisteilungspolynome, die hier über ℤ[x] beziehungsweise ℚ[x] betrachtet werden, sind irreduzibel. Falls die Basisgruppe teilbar ist, ist daher durch die Wirkung keine weitere Zerlegung möglich (siehe obige Proposition).

(b) Wirkungen unendlicher Ordnung auf Torsionsgruppen: Lokal betrachtet sind diese Wirkungen immer als Kranzprodukt darstellbar: Sei a aus der Basisgruppe, z nicht aus der Basisgruppe, die Ordnung von a sei endlich, die von z unendlich. Dann ist ⟨{a, z}⟩ ≅ ⟨{a}⟩ wr ⟨{z}⟩.

[ Sei n die Ordnung von a. Dann sind a, a^{z}, a^{z^{2}}, … linear unabhängig über ℤ_{n}, da sonst der Aufspann von a und z endlich wäre. ]

(c) Wirkungen unendlicher Ordnung auf torsionsfreien Gruppen: Hier gibt es sehr viele unterschiedliche Wirkungen (z.B. Multiplikation mit Elementen q ∉ {1, −1} in ℚ, Automorphismen von ℤ^{n} oder ℚ^{n}), so daß hier kaum eine Übersicht möglich scheint. Die ”freieste“ Wirkung ist dabei aber das Kranzprodukt: Andere Wirkungen lassen sich als Faktor-Strukturen darstellen. Man beachte auch, daß aus 2.4 folgt, daß für eine beliebige torsionsfreie CA-Gruppe H eine CA-Gruppe G mit nicht-trivialem abelschen Radikal A existiert, so daß H ein Komplement zu A in G ist.

Wir wollen nun noch ein wenig auf die eben erwähnten ”freien“ Wirkungen eingehen. O. Chapuis untersuchte in [9] die universelle Theorie der frei auflösbaren Gruppen. In [8] gab er außerdem eine Axiomatisierung für die Gruppen, die die universelle Theorie der frei-metabelschen Gruppen erfüllen. Die universelle Theorie der frei-metabelschen Gruppen ist dabei die Menge aller universeller Sätze, die in allen frei-metabelschen Gruppen gelten. Er definiert dazu

\begin{aligned}fit^{∀}(x) & :≏ & ∀t : [x, x^{t}] = 1, \\ fit^{∃}(x) & :≏ & ∃t : [x, x^{t}] = 1 ∧ [x, t] ≠ 1. \end{aligned}

fit^{∀}(x) entspricht der Formel, die wir in 1.3 benutzt haben, um das abelsche Radikal, bzw. die Fitting-Untergruppe zu definieren. fit^{∃}(x) bedeutet in CA-Gruppen N_{G}(C_{G}(x))−C_{G}(x) ≠ ∅, das heißt, der Zentralisator von x ist malnormal. Die Theorie 𝔄 enthält die folgenden Sätze:

ϕ_{1}  ≏ ∀x∀y∀z : (x · y) · z = x · (y · z) ∧ 1 · x = x ∧ x^{−1} · x = 1,
ϕ_{2}  ≏ ∀x∀y∀z∀t : [[x, y], [z, t]] = 1,
ϕ_{3}(n) ≏ ∀x : x^{n} = 1 → x = 1 für alle n ≥ 2,
ϕ_{4}  ≏ ∀x∀y∀z : ([x, y] = 1 ∧ [y, z] = 1 ∧ y ≠ 1) → [x, z] = 1,
ϕ_{5}(n) ≏ ∀x : fit^{∃}(x^{n}) → fit^{∀}(x) für alle n ≥ 2,
ϕ_{6}(ē) ≏ ∀x∀y_{1} … ∀y_{n} : (fit^{∃}(x) ∧ x^{e_{1}y_{1}} · . . . · x^{e_{n}y_{n}} = 1)
→ (e_{1}y_{1} + … + e_{n}y_{n} = 0 in ℤ[/fit^{∀}]

für alle endlichen Sequenzen ē in {−1, 1}

Das in den Sätzen ϕ_{6}(ē) geforderte ließe sich auch äquivalent ausdrücken durch:

ϕ_{7}(s̄) :≏ ∀x∀y_{1} … ∀y_{n} : ⋀_{\begin{matrix}i,j=1 \\ i≠j \end{matrix}}^{n} fit^{∀}(y_{i}y_{j}^{−1}) → x^{s_{1}y_{1}} · . . . · x^{s_{n}y_{n}} ≠ 1
für alle endlichen Sequenzen s̄ = (s_{1}, …, s_{n})
mit s_{i} ∈ ℤ − {0} für i = 1, …, n.

Ausgesagt wird damit das folgende: Sei G ein Modell von A und A die Fitting-Untergruppe von G. Dann ist ein endlicher erzeugter Untermodul von A (als ℤ[G/A]- Modul) ein freier ℤ[G/A]-Modul.

Wir wollen noch zeigen, daß ϕ_{5}(n) eigentlich unnötig ist:

Proposition 11.7. Sei G metabelsche CA-Gruppe. Dann gilt:

G ⊨ ∀x∀y : (y ≠ 1 ∧ [x, y] = 1 ∧ fit^{∃}(y)) → fit^{∀}(x).

Beweis. Sei y ≠ 1 und t ∈ G mit [y, y^{t}] = 1 und [y, t] ≠ 1. Dann ist 1 ≠ [y, t] = y^{−1}y^{t} ∈ [G, G]∩C_{G}(y). Da G metabelsch ist, ist [G, G] abelscher Normalteiler und daher im abelschen Radikal enthalten. Da [G, G]∩C_{G}(y) ≠ {1} ist, muß die maximale abelsche Untergruppe C_{G}(y) ebenfalls das abelsche Radikal sein.

Die Theorie 𝔄 wird also axiomatisiert durch die gruppentheoretischen Axiome (ϕ_{1}), die Eigenschaft, metabelsch zu sein (ϕ_{2}), Torsionsfreiheit (ϕ_{3}(n)), die CA-Eigenschaft (ϕ_{4}) und das Schema der Axiome ϕ_{6}(ē), das die Freiheit der Wirkung definiert.

In [7] gibt Chapuis eine vollständige entscheidbare Theorie 𝔗 an, so daß die e.c. Modelle von 𝔄 Modelle von 𝔗 sind. Die zusätzlichen Axiome sind:

• G ist nicht-abelsch.

• G/Fit(G) ist teilbar.

• Fit(G) ist ℤ[Ḡ]-teilbar, wo Ḡ = G/Fit(G).

• Für alle g ∈ G−Fit(G) ist G ≅Fit(G)⋊C_{G}(g). Man erhält:

• Zwei e.c. Modelle von 𝔄 sind elementar äquivalent.

• 𝔄 hat keinen Modell-Begleiter.

• 𝔗 ist ω-stabil mit Lascarschem U-Rang ω + 1.

• In einem Modell von 𝔗 ist kein unendlicher Körper definierbar.

12 Unendlich erzeugte freie Gruppen

Bruno Poizat behandelte in [33] unter anderem Eigenschaften freier Gruppen. Er zeigte dabei, daß unendlich erzeugte freie Gruppen keine definierbaren Untergruppen von endlichem Index haben. Außerdem gab er einen Beweis für ein Resultat von P. Gibone ([17]), nämlich daß freie Gruppen nicht superstabil sind. Allgemeiner zeigte er:

Satz ([33], §7). Seien G und H Gruppen, so daß das freie Produkt G∗H superstabil ist. Dann ist |G| = 1 oder |H| = 1 oder |G| = |H| = 2.

Man beachte dabei, daß das freie Produkt zweier Gruppen der Ordnung 2 isomorph zu ℤ ⋊ Z_{2} ist. Diese Gruppe ist als endliche Erweiterung einer torsionsfreien superstabilen abelschen Gruppe superstabil (siehe [22]).

Poizat verwendet dazu die Methode der generischen Typen. In einer stabilen Gruppe G gibt es generische Typen. Diese sind dadurch ausgezeichnet, daß für jede Formel ϕ(x) aus einem solchen Typ und die dadurch definierte Menge A Elemente a_{1}, …, a_{n} ∈ G existieren, so daß G = a_{1}A ∪ … ∪ a_{n}A ist. Formeln, die diese Bedingung erfüllen, werden ebenfalls generisch genannt. Wir werden im folgenden auch nicht definierbare Mengen M mit der obigen Eigenschaft, daß sich G zerlegen läßt in G = a_{1}M ∪ … ∪ a_{n}M, generisch nennen.

In einer freien Gruppe F mit unendlich vielen Erzeugenden {e_{n}; n ∈ ω} gibt es nur einen Kandidaten für einen generischen Typ, nämlich:

p := {ψ(x); für alle Erzeugenden e_{i} bis auf endlich viele gilt: F ⊧ ψ[e_{i}]}.

Diese Formelmenge ist vollständig, da jede Formel ψ(x) entweder nur für endlich viele der Erzeugenden gilt oder für alle bis auf endlich viele (siehe 12.1). Die Konsistenz endlicher Teilmengen von p ist offensichtlich. Es ist außerdem leicht zu sehen, daß p der Typ von e_{ω} über F in der freien Gruppe G = F ∗ ⟨{e_{ω}}⟩ ist. Beachte. Wir bemerken, daß die meisten Resultate dieses Kapitels auch für relativ freie (d.h. V-freie Gruppen für eine Varietät V) Gruppen gelten. In den Sätzen soll gegebenenfalls darauf eingegangen werden.

Um nun ein Kriterium für die Stabilität (oder Nicht-Stabilität) dieser Gruppen zu bekommen, kann man untersuchen, ob der obige Typ nur aus generischen Formeln besteht.

Wir zitieren aus [33], Lemme 5:

Proposition 12.1 ([33]). Sei ϕ(x) eine Formel. Dann ist M oder ω − M endlich, wo M := {n ∈ ω; F ⊧ ϕ[e_{n}]}.

Beweis. Angenommen, M ist unendlich. Sei m ∈ ω so gewählt, daß für i ≥ m das Erzeugende e_{i} nicht in der Definition von ϕ(x) vorkommt. Nach Voraussetzung gibt es ein j ≥ m, so daß j ∈ M ist. Dann ist aber i ∈ M für alle i ≥ m, da der Automorphismus von F, der erzeugt ist durch die Permutation der Erzeugenden

e_{k} ↦ \{ \begin{matrix}e_{k} & k ∉ \{i, j\}, \\ e_{i} & k = j, \\ e_{j} & k = i. \end{matrix}

die durch ϕ definierte Teilmenge invariant läßt.

Ähnlich läßt sich die folgende Propsition beweisen:

Proposition 12.2 ([33], Lemme 6). Jede generische Formel liegt in p.

Beweis. Sei ϕ(x) generisch, A die durch ϕ(x) definierte Teilmenge. Nach Voraussetzung gibt es a_{1}, …, a_{n} ∈ G, so daß G = a_{1}A ∪ … ∪ a_{n}A ist. Insbesondere gibt es ein i ≤ n, so daß unendlich viele der e_{j} in a_{i}A liegen. Nach 12.1 gibt es daher ein m ∈ ω, so daß für alle j ≥ m die Erzeugenden e_{j} ∈ a_{i}A liegen. Das heißt a_{i}^{−1}e_{j} liegt in A. Sei nun k ≥ m so groß, daß kein e_{j} mit j ≥ k in der Definiton von a_{i} oder ϕ vorkommt. Sei j ≥ k. Der Automorphismus erzeugt durch

e_{l} ↦ \{ \begin{matrix}e_{l} & l ≠ j \\ a_{i}^{−1}e_{j} & l = j \end{matrix}

läßt A invariant. Es folgt, daß auch e_{j} ∈ A sein muß für alle j ≥ k. Folglich ist ϕ(x) ∈ p.

Poizat zeigt damit, daß F keine definierbaren Untergruppen von endlichem Index hat. Wir wollen dieses Resultat ([33], Lemme 6) noch ein bißchen verschärfen. (Wenn F eine definierbare Untergruppe U von endlichem Index besäße, dann wäre ⋂_{g∈F} U^{g} ein definierbarer Normalteiler von endlichem Index.)

Satz 12.3. Eine V-freie Gruppe F mit unendlich vielen Erzeugenden kann keinen definierbaren Normalteiler N enthalten, für den die Faktorgruppe endlich erzeugt ist.

Beweis. Sei N so, daß F/N endlich erzeugt ist. a_{1}N, …, a_{n}N seien diese Erzeugenden. Dann existiert m ∈ ω, so daß a_{1}, …, a_{n} mit den ersten m + 1 Erzeugenden e_{0}, …, e_{m} der freien Gruppe darstellbar sind. Sei nun j > m. Dann gibt es ein Wort w = w(e_{0}, …, e_{m}), so daß e_{j} · N = w(e_{0}, …, e_{m}) · N ist. Also ist (w(e_{0}, …, e_{m}))^{−1} · e_{j} ∈ N. Wählt man jetzt j so groß, daß kein Erzeugendes e_{i} mit i ≥ j in der Definition von N vorkommt, dann läßt der Automorphismus φ erzeugt durch

e_{i} ↦ \{ \begin{matrix}e_{i} & i ≠ j \\ w(e_{0}, …, e_{m})^{−1} · e_{j} & i = j \end{matrix}

N invariant. Daher muß auch e_{j} = φ^{−1}(w(e_{0}, …, e_{m})^{−1} · e_{j}) ∈ N sein. Mit demselben Argument folgt, daß auch e_{i}e_{j} ∈ N ist für i < j und damit e_{i} ∈ N. Also ist N = F.

Für definierbare Untergruppen erhalten wir einen entsprechenden Satz.

Satz 12.4. Eine definierbare echte Untergruppe U einer V-freien Gruppe F mit unendlich vielen Erzeugenden enthält nur endlich viele dieser Erzeugenden.

Beweis. Zunächst ist nach 12.1 klar, daß U entweder nur endlich viele Erzeugende enthält, oder alle bis auf eine endliche Anzahl. Im zweiten Fall wähle n so groß, daß e_{m} nicht in der Definition von U vorkommt für m ≥ n. Dann ist nach Voraussetzung e_{n} ∈ U, aber auch e_{i}e_{n} ∈ U für i < n. (Für festes i kann die Abbildung, die e_{j} auf sich selbst für j ≠ n und e_{n} auf e_{i}e_{n} abbildet zu einem Automorphismus von F erweitert werden. U ist invariant unter diesem Automorphismus.) Es folgt e_{i} ∈ U und U = F.

Wir wollen nun auf generische Mengen eingehen. Gibt es einen generischen Typ, so gilt für jede definierbare Teilmenge M, daß M oder das Komplement von M generisch sein muß. Wir interessieren uns daher für Mengen, wo weder die Menge selbst noch ihr Komplement generisch ist.

Definition 12.5. Sei F freie Gruppe in einer Varietät. Wir nennen g ∈ F primitiv, wenn g in einem freien Erzeugendensystem von F enthalten ist.

Lemma 12.6. Sei F eine unendlich erzeugte freie Gruppe in einer Varietät und F/[F, F] torsionsfrei. Dann ist die Menge

T := {x ∈ F; ∀n > 1 ∀y ∈ F ∀a ∈ [F, F] : y^{n}a ≠ x}

nicht generisch.

Beweis. Sei e ∈ T. Dann ist für n > 1 : e^{n} ∉ T.

Wir betrachten nun A := F/[F, F] und die kanonische Abbildung φ : F → A. A ist frei abelsch, denn das Bild eines freien Erzeugendensystems von F unter φ ist freies Erzeugendensystem von A. Ein Element aus T wird durch φ auf ein primitives Element von A abgebildet (in A sind die nicht teilbaren Elemente gerade die primitiven). Wählt man ein festes Erzeugendensystem, so kann ein Element nicht in T liegen, wenn jedes Erzeugende in der Darstellung gerade oft vorkommt (bzw. die Anzahl des Vorkommens durch n teilbar ist). Genauer gesagt: Ein Element x ∈ F kann nicht in T liegen, wenn das Bild von x unter φ in A nicht-triviale Teiler besitzt.

Wir nehmen nun an, T wäre generisch, d.h. ∃g_{1}, …, g_{n} ∈ F : F = g_{1}T ∪…∪g_{n}T. Seien nun e_{0}, …, e_{m} die Erzeugenden von F, die in der Darstellung von g_{1}, …, g_{n} vorkommen. k_{i,j} sei die Anzahl des Vorkommens von e_{i} in a_{j} (das Vorkommen von e_{i}^{−1} wird negativ mitgezählt).

Wähle nun l_{i} für i ≤ m so, daß k_{i,j} − l_{i} ≡ 0 (mod p_{j}) mit p_{j} die j-te Primzahl.

[ Sei

q_{j} := ∏_{\begin{matrix}i=1 \\ i≠j \end{matrix}}^{n} p_{i}.

Dann existieren r_{1}, … r_{n} ∈ ℤ mit

∑_{i=1}^{n} r_{i}q_{i} = 1.

Damit ist r_{j}q_{j} ≡ \begin{cases}1 (mod p_{i}) & für i = j, \\ 0 (mod p_{i}) & für i ≠ j. \end{cases} Setze nun l_{i} := ∑_{j=1}^{n} k_{i,j}r_{j}q_{j}. ]

Setze b := e_{0}^{l_{0}} · . . . e_{m}^{l_{m}}, dann ist das Bild von a_{j}^{−1}b in A durch p_{j} teilbar. Da b ∈ F = a_{1}T ∪ … ∪ a_{n}T, muß es aber ein i ≤ n geben, so daß a_{j}^{−1}b ∈ T, ein Widerspruch.

Proposition 12.7. Sei F eine unendlich erzeugte freie Gruppe in einer Varietät und F/[F, F] torsionsfrei. P sei die Menge der primitiven Elemente von F. Dann ist weder P noch F − P generisch.

Beweis. Um zu zeigen, daß P nicht generisch ist, reicht es zu zeigen, daß P ⊆ T ist. Das folgt aber direkt aus der kanonischen Abbildung von F nach F/[F, F].

Daß F − P nicht generisch sein kann wurde in [33] gezeigt: Sei X := F − P. Angenommen F = a_{1}X ∪ … ∪ a_{n}X. Wähle ein Erzeugendes e_{m} so, daß es nicht in der Darstellung von a_{1}, …, a_{n} benötigt wird. Nach Voraussetzung muß es ein i ≤ n geben, so daß e_{m} ∈ a_{i}X, also a_{i}^{−1}e_{m} ∈ X. Das ist aber ein Widerspruch, da a_{i}^{−1}e_{m} primitiv ist.

Es ist klar, daß P daher in einer stabilen unendlich erzeugten freien Gruppe nicht definierbar sein kann. Der Beweis zeigt noch mehr. Sei X eine Menge mit P ⊆ X ⊆ T, dann ist weder X noch F − X generisch.

In einer frei abelschen Gruppe ist T nicht definierbar. Wohl aber in einer frei metabelschen Gruppe. Das soll im folgenden bewiesen werden.

Wir wollen nun ein Lemma beweisen, das zeigt, daß es in frei-metabelschen Gruppen absteigende Ketten definierbarer Untergruppen gibt. Folglich sind diese Gruppen nicht stabil. Die Idee für die Vorgehensweise stammt aus [20] (vgl. auch [19]). Dort wurde bereits gezeigt, daß frei-metabelsche Gruppen von endlichem Rang nicht stabil sind. Dabei sei [g, A] := {[g, a]; a ∈ A}. Wir werden auch wie in Kapitel 9 die Schreibweise [g, A] = (g − 1) ∗ A verwenden.

Lemma 12.8. Sei F frei-metabelsche Gruppe vom Rang ≥ 2 und A die Kommutatoruntergruppe von F (diese ist der maximale abelsche Normalteiler). Außerdem sei g ∈ F − A und n > 1. Dann ist [g^{n}, A] ⫋ [g, A]. Insbesondere ist F unstabil.

Beweis. 1. [g^{n}, A] ⊂ [g, A]:

Sei a ∈ A. Es ist zu zeigen, daß es ein b ∈ A gibt, so daß [g^{n}, a] = [g, b]. Es ist

[g^{n}, a] = (a^{−1})^{g^{n}}a
= (a^{−1})^{g^{n}}a^{g^{n−1}}(a^{−1})^{g^{n−1}} · . . . · a^{g}(a^{−1})^{g}a
= (a^{−1})^{g^{n}}(a^{−1})^{g^{n−1}} · . . . · (a^{−1})^{g} · a^{g^{n−1}} · . . . · a^{g}a
= ((a^{g^{n−1}} · . . . · a^{g}a)^{−1})^{g} · a^{g^{n−1}} . . . · a^{g}a
= [g , a^{g^{n−1}} · . . . · a^{g}a].

2. [g^{n}, A] ≠ [g, A]: Sei {e_{k}; k ∈ ω} ein freies Erzeugendensystem von F. Die Erzeugenden, die in der Darstellung von g vorkommen, seien in {e_{1}, … e_{m}} enthalten. Also gibt es n_{i} ∈ ℤ für i = 1, …, m und a ∈ A, so daß g = e_{1}^{n_{1}} · . . . · e_{m}^{n_{m}} · a ist. Sei k :=ggT(n_{1}, …, n_{m}). Außerdem sei N der durch e_{1}^{n·k}, …, e_{m}^{n·k} erzeugte Normalteiler. Sei G := F/N. Unter der kanonischen Abbildung φ : F → G wird g nicht in die Kommutatoruntergruppe [G, G] abgebildet. Also ist φ([g^{n}, A]) = {1}, aber φ([g, A]) ≠ {1}.

Wir können nun zeigen, daß T (siehe 12.6) definierbar ist. Wir verwenden dabei die Abkürzung

fit(x) :≏ ∀t : [x, x^{t}] = 1

(vergleiche Kapitel 11). Satz 12.9. In einer frei metabelschen Gruppe ist T definierbar durch folgende Formel:

ψ(x) :≏ ¬fit(x) ∧ ∀y∀a∀b∃c : (fit(a) ∧ [ya, x] = 1 ∧ fit(b)) →
(fit(c) ∧ [y, b] = [x, c])

Beweis. Sei A wie oben das abelsche Radikal der Gruppe, dann läßt sich die Formel aufschreiben als:

x ∉ A ∧ ∀y ∀a ∈ A : ya ∈ C_{F} (x) → [y, A] ⊆ [x, A].

Wir zeigen zunächst F ⊨ ψ[g] ⇒ g ∈ T:

Angenommen g ∉ T: Dann existieren n > 1, h ∈ F und a ∈ A, so daß h^{n} · a = g ist. Dann ist also nach Lemma 12.8 [g, A] ⫋ [h, A].

Wir zeigen noch die Umkehrung:

Sei g ∈ T, h ∈ F und a ∈ A, so daß ha ∈C_{F} (g) ist. Da der Zentralisator von g zyklisch ist, muß er von g erzeugt sein (sonst wäre g ∉ T). Also ist ha = g^{n} für ein n ∈ ℤ. Wegen Lemma 12.8 folgt [h, A] ⊆ [g, A]. Beachte dabei, daß [g, A] = [g^{−1}, A] ist, denn es ist

[g, a] = (a^{−1})^{g} · a = (a^{g})^{g^{−1}} · (a^{−1})^{g} = [g^{−1}, (a^{−1})^{g}].

Es gibt sowohl stabile (frei-abelsche) als auch nicht-stabile (frei-metabelsche) relativ-freie Gruppen mit unendlich vielen Erzeugenden. Will man also mehr über die Stabilität der freien Gruppen aussagen können, so muß man Eigenschaften der freien Gruppen benutzen, die nicht alle relativ-freien Gruppen besitzen.

Für endlich erzeugte (relativ) freie Gruppen lassen sich die meisten Methoden aus diesem Kapitel so nicht anwenden. Es stellt sich die Frage, ob es hier auch einen kanonischen Kandidaten für einen generischen Typ gibt, und wie dieser aussehen könnte.

Symbolverzeichnis

ω, ℕ  Natürliche Zahlen
ℙ  Menge aller Primzahlen
ℤ  Ganze Zahlen
ℚ  Rationale Zahlen
ℤ_{p}  Ring der ganzen p-adischen Zahlen
ℚ_{p}  p-adischer Zahlkörper
𝔽_{p}  Körper mit p Elementen
K̃  Algebraischer Abschluß des Körpers K
C_{n}  Zyklische Gruppe der Ordnung n
A ⊕ B  Direkte Summe der Gruppen oder Moduln A, B
⨁_{i∈I} G_{i}  Verallgemeinerte direkte Summe der Gruppen G_{i}
G ∗ H  Freies Produkt der Gruppen G, H
G ⋊ H  Semi-direktes Produkt von G mit H
G wr H ≅ G^{(H)} ⋊ H Eingeschränktes Kranzprodukt von G mit H
C_{G}(g)  Zentralisator von g in G
N_{G}(A)  Normalisator von A in G
Z(G)  Zentrum von G
F(G)  Fitting-Untergruppe von G
Aut(G)  Automorphismengruppe von G
o(g)  Ordnung des Gruppen-Elements g
G ≤ H, G ⊴ H  G ist Untergruppe bzw. Normalteiler von H
|A|  Mächtigkeit der Menge A
k | n, k ∤ n  k teilt n, k teilt nicht n

Literatur

[1] J. Baldwin, J. Saxl: Logical stability in group theory. Australian Mathematical Society. Journal. Series A, 21, (1976), 267–276.

[2] J. T. Baldwin: Fundamentals of Stability Theory. Perspectives in Mathematical Logic, Springer Verlag, Berlin, 1988.

[3] B. Baumslag: Residually free groups. Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, 17, (1967), 402–418.

[4] A. Borovik, A. Nesin: Groups of finite Morley rank. Clarendon Press, Oxford, 1994.

[5] R. Brauer, M. Suzuki, G. E. Wall: A characterisation of the onedimensional unimodular projective groups over finite fields. Illinois Journal of Mathematics, 2, (1958), 718–745.

[6] C. C. Chang: On unions of chains of models. Proceedings of the American Mathematical Society, 10, (1959), 120–127.

[7] O. Chapuis: From “metabelian ℚ-vector spaces” to new ω-stable groups. The Bulletin of Symbolic Logic, 2(1), (1996), 84–93.

[8] O. Chapuis: ∀-free metabelian groups. The Journal of Symbolic Logic, 62(1), (1997), 159–174.

[9] O. Chapuis: On the theories of free solvable groups. Journal of Pure and Applied Algebra, 131, (1998), 13–24.

[10] M. DeBonis, A. Nesin: On CN-groups of finite Morley rank. Journal of the London Mathematical Society. Second Series, 50(3), (1994), 532–546.

[11] H.-D. Ebbinghaus, et al.: Zahlen. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, 2nd edn., 1988.

[12] W. Feit, M. Hall, J. G. Thompson: Finite groups in which the centralizer of every non-identity element is nilpotent. Mathematische Zeitschrift, 74, (1960), 1–17.

[13] U. Felgner: ℵ_{0}-categorical stable groups. Mathematische Zeitschrift, 160, (1978), 27–49.

[14] U. Felgner: Vorlesung über Fastkörper, WS 84/85 . Vorlesungsmanuskript, Universität Tübingen, 1985.

[15] L. Fuchs: Infinite Abelian Groups. Academic Press, New York, 1970.

[16] A. M. Gaglione, D. Spellman: Even more model theory of free groups. In: Infinite groups and group rings, Proceedings of the AMS Special Session, Tuscaloosa,1992 , pp. 37–40, World Scientific Publishing, River Edge, NJ, 1993.

[17] P. Gibone: On the stability of free groups (Abstract). Notices of the American Mathematical Society, 23(4), (1976), A–449.

[18] D. Gildenhuys, O. Kharlampovich, A. Myasnikov: CSA-groups and separated free constructions. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 52(1), (1995), 63–84.

[19] C. Grünenwald: Beiträge zur Stabilitätstheorie auflösbarer Gruppen. Dissertation, Universität Tübingen, 1994.

[20] C. Grünenwald, F. Haug: On stable groups in some soluble group classes. In: Proceedings of the 10th Easter Conference on Model Theory (eds. M. Weese, H. Wolters), pp. 46–59, Wendisch Rietz, Berlin, 1993.

[21] F. Haug: Existenziell abgeschlossene LFC-Gruppen. Dissertation, Universität Tübingen, 1987.

[22] F. Haug: On preservation of stability for finite extensions of abelian groups. Mathematical Logic Quarterly, 40, (1994), 14–26.

[23] K. Hensel: Theorie der algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig-Berlin, 1908.

[24] W. Hodges: Model Theory, vol. 42 of Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge University Press, 1993.

[25] P. Kissel: Beiträge zur Modelltheorie der linearen und der symplektischen Gruppen. Dissertation, Universität Tübingen, 1991.

[26] F. Leinen: Existentially closed groups in specific classes. In: Finite and locally finite groups. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, Istanbul, 1994 (ed. B. Hartley), pp. 285–326, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1995.

[27] P. Lescot: A note on CA-groups. Communications in Algebra, 18(3), (1990), 833–838.

[28] J. Łoś, R. Suszko: On the extending of models (IV): Infinite sums of models. Fundamenta Mathematicae, 44, (1957), 52–60.

[29] W. Magnus, A. Karras, D. Solitar: Combinatorial Group Theory. Wiley-Interscience, New York, 1966.

[30] A. I. Mal’cev: On free solvable groups. Soviet Mathematics. Doklady, 1, (1960), 65–68.

[31] K. Meyberg: Algebra, Teil 1 . Carl Hanser Verlag, München, 1976.

[32] A. G. Myasnikov, V. N. Remeslennikov: Exponential groups II: Extensions of centralizers and tensor completion of CSA-groups. International Journal of Algebra and Computation, 6(6), (1996), 687–711.

[33] B. Poizat: Groupes stables, avec types génériques réguliers. The Journal of Symbolic Logic, 48(2), (1983), 339–355.

[34] B. Poizat: Groupes stables. Nur al-Mantiq wal Ma’rifah, Villeurbane, 1987.

[35] V. Remeslennikov: ∃-free groups. Siberian Mathematical Journal, 30, (1989), 998–1001.

[36] D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer Verlag, New York, 1993.

[37] W. R. Scott: Group Theory. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1964.

[38] S. Shelah: Stability, the f.c.p., and superstability; model theoretic properties of formulas in first-order theory. Annals of Mathematical Logic, 3(3), (1971), 271–362.

[39] M. Suzuki: The nonexistence of a certain type of simple group of odd order. Proceedings of the American Mathematical Society, 8, (1957), 686–695.

[40] M. Suzuki: Finite groups with nilpotent centralizers. Transactions of the American Mathematical Society, 99, (1961), 425–470.

[41] L. Weisner: Groups in which the normaliser of every element except identity is abelian. Bulletin of the American Mathematical Society, 31, (1925), 413–416.

[42] K. Zsigmondy: Zur Theorie der Potenzreste. Monatshefte für Mathematik & Physik, 3, (1892), 265–284.